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1
1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
Profesora: Donita Rodríguez.
Agosto 2011
BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚBANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORESCURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES
ECONOMETRÍAECONOMETRÍA
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2
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.
2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
ESQUEMA
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3
• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada
• Funciones de densidad de probabilidad marginal:
2
2
1exp
2
1)(
x
x
x
xxf
2
2
1exp
2
1)(
y
y
y
yyf
22
222
)1(2
1exp
12
1),(
y
y
y
y
x
x
x
x
yx
yyxxyxf
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
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4
• La función de densidad condicional de Y dado X:
• Media y Varianza Condicionales:
)(),(
)|(xfyxf
xyf
2
2222)(
)1(21
exp)1(2
1)|( x
x
yy
yy
xyxyf
xxxxYE xyxyx
yx
x
yyx
x
yy ||)()|(
2|
22 )1()|( xYyxYVar
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
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5
• El Modelo de regresión simple:
– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado
izquierdo (left-hand-side variable).
– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado
derecho (right-hand-side variable).
• Término de perturbación:
u)xy(Ey |
)|( xyEyu
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
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6
iii XXYE )|(
NX
NY Nu
1Y iu
1X 2X
2Y
A
B
C
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
iii XXYE 21
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7
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional positiva entre Y y X
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional negativa entre Y y X
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o
negativas
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8
CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
• Es importante tener en cuenta que un modelo de regresión no
implica la existencia de causalidad entre las variables.
• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría
económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.
uxyEy )|( uyxEx )|(
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
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9
• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través
de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o
multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.
• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como
relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.
donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.
)( )1( YfC YC 21 )2(
uYC 21 )4(uYgC )( )3(
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
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10
• Ejemplo: la relación lineal entre consumo e ingreso no es exacta.
Ello, explica que las relaciones entre variables económicas sea
estocástica (presencia de u).
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
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11
Definición
• Denominado término estocástico.
• La palabra estocástico proviene del griego stokhos que
significa objetivo o blanco de una ruleta:
– Una relación estocástica es una relación que no siempre
da en el blanco.
– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de
la relación determinística: XYu 21
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
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12
• La presencia del término de perturbación se justifica por los
siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):
– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy
importantes y poco importantes para la relación.
– Omisión de la influencia de innumerables eventos no
sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la
relación.
– Error de medida de las variables utilizadas.
– Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones
similares.
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
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13
– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que
no se pueden medir.
– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones
individuales pueden tener distintos parámetros.
– Incorrecta especificación del modelo en términos de su
estructura: común en datos de series de tiempo, la variable
endógena puede depender de sus valores pasados.
– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs.
no lineales.
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
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141
Y
Suponga que una variable Y es una función lineal de otra variable X, con parámetros desconocidos β1 y β2 que vamos a desear estimar.
XY 21
1
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
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152
1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21
Suponga que se cuenta con una muestra de 4 observaciones para las variables X e Y.
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16
Q1
Q2
Q3
Q4
3
1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21
Si la relación entre X e Y fuera exacta, las observaciones estarían en la línea recta y no habría problema de obtener los valores exactos de los parámetros poblacionales β1 y β2.
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17
P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
4
1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21
En la práctica, muchas relaciones no son exactas y los valores observados de Y son distintas de los valores que tomaría se estuvieran en la línea recta (P vs. Q)
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18
P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
5
1
Y
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21
Así, el término de perturbación permite justificar tal divergencia y por ello el modelo estadístico puede escribirse como Y = 1 + 2X + u, donde u es el término de perturbación.
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19
P4
P3P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4u1
6
1
Y
121 X
XX1 X2 X3 X4
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
XY 21
Cada valor de Y tiene un componente no estocástico, 1 + 2X, y un componente u. Por ejemplo, la primera observación tiene estos dos componentes.
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20
• SC1:
– Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación
aditivo? Sí.
– Regresores Adecuados.
– Parámetros Constantes.
• SC2: Supuesto de Regresión
• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).
• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.
• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No Autocorrelación.
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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21
SC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL
1. Lineal en parámetros y variables: en general para k
variables:
Notación matricial:
uXy
nnkknnnn
kk
kk
uxxxxy
uxxxxy
uxxxxy
332211
222332222112
111331221111
)1(
2
1
)1(
2
1
)(21
22221
11211
)1(
2
1
nnkkknnknn
k
k
nn u
u
u
xxx
xxx
xxx
y
y
y
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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22
• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales
• Interpretación de los parámetros
Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión X Log(X)
Efecto Marginal
Y Cambio en el nivel de Y ante un cambio en una unidad de X
Cambio en el nivel de Y ante un cambio porcentual de X
(Modelo Semilog) Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X
Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un cambio en una unidad de X
(Modelo Semilog)
Cambio porcentual de Y ante un cambio porcentual de X: ()
(Modelo Doble log)
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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23
2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”
• No se omiten variables importantes.
• No se incluyen variables redundantes.
3. Los parámetros son constantes:
• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.
• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.
• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades
(corte transversal).
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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24
SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:
• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL A
CERO:
– Regresores son fijos en muestreo repetido.
– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente independiente
del término de perturbación.
• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X ES
IGUAL A CERO:
– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en media del
término de perturbación.
n,,i,)u(E i 10
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
0)u(E
n,,i,)Xu(E i 10
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25
SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X
– No es posible que n<k
• El número de observaciones es mayor al número de
regresores: n > k (variación de los regresores).
– Columnas linealmente independientes
• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:
Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.
– Implicancias:
• X’X es positivo definida
• la inversa de (X’X) existe!
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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26
Y
X
Y
X
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
Diversas relaciones posibles Una única relación posible
n<k n=k
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27
SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE
REGRESORES Y PERTURBACIONES:
Se presentan dos casos:
– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).
– Regresores Estocásticos:
• Independencia total.
• Independencia en media.
• Ausencia de relación lineal contemporánea.
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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28
• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.
• Independencia en media de las perturbaciones.
Si se cumple SC2 , entonces :
iiji uEX|uE
Kj ,,1 n,i 1 ijiiji XfufX,uf
n,i 1 Kj ,,1
0iuE 0iji X|uE
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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29
• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones
y regresores.
Si , entonces :
n,,i 1 Kk ,,1 0 )uX(E)u,X(Cov iikiik
0)u,X(Cov ijiKj ,,1 n,i 1
0iuE
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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30
SC5: PERTURBACIONES ESFÉRICAS
– Homocedasticidad:
• Supuesto sobre el segundo momento condicional.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
22 ]X|u[E i n,,i 1
22
2
]X|u[E
]X|])X|u[Eu[(E)X|u(Var
i
iii n,,i 1
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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31
– No autocorrelación:
• Si se cumple SC2 y SC3:
• En series de tiempo: ausencia de correlación serial.
0]X|uu[E ji ji
0
)X|uu(E]X|u,u[Cov
)X|)]u(Eu)][u(Eu[(EX|]u,u[Cov
jiji
jjiiji ji
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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32
– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial
• La matriz de segundos momentos es proporcional a la identidad.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
nI]X|'uu[E 2
nI]X|'uu[E)u(Var 2
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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33
a b
a
b
ui
uj
ui
uj
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
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34
1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE1. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
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