INTRODUCCINM A LA ESTADISTICA

06. FUNCION DE PROBABILIDAD

Funciones de Probabilidad, f(x) y F(x). Consideremos una Variable Aleatoria. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn y supongamos que conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce que P(X=x1)=P1, P(X=x2)=P2, P(X=x3)=P3,..., P(X=xn)=Pn y en general, P(X=xi)=Pi. La funcin de probabilidad f(x) de la Variable Aleatoria X es la funcin que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad Pi.

Cuando la variable X es discreta, esto es, cuando solo toma valores en un conjunto numerable de valores, (xi), finito o infinito, entonces la relacin es

Entre las distribuciones discretas ms importantes tenemos,

Uniforme discreta,

Bernoulli,

Binomial, Binomial Negativa,

Poisson,

Geomtrica, Hipergeomtrica, y

Triangular, que estudiarn ms adelante

Funcin de Distribucin, F(x). En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la funcin de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicacin llamada funcin de distribucin. Sea X una Variable Aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a mayor. es decir, asocia a cada valor de la Variable Aleatoria discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la probabilidad de que la Variable Aleatoria tome valores menores o iguales a xi). Se deben cumplir las siguientes condiciones,-F(x) es una probabilidad tal que

-F(x)=0 se cumple para todo xxi-F(x) es constante en el Intervalo (xi,xi+1)

-F(x) es continua y creciente por la derecha de todo punto

-

Distribuciones de Probabilidad. Tambin se puede definir como el comportamiento estocstico de una magnitud o variable aleatoria X queda determinado por su funcin de distribucin , que representa la probabilidad de que una observacin de X tenga un valor menor o igual que el nmero real x. La probabilidad de que X se encuentre dentro del intervalo (x1, x2] es . Es habitual caracterizar F mediante su funcin de densidad f. En el caso de variables absolutamente continuas, la relacin entre F y f es

Entre otras, las distribuciones continuas de probabilidad se pueden mencionar como ms importantes,

Normal o Gauss,

Lognormal,

Chi2 de Pearson, t-Student,

F-Snedecor,

Exponencial, Gamma,

Beta,

Weibull, Rayleigh,

Gumbel,

Logstica, Pareto,

Laplace, y

Cauchy, que estudiarn ms adelante

Parmetros. La media o esperanza matemtica es una medida de localizacin, que indica el valor alrededor del cual flucta la variable aleatoria X; si sta es continua, la media se define como

en el caso discreto

en el caso continuo

Similarmente se calcula la varianza y dems parmetros. El mtodo de momento y esperanza matemtica se estudiar mas adelante.

La funcin de distribucin F, es una funcin no decreciente, es decir, Si x1