dominio matemÁtico · además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = −...

75
DOMINIO MATEMÁTICO TEXTO BASE Teoría y Ejercicios Lic. Fabián Izquierdo C.

Upload: others

Post on 25-Feb-2021

15 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

DOMINIO MATEMÁTICO

TEXTO BASE

Teoría y Ejercicios

Lic. Fabián Izquierdo C.

Page 2: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

CONJUNTOS NUMÉRICOS

La siguiente gráfica muestra la distribución de los conjuntos numéricos:

Números Naturales (ℕ): Son los que se utilizan para establecer un orden de un conjunto o para contar los elementos de dicho conjunto.

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,… }

Todo número natural cumple con las siguientes propiedades:

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural:

2 + 7 = 9

(2) ∙ (6) = 12

La diferencia y la división de dos números naturales no siempre es otro número natural:

4 − 9 = −5 → 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙

10 ÷ 4 = 2,5 → 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙

Números Racionales (ℚ): Son todos aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, cuyo denominador será diferente de cero:

Los números decimales exactos, periódicos puros y mixtos, también son números racionales, puesto que pueden ser expresados como una fracción, eso no ocurre con los decimales no periódicos o ilimitados.

ℚ = {… ,−9

2,−1, 56̂, −

1

2,1

2, 1,5,

5

2, 3,256̂, … }

Todo número racional cumple:

La suma, diferencia, producto y división de dos números racionales, es otro número racional: 2

5+1

2=9

10 → 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

0,25 − 1,30 = −1,05 → 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

(3

4) ∗ (0,5) =

3

8 → 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

(6

5) ÷ (

2

3) =

9

5 → 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

EN DONDE:

ℕ:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

ℚ:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

ℤ:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠

𝐼:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

ℝ:𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

Page 3: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Números Irracionales (𝐈): Son aquellos números que poseen infinitas cifras no periódicas, es decir que

no pueden expresarse como una fracción:

Dentro de los números irracionales más conocidos tenemos:

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑖: 𝜋 = 3,141592653589…

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑎𝑢𝑟𝑒𝑜: 𝛷 =1 + √5

2= 1,618033988749 …

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒: 𝑒 = 2,718281828459…

EJERCICIOS RESUELTOS:

a) Realice las siguientes transformaciones:

5

2 𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙

Para esto únicamente dividimos el denominador para el denominador:

5 ÷ 2 = 2,5, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟: 5

2= 2,5

0,32 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛

Para esto se ubica como numerador el número si contar la coma, y como denominador una potencia

de diez en donde el número de ceros vendrá en función del número de decimales del número, y se

simplifica si es posible:

0,32 =32

100=8

25

1,4242424242…𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

En este caso tenemos un número periódico puro, que puede representarse 1, 42̂, es decir tenemos

que encontrar la fracción generatriz de dicho número, para esto aplicamos el siguiente proceso:

Como numerador colocamos el número sin la coma, restado a la parte entera de dicho número, y

como denominador se colocan tantos nueves como cifras decimales tenga el periodo, y se simplifica

si es posible, entonces en el ejemplo queda:

1, 42̂ =142 − 1

99=141

99→ 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

2,2363636363636 …𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛

Ahora se tiene un número periódico mixto que se puede expresar 2,236̂, teniendo en cuenta que el

periodo es “36”, luego se aplica el siguiente proceso:

Como numerador se ubica el número si contar con la como y restado a la parte entera y las cifras que

no son parte del periodo y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de

tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número, y se simplifica si es posible,

entonces se tiene:

2,236̂ =2236 − 22

990=2214

990=123

55 → 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

Page 4: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

b) Realice la siguiente operación y aproxime su resultado a tres decimales:

2√2 +1

3− 3𝑒 +

√5

2+ 2 ≈ 2(1,414) + 0,333 − 3(2,718) +

2,236

2+ 2

≈ 2,282 + 0,333 − 8,154 + 1,118 + 2 ≈ −2,421

EJERCICIOS PROPUESTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS:

1. Exprese en decimal la siguiente fracción: 190

99

A: 1, 90̂

B: 1, 99̂

C: 1, 91̂

D: 1, 09̂

2. Exprese el decimal 0,123̂, en función de su fracción generatriz:

A: 61

495

B: 61

450

C: 122

999

D: 123

900

3. Encuentre la fracción generatriz del número 22, 3̂

A: 113

3

B: 220

9

C: 223

9

D: 67

3

4. Exprese la fracción 1

6 como numero decimal periódico

A: 0,16̂

B: 0,16

C: 1,6

D: 16

5. Ordene en orden descendente los siguientes números racionales; 3

2; 1,55;

9

7, 1,

6

5:

A: 1; 6

5; 9

7; 3

2; 1,55

B: 1,55; 3

2; 9

7; 6

5: 1

Page 5: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: 9

7; 6

5; 1,55;

3

2; 1

D: 1,55; 9

7; 6

5; 3

2; 1

6. Resuelva la operación: √3 + √2 − √5 + 𝜋, y aproxime su resultado a dos decimales:

A: 4,04

B: 3,14

C: 8,52

D: 6,28

7. Resuelva la operación: (√2)∙(2√3)

2− √6, y aproxime su resultado a dos decimales:

A: 0

B: 1,41

C: 1,73

D: 2,45

8. Transforme a decimales y establezca la relación de orden entre las siguientes fracciones: 21

20 𝑦

19

18:

A: 1,05 = 1,05

B: 1,05 > 1,05̂

C: 1,05 < 1,05̂

D: 21,20 < 19,18

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Máximo común divisor (MCD): Se define como el mayor de los números que divide a dos o más números.

Para encontrar el MCD, se descomponen los números en sus factores primos, luego se toman los factores comunes con el menor exponente y se los multiplica y el valor resultante será en MCD.

Ejemplo:

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑀𝐶𝐷 𝑑𝑒: 72, 108 𝑦 60:

𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠:

Luego:

72 = 23 ∙ 32

108 = 23 ∙ 32

60 = 22 ∙ 3 ∙ 5

𝐸𝑙 𝑀𝐶𝐷 𝑑𝑒 (72, 108, 60) = 22 ∙ 3

𝑬𝒍 𝑴𝑪𝑫 𝒅𝒆 (𝟕𝟐, 𝟏𝟎𝟖, 𝟔𝟎) = 𝟏𝟐

Page 6: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Mínimo común múltiplo (MCM): Se define como el menor de los múltiplos comunes de dos o más números, sin contar el cero.

Para obtener el MCM de varios números, se descomponen los mismos en sus factores primos, y luego se sacan los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

Ejemplo:

Determinar el MCM, de: 96, 50 y 54

𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

96 = 25 ∙ 3

50 = 2 ∙ 32

54 = 2 ∙ 33

Ejercicio: Luis y Marco son dos policías que realizan guardias, Luis realiza su guardia cada 6 días y Marco cada 8 días, si hoy han coincidido en la guardia. ¿Luego de cuántos días volverán a coincidir en su día de guardia?

Para encontrar la solución a este problema es necesario encontrar el MCM de 6 y 8, ya que ese es el común de los múltiplos de ambos números.

𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

6 = 2 ∙ 3

8 = 23

𝐸𝑙 𝑀𝐶𝑀 𝑑𝑒 (6; 8) = 23 ∙ 3 = 24

EJERCICIOS PROPUESTOS MCM y MCD

1. Calcule el MCM y MCD de: 428 y 376

A: 5029; 8

B: 10058; 16

C: 40232; 2

D: 40232; 4

2. Realice la siguiente operación: 2

3+

5

12−4

5+1

9:

A: 35

90

B: 71

180

C: 71

360

D: 17

60

3. Una carretera recta tiene tres semáforos, el primero se pone en rojo cada 3 minutos, el segundo cada 6 minutos y el último cada 12 minutos. Si los tres semáforos coinciden a las 8h10 horas, ¿A qué hora exacta será la próxima coincidencia?

A: 8h22

𝐸𝑙 𝑀𝐶𝑀 𝑑𝑒 (96, 50, 54) = 25 ∙ 33

𝐸𝑙 𝑀𝐶𝑀 𝑑𝑒 (96, 50, 54) = 864

𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐿𝑢𝑖𝑠 𝑦 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑑𝑒 24 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑖𝑟á𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑢𝑎𝑟𝑑𝑖𝑎.

Page 7: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: 8h34

C: 8h38

D: 8h46

4. Obtenga el MCM y MCD de los números 1048, 786 y 3930:

A: 3930; 131

B: 7869; 131

C: 15720; 262

D: 31440; 524

5. Lucia compra 56 canapés de queso y 40 de paté para la cena, quiere repartir los canapés en el máximo número de platos posibles, de manera que haya el mismo número de canapés de cada tipo en todos los platos. ¿Para cuantos platos alcanza el total de canapés?

A: 4

B: 8

C: 12

D: 16

6. Realice la operación: 2

5+1

9−

7

10+2

3:

A: 43

90

B: 23

90

C: −17

90

D: −43

90

7. Para la seguridad una escuela posee tres reflectores que se encienden alternadamente, el primero se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto, a las 17h00 los tres reflectores coinciden. ¿A qué hora volverán a coincidir dichos reflectores?

A: 17h03

B: 17h30

C: 20h00

D: 20h30

8. Determine el MCD de: 32, 27, 125 y 49

A: 0

B: 1

C: 3

D: 5

Page 8: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

PRODUCTOS NOTABLES

Son expresiones algébricas que cumplen ciertas reglas fijas, las cuales permiten obtener su resultado por simple inspección sin necesidad de realizar el algoritmo correspondiente.

Cuadrado de un binomio: (𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥2 ± 2𝑥𝑦 + 𝑦2

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 − 2(2𝑥)(3) + 32 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9

Suma por las diferencia de dos términos: (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (2𝑎𝑏𝑐 + 5)(2𝑎𝑏𝑐 − 5) = (2𝑎𝑏𝑐)2 − 52 = 4𝑎2𝑏2𝑐2 − 25

Binomio al cubo: (𝑥 ± 𝑦)2 = 𝑥3 ± 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 ± 𝑦3

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: (2𝑎 + 3𝑏)3 = (2𝑎)3 + 3(2𝑎)2(3𝑏) + 3(2𝑎)(3𝑏)2 + (3𝑏)3 = 8𝑎3 + 3(4𝑎2)(3𝑏) + 6𝑎(9𝑏2) + 27𝑏3 = 8𝑎3 + 36𝑎2𝑏 + 54𝑎𝑏2 + 27𝑏3

Producto de binomios con un término común:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

(𝑧 + 13)(𝑧 − 5) = 𝑧2 + (13 − 5)𝑧 + (13)(−5)

= 𝑧2 + 8𝑧 − 65

Además se puede considerar los siguientes cocientes notables:

𝒙𝟐−𝒚𝟐

𝒙+𝒚= 𝒙 − 𝒚 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏

𝒙𝟐−𝒚𝟐

𝒙−𝒚= 𝒙 + 𝒚

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

16 − 𝑛4

4 + 𝑛2= 4 − 𝑛2

𝒙𝟑−𝒚𝟑

𝒙−𝒚= 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏

𝒙𝟑+𝒚𝟑

𝒙+𝒚= 𝒙𝟐 − 𝒙𝒚+ 𝒚𝟐

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:

27𝑚3 + 1

3𝑚 + 1= 9𝑚2 − 3𝑚 + 1

EJERCICIOS PROPUESTOS PRODUCTOS NOTABLES:

1. Desarrolle el siguiente producto notable: (1

2𝑎𝑏𝑐 − 1)

2:

A: 1

2𝑎2𝑏2𝑐2 − 1

B: 1

4𝑎2𝑏2𝑐2 + 𝑎𝑏𝑐 + 1

Page 9: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: 1

4𝑎2𝑏2𝑐2 − 𝑎𝑏𝑐 + 1

D: 1

4𝑎2𝑏2𝑐2 − 𝑎𝑏𝑐 − 1

2. Subraye el producto notable que al desarrollar se obtiene la siguiente expresión: (𝑛 − 3)(𝑛 + 1) A: 𝑛2 − 2𝑛 − 3

B: 𝑛2 − 2𝑛 + 3 C: 𝑛2 + 2𝑛 − 3 D: 𝑛2 − 3𝑛 − 1

3. Subraye la expresión que se obtiene al desarrollar: (𝑚2𝑛 + 3𝑝)(𝑚2𝑛 − 3𝑝): A: 𝑚2𝑛2 − 9𝑝2 B: 𝑚2𝑛2 + 9𝑝2 C: 𝑚4𝑛2 + 9𝑝2

D: 𝑚4𝑛2 − 9𝑝2 4. Desarrolle el producto notable: (2𝑥𝑦𝑧 − 4)3:

A: 8𝑥3𝑦3𝑧3 − 48𝑥2𝑦2𝑧2 + 96𝑥𝑦𝑧 − 64 B: 8𝑥3𝑦3𝑧3 + 48𝑥2𝑦2𝑧2 + 96𝑥𝑦𝑧 + 64

C: 8𝑥3𝑦3𝑧3 − 48𝑥2𝑦2𝑧2 − 96𝑥𝑦𝑧 − 64 D: 4𝑥3𝑦3𝑧3 − 48𝑥2𝑦2𝑧2 + 96𝑥𝑦𝑧 − 16

5. Desarrolle el siguiente cociente notable: 16𝑎4𝑏6−9𝑐8

4𝑎2𝑏3+3𝑐4:

A: 4𝑎2𝑏3 + 3𝑐4 B: 16𝑎2𝑏3 + 9𝑐4 C: 4𝑎2𝑏3 − 3𝑐4

D: 2𝑎2𝑏3 − 3𝑐4 6. Subraye el cociente notable que corresponde al desarrollo: 4𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 9𝑛2

A: 8𝑚3+27𝑛3

2𝑚+3𝑛

B: 8𝑚3−27𝑛3

2𝑚+3𝑛

C: 8𝑚3+27𝑛3

2𝑚−3𝑛

D: 8𝑚3−27𝑛3

2𝑚−3𝑛

7. Desarrolle el siguiente producto notable: (10𝑎2𝑏2𝑐3 − 5𝑑4)2:

A: 100𝑎4𝑏4𝑐6 + 100𝑎2𝑏2𝑐3𝑑4 − 25𝑑8

B: 100𝑎4𝑏4𝑐6 − 100𝑎2𝑏2𝑐3𝑑4 − 25𝑑8

C: 100𝑎4𝑏4𝑐6 + 100𝑎2𝑏2𝑐3𝑑4 + 25𝑑8

D: 100𝑎4𝑏4𝑐6 − 100𝑎2𝑏2𝑐3𝑑4 + 25𝑑8

8. Que producto notable corresponde al desarrollo: 16

9𝑥4𝑦6 −

1

4𝑧8:

A: (4

3𝑥2𝑦3 +

1

2𝑧4) (

4

3𝑥2𝑦3 +

1

2𝑧4)

B: (4

3𝑥2𝑦3 +

1

2𝑧4) (

4

3𝑥2𝑦3 −

1

2𝑧4)

C: (4

3𝑥2𝑦3 −

1

2𝑧4) (

4

3𝑥2𝑦3 −

1

2𝑧4)

D: (4

3𝑥2𝑦3 −

1

2𝑧4)

2

Page 10: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

FACTORIZACIÓN

Consiste en expresar un polinomio como el producto de dos o más factores, existen varios casos de factoreo, los mismos que se presentan a continuación:

Factor común:

25𝑥2𝑦4𝑧 + 10𝑥3𝑦2𝑧5 − 100𝑥5𝑦𝑧6

= 5𝑥2𝑦𝑧(5𝑦3 + 2𝑥𝑦𝑧4 − 20𝑥3𝑧5)

Factor común polinomio:

2𝑎𝑥 + 3𝑏𝑥 + 3𝑏𝑦 + 2𝑎𝑦

= (2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦) + (3𝑏𝑥 + 3𝑏𝑦)

= 2𝑎(𝑥 + 𝑦) + 3𝑏(𝑥 + 𝑦)

= (2𝑎 + 3𝑏)(𝑥 + 𝑦)

Diferencia de cuadrados1:

Trinomio cuadrado perfecto:

1 Cuadrados perfectos son aquellos coeficientes numéricos de los cuales se puede obtener la raíz cuadrada exacta, y los literales que tienen exponentes pares

Se saca el MCD de los coeficientes

numéricos y los literales comunes con el

menor exponente y se divide:

Se agrupa en función de un término

común y se saca factor común

consecutivamente:

Identificados los cuadrados

perfectos y la diferencia se aplica:

𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)

Ejemplo:

16𝑎4𝑏6 −1

9𝑐2 = (4𝑎2𝑏3 +

1

3𝑐) (4𝑎2𝑏3 −

1

3𝑐)

Ejemplo:

9𝑚2𝑛2 − 6𝑚𝑛𝑝 + 𝑝2 = (3𝑚𝑛 − 𝑝)2

√9𝑚2𝑛2 = 3𝑚𝑛

√𝑝2 = 𝑝

2(3𝑚𝑛)(𝑝) = 6𝑚𝑛𝑝

Un trinomio cuadrado perfecto cumple con:

𝑥2 ± 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = (𝑥 ± 𝑦)2

𝑥2 → 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜: √𝑥2 = 𝑥

𝑦2 → 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜: √𝑦2 = 𝑦

2𝑥𝑦 → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠

Page 11: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Trinomio de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Producto de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Para factorar este tipo de polinomios realizamos el siguiente proceso, que se aplica en el siguiente ejemplo:

3𝑚2 + 10𝑚 − 8

Realizamos el producto del coeficiente “a” en este caso el “3” con “c” que este ejemplo es “-8” y se deja indicado:

3𝑚2 + 10𝑚 − 24

Luego ubicamos en dos paréntesis coeficiente “a” seguido de la raíz del termino cuadrático “m” y los signos van de igual forma que en el caso anterior:

(3𝑚+ )(3𝑚− )

Luego encontramos dos números cuya suma algebraica nos dé “b” en este caso “10” y cuyo producto nos dé el resultado de la multiplicación de “a.c” en este caso “-24” y se divide a todo el resultado para el valor de “a” es decir en este ejemplo para 3:

𝐶𝑜𝑚𝑜:

12 − 2 = 10

(12)(−2) = −24;

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎:

(3𝑚 + 12)(𝑚 − 2)

3= (𝑚 + 4)(𝑚 − 2)

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

3𝑚2 + 10𝑚 − 8 = (3𝑚 + 12)(𝑚 − 2)

Ejemplo:

𝑥2 + 12𝑥 − 13

13 − 1 = 12

(13)(−1) = −13

𝑥2 + 12𝑥 − 13 = (𝑥 + 13)(𝑥 − 1)

Para factorar un trinomio:

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝐸𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 “𝑥2”

𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 (𝑝 + 𝑞)𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑎𝑟 "𝑏"

𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 (𝑝 ∙ 𝑞)𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑎𝑟 𝑐

El signo del primer paréntesis es el de “bx”, para el segundo paréntesis corresponde al producto de signos de “bx” y “c”

Se simplifica con uno o

los dos paréntesis

Nota: Existe una regla para este trinomio que indica que siempre en el primer paréntesis se ubica el número mayor, y en el segundo paréntesis el menor:

Page 12: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Suma y diferencia de cubos perfectos2:

Método de evaluación:

A continuación se presenta el proceso para factorar por medio de evaluación, aplicado en el polinomio:

2𝑥4 + 𝑥3 − 9𝑥2 − 4𝑥 + 4

Fuente: http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas134.htm

2 Un cubo perfecto son los coeficientes numéricos cuya raíz cúbica es exacta, y los literales cuyo exponente es múltiplo del “3”

Se cumple que:

𝑥3 + 𝑦3

= 𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2

𝑥3 − 𝑦3

= 𝑥 − 𝑦 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2

Ejemplo:

8𝑎3 − 𝑏6

= 2𝑎 − 𝑏2 4𝑎2 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏4

1 +𝑚3𝑛3𝑝9

= 1 +𝑚𝑛𝑝3 1 − 𝑚𝑛𝑝3 +𝑚2𝑛2𝑝6

¡PARA CONSIDERAR!

Este método es de tanteos,

es decir que no todos los

polinomios podrán ser

factorados:

Se deben probar con todos

los divisores del termino

independiente “4” en el

ejemplo:

El divisor que haga cero la

división, se lo ubica como

factor con el signo invertido.

Page 13: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS FACTOREO:

1. Factorar el siguiente polinomio:100𝑥4𝑦6𝑧2 −4

25

A: (10𝑥2𝑦3𝑧 +2

5) (10𝑥2𝑦3𝑧 −

2

5)

B: (10𝑥2𝑦3𝑧 +2

5) (10𝑥2𝑦3𝑧 +

2

5)

C: (10𝑥2𝑦3𝑧 −2

5) (10𝑥2𝑦3𝑧 −

2

5)

D: (10𝑥2𝑦3𝑧 +2

5)2

2. Subraye el polinomio que corresponde al producto de los siguientes factores: (𝑥 + 12)2

A: 𝑥2 − 24𝑥 + 144

B: 𝑥2 + 24𝑥 − 144

C: 𝑥2 + 24𝑥 + 144

D: 𝑥2 − 24𝑥 − 144

3. Al factorar el polinomio: 27𝑥3𝑦3 − 1, se obtiene:

A: (3𝑥𝑦 − 1)(9𝑥2𝑦2 − 3𝑥𝑦 − 1)

B: (3𝑥𝑦 + 1)(9𝑥2𝑦2 + 3𝑥𝑦 + 1)

C: (3𝑥𝑦 − 1)(9𝑥2𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 1)

D: (3𝑥𝑦 − 1)(9𝑥2𝑦2 + 3𝑥𝑦 + 1)

4. Factorar el polinomio: 2𝑛2 + 9𝑛 + 10:

A: (2𝑛 + 5)(2𝑛 + 4)

B: (𝑛 + 5)(𝑛 + 2)

C: 2𝑛 + 5)(𝑛 + 2)

D: (𝑛 + 5)(𝑛 + 4)

5. Factorar: 8𝑚3𝑛2 + 6𝑚5𝑛4 − 30𝑚4𝑛3𝑝

A: 2𝑚3𝑛2(4 + 3𝑚2𝑛2 − 15𝑚𝑛𝑝)

B: 2𝑚3𝑛2(4𝑚𝑛 + 3𝑚2𝑛2 − 15𝑚𝑛𝑝)

C: 4𝑚3𝑛2(2 + 3𝑚2𝑛2 − 5𝑚𝑛𝑝)

D: 𝑚3𝑛2(4 + 3𝑚2𝑛2 − 15𝑚𝑛𝑝)

6. Facrorar el polinomio: 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12

A: (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

B: (𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

C: (𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

D: (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

Page 14: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

7. Factorar: 𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 − 𝑏𝑚 − 𝑏𝑛

A: (𝑎 + 𝑏)(𝑚 + 𝑛)

B: (𝑎 − 𝑏)(𝑚 + 𝑛)

C: (𝑎 − 𝑏)(𝑎 −𝑚)

D: (𝑎𝑚 − 𝑏𝑛)

8. Factorar el polinomio: 𝑥4 − 1

A: (𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

B: (𝑥2 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

C: (𝑥2 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

D: (𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Se define como el cociente entre dos polinomios:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

𝐶𝑜𝑛 𝑄(𝑥) ≠ 0

Simplificación de fracciones algebraicas:

Para esto es necesario factorizar el numerador y/o el denominador y simplificar factores que sean semejantes:

Ejemplo:

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟: 𝑥2 + 7𝑥 + 10

𝑥2 − 25

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

(𝑥 + 5)(𝑥 − 5)=𝑥 + 2

𝑥 − 5

Suma de fracciones algebraicas:

Se aplica el siguiente proceso:

𝑆𝑢𝑚𝑎𝑟: 2

𝑥2 − 4+

3

𝑥2 + 3𝑥 + 2−

1

𝑥2 − 𝑥 − 2

Primero factoramos los denominadores:

𝑥2 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

𝑥2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Luego se halla el MCM, que es el conjunto de todos los factores comunes y no comunes con el menor exponente:

𝑀𝐶𝑀: (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Page 15: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Luego se sigue el mismo proceso ya conocido para la suma de fracciones:

2

𝑥2 − 4+

3

𝑥2 + 3𝑥 + 2−

1

𝑥2 − 𝑥 − 2=

2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)+

3

(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)−

1

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

=2(𝑥 + 1) + 3(𝑥 − 2) − 1(𝑥 + 2)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)=2𝑥 + 2 + 3𝑥 − 6 − 𝑥 − 2

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)=

4𝑥 − 6

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Multiplicación de fracciones algebraicas:

Para esto se opera numerador con numerador y denominador con denominador, teniendo en cuenta antes que de ser posible se simplifica antes de comenzar a multiplicar:

Ejemplo: Multiplicar (𝑥−1)(𝑥−2)

𝑥−3∙

3(𝑥−3)

(𝑥−1)(𝑥−5)∙(𝑥+3)

(𝑥+6)

División de fracciones algebraicas:

Para esto se multiplica en cruz, o bien se invierte el divisor y se opera como una multiplicación:

Ejemplo:

𝑥 + 2

𝑥 − 1÷𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 4=(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)=𝑥3 + 8

𝑥3 − 1

EJERCICIOS PROPUESTOS FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Sumar: 1

𝑥+1+

2𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥−1

A: 2

𝑥+1

B: 1

𝑥−1

C: 2

𝑥−2

D: 1

𝑥+1

2. Simplificar: 𝑥2−2𝑥−3

𝑥2−𝑥−2

A: 𝑥+3

𝑥−2

B: 𝑥−2

𝑥−3

C: 𝑥−3

𝑥−2

D: 𝑥+3

𝑥+2

3. Resolver la siguiente operación: 𝑥+2

𝑥3−1−

1

𝑥−1

A: 𝑥−1

𝑥2+𝑥+1

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

𝑥 − 3∙

3(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)∙(𝑥 + 3)

(𝑥 + 6)=𝑥 − 2

1∙3

𝑥 − 5∙𝑥 + 3

𝑥 + 6=2(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

(𝑥 − 5)(𝑥 + 6)=2𝑥2 + 2𝑥 − 12

𝑥2 + 𝑥 − 30

Page 16: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: −(𝑥+1)

𝑥2−𝑥+1

C: 𝑥+1

𝑥2+𝑥+1

D: −(𝑥+1)

𝑥2+𝑥+1

4. Multiplicar: 𝑥2−6𝑥+9

9−𝑥2∙𝑥2−5𝑥+6

3𝑥2−9𝑥

A: (3−𝑥)(𝑥−2)

3𝑥(𝑥+3)

B: (𝑥+3)(𝑥−2)

3𝑥(𝑥+3)

C: (3−𝑥)(𝑥−2)

3𝑥(𝑥−3)

D: (3−𝑥)(𝑥+2)

3𝑥(𝑥+3)

5. Dividir: 𝑥+2

𝑥2+4𝑥+4÷𝑥2−4

𝑥3+8

A: 𝑥2−2𝑥+4

𝑥2+4

B: 𝑥2+2𝑥+4

𝑥2−4

C: 𝑥2−2𝑥+4

𝑥2−4

D: 𝑥2+2𝑥+4

𝑥2+4

6. Operar: (𝑥 +𝑥

𝑥−1) ∙ (𝑥 −

𝑥

𝑥−1)

A: 𝑥3(𝑥−2)

(𝑥−1)2

B: 𝑥3(𝑥−2)

(𝑥+1)2

C: 𝑥3(𝑥+2)

(𝑥−1)2

D: 𝑥3(𝑥+2)

(𝑥+1)2

7. Resolver: (𝑥 +𝑥

𝑥−1) ÷ (𝑥 −

𝑥

𝑥−1)

A: 𝑥

𝑥+2

Page 17: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

¡IMPORTANTE!

Se aplican las propiedades vistas anteriormente:

Se sugiere en lo posible trasformar las bases a una

común:

Se debe aplicar la jerarquía de las operaciones, es

decir primero potencias y raíces, divisiones,

multiplicaciones y por ultimo sumas y restas:

La respuesta obtenida no puede quedar

expresada con exponentes negativos.

B: 𝑥

𝑥−2

C: −𝑥

𝑥+2

D: −𝑥

𝑥−2

8. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑥

1+1

1+1𝑥

A: 𝑥(𝑥−1)

2𝑥−1

B: 𝑥(𝑥+1)

2𝑥−1

C: 𝑥(𝑥+1)

2𝑥+1

D: 𝑥(𝑥−1)

2𝑥+1

POTENCIACIÓN

Fuente: http://pasichana.blogspot.com/2014/01/propiedades-de-la-potenciacion

Ejemplos de aplicación de las propiedades:

𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟: (22)2

4 ∙ 23÷

8

25 ÷ 23∙ 24

=24

22 ∙ 23÷23

22∙ 24

=24

25÷ 2 ∙ 24

=24

25÷ 2 ∙ 24

= 2−1 ÷ 2 ∙ 24

= 2−2 ∙ 24

= 22

Se define como una operación abreviada de la multiplicación:

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … . . 𝑎, 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

Page 18: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

RADICACIÓN

La radicación se define como una de las operaciones inversas a la potenciación:

𝑎𝑛 = 𝑏 → √𝑏𝑛

= 𝑎

Propiedades:

Ejemplo de aplicación de las propiedades:

𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟: √20

√5∙ (√2)

2÷ √4

= √20

5∙ (2) ÷ 2

= √4 ∙ (2) ÷ 2

= (2)(2) ÷ 2

= (2)(1)

= 2

Operaciones con radicales:

Para realizar operaciones con raíces además de considerar las propiedades, se debe tomar en cuenta las siguientes observaciones:

La suma y resta están definidas únicamente para radicales de índice y radicando iguales. La multiplicación está definida para radicales de igual índice

Ejemplos:

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟:

(√23)(√3

3)(√9

3)(√4

3)(√5) = (√2 ∙ 3 ∙ 9 ∙ 4

3)( √5) = √216

3∙ √5 = 6√5

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟:

2√15 + 4√15 − √15

4√5 − 2√5 + √5∙ √3 =

5√15

3√5∙ √3 =

5

3√15

5∙ √3 =

5

3√3 ∙ √3 =

5

3√9 =

5

3(3) = 5

Estas propiedades se cumplen:

∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

∀𝑚, 𝑛, 𝑝 ∈ ℕ

Page 19: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS EXPONENTES Y RAICES

1. Resolver: [ (−2) 6 : (−2) 3] 3 · (−2) · (−2) − 4

A: 16

B: 32

C: 64

D: 128

2. Resolver: {[(2

3)2]3

}

−4

A: (3

2)24

B: (3

2)−24

C: (2

3)24

D: (3

2)12

3. Resolver: (2

3)5(2

3)0(2

3)−3(81

16)−2

(3

2)−5(2

3) (

2

3)10(8

27)3

A: (2

3)15

B: (3

2)15

C: (−3

2)15

D: (3

2)14

4. Resolver: 2√2 − 4√2 + √2

A: √−2

B: 2√2

C: √2

D: −√2

5. Resolver: (√7 − √2)2

A: 3

B: 9 − 2√14

C: 9 + √14

D: 7 − √2

Page 20: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

6. Resolver: (2√5 + 3√2)(2√5 − 3√2)

A: 1

B: 2

C: 4

D: 7

7. Resolver: 1

2−√3∙

1

2+√3

A: 1

B: 2

C: 3

D: 4

8. Resolver: √𝑎−𝑏

(𝑎−𝑏)2∙𝑎+𝑏

𝑎2−𝑏2

A: 1

𝑎+𝑏

B: 1

𝑎−𝑏

C: 𝑎 + 𝑏

D: 𝑎 − 𝑏

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad que se cumple para uno, para ninguno o para infinitos valores de la variable, existen varios tipos de ecuaciones y de esto difiere su forma de resolución, de entre los cuales tenemos.

Ecuaciones cuadráticas: Son aquellas ecuaciones de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎. 𝑏. 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Estas ecuaciones se pueden resolver mediante factorización y aplicando la fórmula general, previa resolución de las operaciones pendientes, es decir que la ecuación debe estar expresada en su forma general.

Ecuaciones lineales: Son

ecuaciones de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; ∀𝑎, 𝑏

∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Ejemplo: 3(2𝑥 − 1) = 7 − 4𝑥

Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario realizar las

operaciones pertinentes y aislar la incógnita en un miembro de

la ecuación.

3(2𝑥 − 1) = 7 − 4𝑥; 6𝑥 − 3 = 7 − 4𝑥

6𝑥 + 4𝑥 = 7 + 3; 10𝑥 = 10

𝑥 =10

10; 𝑥 = 1

Page 21: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

ECUACIONES CON RADICALES:

Son aquellas ecuaciones en donde la variable se encuentra formando parte de un radicando:

Estas ecuaciones se resuelven elevando a una potencia igual al índice de la raíz ambos miembros de la ecuación, este proceso se repite hasta que se eliminen todas las raíces.

Ejemplo:

√4𝑥 − 3 = √2𝑥

(√4𝑥 − 3)2= (√2𝑥)

2

4𝑥 − 3 = 2𝑥;

4𝑥 − 2𝑥 = 3;

𝑥 =3

2

Comprobando las soluciones:

√4 (3

2) − 3 = √2 (

3

2)

√6 − 3 = √3; √3 = √3

FACTORIZACION

Resolver: 𝑥2 + 8𝑥 − 20 = 0

Primero se factora el trinomio:

𝑥2 + 8𝑥 − 20 = 0

(𝑥 + 10)(𝑥 − 2) = 0

Luego las soluciones están dadas por:

𝑥1 + 10 = 0; 𝑥1 = −10

𝑥2 − 2 = 0; 𝑥2 = 2

Al comprobar las soluciones se tiene:

Con 𝑥 = −10

(−10)2 + 8(−10) − 20 = 0

100 − 80 − 20 = 0

0 = 0

FORMULA GENERAL

La fórmula general está dada por:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Resolver: (𝑥 + 3)(𝑥 + 4) = (1 − 𝑥)(2𝑥 + 5)

Primero se resuelven las operaciones pendientes

𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥 + 12 = 2𝑥 + 5 − 2𝑥2 − 5𝑥

3𝑥2 + 10𝑥 + 7 = 0

Analizando los coeficientes de la ecuación:

𝑎 = 3; 𝑏 = 10; 𝑐 = 7

Aplicamos la formula general:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎; 𝑥 =

−10 ± √102 − 4(3)(7)

2(3)

𝑥 =−10 ± √16

6; 𝑥 =

10 ± 4

6;

𝑥1 =10 + 4

6; 𝑥1 =

7

3

𝑥2 =10 − 4

6; 𝑥2 = 1

¡PARA CONSIDERAR!

Las soluciones de una ecuación con

radicales deben comprobarse siempre

ya que al elevar a una potencia ambos

miembros se pueden incluir soluciones

extrañas.

En este caso se verifica la solución: 3

2, de la

ecuación

Page 22: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

ECUACIONES EXÓNENCIALES:

Son aquellas ecuaciones en las cuales la variable se encuentra formando parte de un exponente, por ejemplo: 27𝑥−6 = 4.

Para resolver este tipo de ecuaciones es necesario igualar las bases de las ecuaciones, ya que se puede aplicar la propiedad que indica que si las bases son iguales, también lo serán los exponentes.

Ejemplo:

Resolver: 273𝑥−1 ∙ 9𝑥−1 = 1

En esta ecuación es posible expresar:

27 = 33

9 = 32

1 = 30

EJERCICIOS PROPUESTOS ECUACIONES:

1. Resuelva la siguiente ecuación y verifique su respuesta:

2(3𝑥 − 3) =2𝑥 − 2

3

A: 1 B: 8 C: 16 D: 32

2. Resuelva la ecuación: 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 = 𝑥2 − 10𝑥 − 6 y verifique su respuesta: A: 5; 2 B: -5; -2 C: -5; 2 D: 5; -2

3. Resuelva la ecuación: 𝑥−2

1−𝑥=

2𝑥−4

𝑥−3, y verifique su respuesta:

A: −2; −5

3

B:−2; 5

3

C: 2; −5

3

D: 2; 5

3

4. La base de un rectángulo es el triple de su altura, si el perímetro de dicho rectángulo es 16cm. ¿Calcule el valor de su área? A: 4cm2

B: 6cm2 C: 12cm2 D: 16cm2

5. Una persona gasta un cuarto de sus ingresos mensuales en el arriendo de su vivienda, la tercera parte en alimentación y la sexta parte en educación, si el restante lo guarda en el banco. ¿Cuál es el ahorro anual de dicha persona si su sueldo es de 1200$? A: 900$

Al reemplazar en la ecuación se obtiene:

33(3𝑥−1) ∙ 32(𝑥−1) = 30 ; 39𝑥−3 ∙ 32𝑥−2 = 30

39𝑥−3+2𝑥−2 = 30

Ahora se igualan los exponentes:

9𝑥 − 3 + 2𝑥 − 2 = 0 ; 11𝑥 = 5 ; 𝑥 =5

11

Page 23: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: 1800$ C: 3600$ D: 7200$

6. Resolver la ecuación: (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2), y verifique su resultado. A: 2 B: 4 C: 6 D: 8

7. El producto de un numero por sí mismo, menos el doble de dicho número es igual a 48. A: -8 y 6 B: 8 y 6 C: 8 y -6 D: -8 y -6

8. El triple de un numero menos el doble del mismo número divido entre dos es igual a tres. Encuentre el valor de dicho número: A: 3 B: 6 C: 9 D: 12

9. Dada la siguiente ecuación: 3𝑥 − 2𝑦 + 4 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑥, determine el valor de su pendiente A: 3/4 B: 1/3 C: 5/3 D: 4/3

10. Dadas las siguientes ecuaciones, determinar la posición relativa entre ellas: 5𝑥 − 6𝑦 = 25𝑥

2− 3𝑦 = 5

A: paralelas B: perpendiculares C: diagonales D: coincidentes

11. Encuentre la solución de la siguiente ecuación: √21 + √12 + √14 + √𝑥 = 5

A: 4 B: 5 C: 8 D: 16

12. Resuelva la siguiente ecuación: 23𝑥 = 8𝑥 ∙ 322𝑥 A: -1 B: 0 C: 1 D: 2

13. Encuentre el valor de “x” en la siguiente ecuación: 27

35𝑥

2𝑥= 814𝑥+2

A: -4/15 B: 4/15 C: -8/15 D: 8/15

14. Resuelva la siguiente ecuación exponencial: √𝑎2−𝑥3

∙ √𝑎4−𝑥4

. √𝑎5𝑥−16

= 1

Page 24: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

A: 0 B: 3 C: 6 D: -6

SISTEMAS DE ECUACIONES

Es un conjunto de ecuaciones lineales que pueden tener n números de ecuaciones:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones: método de reducción (suma y resta), igualación, sustitución, determinantes y el gráfico.

Entonces resulta conveniente aplicar el método más rápido y más “fácil” para resolver un sistema de ecuaciones, el método que se sugiere en este texto es el método de reducción.

Resolver el sistema de ecuaciones:

1. 3𝑥 − 2𝑦 = 82. 4𝑥 + 𝑦 = 7

; es necesario igualar los coeficientes de una de las variables “x” e “y”.

Para igualar los coeficientes se puede multiplicar a una de las ecuaciones por un número positivo o negativo.

Entonces en el ejemplo multiplicamos a la ecuación (2) por 2 para igualar los coeficientes de “y”

3𝑥 − 2𝑦 = 84𝑥 + 𝑦 = 7 (2)

; 3𝑥 − 2𝑦 = 88𝑥 + 2𝑦 = 14

Ahora se suman verticalmente las ecuaciones:

3𝑥 − 2𝑦 = 88𝑥 + 2𝑦 = 14

11𝑥 = 22 ; 𝑥 =22

11; 𝑥 = 2 ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 "y" se reemplaza el valor de x en cualquier ecuación:

𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑥 = 2 𝑒𝑛: 3𝑥 − 2𝑦 = 8;

3(2) − 2𝑦 = 8; 6 − 2𝑦 = 8; −2𝑦 = 8 − 6; −2𝑦 = 2; 𝑦 = −2

2; 𝑦 = −1

Ahora se comprueban las respuestas:

𝑥 = 2 ; 𝑦 = −1 ; 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) 4𝑥 + 𝑦 = 7

4(2) + (−1) = 7

8 − 1 = 7; 7 = 7 → 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.

¡PARA CONSIDERAR!

Si en el proceso de resolución de un sistema

de ecuaciones se anulan las variables y se

obtiene una falsedad se concluye que el

sistema no tiene solución.

Ahora si se obtiene una igualdad:

0=0; Se concluye que el sistema tiene

infinitas soluciones.

NOTA: Cuando se tiene un sistema de tres o

más ecuaciones se realiza este proceso

eliminando la misma incógnita en dos

ecuaciones, luego se toman dos ecuaciones

más y se realiza el mismo proceso, esto para

reducir el sistema hasta obtener el valor de

las incógnitas.

Luego reemplazamos los valores de las

incógnitas en las demás ecuaciones.

Page 25: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Encuentre el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 4𝑦 = 5

A: x=1; y=-1 B: x=1; y=1 C: x=-1; y=-1 D: x=0; y=-1

2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones. Encuentre su conjunto solución: 2𝑥 − 6𝑦 = −25𝑥 + 𝑦 = 11

A: x=2; y=-1 B: x=-1; y=2 C: x=1; y=-2 D: x=2; y=1

3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, encuentre su conjunto solución, 𝑥 + 𝑦 = 4𝑥 + 𝑧 = 6𝑦 + 𝑧 = 8

A: (1; 2; 3) B: (1; 3; 5) C: (5; -1; 3) D: (3; 2; 1)

4. Si la suma de dos números es 15 y su diferencia es 11. Encuentre los números: A: 14 y 1 B: 10 y 5 C: 13 y 2 D: 16 y 5

5. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 18𝑎 − 𝑐 = 4𝑏 + 𝑐 = 10

A: a=4; b=6; c=4 B: a=6; b=4; c=8 C: a=8; b=6; c=4 D: a=10; b=6; c=6

6. Si a ambos miembros de una fracción se le suma 2 esta fracción es igual a 9

10, y si le restamos 3

entonces la fracción es igual a 4

5. Encuentre la fracción original.

A:11

12

B:7

8

C: 6

7

D: 2

3

7. Encuentre el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6

2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 0

A: (0; 8; 2)

Page 26: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: (4; 2; 0) C: (8; 2; 2) D: (10; 2; 6)

8. Si la suma de dos números es igual a diez y su producto es igual a 16. ¿Cuáles son dichos números? A: 6 y 4 B: 10 y -2 C: 8 y 2 D: 7 y 3

DESIGUALDADES

Son expresiones de la forma: P(x) < 0; P(x) > 0; P(x) ≤ 0; P(x) ≥ 0; donde P(x) es un polinomio.

Una desigualdad al resolverla su solución puede expresarse en forma analítica, en forma gráfica y en notación de intervalos, a continuación se presenta la siguiente tabla que servirá para orientar la representación de las soluciones.

INTERVALOS

Fuente: http://cecyt07.blogspot.com/2014/02/tipos-de-intervalos.html

Desigualdades lineales:

Se presentan cuando: P(x) = ax + b, donde a, b ∈ R, con a ≠ 0.

Para resolver una desigualdad lineal, se realiza el mismo proceso que con las ecuaciones lineales, es decir se aísla la variable en uno de los miembros, pero tomando en cuenta las siguientes propiedades.

Ejemplo:

Resolver la desigualdad: 2𝑥−3

4≥

5𝑥−2

3

𝑎 < 𝑏 ≡ 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛 ; 𝑎𝑛 < 𝑏 ≡ 𝑎 >𝑏

𝑛

∀𝑛 ∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 < 0

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎: <, >, ≤ 𝑦 ≥

Page 27: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Realizamos las operaciones pendientes en la desigualdad:

2𝑥 − 3

4≥5𝑥 − 2

3 ;

3(2𝑥 − 3) ≥ 4(5𝑥 − 2) ;

6𝑥 − 9 ≥ 20𝑥 − 8 ;

6𝑥 − 20𝑥 ≥ −8 + 9

−14𝑥 ≥ 1

𝑥 ≤ −1

14

Ahora tenemos la solución analítica: 𝑥 ≤ −1

14 , es necesario expresar esta solución en notación de intervalos

y gráfica:

SOLUCION ANALÍTICA INTERVALOS GRÁFICO

𝑥 ≤ −1

14 ]−∞; −

1

14]

Desigualdades cuadráticas:

El proceso para resolver una inecuación cuadrática se aplica en el siguiente ejemplo:

Resolver: 𝑥2 + 5𝑥 − 10 ≤ 0

Primero se encuentra los valores que hacen cero a esta desigualdad:

𝑥2 + 5𝑥 − 14 ≤ 0

(𝑥 + 7)(𝑥 − 2) ≤ 0

Los valores son:

𝑥1 = −7

𝑥2 = 2

Luego se ubica los puntos en la recta numérica, con lo cual esta queda dividida en intervalos, a los intervalos se les asignan signos intercalados empezando con el “+”desde la derecha, de la siguiente forma:

Para ubicar la solución a la desigualdad se analiza el conector de orden, que en este caso es ≤, con lo

cual la solución será aquel intervalo que corresponda al signo negativo.

𝑆 = [−7; 2] Y la solución gráfica está dada por:

Por aplicación de la propiedad:

𝑎𝑛 < 𝑏 ≡ 𝑎 >𝑏

𝑛

Si el polinomio no es factorable, se debe aplicar la fórmula

general para hallar dichos valores:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Page 28: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Desigualdades lineales con dos variables:

La solución a este tipo de desigualdades se expresa en forma gráfica, ya que corresponde a un plano, a continuación se presenta un ejercicio de aplicación:

Resolver la desigualdad: 2𝑥 − 𝑦 ≤ 3𝑥 − 1

En primer lugar se despeja la variable “y”3, y se le da el tratamiento como si se fuera a graficar una ecuación. 2𝑥 − 𝑦 ≤ 3𝑥 − 1 −𝑦 ≤ 3𝑥 − 2𝑥 − 1 −𝑦 ≤ 𝑥 − 1 𝑦 ≥ 1 − 𝑥

x y

-1 2

0 1

1 0

Con esta tabla de valores se grafica la desigualdad en el plano, tomando en cuenta las siguientes observaciones:

EJERCICIOS PROPUESTOS DESIGUALDADES

1. Encuentre el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2𝑥 − 8 ≥ −2 − 4𝑥 A: [−∝; 1] B: [+∝; 1] C: [1; +∝] D: [1;−∝]

3 No es forzoso despejar la variable “y”, el proceso no se modifica, ni la solución si se despeja la variable “x”

El sentido de la desigualdad cambia por

la propiedad: 𝑎 < 𝑏 ≡ 𝑎𝑛 > 𝑏𝑛

Se sombrea la región que esta sobre la recta,

puesto a que el conector de la desigualdad es " ≥

", ya que si hubiese sido el conector: "≤" 𝑜 " < ",

la región que debía sombrearse seria la que está

bajo la recta.

La línea de la desigualdad en este caso es

continua, ya que el conector es " ≥ ", esto indica

que los puntos que están sobre la recta están

incluidos en la solución, si el conector fuese “>”,

la línea a trazarse seria segmentada. _ _ _ _ _

¡IMPORTANTE!

Para verificar esta desigualdad se debe reemplazar un punto que se encuentre dentro del plano solución

de la desigualdad, como se muestra en la gráfica el punto (5; 5) está dentro del plano, entonces al

reemplazar se obtiene:

2𝑥 − 𝑦 ≤ 3𝑥 − 1; 2(5) − 5 ≤ 3(5) − 1; 10 − 5 ≤ 15 − 1; 𝟓 ≤ 𝟏𝟒 → 𝒔𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂.

. (5; 5)

Page 29: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

2. Dada la siguiente desigualdad, encuentre su conjunto solución: 𝑥2 + 5𝑥 < −6. A: ]−2; −3[

B: ]−3; −2[

C: ]3; 2[

D: ]2; 3[

3. Encuentre el sistema de desigualdades que representa la solución en el siguiente gráfico:

A: 𝑥 < 5𝑦 > 2

B: 𝑥 > 5𝑦 < 2

C: 𝑥 > 2𝑦 < 5

D: 𝑥 < 2𝑦 > 5

4. Encuentre la solución a la siguiente desigualdad: 2𝑥 − 𝑦 < 4: A:

B:

Page 30: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C:

D:

5. Encuentre la solución a la siguiente desigualdad: (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) ≤ 2

A: −2 ± √6

B: −1 ± √6

C: −2±√6

2

D: −2±3√6

2

6. Encuentre el conjunto solución de la desigualdad: 2𝑥2 − 30 < 2 A: ]−4; 4[ B: [4; −4] C: [−4; −4] D: [−4; 4]

7. Determine el sistema de desigualdades representado en el gráfico:

A:𝑥 + 𝑦 ≥ 1𝑥 − 𝑦 ≤ 1

B: 𝑥 + 𝑦 ≥ 1𝑥 − 𝑦 ≥ 1

C: 𝑥 + 𝑦 ≤ 1𝑥 − 𝑦 ≥ 1

D: 𝑥 − 𝑦 ≤ 1𝑥 − 𝑦 ≥ 1

Page 31: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

8. Encuentre el intervalo solución de la siguiente desigualdad: 2𝑥−3

4<

2−4𝑥

3:

A: ]−∞; 17

22[

B: ]−∞; −17

22[

C: [17

22; +∞[

D: [17

22; −∞[

9. Encuentre el intervalo solución de la siguiente desigualdad: (2𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≥ (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

A: [1; 0] B: [−1; 0] C: [0; 1] D: [0;−1]

10. Encuentre la desigualdad de la cual es solución el intervalo: ]2; +∝[. A: 3𝑥 − 2 < 4𝑥 − 4 B: 2𝑥 < 4 C: −3𝑥 − 1 < −2𝑥 + 1 D: 4𝑥 > 2 − 2𝑥

FUNCIÓN LINEAL

Son funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏; ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

Ejemplo:

Analice el siguiente problema: “Una empresa de agua potable cobra como tasa básica mensual 3,50$, y por cada m3 de consumo 0,5$; modele la función que utiliza la empresa para el cobro de del servicio, grafique la función y encuentre el valor a pagarse por 100m3 de consumo.

Primero es necesario asignar identificar las variables independiente y dependiente:

𝑥: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

𝑓(𝑥): 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎.

Entonces la función queda de la siguiente forma:

𝑓(𝑥) = 3,50 + 0,5𝑥

La grafica queda de la siguiente forma:

OBSERVACIONES

Para los cortes con los ejes:

Con el eje “x”, 𝑓(𝑥) = 0

0 = 3,5 + 0,5𝑥; 𝑥 =−3,5

0,5; 𝑥 = −7

Con el eje “y”, x=0

𝑦 = 3,5 + 0,5(0); 𝑦 = 3,5

Monotonía:

Para esto se analiza el signo del coeficiente de

“x”, como es “+” la función es creciente

Page 32: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS FUNCION LINEAL:

1. De las siguientes gráficas, cuál de ellas pertenece a la función 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥: A:

B:

C:

D:

2. Dada la siguiente gráfica, encuentre la función a la que pertenece:

A: 𝑓(𝑥) = 2𝑥

B: 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥

C: 𝑓(𝑥) = 2

D: 𝑓(𝑥) = −2

Page 33: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

3. De entre las siguientes funciones, seleccione la que cumpla con las siguientes condiciones: que sea decreciente, que corte por la ordenada 4 y por la abscisa 2. A: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4 B: 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 C: 𝑓(𝑥) = 2 − 4𝑥 D: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4

4. Que se puede afirmar de acuerdo a la siguiente gráfica:

Fuente: http://cinematicamov.blogspot.com/2011/03/graficas-de-posicion-contra-tiempo.html

A: la variable independiente es la posición

B: La posición es constante en el intervalo de 3 a 4 segundos

C: En algún instante comprendido entre los segundos 5 y 6 la posición de anula

D: Entre los intervalos 1 y 2 segundos la posición decrece

5. De acuerdo al siguiente problema: “Una empresa eléctrica cobra como tasa fija de 3,00$ por 40Kwh de consumo y adicional por cada kwh que exceda esta base cobran 0,10$. ¿Cuál es la función que utiliza la empresa para el cobro de la tarifa de electricidad? A: 𝑓(𝑥) = 0,10 + 30𝑥 B: 𝑓(𝑥) = 𝑥(3 + 0,10) C: 𝑓(𝑥) = 30 + 0,10𝑥 D: 𝑓(𝑥) = 30 − 0,10𝑥

6. Una empresa de alquiler de autos cobra por el alquiler 200$ diarios, adicionalmente 0,50$ por cada kilómetro recorrido por el auto, la empresa de alquiler utiliza la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 200 + 0,50𝑥 ¿Qué representa la ”x” en esta función? A: El total de dinero a pagar diariamente por el uso del auto B: El total de días que se ha utilizado el auto C: El total de kilómetros que ha recorrido el auto en una semana D: el total de kilómetros recorrido por el auto en el día

7. Dado el siguiente gráfico:

Page 34: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Fuente: http://www.ematematicas.net/graficas_estadistica.php?tipo=test

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A: La mayor nota obtenida en el examen es de 14

B: La variable independiente es la nota obtenida en el examen

C: diez estudiantes obtuvieron una nota de 2 en el examen

D: Ningún estudiante obtuvo 0 e la nota del examen

8. Una empresa telefónica cobra por su servicio de telefonía una tasa fija de 2,00$ y por cada minuto de consumo 0,05$, con esta información. Determinar: a) La función que aplica la empresa telefónica:

A: 𝑓(𝑥) = 0,05 + 2𝑥 B: 𝑓(𝑥) = 2 + 0,05𝑥 C: 𝑓(𝑥) = 2,05𝑥 D: 𝑓(𝑥) = 2 − 0,05𝑥

b) Si al final del mes el consumo es de 5 horas con 23 minutos ¿Qué valor se debe pagar por el servicio? A: 3,40$ B: 7,75$ C: 10,23$ D: 18,18$

FUNCION CUADRÁTICA

Son funciones de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, ∀𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0.

El análisis de una función cuadrática se realiza de la siguiente forma:

Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5

Calculamos el vértice:

𝑉𝑥 =−𝑏

2𝑎; 𝑉𝑥 = −

−3

2(2); 𝑉𝑥 =

3

4;

Se reemplaza 𝑉𝑥 en la función 𝑓(𝑥), para encontrar 𝑉𝑦

𝑉𝑦 = 2(3

4)2

− 3 (3

4) − 5; 𝑉𝑦 =

9

8−9

4− 5; 𝑉𝑦 =

9 − 18 − 40

8 ; 𝑉𝑦 = −

49

8

Page 35: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Entonces el vértice es: 𝑉 = (3

4; −

49

8).

Calculamos ahora las raíces, para mesto se toma 𝑓(𝑥) = 0. 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎; 𝑥 =

−(−3) ± √(−3)2 − 4(2)(−5)

2(2); 𝑥 =

3 ± √9 + 40

4; 𝑥 =

3 ± 7

4;

𝑥1 =5

2;

𝑥2 = −1

Ahora determinamos el dominio y Rango de la función: El dominio de la función cuadrática por definición son los números reales.

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅

Para el Rango de la función se analiza la componente en el eje “y” del vértice, que en este ejemplo es −49

8

y el signo del coeficiente del término cuadrático que en este caso es: 2𝑥2 y tiene signo positivo “+”, es

decir que el Rango serán los números reales mayores o iguales a −49

8.

𝑅𝑔 = [−49

8; +∞[

La monotonía de la función se estudia tomando en cuenta la componente “x” del vértice ya que en ese

punto la función cambia de sentido, dicho punto en esta función es: 3

4.

𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ]−∞; 3

4]

𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [3

4; +∞ [

La simetría de una función cuadrática se analiza, tomando en cuenta que una función cuadrática no es

simétrica con respecto al origen, únicamente puede ser simétrica con respecto al eje “y”, para verificar si

lo es se analiza la siguiente condición:

𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5; 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

𝑓(−𝑥) = 2(−𝑥)2 − 3(−𝑥) − 5;

𝑓(−𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 5; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 𝑦 𝑓(−𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 5

Entonces: 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

El corte con el eje “y” se determina haciendo en la función: x=0, entonces:

𝑦 = 2(0)2 − 3(0) − 5; 𝑦 = −5; → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 "𝑦"

La grafica de la función se la realiza tomado en cuenta los elementos que se han calculado anteriormente como son: vértice, raíces, la monotonía y el corte con el eje “y”.

5

2 𝑦 − 1 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎, es decir son los cortes

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 "𝑥"

Como: 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Se concluye que la función 𝑓(𝑥) no tiene simetría con el eje “y”

Page 36: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS FUNCIÓN CUADRÁTICA:

1. Dada la siguiente función encuentre su dominio, rango, vértice y raíces

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1

A:

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅𝑅𝑔 = [−3; +∝[

𝑉 = (−1; −3)

𝑥1 =−2+√2

2; 𝑥2 =

−2−√2

2

B:

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅𝑅𝑔 = [−1; +∝[

𝑉 = (−3; −1)

𝑥1 =−2+√2

2; 𝑥2 =

−2−√2

2

C:

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅𝑅𝑔 = [−3; +∝[

𝑉 = (−1; −3)

𝑥1 =−2+√2

4; 𝑥2 =

−2−√2

4

D:

𝐷𝑜𝑚 = 𝑅𝑅𝑔 = [−1; +∝[

𝑉 = (−1; −3)

𝑥1 =−1+√2

2; 𝑥2 =

−1−√2

2

2. Que grafico corresponde a la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 2

A: B:

(𝟑

𝟒; −

𝟒𝟗

𝟖) → 𝐕É𝐑𝐓𝐈𝐂𝐄

5

2

-1

-5

Page 37: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: D:

3. Dado el siguiente gráfico, identifique la función le corresponda:

A: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2

B: 𝑓(𝑥) =𝑥2

2

C: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

D: 𝑓(𝑥) =𝑥2

2− 2

4. Al lanzar un objeto hacia arriba, la función que relaciona la altura “h” máxima luego de “t” segundos de tiempo está dada por: ℎ = −4𝑡2 + 80𝑡, sin considerar la resistencia del aire, determine la altura máxima alcanzada por el objeto y el tiempo para alcanzar dicha altura. A: ℎ = 400𝑚; 𝑡 = 10𝑠 B: ℎ = 1200𝑚; 𝑡 = 15𝑠 C: ℎ = 10𝑚; 𝑡 = 4𝑠 D: ℎ = 10𝑚; 𝑡 = 400𝑠

5. Identifique de las siguientes graficas cuál de ellas tiene raíces imaginarias y vértice (-2; 1)

A: B:

Page 38: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: D:

6. De acuerdo al gráfico, la función de la profundidad “p” en metros alcanzada en función del tiempo “t” dado en segundos con la que se desplaza la nadadora es: 𝑝 = 6𝑡2 − 120𝑡, determine la profundidad alcanzada y el tiempo: A: 𝑝 = 300𝑚; 𝑡 = 5𝑠 B: 𝑝 = 450𝑚; 𝑡 = 10𝑠 C: 𝑝 = −600𝑚; 𝑡 = 10𝑠 D: 𝑝 = −10𝑚; 𝑡 = 6𝑠

Fuente: http://es.slideshare.net/michelyoel/ecuacion-de-segundo-grado-1949044

7. Dado el siguiente gráfico, determine la monotonía de la función:

A: 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

B: 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: ]−∞;0]

𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: [0; +∞[

C: 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: ]−∞; 4]

𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: [4; +∞[

D: 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: ]−∞;1]

𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛: [1; +∞[

Page 39: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

8. Un cultivo de bacterias se reproduce de acuerdo a la función: 𝑦 = 0,2𝑡2 + 1,2𝑡, en donde “y” es el número de bacterias y “t” el tiempo en segundos en el que se reproducen. a) Luego de transcurrida una hora cuantas bacterias se han reproducido:

A: 3,024𝑥106𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 B: 3,024𝑥10−6𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 C: 7920 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 D: 7,92𝑥106𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠

PROGRESIONES

Son secuencias ordenadas de números, en los cuales cada número a excepción del primero se obtiene afectando al anterior por otro número, tomando en cuenta este número que origina la sucesión las progresiones pueden ser:

Fuente: http://www.esobachilleratouniversidad.com.es/formularios.html

Las progresiones aritméticas son aquellas en donde a cada término se le ha sumado un valor (diferencia “d”), para obtener el siguiente.

En las progresiones geométricas en cambio la razón “r” es aquel valor que se le ha multiplicado a un término para obtener el inmediato superior.

NOTA: Es necesario antes de resolver ejercicios de progresiones, identificar el tipo de progresión que se presenta para reemplazar las ecuaciones pertinentes.

EJERCICIOS RESUELTOS:

Dada la siguiente progresión: 2, 13, 24,….; hallar el veinteavo termino y la sumatoria de los quince primeros términos.

Lo primero es identificar qué tipo de progresión es, ya que no especifica en el enunciado del problema, esto se puede determinar analizando los términos de la progresión lo que nos lleva a concluir que se trata de una progresión aritmética:

𝐸𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛: 2, 13, 24

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑟 𝑑𝑒 2 𝑎 13 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 11; 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 13 𝑦 14, 𝑡𝑎, 𝑏𝑖𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 11

𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎: 𝑑 = 11

EN DONDE

𝑎𝑛: 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 − 𝑠𝑖𝑚𝑜

𝑎1: 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑆𝑛: 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 n 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑑: 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠.

𝑟: 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛, 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

Page 40: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Encuentre el quinto término de la siguiente progresión:: 3, 36, 432,…, y la sumatoria de los primeros cinco términos.

En este caso analizando lo elementos de la progresión se puede concluir que es una progresión geométrica:

DATOS:

𝑎1 = 2

INCOGNITAS:

𝑎20 =?

𝑆15 =?

SOLUCION:

Primero encontramos la diferencia; la cual se la puede hallar

restando un término de su anterior:

𝑑 = 13 − 2; 𝑑 = 11 → 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.

Primero hallamos 𝑎20, con la ecuación: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎20 = 2 + (20 − 1)(11); 𝑎20 = 211

Ahora se encuentra 𝑆15, con la ecuación:

𝑆𝑛 = 𝑛[2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑]

2

𝑆15 =15[2(2) + (15 − 1)(11)]

2; 𝑆15 =

15(4 + 154)

2;

𝑆15 = 1185

DATOS:

𝑎10 = 3

INCOGNITA:

𝑎5 =?

𝑆5 =?

SOLUCION:

En estas progresiones la razón se encuentra dividiendo un término para

su anterior:

𝑟 =36

3= 12 → 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

Aplicando: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟𝑛−1, hallamos 𝑎5

𝑎5 = (3)125−1

𝑎5 = 62208

Aplicando: 𝑆𝑛 =𝑎1(𝑟

𝑛−1)

𝑟−1; hallamos 𝑆5

𝑆5 =3(125 − 1)

12 − 1; 𝑆5 = 67863

Page 41: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS PROGRESIONES ARITMÉTICAS

1. Dada la siguiente progresión aritmética: 2, 10, 18…; encuentre el décimo y vigésimo término. A: 54; 152 B: 72; 152 C: 74; 154 D: 74; 274

2. En una progresión geométrica cuyo primer término es 5, el doceavo termino es 126. ¿Cuál es su diferencia? A: 9 B: 11 C: 12 D: 15

3. Una persona tiene que pagar un préstamo de 12 cuotas, mismas que aumentan 7$ cada mes. ¿Cuánto pagaría en total por el préstamo si la primera cuota es de 24$? A: 625$ B: 825$ C: 1125$ D: 2575$

4. Un empleado empieza ganando el lunes 50$ el martes le incrementan 50$ y así le incrementan cada día 50$. ¿Cuánto gana al final del sábado el empleado? A: 1050$ B: 1250$ C: 1500$ D: 1750$

5. Una progresión aritmética de veinte términos, tiene como primer término 1

2, su diferencia es

1

4

encuentre la sumatoria e todos sus términos.

A: 117

2

B: 115

2

C: 58 D: 60

6. Encuentre el primer término de una progresión de 15 términos cuya diferencia es 3 y su último término es 157. A: 43 B: 75 C: 115 D: 123

7. Encuentre el termino 100 de la siguiente progresión: 2, 5, 8,… A: 199 B: 219 C: 299 D: 301

8. Si el primer término de una progresión aritmética es 10, el vigésimo primer término es 110. Encuentre su diferencia. A: 5 B: 10 C: 15 D: 20

Page 42: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIOS PROPUESTOS PROGESIONES GEOMETRICAS

1. Dada la progresión :: 2, 6, 18,…, encuentre el 9no término. A: 3 280 B: 6 561 C: 13 122 D: 26 244

2. Un obrero gana diariamente y empieza el lunes con 250$ y se duplica cada día de la semana. Determine cuánto gana el día jueves. A: 1000 B: 1500 C: 2000 D: 2250

3. Al aplicar un fungicida a una plantación que contiene una plaga de bacterias estas se reducen a la mitad con cada aplicación, si luego de 5 aplicaciones el número de bacterias es de 10. Determine el número de bacterias con las que inicio la plaga en la plantación. A: 320 B: 340 C: 420 D: 500

4. Calcule el séptimo termino y la sumatoria de los cinco primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 3 y la razón es 5 A: 42 250; 39 850 B: 46 875; 56 062 C: 45 000; 39 062 D: 46 875; 39 062

5. Calcule la razón de una progresión geométrica cuyo primer y séptimo término son 2 y 1458 respectivamente. A: 2 B: 3 C: 4 D: 6

6. Calcule el número de términos de una progresión geométrica en donde el primero y ultimo termino son 4 y 4096 y la razón es 2. A: 9 B: 10 C: 11 D: 12

7. Determine la sumatoria de los seis primeros términos de la progresión geométrica cuyo primer término es 512 y su razón es 0,25. A: 682,5 B: 725 C: 825,5 D: 1028

8. Dada la progresión geométrica cuyo primer término es 4375, la razón es 0,2; determine su quinto término. A: 7 B: 35 C: 175 D: 875

Page 43: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

VECTORES

Una cantidad vectorial, a diferencia de una escalar es aquella que para quedar bien definida requiere siempre de un módulo, dirección y sentido y si es el caso una unidad de medida; varias magnitudes Físicas son cantidades vectoriales tales como: Fuerza, aceleración, velocidad, desplazamiento, etc. y otras que son escalares como: trabajo mecánico, masa, tiempo, rapidez, etc.

Es importante aprender a trasformar un vector dado en ciertas componentes a los demás tipos de componentes, a continuación se presenta un ejemplo de cómo realizar esa transformación.

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: 𝑟 = (−3; 4)𝑚 → 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜:

En componentes cartesianas:

𝑟 = (−3; 4)𝑚 → 𝑟 = (−3𝑖̂ + 4𝑗̂)𝑚

En componentes polares:

𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: 𝑟 = (−3; 4)𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜: |𝑟|

|𝑟| = √(−3𝑚)2 +√(4𝑚)2; |𝑟| = √25𝑚2; |𝑟| = 5𝑚

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟: 𝜃 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃; 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝜃′ = 𝑡𝑎𝑛−1 |𝑟𝑦

𝑟𝑥| ; 𝜃′ = 𝑡𝑎𝑛−1 |

4

−3| ; 𝜃′ = 53,13°;

Formas de expresar un vector :

{

− 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

�⃗⃗� = (2; −3)𝑚 𝑠⁄

𝑉𝑥 = 2: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟. 𝑉𝑦 = −3: : 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟.

− 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 (𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂𝒔)

�⃗� = (2𝑖̂ + 7𝑗̂)𝑁𝑖̂ = 2: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑗̂ = 7: 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

− 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

�⃗� = 2𝑚 𝑠2; 60°⁄

|𝑎| = 2𝑚 𝑠2 → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛⁄

𝜃 = 60° → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

− 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒈𝒆𝒐𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂𝒔

𝑟 = 800𝑚; 𝑆40°𝑂|𝑟| = 800𝑚 → 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑦𝑜𝑆40°𝑂: 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

Page 44: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Nótese que 𝜃′ no es el ángulo real, es necesario verificar que el ángulo que se obtiene es el real, esto se verifica tomando en cuenta el siguiente análisis de acuerdo al cuadrante en el que se encuentra el vector: 𝑆𝑖 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝜃 = 𝜃′ 𝑆𝑖 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝜃 = 180° − 𝜃′ 𝑆𝑖 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝜃 = 180° + 𝜃′ 𝑆𝑖 𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝜃 = 270 + 𝜃′

Fuente4

Como el vector: 𝑟 = (−3; 4)𝑚, se encuentra en el segundo cuadrante entonces para hallar el ángulo real aplicamos:

𝜃 = 180° − 𝜃′; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜃′ = 53,13°, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝜃 = 180° − 53,13°; 𝜃 = 126,87°

Entonces el vector en componentes polares: juntando el modulo y el ángulo director queda de la siguiente forma:

𝑟 = 5𝑚;126,87°

En componentes geográficas:

Fuente5

Nota: Un vector dado en componentes geográficas debe ser expresado, en función del punto cardinal: Sur o Norte.

4 Fuente2: http://diccio-mates.blogspot.com/2009/09/cuatro-cuadrantes-plano-cartesiano.html 5 Fuente3: http://www.profesorenlinea.cl/geografiagral/Puntos_Cardinales.html

Para expresar el vector: 𝑟 = 5𝑚; 126,87°

En componentes geográficas se debe expresar la dirección en

función de los puntos cardinales.

Para esto se debe tomar en cuenta el ángulo que forma el

vector con “y” (eje vertical).

Como el ángulo del vector es 126,87°, entonces ese ángulo se

lo encuentra:

126,87° − 90° = 36,87°; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:

𝑟 = 5𝑚; 𝑆36,87°𝑂

Page 45: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Gráfico del vector:

EJERCICIO RESUELTO:

Analice el siguiente problema: Un repartidor de leche tiene que ir de una posición A hasta una B, pero en el camino se pierde y luego de recorrer varios kilómetros por fin llega a su destino, si el repartidor describe una trayectoria como muestra la siguiente figura:

Si el repartido no se hubiese perdido. ¿Cuántos metros menos recorrería si hubiese ido del punto A al punto B en línea recta?

Primero calculamos el camino que recorrió el repartidor inicialmente:

𝑟𝐴−𝐵 = (2 + 0,8 + 1 + 1,3)𝑘𝑚; 𝑟𝐴−𝐵 = 5,1𝑘𝑚 → 𝑟𝐴−𝐵 = 5100𝑚;

Luego para hallar la distancia en línea recta del punto A al punto B, es necesario realizar el siguiente análisis en el grafico proporcionado:

Observando el grafico es claro ver que la distancia del punto A al punto B es el vector 𝑟𝐴−𝐵, entonces tomando como referencia el punto “A”, el vector quedaría:

Page 46: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Para encontrar la cantidad de metros menos que el repartidor recorre al ir en línea recta, se restan las distancias obtenidas:

𝑟 = 𝑟𝑎−𝑏 − |𝑟𝐴−𝐵|; 𝑟 = (5100 − 3041,4)𝑚; 𝑟 = 2058,6𝑚

Es decir que el repartidor de leche hubiese recorrido 2058,6m menos si no se hubiese perdido.

EJERCICIOS PROPUESTOS VECTORES

1. Un atleta se desplaza 2km en dirección este, luego 500 metros hacia el sur. ¿Cuál es el vector desplazamiento del atleta tomando como referencia el punto de partida?

A: 𝑟 =√4

2𝑘𝑚 (𝑆𝑢𝑟 14,04° 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒)

B: 𝑟 =√17

2𝑘𝑚 (𝑆𝑢𝑟 75,96° 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒)

C: 𝑟 =√4

2𝑘𝑚 (𝑆𝑢𝑟 14,04° 𝐸𝑠𝑡𝑒)

D: 𝑟 =√17

2𝑘𝑚 (𝑆𝑢𝑟 75,96° 𝐸𝑠𝑡𝑒)

2. De acuerdo a la siguiente gráfica. ¿Cuál es la componente horizontal de la fuerza aplicada por el niño?

A: 25√3

2𝑁

B: 121

2𝑁

C: 25√3

3𝑁

D: 250𝑁

3. Dos autos parten al mismo tiempo y con velocidades constantes el primero con una velocidad de 36km/h y el segundo con una velocidad de 15m/s, si ambos autos se detienen luego de 2 minutos. ¿Qué distancia los separa? a) Si ambos se dirigen hacia el este:

A: 300m B: 600m

Vemos entonces que el vector queda

expresado:

𝑟𝐴−𝐵 = (3𝑖̂ − 0,5𝑗̂)𝑘𝑚;

Luego es necesario calcular su módulo:

|𝑟𝐴−𝐵| = √(3𝑘𝑚)2 + (0,5𝑘𝑚)2;

|𝑟𝐴−𝐵| = 3,0414𝑘𝑚=3041,4m

Page 47: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: 3000m D: 30km

b) Si ambos tienen la misma dirección pero sentidos contrarios: A: 600m B: 1500m C: 2000m D: 3000m

c) Si el primero va hacia el norte y el segundo hacia el este:

A: 200√5𝑚

B: 300√13𝑚

C: 600√13𝑚

D: 1200√13𝑚

4. Una fuerza de �⃑� = (5𝑖 − 2𝑗)𝑁 se le aplica a una objeto, el mismo que se desplaza producto de esta fuerza 𝑟 = (2𝑖 + 10𝑗)𝑚, si el trabajo mecánico está dado por el producto escalar o punto entre la fuerza y el desplazamiento. ¿Cuál es el trabajo mecánico realizado por el objeto? A: -10Nm B: 10Nm C: -46Nm D: 46Nm

5. Calcule el ángulo que forman los vectores 𝐴 = 𝑖 + 2𝑗 𝑦 �⃗⃑� = 5𝑖 − 2𝑗: A: 4,76° B: 30° C: 45 D: 85,24°

6. Tres vectores de dos unidades cada uno están dispuestos de acuerdo al siguiente gráfico. ¿Cuál es el módulo de su suma? A: 0u B: 2u C: 6u D: 8u

7. Encuentre el módulo de la suma de los vectores A, B y C.

𝐴 = (3𝑖 + 𝑗)𝑐𝑚

�⃗⃑� = (−4𝑖 − 2𝑗)𝑐𝑚

𝐶 = (5𝑖 + 4𝑗)𝑐𝑚

A: √5𝑐𝑚

𝐵:√12𝑐𝑚 C: 5cm D: 12cm

Page 48: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

8. Dados los vectores: 𝐴 = 4𝑖 + 6𝑗, �⃗⃑� = −3𝑖 + 2𝑗 𝑦 𝐶 = 2𝑖 + 𝑗; el par de vectores perpendiculares entre si es: A: A y B B: A y C C: B y C D: ningún par de vectores es perpendicular entre si

ESTADISTICA, PROBABILIDAD Y COMBINACIONES

ESTADÍSTICA

Pérez de Vargas (1996) afirma. “Conjunto de métodos científicos ligados a la toma, organización, recopilación, presentación y análisis de datos, tanto para la deducción de conclusiones como para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis”.

Existen varios elementos dentro de la estadística descriptiva que permiten analizar un problema dado y que con base en su interpretación se pueden establecer conclusiones y por ende hacer proyecciones con base en las probabilidades.

A continuación se presenta un ejercicio en el que se calcularán y analizarán todos los elementos que intervienen en la estadística descriptiva.

EJERCICIO DE ESTADISTICA

En una clase de Matemáticas se aplica una evaluación sobre 100 puntos, y los resultados registrados por dicha evaluación fueron los siguientes:

20 45 90 50 40 95 20 35 70 90

85 25 40 70 65 55 95 90 95 20

35 40 60 30 70 80 85 95 100 50

40 50 20 30 75 65 80 90 90 20

70 75 45 85 70 50 90 45 100 70

Con esta información analizaremos todos los elementos estadísticos que sean de utilidad para el presente curso:

Calculamos el intervalo de clase: Restamos valor maximo menos el valor minimo de los datos: 100 − 20 = 80 Luego elegimos un número conveniente de intervalos, que en este caso elegiremos 4:

Entonces 80

4= 20

Cada intervalo va de 20 en 20, es importante tomar en cuenta que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo pero el límite superior no, dicho de esta forma la tabla quedaría de la siguiente forma:

CALIFICACIONES Xi fi Xi.fi

20 - 40 30 10 300

40 - 60 50 12 600

60 - 80 70 11 770

80 - 100 90 17 1530

TOTAL 50 3200

MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor promedio de los datos

�̅� =𝐱𝐢. 𝐟𝐢

𝑁; �̅� =

3200

50; �̅� = 64

Es decir que el valor promedio de la evaluación es 64

Page 49: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Ahora es necesario aumentar varias columnas a la tabla para encontrar varios parámetros que van a servir para calcular medidas de tendencia central6 y medidas de dispersión7.

CALIFICACIONES Xi fi fa fr f% Xi.fi Ixi-ẍI Ixi-ẍI.fi (xi-ẍ)2 fi.(xi-ẍ)2

20 - 40 30 10 10 0,2 20 300 34 340 1156 11560

40 - 60 50 12 22 0,24 24 600 14 168 196 2352

60 - 80 70 11 33 0,22 22 770 6 66 36 396

80 - 100 90 17 50 0,34 34 1530 26 442 676 11492

TOTAL 50 1 100 3200 80 1016 2064 25800

Con todos estos datos se calculan los siguientes parámetros:

Medidas de tendencia central:

La media: que ya se la analizo anteriormente:

�̅� =𝐱𝐢. 𝐟𝐢

𝑓𝑖; �̅� =

3200

50; �̅� = 64

La moda: En este tipo de datos (agrupados) se tiene que identificar el intervalo modal, para esto tomamos en cuenta el intervalo que tiene la mayor frecuencia (80 – 100) y la siguiente ecuación:

En donde:

𝐿𝑖: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙, 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝐿𝑖 = 80

𝑓𝑖: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙, 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑓𝑖 = 17

𝑓𝑖−1: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙: 𝑓𝑖−1 = 11

𝑓𝑖+1: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙, 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑓𝑖+1 = 0

𝑡: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑒𝑐𝑛𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎: 100 − 80 = 20; 𝑡 = 20

Reemplazando valores en la ecuación se tiene:

𝑚𝑜 = 80 +17 − 11

(17 − 11) + (17 − 0)∙ 20; 𝑚𝑜 = 85,22

La mediana: Para la mediana lo primero que se tiene que hallar es el intervalo mediano esto se realiza de la siguiente forma:

50

2= 25

Luego identificamos el intervalo en el que se encuentra dicho valor “25” pero de acuerdo a la frecuencia absoluta “fa”.

Entonces en nuestro ejemplo ese intervalo corresponde a:

6 Son medidas que resumen en un valor, u conjunto de valores, indican el centro en torno al cual se ubican los datos. 7 Son parámetros estadísticos que indican cuanto se alejan los datos respecto a la media aritmética.

Page 50: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

CALIFICACIONES Xi fi fa

20 - 40 30 10 10

40 - 60 50 12 22

60 - 80 70 11 33

80 - 100 90 17 50

TOTAL 50

Luego aplicamos la siguiente fórmula:

En donde:

𝐿𝑖: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜, 𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝐿𝑖 = 60

𝑁

2: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎:

50

2= 25

𝑓𝑖−1: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜: 𝑓𝑖−1 = 22

𝑓𝑖: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜: 𝑓𝑖 = 11

𝑡: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑒𝑐𝑛𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎: 80 − 60 = 20; 𝑡 = 20

Luego se reemplazan los valores en la ecuación y se tiene:

𝑀𝑒 = 60 +25 − 22

11∙ 20; 𝑀𝑒 = 65,45

Medidas de Dispersión:

Desviación media: Se entiende como la diferencia entre cada valor y la media aritmética, se puede calcular con la ecuación:

Dm =∑𝐈𝐱𝐢 − ẍ𝐈. 𝐟𝐢

N

Los datos que requiere esta ecuación los obtenemos en la tabla que se formula inicialmente, entonces al reemplazar se obtiene:

Dm =1016

50; Dm = 20,32 → es decir que los valores difieren de la media en un 20,32

Varianza: Se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de cada dato con respecto a la media, en este caso la ecuación está dada por:

V =∑ 𝐟𝐢. (𝐱𝐢 − ẍ)𝟐

N

Este intervalo contiene a 50

2= 25

Page 51: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Reemplazando los valores de la tabla de datos se tiene:

V =25800

50; V = 516

Desviación típica o estándar: Se define como la raíz cuadrada de la varianza, es decir:

σ = √V; σ = √∑𝐟𝐢. (𝐱𝐢 − ẍ)𝟐

N

Con los datos de nuestro ejemplo se obtiene una desviación típica

σ = √516; σ = 22,72

Coeficiente de variación: En el cociente entre la desviación típica y la media aritmética:

Cv =σ

Para nuestro ejemplo se obtiene:

Cv =22,72

64; Cv = 0,36

PROBABILIDAD

Es un parámetro que indica las posibilidades que tiene verificarse un evento que se lo realiza aleatoriamente, es un valor comprendido entre 0 y 1, y es la relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos.

La fórmula para calcular la probabilidad de un evento está dada por:

P(A) =número de casos favorables de A

número de casos posibles

EJEMPLO 1:

Se lanzan un par de dados y se necesita calcular la probabilidad de que al caer la suma nos de 5.

Es claro que los casos favorables serian: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) total 4 casos favorables Ahora los casos posibles al lanzar los dados serian: 6x6=36 casos posibles

Aplicando la fórmula de la probabilidad tenemos:

P(A) =4

35; P(A) =

1

9 → es la probabilidad

Además esta probabilidad se la puede expresar en porcentaje para lo cual multiplicamos por 100 y se tiene:

P(A) =1

9= (0,11 ) ∙ (100) = 11%

Es decir la probabilidad de que al lanzar los dados se obtenga al sumar el 5 es del 11%.

EJEMPLO 2:

De una caja que contiene 4 bolas verdes, tres blancas y 5 azules se extrae una bola. Cuál es la probabilidad de que la bola sea azul o verde.

Page 52: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

P(AUB) =5

12+4

12=9

12=3

4

COMBINACIONES

Dado dos o más conjuntos una combinación es un arreglo de elementos en donde el orden de dichos elementos no es importante. Representamos Cn,r, que indica las combinaciones de “n” elementos,

seleccionados “r” a la vez.

Para establecer las ecuaciones de las combinaciones es conveniente conocer:

“n” es el número de elementos que puedes elegir, “r” son los elementos que eliges y si importa el orden y no se pueden repetir:

𝐂𝐧,𝐫 =𝐧!

(𝐧 − 𝐫)!

“n” es el número de elementos que puedes elegir, “r” son los elementos que eliges y no importa el orden y no se pueden repetir:

𝐂𝐧,𝐫 =𝐧!

𝐫! (𝐧 − 𝐫)!

“n” es el número de elementos que puedes elegir, “r” son los elementos que eliges y no importa el orden y si se pueden repetir:

𝐂𝐧,𝐫 =(𝐧 + 𝐫 − 𝟏)!

𝐫! (𝐧 − 𝟏)!

EJEMPLO:

Determine de cuantas formas se puede formar un número de tres cifras, con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, tomando en cuenta:

- Que en el número importe el orden y un mismo número no se puede repetir.

𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐨 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐳𝐚𝐦𝐨𝐬 → 𝐂𝐧,𝐫 =𝐧!

(𝐧 − 𝐫)!; 𝐂𝐧,𝐫 =

𝟔!

(𝟔 − 𝟑)!= 𝟏𝟐𝟎

- Que el orden no se tome en cuenta y no se puedan repetir los números:

𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐨 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐳𝐚𝐦𝐨𝐬 → 𝐂𝐧,𝐫 =𝐧!

𝐫! (𝐧 − 𝐫)!; 𝐂𝐧,𝐫 =

𝟔!

𝟑! (𝟔 − 𝟑)!= 𝟐𝟎

- Que el orden del número no importe y si se puedan repetir:

𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐨 𝐮𝐭𝐢𝐥𝐢𝐳𝐚𝐦𝐨𝐬 → 𝐂𝐧,𝐫 =(𝐧 + 𝐫 − 𝟏)!

𝐫! (𝐧 − 𝟏)!; 𝐂𝐧,𝐫 =

(𝟔 + 𝟑 − 𝟏)!

𝟑! (𝟔 − 𝟏)!= 𝟓𝟔

EJERCICIOS PROPUESTOS ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

1. Dado el siguiente diagrama de tallo y hojas que representa la edad de 10 estudiantes de un curso de nivelaciones.

Tallo Hojas

1 6, 7, 7, 8, 8, 9

2 0, 1

3 1, 2

Calcule el valor de la desviación estándar:

A: 2,29

B: 5,27

Page 53: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

C: 20,90

D: 27,73

2. A continuación se presenta una tabla de datos que representan las notas de los estudiantes de tercer año de bachillerato en Física

CALIFICACIÓN Xi fi xi.fi x2.fi

2 - 4 3 55 165 495

5 - 7 6 110 660 3960

8 - 10 9 35 315 2835

TOTAL 200 1140 7290

Calcule el valor de la varianza:

A: 3,96

B: 5,70

C: 6,39

D: 200

3. Dada la siguiente tabla estadística:

Fuente8

Qué porcentaje de mujeres aprobaron con respecto al total de aprobados y al total de participantes:

A: 43%; 87%

B: 43,45%; 87,25%

C: 87%; 54%

D: 49,43%; 36,22%

4. Calcule el valor de la desviación media en la siguiente tabla de datos:

EDADES Xi fi Xi.fi |𝒙 − 𝒙| |𝒙 − 𝒙|. 𝒇𝒊

20 - 25 22,5 5 112,5 10,5 52,5

25 - 30 27,5 7 192,5 5,5 38,5

30 - 35 32,5 3 97,5 0,5 1,5

35 - 40 37,5 10 375 4,5 45

40 - 45 42,5 5 212,5 9,5 47,5

TOTAL 30 990 30,5 185

8 Fuente: : http://www.monografias.com/trabajos89/otros-temas-matematicos-grado-3/otros-temas-matematicos-grado-3.shtml

Page 54: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

A: 1,02

B: 6,17

C: 33

D: 185

5. Se tiene un grupo de bolas marcadas con los números 1, 2 y 3; Cual es la probabilidad que al sacar dos de ellas al efectuar su diferencia se tenga 1.

A: 1/9

B: 2/9

C: 3/9

D: 4/9

6. Calcule la probabilidad de que al lanzar dos dados se obtengan dos caras iguales

A: 1/36

B: 1/18

C: 1/9

D: 1/6

7. En un curso se les pidió a los estudiantes que pongan en un papel la edad de su padre y lo coloquen en una ánfora, y los resultados obtenidos fueron los siguientes:

55, 60, 61, 41, 50, 70, 47, 44, 68, 63, 59, 55 Determine la probabilidad en porcentaje de que al sacar un papel la edad este comprendida entre 40 y 50 años.

A: 25%

B: 30%

C: 50%

D: 75%

8. Se lanzan dos tetraedros los cuales tienen marcadas sus caras triangulares con números del uno al cuatro, calcule la probabilidad de que al caer los tetraedros la suma de las caras que quedan en contacto con el piso nos den un múltiplo del dos:

A: 1/4

B: 1/2

C: 1/8

D: 1/16

9. Una persona desea hacer un batido con tres frutas de un total de 7 disponibles. Calcule el número total de formas en que lo puede realizar:

A: 25

Page 55: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: 30

C: 35

D: 45

10. De un grupo de 10 botellas de vino, se desea preparar un coctel que puede contener cuatro tipos de vinos, de cuantas formas se puede preparar dicho coctel:

A: 40

B: 120

C: 200

D: 210

11. De cuantas formas pueden sentarse diez personas en un auto que tiene capacidad para 5 pasajeros:

A: 252

B: 504

C: 12340

D: 30240

12. Calcule el número total de números de cuatro cifras que se pueden formar con los números: 1, 2, 3,…9, sabiendo que un mismo número no puede repetir la misma posición y se mantenga el orden.

A: 3024

B: 4024

C: 3600

D: 6048

ELIPSE

Es el lugar geométrico en donde la distancia a dos puntos fijos (focos) es siempre constante

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 𝐹 𝑦 𝐹′

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝐹𝐹′̅̅ ̅̅ ̅ = 2𝑐

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛 𝐴, 𝐴′, 𝐵 𝑦 𝐵′

𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝐴𝐴′ = 2𝑎

𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵𝐵′ = 2𝑏

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Page 56: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

La excentricidad de la elipse es el parámetro que mide la forma de la misma, es decir si vale “0” se aproxima a una circunferencia y si es “1” es un segmento.

𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑒 =𝑐

𝑎

Es conveniente identificar el tipo de ecuación de una elipse ya que varía de acuerdo a la posición de la misma, entonces tenemos las siguientes formas de la ecuación de la elipse:

Cuando el eje mayor de la elipse está en el eje “x”

Cuando la elipse tiene el eje mayor está en el eje “y”

EJERCICIO:

Obtener la ecuación de la elipse cuyo centro está en C(5, 4), su vértice es V(12, 4) y su foco F(10, 4), calcule su excentricidad y grafíquela.

Puesto que en los tres parámetros el valor que coincide es el de la ordenada “y”, entonces se puede deducir que esta elipse tiene el eje mayor en el eje “x”, entonces es necesario aplicar la ecuación:

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

Con centro en C(h, k)

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

𝐹(ℎ + 𝑐; 𝑘) 𝐹′(ℎ − 𝑐; 𝑘)

Con el centro en el origen C(0, 0)

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

𝐹(𝑐; 0) 𝐹′(−𝑐; 0)

Con centro en C(h, k)

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2+(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

𝐹(ℎ; 𝑘 + 𝑐) 𝐹′(ℎ; 𝑘 − 𝑐)

Con el centro en el origen C(0, 0)

𝑦2

𝑎2+𝑥2

𝑏2= 1

𝐹(0; 𝑐) 𝐹′(0;−𝑐)

Nota: La Ecuación general de la elipse está dada por: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

En donde A y B deben tener el mismo signo

Page 57: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(12, 4), 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(5, 4) 𝑦 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝐹(10, 4), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟:

𝑎 = 12 − 5; 𝑎 = 7, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑐 = 10 − 5; 𝑐 = 5

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2; 𝑏 = √72 − 52; 𝑏 = 2√6

𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 a" y b" 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝐶(5, 4), 𝑦𝑎 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛:

(𝑥 − 5)2

72+(𝑦 − 4)2

(2√6)2 = 1;

(𝑥 − 5)2

49+(𝑦 − 4)2

24= 1

EJERCICIOS PROPUESTO ELIPSE

1. Hallar la ecuación de la elipse de eje focal paralelo al eje “x” que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

A: 3𝑥2

4+𝑦2

4= 1

B: 3𝑥2

16+𝑦2

2= 1

C: 3𝑥2

16+𝑦2

4= 1

D: 3𝑥2

2+𝑦2

2= 1

2. Hallar la ecuación de la elipse conociendo: C=(0;0), F=(2;0) y V=(3;0).

A: 𝑋2

9+𝑦2

5= 1

B: 𝑋2

9+𝑦2

25= 1

C: 𝑋2

3+𝑦2

5= 1

D: 𝑋2

3+𝑦2

25= 1

3. La grafica correspondiente a la ecuación: 𝑥2

4+𝑦2

9= 1

A:

La excentricidad de la elipse se

puede calcular con la ecuación:

𝑒 =𝑐

𝑎; 𝑒 =

5

7

Page 58: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B:

C:

D:

4. ¿Qué ecuación corresponde a la siguiente gráfica?

A: 𝒙𝟐

𝟗+

𝒚𝟐

𝟐𝟓= 𝟏

B: 𝒙𝟐

𝟓+𝒚𝟐

𝟑= 𝟏

C: 𝑿𝟐

𝟐𝟓+𝒀𝟐

𝟗= 𝟏

D: 𝑿𝟐

𝟑+𝒚𝟐

𝟓= 𝟏

Page 59: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠: 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐹 𝑦 𝐹′

𝐸𝑗𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠

𝐸𝑗𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐹𝐹′

𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐹𝐹′ = 2𝑐

𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐴′ = 2𝑎

𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵𝐵′ = 2𝑏

𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠: 𝑦 = −𝑏

𝑎𝑥, 𝑦 =

𝑏

𝑎𝑥

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

5. La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

A: 𝑥2

16+𝑦2

12= 1

B: 𝑥2

4+𝑦2

6= 1

C: 𝑥2

16+

𝑦2

144= 1

D: 𝑥2

16+𝑦2

6= 1

6. Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por los puntos:(1; √3

2) 𝑦 (√2,

√2

2).

A: 𝑥2 +𝑦2

4= 1

B: 𝑥2

4+𝑦2

2= 1

C: 𝑥2

4+ 𝑦2 = 1

D: 𝑥2 + 𝑦2 = 1

7. Dada la ecuación reducida de la elipse: 𝑥2

4+𝑦2

9= 1, hallar las coordenadas de los focos:

A: (0; √5) 𝑦 (0; −√5)

B: (0; 5) 𝑦 (0; −5)

C: (0; √5) 𝑦 (−√5; 0)

D: (2; 3) 𝑦 (−2; −3)

8. Dada la elipse de ecuación: (𝑥−6)2

36+(𝑦+4)2

16= 1 , hallar su centro:

A: (36; −16) B: (−4; 6) C: (−6; 4) D: (6; −4)

HIPERBOLA

Se define como el lugar geométrico en donde la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constantes.

Fuente: http://www.vitutor.com/geo/coni/h_1.html

𝑃𝐹′ − 𝑃𝐹 = 2𝑎

Page 60: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Con centro en C(h, k)

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2−(𝑥 − ℎ)2

𝑏2= 1

𝐹(ℎ; 𝑘 + 𝑐) 𝐹′(ℎ; 𝑘 − 𝑐)

Con el centro en el origen C(0, 0)

𝑦2

𝑎2−𝑥2

𝑏2= 1

𝐹(0; 𝑐) 𝐹′(0;−𝑐)

La excentricidad “e” de la hipérbola es el parámetro que mide la abertura de sus ramas, siendo 𝑒 ≥ 1, para

e=1 se obtienen dos segmentos paralelos al eje principal o real, se calcula con la ecuación: 𝑒 =𝑐

𝑎.

Cuando el eje de Las abscisas “x” coincide con el eje real de la hipérbola

Cuando el eje de las ordenadas “y” coincide con el eje real de la hipérbola

EJERCICIO:

Determine la ecuación, excentricidad y grafico de la hipérbola cuyo centro es C(-1, -4), su foco es F(-1, 2) y su vértice es V(-1, -1), además plantee las ecuaciones de las asíntotas.

Se puede observar que en esta hipérbola las componentes “x” del centro, foco y vértice coinciden por lo cual el eje principal o real de la hipérbola coincide con el eje “y”.

Con centro en C(h, k)

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

𝐹(ℎ + 𝑐; 𝑘) 𝐹′(ℎ − 𝑐; 𝑘)

Con el centro en el origen C(0, 0)

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

𝐹(𝑐; 0) 𝐹′(−𝑐; 0)

La ecuación general de la hipérbola está dada por: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

En donde A y B tienen signos opuestos

Page 61: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

𝑺𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂

𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝐶(−1, −4), 𝐹(−1, 2)𝑦 𝑉(−1,−1), 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑎 = −1 − (−4); 𝑎 = 3

𝑐 = 2 − (−4); 𝑐 = 6

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑏 = √62 − 32; 𝑏 = √27 ; 𝑏 = 3√3

𝐶𝑜𝑙 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠: 𝑎 = 3; 𝑏 = 3√3 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶(−1,−4), 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎:

(𝑦 + 4)2

32−(𝑥 + 1)2

(3√3)2 = 1;

(𝑦 + 4)2

9−(𝑥 + 1)2

27= 1 → 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂

𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑒 =𝑐

𝑎

𝑒 =6

3; 𝑒 = 2 → 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂

𝐿𝑎𝑠 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛: 𝑦 = −𝑏

𝑎𝑥, 𝑦 =

𝑏

𝑎𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑦1 = −3√3

3𝑥; 𝑦1 = −√3𝑥

𝑦2 =3√3

3𝑥; 𝑦2 = √3𝑥

Con los parámetros de la hipérbola es posible ahora obtener la gráfica:

EJERCICIOS PROPUESTOS HIPERBOLA:

1. ¿Cuál es la gráfica que resulta de la ecuación 𝑥2

22−𝑦2

32= 1?

A:

Page 62: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B:

C:

D:

2. Seleccione la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica:

A: 𝑥2

22−𝑦2

32= 1

B: 𝑥2

92−𝑦2

42= 1

C: 𝑥2

32−𝑦2

42= 1

D: 𝑥2

82−𝑦2

62= 1

3. Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

A: 𝒙𝟐

𝟗−

𝒚𝟐

𝟑𝟔= 𝟏

Page 63: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B: 𝒙𝟐

𝟑𝟔−𝒚𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

C: 𝒙𝟐

𝟏𝟔−𝒚𝟐

𝟗= 𝟏

D: 𝒙𝟐

𝟒−𝒚𝟐

𝟓= 𝟏

4. Exprese la siguiente ecuación: 4𝑥2 − 3𝑦2 − 8𝑥 − 8 = 0 en su forma canónica:

A: (𝒙−𝟏)𝟐

𝟑−𝒚𝟐

𝟒= 𝟏

B: (𝒙−𝟐)𝟐

𝟑−𝒚𝟐

𝟒= 𝟏

C: (𝒙−𝟏)𝟐

𝟒−𝒚𝟐

𝟑= 𝟏

D: (𝒙−𝟒)𝟐

𝟒−𝒚𝟐

𝟑= 𝟏

5. Exprese la ecuación de la hipérbola: (𝑥+2)2

9−(𝑦−1)2

4= 1, en su forma general:

A: 𝑥2 + 𝑦2 + 9𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0 B: 4𝑥2 + 9𝑦2 + 16𝑥 − 18𝑦 − 11 = 0

C: 4𝑥2 − 9𝑦2 + 16𝑥 − 18𝑦 + 11 = 0 D: 4𝑥2 − 9𝑦2 + 16𝑥 + 18𝑦 − 29 = 0

6. Dada la ecuación de la hipérbola: 𝑥2

144−𝑦2

81= 1; halle su excentricidad:

A: 4

5

B: 4

3

C: 5

4

D: 3

4

7. Calcule las coordenadas de los focos de la hipérbole cuya ecuación es: 𝑥2

144−𝑦2

81= 1.

A: (15; 0)𝑦 (−15; 0)

B: (0; 15)𝑦 (0; −15)

C: (12; 0)𝑦 (−12; 0)

D: (9; 0)𝑦 (−9; 0)

8. Calcule las coordenadas del vértice de la hipérbola de ecuación: 𝑦2

144−𝑥2

25= 1.

A: (0; 144) y (0: -144)

B: (12; 0) y (-12; 0)

C: (0; 5) y (0; -5)

D: (0; 12) y (0; -12)

Page 64: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

PARÁBOLA Definida como el ligar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo denominado constante y de una recta llamada directriz.

Fuente: http://www.vitutor.com/geo/coni/i_1.html

Ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas “x”

Fuente: http://www.vitutor.com/geo/coni/i_4.html

Ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas “y” Fuente: http://www.vitutor.com/geo/coni/i_5.html

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

𝑭𝒐𝒄𝒐: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝐹

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑎 𝑑

𝑷𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 "𝒑": 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝑬𝒋𝒆: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎

𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜

𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛

𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒

𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓: 𝐸𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:

𝑑(𝐹, 𝑃) = 𝑑(𝑃, 𝑑)

Si la parábola se abre hacia la derecha:

𝑦2 = 2𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(0,0)

(𝑦 − 𝑏)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑎) → 𝑐𝑜𝑛 𝑉(𝑎, 𝑏)

Si la parábola se abre hacia la izquierda:

𝑦2 = −2𝑝𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(0,0)

(𝑦 − 𝑏)2 = −2𝑝(𝑥 − 𝑎) → 𝑐𝑜𝑛 𝑉(𝑎, 𝑏)

Si la parábola se abre hacia arriba:

𝑥2 = 2𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(0,0)

(𝑥 − 𝑎)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑏) → 𝑐𝑜𝑛 𝑉(𝑎, 𝑏)

Si la parábola se abre hacia abajo:

𝑥2 = −2𝑝𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉(0,0)

(𝑥 − 𝑎)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑏) → 𝑐𝑜𝑛 𝑉(𝑎, 𝑏)

Page 65: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

EJERCICIO RESUELTO PARÁBOLA: Dada la siguiente ecuación: 𝑥2 − 6𝑥 − 12𝑦 = 0, exprésela en su forma canónica, halle su gráfico y sus elementos: Como puede observar al tener la ecuación la variable “x2” se deduce que su eje es paralelo al de las ordenadas “y”.

𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑥2 − 6𝑥 − 12𝑦 = 0; 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 x: 𝑥2 − 6𝑥 − 12𝑦 = 0 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 12𝑦 + 9 → 𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 9 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 (𝑥 − 3)2 = 3(4𝑦 + 3) → 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

(𝑥 − 3)2 = 4(3) (𝑦 +3

4) → 𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑝

𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: (𝑥 − 3)2 = 12 (𝑦 +3

4)

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒: 2𝑝 = 12; 𝑝 = 6; 𝑝

2= 3

Entonces los elementos de la parábola son:

𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒: 𝑉 (3; −3

4)

𝐹𝑜𝑐𝑜: 𝐹 (3; 3 −3

4) ; 𝐹 (3;

9

4)

Conocidos los parámetros la gráfica queda de la siguiente forma:

EJERCICIOS PROPUESTOS PARABOLA: 1. Determine la ecuación de la parábola de directriz x=-3, y de foco (3; 0) A: 𝑥2 = 12𝑦

B: 𝑥2 = 6𝑦

C: 𝑦2 = 12𝑥

D: 𝑦2 = 9𝑥

2. Que gráfica se obtiene de la ecuación: 𝑦2 = 16𝑥 A:

Page 66: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

B:

C:

D:

3. Dada la siguiente gráfica encuentre su ecuación:

A: 𝑥2 = 4𝑦 B: 𝑥2 = 16𝑦 C: 𝑦2 = 4𝑥 D: 𝑦2 = 16𝑥

Page 67: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

4. Exprese la siguiente ecuación: 𝑦2 − 6𝑦 − 8𝑥 + 17 = 0, dada en su forma general en su forma canónica.

A: (𝑦 − 9)2 = 4(𝑥 − 1)

B: (𝑦 − 9)2 = 8(𝑥 − 1)

C: (𝑦 − 3)2 = 8(𝑥 − 1)

D: (𝑦 + 3)2 = 8(𝑥 − 1)

5. Encuentre la ecuación de la parábola que pasa por los siguientes puntos: (6, 1), (-2, 3) y (16,6)

A: 𝑦 = 24𝑥2 − 10𝑥 + 2

B: 𝑦 =𝑥2

24−5𝑥

12𝑥 + 2

C: 𝑦 =𝑥2

12−5𝑥

12𝑥 + 2

D: 𝑦 =𝑥2

24−10𝑥

24𝑥 + 24

6. Determine la ecuación de la parábola que se obtiene de la siguiente gráfica: A: 𝑦2 = 2𝑥

B: 𝑦2 = 4𝑥

C: 𝑦2 = 4

D: 𝑦2 = 16𝑥

7. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4)

A: (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 2)

B: (𝑦 − 2)2 = 8(𝑥 − 2)

C: (𝑥 + 2)2 = 8(𝑦 − 2)

D: (𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 + 2)

Page 68: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

PROGRAMACIÓN LINEAL

Esquema del modelo de programación lineal

Modelo de

Programación lineal

Identificar la

función objetivo

Identificar el objetivo “Z” del problema

Hallar las variables de decisión: x, y

Ejemplo:

𝑥: Número de faldas a producir

𝑦: Número de pantalones a producir.

Planteamiento de

restricciones

Cada restricción representa un recurso

que se consume en las diversas

actividades.

Ejemplo en 2x+3y≤100, se podría decir

que 2m de hilo se ocupa en producir

una falda y 3m en producir un

pantalón y existen 100m de hilo

disponible.

Condiciones de

no negatividad

Se expresan como 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

Indican que las variables de decisión

no pueden tomar valores negativos.

Es claro que por ejemplo no se podría

producir un número negativo de

faldas o de pantalones.

Identificar la

región factible

Se halla con la resolución del sistema

de inecuaciones.

Es la región solución del sistema de

inecuaciones.

Interpretar los

resultados

Se interpretan los resultados

analizando los vértices de la región

factible.

Se optimiza la función objetivo

Page 69: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Método gráfico para resolver un problema de programación lineal Por lo general los problemas de programación lineal tienen dos variables de decisión, este tipo de problemas se pueden resolver aplicando el método gráfico, que se planteó en la modelación de un problema de programación lineal mostrado en el esquema visto anteriormente, este proceso lo vamos a aplicar en un problema de programación lineal.

Ejercicio propuesto En una pastelería se elaboran pasteles de vainilla y de chocolate. Cada pastel de vainilla requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos y un pastel de chocolate requiere un kilogramo de azúcar y 6 huevos, en la despensa quedan 10 kilogramos de azúcar y 120 huevos. El pastel de vainilla cuesta $15 y el de chocolate $10, ¿Cuántos pasteles de cada tipo se deben hacer para que los ingresos de las ventas sean máximos?

Primero vamos a identificar las variables de decisión del problema

Debido a que lo que se pretende es encontrar el número de pasteles de vainilla y chocolate para maximizar los ingresos, tenemos que las variables de decisión son:

𝑥: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑖𝑛𝑖𝑙𝑙𝑎

𝑦: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒

Identificamos la función objetivo “Z”

Ya que lo que se pretende es maximizar los ingresos de la pastelería la función objetivo se plantea de acuerdo a los costos de cada tipo de pastel, esto se resume en la siguiente tabla de donde se puede obtener la función objetivo de manera práctica.

Planteamos las restricciones del problema

Las restricciones del problema están dadas por las condiciones que se presentan en el problema, para esto es conveniente elaborar una tabla que muestre toda esta información.

Variable Harina (kg) Huevos

Pasteles de vainilla 𝑥 0,5 8

Pasteles de chocolate 𝑦 1 6

Disponible 10 120

Planteamos las condiciones de no negatividad

Es obvio que no se pueden fabricar un número negativo de pasteles tanto de vainilla como de chocolate, por lo tanto es preciso plantear las condiciones de no negatividad las cuales están dadas por.

𝒙 ≥ 𝟎

𝒚 ≥ 𝟎

Variable Utilidad

Pasteles de vainilla 𝑥 15$

Pasteles de chocolate 𝑦 10$

0,5𝑥 + 𝑦 ≤ 10 8𝑥 + 6𝑦 ≤ 120

Por lo tanto la función objetivo

está dada por: 𝒁 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝒚

Lo que indica que las variables no

pueden tomar valores negativos

Page 70: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Hallamos la región factible

Para esto graficamos todas las inecuaciones en un mismo eje de coordenadas y hallamos la región solución de ellas, que es la región factible de nuestro problema.

Inecuaciones

0,5𝑥 + 𝑦 ≤ 10

8𝑥 + 6𝑦 ≤ 120

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

Luego el gráfico queda de la siguiente forma, en donde es claro ver la región solución

Calcular la solución del problema dado por los vértices de la región factible

Todos los puntos que están dentro de esta región son solución de nuestro problema, pero como lo que nos pide el problema es hallar la más óptima solución ya que pide maximizar las ganancias de la pastelera, se deben analizar los puntos que corresponden a los vértices, analizando el gráfico se tiene.

0,5𝑥 + 𝑦 ≤ 10

𝑦 ≤ 10 − 0,5𝑥

𝑦 = 10 − 0,5𝑥

𝑥 𝑦

0 10

6 7

20 0

8𝑥 + 6𝑦 ≤ 120

6𝑦 ≤ 120 − 8𝑥

𝑦 ≤120 − 8𝑥

6

𝑦 =120 − 8𝑥

6

𝑥 𝑦 0 20

9 8

15 0

8𝑥 + 6𝑦 ≤ 120

0,5𝑥 + 𝑦 ≤ 10

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

REGIÓN

FACTIBLE

Page 71: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Observando el gráfico vemos que existen 4 vértices A, B, C, D, ahora debemos reemplazar estos puntos en la función objetivo y hallamos la óptima solución, entonces se tiene que.

VÉRTICE PUNTOS FUNCIÓN OBJETIVO 𝒁 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝒚

RESULTADO

A (0; 10) 𝑍 = 15(0) + 10(10) 100

B (12; 4) 𝑍 = 15(12) + 10(4) 220

C (15; 0) 𝑍 = 15(15) + 10(0) 225

D (0; 0) 𝑍 = 15(0) + 10(0) 0

Interpretación de los resultados Como se observan en los datos de la tabla el valor máximo se obtiene en el vértice C (15; 0), esto quiere decir que se deben elaborar únicamente 15 pasteles de vainilla y ninguno de chocolate para maximizar los ingresos.

EJERCICIOS PROPUESTOS PROGRAMACION LINEAL:

1. Analice el siguiente problema: “Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio”

Valor máximo

NOTAS

Nótese que en este caso no es conveniente para la pastelería elaborar pasteles de chocolate,

únicamente le conviene hacer pasteles de vainilla, ya que con esto se logra el máximo beneficio

con la optimización de los recursos (harina y huevos)

Este análisis es muy útil en las industrias ya que con estos resultados se pueden establecer

estrategias para tomar decisiones y lograr los máximos beneficios con la óptima utilización de

recursos.

Page 72: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

Si “x” es el número de lámparas L1 y “y” es el número de lámparas L2. ¿Cuál es la función objetivo del

problema?

A: 𝑍 = 10𝑥 + 15𝑦 B: 𝑍 = 100𝑥 + 80𝑦 C: 𝑍 = 15𝑥 + 10𝑦 D: 20𝑥 + 30𝑦

2. Dada la siguiente grafica determine el máximo valor que alcanza la función objetivo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 +12𝑦

A: 1800

B: 2000

C: 2400

D: 2700

3. De acuerdo al problema: “En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo M con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo N, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €”

Si “x” corresponde al compuesto M y “y” al compuesto N. Determine las restricciones del problema en forma de desigualdades.

A:

5𝑥 + 5𝑦 ≥ 15𝑥 + 𝑦 ≥ 5𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

B:

𝑥 + 𝑦 < 5𝑥 + 𝑦 ≥ 15𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

C:

𝑥 + 5𝑦 ≤ 155𝑥 + 𝑦 ≤ 15

𝑥 ≤ 0𝑦 ≤ 0

Page 73: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

D:

𝑥 + 5𝑦 ≥ 155𝑥 + 𝑦 ≥ 15

𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

4. De acuerdo a la siguiente gráfica, calcule el valor máximo para la función objetivo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 5𝑦

A: 480

B: 720

C: 1400

D: 1600

5. Dada la siguiente grafica el máximo valor de la función objetivo: 𝑍 = 7𝑥 + 5𝑦 es: A: 60

B: 80

C: 120

D: 130

6. Determine la función objetivo del siguiente problema: Un orfebre elabora pulseras y collares para esto requiere utilizar 1 metro de alambre de cobre en una pulsera y un metro en un collar, de igual forma utiliza un metro de alambre de acero en la pulsera y un metro en un collar, el orfebre posee un total de 10 metros de alambre de cobre y debe por los menos utilizar 15 metros de alambre de acero, la utilidad que le proporciona una pulsera es de $2 y la utilidad del collar es de $3. Cuántas pulseras y cuántos collares deben elaborarse por el artesano para maximizar sus recursos. A: 𝑍 = 3𝑥 + 2𝑦

B: 𝑍 = 10𝑥 + 15𝑦

C: 𝑍 = 2𝑥 + 3𝑦

D: 𝑍 = 𝑥 + 𝑦

Page 74: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

7. Determine el grafico que corresponde a la región factible del siguiente problema: Un carpintero fabrica mesas y sillas, cada mesa requiere de 5 horas de barnizado y 4 horas de lijado, para la fabricación de sillas se necesita 3 horas de barnizado y 4 horas de lijado, el beneficio que se obtiene por cada mesa es de $2 y por cada silla es de $1, además no se deben fabricar más de 9 sillas y se dispone de un máximo de 90 horas de barnizado y 60 horas de lijado. A:

B:

C:

D:

REGIÓN

FACTIBLE

VACÍA

Page 75: DOMINIO MATEMÁTICO · Además se puede considerar los siguientes cocientes notables: − + = − − − = + : 16− 4 4+ 2 =4− 2 − − = + + + + = − + : 27 3+1 3 +1 =9 2−3

BIBLIOGRAFIA:

A. Pérez de Vargas, V. Abraira. Bioestadística. Centro de Estudios Ramón Areces. Madrid. 1996

Sanchez I. & Quintas, I. (2012). El modelado, las aplicaciones y la interpretación. México DF: UAM-X, CSH, Depto. de Producción Económica.

https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/792/Media-moda-y-mediana-para-datos-agrupadosm

http://www.vitutor.com/di/di/a_7.html