![Page 1: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/1.jpg)
· Controlabilidad
· Observabilidad
· Principio de Dualidad
· Descomposición Canónica o de de Kalman
· Realizaciones Balanceadas
Fernando di Sciascio (2016)
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CONTROLABILIDAD
Fernando di Sciascio (2016)
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Controlabilidad
Un proceso es completamente controlable simediante alguna acción control finita u(t) sepuede llevar el vector de estado desde unestado inicial cualquiera x(t0)=x0, a un estadofinal arbitrario x(tf)=xf en un tiempo finitoT=tf - t0 también arbitrario.
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Controlabilidad
Existen tres definiciones de controlabilidad,asociadas con la posibilidad de:1. Tranferir desde cualquier estado inicial acualquier estado final (la que hemos presentado).2. Tranferir desde cualquier estado inicial alorigen, llamada controlabilidad al origen.3. Tranferir el estado desde el origen a cualquierestado final, llamada controlabilidad desde elorigen, o alcanzabilidad.
Para sistemas lineales invariantes en tiempocontinuo, las tres definiciones son equivalentes.
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Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puedeanalizar la controlabilidad por inspección.
El modelo del sistema ES CONTROLABLE
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El modelo del sistemaNO ES CONTROLABLE.
Controlabilidad
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Controlabilidad
2 1n n nB AB A B A B- ´é ù= Îê úë û
n n
n p
q n
q p
A
B
C
D
´
´
´
´
Î
Î
Î
Î
( ) ( ) ( )
( ) (
Ecuación de Estado
Ecuación de Salid) ( a)
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
ì = +ïïíï = +ïî
Teorema 1: Para que la planta descripta por las ecuaciones deestado sea de estado completamente controlable, es necesario ysuficiente que la matriz de controlabilidad sea de rangocompleto ó máximo (en Matlab rank()=n).
Consideremos el modelo en espacio de estado
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Controlabilidad
2 1n n nB AB A B A B- ´é ù= Îê úë û
· La matriz de controlabilidad se obtiene con Matlabmediante el comando ctrb
= ctrb(A,B) ó = ctrb(sys)
· La Controlabilidad depende solamente de la Ecuación deEstado, esto es, del par (A,B). Se dice que el par (A,B) escontrolable (o no).
· Luego el sistema es controlable si:
si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con elcomando ss: sys = ss(A,B,C,D)
rank()=n
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Teorema 2: (General para sistemas lineales invariantesMIMO o SISO pero Con valores característicos distintos).“En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, elpar [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filastotalmente nulas“.
Controlabilidad
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Controlabilidad
Teorema 3: Es válido en general para sistemas MIMO auncuando los valores característicos múltiples tengan más deun bloque de Jordan asociado con cada valor propiomúltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordanel par [A, B] es controlable, si todos los elementos en lasfilas de B que correspondan a la última fila de cada bloquede Jordan no son cero. Se entiende que las filas de B quecorresponden a los valores característicos simples nodeberán tener todos sus elementos nulos”.
El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas deJordan (sistemas no diagonalizables).
Figura ampliada
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![Page 12: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/12.jpg)
Teorema 4: La controlabilidad se conserva a través detransformaciones de semejanza. Si una realización escontrolable, también lo son todas las semejantes oequivalentes.
Controlabilidad
( ) ( ) ( ) , ( , )x x x xx t A x t B u t A B Controlable= +
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t P A Pz t P B u t- -= + = +
( ) ( )x t Pz t=1
1z x
z x
A P A P
B P B
-
-
ìï =ïïíï =ïïî
2 1 , ( )nx x x x x x x x xB A B A B A B Rango n-é ù= =ê úë û
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Controlabilidad
2 1nz z z z z z z zB A B A B A B-é ù= ê úë û
1 1 1 1 1 1 1
2 1[ ]
x x x x x x xI I I
nz z z z z z z z
P B P A PP B P A PP A PP B P B
B A B A B A B
- - - - - - -
-=
1z xP-=
1x zP -=
Por ser P y x invertibles también loes z . Luego el par (Az,Bz) también escontrolable.
Adicionalmente la matriz de transformación es:Producto de la matriz de controlabilidaddel modelo original por la inversa de lamatriz de controlabilidad del modelotransformado.
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Teorema 5: Para un sistema de una entrada y unasalida (q=p=1), el par (A,B) será controlable si A y Bestán en la forma canónica controlable o sontransformables a la misma mediante una transfor-mación lineal de semejanza.
Obvio por el teorema anterior.
Controlabilidad
Recordar formas canónicascontrolables
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Esta estructura tiene varios nombres en la literatura.1) Forma Canónica de las Variables de Fase 2) Forma Canónica Controlable 1 (FCC1) ó 1a (FCC1a)3) Forma Canónica del Controlador
11 1 0
11 1 0
1 1
0 1 2 1
1 0 0 1 1 2 2 1 1
1
( )
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
,
0 0 0 1 0
1
n nn nn n
n
cc a cc a
n
cc a n n n n n n
cc a n
b s b s b s bG s
s a s a s a
A B
a a a a
C b a b b a b b a b b a b
D b
--
--
-
- -
+ + + +=
+ + + +
é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- - - -ê ú ê úë û ë û
é ù= - - - -ê úë û
é ù= ë
û
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0 1 2
0 0 3 1 1 3 2 2 3 3
0 1 0 0
0 0 1 , 0
1
,
A B
a a a
C b a b b a b b a b D b
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û
é ù é ù= - - - =ê ú ë ûë û
3
0 1 2
0 1 0
0 0 1 , , 1 0 0 ,
X
A B X C D b
a a a X
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û
1) Forma Canónica de las Variables de Fase 2) Forma Canónica Controlable 1 (FCC1) ó 1a (FCC1a)3) Forma Canónica del Controlador
Forma Canónica Controlable 1 (FCC1b)
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2 1 0
2 2 3 1 1 3 0 0 3 3
1
1 0 0 , 0 , ,
0 1 0 0
a a a
A B C b a b b a b b a b D b
é ù é ù- - -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = - - - =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û
Forma Canónica Controlable 2 (FCC2) ó FCC2a
Forma Canónica Controlable 2 (FCC2) ó FCC2b
2 1 0
31 0 0 , , 0 0 1 ,
0 1 0
a a a X
A B X C D b
X
é ù é ù- - -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û
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Gramiano de ControlabilidadEl gramiano de controlabilidadWc es una matriz cuadrada denxn que se define como:
0
TA T A n nWc BB de et t t¥ ´= Îò
0T TAWc WcA BB+ + =
Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcularesolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:
Wc = lyap(A,B*B’)
Wc = gram(A,B,'c')
Con Matlab mediante el comando lyap o directamente congram
0T TWc sol AWc WcA BB= + + ={ }
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Gramiano de Controlabilidad· El gramiano de controlabilidad es siempre una matrizsemidefinida positiva Wc0 (la parte real de los autovaloresson positivas o cero).
· Si el par (A, B) es controlable, entonces Wc es una matrizdefinida positiva Wc>0 (la parte real de los autovalores sonpositivas). Luego Wc es invertible y el rango es n.
Podemos unificar esto con el teorema 1
Teorema 1 (bis)- El par (A, B) es controlable si y solo sila matriz de controlabilidad o el gramiano decontrolabilidad Wc son de rango n.
rango() = rango(Wc) = n
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Vimos en el Teorema 4 que la controlabilidad se conserva através de transformaciones de semejanza.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x z z
x t Pz tx t A x t B u t z t A z t B u t
== + = +
1z xP-=
Vimos que la relación entre las matrices de controlabilidad es:
1 Tz xWc P Wc P- -=
Gramiano de Controlabilidad
Si el par (Ax, Bx) es controlable, también lo es el par (Az, Bz)
La relación entre los gramianos de controlabilidad de ambossistemas es:
La relación entre las matrices y gramianos de controlabilidadde los sistemas es:
1 1T Tz z z x x xWc Wc- -=
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OBSERVABILIDAD
Fernando di Sciascio (2016)
![Page 22: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/22.jpg)
La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad deconocer el valor del estado de un sistema, a partir delconocimiento de la evolución de la entrada y de la salida quegenera. La figura siguiente muestra esta idea:
La observabilidad es un concepto complementaria al decontrolabilidad. La controlabilidad estudia la relación entrada-estado, la observabilidad la relación estado-salida.Esencialmente un sistema es observable si cada variable deestado del sistema “afecta” alguna de las salidas.
![Page 23: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/23.jpg)
Observabilidad
Definición: Un proceso es observable si paracualquier estado inicial x(0)=x0 (desconocido),existe un tiempo finito tf tal que el conocimiento dela entrada u(t) y la salida y(t) sobre el intervalo [0tf] es suficiente para determinar en forma única elestado inicial x0. En caso contrario el sistema es noobservable.
![Page 24: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/24.jpg)
Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puedeanalizar la observabilidad por inspección.
El modelo del sistema
ES OBSERVABLE.
![Page 25: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/25.jpg)
El modelo del sistema NO ES OBSERVABLE.
![Page 26: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/26.jpg)
Observabilidad
2 2 1
1
n n n
n
T
C
CA
CA C CA CA CA
CA
- ´
-
é ùê úê úê úê ú é ù= = Îê ú ê úë ûê úê úê úê úë û
n n
n p
q n
q p
A
B
C
D
´
´
´
´
Î
Î
Î
Î
( ) ( ) ( )
( ) (
Ecuación de Estado
Ecuación de Salid) ( a)
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
ì = +ïïíï = +ïî
Se define la matriz de observabilidad
Consideremos el modelo en espacio de estado
![Page 27: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/27.jpg)
Observabilidad
2 1
( )
n n nTC CA CA CA
Rango n
- ´é ù= Îê úë û=
Teorema 6: Para que la planta descripta por lasecuaciones de estado sea observable, es necesario ysuficiente que la matriz de observabilidad sea derango completo ó máximo (en Matlab rank()=n).
![Page 28: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/28.jpg)
Observabilidad
2 1n n nTC CA CA CA - ´é ù= Îê úë û
· La matriz de observabilidad se obtiene con Matlabmediante el comando obsv
= obsv(A,C) ó = obsv(sys)
· La observabilidad depende solamente del par (A,C). Se diceque el par (A,C) es observable (o no observable).
· Luego el sistema es observable si:
si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con elcomando ss: sys = ss(A,B,C,D)
rank()=n
![Page 29: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/29.jpg)
Teorema 7: (General para sistemas lineales invariantesMIMO o SISO pero Con valores característicos distintos).“En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, elpar [A,C] es observable si la matriz C no tiene columnastotalmente nulas“.
Observabilidad
![Page 30: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/30.jpg)
Observabilidad
Teorema 8: Es válido en general para sistemas MIMO auncuando los valores característicos múltiples tengan más deun bloque de Jordan asociado con cada valor propiomúltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordanel par [A, C] es observable, si todos los elementos en lascolumnas de C que correspondan a la primera fila de cadabloque de Jordan no son cero. Se entiende que lascolumnas de C que corresponden a los valorescaracterísticos simples no deberán tener todos suselementos nulos”.
El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas de Jordan(sistemas no diagonalizables).
Figura ampliada
![Page 31: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: 07.d-Espacio de Estado-Controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/Calse 07_d-EE-Controlabilidad... · Controlabilidad Existen tres definiciones de controlabilidad, asociadas con](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022021520/5ba3322309d3f2cc2e8d9b1d/html5/thumbnails/32.jpg)
Teorema 9: La observabilidad se conserva a través detransformaciones de semejanza. Si una realización esobservable, también lo son todas las semejantes.
Observabilidad
( , )x x ObservA C able
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t Q AQz t Q B u t- -= + = +
( ) ( )x t Qz t=
1 1, ,z x z x z xA Q AQ B Q B C C Q- -= = =
2 1 , ( )nx x x x x x x x x
TC C A C A C A Rango n-é ù= =ê úë û
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )x x z z
x t Qz tx z
x t A x t B u t z t A z t B u t
y t C x t y t C z t=
ì ì= + = +ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î
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Observabilidad
z xQ=
1x zQ -=
Por ser Q y x invertibles el par(Az,Cz) también es observable.
Adicionalmente la matriz de transformación es:Producto de la inversa de la matriz deobservabilidad del modelo original por lala matriz de observabilidad del modelotransformado.
2 1nx x x x x x x x
TC C A C A C A -é ù= ê úë û
1 1
2 1[ ]x xx x x x x
I I
nz z z z z z z z x
C Q C QC QQ AQ C A QQ AQ
TC C A C A C A Q
- -
-= =
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Teorema 10: Para un sistema de una entrada y unasalida (q=p=1), el par (A,C) será observable si A y Cestán en la forma canónica observable o sontransformables a la misma mediante una transforma-ción lineal de semejanza.
Obvio por el teorema anterior.
Observabilidad
Recordar formas canónicasobservables
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0 0 0 3
1 1 1 3 3
2 2 2 3
0 0
1 0 , , 0 0 1 ,
0 1
a b a b
A a B b a b C D b
a b a b
é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = - = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û
0
1 3
2
0 0 1
1 0 , 0 , ,
0 1 0
a
A a B C X X X D b
a
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
Forma Canónica Observable 1 (FCO1) ó (FCO1a)
Forma Canónica Observable 1 (FCO1b)
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2 2 2 3
1 1 1 3 3
0 0 0 3
1 0
0 1 , , 1 0 0 ,
0 0
a b a b
A a B b a b C D b
a b a b
é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = - = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û
Forma Canónica Observable 2 (FCO2) ó (FCO2a)
Forma Canónica Observable 2 (FCO2b)
2
1 3
0
1 0 0
0 1 , 0 , ,
0 0 1
a
A a B C X X X D b
a
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
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Gramiano de ObservabilidadEl gramiano de observabilidadWo es una matriz cuadrada denxn que se define como:
0
TA T A n nWo C C de et t t¥ ´= Îò
C 0T TWoA A Wo C+ + =
Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcularesolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:
Wo = lyap(A,C’*C)
Wo = gram(A,C,'o')
Con Matlab mediante el comando lyap o directamente congram
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Gramiano de Observabilidad· El gramiano de observabilidad es siempre una matrizsemidefinida positiva Wo0 (la parte real de los autovaloresson positivas o cero).
· Si el par (A, C) es observable, entonces Wo es una matrizdefinida positiva Wo>0 (la parte real de los autovalores sonpositivas). Luego Wo es invertible y el rango es n.
Podemos unificar esto con el teorema 6
Teorema 6 (bis)- El par (A, C) es observable si y solo sila matriz de observabilidad o el gramiano deobservabilidad Wo son de rango n.
rango() = rango(Wo) = n
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Vimos en el Teorema 9 que la observabilidad se conserva através de transformaciones de semejanza.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x z z z
x t Qz tx t A x t B u t z t A z t B u t
== + = +
Vimos que la relación entre las matrices de observabilidad es:
Tz xWo Q Wo Q=
Gramiano de Observabilidad
Si el par (Ax, Cx) es observable, también lo es el par (Az, Cz)
La relación entre los gramianos de observabilidad de ambossistemas es:
La relación entre las matrices y gramianos de observabilidadde los sistemas es:
z xQ=
1 1T Tz z z x x xWo Wo- - - -=
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PRINCIPIO DE DULIDAD
Fernando di Sciascio (2016)
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Teorema (Dualidad entre Controlabilidad yObservabilidad). El par (A,C) es observable si ysolo si el par (AT,CT) es controlable.
Principio de Dualidad
Este principio establece que:“Una planta será controlable (observable), si y solo sisu planta dual es observable (controlable)”.O sea a partir de este principio de controlabilidad(observabilidad) de una planta cualquiera se puedeverificar probando la observabilidad (controlabilidad)de su planta dual.
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Por el Principio de Dualidad la matriz de controlabilidad de unmodelo en la forma canónica controlable es igual a la matriz deobservabilidad del mismo modelo en la forma canónicaobservable.
Principio de Dualidad
cc co=
3 2
3 2
10 42 72: ( )
8 17 10
0 1 0 0
0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1
10 17 8 1
0 0 10 62
1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1
0 1 8 2
cc cc cc cc
co co co co
s s sEjemplo G s
s s s
A B C D
A B C D
+ + +=
+ + +é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë ûé ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
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0 1 0 0
0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1
10 17 8 1
0 0 10 62
1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1
0 1 8 2
cc cc cc cc
co co co co
A B C D
A B C D
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë ûé ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
clear,clcAcc=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];Bcc=[0;0;1];Ccc=[62 25 2];Aco=Acc'; Bco=Ccc'; Cco=Bcc';C_cc=[Bcc Acc*Bcc Acc^2*Bcc]O_co=[Cco; Cco*Aco; Cco*Aco^2]'
Principio de Dualidad
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2 1
0 0 1
0 1 -8
1 -8 47
ncc cc cc cc cc cc cc ccB A B A B A B-
é ùê úê úê úê úê úë
é ù= =ê
û
úë û
2 1
0 0 1
0 1 -8
1 -8 47
nco co co co co co co co
TC C A C A C A -é
é ùê úê úê úê úê úë û
ù= =ê úë û
Principio de Dualidad
cc co=
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DESCOMPOSICIÓN CANÓNICAÓ
DESCOMPOSICIÓN DE KALMAN
Fernando di Sciascio (2016)
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Teorema: Toda ecuación envariable de estados puede lle-varse, mediante una transfor-mación de equivalencia, a laforma canónica de la figura.
Estados controlables
y observables
Estados controlables
y no observables
Estados no controlables
y observables
Estados no controlables
y no observables
x
x
x
x
=
=
=
=
Descomposición de Kalman
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Descomposición de Kalman
1 0 0 0 0.8
0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )
0 0 3 0 3.6
0 0 0 4 3.8
( ) 0.6 0.2 0.13 0.13 ( )
x t x t u t
y y x t
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú= +ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
é ù= ê úë û
Sistema controlable yobservable.
1.9 (s+1.4) (s+2.5) (s+3.6)( )
( 1)( 2)( 3)( 4)G s
s s s s=
+ + + +
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Descomposición de Kalman
Sistema controlable yobservable.
Sistema no controlabley no observable.
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Descomposición de Kalman
1 0 0 0 0.8
0
0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )
0 0 3 0
0 0 0 4
( ) 0.2 0.13 ( )
0
0 0
x t x t u t
y t x t
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú= +ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
é ù= ê úë û
0.46( )
2G s
s=
+
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Descomposición de Kalman
1 0 0 0 0.8
0
0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )
0 0 3 0
0 0 0 4
( ) 0.2 0.13 ( )
0
0 0
x t x t u t
y t x t
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú= +ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
é ù= ê úë û
0.46( )
2G s
s=
+
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13
21 23 24
34
0 0
( )0 0 0 0
0 0 0
( ) 0 0 ( ) ( )
x A A x B
x A A A A x Bu t
x A x
x A A x
y t C C x t Du t
é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û
é ù= +ê úë û
Estados controlables y observables
Estados controlables y no observables
Estados no controlables y observables
Estados no controlables y no observables
x
x
x
x
====
Teorema (Descomposición Canónica o de de Kalman). Todaecuación en variable de estados puede llevarse, mediante unatransformación de equivalencia, a la forma canónica :
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13
21 23
24
34
( )
( )
( ) ( )
x A x A x B u t
x A x A x A x
A x B u t
x A x
x A x A x
y t C x C x Du t
ìï = + +ïïïï = + +ïïïïï + +íïïïï =ïïïï = +ïïî= + +
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i) El subsistema es completamente controlabley completamente observable
, ,A B Cé ùê úë û
Teorema (continuación): Se verifican las siguientesproposiciones.
( )
( ) ( )
x A x B u t
y t C x Du t
ì = +ïïïíï = +ïïî
1( ) ( )G s C sI A B D-= - +
y además tiene la misma función de transferencia que elsistema original
Descomposición de Kalman
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i) El subsistema es completamente controlabley completamente observable, y tiene la misma función detransferencia que el sistema original
ii) El subsistema:
Es completamente controlable.
21
0; ; 0co
coco
A BC
A A B
é ù é ùé ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úë û ë û
iii) El subsistema:
Es completamente observable.
13 ; ;0 0
A A BC C
A
é ù é ùé ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úë û ë û
Teorema (continuación): Se verifican las siguientesproposi-ciones.
, ,A B Cé ùê úë û
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Vemos en la Figura que sólo la parte controlable yobservable del sistema esta conectada tanto a lasentradas como a las salidas. Esta es la única partedel sistema que determina la función detransferencia.Los autovalores de las submatrices noaparecerán como polos de la función de transferencia
, ,A A A
Descomposición de Kalman
1( ) ( )G s C sI A B D-= - +
La descomposición canónica descrita en el Teorema tieneuna importante consecuencia para la función detransferencia del modelo, ya que esta solo modela elsubsistema completamente observable y completamentecontrolable.
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REALIZACIONES BALANCEADAS
Fernando di Sciascio (2016)
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C 0T TWo sol WoA A Wo C= + + ={ }
2 1n TC CA CA CA -é ù= ê úë û
rango( ) =rango(Wo) =n
0T TWc sol AWc WcA BB= + + ={ }
2 1nB AB A B A B-é ù= ê úë û
rango( ) =rango(Wc) =n
Vimos en el análisis de controlabilidad
y en el análisis de observabilidad:
Realizaciones Balanceadas
¿Para que introducir los gramianos?, si con las matrices decontrolabilidad y observabilidad es suficiente. De hechoningún libro clásico habla de gramianos.
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Hay varias razones para introducir los gramianos Wc y Wo;
Realizaciones Balanceadas
· Las matrices y solo dicen (a través de su rango) si unmodelo es controlable u observable (información tipo si-no).Los gramianos Wc y Wo suministran información adicionalsobre la “facilidad” para controlar u observar un sistema.Los autovalores de Wc describen como la entrada u(t)influye sobre los estados x(t) y los autovalores de Wodescriben como el estado inicial x(0) influencia la salida y(t)cuando u(t)=0. Entre varias realizaciones similares Wc y Woinforman cual es más controlable o más observable.
Por ejemplo, un sistema expresado en la forma canónica controlablees mucho más fácil de controlar que de observar. Obviamente elmismo sistema expresado en la forma canónica observable es muchomás fácil de observar que de controlar.
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Realizaciones Balanceadas
· En general los gramianos Wc y Wo están mejorcondicionadas numéricamente que las matrices y .
· Los gramianos Wc y Wo suministran informaciónpara la reducción de modelos.
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Vimos anteriormente que la controlabilidad y la observabilidadse conservan a través de transformaciones de semejanza T.
1 ,T Tz x z xWc T Wc T Wo T Wo T- -= =
La relación entre los gramianos de ambos sistemas es:
Si elegimos la matriz de transformación T de tal manera quelos gramianos de controlabilidad Wcz y de observabilidad Wozde la nueva realización (Az, Bz,Cz, Dz) sean iguales:
1, ( )T Tz z x xWc Wo T Wc T T Wo T- -= =
( , , , ) ( , , , )x x x x z z z zT
A B C D A B C D
Entonces la realización (Az,Bz,Cz,Dz) se dice balanceada.
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Realizaciones Balanceadas
Una realización (A,B,C,D) es balanceadacuando los gramianos de controlabilidad yobservabilidad son iguales. Esto significa quela “facilidad” (o “dificultad”) para controlar uobservar el sistema es la misma.
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Realizaciones Balanceadas· Las matrices (A,B,C,D) de una realización balanceada
son “llenas” (lo opuesto de ralas) sin ceros. Estosignifica que se tienen más parámetros que losestrictamente necesarios para definir el sistema
· Las realizaciones balanceadas son las mejorescondicionadas numéricamente. Esto significa que lasentradas de las matrices (o vectores) de la realización(A,B,C,D) no difieren en varios ordenes de magnitud (siesto no ocurre es porque el orden del sistema es mayorde lo necesario.
· Los gramianos de una realización balanceada sonmatrices iguales y diagonales. Los elementos de ladiagonal son todos positivos y se les denomina valoressingulares de Hankel.
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[sys_bal, vsh] = balreal(sys)
Realizaciones BalanceadasEl comando balreal(sys) de Matlab calcula una realizaciónbalanceada del modelo sys.
Devuelve la realización balanceada sys_bal del modelo sys yel vector vsh con los elementos de las diagonales de losgramianos (recordemos que Wc y Wo son iguales ydiagonales y que a los elementos de vsh les llamamosvalores singulares de Hankel).Valores pequeños de algunos valores singulares indican losestados que pueden ser removidos.
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0 1 0 0
0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1
10 17 8 1
0 0 10 62
1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1
0 1 8 2
cc cc cc cc
co co co co
A B C D
A B C D
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û
é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û
Ejemplo: El mismo sistema G(s) que vimos anteriormente,para comparar se repiten la FCC y la FCO.
(3 3 )
23 2
3 2
( 4)( 6 18)10 42 72( )
( 5)( 2)( 1)8 17 10
s i
s s ss s sG s
s s ss s s
+
+ + ++ + += =
+ + ++ + +
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Realizaciones BalanceadasCon el comando balreal(sys) de Matlab calculamos larealización balanceada ss_bal y con gram(ss_bal) losgramianos.
clear; clc;G=tf([1 10 42 72],[1 8 17 10]);[ss_bal,vsh] = balreal(G);%Realización balanceadaAbal=ss_bal.a; Bbal=ss_bal.b; Cbal=ss_bal.c; Dbal=ss_bal.d;Wc_bal = gram(ss_bal,'c');Wo_bal = gram(ss_bal,'o');
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Realizaciones Balanceadas
-0.5711 0.8641 0.1494 -1.9775
-0.8641 - 2.9183 - 1.0840 , -1.3578
-0.1494 - 1.0840 - 4.5106 -0.2581
-1.9775 1.3578 0.2581 , 1
bal bal
bal bal
A B
C D
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û
é ù é ù= =ë û ë û
3.4233 0 0
0 0.315
0.007
9 0
40 0bal balWc Wo
é ùê úê ú= = ê úê úê úë û 0.007
3
4
.4233
vsh 0.3159
é ùê úê ú= ê úê úê úë û
La realización balanceada es:
Los gramianos y los valores singulares son:
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Realizaciones Balanceadas
Se observa en la diagonal de los gramianos (y en el vectorvsh) que el valor singular del tercer estado es mucho máspequeño, en consecuencia ese estado se puede eliminar(los valores singulares de Hankel están relacionados con laenergía de cada estado).
% Continuación del programa anteriorelim = (vsh<1e-2); ss_red = modred(ss_bal,elim);%remove negligible statesAred=ss_red.a; Bred=ss_red.b;Cred=ss_red.c; Dred=ss_red.d;Gred=tf(ss_red);step(G,Gred)
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-0.58 0.83 -2,
-1.3-0.83 - 2.66
-2 1.3 , 1
red red
red red
A B
C D
é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê úê ú ë ûë û
é ù é ù= =ë û ë û
3.423 0
0 0.316red redWc Woé ùê ú= = ê úê úë û
3.423vsh
0.316
é ùê ú= ê úê úë û
La realización balanceada del modelo reducido es:
(2.75 2.93 )
2 2
2
5.45 16 5.45 16( )
( 2.238)( 1)3.23 2.22
s i
reds s s s
G ss ss s
+
+ + + += =
+ ++ +
Los gramianos son:
La función de transferencia del modelo reducido es:
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(3 3 )
3 2 2
3 2
10 42 72 ( 4)( 6 18)( )
( 5)( 2)( 1)8 17 10
s i
s s s s s sG s
s s ss s s
+
+ + + + + += =
+ + ++ + +
(2.75 2.93 )
2 2
2
5.45 16 5.45 16( )
( 2.238)( 1)3.23 2.22
s i
reds s s s
G ss ss s
+
+ + + += =
+ ++ +
Realizaciones Balanceadas
Se comparan las funciones de transferencia original y ladel modelo reducido.
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Respuesta al escalón de las funciones de transferenciaoriginal y la del modelo reducido.
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Comando balanceOtra posibilidad para mejorar el condicionamientonumérico del modelo (A,B,C,D) es utilizar elcomando balance.
[T,Ab] = balance(A)
Se introduce la matriz A del modelo que se quierebalancear, el comando devuelve la matrizbalanceada Ab y la matriz de transformación T.
Ab = inv(T)*A*T=T\A*TBb=inv(T)*B=T\BCb=C*T
DB=D
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é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û
0 1 0 0
0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1
10 17 8 1
A B C D
Ejemplo: El mismo sistema G(s) que vimos anteriormente(3 3 )
23 2
3 2
( 4)( 6 18)10 42 72( )
( 5)( 2)( 1)8 17 10
s i
s s ss s sG s
s s ss s s
+
+ + ++ + += =
+ + ++ + +
clear; clc;A=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];B=[0;0;1];C=[62 25 2]; D=1;[T,Ab]=balance(A);Bb=T\B; Cb=C*T; Db=D;sysb=ss(Ab,Bb,Cb,Db)
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clear; clc;A=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];B=[0;0;1];C=[62 25 2]; D=1;[T,Ab]=balance(A);Bb=T\B; Cb=C*T; Db=D;sysb=ss(Ab,Bb,Cb,Db)
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û
é ù é ù= =ë û ë û
0 2 0 0
0 0 4 , 0
-1.25 -4.25 -8 1
7.75 6.25 2 , 1
b b
b b
A B
C D
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û
0 1 0 0
0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1
10 17 8 1
A B C D