Triángulos. Congruencia y semejanza.
En esta sección vamos a estudiar en mayor detalle los triángulos
y algunas de sus propiedades más importantes. En primer lugar
recordemos la definición de triángulo.
Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo △ABC
es la unión de los segmentos AB, BC y CA.
Figura 1: Triángulo △ABC
Definición. De acuerdo a los tamaños relativos de sus lados un triángulo
puede ser
1. Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
2. Isósceles, si tiene al menos dos de sus lados iguales.
3. Escaleno, si todos su lados son de distintos tamaños.
Definición. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángu-
los recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otro dos
lados se llamana catetos.
Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son congruentes (escri-
bimos △ABC ≡ △A ′B ′C ′) si sus lados correspondientes son iguales y sus
ángulos correspondientes también.
Figura 2: Triángulos congruentes
Observación. Note que lo que importa es que tres lados y tres ángulos
correspondan, no el orden en que estén colocados.
Criterios de congruencia de triángulos.
El siguiente postulado establece que para verificar la congruen-
cia de triángulos basta con comparar sólo algunos de los lados o
matemática iii - ciu geometría 15
ángulos. En realidad, de nuevo este postulado se puede demostrar
como teorema, pero tal demostración estaría fuera del alcance de este
curso.
VII Dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las si-
guientes condiciones (cada condición por separado garantiza que
los triángulos son congruentes)
1. Tienen sus tres lados iguales (LLL)
2. Tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales
(LAL)
3. Tienen un lado y los ángulos adyacentes iguales (ALA)
En lo que sigue utilizaremos las siglas entre paréntesis para indicar la
condición correspondiente.
El siguiente teorema recibe el nombre Pons Asinorum, que significa
“el puente de los burros”.
Teorema. [Pons Asinorum] El triángulo △ABC es isósceles, con |AB| =
|AC|, si y sólo si los ángulos β y γ, opuestos a AC y AB, respectivamente,
son iguales.
Demostración. Primero comentamos que por ser el teorema un “si
y sólo si", tenemos que mostrar que la primera condición (que el
triángulo es isósceles) implica la segunda (que los ángulos menciona-
dos son iguales), y también la implicación recíproca: que la segunda
condición implica la primera. Usualmente se dice que es una doble
implicación y se usa el símbolo⇔ para representar la frase “si y sólo
si".
En primer lugar probemos la implicación [⇒], es decir, que si el
triángulo es isósceles los ángulos mencionados son iguales. Como
suponemos que el triángulo es isósceles, se tiene |AB| = |AC|.
Figura 3:
Esto dice que el punto A está en la mediatriz de BC. Dicha me-
diatriz corta al segmento en el punto M y se tiene que |MB| = |MC|,
entonces por el criterio LLL los triángulos △AMC y △ABM son
congruentes. Se concluye que β = γ. Listo.
Ahora veamos la otra dirección [⇐], es decir, que si los ángulos
son iguales entonces el triángulo es isósceles. Consideremos r una
perpendicular a BC por A, y M el punto de corte entre r y el segmen-
to. Se forman dos triángulos △AMC y △ABM.
Figura 4:
Sabemos que los ángulos entre r y el segmento BC son rectos.
Entonces como estamos suponiendo que β = γ y sabiendo que los
ángulos internos de un triángulo suman π, se tiene que α1 = α2.
Pero el lado AM es común a los dos triángulos y los ángulos adya-
centes son iguales, entonces por el criterio ALA, esos dos triángulos
matemática iii - ciu geometría 16
son congruentes, lo que implica que |AB| = |AC|, de manera que el
triángulo △ABC es isósceles.
Para estudiar el concepto de semejanza de triángulos necesitamos
un poderoso teorema cuyo autor es Thales de Mileto y que enuncia-
mos sin demostración.
Teorema. [Teorema de Thales] Si dos rectas cualesquiera r y r ′ son cortadas
por rectas paralelas entre sí, los segmentos producidos en cada una de las dosrectas por los cortes con las paralelas son proporcionales:
Figura 5: Teorema de Thales
|AB|
|A ′B ′|=
|AC|
|A ′C ′|=
|CD|
|C ′D ′|= · · ·
Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son semejantes (escribi-mos △ABC ∼ △A ′B ′C ′) si tienen sus ángulos correspondientes iguales ysus lados correspondientes proporcionales
La figura indica que △ABC ∼ △A ′B ′C ′ si y sólo si
α = α ′, β = β ′, γ = γ ′ ya
a ′=
b
b′=
c
c ′
Figura 6: Triángulos semejantes
Sin embargo, gracias al siguiente teorema, para verificar la seme-
janza basta considerar sólo los ángulos de los triángulos involucra-
dos.
Teorema. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son semejantes si y sólo sitienen sus ángulos correspondientes iguales.
Demostración. [⇒] Si △ABC ∼ △A ′B ′C ′ entonces la definición de
semejanza indica que α = α ′, β = β ′ y γ = γ ′.
[⇐] Sabiendo que los ángulos son iguales, debemos demostrar que
los lados son proporcionales. Siguiendo la figura de la derecha,
Figura 7:
construimos un triángulo congruente a △A ′B ′C ′ sobre los lados
AB y AC de modo que el punto A coincida con A ′. Entonces BC es
paralelo a B ′C ′ y el teorema de Thales nos dice que
|AB|
|A ′B ′|=
|AC|
|A ′C ′|
matemática iii - ciu geometría 17
De manera análoga, podemos construir un triángulo congruente a
△A ′B ′C ′ sobre los lados AB y BC de modo que el punto B coincida
con B ′ como muestra la otra figura
Figura 8:
y nuevamente el teorema de Thales implica que
|AB|
|A ′B ′|=
|BC|
|B ′C ′|
lo que muestra que los tres lados son proporcionales.
Pero podemos ir más allá. Ahora estamos en condiciones de de-
mostrar otros criterios de semejanza de triángulos que nos dan flexi-
bilidad a la hora de verificar si dos triángulos lo son, y el número de
comparaciones a realizar sigue siendo muy reducido.
Corolario. [Criterios de semejanza de triángulos]
1. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen dos ángulos iguales.
2. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen un ángulo igual y los
dos lados adyacentes proporcionales.
3. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen los tres pares de lados
homólogos proporcionales.
Demostración. En los tres casos denotaremos los triángulos por
△ABC y △A′B′C′. Observamos que sólo hace falta demostrar el "si"
([⇐]) porque el "sólo si" ([⇒]) es cierto por la definición de triángulos
semejantes.
1. Si tienen dos ángulos iguales es obvio el tercer ángulo también va
a ser igual porque
α+β+ γ = π y α′ +β′ + γ′ = π
entonces por el teorema anterior son semejantes
2. Ahora tienen un ángulo igual, digamos α = α ′, y dos lados ad-
yacentes proporcionales, digamos |AB|/ |A ′B ′| = |AC|/ |A ′C ′|.
Como hicimos anteriormente construimos un triángulo congruente
a △A ′B ′C ′ sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coin-
cida con A ′, cómo en la figura. Si trazamos una paralela a B ′C ′
que pase por B, sea C ′′ el punto donde ella corta a AC. Entonces
por el Teorema de Thales se cumple que
Figura 9:
|AB|
|A ′B ′|=
|AC ′′|
|A ′C ′|
que junto con|AB|
|A ′B ′|=
|AC|
|A ′C ′|
matemática iii - ciu geometría 18
implica que |AC| = |AC ′′|, es decir que C = C ′′ y por el postu-
lado VI el ángulo en B es igual al ángulo en B ′ y el ángulo en C
es igual al ángulo en C ′. En conclusión, los dos triángulos son
semejantes.
3. Si|AB|
|A ′B ′|=
|AC|
|A ′C ′|=
|BC|
|B ′C ′|
construyamos un triángulo △AB ′′C ′′ con el mismo ángulo α, tal
que |AB ′′| = |AB ′| y |AC ′′| = |AC ′| como en la figura. Si trazamos
una paralela a←−→AB ′′ por C, tenemos que |CB| = |DB ′′|, y por el
Teorema de Thales tenemos además que
Figura 10:
|DB ′′|
|C ′′B ′′|=
|CB|
|C ′′B ′′|=
|AC|
|A ′′C ′′|=
|AC|
|A ′C ′|
que por hipótesis indica que |C ′′B ′′| = |C ′B ′| y por lo tanto los
triángulos △AB ′′C ′′ y △A ′B ′C ′ son congruentes de manera que
△ABC ∼ △AB ′′C ′′ ≡ △A ′B ′C ′
Vale la pena mencionar que la relación de congruencia de triángu-
los es un caso particular de la semejanza de triángulos. Cuando dos
triángulos son congruentes es porque son semejantes con proporción
entre sus lados igual a 1.
Podemos ahora enunciar y demostrar un famoso teorema que
usamos frecuentemente, el teorema de Pitágoras.
Teorema. [Pitágoras] En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Demostración. Por el vértice A correspondiente al ángulo recto se tra-
za una perpendicular al lado BC opuesto a dicho ángulo. Se obtiene
un segmento AD. Observemos que los triángulos △ABC y △ABD
son semejantes por tener dos de sus ángulos iguales (β y el ángulo
recto). De manera análoga son semejantes los triángulos △ABC y
△ADC, por tener también dos de sus ángulos iguales (en este caso γ
y el ángulo recto). Entonces se tiene por un lado
Figura 11: Teorema de Pitágoras
c
|BD|=
a
c
y por otrob
|DC|=
a
b
de donde se obtiene c2 = a · |BD| y b2 = a · |DC|.
Luego b2 + c2 = a (|BD|+ |DC|) = a · a = a2.
matemática iii - ciu geometría 19
Un corolario interesante que es útil recordar es el siguiente:
Corolario. En una figura como la anterior se tiene que
|BD| · |DC| = |AD|2
Demostración. La demostración es sencilla. Aplicando el teorema dePitágoras al triángulo △ADC tenemos
|AD|2 + |DC|2 = b2
ahora lo mismo para el triángulo △ABD:
|AD|2 + |BD|2 = c2
y ahora sumamos esas dos igualdadas para obtener:
|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = b2 + c2 = a2
donde la última igualdad es la tercera aplicación del teorema, estavez al triángulo △ABC. Pero a = |BD|+ |DC|, quedando:
|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = (|BD|+ |DC|)2 = |BD|2 + 2 |BD| |DC|+ |DC|2
donde la última igualdad es por el producto notable. Cancelamos|DC|2 y |BD|2, luego dividimos por 2 a ambos lados y logramos lobuscado:
|AD|2 = |BD| |DC|
Ejercicios
1. Sea △ABC un triángulo cualquiera, r una recta paralela a←→BC que
pasa por A y d una paralela a←→AC que pasa por B. Sea C ′ el punto
de intersección de r y d. Demuestre que C ′A ≡ BC y C ′B ≡ AC.¿Cuánto mide el ángulo en C ′?
2. En el gráfico adjunto suponga que |AB| = 1, |BC| = 2 y |CD| = 3
Determine cuánto vale:
a)|A ′B ′|
|B ′C ′|c)
|A ′D ′|
|C ′D ′|e)
|A ′′B ′′|
|A ′′C ′′|g)
|B ′D ′|
|A ′C ′|
b)|A ′′′D ′′′|
|C ′′′D ′′′|d)
|B ′′C ′′|
|C ′′D ′′|f)
|A ′′′D ′′′|
|D ′′′B ′′′|h)
|A ′′D ′′|
|C ′′D ′′|
Figura 12:
matemática iii - ciu geometría 20
3. En el triángulo △ABC se tiene que B ′C ′ es paralelo a BC y
|AB ′| = |B ′B|. ¿Cuánto valen las distancias de A a C ′ y de C ′ a
C?
Figura 13:
4. Considere el trapecio ABCD adjunto. Si E y E ′ son puntos medios,
¿cómo es la recta←→EE ′ con respecto a la base AB?
Figura 14:
5. En el triángulo adjunto se tiene que DE es paralelo a BC y |AC| =
8,1 cm. Calcule |AE| y |EC|.
Figura 15:
Ángulos en la circunferencia.
En la sección anterior usamos un arco de la circunferencia de ra-
dio 1 para definir la medida de un ángulo con vértice en el centro.A cualquier ángulo que tenga como vértice el centro de una circun-ferencia lo llamaremos un ángulo central. Usualmente, para evitar laredundancia y proliferación de notación innecesaria, se da la medidade un ángulo central como la del arco correspondiente de circunfe-
rencia. Por ejemplo, si decimos⌢
AB = 30◦, queremos decir que elángulo central correspondiente al arco de circunferencia entre A y B
mide treinta grados.A un segmento que une dos puntos de una circunferencia se la
llama una cuerda. Cuando una cuerda pasa por el centro se le llamaun diámetro.
Figura 16: Cuerdas en una circunferen-cia
En la figura de la derecha se aprecian varias cuerdas: AB, DE y EF.De ellas, DE es un diámetro.
Cuando dos cuerdas tienen un extremo en común, se dice que elángulo que se forma entre ellas, con vértice en dicho punto, es unángulo inscrito en la circunferencia. En la figura anterior, el ángulo∠FED es un ángulo inscrito en esa circunferencia. Existe una relaciónmuy útil entre la medida de este ángulo y la del ángulo central quecorta el mismo arco:
Figura 17: Ángulo inscrito en unacircunferencia
Proposición. [Ángulo inscrito] Un ángulo inscrito en una circunferencia,
como en la figura de la derecha, corta un arco de circunferencia⌢
AB. Enton-
ces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central
que corta el mismo arco⌢
AB. Es decir
α =ω
2
Demostración. La haremos considerando varios casos.Primero el caso en que un lado del ángulo inscrito es un diámetro,
como se muestra en la figura de la derecha. Como el triángulo △PCB
es isósceles, los ángulos denotados con α son iguales, recordar PonsAsinorum. Como la suma de los tres ángulos de △PCB es igual a π,tenemos que
2α+ω′ = π
matemática iii - ciu geometría 22
pero, como ω y ω′ son suplementarios, también tenemos:
Figura 18: Primer caso, un lado delángulo es un diámetro
ω+ω′ = π
y de esas dos ecuaciones se deduce que 2α = ω, que es el resultado
buscado.
En segundo lugar supongamos que el centro de la circunferencia
es interior al ángulo inscrito. En la figura de la derecha se observa có-
mo, trazando un diámetro por el punto P, se obtienen dos instancias
del caso anterior, una que relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona
α2 con ω2. Se tiene que
Figura 19: Segundo caso, el centro esinterior al ángulo inscrito
α1 =ω1
2y α2 =
ω2
2
pero α = α1 +α2 y ω = ω1 +ω2, lo que implica que
α = α1 +α2 =ω1
2+
ω2
2=
ω
2
obteniéndose de nuevo el resultado buscado.
Finalmente el caso en que el centro de la circunferencia es exterior
al ángulo inscrito. En la figura de la derecha fíjese que los ángulos
destacados son α1 = ∠APC, α2 = ∠BPC, ω1 = ∠ACD y ω2 =
∠BCD y de nuevo se obtienen dos instancias del caso inicial, una que
relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona α2 con ω2. Se tiene que
α1 =ω1
2y α2 =
ω2
2
Figura 20: Tercer caso, el centro esexterior al ángulo inscrito
Pero en este caso el ángulo inscrito es α = α1 − α2 y el ángulo
central es ω = ω1 −ω2, lo que implica que
α = α1 −α2 =ω1
2−
ω2
2=
ω
2
obteniéndose una vez más el resultado deseado.
Como esos son todos los casos posibles, hemos demostrado que la
relación se cumple siempre.
Como una consecuencia directa del resultado anterior se obtiene
un hecho muy conocido y usado frecuentemente:
Hecho. Si AB es un diámetro de una circunferencia y X es un punto cual-
quiera de la misma, distinto de A y de B, entonces el ángulo ∠AXB es recto.
Figura 21: Arco capaz del ángulo recto
Esto es porque el ángulo central correspondiente al arco⌢
AB es
llano, es decir, su medida es π.
Hemos establecido la proporción entre un ángulo inscrito en una
circunferencia y el ángulo central que corta el mismo arco. Ahora
consideramos el caso de un ángulo exterior a la circunferencia.
matemática iii - ciu geometría 23
Definición. [Ángulo exterior] Un ángulo exterior a una circunferencia
es aquel que tiene su vértice fuera del círculo correspondiente y cuyos lados
cortan a la circunferencia.
Para ángulos exteriores tenemos el siguiente resultado.
Proposición. [Ángulo exterior] Consideremos un ángulo exterior α a
una circunferencia y supongamos que los lados del ángulo cortan dos arcos
de circunferencia⌢
AB y⌢
CD, como muestra la figura de la derecha. Sea θ el
ángulo central correspondiente a⌢
AB y φ el correspondiente a⌢
CD. Entonces
se tiene
Figura 22: Ángulo exterior a unacircunferencia
α =φ− θ
2=
φ
2−
θ
2
Demostración. Basta aplicar apropiadamente el resultado anterior.En la figura de la derecha, por claridad resaltamos ciertos ángulos yomitimos φ y θ. En el triángulo △PCA, la suma de los ángulos debeser π, es decir, α + γ + (π− δ) = π (¿de dónde sale π − δ?). Estosignifica que α+ γ− δ = 0, o equivalentemente, α = δ− γ. Pero δ esun ángulo inscrito con ángulo central correspondiente φ, de maneraque, por el resultado anterior, δ = φ/2, y el ángulo γ es tambiéninscrito con ángulo central θ, es decir γ = θ/2. Juntando todo estotenemos:
Figura 23: Reducción al resultadoanterior
α = δ− γ =φ
2−
θ
2=
φ− θ
2
y obtenemos la igualdad planteada.
Observación. Vale la pena resaltar que el resultado es válido cuandoun lado es tangente a la circunferencia y cuando los dos lo son. Sesugiere hacer diagramas de estos dos casos.
Finalmente consideramos el caso de un ángulo interior a la circun-ferencia, que es aquel que tiene su vértice dentro del círculo corres-pondiente.
En este caso tenemos:
Proposición. [Ángulo interior] Consideremos un ángulo interior α a una
circunferencia y supongamos que los lados (prolongados) del ángulo cortan
dos arcos de circunferencia⌢
AB y⌢
CD, como muestra la figura de la derecha.
Sea θ el ángulo central correspondiente a⌢
AB y φ el correspondiente a⌢
CD.
Entonces se tiene
Figura 24: Ángulo interior a una circun-ferencia
α =φ+ θ
2=
φ
2+
θ
2
Ejercicio. Hacer la demostración de este caso. Basta considerar la suma de
los ángulos del triángulo △PBC.
matemática iii - ciu geometría 24
De estos resultados se deriva una muy útil construcción. Conside-remos una circunferencia con una cuerda AB y un ángulo inscrito α
que corta el arco⌢
AB. Sea X el vértice de α. Si dejamos el segmentoAB fijo y movemos X sobre la circunferencia, es claro que el ángulo α
permanece constante. Esto es porque dicho ángulo es igual a la mitaddel ángulo central que es siempre el mismo. En esta situación se diceque α es el ángulo con el que se ve el segmento AB desde X.
Figura 25: Ángulo con el que se ve unsegmento
También se puede observar que si X se coloca dentro del círculo, elángulo obtenido será mayor que α, mientras que si X se coloca afueradel círculo, el ángulo formado será menor que α.Podemos darle la vuelta a esta construcción considerando aquellos
puntos del plano desde los cuales se ve un segmento con un ángulofijo dado. Tenemos la siguiente definición:
Definición. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, el
conjunto de los puntos del plano desde los cuales se ve AB con ángulo α
consiste de dos arcos simétricos de circunferencia. Cada uno de ellos se llama
arco capaz del segmento AB y el ángulo α. Podemos escribir ese conjunto
así:
Figura 26: Arco capaz del segmento AB
y el ángulo α
{X | ∠AXB = α}
matemática iii - ciu geometría 25
Construcciones con regla y compás
Las construcciones con regla y compás nos ayudan a familiarizar-nos con la Geometría de manera más estrecha. La regla nos permite
trazar rectas, en particular rectas que pasan por dos puntos. En este
caso la regla no es graduada, no nos permite medir distancias. El com-
pás es un instrumento que permite dibujar circunferencias de centro
y radio dados, y también nos permite medir distancias, usando sus
extremos. Cuando se pide que construyamos algo con regla y com-
pás, la respuesta debe ser una descripción clara del procedimiento a
seguir, una vez que hemos visualizado mentalmente cómo hacerlo. Se
puede acompañar la explicación de diagramas que ayuden a seguir
los pasos. A continuación mostramos algunos ejemplos. Se sugiere
reproducir estos procedimientos con una regla y compás de verdad,
para asegurarse de comprender su funcionamiento.
Ejemplo. [Segmento congruente] Dado un segmento AB, construir
otro segmento congruente al dado.
Trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto A ′. Con el
compás, haciendo centro en A, medimos la longitud de AB. Luego
hacemos centro en A ′ con el compás abierto esa distancia y marca-
mos sobre la recta r un punto B ′ de manera que el nuevo segmento
A ′B ′ es congruente a AB.
Figura 27: Construcción de un segmen-to congruente
Ejemplo. [Ángulo congruente] Construir un ángulo congruente a un
ángulo α de lados a′ y b′.
Haciendo centro en el vértice V , trazamos un arco arbitrario que
corte a los lados en A y B, respectivamente. Ahora trazamos una
recta cualquiera r y sobre ella un punto V ′. Con centro en V ′ traza-
mos el mismo arco haciendo que corte a r en A ′. Luego medimos la
distancia de A a B con el compás. Haciendo centro en A ′ llevamos
la distancia medida sobre el nuevo arco obteniendo el punto B ′. El
ángulo ∠A ′V ′B ′ es congruente con α.
matemática iii - ciu geometría 26
Figura 28: Construcción de un ángulocongruente
Ejemplo. [Bisectriz de un ángulo] Construir la bisectriz de un ángu-
lo α de lados a′ y b′.
De nuevo, haciendo centro en el vértice V , trazamos un arco arbi-
trario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Luego pone-
mos la amplitud del compás un poco más corta que la distancia de A
a B con tal de que sea mayor que la mitad de dicha distancia. Con la
punta en A trazamos un arco de circunferencia que corte dos veces
a la semirrecta a′ y con la punta en B hacemos lo mismo pero ahora
el arco corta dos veces a la semirrecta b′. Ahora unimos cualquiera
de los puntos de corte de estos arcos con el vértice V , obteniendo la
bisectriz.
Figura 29: Construcción de la bisectrizde un ángulo
Observación. En realidad, los arcos de circunferencia trazados no
tienen que ser tan amplios, basta con que se corten en algún punto.
Ejemplo. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, cons-
truir su arco capaz.
Primero nos referimos a la figura de la derecha y observamos que
si consideramos una secuencia de puntos X1, X2, X3, etc. que están
sobre la circunferencia y se acercan hacia A, los segmentos secantes
AXi se van convirtiendo en la tangente t a la circunferencia, mientras
que el ángulo α permanece siempre igual. Se observa entonces que el
ángulo con vértice en A, formado por el segmento AB y la recta t es
α.
Figura 30:
matemática iii - ciu geometría 27
Además tenemos que la mediatriz del segmento AB y la perpendi-
cular a la recta t por el punto A pasan por el centro de la circunferen-
cia.
Figura 31: Construcción del arco capaz
Ahora estamos listos para describir la construcción con regla ycompás. Primero construimos un ángulo congruente a α en el ex-
tremo A del segmento AB, con ello obtenemos la recta t (se puede
trazar con la regla). Luego trazamos la perpendicular a t por el punto
A (ver ejercicio 2.b) abajo). A continuación trazamos la mediatriz delsegmento AB (ver ejercicio 2.a) abajo). El centro de una rama del arcocapaz será la intersección de estas dos rectas. Podemos trazar el arcoponiendo una punta del compás en el centro y otra en el punto A.
Para trazar la otra rama del arco capaz, repetimos el proceso pero
dibujando α en el mismo extremo A pero al otro lado del segmento
AB.
Ejercicios
1. Para cada una de las figuras a continuación, obtenga la medida delos ángulos pedidos
a)⌢
AB = ?⌢
BA = ? b) α = ?⌢
BC = ? c)⌢
BA = 70◦ α = ? d)⌢
AD = 140◦ α = ?
e) α = ? β = ? f) α = ? g)⌢
AC = 100◦⌢
BD = ? h) α = ?
matemática iii - ciu geometría 28
i) α = ? j)⌢
CA = 55◦⌢
DB = ? k)⌢
TC = ? l) α = ?
m) α = ? n)⌢
QR = ? o) α = ?
p) α = ? q) α = ? r) α = ?
matemática iii - ciu geometría 29
s) α = ? β = ? t) α = ?
2. Construir con regla y compás
a) La mediatriz de un segmento AB.
b) La perpendicular a una recta r por un punto P ∈ r y la perpen-
dicular a la recta r por un punto Q /∈ r.
c) La paralela a una recta r por un punto Q /∈ r.
3. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que
sus lados son congruentes a tres segmentos dados AB, AC y BC.
4. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que
un lado es congruente a un segmento dado AB, y los dos ángulos
adyacentes a ese lado son congruentes con ángulos dados α y β.