PROYECTO FIN DE CARRERA

2014 Simulacin de la transferencia de calor en superficies aleteadas mediante anlisis de elementos finitos

Autor: Jess Manuel Serrano Martn-Arroyo

Titulacin: Doble titulacin I.T.I. especialidad Mecnica e I.T. en Diseo Industrial

Director: Elisa Carvajal Trujillo

Convocatoria: Primera, Febrero 2014

NDICE

CAPTULO 1 _ OBJETO DEL PROYECTO 1.1 Introduccin ............................................................................................................................ 4

1.2 Objetivos ................................................................................................................................. 4

1.3 Motivacin .............................................................................................................................. 4

CAPTULO 2 _ ANTECEDENTES 2.1 DISIPADORES DE CALOR .......................................................................................................... 6

2.2 SIMULACIN ............................................................................................................................ 9

2.2.1 Introduccin ..................................................................................................................... 9

2.2.2 Aplicaciones de la simulacin ........................................................................................... 9

2.2.3 Tipos de simulacin ........................................................................................................ 12

2.2.4 El simulador por computadora....................................................................................... 12

2.2.5 Resolucin analtica -vs- simulacin ............................................................................... 13

2.2.6 Simulacin de Monte Carlo ............................................................................................ 13

Determinacin del rea de una figura .................................................................................. 14

2.2.7 Etapas de una simulacin ............................................................................................... 15

2.2.8 Sistemas ......................................................................................................................... 16

2.2.9 Clasificacin de sistemas ................................................................................................ 17

2.2.10 Modos de simulacin .................................................................................................... 18

2.2.11 Modelado ..................................................................................................................... 19

2.2.12 Clasificacin de modelos .............................................................................................. 21

2.2.13 Modelos tericos -vs- experimentales .......................................................................... 21

2.2.14 Modelos de caja negra .................................................................................................. 21

2.3 COMSOL MULTIPHYSICS 4.3 .................................................................................................. 23

2.3.1 Descripcin general ........................................................................................................ 23

2.3.2 reas de aplicacin ........................................................................................................ 23

2.3.3 Libreras de COMSOL 3.2 ................................................................................................ 24

2.3.4 Heat Transfer Module (Mdulo de Transferencia de Calor) .......................................... 25

CAPTULO 3 _ TRANSFERENCIA DE CALOR 3.1 TRANSMISIN DE CALOR ...................................................................................................... 27

3.1.1 Conduccin ..................................................................................................................... 27

3.1.2 Conveccin ..................................................................................................................... 28

3.1.3 Radiacin ........................................................................................................................ 28

3.2 TRANSFERENCIA EN SUPERFICIES EXTENDIDAS .................................................................... 30

3.2.1 Problema de conduccin en una aleta ........................................................................... 31

3.2.1.1 Aletas de rea de seccin transversal uniforme ..................................................... 32

3.2.1.2 Aletas de rea de seccin transversal no uniforme ................................................ 36

3.2.1.3 Eficiencia de la aleta ................................................................................................ 37

3.2.1.4 Ejemplos prcticos .................................................................................................. 38

CAPTULO 4 _ SIMULACIN 4.1 ALETA RECTA DE SECCIN UNIFORME .................................................................................. 47

4.1.1 Solucin analtica ........................................................................................................... 48

4.1.2 Solucin MODELO 1 ....................................................................................................... 49

4.1.3 Solucin MODELO 2 ....................................................................................................... 53

4.1.4 Comparacin MODELO 1 MODELO 2 .......................................................................... 55

4.1.5 Comparacin MODELO 1 Solucin analtica ................................................................ 56

4.2 DISIPADOR 2 ALETAS RECTAS ................................................................................................ 58

4.2.1 Solucin MODELO 1 ....................................................................................................... 59

4.2.2 Solucin MODELO 2 ....................................................................................................... 62

4.2.3 Comparacin MODELO 1 Solucin analtica ................................................................ 66

4.2.4 Comparacin MODELO 2 Solucin analtica ................................................................ 66

4.3 DISIPADOR 3 ALETAS RECTAS ................................................................................................ 68

4.3.1 Solucin MODELO 1 ....................................................................................................... 68

4.3.2 Solucin MODELO 2 ....................................................................................................... 70

4.3.3 SOLUCIN MODELO 3 .................................................................................................... 70

4.4 DIFERENCIA POR VARIACIN DEL NMERO DE ALETAS ....................................................... 73

4.4.1 Disipador de una aleta ................................................................................................... 73

4.4.2 Disipador de dos aletas .................................................................................................. 75

4.4.3 Disipador de tres aletas .................................................................................................. 77

4.4.4 Comparacin de los diferentes modelos ....................................................................... 79

4.5 SIMULACIN DISIPADOR ANULAR ........................................................................................ 82

CAPTULO 5 _ CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS 5.1 CONCLUSIN ......................................................................................................................... 85

5.2 DESARROLLOS FUTUROS ....................................................................................................... 85

ANEXOS a.1 CDIGO UTILIZADO EN MATLAB ........................................................................................... 86

a.1.1 ESTUDIO DE LOS DIFERENTES TIPOS DE CASOS ............................................................. 86

a.1.2 EJEMPLOS PRCTICOS. ALETA RECTA DE SECCIN TRANSVERSAL UNIFORME. ............ 87

a.1.3 EJEMPLOS PRCTICOS. ALETA ANULAR DE SECCIN TRANSVERSAL NO UNIFORME. ... 89

a.1.4 SIMULACIN. SOLUCIN ANALTICA .............................................................................. 91

a.2 MEDIDAS SIMULACIN POR NMERO DE ALETAS ............................................................... 93

a.2.1 DISIPADOR DE UNA ALETA ............................................................................................. 93

a.2.2 DISIPADOR DE DOS ALETAS ............................................................................................ 94

a.2.3 DISIPADOR DE TRES ALETAS ........................................................................................... 94

BIBLIOGRAFA .................................................................................................................. 95

CAPTULO 1 _ OBJETO DEL PROYECTO

1.1 Introduccin En la actualidad para resolver problemas del sector industrial con cierta complejidad es

prcticamente imprescindible acudir a simulaciones que modelen los problemas a los que se

puede enfrentar un ingeniero.

En este proyecto se han utilizado en concreto tres programas, aunque es uno el que se ha

utilizado con el objetivo de simulador. Este programa es el COMSOL Multiphysics 4.3, como

bien indica su nombre es un programa multifsico. Esto quiere decir que resuelve problemas en

varios tipos diferentes de fenmenos fsicos pero en este proyecto se ha usado lo que se

conoce como CFD (fluidodinmica computacional) que no es ms que un programa que

resuelve problemas de fluidos mediante el conocido mtodo de elementos finitos.

1.2 Objetivos El principal objetivo del proyecto es:

- Analizar analticamente el comportamiento de los disipadores de calor como

mecanismo de transferencia de calor.

- Estudio de la simulacin de la transferencia de calor mediante elementos finitos

utilizando el software COMSOL Multiphysics 4.3.

- Validacin de las simulaciones de transferencia de calor de los disipadores de calor

comparando sus resultados con los obtenidos analticamente..

Pero existen ms objetivos secundarios como son:

- Aprender a utilizar un programa basado en ecuaciones fsicas y condiciones de

contorno, en este caso COMSOL, adaptarlo a programas como son MATLAB y

SolidWorks y aprender a realizar simulaciones utilizndolos.

- Aprender a realizar modelos tanto tericos como realsticos y obtener y analizar los

errores que puede contener la eleccin de diferentes modelos para una misma

simulacin.

1.3 Motivacin La motivacin acadmica del proyecto persigue el avance en el estudio de la transferencia de

calor en superficies aleteadas, con aplicacin a la refrigeracin de cilindros dentro de los cuales

se produce una gran liberacin de calor. Debido a la relativa pequea relacin

superficie/volumen es necesaria que la superficie exterior sea aleteada. En cuanto a

motivacin personal para la realizacin del proyecto principalmente esta se centra en el

manejo de programas de elementos finitos, realizar modelos y simulaciones.

CAPTULO 2 _ ANTECEDENTES

2.1 DISIPADORES DE CALOR

Los disipadores son elementos claves cuando se manejan niveles de potencia relativamente

altos. Ellos permiten que el calor generado por una determinada pieza sea evacuado rpida y

eficientemente, evitando as posibles daos por alta temperatura.

La temperatura es una consideracin muy importante en el diseo o anlisis de sistemas

fluidomecnicos, electrnicos y trmicos. Esta afectar todas las caractersticas de un diseo,

resistencia del material, dureza, etc

Cuando se trata de piezas cuya temperatura es baja el calor puede ser fcilmente evacuado del

dispositivo a travs de su envoltura. Sin embargo, cuando las temperaturas aumentan y se

manejan grandes cantidades de potencia, como puede ser un motor alternativo, la potencia

disipada se eleva y con ella el calor generado por la pieza.

A medida que la disipacin de potencia de un componente, llega a ser tan elevada como para

producir daos internos a su estructura, es necesario aadir algn mtodo de disipacin de

calor que facilite la refrigeracin, evitando que se alcance una temperatura peligrosa para las

piezas del diseo. El radiador o disipador de calor es un complemento imprescindible para el

montaje y utilizacin de motores trmicos que manejan altas potencias.

Figura 1: Motor trmico

Adems de los daos que pueden ser ocasionados por el sobrecalentamiento de una pieza, se

presentan otros problemas que hacen del exceso de temperatura un fenmeno a combatir. El

principal de ellos es la prdida en la resistencia mecnica para la cual ha sido diseado un

elemento.

La habilidad de un material para conducir el calor, es decir, su conductividad trmica, depende

de las caractersticas fsicas del material y de sus dimensiones geomtricas

La conveccin es la transferencia de calor por circulacin de un fluido que absorbe dicho calor

y lo transporta a otro lugar. En la transferencia de calor por conveccin, el cuerpo caliente

entrega al fluido que le rodea (aire, gas, etc.) una determinada cantidad de potencia que hace

que en dicho fluido se produzca una elevacin de la temperatura reduciendo su densidad, y

por consiguiente su peso, con lo que se elevar haciendo aparecer una nueva cantidad de

fluido fro que seguir refrigerando al cuerpo.

Este proceso se denomina conveccin natural para diferenciarlo del sistema de conveccin

forzada provocada por algn medio exterior que obligue la circulacin de aire, por ejemplo un

ventilador. La cantidad de potencia calorfica que puede evacuarse desde el disipador al

ambiente depende de la diferencia de temperatura que exista entre ambos, siendo tanto

mayor cuanto ms elevada sea esta diferencia.

La radiacin de calor es una forma de transmisin a travs de ondas electromagnticas que

emiten los cuerpos calientes, similar a las que se emplean para realizar emisiones de

radiofrecuencia o de la luz visible. Esta radiacin se realiza a una frecuencia inferior a la del

color rojo visible y se le denomina radiacin infrarroja.

En la transferencia de calor por radiacin una propiedad importante es la emisividad, que

influye en la energa radiada por una superficie. En el espectro visible la mayor o menor

capacidad de radiacin est afectada por el color del cuerpo, obtenindose el mejor

comportamiento en los colores oscuros, siendo el cuerpo negro ideal el de mayor poder de

radiacin. La radiacin es adems un fenmeno superficial afectado por el acabado mecnico

de las superficies. Las superficies mate irradian mejor que las brillantes. Un disipador emplea

normalmente las tres formas de transmisin simultneamente, producindose una conduccin

desde la superficie interna hasta la externa en un cilindro de un pistn hasta el radiador y una

conveccin y radiacin de ste al aire que le rodea.

Si el mecanismo de transferencia de calor es suficiente, la temperatura aumentar hasta

estabilizarse en un punto en el que el calor que se evaca hacia el exterior es igual al generado

internamente. Esto significa que es necesario utilizar algn sistema que permita la mxima

evacuacin posible de calor para mantener la temperatura del dispositivo dentro de lmites

razonables.

Las condiciones que debe cumplir un disipador para conseguir una ptima transferencia desde

el dispositivo hacia el medio ambiente son las siguientes:

- El tamao del disipador depende de la cantidad de calor que debe ser radiada, de

la temperatura ambiente y del fluido refrigerante. Pero la superficie de radiacin

no es el nico punto a considerar cuando se disean disipadores de calor. Debe

tenerse en cuenta adems el material del cual est construido, el acabado de su

superficie y la manera como el elemento que produce calor se encuentre acoplado

al disipador.

- Para una ptima disipacin del calor, el material debe tener una alta conductividad

trmica y una gran seccin transversal. La temperatura ambiente debe ser

mantenida tan baja como sea posible.

- Los dos materiales ms comunes para la construccin de disipadores son el cobre y

el aluminio. El cobre tiene una conductividad trmica cuatro veces superior a la del

aluminio pero, debido a su alto costo, es el aluminio el que se utiliza con ms

frecuencia. En ciertas ocasiones, se utilizan otros materiales especiales, tales como

el magnesio o el xido de berilio. Los materiales utilizados en este proyecto y su

conductividad trmica son los siguientes: Cobre, ; Aluminio 3003-H18,

; Acero AISI 4340, .

- Para aumentar la transferencia de calor por conveccin se dota al radiador de

aletas en su contorno de manera que se aumente su superficie externa.

La completa efectividad del disipador de calor depende de la mayor extensin del contacto

entre el elemento a ser enfriado y la superficie del disipador. La calidad del contacto depende

del grado de conformidad entre las dos superficies y la cantidad de presin con la cual se

mantienen unidas.

A nivel microscpico, el contacto entre las dos superficies se realiza solamente por unos pocos

puntos de contacto quedando huecos llenos de aire, por lo que la transmisin de calor a travs

de esa superficie ser muy pobre. En cambio, si se rellenan los huecos con una pasta

conductora del calor, se mejora la transmisin del calor en un 30%. Las pastas de aceites de

silicona con carga de partculas de zinc o de xidos metlicos, cumplen a la perfeccin estas

funciones.

Para obtener los mejores resultados, un disipador de calor debe tener una adecuada

ventilacin y localizacin.

2.2 SIMULACIN

2.2.1 Introduccin Cuando se tiene la responsabilidad de conducir un sistema dado, como por ejemplo: un banco, una

ciudad, un sistema de transporte, etc., debe tomar continuamente decisiones acerca de las

acciones que ejecutar sobre el sistema. Estas decisiones deben ser tales que la conducta

resultante del sistema satisfaga de la mejor manera posible los objetivos planteados.

Para poder decidir correctamente es necesario saber cmo responder el sistema ante una

determinada accin. Esto podra hacerse por experimentacin con el sistema mismo; pero

factores de costos, seguridad y otros hacen que esta opcin generalmente no sea viable. A fin

de superar estos inconvenientes, se reemplaza el sistema real por otro sistema que en la

mayora de los casos es una versin simplificada. Este ltimo sistema es el modelo a utilizar para

llevar a cabo las experiencias necesarias sin los inconvenientes planteados anteriormente. Al

proceso de experimentar con un modelo se denomina simulacin. Al proceso de disear el plan

de experimentacin para adoptar la mejor decisin se denomina optimizacin. Si el plan de

experimentacin se lleva a cabo con el solo objeto de aprender a conducir el sistema, entonces se

denomina entrenamiento o capacitacin.

En este punto, es conveniente plantear las siguientes definiciones:

- Sistema: Conjunto de objetos o ideas que estn interrelacionados entre s como una unidad para

la consecucin de un fin (Shannon, 1988). Tambin se puede definir como la porcin del Universo

que ser objeto de la simulacin.

- Modelo: Un objeto X es un modelo del objeto Y para el observador Z, si Z puede emplear X para

responder cuestiones que le interesan acerca de Y (Minsky).

- Simulacin: Simulacin es el proceso de disear un modelo de un sistema real y llevar a cabo

experiencias con l, con la finalidad de aprender el comportamiento del sistema o de evaluar

diversas estrategias para el funcionamiento del sistema (Shannon, 1988).

2.2.2 Aplicaciones de la simulacin La simulacin es conveniente cuando:

- No existe una formulacin matemtica analticamente resoluble. Muchos sistemas reales no

pueden ser modelados matemticamente con las herramientas actualmente disponibles, por

ejemplo la conducta de un cliente de un banco.

- Existe una formulacin matemtica, pero es difcil obtener una solucin analtica. Los modelos

matemticos utilizados para modelar un reactor nuclear o una planta qumica son

imposibles de resolver en forma analtica sin realizar serias simplificaciones.

- No existe el sistema real. Es problema del ingeniero que tiene que disear un sistema

nuevo. El diseo del sistema mejorar notablemente si se cuenta con un modelo

adecuado para realizar experimentos.

- Los experimentos son imposibles debido a impedimentos econmicos, de seguridad, de calidad o

ticos. En este caso el sistema real est disponible para realizar experimentos, pero la dificultad

de los mismos hace que se descarte esta opcin. Un ejemplo de esto es la imposibilidad de

provocar fallas en un avin real para evaluar la conducta del piloto, tampoco se puede

variar el valor de un impuesto para evaluar la reaccin del mercado.

- El sistema evoluciona muy lentamente o muy rpidamente. Un ejemplo de dinmica lenta es

el problema de los cientficos que estudian la evolucin del clima. Ellos deben predecir la

conducta futura del clima dadas las condiciones actuales, no pueden esperar a que un

tornado arrase una ciudad para luego dar el mensaje de alerta. Por el contrario, existen

fenmenos muy rpidos que deben ser simulados para poder observarlos en detalles, por

ejemplo una explosin.

Entre las posibles desventajas de la simulacin se pueden citar:

- El desarrollo de un modelo puede ser costoso, laborioso y lento.

- Existe la posibilidad de cometer errores. No se debe olvidar que la experimentacin se

lleva a cabo con un modelo y no con el sistema real; entonces, si el modelo es incorrecto o se

cometen errores en su manejo, los resultados tambin sern incorrectos.

- No se puede conocer el grado de imprecisin de los resultados. Por lo general el modelo se

utiliza para experimentar situaciones nunca planteadas en el sistema real, por lo tanto no

existe informacin previa para estimar el grado de correspondencia entre la respuesta del

modelo y la del sistema real.

Actualmente la simulacin presta un invalorable servicio en casi todas las reas posibles,

algunas de ellas son:

- Procesos de manufacturas: Ayuda a detectar cuellos de botellas, a distribuir personal,

determinar la poltica de produccin.

- Plantas industriales: Brinda informacin para establecer las condiciones ptimas de operacin, y

para la elaboracin de procedimientos de operacin y de emergencias.

- Sistemas pblicos: Predice la demanda de energa durante las diferentes pocas del ao, anticipa

el comportamiento del clima, predice la forma de propagacin de enfermedades.

- Sistemas de transportes: Detecta zonas de posible congestionamiento, zonas con mayor riesgo

de accidentes, predice la demanda para cada hora del da.

- Construccin: Predice el efecto de los vientos y temblores sobre la estabilidad de los edificios,

provee informacin sobre las condiciones de iluminacin y condiciones ambientales en el

interior de los mismos, detecta las partes de las estructuras que deben ser reforzadas.

- Diseo: Permite la seleccin adecuada de materiales y formas. Posibilita estudiar la sensibilidad

del diseo con respecto a parmetros no controlables.

- Educacin: Es una excelente herramienta para ayudar a comprender un sistema real debido a

que puede expandir, comprimir o detener el tiempo, y adems es capaz de brindar

informacin sobre variables que no pueden ser medidas en el sistema real.

- Capacitacin: Dado que el riesgo y los costos son casi nulos, una persona puede utilizar el

simulador para aprender por s misma utilizando el mtodo ms natural para aprender: el de prueba

y error.

La importancia de la Simulacin es evidente al considerar el impacto que tuvieron algunos

trabajos, como ser:

- La Perestroyka: Estudios de simulacin efectuados en Rusia en las dcadas del 70 y 80

convencieron a los dirigentes de la necesidad de plantear un fuerte cambio en la economa de

ese pas.

- La cada de la bolsa de New York en 1988: La utilizacin de programas de simulacin por

parte de los corredores de la bolsa caus una falsa inestabilidad que provoc la cada.

- El regreso del Apolo 13: La simulacin jug un rol fundamental en la determinacin del

plan de emergencia. La nave retorn con xito a pesar de las graves averas.

- Los Voyagers: Gracias a la simulacin se pudieron establecer los itinerarios ptimos para

estas naves con un mnimo consumo de energa aprovechando la atraccin gravitacional de

los planetas.

- Proyecto Monte Carlo: Von Newman y Ulam (1945) emplearon simulacin para estudiar

reacciones nucleares.

- Los modelos del planeta: Algunos plantean la posibilidad de un calentamiento global debido al

efecto invernadero. Otros plantean la posibilidad de un enfriamiento y predicen una nueva

era glaciar.

- Capacitacin de tropas: En el operativo Tormenta del desierto llevado a cabo en la guerra

contra Irak, las tropas de todas las fuerzas estadounidenses que participaron (fuerza area,

marina y ejrcito) fueron entrenadas con simuladores.

- Capacitacin de policas: Se utiliza entornos virtuales para que el polica aprenda a

conducirse en situaciones de riesgo.

- Simuladores de vuelos: Fue una de las primeras aplicaciones de los simuladores.

Actualmente se utilizan para entrenar pilotos de aviones comerciales y de combate.

2.2.3 Tipos de simulacin De acuerdo a la naturaleza del modelo empleado, la simulacin puede ser por (Fishman,

1978):

- Identidad: Cuando el modelo es una rplica exacta del sistema en estudio. Es la que utilizan

las empresas automotrices cuando realizan ensayos de choques de automviles utilizando unidades

reales.

- Cuasi-identidad: Se utiliza una versin ligeramente simplificada del sistema real. Por ejemplo, los

entrenamientos militares que incluyen movilizacin de equipos y tropas pero no se lleva a cabo

una batalla real.

- Laboratorio: Se utilizan modelos bajo las condiciones controladas de un laboratorio. Se pueden

distinguir dos tipos de simulaciones:

o Juego operacional: Personas compiten entre ellas, ellas forman parte del modelo, la

otra parte consiste en computadoras, maquinaria, etc. Es el caso de una simulacin de

negocios donde las computadoras se limitan a recolectar la informacin generada por

cada participante y a presentarla en forma ordenada a cada uno de ellos.

o Hombre-Mquina: Se estudia la relacin entre las personas y la mquina. Las

personas tambin forman parte del modelo. La computadora no se limita a recolectar

informacin, sino que tambin la genera. Un ejemplo de este tipo de simulacin es el

simulador de vuelo.

-Simulacin por computadora: El modelo es completamente simblico y est implementado en

un lenguaje computacional. Las personas quedan excluidas del modelo. Un ejemplo es el

simulador de un sistema de redes de comunicacin donde la conducta de los usuarios est

modelada en forma estadstica. Este tipo de simulacin a su vez puede ser:

o Digital: Cuando se utiliza una computadora digital.

o Analgica: Cuando se utiliza una computadora analgica. En este grupo tambin se

pueden incluir las simulaciones que utilizan modelos fsicos.

2.2.4 El simulador por computadora Un simulador por computadora est compuesto por las siguientes partes:

-Un modelo: Es un modelo simblico. Puede ser un conjunto de ecuaciones, reglas lgicas o un

modelo estadstico.

-El evaluador: Es el conjunto de procedimientos que procesarn el modelo para obtener los

resultados de la simulacin. Puede contener rutinas para la resolucin de sistemas de

ecuaciones, generadores de nmeros aleatorios, rutinas estadsticas, etc.

-La interfaz: Es la parte dedicada a interactuar con el usuario, recibe las acciones del mismo

y presenta los resultados de la simulacin en una forma adecuada. Esta unidad puede ser tan

compleja como la cabina utilizada en los simuladores de vuelos profesionales.

2.2.5 Resolucin analtica -vs- simulacin Algunos modelos simblicos pueden resolverse analticamente. La ventaja de una solucin

analtica es que da una visin integral sobre la conducta del sistema. Variando sus parmetros

es posible identificar fcilmente cambios importantes en el comportamiento, detectar

puntos crticos y sacar conclusiones generales para el tipo de sistema analizado. Por

ejemplo, la solucin analtica del movimiento pendular permite concluir que el periodo (T) de

cualquier pndulo es independiente de la posicin inicial, pero depende de la longitud (l) del mismo,

Eq. ( 1 ):

( 1 )

En el caso del movimiento de un resorte, variando el coeficiente de friccin se puede

identificar dos tipos de respuestas caractersticas: la oscilatoria (con friccin nula) y la oscilatoria

amortiguada (con friccin no nula).

Cuando se desea calcular las races del polinomio cuadrtico, Eq. ( 2 ):

( 2 )

se dispone de la siguiente solucin analtica, Eq. ( 3 ):

( 3 )

Esta solucin analtica permite calcular fcilmente las nuevas races cuando varan los

coeficientes del polinomio. Tambin, es claro que habr problemas cuando el argumento de

la raz cuadrada se haga negativo.

Sin embargo, no siempre es posible obtener una solucin analtica, ya sea por la

naturaleza del modelo o de los experimentos que se desean realizar. En este caso, el modelo

deber ser tratado por algn tipo de mtodo numrico. Esto es, el modelo ser resuelto para

un caso particular, y la solucin ser un nmero, un vector o una matriz; pero no se

tendr una funcin analtica. Debido a esto, el anlisis de los resultados es ms complejo que

el requerido por una solucin analtica. A continuacin se da un ejemplo utilizando la simulacin de

Monte Carlo.

2.2.6 Simulacin de Monte Carlo La simulacin de Monte Carlo es un mtodo que emplea nmeros aleatorios uniformemente

distribuidos en el intervalo [0,1] que es utilizado para resolver problemas donde la evolucin con

el tiempo no es de importancia. A continuacin, se analizarn dos ejemplos para comparar una

solucin analtica con una solucin obtenida por simulacin.

Determinacin del rea de una figura

Cuando se desea calcular el rea de un crculo de radio r = 10 cm no existen mayores problemas,

ya que tanto el rea a como su permetro p pueden evaluarse analticamente con las

ecuaciones ( 4 )y ( 5 ):

( 4 )

( 5 )

En este caso la solucin es a = 314.16 cm2 y p = 62.83 cm.

Sin embargo, cuando se desea determinar el rea de una forma irregular, por ejemplo la superficie

plana de Argentina, el problema debe necesariamente ser resuelto con un mtodo numrico; es

decir, simulacin. La determinacin del rea del crculo utilizando la simulacin de Monte Carlo

implica la siguiente secuencia:

1. Crear un cuadrado de lado 2.r que encierre al crculo Figura 2.

2. Colocar n puntos al azar dentro del cuadrado.

3. Asignar a c el nmero de puntos que quedaron dentro del crculo.

4. Como la probabilidad de colocar un punto dentro del crculo es igual al cociente del rea del

crculo dividida el rea del cuadrado, el rea del crculo se puede estimar en funcin del rea del

cuadrado (fcilmente calculable) segn la Eq. ( 6 ):

( 6 )

Figura 2: Determinacin del rea de un crculo

Es importante notar que para un dado n, el resultado ser distinto cada vez que se realice la

simulacin. Es decir, que el resultado ser un nmero aleatorio. A medida que n aumente, la

varianza del resultado disminuir y el valor medio se aproximar a la solucin analtica. Para un n =

100, el resultado de una simulacin es 320 cm2; mientras que para n = 10000, un resultado es

313 cm2.

El mismo principio se puede aplicar para figuras complejas como se muestra en la Figura 3.

Conociendo la escala, se puede fijar un cuadrado arbitrario y calcular el rea de Argentina. Sin

embargo, la determinacin del permetro de la figura es un problema de mayor magnitud para el

cual se necesita recurrir a la teora de fractales.

Figura 3: Determinacin del rea de una figura compleja.

2.2.7 Etapas de una simulacin En el desarrollo de una simulacin se pueden distinguir las siguientes etapas (Banks et al.,

1996):

- Formulacin del problema: En este paso debe quedar perfectamente establecido el objeto de

la simulacin. El cliente y el desarrollador deben acordar lo ms detalladamente posible los

siguientes factores: los resultados que se esperan del simulador, el plan de experimentacin, el

tiempo disponible, las variables de inters, el tipo de perturbaciones a estudiar, el tratamiento

estadstico de los resultados, la complejidad de la interfaz del simulador, etc. Se debe

establecer si el simulador ser operado por el usuario o si el usuario slo recibir los

resultados. Finalmente, se debe establecer si el usuario solicita un trabajo de simulacin o un

trabajo de optimizacin.

- Definicin del sistema: El sistema a simular debe estar perfectamente definido. El cliente y el

desarrollador deben acordar dnde estar la frontera del sistema a estudiar y las interacciones

con el medioambiente que sern consideradas.

- Formulacin del modelo: Esta etapa es un arte y ser discutida ms adelante. La misma comienza

con el desarrollo de un modelo simple que captura los aspectos relevantes del sistema real. Los

aspectos relevantes del sistema real dependen de la formulacin del problema; para un ingeniero

de seguridad los aspectos relevantes de un automvil son diferentes de los aspectos

considerados por un ingeniero mecnico para el mismo sistema. Este modelo simple se ir

enriqueciendo como resultado de varias iteraciones.

- Coleccin de datos: La naturaleza y cantidad de datos necesarios estn determinadas por la

formulacin del problema y del modelo. Los datos pueden ser provistos por registros histricos,

experimentos de laboratorios o mediciones realizadas en el sistema real. Los mismos debern

ser procesados adecuadamente para darles el formato exigido por el modelo.

- Implementacin del modelo en la computadora: El modelo es implementado utilizando algn

lenguaje de computacin. Existen lenguajes especficos de simulacin que facilitan esta tarea;

tambin, existen programas que ya cuentan con modelos implementados para casos especiales.

- Verificacin: En esta etapa se comprueba que no se hayan cometidos errores durante la

implementacin del modelo. Para ello, se utilizan las herramientas de debugging provistas por el

entorno de programacin.

- Validacin: En esta etapa se comprueba la exactitud del modelo desarrollado. Esto se lleva

a cabo comparando las predicciones del modelo con: mediciones realizadas en el sistema real, datos

histricos o datos de sistemas similares. Como resultado de esta etapa puede surgir la necesidad

de modificar el modelo o recolectar datos adicionales.

- Diseo de experimentos: En esta etapa se decide las caractersticas de los experimentos a

realizar: el tiempo de arranque, el tiempo de simulacin y el nmero de simulaciones. No se

debe incluir aqu la elaboracin del conjunto de alternativas a probar para seleccionar la mejor,

la elaboracin de esta lista y su manejo es tarea de la optimizacin y no de la simulacin. Debe

quedar claro cuando se formula el problema si lo que el cliente desea es un estudio de

simulacin o de optimizacin.

- Experimentacin: En esta etapa se realizan las simulaciones de acuerdo el diseo previo. Los

resultados obtenidos son debidamente recolectados y procesados.

- Interpretacin: Se analiza la sensibilidad del modelo con respecto a los parmetros que tienen

asociados la mayor incertidumbre. Si es necesario, se debern recolectar datos adicionales para

refinar la estimacin de los parmetros crticos.

- Implementacin: Conviene acompaar al cliente en la etapa de implementacin para evitar el mal

manejo del simulador o el mal empleo de los resultados del mismo.

- Documentacin: Incluye la elaboracin de la documentacin tcnica y manuales de uso. La

documentacin tcnica debe contar con una descripcin detallada del modelo y de los datos;

tambin, se debe incluir la evolucin histrica de las distintas etapas del desarrollo. Esta

documentacin ser de utilidad para el posterior perfeccionamiento del simulador.

2.2.8 Sistemas Un sistema es una seccin de la realidad que es el foco primario de un estudio y est

compuesto de componentes que interactan con otros de acuerdo a ciertas reglas dentro de

una frontera identificada para el propsito del estudio. Un sistema puede realizar una funcin que no

es realizable por sus componentes individuales.

Los objetos o componentes que forman parte del sistema se denominan entidades, por

ejemplo: un auto est compuesto por un motor, ruedas, carrocera, etc. Estas entidades poseen

propiedades denominadas atributos, por ejemplo: la potencia del motor, y se relacionan entre s

a travs de relaciones o funciones. Estas relaciones pueden ser:

-Estticas o estructurales: un auto posee cuatro ruedas.

-Dinmicas o funcionales: un auto consume nafta si se enciende el motor.

Los valores asumidos por los atributos de las entidades en un momento dado determinan el estado del

sistema. El estado puede ser esttico o estacionario, esto significa que se mantiene constante en

el tiempo; o por el contrario, puede ser dinmico o transitorio si evoluciona con el tiempo. Un

sistema puede presentar los dos tipos de conductas; generalmente, cuando inicia su funcionamiento

pasa por un estado dinmico y luego alcanza un estado estacionario o de rgimen.

Un estado estacionario es estable si el sistema retorna a l luego de una perturbacin. Por el

contrario, un estado estacionario es inestable si el sistema se aleja de l luego de una perturbacin.

Este alejamiento puede dar lugar a una respuesta acumulativa (crece o decrece continuamente, o

alcanza otro estado estacionario) o a una respuesta oscilatoria (crece y decrece continuamente). Un

ejemplo de estado estable, es un pndulo en su posicin de reposo; en cambio, el pndulo invertido

es un ejemplo de estado inestable. Si el pndulo no tiene friccin, la respuesta a una perturbacin

ser oscilatoria; en cambio, si existe friccin la respuesta ser amortiguada.

Los atributos tambin se denominan variables o parmetros (Figura 4). Los parmetros (P) son

atributos que se fijaron durante el diseo del sistema ya sea por el diseador o por la naturaleza, por

ejemplo: la cilindrada del motor, la aceleracin de la gravedad. Las variables se clasifican a su vez en:

- Variables de entrada o exgenas: Son fijadas por el medioambiente del sistema. Pueden ser

manipulables (U) -se fijan a voluntad- o no (D). Un ejemplo del primer caso es la posicin del pedal del

acelerador, y del segundo caso es la velocidad del viento. Una variable de entrada no manipulable se

denomina perturbacin.

- Variables de salida (Y): Son las variables de estado, o combinacin de ellas, que son medidas o

traspasan la frontera del sistema.

- Variables internas: Son las variables del sistema que no son ni de entrada, ni de salida, ni

parmetros.

- Variables de estado (X): Conforman el conjunto mnimo de variables internas del sistema necesarias

para describir completamente su estado interno.

Figura 4: Variables de un sistema.

2.2.9 Clasificacin de sistemas De acuerdo a su naturaleza, un sistema puede ser (Law and Kelton, 1991):

- Determinstico: Si el sistema no contiene ningn elemento aleatorio es un sistema

determinstico. En este tipo de sistema, las variables de salidas e internas quedan

perfectamente determinadas al especificar las variables de entrada, los parmetros y las

variables de estado. Es decir, las relaciones funcionales entre las variables del sistema estn

perfectamente definidas.

- Estocstico: En este caso algn elemento del sistema tiene una conducta aleatoria. Entonces, para

entradas conocidas no es posible asegurar los valores de salida. Un ejemplo de sistema estocstico es

una mquina tragamonedas en la cual una misma accin (tirar la palanca) genera un resultado

incierto (ganar o perder). Cuando un sistema determinstico es alimentado con entradas

estocsticas, la respuesta del sistema es tambin estocstica. En el mundo real, los sistemas

siempre tienen elementos estocsticos ya sea por su propia naturaleza o porque son fenmenos no

comprendidos actualmente; por ejemplo, a un caverncola le poda parecer que las eclipses eran

fenmenos aleatorios, hoy ellas son predichas. Sin embargo, se puede considerar a un sistema real

con un sistema determinstico si su incertidumbre es menor que un valor aceptado.

- Continuo: Se tiene un sistema continuo cuando las relaciones funcionales entre las variables del

sistema slo permiten que el estado evolucione en el tiempo en forma continua (basta que una

variable evolucione continuamente). Matemticamente, el estado cambia en infinitos puntos de

tiempo.

- Discreto: Se tiene un sistema discreto cuando las relaciones funcionales del sistema slo permiten

que el estado vare en un conjunto finito (contable) de puntos temporales. Las causas instantneas

de los cambios de estados se denominan eventos. El interruptor de un calentador es un

subsistema discreto porque la intensidad I slo puede variar en los instantes que se abre o se

cierra el interruptor. La apertura y el cierre del interruptor son eventos. Un sistema continuo puede

comportarse en forma discreta si las entradas son discretas. Los sistemas reales son

combinaciones de continuos y discretos. La forma de tratarlos se adopta de acuerdo a la

caracterstica dominante.

2.2.10 Modos de simulacin Como ya se plante anteriormente, cuando se simula se experimenta con un modelo para

obtener ciertos resultados. Un modelo es tambin un sistema, y de acuerdo al tipo de

variables de salida del modelo el modo de simulacin ser (Figura 5):

- Anlisis: Es el modo ms empleado, en l las variables de salida del modelo representan a las

variables de salida del sistema real. Este modo se utiliza para estimar la respuesta del sistema

real ante entradas especificadas. Debido a que imita un sistema que realmente funciona, el modelo es

matemticamente ms estable y se asegura la existencia de una solucin.

- Diseo: En este modo las salidas del modelo representan a los parmetros del sistema real.

Se utiliza en la etapa de diseo de un equipo donde el problema es determinar los

parmetros para los cuales el sistema producir las salidas deseadas para las entradas especificadas.

- Control: Las variables de salida del modelo representan a las variables de entrada del sistema

real. Este modo sirve para determinar los valores que debern adoptar las entradas del sistema para

producir los resultados deseados. Se utiliza cuando se desea determinar las condiciones de

operacin de un sistema.

Figura 5: Modos de simulacin

2.2.11 Modelado Modelado es el proceso de construccin de un modelo. Un modelo es una representacin de

un objeto, sistema, o idea. Usualmente, su propsito es ayudar explicar, entender o mejorar

un sistema (Shannon, 1988). Los modelos son tiles para:

- El pensamiento: Al construir un modelo necesariamente se debe ordenar y completar el

conocimiento que del sistema real se posee.

- La comunicacin: Un modelo elimina la ambigedad del lenguaje para comunicarse con

expertos.

- El entrenamiento y la instruccin: Un modelo puede ser utilizado para entrenar con costo y

riesgo casi nulos. Por ejemplo, los submarinos a escala utilizados por la marina alemana para

entrenar en secreto antes de la segunda guerra mundial; o tambin, el sistema de barcos a

escalas utilizados actualmente en Francia para entrenar a los capitanes de barcos petroleros.

- La prediccin: Un modelo sirve para predecir la conducta del sistema real. Es el caso de los

modelos utilizados para predecir, mediante simulacin, la evolucin del clima mundial. El

modelo de la teora de la relatividad predice, sin hacer una simulacin, que no es posible

superar la velocidad de la luz.

- La experimentacin: La experimentacin con un modelo es barata y segura. Se emplea

frecuentemente en el diseo de un sistema; por ejemplo, las pruebas que se realizan en

un tnel de viento con un modelo a escala de un avin o de un automvil.

El modelado es un arte. Cualquier conjunto de reglas para desarrollar modelos tiene una

utilidad limitada y slo puede servir como una gua sugerida. El arte de modelar consiste

en la habilidad para analizar un problema, resumir sus caractersticas esenciales, seleccionar y

modificar las suposiciones bsicas que caracterizan al sistema, y luego enriquecer y elaborar el modelo

hasta obtener una aproximacin til. Los pasos sugeridos para este proceso son:

1. Establecer una definicin clara de los objetivos.

2. Analizar el sistema real.

3. Dividir el problema del sistema en problemas simples.

4. Buscar analogas.

5. Considerar un ejemplo numrico especfico del problema.

6. Determinar las variables de inters.

7. Escribir los datos obvios.

8. Escribir las ecuaciones tericas o empricas que describen los fenmenos presentes y relacionan

las variables de inters.

9. Si se tiene un modelo manejable, enriquecerlo. De otra manera, simplificarlo.

Generalmente, simplificar un modelo implica:

- Convertir variables en constantes.

- Eliminar o combinar variables.

- Suponer linealidad.

- Agregar suposiciones ms potentes y restricciones.

- Restringir los lmites del sistema.

Para enriquecerlo se procede de la forma contraria. Durante el proceso de modelado se debe

alcanzar un equilibrio entre el grado de detalle y el riesgo de falta de exactitud. El mejor modelo, es el

modelo ms simple que puede resolver el problema con el grado de exactitud requerido.

Un modelo debe ser:

- Fcil de entender por parte del usuario.

- Dirigido a metas u objetivos.

- Sensato, en cuanto no de respuestas absurdas.

- Fcil de manipular y controlar por parte del usuario. Es decir, debe ser sencillo comunicarse

con el modelo.

- Completo, en lo referente a asuntos importantes.

- Adaptable, con un sencillo procedimiento para modificar o actualizar el modelo.

- Evolutivo, debe ser sencillo al principio y volverse ms complejo en el tiempo.

2.2.12 Clasificacin de modelos Como ya fue planteado, un modelo es tambin un sistema; por lo tanto valen todas las

definiciones y clasificaciones que se establecieron anteriormente. Debido a que un modelo es

una simplificacin o abstraccin de un sistema real, no es necesario, salvo en los aspectos

relevantes, que el modelo guarde una total correspondencia con el sistema real. Entonces,

habr casos en que ser conveniente utilizar un modelo discreto para modelar un sistema

continuo (por ejemplo, la integracin numrica de una funcin utilizando la regla del trapecio),

o utilizar un modelo estocstico para modelar un sistema determinstico (por ejemplo, la

determinacin del rea de una figura utilizando la simulacin de Monte Carlo), y todas las

combinaciones posibles.

2.2.13 Modelos tericos -vs- experimentales Si el modelo que se construye slo se orienta a reproducir las salidas del sistema real sin

intentar modelar su comportamiento interno; entonces, ser un modelo experimental o de

caja negra. En cambio, si el modelo tambin intenta reproducir las relaciones funcionales del sistema

ser un modelo con base terica. Un modelo experimental requiere una gran cantidad de datos

para poder calibrarlo o ajustarlo correctamente, y su rango de validez est limitado a este

conjunto de datos. En contraposicin, un modelo terico requiere una cantidad menor de

datos y puede ser utilizado fuera del rango de los mismos ya que el rango de validez del modelo est

dado por la teora utilizada y no por los datos.

2.2.14 Modelos de caja negra Debido a las limitaciones del conocimiento actual o por la complejidad involucrada, todo modelo con

base terica siempre tiene una parte con base emprica. En efecto, debido a que no existe una

teora apropiada o su implementacin es demasiada compleja, siempre es necesario recurrir a

experimentos para determinar el valor del algn parmetro o definir alguna relacin entre las

variables.

En el caso del calentador de agua, se puede desarrollar un modelo con base terica que

considere la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff, el efecto Joule, etc. Sin embargo, la capacidad

calorfica Cp del agua generalmente es estimada utilizando un polinomio que es funcin de la

temperatura T. ste es un modelo de caja negra ya que slo modela la relacin existente

entre la entrada T y la salida Cp sin contemplar los mecanismos internos; adems, es

necesario llevar a cabo experimentos para establecer los valores de los coeficientes del

polinomio.

Cuando se desarrolla un modelo estadstico, se puede utilizar un sinnmero de funciones tericas de

distribucin; pero invariablemente ser necesario determinar algn parmetro en forma

experimental, como por ejemplo el valor medio y la varianza de la muestra.

El modelo de caja negra ms simple es un polinomio. Si el orden del mismo ya est fijado, el

problema se reduce a determinar los valores de los coeficientes que minimicen la sumatoria

de los cuadrados de los errores, tal como se plante en la seccin anterior. Si el orden del polinomio

debe tambin ser determinado, entonces el orden ptimo y los coeficientes surgen de minimizar la

varianza de los errores de la muestra, es decir de resolver un problema de optimizacin

general, Figura 6:

Figura 6: Ajuste polinomial.

Cuando el problema involucra ms de una variable independiente se suele dejar de lado el polinomio

a favor de una funcin que tenga alguna base terica o emprica. Este es el caso de los

modelos estadsticos donde las funciones a ajustar no son polinomios. La ley de los gases

ideales es otro ejemplo.

Si los errores de los datos experimentales son despreciables y si se pueden despreciar

tambin los errores de una interpolacin lineal o cuadrtica dentro de los intervalos de la

muestra; entonces, es posible utilizar como modelo directamente la tabla de datos

experimentales (x,y) a partir de la cual para un x dado se estimar el correspondiente y

utilizando una interpolacin lineal o cuadrtica.

Si no es posible ajustar los datos experimentales utilizando un polinomio, una funcin o una tabla;

entonces, puede ser conveniente recurrir a un modelo ms complejo como es el caso de

una red neuronal. Las mismas son utilizadas para modelar sistemas con mltiples variables y

fuertemente no lineales.

2.3 COMSOL MULTIPHYSICS 4.3

2.3.1 Descripcin general COMSOL Multiphysics es un paquete para la simulacin de cualquier proceso fsico que se

pueda describir mediante ecuaciones en derivadas parciales (partial differential equations o

PDEs en adelante), utilizando como mtodo de resolucin el mtodo de los elementos finitos.

Est provisto de algoritmos de resolucin que pueden manejar problemas complejos de forma

rpida y precisa, mientras que su intuitiva estructura es intuitiva, de fcil uso y flexible.

Con opcin Multifsica integrada en COMSOL Multiphysics se puede modelar simultneamente

una combinacin numerosa de fenmenos. Por tanto, COMSOL es interdisciplinario, al

combinar las interacciones entre diversos efectos, por ejemplo, acoplando diversos fenmenos

de transporte y reacciones qumicas.

Mediante COMSOL Multiphysics se puede modelar prcticamente cualquier fenmeno a travs

de plantillas de modelado predefinidas. Mediante las funcionalidades de modelado basado en

ecuaciones es posible modificar estas plantillas para obtener aplicaciones especficas.

Se utiliza en la investigacin y el desarrollo de productos. As, se desarrollan procesos ms

eficaces y se disminuye el tiempo de comercializacin de producto, a travs de opciones de

diseo ms rpidas que permiten reducir los prototipos fsicos.

Las principales caractersticas de este paquete son:

- Interfaz grfica cmoda, verstil e interactiva para todas las etapas del proceso de

modelado.

- Formulacin general para un modelado rpido y sencillo de sistemas arbitrarios de PDEs.

- Multifsica multidimensional para modelado simultneo de sistemas 1D, 2D y 3D.

- Incorpora herramientas CAD para el modelado slido en 1D, 2D y 3D.

- Permite importar y reparar geometras de archivos CAD en formato DXF e IGES. En

particular, permite la importacin de archivos creados en AutoCAD, CATIA Y SolidWorks.

- Generacin automtica y adaptativa de mallas, con un control explcito e interactivo sobre

su tamao.

- Disponibles los algoritmos de resolucin ms novedosos. Entre ellos destacan los iterativos

para problemas estacionales lineales y no lineales, dependientes del tiempo y de valores

propios.

- Post procesado interactivo que permite visualizar cualquier funcin de la solucin.

- Total integracin con MATLAB y sus toolboxes.

2.3.2 reas de aplicacin Las prestaciones de modelizacin y simulacin de COMSOL, junto con las libreras disponibles

para l, lo convierten en una herramienta aplicable en un amplio abanico de reas, entre las

que destacan:

- Acstica, electromagnetismo, sistemas microelectromecnicos (MEMS), ingeniera de

microondas, componentes de radiofrecuencia, dispositivos semiconductores, propagacin

de ondas.

- Reacciones qumicas, difusin, dinmica de fluidos, fluidos en medios porosos,

transferencia de calor, fenmenos de transporte.

- Mecnica de estructuras.

- Fsica, geofsica, ptica, fotnica, mecnica cuntica.

- Sistemas de control.

- Modelizacin de componentes.

- Matemtica aplicada.

2.3.3 Libreras de COMSOL 3.2 - CAD Import Module: simplifica en gran medida la transicin entre los diseos geomtricos

que los ingenieros crean con herramientas CAD especializadas al modelado matemtico en

COMSOL Multiphysics.

- Chemical Engineering Module: mdulo para ingeniera qumica para modelar procesos y

equipos en el campo de la ingeniera qumica por medio de una interfaz interactiva de uso

grfico. Se caracteriza por sus aplicaciones para transporte de masa, calor y momentum

agrupados con reacciones qumicas en geometra 1D, 2D y 3D. El mdulo de ingeniera qumica

aplica la tecnologa ms reciente para solucionar ecuaciones parciales diferenciales (PDEs) a su

experiencia en ingeniera qumica.

- Earth Science Module: este mdulo consta de un gran nmero de interfaces de modelado

predefinidas y listas para usar en el anlisis de flujos subsuperficiales. Estas interfaces

perminten la rpida aplicacin de las ecuaciones de Richard, ley de Darcy, la extensin de

Brinkman de la ley de Darcy para flujos en medios porosos y las ecuaciones de Navier-Stokes

para flujo libre. Adems, el mdulo puede modelar el transporte y reaccin de solutos as

como el transporte de calor en medios pororsos. La librera de modelos incluye ejemplos que

abarcan desde flujos de petrleo y gas en medios porosos a la distribucin de trazadores en

flujos de acuferos.

- Electromagnetics Module: mdulo proporciona un entorno nico para la simulacin de

propagacin de ondas y electromagntica AC/DC en 2D y 3D.

- Heat Transfer Module: este mdulo resuelve problemas que involucran cualquier

combinacin de fenmenos de conduccin, conveccin y radiacin. Una amplia variedad de

interfaces para el modelado permiten por ejemplo realizar estudios de radiacin superficie a

superficie, flujo no isotrmico, transferencia de calor en tejidos vivos y transferencia de calor

en capas finas y corazas. Este mdulo es el que se utilizar en este proyecto y se le dedicar un

apartado especial ms adelante.

- MEMs Module: incluye aplicaciones listas para usar que cubren aspectos como microfluidos

ms electromagnetismo estructural, interacciones trmico-estructurales y fluidos

estructurales. La librera de modelos adjunta aporta detallados ejemplos que muestran como

modelar mecanismos micro electromecnicos como actuadores, sensores, y dispositivos

microfluidos. Los modelos, a menudo, tratan deformaciones grandes de piezas slidas, que el

software tiene en cuenta para los contornos mviles.

- Structural Mechanics Module: mdulo de mecnica estructural. Combinado con el modelado

basado en las ecuaciones del paquete FEMLAB, ofrece combinaciones multifsicas ilimitadas y

anlisis tradicional de mecnica estructural en 2D y 3D.

2.3.4 Heat Transfer Module (Mdulo de Transferencia de Calor) El Mdulo de Transferencia de Calor se utiliza para estudiar la influencia de los

intercambiadores de calor, calefaccin y refrigeracin en los dispositivos o procesos. COMSOL

incluye herramientas para la simulacin de todos los mecanismos de transferencia de calor,

incluyendo la conduccin, conveccin, y radiacin. Las simulaciones se pueden ejecutar para

condiciones transitorias y constantes en 1D, axisimtricas 1D, 2D, axisimtricas 2D y 3D.

El nivel alto de estas simulaciones permite la optimizacin del diseo y de las condiciones

operativas en los dispositivos y procesos gobernados por la transferencia de calor, Figura 7.

Figura 7: Simulacin disipador de calor.

Figura 8: Procesos de transferencia de calor.

Las propiedades fsicas tales como la conductividad trmica, capacidad calorfica, densidad y

emisividad se pueden obtener incorporando el material de la biblioteca o creando materiales

que tambin se pueden incorporar dentro de la biblioteca.

El ciclo de trabajo es sencillo y se describe en diferentes pasos; definir la geometra,

seleccionar el material para ser modelada, seleccionar el tipo de transferencia de calor, definir

las condiciones de contorno e iniciales, definir la malla de elementos finito, seleccionar un

programa de solucin y visualizar los resultados.

De los mdulos que ofrece para resolver este fenmeno se utilizarn los siguientes:

- Heat Transfer in Solids: describe, por defecto, la transferencia de calor por conduccin.

Tambin es capaz de dar soporte al calor generado debido al movimiento en slidos, por

ejemplo, la rotacin de un disco o el movimiento lineal de un eje.

- Conjugate Heat Transfer: esta interfaz da soporte a la transferencia de calor en slidos,

fluidos y flujo no isotrmico en el fluido. El proceso de transferencia de calor se acopla con

el problema de flujo de fluidos y las interfaces fsicas incluyen caractersticas para describir

la transferencia de calor por conveccin libre y forzada.

CAPTULO 3 _ TRANSFERENCIA DE CALOR

3.1 TRANSMISIN DE CALOR La transferencia de calor se define como el proceso por el que se intercambia energa en forma

de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que estn a

distinta temperatura. El calor se transfiere mediante conduccin, conveccin y radiacin.

Figura 9: Procesos de transferencia de calor.

3.1.1 Conduccin En los slidos, la nica forma de transferencia de calor es la conduccin. Si se calienta un

extremo de una varilla metlica, de forma que aumente su temperatura, el calor se transmite

hasta el extremo ms fro por conduccin. No se comprende en su totalidad el mecanismo

exacto de la conduccin de calor en los slidos, pero se cree que se debe, en parte, al

movimiento de los electrones libres que transportan energa cuando existe una diferencia de

temperatura. Esta teora explica porque los buenos conductores elctricos tambin tienden a

ser buenos conductores del calor.

Es posible cuantificar los procesos de transferencia de calor en trminos de las ecuaciones o

modelos apropiados. Estas ecuaciones o modelos sirven para calcular la cantidad de energa

que se transfiere por unidad de tiempo. Para la conduccin de calor, la ecuacin o modelo se

conoce como ley de Fourier, Eq. ( 7 ) determinada en 1822 por el matemtico francs Joseph

Fourier.

( 7 )

El flujo de calor ( ) es la velocidad con la que se transfiere el calor en la direccin x por rea

unitaria perpendicular a la direccin de transferencia, y es proporcional al gradiente de

temperatura, en esta direccin. La constante de proporcionalidad, K, es una propiedad de

transporte conocida como conductividad trmica ( ) y es una propiedad del material de la

pared. El signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la

direccin de la temperatura decreciente.

3.1.2 Conveccin Es el proceso de transferencia de calor desde un slido o fluido hacia otro fluido. Si existe una

diferencia de temperatura en el interior de un lquido o un gas probablemente se producir un

movimiento del fluido. Mediante este movimiento se transfiere energa en forma de calor de

una parte del fluido a otra por un proceso llamado conveccin. El movimiento del fluido puede

ser natural o forzado. Si se calienta un lquido o un gas, su densidad (masa por unidad de

volumen) suele disminuir. El fluido ms caliente y menos denso asciende, mientras que el

fluido ms fro y ms denso desciende. La conveccin forzada se logra sometiendo el fluido a

un gradiente de presiones, con lo que se fuerza su movimiento a las leyes de la dinmica de

fluidos, ( 8 ).

( 8 )

Siendo el flujo de calor [ ],

h el coeficiente de conveccin [ ],

A la superficie de contacto [ ].

3.1.3 Radiacin La radiacin trmica es la energa emitida por la materia que se encuentra a una temperatura

finita. Puede provenir tanto de slidos como lquidos o gases. Sin importar la forma de la

materia, la radiacin se puede atribuir a cambios en las configuraciones electrnicas de los

tomos o molculas constitutivos. La energa del campo de radiacin es trasportada por ondas

electromagnticas (o alternativamente, fotones). Mientras la transferencia de energa por

conduccin o por conveccin requiere la presencia de un medio material, la radiacin no lo

precisa. De hecho, la transferencia de radiacin ocurre de manera ms eficiente en el vaco.

La radiacin que la superficie emite se origina a partir de la energa trmica de la materia

limitada por la superficie, y la velocidad a la que libera energa por unidad de rea ( ) se

denomina potencia emisiva superficial E. Hay un lmite superior para la potencia emisiva, que

es establecida por la ley de Stefan-Boltzmann, Eq. ( 9 ).

( 9 )

donde es la temperatura absoluta (K) de la superficie y es la constante de Stefan

Boltzmann ( ). Dicha superficie se llama radiador ideal o cuerpo negro.

El flujo de calor emitido por una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma

temperatura y est dado por la Eq. ( 10 ).

( 10 )

donde es una propiedad radiativa de la superficie denominada emisividad. Con valores en el

rango 0 1, esta propiedad proporciona una medida de la eficiencia con que una superficie

emite energa en relacin con un cuerpo negro.

3.2 TRANSFERENCIA EN SUPERFICIES EXTENDIDAS La frase superficie extendida se usa normalmente con referencia a un slido que experimenta

transferencia de energa por conduccin dentro de sus lmites, as como transferencia de

energa por conveccin (y/o radiacin) entre sus lmites y los alrededores.

Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de conduccin y

conveccin, la aplicacin ms frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de

manera especfica para aumentar la rapidez de transferencia de calor entre slido y un fluido

contiguo. Esta superficie extendida se denomina aleta.

Figura 10: Esquema de intercambiadores tpicos de calor de tubos con aletas.

Hay dos formas posibles de aumentar la transferencia de calor. Aumentar el coeficiente de

conveccin h, incrementando la velocidad del fluido o bien reduciendo la temperatura del

fluido . Sin embargo, se encuentran muchas situaciones en las que aumentar h al valor

mximo posible es insuficiente para obtener la transferencia de calor que se desea o en las que

los costos asociados son prohibitivos. Estos costos estn relacionados con los requerimientos

de potencia del ventilador o de bomba necesarios para aumentar h a travs de un creciente

movimiento de fluido. Ms an, la segunda opcin de reducir es a menudo poco prctica.

Sin embargo, existe una tercera opcin. Es decir, la transferencia de calor se incrementa

aumentando el rea de la superficie a travs de la cual ocurre la conveccin. Esto se logra con

el empleo de aletas que se extienden desde la pared al fluido circundante. La conductividad

trmica del material de la aleta tiene fuerte efecto sobre la distribucin de temperaturas a lo

largo de la aleta y, por tanto, influye en el grado al que la transferencia de calor aumenta.

Idealmente, el material de la aleta debe tener una conductividad trmica grande para

minimizar variaciones de temperatura desde la base hasta la punta. En el lmite de la

conductividad trmica infinita, toda la aleta estara a la temperatura de la base de la superficie

proporcionando con ello el mximo aumento posible de transferencia de calor.

Una aleta recta es cualquier superficie prologada que se una a una pared plana. Puede ser de

rea de seccin transversal uniforme, o el rea de seccin transversal puede variar con la

distancia x desde la pared. Una aleta anular es aquella que se une de forma circunferencial a

un cilindro, y su seccin transversal vara con el radio desde la lnea central del cilindro.

3.2.1 Problema de conduccin en una aleta Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta se debe primero obtener la

distribucin de temperaturas a lo largo de la aleta. Se comienza llevando a cabo un balance de

energa sobre un elemento diferencial apropiado.

Figura 11: Balance de energa para una superficie extendida.

Se considerar la Figura 11 de una superficie extendida. El anlisis se simplifica si se hacen

algunas suposiciones:

- Condiciones unidimensionales en la direccin longitudinal (x), aunque la

conduccin dentro de la aleta es en realidad bidimensional. La rapidez a la que se

desarrolla la conveccin de energa hacia el fluido desde cualquier punto sobre la

superficie de la aleta, debe balancearse con la rapidez a la que la energa alcanza

ese punto debido a la conduccin en a la direccin transversal (y,z). Sin embargo,

en la prctica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la direccin

longitudinal son mucho ms grandes que los de la direccin transversal. Por tanto,

podemos suponer conduccin unidimensional en la direccin x.

- Condiciones de estado estable

- Conductividad trmica es una constante

- Radiacin desde la superficie insignificante.

- Los efectos de la generacin de calor estn ausentes

- El coeficiente de transferencia de calor por conveccin h es uniforme sobre la

superficie.

Al aplicar conservacin de la energa se obtiene la siguiente Eq. ( 11 ):

( 11 )

Y aplicando la Ley de Fourier, Eq. ( 12 ):

( 12 )

Operando con las ecuaciones anteriores, se obtiene la Eq. ( 13 ):

( 13 )

Este resultado proporciona una forma general de la ecuacin de energa para condiciones

unidimensionales en una superficie extendida. Su solucin para condiciones de frontera

apropiadas proporcionar la distribucin de temperaturas, que se usar despus para calcular

la transferencia de calor por conduccin en cualquier x.

3.2.1.1 Aletas de rea de seccin transversal uniforme

Para resolver ( 13 )es necesario ser ms especfico acerca de la geometra. Comenzamos con el

caso ms simple de aletas rectangulares rectas de seccin transversal uniforme. Cada aleta se

une a una superficie base de temperatura T(0)= y se extiende en un fluido de temperatura

.

Figura 12: Aletas rectas de seccin transversal uniforme. (a) Rectangular. (b) Circular.

Para las aletas que se establecen, (rea de la seccin) es una constante y , donde

es el rea de la superficie medida de la base a x y P es el permetro de la aleta. En

consecuencia, con y , la ecuacin al final se reduce a la Eq. ( 14 ):

( 14 )

Para simplificar la ecuacin, la variable dependiente se transforma definiendo un exceso de

temperatura como aparece en la Eq. ( 15 ):

( 15 )

Al sustituir se obtiene la Eq ( 16 ):

( 16 )

donde

( 17 )

La ecuacin es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, homognea, con coeficientes

constantes. Su solucin general aparece en la Eq. ( 18 ):

( 18 ) Por sustitucin se verifica fcilmente que la Eq. ( 18 ) es en realidad una solucin de la

ecuacin. Una condicin se especifica en trminos de la temperatura en la base de la aleta

(x=0), Eq. ( 19 )

( 19 )

La segunda condicin, especificada en el extremo de la aleta (x=L), corresponde a cualquiera

de cuatro diferentes situaciones fsicas que se muestran en la Tabla 1:

Caso Condicin de aleta (x=L) Distribucin de temperaturas Transferencia de calor de la aleta

1 Transferencia de calor por conveccin:

2 Adiabtica:

3 Temperatura establecida:

4 Aleta infinita (Linf):

Tabla 1: Distribucin de temperaturas y prdidas de calor para aletas de seccin transversal uniforme.

3.2.1.1.1 Estudio comparativo de los diferentes tipos de casos

Ahora se pasar a comparar mediante una grfica los cuatro diferentes casos, para ello se ha

utilizado el software de programacin matemtica MATLAB, el cdigo utilizado se encuentra

en los anexos.

Ahora se analizar el cdigo para ver despus que resultados nos dan.

Los casos han sido aplicados a un caso de un aleta recta de seccin uniforme, donde

dependiendo del caso se tendrn unos valores u otros.

Las variables generales utilizadas son las siguientes:

W = Ancho de la aleta = 0.05 m

L = Longitud de la aleta = 0.05 m

T_b = , temperatura de la base = 373 K

T_inf = , temperatura exterior =298 K

k = Conductividad trmica = 398

t = espesor de la aleta = 0.005 m

h = coeficiente de conveccin = 100

El dato T_L ( ), se ha borrado porque para el CASO 3 se ha utilizado la temperatura conocida

en el extremo por el CASO 1, y as obtener resultados ms exactos.

Con estos datos y los datos de la Tabla 1 se han realizado las operaciones necesarias hasta

obtener los resultados de la distribucin de temperaturas a travs de la aleta.

La representacin de los resultados son los siguientes:

Grfico 1: Temperatura respecto a la posicin en la aleta para cuatro tipos diferentes de casos en una aleta recta de seccin uniforme.

Partiendo de que la solucin ms exacta es el Caso 1 en esta grfica se puede llegar a diversas

conclusiones, entre ellas:

- Como se indica con anterioridad para establecer la temperatura final del Caso 3 se

puso como temperatura la final del Caso 1, y esto acaba dando un resultado exacto

entre el Caso 1 y el Caso3 (vase Grfico 1). Por lo tanto, si se conoce el valor de la

temperatura en el extremo un mtodo a utilizar podra ser perfectamente el del

Caso 3, ya que da unos resultados exactos a los de un estudio adiabtico y los

clculos son algo ms sencillos.

- El caso de Aleta infinita se puede comprobar que queda totalmente descartado por

proporcionar unos resultados muy dispares.

- El Caso 2, haciendo adiabtico el extremo proporciona unos resultados muy

aproximados al Caso 1, ste mtodo es bueno por dos razones:

o Es fcil de resolver las ecuaciones diferenciales para el caso de rea

transversal no uniforme.

o Utilizando el mtodo de corregir la longitud (longitud corregida), se afina

an ms en el mtodo, obteniendo an resultados ms exactos.

Ahora se va a comprobar que daran los resultados si se utilizara la longitud corregida:

Grfico 2: Con respecto al grfico 1 se ha aadido adb. con longitud corregida y quitado con respecto aleta infinita.

Como se puede observar los resultados son prcticamente idnticos. As que a partir de ahora

se utilizar el Caso 2, ya que es el ms indicado en cuanto a exactitud y simplicidad de

operaciones (a no ser que por ejemplo se tenga la temperatura en el extremo, que se podra

utilizar el Caso 3).

El mximo error relativo con longitud corregida es 0,02% mientras que con simplemente

adiabtico sin poner la longitud corregida es 0,206%. Los dos son errores muy pequeos pero

aun as se ha mejorado en el caso de introducir la longitud corregida.

3.2.1.2 Aletas de rea de seccin transversal no uniforme

Figura 13: Eficiencia de aletas anulares de perfil rectangular.

El anlisis del comportamiento trmico de una aleta se hace ms complejo si la aleta es de

seccin transversal no uniforme. Para estos casos, el segundo trmino de la ecuacin ( 13 )

debe conservarse, y las soluciones ya no presentarn la forma de funciones exponenciales o

hiperblicas simples. Como caso especial, considere la aleta anular que se muestra en la Figura

13. Aunque el espesor de la aleta es uniforme (t independiente de r), el rea de la seccin

transversal, vara con r. Al reemplazar x por r en la ecuacin ( 13 ) y expresar el rea

de la superficie como , la forma general de la ecuacin se reduce a:

( 20 )

o, con ; y :

( 21 )

La expresin anterior es una ecuacin de Bessel modificada de orden cero, y la solucin

general tiene la forma:

( 22 )

donde y son funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase,

respectivamente. Si la temperatura en la base de la aleta se establece, , y se supone

la periferia adiabtica (como indicamos en conclusiones anteriores), , y se

pueden evaluar para dar una distribucin de temperaturas segn la forma:

( 23 )

Si la transferencia de calor de la aleta se expresa como:

( 24 )

se sigue que:

( 25 )

3.2.1.3 Eficiencia de la aleta

Esta medida es una forma de medir el desempeo trmico de una aleta. El potencial de

impulso mximo por la conveccin es la diferencia de temperaturas entre la base (x=0) y el

fluido, . De aqu, se sigue que la rapidez mxima a la que una aleta puede

disipar energa es la rapidez que existira si toda la superficie de la aleta estuviera a la

temperatura de la base. Sin embargo, como cualquier aleta se caracteriza por una resistencia

de conduccin finita, debe existir un gradiente de temperatura a lo largo de la aleta y la

conduccin anterior es una idealizacin. Por tanto, una definicin lgica de eficiencia de aleta

es:

( 26 )

donde es el rea de la superficie de la aleta.

Para una aleta recta de seccin transversal uniforme y un extremo adiabtico (como se indic

que se hara las operaciones anteriormente) el resultado es el siguiente:

( 27 )

Para una aleta anular y extremo adiabtico el resultado es:

( 28 )

En contraste con la eficiencia de la aleta, que caracteriza el rendimiento de una sola aleta, la

eficiencia global de la superficie caracteriza un arreglo de aletas y la superficie base a la que

se une. En cada caso la eficiencia global se define como:

( 29 )

donde es la transferencia de calor total del rea de la superficie asociada con las aletas y

la parte expuesta de la base.

3.2.1.4 Ejemplos prcticos

3.2.1.4.1 Aleta recta de seccin transversal uniforme

Ahora se ver representado un pequeo programa realizado en MATLAB que realiza una serie

de operaciones, que se irn explicando a continuacin, sobre una placa rectangular con aletas

rectas de seccin constante.

El cdigo se puede ver en los anexos.

Las funciones del programa son las explicadas ahora:

- En un primer momento te pide los datos del problema, teniendo en cuenta que se

trata de un disipador rectangular y de aletas rectas de seccin constante y que los

datos deben ser entradas lgicas.

- Con los datos del problema realiza las operaciones para calcular .

- Posteriormente pregunta por el valor mnimo que se le puede poner a la aleta y la

separacin mnima entre ellas. Respectivamente la primera debera ser tratada por

la fabricabilidad y la segunda por los efectos de la conveccin para que puedan

enfriar correctamente.

- Una vez se les proporciona los datos anteriores realiza una grfica desde el

nmero de aletas del comienzo hasta el mximo respecto de y otra que muestra

el rendimiento global respecto al nmero de aletas.

- En el siguiente apartado los clculos son respecto a la longitud de la aleta y

muestra tres grficas una donde se ve la eficiencia de una aleta respecto a la

longitud, otra donde se ve la eficiencia global respecto a la longitud y finalmente

una que muestra la transferencia total de calor respecto de la longitud.

Los dos ltimos apartados serviran en un caso prctico para calcular las propiedades fsicas

que debera de cumplir un disipador dependiendo de lo que se necesite. Ahora se explica

realizando un caso particular de este problema.

Los datos escogidos del problema son los siguientes:

H = Altura de la placa = 0.15 m

W = Ancho de la placa (y de la aleta) = 0.05 m

N = Nmero de aletas = 5

T_b = , temperatura de la base = 500 K

T_inf = , temperatura exterior =300 K

k = Conductividad trmica = 186

L = Longitud de la aleta = 0.02 m

t = espesor de la aleta = 0.006 m

h = coeficiente de conveccin = 50

t_min = , espesor mnimo = 0.002 m

s_min = , espacio entre aletas mnimo = 0.004 m

Los resultados son los siguientes:

Resultados grficos:

Grfico 3: Transferencia de calor respecto al nmero de aletas.

Esta grfica es sencilla de explicar ya que al aumentar el nmero de aletas aumenta el rea de

transferencia de calor y como al aumentar el nmero de aletas aumenta sta, pues aumenta la

transferencia total de calor.

Grfico 4: Efecto del nmero de aletas en la eficiencia global.

Aqu se puede ver como al aumentar el nmero de aletas disminuye la eficiencia global, si nos

fijamos en la ecuacin ( 29 ) se llega a la conclusin de que al aumentar el nmero de aletas

aumenta ms el denominador que el numerador. Aunque al observar la Grfico 4 la

disminucin de eficiencia es despreciable, por tanto, aadir aletas se podra decir que no

afecta de manera significativa a la eficiencia global y por tanto se considera despreciable el

efecto en la eficiencia al aadir ms aletas.

Grfico 5: Efecto de la longitud de aleta en la eficiencia de la aleta.

Grfico 6: Efecto de la longitud de la aleta en la eficiencia globlal.

Estas dos grficas proporcionan prcticamente los mismo resultados, de hecho la variacin

entre ellas es debido a lo que se explic en la grfica Grfico 4 y se dijo que se despreciara, por

tanto, se llega a la misma conclusin con las dos. En cuanto a la grfica en concreto hay que

fijarse en la ecuacin ( 29 ) para el caso de aletas anulares, donde se puede observar que al

aumentar la longitud los parmetros del denominador crecen ms que los del numerador (ya

que M es una raz cuadrada). Pero no disminuye con la misma pendiente, al principio se puede

observar como hasta aproximadamente 0.1 m la eficiencia sigue siendo de un valor aceptable,

por tanto, se sacrificar algo de rendimiento en pos de recibir algo ms de transferencia de

calor.

Y esta se puede comparar en la siguiente grfica que se muestra a continuacin:

Grfico 7: Transferencia de calor respecto a la longitud de aleta.

Dependiendo de la transferencia que se necesite se podra aumentar la eficiencia de la aleta y

ver cunto se est sacrificando de eficiencia.

En conclusin, estas grficas ayudan a realizar elecciones adecuadas sobre las caractersticas

fsicas que debera tener un disipador cualquiera (rectangular y con aletas rectas de seccin

transversal uniforme).

3.2.1.4.2 Aleta anular de seccin transversal no uniforme

Como en el ejemplo anterior se ha realizado un programa en MATLAB que resuelve problemas

de este tipo.

El cdigo se puede encontrar en los anexos.

Las funciones del programa son las mismas que en ejemplo anterior la diferencia que aqu se

ha usado para la solucin ecuaciones de Bessel modificada de orden cero.

Los datos escogidos del problema son los siguientes:

H = Altura de la placa = 0.15 m

N = Nmero de aletas = 5

T_b = , temperatura de la base = 500 K

T_inf = , temperatura exterior =300 K

h = coeficiente de conveccin = 50

r_1 = , radio del cilindro (en su parte externa) = 0.025 m

r_2 = , radio de la aleta = 0.045

t = espesor de la aleta = 0.006 m

k = Conductividad trmica = 186

t_min = , espesor mnimo = 0.002 m

s_min = , espacio entre aletas mnimo = 0.004 m

Los resultados son los siguientes:

Resultados grficos:

Grfico 8: Transferencia de calor respecto al nmero de aletas.

Grfico 9: Efecto del nmero de aletas en la eficiencia global.

Grfico 10: Efecto de la longitud de la aleta en la eficiencia de la aleta.

Grfico 11: Efecto de la longitud de la aleta en la eficiencia global

Grfico 12: Efecto de la longitud de la aleta en la transferencia de calor.

Aunque las ecuaciones ( 29 ) sean distintas en parmetros, al variarlos el comportamiento es

parecido a la placa recta ya que son operaciones semejantes, por tanto, las conclusiones a las

que se llegan son las mismas que con las grficas anteriores.

CAPTULO 4 _ SIMULACIN

4.1 ALETA RECTA DE SECCIN UNIFORME En este apartado de simulacin se proceder a realizar la comparacin de los resultados que

proporciona COMSOL con los resultados analticos.

Los datos del problema son los siguientes:

W = Ancho de la aleta = 0.05 m

T_b = , temperatura de la base = 373 K

T_inf = , temperatura exterior = 298 K

k = conductividad trmica, cobre = 398

L = longitud de la aleta = 0.05 m

t = espesor de la aleta = 0.005 m

h = coeficiente de conveccin = 100

El dato a comparar ser la distribucin de temperaturas a travs de la longitud de la aleta.

Como ya se indic con anterioridad para realizar una simulacin se opta por realizar un modelo

aproximado a la realidad que sea ms sencillo de resolver pero a la vez fiable en los resultados.

Aqu se van a realizar simplemente el anlisis de una aleta, pero se realizarn dos modelos

diferentes para ver si hay alguna variacin entre ellos.

Los dos modelos utilizados son los siguientes:

MODELO 1

Figura 14: Representacin 3D MODELO 1.

MODELO 2

Figura 15: Representacin 3D MODELO 2.

4.1.1 Solucin analtica En este caso se trata de un problema donde conocemos la temperatura de la base y del

extremo. Como en este caso conocemos la frmula de apartados anteriores, usamos la

frmula para este tipo de casos, adems ya se ha resuelto este problema en MATLAB, por lo

tanto, cambiamos el programa para resolver este caso.

El cdigo utilizado se puede ver en los anexos.

Como vemos es muy parecido al utilizado anteriormente para comparar los diferentes casos

para resolver la ecuacin diferencial.

La grfica de distribucin de temperaturas es la siguiente:

Grfico 13: Distribucin de Temperaturas respecto a la posicin en la aleta para la solucin analtica.

4.1.2 Solucin MODELO 1 En la ventana Model Builder que se puede ver en la Figura 16 es

donde se construye el modelo, en este caso, el modelo es muy

sencillo se trata de un rectngulo con las dimensiones de la aleta

(Geometry1Rectangle1). El material elegido para este ejemplo

es cobre (MaterialsCooper).

En cuanto al tipo de fsica elegido es transferencia de calor en

solidos (Heat Transfer in Solids), a continuacin iremos explicando

los diferentes apartados que definen el modelado en cuanto a

fsica se refiere:

Figura 16: Model Builder MODELO 1

- Heat Transfer in Solids 1: Simplemente es un campo obligatorio que selecciona el

dominio donde se ejecutarn los efectos fsicos, en este caso solo hay uno que es el

rectngulo.

- Thermal Insulation 1: Por defecto el programa pone todas las caras como si se trataran

de caras aisladas trmicamente, ya es el usuario el que tiene que ir cambiando las

propiedades de stas segn el modelo que est realizando.

- Initial Values 1: Es otro campo que se crea por defecto al realizar la simulacin de

transferencia en slidos, pero no tiene efecto en nuestro modelo ya que se trata de

valores inici