CvdB

Diseo de experimentos industrial

Definicin: Una planta productiva no solamente nos entrega productos sino tambien informacin. Y en las etapas de puesta en marcha de dicha planta, as como cuando cambia la materia prima, su proveedor, la secuencia anterior de equipos o el tipo de proceso, la informacin es la salida principal. "Disear experimentos industriales" es entonces buscar cul es la forma ms prolija y efectiva de acondicionar la informacin de salida, de manera de interpretarla agudamente.

siguiente a formas como se presenta la informacin de salida diseo de experimentos para identificar modelos19.may.2000

Formas cmo se presenta la informacin de salida de una planta industrial

Definicin: La lgica utilizable para mejorar la eficiencia de una planta puede abarcar dos formas.

Se puede recurrir a las planillas de operacin, donde aparecen las novedades y el valor de las variables detectadas por los instrumentos indicadores y/o registradores.

Se puede programar de antemano un experimento correctamente diseado donde la tarea se orienta hacia el logro final de un buen anlisis de la informacin.

La primera forma sera criticable si hubiera causas de confusin en el anlisis de una planilla. Por ejemplo, uno observa cambios en la temperatura y el caudal. Puede ser que el operario haya corregido la elevacin de temperatura aumentando el caudal o que haya corregido el aumento de caudal elevando la temperatura. En general la planilla refleja un cierto estado estacionario deseable para la uniformidad de produccin de la planta - inadecuado para sacar informacin de ella.

La doctrina estadstica sabe cmo analizar estas escasas informaciones. Una excursin del flujo fuera del estado estacionario se puede interpretar mediante el Principio de Mximo o tcnicas afines, con el objetivo de reconocer si fue favorable o n. Por supuesto, realizando excursiones intencionales, se est ms seguro de la interpretacin de su resultado que si las excursiones resultan de motivos no programados de antemano.

As como la teora cientfica aplicable a la produccin de una planta avanz notablemente a lo largo del siglo XX, debemos sealar esto mismo con respecto al empirismo. Las tcnicas empricas y an las mixtas (las que combinan empirismo con ciencia) han sido perfeccionadas con gran rigor lgico. Nos referiremos a cuatro tcnicas, relacionadas entre s:

Diseos factoriales

Diseos segn Box-Wilson

Diseos factoriales incompletos

Anlisis de la regresin y de la varianza

Cualquiera que sea la tcnica elegida, habr que resolver en forma previa a la experimentacin estos aspectos:

Cantidad total de ensayos a realizar - tamao del diseo

Nmero de factores aconsejable.

Nmero de nivles aconsejables y su seleccin

Orden en la ejecucin secuencial de los ensayos

Interpretacin final de los ensayos realizados (gestin de la informacin)

Un caso especial de la bsqueda del ptimo industrial es el de experimentar con las formulaciones de ingredientes. Este caso se debe resolver basicamente en un laboratorio y dejar para la planta un ajuste muy fino muy cerca de su operacin estacionaria.

Los dos conceptos ya citados de factores y de niveles conviene que resulten clarificados.

previo adiseo de experimentos en una planta industrial siguiente afactores y niveles diseos factoriales diseos de Box-Wilson diseos factoriales incompletos formulaciones de ingredientes anlisis de la regresin y de la varianza cantidad total de ensayos a realizar nmero de factores aconsejables nmero de niveles aconsejable y su seleccin orden en la ejecucin secuencial de los ensayos interpretacin final de los ensayos realizadosFactores y niveles: fijos y aleatorios

Definicin: Por factor entendemos (en diseo de experimentos) variable de decisin, esto es, una variable dependiente de la decisin del optimizador, pero independiente en el sentido matemtico ("causa"). Un factor es una "causa" de la eficiencia de la planta, eficiencia que es una consecuencia de varios factores. Factores pueden ser cada uno de los ingredientes formulados, el tamao del equipo, la forma del equipo, el tipo de agitacin, la temperatura, la presin, el catalizador, los inertes, la duracin del proceso, etc. Para cada factor tenemos que comparar algun valor alto del mismo con un valor bajo, teniendo que pasar, eventualmente, por valores intermedios. P.ej., para el factor tamao podemos comparar corridas en equipos grandes y en equipos chicos similares. La manera emprica de estudiar el efecto del tamao es la de comparar, por lo menos, dos distintos donde ese factor vara (tamao grande versus tamao chico). Para el factor forma podemos comparar (a tamao constante) diferentes relaciones dimetro/altura.

Tanto el tamao como la forma son factores fijos, En una instalacin industrial promedio no disponemos de toda la gama de tamaos y formas, sino unas pocas posibilidades.

En cambio, sern factores aleatorios la proporcin de los ingredientes, la temperatura, la presin, el catalizador, el inerte, porque dentro del rango permitido, podemos alterar infinitesimalmente sus valores. El motivo por el cual un factor es fijo reside en que no podemos jugar libremente con sus valores o niveles, que tamben sern fijos. El motivo por el cual un factor es aleatorio, es que podemos elegir libremente niveles mayores o menores, dentro de las restricciones del proceso.

La mezcla de factores fijos con aleatorios se resuelve con sencillez aplicando a la interpretacin un anlisis de la regresin. En cambio, aplicando anlisis de la varianza se llega a sutilezas que escapan al estudio ms simplificado que nos proponemos. Preferiramos, en ese caso, desdoblar los diseos mixtos (donde aparecen ambos tipos de factores) y transformarlos en dos estudios puros. Cada nuevo diseo resultante ya no tendr mezcla, pues se refiere a un cierto nivel del factor fijo, interactuando con el resto de los factores aleatorios. Contrastando entre s las conclusiones obtenidas de los diversos niveles del factor fijo, se infiere cul es la importancia de dicho factor fijo.

Por ejemplo, disponemos de dos reactores de distinto tamao. Tamao es un factor fijo. Un diseo tamao x temperatura x presin se desobla en dos diseos, ambos de temperatura x presin, que difieren entre s por realizarse en uno diferente de los dos tamaos. La conclusin final sobre el factor tamao se halla razonando sobre los resultados de ambos diseos. Si usamos anlisis de la regresin quizs ofendamos a los tericos denominando X1 al tamao, con sus dos niveles, 0 ( -1) para el tamao chico y 1 para el tamao grande. X2 ser el factor temperatura, etc.

previo a formas como se presenta la informacin de salida siguiente a ensayos factorialesEnsayos factoriales

Definicin: Un ensayo factorial se presta para el estudio sistemtico de dos o ms variables de decisin (factores), digamos temperatura x caudal x presin, esto es, X1.X2.X3.

Para concretar el estudio debemos elegir un nmero adecuado de corridas para lograr nuestro propsito, fijar el nmero de factores, que en este caso ya lo hemos fijado en tres; y decidir sobre el nmero de niveles y su espaciamiento ptimo en el espacio de ensayos. En realidad las tres decisiones forman un paquete de decisiones, dado que estn ligadas por claras relaciones matemticas. Adems en la experimentacin industrial con la planta rige una muy importante restriccin, evidente por s misma: el optimizador est inhibido de incurrir en combinaciones de factores que arruinen la produccin a partir de la materia prima o que resulten, a priori, ineficientes.. El espacio de ensayos est acotado por difusos espacios tab.

Tenemos ya nuestros tres factores. Elegimos (arbitrariamente a esta altura) tres niveles para cada factor. Podemos codificar estos niveles con los dgitos 0 ,1 y 2 (o bien -1, 0 , 1). Al margen aparecen las 27 combinaciones de la frmula (niveles)(factores) = 33 = 27.

Dicha frmula es la definicin de un ensayo factorial puro.

000

(-1 -1 -1)

001

(-1 -1 0)

002

(-1 -1 1)

010

(-1 0 -1)

011

(-1 0 0)

012

(-1 0 1)

020

(-1 1 -1)

021

(-1 1 0)

022

(-1 1 1)

100

( 0 -1 -1)

101

( 0 -1 0)

102

( 0 -1 1)

110

( 0 0 -1)

111

( 0 0 0)

112

( 0 0 1)

120

( 0 1 -1)

121

( 0 1 0)

122

( 0 1 1)

200

( 1 -1 -1)

201

( 1 -1 0)

202

( 1 -1 1)

210

( 1 0 -1)

211

( 1 0 0)

212

( 1 0 1)

220

( 1 1 -1)

221

( 1 1 0)

222

( 1 1 1)

Las 27 combinaciones del ensayo factorial de 33 con dos nomenclaturas para los niveles equivalentes. El baricentro del diseo es ya sea el ensayo 111 a la izquierda o el (0 0 0) a la derecha.

Vamos a clarificar la primera de las dos listas. Cada punto del ensayo consta de tres cifras. La primera cifra se refiere al nivel que adopta el primer factor (temperatura), la segunda idem para el segundo factor (caudal) y la tercera est asociada con el ltimo (presin). 0 significa nivel bajo, 1 intermedio y 2 alto. Las tres cifras son as los niveles de cada factor. La explicacin con respecto a la segunda lista difiere en el significado de los dgitos. Ahora -1 es nivel bajo, 0 es intermedio y 1 es alto.

En el caso aqu explicado hay tres factores y hay tres niveles por cada factor. Esto no es obligatorio sino arbitrario. Por ejemplo, siempre dentro de los ensayos factoriales, aparecen diseos de 2x3x4 o de 4x3x3x2, que se deben interpretar as:

2x3x4 implica dos nivels del primer factor, tres niveles del segundo y cuatro del tercero. Total, 24 tentativas en el ensayo total. Es el resultado de la multiplicacin.

4x3x3x2 implica cuatro niveles en X1, el primer factor; tres niveles tanto para X2, como para X3, y dos para X4. El nmero total de factores es cuatro y el de las tentativas es de 72.

Queda claro que el ensayo tabulado de 27 tentativas responde a

(niveles)(factores) = 33 = 27.

que se puede reescribir como ensayo factorial de 3 x 3 x 3. Esto se entiende as: (niveles de X1).(niveles de X2).(niveles de X3)

previo a factores y niveles siguiente a diseo rotable de Box-Wilson polinomios lineales y alinealesDiseo rotable de Box - Wilson

Definicin: Estos dos autores han propuesto diseos rotables de dos o ms factores o dimensiones, optimamente pensados para una experimentacin secuencial. La racionalidad de la propuesta deriva, en primer trmino, de la posibilidad de hacer los ensayos sin arruinar, preumiblemente, materia prima por riesgo de incurrir en combinaciones peligrosas. Esto se entiende si pensamos que el diseo rotable tiene los niveles espaciados entre s lo suficientemente cerca de las "condiciones de operacin poco riesgosas" como para dar cierta seguridad al diseador que no incursiona en zonas "tab".

En segundo trmino, el diseador puede hacer crecer su diseo por rotacin. La bsqueda de informacin til se plantea en dos etapas, esto es, primero un diseo rotable antes de rotar y luego (si los datos del anlisis de la primera etapa as lo recomiendan), uno complementario, despus de rotar.

La lgica incluye una replicacin de varias veces del punto central del diseo para conseguir una valiosa estimacin de la importancia

Del error experimental.

Para la primera etapa se investigan suficientes puntos factoriales en torno a un punto central o baricentro del diseo, como para permitir la determinacin de la importancia de

Los componentes lineales del modelo,

Las interacciones simples y

La curvatura global

La ltima inferencia, la de la curvatura global, es crucial. Puede ser ya sea nula o no-nula. El detalle crucial consiste en desplazar el diseo a otra zona si la curvatura global no tiene importancia. Siendo, en cambio, no-nula, ello es sntoma de la presencia de componentes no-lineales, que permiten decidir que el ensayo contina pasando por una segunda etapa complementaria, que se omite si la curvatura global fuese descartable.

Dicha segunda etapa consiste en rotar el diseo. Se puede visualizar as la primera y la segunda etapas, respectivamente antes de rotar y despus: Antes de rotar, los puntos externos al baricentro no se ubican ortogonales a dicho centro, sino sesgados en diagonal.

* Nota: Nota: aqu, en 2D, se representan dos variables de decisin o factores. La distancia entre los puntos perifricos se puede codificar como de valor 2. (Ver la tabla de la derecha de ensayos factoriales). La distancia entre el punto central y un perifrico es, por el teorema de Pitgoras, 1,41 (raz cuadrada de 2)

Para la segunda etapa el diseo previo se rota de manera que los puntos sesgados estn ahora ortogonales con respecto al baricentro, con lo cual hay suficiente informacin como para deducir la importancia de cada una de las curvaturas posibles, tantas curvaturas como dimensiones de bsqueda existan.

* Nota: Sumados a los perifricos anteriores, los ocho puntos totales perifricos deben estar en un crculo de radio = 1,41 (siempre con dos variables de decisin)

Utilizando los datos ANTES de rotar en conjunto con los datos DESPUES de rotar, los clculos pueden estimar con precisin la importancia de los componentes cuadrticos (la "curvatura de la superficie de respuesta") de la funcin que liga a las variables de decisin o factores con la eficiencia buscada.

Es fcil correlacionar los puntos experimentales del diseo con una ecuacin no-lineal del tipo de productos de potencias (trminos lineales, de interaccin y cuadrticos). Con ella es suficiente derivar con respecto a las variables de decisin, igualar a cero y despejar la decisin ptima.

TECNICA DE BOX, WILSON Y FAURE

En el caso de tener que desplazar el diseo a zonas ms promisorias, es factible readaptar la informacin de la primera parte del diseo para determinar con ella la pendiente mxima que indica hacia qu zona es prudente avanzar con el baricentro del nuevo diseo. Aunque es ms astuto avanzar solamente con el punto central (sin construir los perifricos) hasta notar que con el paso de avance arbitrariamente elegido ya no se mejora ms con la eficiencia medida. Entonces se retrocede un paso y se construyen los puntos de bsqueda perifricos. Esta descripcin la denominamos tcnica de Box-Wilson-Faure.

Como es bastante general, se pueden armar otros razonamientos y recetas alternativos con los elementos aqu enumerados.

previo a ensayos factoriales siguiente a polinomios lineales y alineales bsqueda complejidad algoritmo gentico deliberacin diseo factorial incompleto diseo rotable diseo hbridoDiseos factoriales incompletos

Definicin: Cuando crece m , el nmero de factores, aparecen tantas combinaciones en los ensayos factoriales (y ms an en los rotables), que es prudente reducir la labor experimental. En lugar de ejecutar el ensayo completo con un nmero muy alto de tentativas, se recurre a los diseos factoriales fraccionales o incompletos, donde, en lugar de analizar la totalidad de las posibilidades, se considera una fraccin bien elegida. Con cinco factores a tres niveles se llegan a 243 combinaciones posibles y si la tarea se redujese a una fraccin de un tercio, bastaran 81 ensayos. Si fuese 1/9, tendramos 27. La ventaja de este enfoque es que reduciendo mucho el esfuerzo, no se pierde un panorama muy amplio y ambicioso de las relaciones entre causas y efectos en sistemas multivariables. El estudio de una fraccin no le quita validez al anlisis final.

El tpico principal es el de saber elegir bien a la fraccin de ensayo con la cual queremos experimentar. La base terica se apoya en la aritmtica modular (ya considerado en el estudio de diseos compuestos de caras centradas) y en la teora de los alias.

ARITMETICA MODULAR

La secuencia 7,14,21,28,... pertenece a un conjunto denominado 0(mod 7) que se lee cero mdulo siete. Obsrvese que cualquiera de sus elementos, al ser dividido por 7, deja 0 como resto. La secuencia 1,8,15,22,29,... pertenece al conjunto de soluciones de 1 (mod 7), ya que al ser divididos por siete, queda 1 en el resto. El nfasis de la aritmtica modular est en el resto.

La secuencia 0+0+0, 1+1+0, 0+2+0, 4+1+5, pertenece al conjunto 0 (mod 2), ya que todas las sumas resultan pares. Llamemos en forma abstracta a los tres dgitos x1,x2 y x3. Se nos pregunta cules son las combinaciones de la tabla izquierda que aparece al estudiar los ensayos factoriales que pertenecen al conjunto de

x1 + x2 + x3 = 1(mod 3)

Respondemos que cumplen con esa restriccin las siguientes nueve combinaciones: 001,010,022,100,112,121,202,211,220.

Observamos que ese conjunto ha quedado notablemente balanceado: hay tres casos con x1 valiendo cero, tres con x1 valiendo 1 y tres con x1 valiendo 2. Esto se repite para x2 y para x3. An ms, el subconjunto de dos dgitos x1x2 est completo: 00.,01.,02.,10.,11.,12.,20.,21.,22. - en diseo de experimentos el punto reemplaza a lo que no tiene importancia en un dado anlisis. As x3 no tiene por qu aparecer aqu. Pero lo mismo pasa con x1x3 y con x2x3. Al conjunto de nueve tentativas estudiado lo podemos llamar validamente factorial incompleto balanceado. El factorial completo tiene 27, tres veces ms. Su nica ventaja es que tiene todas las 27 combinaciones de x1x2x3.

TEORIA DE LOS ALIAS

Este asombroso diseo oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:

Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la informacin referente a

x1 = 0 (mod 3)

y contrastarla con la acumulacin de toda la informacin referente a

x1 = 2 (mod 3)

La diferencia entre ambas informaciones nos dir si x1 es importante.

Otra manera ms larga de hacer la misma tarea es la de acumular asimismo, toda la informacin relacionada con

x1 = 1 (mod 3)

pero el anlisis quedar dominado por la diferencia antes mencionada, que, en el caso de aparecer, siempre ser ms significativa.[Si en vez de tres, los niveles fuesen dos, bastara reducir el anlisis del efecto principal x1 al contraste entre los dos subconjuntos

x1 = 0 (mod 2) y x1=1(mod 2)]

Si queremos estudiar el efecto principal de x2 sobre la respuesta, podemos acumular estas tres informaciones:

x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3)x2 = 2 (mod 3)

x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3)x2 = 2 (mod 3)

y contrastarlos de a pares. Ha de dominar el contraste entre el primer subconjunto y el ltimo.

Si queremos estudiar el efecto de la interaccin x1x2 sobre la respuesta, podemos estudiar estas tres informaciones:

x1+x2 = 0 (mod 3) x1+x2 = 1 (mod 3)x1+x2 = 2 (mod 3)

En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:

primer subconjunto... 010,100,220

segundo subconjunto ...001,121,211

tercer subconjunto...022,112,202

Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que

el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)

el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y

el tercero con x3 = 2 (mod 3).

Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seudnimos) en los diseos factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.

Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cules sern los alias en un diseo factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relacin con la cual se gener el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relacin definitoria) - omitiendo los signos ms - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los trminos cuadrticos. Lo que queda (devolviendo el signo ms) es el alias.

Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relacin definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El trmino cuadrtico es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interaccin x1.x2). Dicha interaccin tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.

En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusin (en ingls "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendran que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es as. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el anlisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.

Pero debe sealarse que aplicando la teora de los alias a diseos con muchas ms que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del diseador es la de aprovechar esa ventaja.

P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interaccin de 3 o ms factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori, que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en ltimo caso - de un pool de varias interacciones simples.

Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos

A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer

los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o alias carezcan de importancia.

Reglas de prioridad para la importancia de los alias. *Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante, *uno que involucra una interaccin xixj se considera menos grave, *uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia prctica.

Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.

previo apolinomios lineales y alineales siguiente aotros diseos interesantes anlisis de la regresin y de la varianza formas como se presenta la informacin de salida ensayos factorialesDiseo compuesto de caras centradas

Definicin: el diseo compuesto de caras centradas es un caso especial del diseo central compuesto con x = 1. Esto implica que los puntos axiales u ortogonales pasan a ser los centroides de cada una de las caras con sus (n-1) dimensiones. Por consiguiente, el diseo centrado en las caras minimiza el nmero de niveles a los cuales un dado ingrediente se muestrea. En otros diseos, por ejemplo los rotables, el nmero de niveles es mayor.

Sea el caso n = 3, o con tres ingredientes. El nivel de cada ingrediente se normaliza entre [-1, +1]. Entonces el conjunto de puntos a analizar ser,

1. Puntos factoriales o en vrtices,

(-1, -1, -1) o tambien (000)

(-1, -1, +1) (001)

(-1, +1, -1) (010)

(-1, +1, +1) (011)

(+1, -1, -1) (100)

(+1, -1, +1) (101)

(+1, +1, -1) (110)

(+1, +1, +1) (111)

2. Puntos axiales u ortogonales,

(-1 0 0)

(0 -1 0)

(0 0 -1)

(1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)

3. Punto Centroide es (0, 0, 0)

El nmero de puntos factoriales o en vrtices es exponencial con el nmero de ingredientes (lo que sucede tamben con el diseo compuesto centrado en el cuerpo). An para un nmero modesto de ingredientes la cantidad de ensayos a encarar suele exceder la capacidad del laboratorio. Hay que hacer un trueque entre informatividad (completitud) y posibilidad de realizacin de experimentos simultneos, recurriendo a un diseo incompleto.

La seleccin de un subconjunto balanceado de puntos factoriales o en los vrtices se logra aplicando restricciones basadas en aritmtica modular. Por ejemplo los ocho casos del diseo para puntos en vrtices del inciso 1 - lista derecha (ms arriba) se suman algebraicamente y se salvan arbitrariamente los pares y se descartan los impares, esto es: llamado x al primer dgito del parntesis, y al segundo y z al tercero)

quedan los (x+y+z) = 0 (mod 2) y

se descartan los (x+y+z) = 1(mod 2)

Los puntos sobrevivientes son

(xyz)

(-1, -1, -1) o sea (000)

(-1, +1, +1) (011)

(+1, -1, +1) (101)

(+1, +1, -1) (110)

El diseo que queda est balanceado porque hay dos x valiendo 0 y dos x valiendo 1, hay dos y valiendo 0 y dos y valiendo 1, hay dos z valiendo 0 y dos z valiendo 1 . Adems estas las cuatro combinaciones de a dos posibles para (xy), para (xz) y para (yz). Por ejemplo para esta ltima interaccin vemos en el mismo orden de la lista:

00 11 01 10

- obsrvese que estn todas las combinaciones.

diseo de Box - Behnken diseo compuesto centrado en el cuerpo diseo compuesto de caras centradas