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¿Que es la Teoría de la Computación?
Sergio RajsbaumInstituto de Matemáticas, UNAM
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¿Cómo explicar que es la Teoría de la Computación?
• Definiciones• Breve introducción histórica• Ejemplos de problemas• Lista y clasificación de temas
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En pocas palabras¿Que es la Teoría de la Computación?
Los cimientos del edificio
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El Edificio
Ciencia e Ingeniería de la Computación:• conglomerado de disciplinas científicas y de
ingeniería relacionadas -- estudio y aplicación del cómputo.
• Desde– mas puras y básicas disciplinas científicas dedicadas
a los fundamentos de la computación– hasta las de ingenierías dedicadas a aplicaciones
especificas.
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La Teoría de la Computación Pretende
Entender
Estudiando modelos matemáticos relacionados al cómputo
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¿Qué es el cómputo?
– El interés por diseñar métodos y dispositivos para cálculos aritméticos y lógicos es antiguo, pero
– sin entendimiento de la naturaleza del cómputo en general
¿ método, dispositivo?
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10o Problema de Hilbert(Paris, 1900)
un método mediante el cual se puede determinar en un número finito de operaciones”
“diseñar
si un polinomio tiene unaraíz entera
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En 1970 el matemático de Leningrado de 22 años resolvió el problema al probar que no existe tal método
(basado en trabajo de Davis, Putnam y Robinson)
→ Lo cual hubiera sido difícil de lograr para los matemáticosde 1900 con su noción intuitiva de algoritmo …
Yuri Matijasevic
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Alan Turing
En 1936 con la Máquina de Turingformalizó la noción de algoritmo (no tan chico − a la edad de 24 años)
Simultáneamente Alonzo Church con la noción equivalente de lambda-cálculo y otros…
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Máquina de Turing
Inicialmente:– en el estado q0
– con entrada w
Operación, según δ(q,x)=(q’,x’,d):– si esta en estado q sobre el simbolo x
– cambia a q’, sobre-escribe x’ y se mueve una posición (der. o izq.)
…
q
0 01 22
entrada
control finitofunción de transición δ
q0 =
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Máquina de Turing
Formalmente, no es mas que un conjuntode quintupletas que describen la funciónde transición δ
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¡La mayoría de las funciones no son computables!
El conjunto de Máquinas de Turing es numerable; el de todas las funciones no lo es
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Tesis de Church-Turing
Noción intuitivade algoritmo
= Máquina de Turing
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Máquina de Turing Universal
…
q0
0 01 22
Descripción de M
Simula a una Máquina de Turing M
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Máquina de Turing Universal
Feynman’sLectures on Computation
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El Problema de la Detención no es computable
La idea:
¿ Qué pasa si a una M le damos como entradaa ella misma ?!
• No es mas que una diagonalización a la Cantor
Dada una M y una entrada w, M se detiene con entrada w?
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Reducciones
P1 ≤ P2
• Problema P2 es al menos tan difícil como P1
• si P1 se puede resolver con P2 como oráculo
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≤ induce clases de equivalencia
Problema de ladetención
Problemasequivalentesa este
Jerarquíainfinita deproblemasno computables
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El mundo de los problemas computables
1900 … 1936 … 1965
noción formalde cómputo ?
Máquina deTuring
complejidad
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Medir tiempo y espacio como una función del tamaño de la entrada ‘65
Juris Hartmanis, Cornell Richard Stearns, U. Albany
Dado mas tiempo o espacio se pueden computar mas cosas
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Clases de ComplejidadTiempo o Espacio
Jerarquíainfinita deproblemascomputables
Utilizando reducciones
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Eficiente = Polinomial
Para que una solución sea útil
– Su costo en tiempo/espacio debe crecer polinomialmente con respecto al tamaño de la entrada
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Razón de crecimiento de funciones típicas 10 20 30 50 60
n .00001 .00002 .00003 .00005 .00006n2 .0001 .0004 .0009 .0025 .0036n3 .001 .008 .027 .125 .2162n .001 1.0 17.9 m 35.7 d 366 s3n .059 58 m 6.5 a 2*108 s 1.3*1013 s
todas las entradas en segundos [GJ]excepto m=min, d=dias, a=años, s=siglos (Función en micro-segundos)
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El Mundo de la Computación
Jerarquíainfinita deproblemasno computables
Jerarquíainfinita deproblemascomputables
polinomiales
clase P
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La Clase NP
• Para el final de los 60’s, se sabía de una variedad de problemas prácticos para los cuales no había solución polinomial
• Todos tienen un espacio exponencial de soluciones posibles
• Todos se pueden verificar en tiempo polinomial• Ejem: Encontrar un ciclo que pase por todos los
vértices de una gráfica
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¿ P = NP ?
EXP
NP
P
Una de las 7 preguntasdel Premio del Milenio del Clay Mathematics Institutecon $1,000,000
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EXP
NP
P
Resulta que los problemas prácticos mencionados, son los mas difíciles dentro de NP
NP-completos
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El 1er problema NP-completo
Stephen Cook, TorontoProbado en 1971
Leonid Levin, BUProbado en 1973
SAT:Si un predicado booleano se puede satisfacer
)()()( 43132141 xxxxxxxx ∨∨¬∧¬∨¬∨∧∨
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En ‘73 ocho problemas centrales en combinatoria probados NP-completos
• Reducciones: • Si P es NP-completo,• P’ es NP y P ≤ P’ ent. • P’ tambien
Richard Karp
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Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos
• Isomorfismo de gráficas • Primalidad• Programación lineal
EXP
NP
P
NP-completos
?
P ≠ NP =>num. ∞ de clases, inclusivealgunas no comparables entre si
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Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos
• Isomorfismo de gráficas • Primalidad• Programación lineal Siguieron abiertos hasta
’79 cuando aparece el libro de Garey-Johnson
PL en P ’84, por Karmarkar
Prim en P ’02, por Agarwal y estudiantes Saxena, Kayal
Narendra KarmarkarNitin Saxena Neeraj KayalManinda Agarwal(der a izq)
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Isomorfismo de Gráficas Sigue Abierto
• Probablemente no en P
• Probablemente no sea NP-completo
─ es sensitivo localmente: si existe un isomorfismo, y se cambia un poquito la gráfica, deja de haberlo
─ si lo fuera se colapsa la jerarquía polinomial
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Ejemplos clásicosP NP-completo
Camino mas corto entre u,v Camino mas largo entre u,v
Cubrir vértices con el menor número de aristas
Cubrir aristas con el menor número de vértices
Apareamiento de aristas Apareamiento de 3-aristas
Digráfica equivalente mínima(preserva conectividad entre todo u,v)
Subgráfica equivalente mínima
¿G es k-coloreable? G de comparabilidad; G de grado ≤ 3
G arbitraria:Para toda 3≤k fija; para k=3 en gráficas planas
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¿Que es la Teoría de la Computación?
Pero volvamos a nuestra pregunta original
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Se Divide en Dos
I. Teoría de la Programación– Estudiar los lenguajes para implementar
los cómputos
II. Teoría del Cómputo– Entender la naturaleza del cómputo, sus
posibilidades y limitaciones– Y el objeto del cómputo, la
información
Teoría de la Computación
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I. Teoría de la Programación
• Modelos de cómputo• Lenguajes de programación• Semántica de lenguajes• Estilos de programación- Lógica, funcional…• Concurrencia• Especificación y verificación• Lógica y computación• Representación del conocimiento, bases de
datos
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II. Teoría del Cómputo
El estudio de la propiedades generales del cómputo, ya sea
natural, artificial, o imaginario
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• ¿Qué es un dispositivo de cómputo?– Secuencial, paralelo, distribuido, biológico, quántico
• ¿Cuál es el costo de un cómputo?– Tiempo, espacio, comunicación, tamaño del programa
• ¿ Qué se puede computar eficientemente y que no?– Ciclo mas corto vs. ciclo mas largo
• ¿ Como clasificar a todos los problemas de acuerdo a su dificultad?– Una jerarquía infinita y densa de clases de complejidad
• ¿ Qué no se puede computar?– Si un programa es correcto o no
• ¿ Qué es la información?– Como se mide, como se comprime y que tanto, – cual es la información de 01010101010101010 vs. 00101111000101100
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Entender mejor el mundo, desde nuestra
perspectiva de computólogos
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El Dilema del Esquiador
No sabe cuantos días va a querer esquiar. ¿Comprar o Rentar?
• Renta de esquís cuesta $1 por día. Comprarlos $10.• Lo óptimo es rentar hasta el día 10, y luego comprar
Análisis de Algoritmos En-Linea
¿donde estuvo la computadora? Pero hay aplicaciones- memoria cache
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Mas Ejemplos:• Aparentemente hay funciones fáciles de calcular
pero difíciles de invertir (cripto)– e.g. multiplicar vs. factorizar
• Aparentemente hay problemas mucho mas fáciles de verificar que de resolver (P vs NP)– e.g. partir un conjunto de pesas en dos subconjuntos
que pesen lo mismo • La aleatoriedad puede ser expandida
arbitrariamente– usar una semilla chica para generar números
pseudoaleatorios• Una prueba de un enunciado puede no enseñarte
nada mas que la validez del enunciado – e.g este mapa se puede colorear con k colores
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Y mas Ejemplos:
• Pruebas holográficas– Forma en la cual cualquier prueba puede ponerse, tal
que cualquier error se puede detectar (probabilisticamente) viendo solo una fracción pequeña de ella
– Pruebas tradicionales tiempo cuadrático (en su tamaño); estas toman tiempo polilogarítmico
– El log2 del numero de átomos en el universo es < 300 !
• Robótica– Un agente sin memoria puede moverse sobre una
gráfica y detectar su conexidad
Jorge Urrutia
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Computación molecular:
• Solución de problemas NP completos – usando paralelismo masivo con DNA
• Diseño de drogas inteligentes– midiendo y corrigiendo la expresión genética
Ricardo Strausz
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Computación Distribuida
Ejecuciones
Las ejecuciones de un algoritmo distribuido preservanLa topología de las entradas posibles, dependiendo del nivel de tolerancia a fallas del sistema
Entradas
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Ejemplos muy prácticos
• El dilema de la memoria cache– Se tiene una cache (rápida pero cara) para k
páginas– Se va llenando con páginas del disco (lento
pero barato)– Una vez llena, cuando se pide una página que
no esta en el cache ¿cual sacar? La que haya estado en la memoria mas tiempo
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Cache en el Web
• Poner copias de páginas usadas en lugares estratégicos de la Red
• caches en diversas partes de Internet
• Akamai, compañía fundada por un profesor de teoría de MIT T. Leighton y su alumno
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• Búsqueda basada en la importancia de una página: una liga de A a B se interpreta como un voto de A a B. Se obtiene la importancia de la página resolviendo una ecuación de + 500 millones de variables y 200 millones de términos
• Más de 60 doctores, además de asesores como R. Motwani, J. Ullman, profesores de teoría de Stanford
• “Google bombing”» NYT January 22, 2004
![Page 48: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/48.jpg)
• En el Web: “Theoretical Computer Science On The Web”• Handbook of Theoretical Computer Science
– Vol. A: Algorithms and Complexity– Vol. B: Formal Models and Semantics
• Revistas: Journal of the ACM• Congresos: ACM STOC, IEEE FOCS, ICALP
• Artículos:– Goldreich, A Brief Introduction to the Theory of Computation
Referencias
![Page 49: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/49.jpg)
• Sipser, Intro. Theory of Computation• Garey-Johnson, Computers and Intractability• Schoning, Pruim, Gems of Theoretical CS• Hromkovic, Theoretical CS• Kozen, Theory of Computation• Goldreich, Computational Complexity: a
Conceptual Perspective
Libros
![Page 50: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/50.jpg)
Conclusiones
• De una Máquina de Turing a muchas
• ¿Para que la Teoría de la Computación ?
![Page 51: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/51.jpg)
Ramon Llull Mallorca, 1232-1316
• Ars Magna, para automatizar todo el razonamiento
If understanding followed no rule at all, there would be no good in the understanding nor in the matter understood, and to remain in ignorance would be the greatest good
The Hundred Names of God
![Page 52: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/52.jpg)
Ramon Llull Mallorca, 1232-1316
• En realidad, con el Ars Magna, pretendía apoyar la comunicación intercultural entre cristianos, judíos y musulmanes
• Una herramienta para discusión mediante comunicación, en lugar de mediante la fuerza
• La verdad no puede ser hallada mediante cómputo, sino mediante comunicación
![Page 53: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/53.jpg)
Gottfried LeibnizLeipzig, 1646-1716
• Descubrió el sistema binario• Buscaba un alfabeto para todo el
pensamiento humano y un cálculo para manipular estos símbolos
Compartió el sueño de Llull la coexistencia pacifica entre personas de diferentes culturas, religiones y nacionalidades
![Page 54: ¿ Que es la Teoría de la Computación?](https://reader037.vdocuments.co/reader037/viewer/2022102718/56812b65550346895d8f87e8/html5/thumbnails/54.jpg)
Lo ambicioso del plan de la formalización de todo el razonamiento humano
Si resultara que la lógica básica de una máquina diseñada para la solución numérica de ecuaciones diferenciales coincidiera con la lógica de una máquina para sacar cuentas de una tienda comercial, me parecería esto la coincidencia más sorprendente que jamás me haya encontrado
Howard Aiken, 1956
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El Entusiasmo del sueño de la comunicación
• Por 1era vez, las redes telegráficas de Europa y Norteamérica se conectaron, mediante un cable submarino agosto 5, 1858
“A Thread Across the Ocean” Steele
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El Entusiasmo del sueño de la comunicación
• Celebraciones al borde de la histeria
It is impossible that old prejudices and hostilities should longer exist, while such an instrument has been created for the exchange of thought between all the nations of the world
Briggs, Maverick 1858
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Y el Entusiasmo Continua
• Michael Dertouzos cuando fuera jefe del LCS de MIT en 1997
A common bond reached through electronic proximity may help stave off future flareups of ethnic hatred and national breakups
Libro “What Will Be”
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¿ Para qué estudiarTeoría de la Computación?
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¿ Para qué estudiarTeoría de la Computación?
• Una formación más sólida, un computólogo más profesional
• Problemas matemáticos interesantes• Mejorar aplicaciones
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When you want to build a ship,then do not drum the men togetherin order to procure wood,to give instructions or to distribute the workbut teach them longing for the wide endless
sea.A. de Saint-Exupéry
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Para qué estudiarTeoría de la Computación?
• Una formación más sólida, un computólogo más profesional
• Desarrollo y uso de herramientas complejas• Seguir adelante a un doctorado• Dedicarse a la teoría de la computación en
investigación y docencia• Evitar vergüenzas …
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Autoexamen de Conciencia (lenguajes)
¿Hay cosas programables en unos lenguajes pero no en otros?
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Autoexamen de Conciencia (computadoras)
¿Hay cosas que unas computadoras pueden hacer pero no otras?
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F I N
Gracias por su atención