\CI3 101: Mecnica de Fldos Cinemtica de fluidos

4.3 Teorema del transporte de ReynoldsPara resolver cualqer problerna de mecnica de fluidos: es necesario conocer los principiosbsicos que rigen la dinmica, las leyes constitutir,a; que permiten relacionar r.'trria,bles quedescriben el flujo (conocidris tambin como relaciones de cierre), y condiciones iniciales y deborde. Entendemos como principios bsicos a las ieyes universales que gobiernan la dinmicde los fluidos, dentro de las cuales se cuentan la conservacin de masa (i.e., Ley de Lavoisier),momentum (i.e., Segunda Ley de lr{ewton) y energa (i.e., Primera ley de la Termodinmica).Por el contrario, entendemos corrro leyes constitutiva-s, por ejemplo, la lery tle Newton-Navierque liga los esfuerzos de corte con la tasa de deformacin angular de los volmenes de control,o la ecuacin de estado clel fluido.

Por otro lado, es posible deflnir al menos dos tipos de e.nfoques para abordar los prot>lemas de mecnica de fluidos: enfoque integral y egfosfug dif-erygglal. trl_gnfgqne integral o

r ' r -'-* r i r . i ,global se centra en estudiar et lranifiorl-glbal d-slas propi"da.ii aei nu en r.'olmens

de contd se centra en describir y cuantifi.car cada una de las

propiedades del en cada Es posible salta' de un enfoque otro,al integrar el enfoque diferencial sobre volmenes de control rnacroscpicos, o al tomar unvolumen de control infinitesimalmente pequeo para el enfoque integral.

Utilicemos primero el enfoque integral que nos 'ira a permitir a derivar el tearerna deltran^sporte de Reynokl,s, que es el punto de inicio para formular matemticamente cualquierade los principios b{sicos o leyes fundamentales que rigen }a mecinica de flc}os. Primero esnecesario hacer un par de definiciones:

Volumen de control: Si bien hemos usado este concepto con anterioridad, definimos elvolumen de control c:omo un volumen de fluido, convenientemente identificado, fijo enel espacio (osea estamos usando eI mtodr de truler), que conceptualmente aislaremosdel medio circrmdante a travs de la supe.rficie que delimita dicho volumen. A partirde esta definicin vemos que eI fluido puede atravesar la superflcie ,S del volumen decontrol, produciendo as un reca.rnbio del fluido dentro del volurnen de control.

Sistema material: conjunto fijo de partculas o porciones de fldo tal que el volumenque ocuparl e.n el espacio es funcin del tiempo. ya que puecle ser advectado y/o de-formado por el flujo. La caracterstica principal de todo sistema material es que laspartculas que lo conforman son siempre las mismas, aunque las propiedades de esaspartculas puede rrariar en el tiempo.

Consicleremos ahora un sistema material y rrn vohrmen de control I/, tal que el sistemamaterial coincide con el volumen de control en el tiernpo inicial. Consideremos, adems,una pr

t13101: Mecnica de Fluidos Cine.mtica de fluidos

Veamos entonces la variacin total, en el tiempo, de l{ dentro de} volumen de control. Paraesto. tomemos rios instantes de tie.mpo f y f * Af , y definamos tres sistema-s materiales (verFigura 4.9):

Figura 4.9: Definicin de zonas para el teorerna del transporte de Reynolds.

o Sistema I que contiene partculas que en f se encontraban fuera de v*, pero que en + Af se encuentran clentro de l/.

o Sisterna 11 que contiene partcula^s que tarrto en f como en f + A se encuentran dentrode V.

o Sistema fIl que corrtiene partculas que en t se encontraban dentrt de H, pero que ell + A se encuentran fuera de I/.

Si llamamos N, I/ y N.r al valor de la propiedad l{ en los sistema^s I . f I y 111, respec-tivamente, entonces, el valor de la propiedad .nl dentro de V en f es:

r() : r() + Ir() ("1.14)

mientras que el valor de .Ay' clentro de I/ para el tiempo f + A qtreda determinado por:

N( + At; : N( + A) + -to"r( + A)

Entonces, Ia ta^sa de ca.mbio de la propiedad l[ e;n V est dado por:AN ,. AN ,. N( + A) - N(r)E: o'r'j'o l :iIu.-r

@Departamento de Ingenieria Civil, Uniwsitlad de Chile

(4.15)

(4.r6)

7.{

r-5 -'FrDaO ,!

a

tr-

,13101: Mecnica de Fluidos Cinemtica de fluidos

,

(4.17)

En la ecuacin anterior, el trmiuo A corresponde a eambios en el valor de la propiedadlV dentro del volumen de control, debido a procesos que pueden ocurrir dentro de 1, obien a intercambios con el medio que no involucren movimiento del fluido. Por ejemplo,este trmino puede representar fuentes puntuales de calor o el consumo de oxgeno por la'combustin de un gffi, o bien intercambios por conduccin o difusin entre el volumen decontrol V y el medio externo. Denominemos .B a este trmino, el cual puede ser nulo o nodependiendo de los procesos que ocnrran en el sistema. Por otro lado, el trmino B et {4.17)corresponde a la ta.sa de entrada de lf a I/, mientras qrie C comesponde a Ia ta"sa de salidade ,Ay' de V. En otras palabras, si E es igual a 0, obtenemos que la ta.sa de cambio parcialde l/ en V- es igual a lo que entra de N a 7 nlenos lo que sale de N de I/.

Como las tasas neta de entrada y salida las deflnimos en trminos de sistemas materiales,podemos decir que la ta^sa a la cual se produce este ingreso o salida se debe a la velocidad delflujo que advecta estos sistemas materiales I y I I L Dado esto, diremos que I/ est limitadopor dos superficies, r y r, tal que la superficie 1 es aquella por donde entran partculas a I/ yla 2 es aquella por donde salen partculas de V (ver Figura 4.10). Si tomamos elementos desuperflcies dt V cl2, vemos que Ia tasa, en md.ulo, a la cual son atravesad.as por partculasdefluidoquedadeterminadapor lt71' rl : ud,S1yl2. dr1:un2d,s2t,respectivamente,donde un1 ! 1).2 son la^s componentes normales de Ia velocidad, de manera tal que Ia tasa aia cual la masa de fluido atraviesa estos elementos de supercie es: p1 uuTd,Sy y p2un2d,S2,donde h y pz son las densidades del fluido en las secciones I y 2, respectivamente.

Luego, podemos calcular la tasa neta de salida de N de Y como:

rfu p1u1d,Sy (4.18)

En wte aitisis hemos considerado implcitamente el signo que tiene la componentenormal de las rrelocidades, ort I srrz. Sin embargo, podemos generalizar el a*Iisis nrta,ndoque una sffin de entrada al volumen de control, 1, siempre define un producto puntonegatirrc entre la velocidad y la normal a la superficie: u-1. d,1 : ,.td& < 0, en tanto queen una seccin de salida al volumen de control, ,91 el producto punto entre la velocidad y lanormal a la supercie es siempre positirrc: 2. dS

- z . 2d,52 > 0, donde r y e son lo

vectores unitarios normales a los elementos de supelficie, d,S1 y d2, respectivaneJe. As,el resultado (4.18) pude e)ieresaxse en forma mrs general como:

1Es necesario con"siderar el producto punto porque si consideramos una superficie que es perpendicular alflujo, ninguna partcula la cruza

rrr()\

-t

atlY/

-fr,* P2anzot'- r,

@Departamento de Ingeniera Civil, Universidad de Chile

a

Mecnica tle Flrridos Cinemtica de fldos

Figura 4.1O: Definicin de superficies de entrada y salida del volumen de control.

- tr, Pd'd's

t/vv

tr-,

(-/l_,lt

lJi-r

v

t.J

l.J

UUl.-/

LItt,IJ(--,

ffJr,r, Pzz' iL2d"s2 * Jr,r, Pt ' itlrlsl

Reemplazando este resultado en (4.18) obtenernos:

aN_f:o- Jrqpf 'dso bien, expresando l en trminos de su respectiva propiedad intensiva E:

at{ _a fE: o, JrqPdv

*, "rtpd,v + lrn or'itrts : Rllegamos flnalmente a:

(4.1e)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

da cuenta del carnbio

(4.23)

que es conocido coruo el Teorema del Transporte de Reynolds, quetotal de N en el vohrmen de control I/. es decir:

* "rtpN + f,n tt'id's : R

@Departame-nto de Ingeniera Civil, Ilniversidad de Chile 76

a

/

-V

\7

*.i **lr**pt* #r* **,*,#eti

,:: Flr3[s q*+ c]t*vir*ct! {} i*rt$ s**e-ioll

'::::{i&r.:lii

Volumen de fluido que atraviesa una cierta seccin

Trozo de fluido que se llama volumen de control,

Entran y salen partculas del volumen de control que se llama caudal.

:J **:x**t* r,i* cq$$Stt.X

ifp..r:Jl+t. .ri *i

d:$rf i'Vi-\$"v.Sr::;

ii {i1-i4i r.{ti.i'c.

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ditS *.l rsr '9 lir, .*.,1+.*r ilsir* s*+ r,lr+.t s*l*cl'.,.t(rb,r$,*1 .U*,i*r."r: r:+.* 6ii 1:6*r1rqr

......, :.'{li:, +i!I.:J e -Sij -.+li*,.'s,.

Tendremos una magnitud que vriar a travs de ese volumen de control y lo dentro delvolumen de control.

EITAR nos dir que la variacin completa de esa magnitud dentro de volumen de control, esdebida a la variacin a travs de su superficie, normalmente salida menos entrada porque enlos contornos no vara, ms lo que ocurra dentro del volumen de control si aparece unageeracin c desaparicin de esa propiedad lo tendremos que considerar. Por eso la variacincompleta de una magnitud es debida a su varacn en el volumen de control en el caso de quese tenga esa variacin en todo el volumen, ms su variacin a travs de la superficie decontrol.

:,

S* * v$#$'x.r*r-r dr* {':r.rn'r{.:}} l*s r:r*:6$ritJdss {{:}rsrhff{tr

l T**'*r*r: r}t rrrx*$re d* *yu,rtd*... ._i4.......... .. ._._...-.:..: r \ r

-;ai.r.4i ,!, ,:I ::rr:4q:::.:l::. i.: li: .i:i::.1:

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{}ui."i+,Brq>*.rs+:}.***a.r>f *rgr*+clf, tir*L'*:

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- : $66 !r:, b**r* Bara tod*tt la* ecucGtras {e c+n+rv

=Ecuacin del transporte de Reynolds

Considerese una regin de flujo donde se ha delimitado un volumen de control y se haseleccionado un sistema de manera que en el instante inicial las particulas del sistema estantodas dentro del volumen de control y el volumen de contol no contenga ninguna otra partcula.

Con el paso del empo las partculas del sistema ajan a travs de la superficie de conholabandonndolo y otras particulas cruzarn la superficie de control desde el exterior. Otraspartculas del sistema permaneceru dentro del volumen de control al cabo del intervalo deobservacin. En ese momento se tendr una configuracin similar a la siguiente:

f

'ri n:ri*:;i-r +l':;..,19+ i'.,:*l..}:':,;:;i-:"_j'11'i'

Iarryin de flujo queda ahora vida flr cuatro espacios:

El espacio ocupado por las partculas que pereneosn al sistsma y hanabandomdo el volumen de conuol a taves de la superficie de couhol.

:ffi:ffiffi;tffi:,;;:de control desde el exterior atravs de la supercie de control.La partculas que no perteneceir al sistema y no se ercusnan dentodel voluren de conhl.

Adernrs las pardcrlas fluidas son posedoras de muchas propiedades'que depender de lacantidad de sustancia que represeute cada patcnrla pr ejemplo las pardculas posem nrasaposeen catidad de movimiento, poseen mometrto de la caidad de movimiento. Y cuando unapartcula viaja eir una regin de flujo lleva coasigo esa propiedad o sea que la pardcula fluidatransporta consigo mhiples propiedades, y las traosporta simuhnearente. Entre taspropiedades qus traosporta l4 partcula fluida es$n precisamente la masA la cantidad demovimiento y el momento de la cantidad de movimiento.

Ia propiedad que tansporta el flujo ser H y la propiedad intensiva asociada seni q.

La variacion instamnea de la propiedad o

f7

vtJULI

U

I

i

Rapidez de variacin de H dentro del sistema: rapidez de variacin de H dentro del VC + flujode H a travs de la SC:

En otros trminos:

ffi\ Er r -

d, J,,,,*o =

u J"o'o'ol+ J roud'{

El primer miembro de la ecuacin representa Ia variacin instantanea (o sea con el empo) de lapropiedad H en el sistema.

El primer trmino del segundo miembro representa la variacin instntanea (o sea con eltiempo) de la propiedad H dentro del volumen de control.

EI segundo trmino del segundo miembro representa el flujo (paso instantrineo) de lapropiedad H a travs de toda la superficie de control.

. H representa la propiedad extensiva de inters.o I'l es la propiedad intensiva asociada a H.o t es el tiempo.o p os la densidad el fluido.. dvol es el diferencial de volumen dentro del volumen de control.. v'd7 es el producto escalar entre la velocidad, del flujo y el diferencial de irea que

cruza. Tiene el significado de volumen que por unirlad de tienapo cruza la superficie decontrol.

. La representacin posiva para el diferencial de area es aquella donde el vector reaapunta hacia el eerior del volumen de control.

. La velocidad del flujo se describe desde un sistema adosado al volumen de control.

. La naturaleza escalar o vectorial de la ecuacin est dada por la naturaleza escalar ovectorial de H en el miembro de Ia izquierda y por 4nen el miembro de Iaderecha. Tanto H[como q son de la misma naturaleza, escalares o vectoriales ambos.

La aplicacin de la ecuacin de transporte de Reynolds conduce al anlisis integral del flujo quees un enfoque complementario al analisis diferencial del flujo. Cada uno de ellos aportaelementos diferentes para la interpretacin de un flujo segn las circunstancias particulares decada caso,