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Universidad Federico Santa MaríaDepartamento de Obras Civiles
Estática de Estructuras (CIV-131)M. Valdebenito
Equilibrio
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Un cuerpo está en equil ibrio cuando las fuerzas externas actuando
forman un sistem a equiv alente de fuerzas nu lo
• Note que definición abarca cuerpos en reposo y en movimiento convelocidad constante
• Equilibrio estático : caso especial – Resultante de fuerzas nula – Cuerpo en reposo
2
0 F 1n
1ii
0 F r M M 2
2
22 n
1nn j j j
nn
1 j j
n
1 j j
Resultante de fuerza
Resultante de momento
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Caso bidimensional
– 3 ecuaciones de equilibrio algebraicas – Por ejemplo:
• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto decualquier pun to
• Existen inf ini tos s is temas de ecuaciones de equilibrio
3
0 F
1n
1ii 0 M
2n
1 j j
0e F 1n
1i xi
0e F 1n
1i yi
0e M
2n
1 j z j
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Condición de Equilibrio
4
00e F 1n
1i xi
0 R R P e F 21n
1i yi
1 0 R3 P
0 L R3 PLe M
2
2
n
1 j z j , A
2
P
L 2LR 1 R 2x
y
z
A B
Sumatoria defuerzas
respecto apunto A
• Caso bidimensional – Note que aunque existan infinitos sistemas de ecuaciones, solo 3
son l inealmente ind ependientes – Ejemplo: cuerpo rígido en equilibrio estático
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio
5
00e F 1n
1i xi
0 R3 P 2
0 L R3 PL2e M
1
1
n
1 j z j , B
2
Sumatoria defuerzas
respecto apunto B 0 R R P e F 21
n
1i yi
1
• Caso bidimensional – Note que aunque existan infinitos sistemas de ecuaciones, solo 3
son l inealmente ind ependientes – Ejemplo: cuerpo rígido en equilibrio estático
P
L 2LR 1 R 2x
y
z
A B
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio
6
Sistema de ecuaciones A Sistema de ecuaciones B
0 R R P 21
0 R3 P 2 0 R3 P 2 1
0 R R P 21 (1A)
(2A)
(1B)
(2B)
• Caso bidimensional – Note que aunque existan infinitos sistemas de ecuaciones, solo 3
son l inealmente ind ependientes – Ejemplo: cuerpo rígido en equilibrio estático
3*(1B) – (2B) 0 R3 P 2
P
L 2LR 1 R 2x
y
z
A B
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Condición de Equilibrio• Caso tridimensional
– 6 ecuaciones de equilibrio algebraicas – Por ejemplo:
• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser calculadas respecto decua lquier pun to
• Existen inf ini tos s is temas de ecuaciones de equilibrio; so lo 6 sonlinealm ente ind ependientes
7
0 F 1n
1ii 0 M
2n
1 j j
0e F 1n
1i xi
0e F 1n
1i yi 0e M
2n
1 j y j
0e F 1n
1i z i
0e M 2n
1 j x j
0e M 2n
1 j z j
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8/27USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio
– Deben incluir tod as las fuerzas externas y todos losmo mentos ex ternos actuando sobre el sistema en estudio
8
F
R2
R1
F
F
R4
R3
R6
R5
– Ejemplo: edificio de marcos de 3 pisos y carga lateral
F
F
F
h
h
h
L L
M1
M2
M1
M2
-
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Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio
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0 R R R F 3e F 6 42n
1i xi
1
0 R R Rh3 LR LR2hF 2hF M M e M 6 423121n
1 j z j , A
2
Sumatoria de fuerzas respecto a punto A
0 R R Re F 531n
1i yi
1
– Ejemplo: edificiode marcos de 3pisos y cargalateral F
R2
R1
F
F
R4
R 3
R 6
R 5
M1
M2
A
x
y
z
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Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio
– Deben incluir tod as las fuerzas externas y todos losmo mentos ex ternos actuando sobre el sistema en estudio
– Fuerzas externas se clasifican en:
• Cargas (o fuerzas activas): se originan por cargas de uso delsistema; generalmente son conocidas. Ejemplo: carga deviento, peso propio, uso, etc.
• Reacciones (o fuerzas reactivas): aparecen en los apoyos
asociadas a restricciones al giro o desplazamiento;generalmente son incógnitas a determinar
– Al aplicar ecuaciones de equilibrio, cargas y reacciones sontratadas de la misma manera (como fuerzas externas)
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio
– Ejemplo: cargas y reacciones en una estructura
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F
F
F
R1
R 2
R 3
M2
R4
R5
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Condición de Equilibrio• Aplicación de ecuaciones de equilibrio
– Cómo se trata la fuerza gravitacional?• Fuerza gravitacional es una carg a (fu erza activ a)• Representación: carga distribuida• Representación alternativa: resultante actuando a través del
centroide
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Pesopropio
Peso propio(fuerzaequivalente)
CL
CL
-
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Condición de Equilibrio• Las ecuaciones de equilibrio pueden ser utilizadas para determinar
incógnitas asociadas a un problema (por ejemplo, reacciones,coordenada que describa posición de equilibrio) – Paso 1: Escoja el sistema a estudiar (puede estar compuesto de
uno o más cuerpos rígidos). Imagine que el sistema es “ aisladodel entorno” y dibuje su forma. Establezca un sistema
coordenado apropiado e identifique dimensiones del sistema
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Lx
y
z
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 2: Dibuje un diagrama de cuerpo libre. Esto es, unarepresentación esquemática de un cierto sistema y las fuerzasque actúan sobre el sistema. Note que el diagrama de cuerpolibre debe incluir todas las fuerzas y momentos
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w
R 1
R2
R3
L
x
y
z
(peso propio porunidad de longitud)
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 2: Identifique todas las fuerzas externas y momentosexternos que actúan sobre la estructura
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Tipos defuerzas externa
Carga
Peso propio
Reacciones • Si un apoyo impide eldesplazamiento en una ciertadirección, el apoyo ejerce unafuerza sobre el sistema en esadirección
• Si un apoyo impide la rotación,entonces el apoyo ejerce unmomento sobre el sistema
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 2: Identifique todas las fuerzas externas y momentosexternos que actúan sobre la estructura
– Las fuerzas con ocid as deben ser dibujadas indicandomagnitud, dirección y sentido
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– Para las fuerzasdesconocidas :
• Fuerza es dibujada endiagrama a través de suscomponentes
• Magnitud es una incógnita• Dirección es asumida
R1
R2
R3
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Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 3: aplique ecuaciones de equilibrio incluyendo todas lasfuerzas externas (incluya fuerzas conocidas y desconocidas)
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w
R1
R2
R3
L
xy
z
wL
R 1
R2
L
L/2
R3
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 3: aplique ecuaciones de equilibrio incluyendo todas lasfuerzas externas (incluya fuerzas conocidas y desconocidas)
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x
y
z
wL
R1
R 2
L
L/2
R3
0 Re F 2
n
1i xi
1
02
Lw L Re M
2
1
n
1 j z j , A
2
Sumatoria de fuerzas respecto a punto A
0 R RwLe F 31n
1i yi
1
2wL
R;0 R;2
wL R 321
A
-
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 3: aplique ecuaciones de equilibrio incluyendo todas lasfuerzas externas (incluya fuerzas conocidas y desconocidas)
– Note que el s igno de la incógnita indica si la dirección asumidapara una fuerza desconocida era adecuado o no
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x
y
z
wL
R1
R 2
L
L/2
R3
2
wL R;0 R;
2
wL R 321
A
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Condición de Equilibrio• Análisis de Equilibrio
– Paso 3: aplique ecuaciones de equilibrio incluyendo todas lasfuerzas externas (incluya fuerzas conocidas y desconocidas)
– Siempre es una buena idea hacer la sumatoria de momentosrespecto de un punto que esté contenido en una o más líneas deacción de las fuerzas (preferentemente, fuerzas desconocidas)
20
x
y
z
wL
R1
R 2
L
L/2
R3
A
B
L/40
2 L
w L Re M 2
1
n
1 j z j , A
2
04
Lw
4 L
R4 L3
Re M 2
31
n
1 j z j , B
2
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Determinación Estática• Grados de libertad
– Corresponden a las diferentes posibilidades que tiene unsistema (ya sea completo o alguna de sus partes) dedesplazarse como cuerpo rígido
– El número de grados de libertad corresponde al núm ero d ecoo rdenadas independientes requeridas para especificar laposición o configuración del sistema
– Caso partícula en espacio bidimensional: 2 grados de libertad
21
x
y 11 y , x
-
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Determinación Estática• Grados de libertad
– Caso partícula en espacio tridimensional: 3 grados de libertad
22
111 z , y , x
x
z
y
-
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Determinación Estática• Grados de libertad
– Caso cuerpo rígido en espacio bidimensional: 3 grados delibertad
– Cuerpo rígido en espacio tridimensional: 6 grados de libertad
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x
y
11 y , x
1
-
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Determinación Estática• Grados de libertad
– Los apoyos de un sistema restringen los desplazamientos decuerpo rígido dism inuyen los g rados d e liber tad dels is tema
– De acuerdo al número de restricciones existentes, sistemas sepueden clasificar de dos maneras
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Tipos desistemas
Mecanismos
Sistemas con
configuraciónde equilibrioestable
Sistemasisostáticos
Sistemashiperestáticos
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Mecanismos• Definición
– Sistemas que carecen de restricciones necesarias para evitardesplazamientos de cuerpo rígido
– Poseen uno o más grados de libertad• Problema habitual
– Determinar configuración de equilibrio
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• Ejemplo: peso W unido a una barra sinpeso; la barra y el disco (también sinpeso) están pivoteados en O. El
resorte no se encuentra deformadocuando θ=0. Determine una expresiónque se cumpla para la posición deequilibrio
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Sistemas Isostáticos• Definición
– Los sistemas que poseen un numero mínimo de requerido deapoyos o vínculos con una disposición adecuada para evitar losdesplazamientos de cuerpo rígido son denominados sis temasis os táti co s o est átic am ent e d eterm in ado s
– Para resolver este tipo de problemas basta con imponer lascondiciones de equilibrio estático
• Problema habitual – Determinar reacciones
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• Ejemplo: determine el valor de lareacción en A, la reacción en B y latensión en el cable OD. No existe roceen ninguna de las superficies lisas
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USM – Estática de Estructuras (CIV-131)
Sistemas Hiperestáticos• Definición
– Los sistemas que poseen más apoyos o vínculos que losnecesarios para mantener una configuración de equilibrioestable se denominan si st em as h ip erest átic os oestáticam ente ind eterm inad os
– Para resolver este tipo de problema se deben incorporar lasleyes constitutivas de los materiales del sistema y lacompatibilidad geométrica.
• Problema habitual – No se analiza en este curso
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• Ejemplo: edificio de 3pisos revisadoanteriormente
F
F
F