dossier exercicis mat4
TRANSCRIPT
MATEMÀTIQUES
EXERCICIS 4t ESO
NOM ........................................
2
POLINOMIS
1. (R,N,A) Donats els polinomis A(x)= 3x4 – 5x2 + 2x – 1 i B(x)= x2 + 5x – 2, calcula: 1. A(x) + B(x)
2. A(x) – B(x)
3. 3 A(x) – 2 B(x)=
4. A(x) · B(x) =
5. A(x) : B(x) =
6. A(x) : (x -2) =
7. B(x) : (x2 +1)=
2. (R,N,A) Calcula : (-8 x4 - 6x3 + 3x2 - 4 ) : ( x2 - 2x + 1 )
3. (R,N,A) Si sabem que el grau del polinomi A(x) és 4 i el del polinomi B(x) és 3, Quin és el grau del polinomi A(x) + B(x)? I el d' A(x) · B(x) ?
4. (R,N,A) Donats els polinomis P(x) = 2x3 + x2 + 1 i Q(x) = ax2 + bx - 1, troba a i b sabent que P(x)·Q(x) = -1 - x +2x2 -3x3 + x4 + 6x5
5. (R,N,A) Donats els polinomis A(x) = 3 x2 - 2x - 1, B(x) = x5 - 3x3 + x i C(x) = x4 - 2x2 + 1, calcula: a) A(x) · B(x)
b) B(X) : C(x)
c) B(x): [ C(x) - A(x) ]
5. (R,N,A) Efectua la divisió (x10 - x5 + 1) : ( x - 1) per la regla de Ruffini i comprova que es verifica el teorema del residu.
6. (R,N,A) Troba el residu de la següent divisió sense efectuar-la: (x8+2x6 – x5 + 1) : (x + 1)
7. (R,N,A) Troba el valor numèric del següent polinomi per x= 2 sense substituir:
P(x) = 9 x4 – 3 x2 + 6x - 3
8. (R,N,A) Troba el valor numèric del següent polinomi per x= -1 sense substituir:
P(x) = x4 – x3 + x2 - 6x – 3
9. (N,A) Troba a per tal que el polinomi A(x) = x3 – x2 + 2x - a - 3, sigui divisible per x+7.
10. (N,A) Troba a perquè el polinomi P(x) = x4 – ax3 + 3x2 - x + 1 sigui divisible per x + 2.
11. (N,A)Troba k perquè al dividir P(x) = x4 - 2kx3 + x2 - 4kx + 9 entre x+1 el residu sigui -7.
12. (R,N,A) Descompon en factors els següents polinomis:
1. Q(x) = 2x3 + 4x2 + 2x
2. P(x) = 6x2-7x + 18
3. R(x) = 4x2 – 4x + 1
4. S(x)= 5x3 – 35x + 30
3
5. T(x)= x3 – x2 -6x
6. R(X)= 6x3 – 6x
7. P(x)= x4 – 1
8. S(x)= x3 – 1
9. Q(x)= x3 – 4x2 -5x
13. (R,N,A) Descompon en factors els següents polinomis:
a) A(x)= x2 - x – 6 b) B(x)= x2 – 4x – 5
14. (R,N,A) Resol les següents equacions i compara els resultats amb els de l’exercici anterior:
a) x2 - x – 6 = 0 b) x2 – 4x – 5 = 0
15. (R,N,A) Descompon:
a) 2414132x 234 +xx+x −− b) 2146282 234 −−−− xxxx c) 16213536168 2345 +−−+− xxxxx d) 824 234 −+++ xxxx e) 6231984 234 −−−+ xxxx f) 91224 234 ++−− xxxx
g) 96240240120303 2345 −+−+− xxxxx
16. (R,N,A) Resol: x3 + 2x2 – 4x – 8 = 0 x3 + x2 – 4x – 4 = 0
17. (N,A) Quin és el màxim comú divisor dels polinomis A(x) = 2x3 - x2 - 10x -15 i B(x) = x2 + 2x -15?
18. Troba un polinomi que tingui per arrels x= 1 i x= 2 i per coeficient de grau dos, -3.
19. (N,A) Tenint en compte les identitats notables descompon les següents expressions en producte de dos factors:
a) 4x2 - 9y4 = b) x2 + 4xy + 4y2 = c) =+−
164
62324 zy
yzxx
d) (x - y + z )2 - ( y - z + 2x )2 =
20. (R,N,A)Resol:
a) 06137 234 =−+−− xxxx
b) 32196 23 =++ xxx
c) ( ) ( ) 012431 232 =−−+− xxxx
4
(N,A)
d) ( ) ( ) ( )
12
21
3
1 22
=+−−+ xxx
e) ( ) ( ) ( )
9
12
2
11 22 +=++− xx
xx
f) ( ) ( ) ( ) ( )xxxx −+=+−− 1322 222
g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
412
2
11
3
12 222 ++=+−−−+ xxxxxx
h)65
1
3
2
2
12 +−
+=−
+− xx
x
xx
i)2
4
23
1
12
1322 −
=+−
+++−
−xxx
x
xx
x
21. (R,N,A) Simplifica les següents fraccions algebraiques:
a) xx
xx
44
663
2
−+
b) 11236
4242 +−
−xx
x
c) 49
41292
2
−+−
x
xx d)
133
13223
2
−+−+−xxx
xx
(N,A)
e) 234
23
54
50202
xxx
xxx
−−+−
f) 12164
64234
23
−+−−++−
xxxx
xxx
EQUACIONS I PROBLEMES
1) (R,N,A) Redueix els termes semblants en les següents equacions, classifica-les en equacions de primer o de segon grau i resol només aquelles que siguin de primer grau.
a) ( ) 231232 xxx +=+⋅+ b) 2
35
1
1 =−−x
c) ( ) xxx 322 −=+⋅ d) ( )
−⋅−=−⋅ xxx2
312143 2
2) (R,N,A) Resol les següents equacions: a) 096 2 =− xx b) 0328 2 =−x
c) ( ) 91 2 =−x d) ( ) ( ) 0532 =−⋅+ xx 3) (R,N,A) Resol les següents equacions:
a) 04822 =−− xx b) ( ) 19632 2 −=++⋅ xxxx c) xx −=+ 232 d) 0442 =++ xx
4) (R,N,A) Esbrina el nombre de solucions de les següents equacions sense haver de resoldre-les:
a) 0962 =+− xx b) 032 2 =+− xx c) 0615 2 =−− xx
5) (R,N,A) Resol les següents equacions.
a) 014 2 =−x b) 092 =−x c) 023 2 =− xx d) 06 2 =+ xx e) 0652 =++ xx f) 0253 2 =−− xx
g) ( )43531 22 ++⋅+=−+ xxxx
h) ( ) xxxxx 32523 22 −+−⋅=−
i) x=xx −−−−
12
3
3
22
6) (R,N,A) Escriu una equació de segon grau les solucions de la qual siguin 2 i -7.
7) (R,N,A) Donada l'equació 2x2 - 5x + 2 = 0, es demana:
a) La suma de les solucions sense trobar-les.
b) El producte de les solucions sense trobar-les.
8) (R,N,A) Troba una equació de segon grau, de manera que la suma de les seves
solucions sigui 6 i el seu producte sigui 8.
9) (N,A) En l'equació: x2 - mx + 6 = 0, calcula m per tal que una solució sigui 3. Quina és
l'altra solució?
10) (N,A)Donada l'equació: x2 + 2x + m = 0,calcula m per tal que tingui una solució doble.
11) (N,A)Raona quin serà el nombre de solucions de les següents equacions i sistemes:
a) 1 � 6� � �� � 1 ��
b) �2�� � 3� � 44� � 5� � 8 �
c) �9 � 6� �� � 2�� � 1 � 0
12) (N,A) Troba el valor de R en la següent equació sabent que una de les arrels és -3:
X2 – Rx – 6R2 = 0
13) (N,A) Escriu dues equacions de segon grau que tinguin per arrels els nombres 2 i -3.
14) (N,A) Escriu una equació de segon grau que compleixi que la suma de les seves arrels és 27 i el seu producte 50.
15) Escriu una equació de segon grau les solucions de la qual siguin 7 i -7.
16) Determina el valor del paràmetre m de forma que x2+(1+m)x-2m=0 tingui una arrel igual a 3.
17) Les dues arrels de l’equació 2x2+bx-18=0 són oposades. Calcula el valor de b.
18) (R,N,A) Resol les següents equacions: a) 04 24 =− xx b) 045 24 =+− xx
c) xxx =−+ 3 d) 21 −
−x
x
+x
x=1
e) 033 =− xx f) 043 24 =−− xx
g) xx =+− 31 h) 33
122 +x=
x −−
19) (R,N,A) Resol les següents equacions: a) 045 24 =+− xx b) 0954 24 =−− xx c) 0154 24 =+− xx d) 05 23 =− xx e) 0164 =−x f) 093 =− xx
g) 0312 35 =+ xx h) 17 =−+ xx i) 1213 +=++ xxx j) 14332 −=−−⋅ xxx
k) 3
4
9
3
+=+
x
x l) 1
21
2
1
−+=+
x
x
m) 213 +=++ xx n) 532 =++ xx 20) (N,A) Resol les següents equacions irracionals:
a) 231 =++− xx b) 1132 =+−+ xx c) 4142 +−=+ xx d) 1132123 =+−− xx e) 7332 =−+ xx
21) (A) Resol les següents equacions: a) 9652 −=+−+ xxx b) xxx =−+− 432 c) 1242223 −=−+ xxx d) 1910136 +=+++ xxx e) 217825 +=+++ xxx
22) (R) Resol els següents sistemes pel mètode de reducció:
a) 82y3x
13y2x
=+
=− b) 42y
22x
=+x
=y−
c) 52y2x
0
=
=yx
−−
d) 42y4x
22x
=
=y
−−
23) (R) Resol els següents sistemes pel mètode d’igualació:
a) 114x
02y3x
=y
=+
− b) 32y9x
43x
−− =
=y+
c) 82y2x
7
=+
=y+x
d) 168y4x
42y
=+
=+x
24) (R) Resol els següents sistemes pel mètode de substitució: a) b)
112y3x
4
=+
=y+x
32y9x
43x
−− =
=y+
c) 12
042x
=y
x
=y
−
−−
d) 82y6x
43x
=+
=y+
25) (N,A) Resol els sistemes següents:
a)
( ) ( )( ) ( ) 584x33y2x5
1247y4x3
=y+
=yx
−⋅−⋅−−⋅−−⋅
b) 2
12
2
1
25x
15x
−
−−
−
y
+x=
y
+x
y
y=
+
c)
( )5
1
2
243y2 2
=+y
x
x=x 2
−−−−
26) a) 92x
32 =y+
=yx2
−
b) 52
13y2 =xyx
=x
−−
c) 22x
33y2x
=y++xy
=+
d) 102y52x
13y2 =xy
=x
−−
−
e) 34y3
23y4x2 =+xyx
=
−−−
f) 113x
1222 =y
=xy
−−
g) 12y
622 =x
=xy
−
h) 1
12y
=y+xy+x
=+x2
i) 42y
24y3x22 =xy+x
=
−−
j) 72x
62y22
22
=y
=+x
−
k) 20
102 =y+x
=y+xy+x2
−
l) 34x
52x2
2
=y+y+x
=y+yx2
2
−−−
m) 12
13y32 =y+xy+x
=xy+x2
−−
n) 5
52y2
2
=y+xyx
=x
−−
Problemes que es resolen mitjançant equacions (R,N,A)
1) Planteja l’equació de segon grau resultant dels problemes següents i doneu les
solucions: a) Trobeu un nombre enter tal que el doble del seu quadrat sigui sis vegades aquest nombre. b) La suma dels quadrats de dos nombres consecutius és 265. Trobeu aquests nombres. 2) Trobeu el nombre enter tal que sumat amb el seu invers dóna 2.
3) Trobeu dos nombres naturals tal que el seu producte sigui 168 i la seva diferència de
quadrats sigui 52.
4) Un camp rectangular té 2400m2 de superfície i 20 m més de llarg que d’ample. Trobeu les dimensions del camp.
5) Els costats d’un triangle rectangle mesuren, en cm, tres nombre enters consecutius. Trobeu la longitud dels tres costats.
6) La base d’un rectangle fa 2 cm més que l’altura. Determineu les seves dimensions
sabent que si augmentem la base en 3 cm i disminuïm l’alçada en 1 cm, l’àrea augmenta en 5 cm2. (N,A)
7) Una antiga bassa circular de 13 metres de diàmetre es vol aprofitar per convertir-la en piscina rectangular de manera que un costat faci 7 metres més que l’altre i que la diagonal del rectangle sigui el diàmetre de la bassa. Quines són les dimensions de la piscina?.
8) Un grup d’amics paga 3900 € per un regal col·lectiu. A l’hora de pagar, dos d’ells no hi són i cada un dels altres es veuen obligats a pagar 325€ més del que havien comptat. Quants amics formaven el grup inicial?
9) Quants metres de roba es poden comprar amb 43,2€ sabent que si el metre costés
0,54€ menys, se’n podrien comprar 4 metres més?
10) Uns amics han comprat gelats per un valor de 13,5€. Si cada gelat costés 0,6 menys, s’haurien pogut comprar 6 més. Quin és el preu del gelat? Quants amics són?
11) Trobeu les dimensions d’un rectangle de perímetre 56 cm i d’àrea 180 cm2.
12) L’edat d’un nen serà d’aquí a 3 anys un quadrat perfecte, i fa 3 anys serà justament l’arrel quadrada d’aquest quadrat. Quants anys té ara?
(A) 13) L’àrea del trapezi rectangular BCHM és igual a l’àrea del
triangle AHM. Volem calcular la longitud x del segment AH. Suggeriments: a) Expresseu HC en funció de x (Teorema de Tales). b) Poseu en forma d’equació el fet que les dues àrees són iguals.
14) Calcula les dimensions d’un rectangle si saps que la base és quatre vegades l’altura, i que el perímetre fa 120 metres.
15) Amb 22 m de filat volem tancar un corral per a conills de forma rectangular i de 60 m2
d’àrea, aprofitant una tàpia ja construïda. Quina mida han de tenir els costats?
16) En un triangle rectangle d’hipotenusa 4, calcula’n els catets sabent que l’un és el doble de l’altre.
17) Si a un nombre se li resta el seu quadrat, es converteix en la seva meitat. De quin nombre es tracta?
18) La base d’un rectangle fa 2’5 m més que l’altura. El perímetre és de 29 m. Calcula’n l’àrea.
19) L’àrea d’un rectangle és de 40 cm2. Determina’n els costats sabent que n’hi ha un que fa 6 cm més que l’altre.
20) El producte de dos nombres naturals consecutius és 156. Quins són aquests nombres?
21) Si a un nombre natural li sumem 91, obtenim el doble del seu quadrat. Quin és aquest nombre?
22) Hem pensat un nombre. Si li sumem 25 obtenim el mateix que si restem 107 del seu quadrat. Quin nombre podem haver pensat?
23) Si el costat d’un quadrat augmenta 6 cm, l’àrea augmentarà 84 cm2. Quina era l’àrea del quadrat inicial?
24) En un triangle rectangle, un catet mesura 10 cm menys que la hipotenusa i, l’altre, 20 cm menys que la hipotenusa. Quan mesuren els costats d’aquest triangle?
25) Un nombre consta de dues xifres que sumen 9. La xifra de les desenes supera en una unitat el triple de la xifra de les unitats. Quin és aquest nombre?
26) Divideix 65 en dues parts de manera que la major sigui dues unitats més que el doble de la menor.
27) Diu en Pau a la Marta: “Si em dones 40€ tindré al que et resta a tu multiplicat per 28”. “Dóna’m 95€ i tindrem el mateix els dos” va respondre la Marta. Quants diners tenia cadascun?
28) Troba dos nombres que es troben en proporció de 5 a 3 i que si es resta 10 del primer i es suma 10 al segon la proporció és inversa de l’anterior.
29) Busca dos nombres tal que si sumes 7 al primer, obtens el segon, i si afegeixes 3 al segon, obtens el doble del primer.
30) Un pare vol repartir el premi obtingut a la travessa entre els seus fills. Si dóna 145€ a cadascun, li sobre 4€, en canvi, si els dóna 150€, li’n falten 21. Determina l’import del premi i el nombre de fills.
31) Entres en un bar i escoltes la conversa següent: - Quatre entrepans i cinc refrescs, si us plau! - 17,60€ - Tres entrepans i set refrescs! - 18,40€ Quins són els preus dels entrepans i dels refrescs?
32) Un venedor compra dos tipus de vi, a 4 i 8 € el litre respectivament. Com hauria de mesclar-los per obtenir un barril de 200 litres amb un import de 1.000 €?
33) El perímetre d’un rectangle fa 42 cm i la diagonal 15 cm. Calcula l’àrea del rectangle.
34) Un ciclista fa els 144 km que separen el seu domicili del port de muntanya “el Cim”. A la tornada, se n’adona que la seva velocitat ha estat superior en 12 km/h que a l’anada i que per aquest motiu ha trigat 1 hora menys. Calcula les velocitat i els temps emprats tant a l’anada com a la tornada. Una mica de repàs
1) (R,N,A)Resol: 2)(N,A) Resol:
(N,A)
( ) ( )
03613)
19412)
52
2)
24
2
=+−
−+=+⋅−
=+−
xxc
xxxxb
xx
a
51) ++= xxe
42) =++ xxf
=+=
=−=+
=+++
7
12.)
12
2)
5321)
2
yx
yxi
yx
yxh
xxg
5
1265) 3 x
xx
d =+
3
19
3
15
52
34)10
09716)9
24
1
1
1
1
1)8
5
85)7
73
92)6
4
17)5
410314)4
7412)3
02)2
1
7
5
1)1
24
22
22
22
=++−
−−
=−+
=+
−−
=−=−
=−=−+
−=⋅=+
+=+++
=++
=−+
+=+
x
x
x
x
xx
xx
yx
yx
xy
xyyx
yx
yx
xxx
xx
xx
x
x
INEQUACIONS (R,N,A) Resol:
1) 4
1
6
1
2
1
3
2 −−+≤−+ xxxx
2) x++x
>+xx
2
3
2
1
3−
3) ( ) ( )
3
1
2
2
32
1 2 −+−<++ xxxxx
4) 5) (R,N,A) Resol gràficament:
a) 3 2 4
5 2
x y
x y
+ ≤ − ≥
b)
≥−≤+
53
42
yx
yx c)
−≥+−−≤
yx
xy
62
642
6) (N,A) Resol:
a) 12
52 ≥−+
x
x
b) c) d)
7)(N,A)Resol:
233 −>− xx 122 ≥+ xx
9x2 +19x +2 ≥0
25 19 4 0x x+ + ≥ ( ) ( ) 01525 <−⋅− xx
8) (N,A)Resol: a) b)
c)
31
5 2
13
x y
yx
+ > − + ≤
d)
3 2 34
4 11 1
13 2
y
xx y
− + ≤ + + − − < −
2 12 0
2 12 0
x y
x y
− − < + + >
( )4 2 31 5 1
3 9 85 9 7 5 3 21
3 9 4
xx x
x x x
− − ++ ≤
+ + + + >
3 12 0
5 24 3 16
x
x x
+ < − < +
6 20
2
x
x
− <−
31
1
x
x< −
−1 1
2
x x
x x
+ −≥
9) Escriu els sistemes d’inequacions representats en els gràfics següents: a) b)
c) d)
10) (A)Resol:
a)
>+
−−≥++−
+−≥++−
2
22
13
6
3
2
14
24
93
4
7
2
43
2 xx
xxx
xxxx
b)
+≤++−
+<+−−
−+≤−+−
13
3
5
1
13
32
2
15
22
13
3
12
2
3
xxx
xxx
xxx
c)
≤
+−>+
>−+
49
14
13
2
3
12
32
2x
xxx
x
d)
≤+−
≥−+
+−+<−++
04
5
02
2
1
6
32
3
32
2
1
2
x
x
xx
xxxx
Problemes que es resolen amb inequacions 1. (R,N,A) Quins són els nombres de tres xifres tals que el seu doble supera a la seva
meitat en més de 210 unitats?
2. (R,N,A) Busca dos nombres tals que el triple del primer més el doble del segon sigui una
quantitat més petita o igual a 6 i que la seva diferència sigui més gran que 3.
3. (R,N,A) La suma de dos nombres positius és superior a 20. Si sumem 5 al primer, el
resultat és inferior o igual al segon. Doneu quatre solucions diferents d’aquesta situació.
4. (N,A) Una empresa A cobra 30 euros fixos més 0,25 euros per quilòmetre, altra B cobra
0,45 euros per quilòmetre i no té cànon fix. A partir de quants quilòmetres és millor la
primera empresa?
5. (N,A) Un pare i un fill es porten 22 anys. Determina en quin període l’edat del pare
excedeix en més de 6 anys el doble de l’edat del fill.
6. (N,A) Un cotxe es desplaça per una carretera a una velocitat entre 100 i 120 km/hora.
Entre quins valors oscil·la la distància recorreguda pel cotxe passades tres hores?
7. (A)Un venedor de llibres té dues ofertes de treball:
• Empresa 1: 1000 € fixos cada mes, i una comissió d’1,50 € per llibre venut.
• Empresa 2: 900 € fixos al mes, i una comissió d’1,75 € per llibre venut.
a) Fins a quin nombre d’exemplars venuts li resulta més a compte treballar a la primera
empresa?
b) Quants llibres ha de vendre perquè el sou sigui el mateix en les dues ofertes de
treball?
c) Si calcula vendre 500 llibres cada mes, quina de les dues empreses li és més
favorable?
8. La inequació �������
���� > 0 és equivalent a x2-5x+6 > 0 ?
9. Prova que mx2+mx+m amb m > 0 pren sempre valors positius.
10. (R,N,A) Un productor de vi del Penedès per aconseguir un vi de més grau, barreja el de
10 º que es produeix a la zona amb vi del Priorat de 15º. Per obtenir 1000 litres d'un vi
que superi en mig grau com a mínim al del Penedès i faci menys de 11,5º, com ha de fer
la barreja?
11. (N,A) Una empresa manufacturadora de cafè vol obtenir un nou tipus de cafè barrejant
cafè natural i cafè torrefacte. Perquè el tipus obtingut pugui ser classificat com a superior
cal que contingui un mínim de cafè natural de 300 g per kg de barreja. Vol que el preu
del nou tipus de cafè sigui inferior als 3,9€/kg. El preu del cafè natural és de 4.80€/kg i el
del torrefacte és de 3,30€/kg. Quines són les quantitats mínima i màxima de cafè natural
que ha de contenir un kg de la nova barreja?
12. (N,A) A l'escola Casa Nostra han format dos equips esportius: un de voleibol i un altre de
bàsquet. A l'equip de voleibol s'han apuntat 15 alumnes i al de bàsquet 25.
Els dos equips han quedat finalistes del torneig interescolar i han d'anar a jugar les finals
respectivament a Palma de Mallorca i a València.
El bitllet d'anada i tornada a Palma amb vaixell costa 60€ per persona. Per anar a
València en autocar, anar i tornar, els costa 36€ per persona.
Els jugadors i jugadores han recollit durant el curs 1260€ per pagar els viatges.
Tenint en compte que el nombre mínim de jugadors per equips és de 10 jugadors pel
voleibol i 9 pel bàsquet.
Quines són les diferents possibilitats que tenen d'enviar equips a les finals sense excedir-
se del pressupost?
13. (N,A) Els alumnes del taller de vídeo de l'escola i els del taller d'informàtica disposen de
54€ per comprar material. El preu d'una cinta és de 4,50€ i el d'una caixa de disquets és
de 5,4€. Com que el nombre d'alumnes que fan informàtica és més del triple dels que
estan matriculats a vídeo, els d'informàtica han de rebre com a mínim el triple d'unitats
que els de vídeo. Quines són les possibles solucions?
14. (N,A) Un pagès vol muntar una explotació agropecuària dedicada a l'engreix d'unes
quantes vaques i porcs de pota negra.
Disposa d'un prat de 400 m2, cada vaca necessita 4 m2 de pastura i cada porc 2 m2.
El banc li concedeix un préstec de 4500€ per a la compra del bestiar.
Cada vedell que compra li costa 30€ i cada porc 45€.
Per la venda d'una vaca guanya 66€ i per la d'un porc 84€.
El pagès vol saber quants animals de cada tipus ha de comprar per obtenir com a mínim
9000€ de la venda.
Quants animals de cada tipus ha de comprar per aconseguir un benefici màxim?
TRIGONOMETRIA
Introducció La Trigonometria és la branca de les matemàtiques que estudia les relacions entre els costats i els angles dels triangles. L’origen de la paraula trigonometria prové del grec i és la composició de dues paraules gregues. Trigonon (triangle) i metron (mesura). Per tant trigonometria és la mesura de triangles. Els babilonis i els egipcis (fa més de 3000 anys) van ser els primers d’utilitzar els angles d’un triangle i les raons trigonomètriques per fer mesures en agricultura i construcció de piràmides. També es va desenvolupar degut als esforços realitzats gràcies a l’estudi de l’astronomia mitjançant la predicció de les rutes i posicions dels cossos celestes i per millorar l’exactitud en la navegació i en el càlcul del temps i dels calendaris. És gràcies als babilonis que s’utilitza el sistema sexagesimal, ja que la seva cultura utilitzava la base 60. Després l’estudi de la trigonometria va passar a Grècia, on al segle II a.C. es van desenvolupar les taules de cordes que va construir el matemàtic i astrònom Hiparc de Nicea, que van ser les precursores de les taules de les funcions trigonomètriques actuals. Es considera a Hiparc com el pare de la trigonometria per haver trobat algunes de les relacions entre els costats i els angles d’un triangle.
I tot això que esteu començant a estudiar, per a què serveix?
Observa el dibuix que tens a continuació:
Des d’un far es veu un vaixell que necessita ajuda i es imprescindible saber a quina distancia de la costa es troba. Comprovaràs que fàcilment podem construir un triangle rectangle i a partir d’aquest, utilitzant la trigonometria, podrem conèixer la distància.
Pots trobar d’altres exemples a la pàgina següent:
http://www.aulafacil.com/matematicas-trigonometria-plana/curso/Lecc-1.htm
Teoremes del triangle rectangle. 1. Per tal de saber l’altura de la piràmide més gran d’Egipte, la de Keops, es pot seguir el
procediment següent: deixant caure una corda des del vèrtex fins al punt mitjà d’un costat de la base (apotema), hom troba que mesura 186 m, el costat de la base quadrada és de 230 m. Quina és l’altura de la piràmide de Keops?
2. Una escala de 15 graons puja un desnivell de 3 m. Cada graó té una amplada de 25 cm. Si hi
volem posar una barana, quina haurà de ser la seva llargària? 3. Un pintor té una escala de 12 metres per poder pintar façanes (recolzant l’escala a la paret). Cada
cop que en pinta una, per motius de seguretat no pot acostar la base de l’escala més de 4 metres de la paret. Fins a quina alçaria podrà pintar les façanes que li encarreguin?
4. Una persona veu el pic d’una muntanya de 3400 metres des d’una distància de 24 km. A quina distància es troba del peu de la muntanya?
5. En un triangle rectangle, les projeccions ortogonals dels catets sobre la hipotenusa mesuren 4 cm i
25 cm. Quant mesura l’altura corresponent a la hipotenusa? Quina és la longitud de la hipotenusa?
6. L’altura corresponent a la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 25 mm i la projecció ortogonal d’un dels catets, 125 mm. Quant mesura l’altra projecció ortogonal? I la hipotenusa?
7. Observa el triangle rectangle de la figura. Quina distància hi
ha entre el punt R i el punt H? I entre el punt F i el punt R?
8. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 9 m i un dels
catets, 3 m. Quant mesura la projecció ortogonal d’aquest catet sobre la hipotenusa?
9. La hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 36 cm i la projecció ortogonal d’un dels catets sobre
la hipotenusa, 4 cm. Quant mesura aquest catet? 10. Quant mesura l’altura relativa a la hipotenusa i els catets d’un triangle rectangle si les projeccions
ortogonals dels catets sobre la hipotenusa són 7 m i 28 m respectivament? 11. Un triangle rectangle té un catet que mesura 15 cm i la seva projecció ortogonal sobre la
hipotenusa, 5 cm. Quant mesura la hipotenusa? I l’altre catet?
12. Calcula quant mesuren els costats desconeguts del
triangle rectangle de la figura.
13. Calcula quant mesuren els costats desconeguts, indicats amb lletres, en aquests triangles
rectangles:
Angles i mesures angulars.
1. Expressar en graus, minuts i segons els angles següents: 22´5º, 33´23º i 0´25º. 2. Expressar en graus els angles 30’ 15’’, 22º 54’ 6’’ i 345’ 672’’. 3. Un arc corresponent a un angle determinat mesura 12 cm i el seu radi, 4 cm. Quants radiants
mesura l’angle? 4. Quants radiants mesura un angle recte? Què és més gran, un radiant o un angle recte? 5. En un circumferència de 5 cm de radi, un arc fa 30 cm. Calcular, en radiants, la mesura del seu
angle central. Trobar també la seva mesura en graus. 6. Trobar la mesura en radiants de l’angle que intercepta un arc de 12 m en una circumferència de
radi 24 m. 7. Un angle mesura 2’5 radiants. Si dibuixem un arc amb radi 4 cm, quina serà la longitud de l’arc? 8. Entre quins valors estarà compresa la mesura en radiants d’un angle del primer quadrant? I del
segon quadrant? I del tercer? I del quart? 9. Expressa en radiants les següents mesures: 17º=
30º=
45º=
165º=
210º=
240º=
250º=
300º=
315º=
10. Expressa en graus sexagesimals els següents valors:
rad3
2Π= rad
5
Π=
rad4
5Π= rad
8
3Π=
11. Quin angle és més gran, el que mesura 3º o el que mesura 3 rad? 12. Ordena de més petit a més gran aquestes mesures d’angles:
18º ; rad6
Π ; 14º 2’ ; 14,2º ; 14º20’ ; 0,4 rad.
13. Quants radiants mesura el complementari d’un angle que mesura ? I el suplementari? 14. Un angle α pertany al primer quadrant. A quin quadrant pertany el seu suplementari ?
I el complementari? 15. Si α és un angle del primer quadrant, a quin quadrant pertany
l’angle Π + α? I l’angle ( )α−Π ? I l’angle oposat al primer?
16. Observa la figura i expressa la relació existent entre els angles α i β:
17. A quin quadrant pertany un angle de -72º?
18. Si un angle pertany al 2n quadrant, a quin quadrant pertany l’oposat? 19. Volem dibuixar un angle de 3000º. Prescindint de les voltes completes, quant mesura l’angle
obtingut, menor de 360º? 20. Si volem dibuixar un angle de 3250º, cal utilitzar un angle menor de 360º. Quin és aquest angle?
21. Quin és l’angle sobre la primera volta equivalent a un angle de rad2
23Π?
rad6
Π
22. Volem dibuixar un angle de rad6
73Π, mitjançant un angle menor de 2Π rad. Quina és la mesura
d’aquest angle?
23. Dos angles d’un triangle mesuren respectivament 40º i .3
radΠ
Calcula quant mesura el tercer
angle, en radiants. 24. Calcula a quin quadrant pertany cada un d’aquesta angles:
115º, 308º, 204º, rad5
Π, rad
4
3Π, .
5
7rad
Π
Raons trigonomètriques.
1. Hi pot haver un angle que tingui per sinus 3? I per tangent 2? Raona la resposta. 2. Amb l’ajut de la calculadora, troba les raons trigonomètriques següents:
( ) ='15º27sin ( ) =rad75'0cos
( )=Π rad5tan ( ) =''17'8º14sin
( ) ='34º32cos ( ) =''28'12º146tan 3. Calcula l’angle agut que té per sinus 0’9 i expressar-lo en graus sexagesimals i en radiants. 4. Calcula els angles aguts expressats en radiants als quals corresponen les raons trigonomètriques
següents:
866025'0sin =a =⇒ a
846503'0cos =b =⇒ b
25'0sin =c =⇒ c
826166'11tan =d =⇒ d
5878'0sin =a =⇒ a
74156'8tan =d =⇒ d 5. Fent servir la calculadora, dona el valor de les raons trigonomètriques següents:
( ) =º45sec ( )=Π rad3sec
( ) =rad1tan ( ) ='10º23ancot
( )=Π rad6eccos ( ) ='45º44cos
6. Trobar totes les raons trigonomètriques d’un angle agut tal que el seu sinus és 0’874619. 7. Fent servir les relacions entre les raons trigonomètriques, calcula les raons trigonomètriques d’un
angle agut amb sinus 0’74.
8. Calcula les raons trigonomètriques d’un angle agut α , sabent que 54'1tan =α
9. Calcula un angle del segon quadrant, el cosinus del qual sigui 54− . Calcula’n el sinus i la
tangent. 10. Fes el mateix però amb un angle del 3r quadrant. 11. Pot haver-hi un angle que tingui per sinus 1/2 i per cosinus 1/3? Raona.
12. Sabem que la tangent d’un angle és 125− i que el cosinus de l’angle és positiu. A quin quadrant
pertany l’angle? Calcula les altres raons trigonomètriques.
13. Calcula el cosinus i la tangent d’un angle, sabent que té la tangent positiva i que el sinus és 43− .
14. Dibuixa dos angles menors de 360º, el sinus dels quals valgui 21− .
15. A quins quadrants pot pertànyer un angle el cosinus del qual sigui igual a –0’6? Quins són aquests
angles?
16. Quin és l’ angle del quart quadrant, el sinus del qual val 54− . Calcula’n el cosinus i la tangent.
17. Calcula totes les raons trigonomètriques d’ un angle del segon quadrant, el cosinus del qual és
igual a 135− .
18. A partir de la relació fonamental i de les definicions de les diferents raons trigonomètriques,
demostra la identitat següent: αα 22 sectan1 =+
19. Demostra que sempre es verifica la igualtat següent: αα 22 eccosancot1 =+
20. Demostra la igualtat: ααα
ααα
sin
1
cos
1
sin
cos
cos
sin ⋅=+ .
21. Demostra aquesta igualtat: α
α2
2
cos
11tan =+ .
Reducció al primer quadrant. 1. Determina raonadament les següents raons trigonomètriques:
a) 0sin
b) 2
sinΠ
c) Πsin
d) 2
3sin
Π
e) 4
3sin
Π
2. Existeix 2
3tan
Π? Perquè?
3. Si coneixem 615661'0º38sin = , 788010'0º38cos = i 781285'0º38tan = , deduir sense utilitzar la calculadora les raons trigonomètriques de l’angle de 52º.
4. Donat l’angle α de 150º, a quin angle del primer quadrant hem de recórrer per calcular les
raons trigonomètriques d’ α? Determina-les.
5. Donat l’angle β de 32Π rad., quin angle del primer quadrant ens servirà per calcular les
raons trigonomètriques de β? Determina-les. 6. Quin és l’angle del segon quadrant que té les mateixes raons trigonomètriques (en valor
absolut) que l’angle de 32º? Raona la resposta.
7. Considera l’angle α de 4Π rad. Aquest angle ens servirà per calcular les raons
trigonomètriques d’un altre angle del segon quadrant. Quin? Determina aquestes raons trigonomètriques.
8. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle α de 210º, a partir de les d’un altre angle conegudes.
9. Calcula les raons trigonomètriques de l’angle que mesura 34Π rad.
10. Suposem que 257cos =α i que 20 Π<< α . Calcula ( )α−Πsin , ( )α+Πcos i
( )α−tan .
11. Calcula ( )β−Πtan , ( )β+Πtan , ( )β−tan , sabent que 2tan =β i que 20 Π<< β
12. Perquè és certa aquesta igualtat? 4
tan4
5tan
Π=
Π.
13. Qualsevol que sigui el valor de α, quin serà el resultat de la suma ( )αα +Π+ sinsin ?
14. Si 8'0sin =α i 20 Π<< α , calcula el sinus, el cosinus i la tangent de l’angle α+Π .
15. Observa atentament la figura:
a) Com són els triangles OPP’ i OQQ’ entre si? b) Demostra que els angles α i β són complementaris.
c) Demostra que, en general,
−Π= αα2
cossin i
−Π= αα2
sincos per a 20 Π<< α .
16. Justifica la següent igualtat: ( ) º40cosº130sin −=− . Ressolució de problemes 1. L’àrea d’un triangle ABC és de 24 cm2, el costat c mesura 5 cm i l’angle A=35º. Calcula els
altres elements.
2. D’un triangle rectangle ABC coneixem b=4 cm, a=6 cm i l’àrea, que és 5 cm2. Calcula els tres angles.
3. Resol i calcula el perímetre del triangle ABC, del qual coneixem els angles A=40º, B=60º i
el costat b=5 cm.
4. Calcula l’àrea del triangle ABC isòsceles de costats iguals AB i AC si sabem que BC mesura 7 cm i l’angle A 50º.
5. L’àrea d’un triangle isòsceles ABC és de 42 cm2 i el costat desigual mesura 5 cm. Calcula
els altres elements. 6. Calcula l’àrea del triangle ABC sabent que A=36º, b=5 m i c=3 m.
7. Calcula l’àrea d’un pentàgon regular de 6 cm de costat. 8. Calcula l’àrea d’un hexàgon regular de 8 cm de costat.
9. Calcula l’angle que els raigs del sol formen amb el terra en el moment que una persona de
1’60 m projecta una ombra de 0’50 m. En el mateix moment, una torre projecta una ombra de 2’5 m. Calcula la seva alçada.
10. Calcula l’alçada d’una torre si se sap que la longitud de la seva ombra s’allarga 10 m quan l’angle que els raigs del sol formen amb el terra passa de 50º a 40º.
11. Planteu un pal d’un metre i mesureu en diferents hores del dia l’ombra del pal i la vostra ombra. Copieu i ompliu amb aquestes dades la taula següent:
Hora Longitud del pal Ombra del pal Ombra vostra
Amb les dades de la taula anterior, calculeu els angles amb què els raigs del sol incideixen amb el terra en les diferents hores. Amb aquests angles i les mesures de les vostres ombres, comproveu si l’altura que correspondria a aquestes ombres és realment la vostra.
12. La Paula i la Coral·lí volen pujar al teulat de casa seva per posar una antena parabòlica i no
tenen una escala prou llarga; per això han de saber la llargada que ha de fer l’escala per anar a comprar-la. La casa té una alçada de 5 m i els han dit que, perquè no sigui perillós, l’angle que ha de fer l’escala amb els terra ha de ser de 34º. De quina llargada han de comprar l’escala com a mínim?
13. Des d’un far situat a 45 m sobre el nivell del mar, es veu un vaixell sota un angle de 59º. A
quina distància del far es troba el vaixell? 14. Un globus està subjecte amb el terra per dos cables. Un mesura 80 m i forma amb el terra un
angle de 65º. L’altre, la longitud del qual desconeixem, forma un angle de 40º amb el terra. Calcular la longitud del segon cable i l’alçada del globus.
15. Dos observatoris A i B que disten 248 km s’ocupen del seguiment d’un satèl·lit situat entre
ells. Les direccions dels observatoris al satèl·lit formen angles de 62º des de A i 74º des de B respecte la recta AB. Quina és la distància del satèl·lit a cada observatori?
16. En Miquel té una casa de 9 m d’alçada amb un jardí molt gran i li agradaria fer-hi una
piscina encarada a l’est. Calcular a quina distància de la casa l’ha de construir per tal que l’ombra de l’edifici no el molesti fins passades les 4 de la tarda, sabent que l’angle d’inclinació del sol en el mes de juny, en aquesta hora, és aproximadament de 50º.
17. Un temporal de neu ha estellat un arbre de manera que
la punta ha quedat recolzada a terra a 15 m del peu de l’arbre i formant un angle de 25º amb l’horitzontal.
Quina alçada tenia l’arbre abans de la nevada? 18. La Mònica, des de la vora del mar, veu l’extrem del pal d’una bandera d’un vaixell sota un
angle de 20º; si s’allunya 28 m, el veu sota un angle de 16º. Calcular l’alçada del pal i la distància que hi ha entre el vaixell i la Mònica.
19. Un triangle rectangle té un angle de sinus 53 . Calcular l’altura corresponent a la
hipotenusa, si se sap que la hipotenusa mesura 35 m. 20. L’altura d’un gratacel és de 381 m. Des del cim d’un
altre gratacel més baix, es veu el cim del primer gratacel sota un angle de 12º, i la base es veu sota un angle de 52º. Calcular la distància entre els dos gratacels.
21. Calcular el valor de k i de l de la figura:
22. Des d’una avioneta situada a 300 m d’alçada, es veu una altra avioneta, que està a 100 m
d’alçada, sota un angle de 39º sobre la horitzontal. Calcular la distància entre les dues avionetes.
23. Volem cobrir un local de 10 x 15 metres amb teulada d’uralita de dues vessants iguals. Quants metres quadrats d’uralita es necessiten si es vol que l’angle que formen els dos vessants sigui de 110º?
24. En Quim i l’Andreu caminen a 4 km/h i surten al mateix moment d’una cruïlla de dos
camins que formen un angle de 33º. Quina distància els separarà al cap de 3/4 d’hora? 25. El teulat d’una casa és d’un sol vessant, i forma un angle de 35º amb l’horitzontal. Calcular
l’àrea del teulat si les dimensions de la casa són 10 m de llarg i 8 d’ample. Equacions trigonomètriques 1. Calcula en graus tots els angles x tals que:
a) 428571'0sin =x b) 4'0sin −=x
c) 25'0cos =x d) 75'0cos −=x e) 2'2tan =x f) 3tan −=x g) 6sec =x h) 8'3sec −=x
2. Calcula en graus tots els angles a tals que:
a) 1sin =a b) 1cos =a c) 1tan =a
d) 1sin −=a e) 1cos −=a f) 1tan −=a
3. Calcula en graus tots els angles α tals que : a) º23sinsin =α b) º42coscos =α
c) '21º57sinsin −=α d) º89tantan =α
4. Calcula en radiants tots els angles x tals que:
a) 65'03sin −=x b) 9'15tan −=x 5. Resol l’equació 1sin3sin −= xx
6. Resol l’equació 2cossin4 22 =+ xx (Orientació: per resoldre-la cal substituir x2cos )
7. Resol l’equació ( )xx tan231tan2 +⋅−=
8. Resol l’equació 0tantan 2 =+ xx (Orientació: canvi de variable xtan per y). 9. Resol l’equació 0cos2tansin =+⋅ xxx (Orientació: substituir tan x).
10. Resol l’equació 13
2tan −=
Π+x .
11. És sempre certa l’equació 1cossin =+ xx ? Raona la resposta. 12. Pots trobar algun angle x que compleixi 3cossin =+ xx ? En cas de ser possible, troba’l.
VECTORS
Els vectors ens indiquen una direcció, un camí a seguir per tal d’anar d’un punt a un altre. Observa el plànol següent. Es tracta de l’eixample de Barcelona. Imaginat que estàs en el punt A i un senyor (o senyoreta) et demana què ha de fer per anar al punt B.
Tu li diràs: Ha de caminar cinc illes a la dreta i dues illes cap avall.
Això ho escriurem així: ),(AB 25−+=→
. Aquestes són les components del vector. Recorda:
- Si vas a la dreta (+) i si vas a l’esquerra (-) - Si vas amunt (+) i si vas avall (-)
Exemple: ),(CD 21−−=→
1. Escriu les components dels vectors que van de:
B a D = ),(BD =→
B a E = ),(BE =→
A a C = B a D = C a A = C a B = F a D = B a F = B a B = C a F = E a C = E a D = E a F = D a D = 2. Digues quines són les coordenades dels vectors que tens aquí representats.
3. Ara imaginat que estàs situat en el punt de coordenades A=(-3, 5) i vas en la
direcció A quin punt aniràs a parar?
a) Estàs en el punt C=(2, -3) i vas en la direcció ),(CD 31=→
b) Estàs en el punt E=(-2, 0) i vas en la direcció ),(EF 42−=→
c) Estàs en el punt G=(1, 1) i vas en la direcció ),(GH 13=→
d) Estàs en el punt J=(-4, -1) i vas en la direcció ),(JK 06=→
e) Estàs en el punt L=(0, 3) i vas en la direcció ),(LM 43−−=→
4. Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En
cada cas fes-ne la representació gràfica.
a) →
AB amb A=(-3,4) i B=(6,9)
b) →
CD amb C=(5,1) i D=(4,-3)
c) →
EF amb E=(0,0) i F=(-2,-4)
d) →
GH amb G=(-2,-3) i H=(-5,-8)
5. Si el punt B=(-2,1) és l’extrem dels vectors següents, troba’n l’origen:
a) )4,3(=→
AB
b) )2,1( −=→
AB
c) )5,2(=→
AB
d) )1,4( −−=→
AB 6. Representa en uns eixos els vectors a = (4, -6) i b = (-8 , -3) i troba gràficament i
numèrica els vectors suma I diferència.
7. Donada la següent figura expressa en funció d' BA i BC, els vectors:
8. Els punts A(4,-3) I B(-2,5) són els extrems d’un diàmetre d’una circumferència. Troba el
centre i el radi d’aquesta circumferència.
9. Troba un extrem d'un segment si l'altre extrem és el punt A(-1,-2) i el punt mig és el punt
B(3, -4)
10. Determina el quadrat ABCD, on A=(1;2), B=(7;4) 11. Determina el triangle equilàter ABC, on A=(1.25; 1.8) i B=(9;2.5)
)4,6( −=→
AB
B C J A H G D E F I K
AC=
AG=
CE=
CG=
CH=
AJ=
IB=
GI=
26
12. Comprova que el quadrilàter de vèrtexs A (-4,3), B (2,6), C (16,-7) i D(4,-13) és un
trapezi. És també paral·lelogram?
13. Un vector té l’origen en un punt A de l’eix OX i l’extrem és el punt B(4,-3). Se sap, a
més a més, que té la mateixa direcció que u = (3,-1). Troba les coordenades d’A.
14. ABCD és un quadrat i l’octàgon és regular. Completa les igualtats següents:
15. Els vèrtexs d'un quadrilàter són A(3,-1) B(2,3), C(-5,0), D(-6,-6). Escriu les coordenades
dels punts mitjos dels seus costats i classifica la figura obtinguda al unir aquests punts
mitjos, sense representar.
16. Divideix el segment AB en 4 parts iguals, on A=(-7;-2) i B=(2;4)
17. Determina el rectangle ABCD, on A=(5 ; 1), B=(1 ; 3), sabent que
AB + BC =
AB + BC + CD =
BG + EB =
OC - OF=
OH + DF =
CE - CD=
GA – GE =
GA - GH=
ABABAD 5.12
3 ==
27
GEOMETRIA ANALÍTICA
1. Troba dos punts i un vector director de les següents rectes: a) –4x –y – 1 = 0 b) (x,y) = (-1,3) + (3,4) t c) 2x = 3 d) x = 1 – t
y = -3 + 2t 2. Troba l’equació contínua de la recta que passa pels punts (3,-1) i (4,5) 3. Troba l’equació general de la recta que passa pel punt (0,3) i el seu pendent és 1/3.
Indica un vector director d’aquesta recta. 4. Troba el punt d’intersecció de les rectes:
a) –4x –y – 1 = 0 b) x = 1 – t
y = -3 + 2t 5. Troba les interseccions amb els eixos de la recta (x,y) = (-1,3) + (3,4) t 6. Troba l’equació paramètrica de la recta paral·lela a (x,y) = (-1,2) + (1,0) t que passa pel
punt (1,-1). 7. Troba l’àrea del següent triangle:
y y= 3/2 x - 12 3x –7y – 9 = 0 x
8. Troba les equacions dels costats del següent paral·lelogram, sabent que A=(1,1) , B=(5,3) i C= (2,3)
9. Donat el paral·lelogram de vèrtexs A(-2,-4) , B(0,0) i C (7,2), calcula: a) Les coordenades del vèrtex D b) L’equació contínua de les diagonals c) Les coordenades del punt de tall de les diagonals.
10. El següent rectangle ve determinat per les rectes
83.592.0: +−= xyAB 29.4: −= xayBC 82.1: += xbyAD 69.12: += cxyCD
Determina les dades que falten i les coordenades dels seus punts. 11. Construeix el paral·lelogram ABCD si sabem que
A= (2 , 1) , B= (6 , 3) i C=( 3 , 5 ) i determina el seu centre E.
28
FUNCIONS
1. Indica si els següents gràfics representen funcions i per què:
2. Determina la funció de primer grau associada a cadascuna de les gràfiques següents:
a)
c)
b)
d)
-10 -8 -6 -4 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 910
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1
12345678910
29
3. Escriu l’equació de la recta que passa pels punts ( )5,3− i ( )4,1− .
4. Escriu l’equació de la recta que passa pels punts ( )0,2− i ( )1,6− .
5. Calcula les interseccions de les rectes següents amb els eixos de coordenades:
1. a) 24 += xy b) 13 −−= xy c) 16 +−= xy
6. Determina la recta paral·lela a y = 3 x + 4 i que passa pel punt P = ( 3 , 1 )
7. Determina la recta perpendicular a y = 2 x – 3 i que passa pel punt P = ( -3 , 2 )
8. Determina l’angle que forma la recta 34
1 −= xy amb l’eix X.
9. Determina la recta que forma un angle de 30º amb l’eix X i que passa pel punt P = ( 2 , 1 )
10. Determina la funció que té associada la següent gràfica:
11. Representa gràficament la següent funció.
≥
<+=
4,3
4,12
1)(
x
xxxf
12. Determina el punt d’intersecció de les següents rectes, on A=(-2,-1) i B=(0,5)
30
13. Un fabricant de finestres ha de fer un pressupost per a una casa. Cada finestra
que ven està formada per un vidre i un marc d’alumini. El preu del vidre és de 16 €/m2; el preu del marc és de 18 €/m, i la instal·lació té un preu fix de 50€. a) Quin serà el preu del vidre d’una finestra quadrada de costat 0.5 m? I el preu del
marc de la mateixa finestra? Quin és, llavors, el preu total d’una finestra quadrada de 0.5 m de costat?
b) Calcula el preu de finestres quadrades de costat 1 m, 1.5 m, 2 m, 2.5 m, i 3 m de costat.
c) Posa les dades anteriors en una taula i després fes el gràfic corresponent. d) Quin és el preu d’una finestra de costat x?
14. Sense dibuixar-les, trobeu l’eix de simetria i el vèrtex de les següents paràboles, i
indiqueu també si són còncaves o convexes: a) 962 −+−= xxy
b) 27xy = c) )1( −= xxy d) 1)1(2 ++−= xxy
15. Troba els punts de tall de les paràboles anteriors amb els eixos de coordenades. 16. Completa la següent taula i representa la funció:
Funció 6)( 2 +−== xxxfy
Domini
Recorregut
Punts de tall amb l’eix X
Punts de tall amb l’eix Y
Simetria
Creixement i decreixement
Màxims i mínims
Curvatura
17. Dibuixa la paràbola y = (x – 3)2 –10 seguint aquests passos:
- Troba el vèrtex i representa’l - Troba l’eix de simetria i representa’l - Completa una taula de valors i representa.
18. Fes l’estudi de la paràbola y= –x2 + 5x – 4 .
19. Determina una funció de segon grau cbxaxxfy ++== 2)( tal que
0)3()2( =−= ff
31
20. Determina els punts d’intersecció entre la paràbola i la recta següents:
2)(
53)( 2
−=−−=
xxg
xxxf
21. Partint de la gràfica de la funció 2)( xxf = , determina les altres quatre funcions
representades al següent esquema, en la forma edx ++ 2)( i també en la forma
normal cbxax ++2
22. Des d’un edifici de 30,6 m es dispara un projectil que arriba a una altura màxima de 117,13 m a 208 metres de distància. Determina el punt d’impacte amb el terra.
23. Un jugador de basket de 2.1 m
d’alçada llença a cistella des de 5.8 m. La pilota determina una
trajectòria parabòlica assolint una altura màxima de 3.55 m. a 2.65 m. del jugador. Farà cistella? Altura de la cistella: 3.05 m 24. Un futbolista xuta a porteria a 30 metres. La pilota descriu una trayectoria parabòlica amb una altura màxima de 4.95 m. als 18 metres del xut. Farà gol? Indicació: Suposem una porteria de 2.44 metres d’alçada.
32
25.
26. Del següent gràfic indica’n: domini, recorregut, intervals de creixement i
decreixement, continuïtat, màxims i mínims.
27. Representa una funció que compleixi:
a. Passa pels punts (-5,-2) (-2,2) (1,-3) i (5,2) b. És creixent en els intervals (-∞ , -2) i (1, +∞) c. És decreixent en l'interval [-2,1] d. Per x > 1 és una funció afí. e. Que tingui un màxim a (-2,2) i un mínim a (1,-3) f. Que sigui una funció discontinua.
33
Funcions racionals, radicals, exponencials, logarít miques i trigonomètriques
1. Troba el domini de les següents funcions racionals.
a) 1
( )3
f xx
=−
b) 1
( )5
f xx
=−
c) 2
1( )
( 2)f x
x=
−
d) 3
( )1
xf x
x
−=−
e) 4
( )5
xf x
x
−=+
f) ( 3)( 2)
( )( 1)
x xf x
x
− +=−
g) ( 6)( 3)
( )( 2)( 2)
x xf x
x x
− +=− +
h) 2
2
( 2)( )
( 2)
xf x
x
+=−
2. Troba el domini de les següents funcions amb radicals:
a) 45)( −+= xxf b) 3)( −−= xxf
c) xxf −= 4)(
d) 32)( −+= xxf
e) 53)( −+= xxf
f) 3)( −−= xxf 3. Fes l’estudi de la següent funció i troba la seva equació:
4. Determina per les següents funcions:
- L’extrem P de la gràfica. - El punt de tall Ix amb l’eix X. - El punt de tall Iy amb l’eix Y. - Representa-les
a) 2)(1 += xxf
b) xxf −=)(2
c) 3)(3 +−= xxf
d) 342)( −+= xxf
-2 2 4 6 8 10
-15
-10
-5
5
10
15
34
9. Donada la funció xaxf =)( , determina a si sabem que passa pel punt ( - 3 , 1/8)
10. Troba la funció inversa de les següents funcions:
2) 1
1)
1
) 2x
a y x
b yx
c y
= −
=+
=
35
11. Fes l’estudi de la següent funció i troba la seva equació:
Representa la funció simètrica a aquesta respecte de l’eix de les abscisses. Quina és la seva equació?
12. Resol la següent equació: 648 12 =+x
13. Resol la següent equació: 112 5 =−x
14. Resol les següents equacions exponencials:
2. 2 x+1 + 2 2x = 80
3. 4 x - 4 2x - 4 2x-1 + 3 = 0
4. 4 x+1 + 2 x+3 - 320 = 0
5. 4 x - 16 x = 4 2x-1 - 3
6. �� √�" = √���"$
7. 4 x+2 - 5 · 2 x+1 + 1 = 0
15. Resoleu les equacions exponencials següents:
a) 1642 =⋅x
b) 6255.5 =x c) 1e 1+2x =
d) 4e-5 x-2 =
e) 648
4
2
x
=x
16. Troba la x de les igualtats següents:
a) log5 x = 2
b) log 4 x = -2
c) log x = -3
d) log 6 x = 3
e) log x = 0
f) log 25 x = 1/2
g) log 6 x = -3
h) log 9 x = 1
i) log 27 x = 1/3
17. Calcula:a) log 6 36
b) log 36 6
c) log2 32
d) log 32 2
e) log 100
f) log6 216
g) log3 27
h) log 3 81
i) log 4 64
j) log 5 125
k) log 4 16
l) log 5 625
18. Calcula el valor d' a a les igualtats següents:
a) log a 16 = 2
b) log a 125 = 3
c) log a 1000 = 3
d) log a 9 = 1/2
e) log a 3 = 1/3
f) log a 10 = 1/4
g) log a 0.001 = -3
h) log a 0.000001 = -3
i) log a 16 = 1/2
7.1 aaaa xxx =
36
19. Fes l’estudi de la següent funció i troba la seva equació:
Representa la funció simètrica a aquesta respecte de la bisectriu del 1r i 3r quadrants. Quina és la seva equació?
20. Troba el valor d' x aplicant les propietats dels logaritmes: a) x = log2 64
b) x = log2 24·
c) x = log3 9
3
d) x = log 310
e) x= log5 625
f) x= log2 2
8
g) x=log55
1
21. Determina: a) )2.4(log 7.8
b) )31(log91
22. Calculeu els logaritmes següents:
a) ( )3ln e
b) 3
1ln −e
c) 16
8log
d) 0010log ′
e) 010
1log
′
f) ( )eeln
g) 125
5log
23. Resoleu les equacions següents aplicant les propietats dels logaritmes:
a) 2 log 5 + log x – log 9 = 2
b) x)-log(5 2)x-(11 log 2 log 2 =+
c)
==+
3 y log 2 - x log 3
1 y log x log
24. El poloni es redueix a la meitat cada 140 dies. Si partim d’una massa de 15 grams, escriu l’equació de la funció que representa aquesta desintegració. Quants anys han de passar per que la massa es redueixi a 0,1 grams?
25. Donada la funció )(log)( xxf a= , determina el valor de a si sabem que passa pel punt (4 , 1).
37
26. Resoleu les equacions logarítmiques següents:
d) ( ) 02ln =−x
e) 01
1ln
2=
+x
f) ( ) 25ln =+x g) xx ln21ln =+ h) 6ln2ln 2 =+ xx
i) 0)54ln( 2 =+− xx
j) 3ln21 =− x
27. Una companyia troba que la quantitat d’euros y que ha de gastar setmanalment en publicitat per vendre x unitats del seu producte ve donada per Calculeu la despesa publicitària que s’ha de fer per vendre: a) 100 unitats. b) 300 unitats. c) 490 unitats.
28. Quina relació hi ha entre els gràfics de les funcions sinus i cosinus?
29. Dibuixar la funció ( ) xxg sin2= . Què ha variat, respecte de la funció ( ) xxf sin= , el període o l’amplitud? Indica les interseccions amb els eixos, els màxims i els mínims.
30. Dibuixar ( ) xxh 2sin= . Què ha variat, respecte de la funció ( ) xxf sin= , el període o l’amplitud? Indica les interseccions amb els eixos, els màxims i els mínims.
31. Són iguals les funcions ( ) xxg sin2= i ( ) xxh 2sin= ? És cert que x2sin és el doble de xsin ?
32. Comparar els gràfics de ( ) xxf cos= i ( ) ( )xxg −= cos
−=
xy
500
400ln200
38