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Dossier 4º ESO Mate Académicas CIENCIAS: “VOLUNTARIO”

by Javi Aura 1

Dossier 4º ESO Matemáticas Académicas

CIENCIAS

“VOLUNTARIO”

Índice • Tema 1: números reales • Tema 2: expresiones algebraicas • Tema 3: ecuaciones y sistemas • Tema 4: inecuaciones • Tema 5: trigonometría • Tema 6: vectores • Tema 7: límites y continuidad • Tema 8: combinatoria • Tema 9: probabilidad • Tema 10: estadística


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Tema 1: números reales Ejercicio 1: Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu respuesta.

a)

5√324 es un número irracional

b) − 3819 es un número racional

c)Todas las raíces de índice par son números irracionales

d) La suma de dos números racionales es siempre un número racional.

e) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional.

f) Todo número entero es también número racional y real.

Ejercicio 2: En una clase de ciencias, 49 han elegido biología y el 43% física. ¿Qué asignatura es la más

elegida?

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) x=0001,0log b) x=3

3 9log c) 416log =x d) 2log5 −=x

Ejercicio 4: ¿Cuáles de los siguientes números son naturales?

a)

b)

c)


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d)

e)

f)

g)

h)

Ejercicio 5: Realiza las siguientes operaciones:

a) b)

c) d)

Ejercicio 6: Un profesor dio las notas del examen de esta unidad: “El 40% de la clase ha suspendido. Tres cuartos del resto ha aprobado, pero sin llegar al sobresaliente. Los 6 que quedan han sacado sobresaliente”. ¿Cuántos alumnos hay en clase de dicho profesor?

Ejercicio 7: Si 2311−

=A y 3211−

=B ¿Cuánto vale BABA

⋅

− ?

Ejercicio 8: El depósito de un coche está lleno de gasolina al empezar el viaje. Al terminar la primera etapa

le quedan los 53 del depósito. En la segunda etapa ha gastado la mitad de lo que le quedaba. Le quedan 15

litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Ejercicio 10: Isabel sale de casa con cierto dinero. En un televisor se gasta los 2/3, en un vídeo los 3/4 de lo que le había sobrado y vuelve a casa con 65 euros. ¿Con cuánto dinero salió de casa?


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Tema 2: expresiones algebraicas Ejercicio 1: ¿Son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica todas tus respuestas.

a) Si las raíces de P(x) son 2 y 3, entonces podemos escribir 30255)( 2 +−= xxxP b) El resto de la división de 1...)( 2200920102011 ++++++= xxxxxxP entre x-1 es 2011

c) 14263)( 3

734 +−−+= x

xxxxxZ es un polinomio de grado 4

d) zyxzyx63 6

5123413es un monomio

e) x+1 es el único factor del polinomio xxxxxP ++++= 299100 ...)( f) Al multiplicar un polinomio de grado 5 por sí mismo 3 veces, el nuevo polinomio es de grado 125

Ejercicio 2: Sea Q(x) un polinomio de grado 3 que cumple: Q(-2)=Q(-5)=0, y además 1 es raíz del Q(x).

¿Cuál es la posible expresión del polinomio Q(x)?

Ejercicio 3: Obtén el valor de m para que el polinomio 846)( 23 +−−= xxmxxP tenga 2 como raíz

Ejercicio 4: Determina a y b de manera que el polinomio 6)( 23 −++= bxaxxxQ sea divisible entre x-2 y entre x+3

Ejercicio 5: Sea el polinomio 63)( 4 −+= mxxxP Halla el valor de “m” sabiendo que el resto de la división de P(x) entre (x+1) es igual a 5.

Ejercicio 6: Encuentra el valor de “n” para que el polinomio 322)( 23 +++= nxxxxQ sea divisible entre x+3

Ejercicio 7: Halla un polinomio de segundo grado, R(x), que cumpla: R(1)=5, R(-1)=9 y R(0)=4


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Ejercicio 8: Encuentra un polinomio de grado 2 que tenga por raíces 1 y -2 y que P(3)=30. Ejercicio 9: ¿Qué valor ha de tomar “a” para que el resto de dividir axaxxxZ −−++= 3)( 23 entre x-4 sea 67? Ejercicio 10: Determina a y b de manera que el polinomio sea divisible entre (x-5) y (x+1) AYUDA: Después de sustituir, has de resolver el sistema de dos ecuaciones.


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Tema 3: ecuaciones y sistemas

Ejercicio 1: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 082·32 12 =+− +xx b) 1255 12 =−x c) xxx 6420 35 −=− d) xxxx =+− 22 e) 4612 +−=−− xx f) )3log(log2log21 −+=+ xx g) 2381log 3

3 += x

h) 4912+

=−xx

x

i) 5413

513

+=

−

xx

Ejercicio 2: Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado contiguo en 0,3 decímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el área del cuadrado original, así como el valor de su lado.

Ejercicio 3: No hay

Ejercicio 4: Halla dos números sabiendo que su suma es 16 y que la suma de sus inversos es 1/3.

Ejercicio 5: Un grupo de estudiantes organiza una excursión y deciden alquilar un autocar cuyo precio es de 540 €. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 € menos. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno

Ejercicio 6: Determina el valor de “m” en la ecuación 016)1( 2 =−−− xxm para que tenga una raíz doble, y calcula dicha raíz.


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Ejercicio 7: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

−

27333

32

2

yx

yx

b) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−

−

5515

32

2

yx

yx

c) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+++ 415295212 yx

yx

Ejercicio 8: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+

=+

1loglog6423yx

yx

b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+

=+

3loglog2200logloglog

yxyx

c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+

=−

7loglog8

22 yxyx


by Javi Aura 8

Tema 4: inecuaciones Ejercicio 1: La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30.000 €, a los que hay que sumar 1,50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12.000 € por publicidad. ¿Cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios?

Ejercicio 2: Indica para qué valores de x el área del triángulo equilátero de la figura es mayor que la del rectángulo

Ejercicio 3: Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determina en qué periodo de sus vidas la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo.

Ejercicio 4: Una madre y su hija se llevan 25 años. Determina en que periodo de sus vidas la edad de la madre excede en más de diez años al doble de la edad de la hija.

Ejercicio 5: Se consideran los rectángulos cuya base mide el doble que su altura. ¿Cuáles verifican que su área está comprendida entre 8 y 72 centímetros cuadrados?

Ejercicio 6: Una empresa de alquiler de coches ofrece dos posibles modelos de contrato. El modelo A consiste en pagar una cantidad fija de 50€ además de 8 céntimos por cada kilómetro recorrido. El modelo B consiste en pagar 80€ sin limitación de kilometraje. ¿A partir de cuántos kilómetros nos interesa alquilar el contrato modelo B?


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Ejercicio 7: Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)−𝑥 𝑥 + 2 < −3(𝑥 + 2)

b) !!!!

+ 1 ≤ 0

c) !!!!!!!!!!!

≥ !!!!!!!!

Ejercicio 8: Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) 2𝑥! − 3 ≤ 6𝑥 + 57𝑥 + 1 ≤ 13+ 4𝑥

b)

𝑥 − 𝑦 ≥ 0𝑦 − 2 < 02𝑥 + 𝑦 < 10

𝑦 ≥ 0


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Tema 5: trigonometría Ejercicio 1: Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y que si nos acercamos 10 metros se ve dicha copa bajo un ángulo de 60º.

Ejercicio 2: Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una de sus orillas se observa un punto C (situado entre ambos) en la orilla opuesta. Las visuales forman con la orilla unos ángulos de 42º y de 56º respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31, 5 metros.

Ejercicio 3: Calcula la altura de la montaña.

Ejercicio 4: Resuelve el siguiente triángulo:

Ejercicio 5: Calcula la altura del edificio más alto de la figura:


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Ejercicio 6: Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

a) 1− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) · 1+ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

b) !"#! ! !!"#! !

!"#! ! !!"#! !

Ejercicio 7: Calcula las razones trigonométricas del ángulo 2670º.

Ejercicio 8: Una cometa está sujeta a una cuerda de 25 metros de largo y se eleva de manera que la cuerda forma un ángulo de 37º con el suelo. Si acercamos la cuerda a 10 metros del pie de la cometa, manteniendo la altura de la cometa, ¿cuánto medirá ahora la cuerda que sujeta la cometa?

Ejercicio 9: Desde un punto del suelo se ve la altura de una torre con un ángulo de elevación de 48º. Si se retrocede 30 metros se ve la misma torre, pero bajo un ángulo de 24º. Calcula la altura de la torre.


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Tema 6: vectores Ejercicio 1: Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto )1,1(P y es paralela a la recta

024 =+− yx

Ejercicio 2: Halla la ecuación de la recta paralela a 3=≡ xs y que pasa por el punto )200,36(−P

Ejercicio 3: Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 032 =−−≡ yxr y que pasa por el punto )2,1(−P

Ejercicio 4: Dadas las rectas: 43 =+≡ yaxr

≡s recta que pasa por los puntos )4,3()2,1( −ByA

Halla el valor de “a” para que las rectas sean:

a) Paralelas b) Perpendiculares c) Si a=2, estudia su posición relativa.

Ejercicio 5: En el paralelogramo ABCD conocemos las coordenadas de tres de sus vértices )1,2(A , )6,4(B

y )1,5(C . Halla las coordenadas del vértice D.

Ejercicio 6: Dados los vectores )2,4(=→

u , )3,6(−=→

v y )0,2(=→

w , estudia si son linealmente dependientes:

a) →→

vyu

b) →→→

wyvu ,

Ejercicio 7: Dado el triángulo de vértices: )5,4(−A , )3,2(−B y )7,1(C

a) Calcula el perímetro b) Calcula su área. c) La medida del ángulo B.


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Ejercicio 8: Un vector fijo u⃗ tiene su origen en el punto A(6,-2) calcula las coordenadas del extremo B si:

a) Las coordenadas de u⃗ son (4,5)

b) Las coordenadas del punto medio son (-2,5)

c) El módulo es 5 y la primera coordenada de B es 2

Ejercicio 9: Comprueba analíticamente si los puntos A(0,0), B(-5,2) y C(3,-3) pueden formar un triángulo, y en caso afirmativo, calcula el valor del ángulo A.

Ejercicio 10: Calcula la ecuación general de la recta que pasa por el punto en el que la recta

01296 =+−− yx corta al eje de abscisas y es paralela a 142=+

yx


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Tema 7: límites y continuidad Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites:

a) 363 2

2

1 ++

−−−→ xx

xximxℓ

b) 1

3

21 642 −

→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

+ xx

x xxximℓ

c) x

x xxxim

32

0 1513⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+−→ℓ

d) 26

2

2

2 −−

−+→ xx

xximxℓ

Ejercicio 2: Dada la siguiente función:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥+

<≤−−

−<+

=

213212

132

)( 2

xsixxsix

xsixx

xf

Estudia su continuidad

Ejercicio 3: Dada la función: 1

35)( 2

23

−

−−−=

xxxxxf

a) Estudia sus discontinuidades indicando el tipo de las mismas. b) Indica las asíntotas de la función, si es que las tiene.

Ejercicio 4: Halla el valor de “a” para que la siguiente función sea continua: ⎩⎨⎧

>+

≤+=

13212

)(xsixxsia

xfx


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Ejercicio 5: El dominio de una función f(x) es { }7−ℜ y 7)(7

=→

xfimxℓ . ¿Es continua en x=7? Si la respuesta

es negativa indica el tipo de discontinuidad que presenta. Justifica tu respuesta

Ejercicio 6: Calcula m para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−>−

−≤++=

113

)(2

2

xsixxxsimxx

xg

Ejercicio 7: Estudia la continuidad de la siguiente función:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥−

<<−−

−≤+

=

317327

225

)( 3

2

xsixxsix

xsixx

xg

Ejercicio 8: Calcula k para que la función ⎩⎨⎧

≥+

<−=

333

)( 2 xsikxxsikx

xg

sea continua en todo su dominio:


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Tema 8: combinatoria Ejercicio 1: Vamos a ver un museo que tiene 2 pisos con 5 salas en cada piso. Cuando veamos la primera sala del museo, la que nosotros queramos, entonces veremos las demás salas de ese piso antes de ir al otro piso.

a) ¿Cuántas ordenaciones tenemos para ver el museo?

b) ¿Y si nos dicen que hay que empezar por la sala A del piso de abajo?

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) VRx,5 = 81VRx,3

b) ¿Cuántos elementos hay que combinar de dos en dos para que el número de combinaciones sea 190?

c) 3222,1 =+ ++ xx VV

d) 3,63, 95 VVRx =

e) 2

2,1

3

3,2 53PV

PV xx ++ =

Ejercicio 3: a) ¿Cuántos números capicúas hay de 8 cifras?

b) ¿Y de nueve cifras?

Recuerda: La cifra “0” no puede ir a la izquierda

Ejercicio 4: Para formar la tripulación de un avión se eligen 3 comandantes y 4 azafatas entre un grupo de 11 personas, 5 de las cuales son comandantes y el resto, azafatas.

a) ¿Cuántas tripulaciones distintas se pueden formar? b) Si el comandante Cristiano exige pilotar junto a las azafatas Irina y Jessica, ¿en cuántas tripulaciones

viajarán los tres juntos?


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Ejercicio 5: Una habitación tiene 6 puertas. ¿De cuántas formas es posible entrar en ella por una puerta y salir por otra diferente?

Ejercicio 6: Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:

a) 2,13, 4 += xx CV

b) 11,3,22 −= xx PP

Ejercicio 7: La diferencia entre el número de variaciones de m elementos tomados de dos en dos y el de combinaciones de m elementos tomados de dos en dos es veintiocho. Halla el número de elementos.

Ejercicio 8: Los números de los décimos de la Lotería Nacional tienen 5 cifras que se pueden repetir. Si por un error un día se les olvida introducir en los cinco bombos el número 0, ¿Cuántos posibles números habrá como candidatos al premio?

Ejercicio 9: ¿Cuántos números mayores que un millón existen que contengan exactamente las siguientes cifras: 0,2,2,3,3,3,4?


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Tema 9: probabilidad

Añadirrrrrrrr


by Javi Aura 19

Tema 10: estadística

Añadirrrrrrrr

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