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Algunos modelos de propagación de enfermedades

Oscar G. Duarte

El modelo representa la evolución de enfermedades infecciosas. Las poblaciones de

las especies involucradas se representan por compartimentos. Se modela el tamaño

de la población de cada compartimento y las interacciones entre los mismos.

Figura 1: Aedes aegypty. Insecto trans-misor del Dengue. Foto tomada dehttp://www.saludputumayo.gov.co

La evolución de las enfermedades infecciosas es uno de lostemas de investigación de la epidemiología. Los modelos ma-temáticos de estos fenómenos permiten realizar experimentoscomputacionales que ayudan a analizar la propagación de lasenfermedades y eventualmente realizar predicciones.

Los modelos deben representar los mecanismos de infección yrecuparación de la enfermedad así como el nacimiento y muertede individuos. En ocasiones, en estos procesos intervienen po-blaciones de diferentes especies, o subpoblaciones de una mismaespecie.

Se presenta aquí una implementación que permite ensamblarmodelos relativamente sofisticados sin la necesidad de escribirexplícitamente el conjunto completo de ecuaciones diferencialesy algebraicas. Los primeros modelos presentados tienen pocos compartimentos (2 o 3) y posteriormentese desarrollan casos más complejos (hasta 19 compartimentos).

Índice

1. El modelo 11.1. Modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Modelo SIR con nacimientos y muertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Modelo SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Modelo SIR-SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Modelo del vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Modelo del humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Modelo SIR-SI con dos serotipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Modelo del dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Plantas de experimentación y experimentos sugeridos 7

3. La implementación 173.1. Ejemplo: implementación del modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Listado de Archivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. El modelo

Los modelos aquí explicados han sido compilados e implementados en [1]. La estrategia básica con-siste en identificar las especies involucradas en el proceso de propagación de la enfermedad y realizar una

1

http://www.saludputumayo.gov.co

partición1 de su población. Cada uno de los subconjuntos de la partición es un compartimento. Las po-blaciones de los compartimentos evolucionan con el tiempo debido a fenómenos tales como nacimientos,muertes, infecciones y recuperaciones de la enfermedad.

Para cada compartimento se plantea una ecuación dinámica que describe la rata de cambio deltamaño de la población x. La forma general de la ecuación es:

x =∑

entradas −

∑salidas (1)

en donde∑

entradas representa el ingreso de individuos al compartimento y∑

salidas el egreso. Esusual que cada uno de los términos que aparecen en las sumatorias dependa del tamaño de la poblaciónde uno o más de los compartimentos del modelo.

En los modelos que se presentan a continuación hay dos especies involucradas:

La especie que sufre la enfermedad, que será identificada como la especie de humanos.

La especie que sirve como transmisora de la enfermedad (como vector de la misma) que seráidentificada como la especie de mosquitos.

1.1. Modelo SIR

En este modelo sólo se considera la especie de humanos. Su población se subdivide en tres compar-timentos, que dan origen al nombre del modelo:

S-Susceptibles: son los individuos que no han contraído la enfernedad pero que pueden llegar a con-traerla.

I-Infectados: son los individuos que han contraído la enfermedad y aún no la han superado.

R-Recuperados: son los individuos que se han superado la enfermedad.

Los tamaños de las poblaciones de estos compartimentos se representan por S, I, R respectivamente.En el modelo SIR, las dinámicas de las poblaciones se rigen por las siguientes reglas

Un individuo puede pasar del compartimento Susceptible al Infectados a través del contagio.

Un individuo puede pasar del compartimento Infectados al Recuperados a través de la recuperación.

Los individuos recuperados adquieren inmunidad, y por tanto no vuelven a enfermarse.

La población total de la especie es constante.

La dinámica de la enfermedad es mucho más rápida que la dinámica natural de la especie, y portanto no se modelan los nacimientos ni las muertes.

El contagio se da por el contacto entre un individuo susceptible y uno infectado. Por esta razón,el número de contagios es directamente proporcional al producto SI (proporcional a la probabilidadde encuentro entre un individuo infectado y uno susceptible) con cosntante de proporcionalidad β. Elnúmero de recuperaciones es proporcional al número de infectados I; la tasa de recuperación γ es el

1La partición de un conjunto es la definición de subconjuntos de dicho conjunto con dos propiedades: 1) los subconjuntosson disyuntos, es decir no tienen elementos en común, o lo que es igual su intersección es vacía 2) la unión de los subconjuntoses igual al conjunto original

2

CompuMars

Resaltado

CompuMars

Resaltado

CompuMars

Resaltado

CompuMars

Resaltado

CompuMars

Resaltado

S I RβSI γI

Figura 2: Diagrama del modelo SIR.

S I RβSI γIµN µ

S

µRµI

Figura 3: Diagrama del modelo SIR con nacimientos y muertes.

inverso del tiempo de recuperación tr = 1/γ. Esta dinámica se representa gráficamente en la figura 2.La ecuación 2 muestra las relaciones matemáticas del modelo

Ecuaciones del modelo SIR

S = −βSII = βSI − γIR = γI

(2)

1.2. Modelo SIR con nacimientos y muertes

El modelo SIR puede modificarse para incluir el fenómeno de muerte natural en cada compartimento.La muerte natural se modela proporcional a la población de cada compartimento, con una constante deproporcionalidad µ igual para todos los compartimentos. Para compensar la disminución de la población,se consideran los nacimientos, que igualan en cantidad a las muertes.

La figura 3 muestra el diagrama correspondiente al modelo. Las ecuaciones correspondientes son lassiguientes:

Ecuaciones del modelo SIR con nacimientos y muertes

S = µN − βSI − µSI = βSI − γI − µIR = γI − µIN = S + I + R

(3)

1.3. Modelo SIS

En algunas enfermedades la recuperación no asegura inmunidad. En otras palabras, es posible ad-quirir la enfermedad más de una vez. Como se muestra en la figura 4, el modelo SIS (sin nacimientosni muertes) sólo tiene dos compartimentos: Susceptibles e Infectados; los individuos que se recuperanpueden enfermarse de nuevo, y por tanto pasan al compartimento de los suscceptibles. Las ecuacionesdel modelo son:

Ecuaciones del modelo SIS

S = −βSI + γII = βSI − γI

(4)

3

CompuMars

Resaltado

CompuMars

Resaltado

S IβSI

γI

Figura 4: Diagrama del modelo SI

1.4. Modelo SIR-SI

En este modelo se considera también la dinámica de la especie transmisora de la enfermedad (laespecie vector). Para distinguir las dos especies se utilizarán los subíndices h y v para referirnos a laspoblaciones de humanos y vectores, respectivamente. La figura 5 ilustra el modelo, cuyas ecuaciones sepresentan en 5 y se explican a continuación:

1.4.1. Modelo del vector

El vector se representa por dos compartimentos: los Susceptibles y los Infectados. Los mosquitosinfectados son los que servirán de transmisores de la enfermedad. La probabilidad de que un mosquitose infecte es proporcional a la probabilidad de encuentro entre un mosquito no infectado y un humanoinfectado, es decir, es proporcional al producto SvIh/Nh. Hay dos elementos más que intervienen: la tasade picadura (representada por b) y la probabilidad de que el mosquito resulte infectado (representadapor pv).

1.4.2. Modelo del humano

La población humana se representa por tres compartimentos: los Susceptibles, Infectados y Recu-perados. La probabilidad de que un humano se infecte es proporcional a la probabilidad de encuentroentre un mosquito infectado y un humano susceptible, es decir, es proporcional al producto ShIv/Nv.También intervienen: la tasa de picadura (representada por b) y la probabilidad de que el humano resulteinfectado (representada por ph).

Ecuaciones del modelo SIR-SI.Vector. Humano.

Sv = µNv − βv − µvSv Sh = µNh − βh − µhSh

Iv = βv − µvIv Ih = βh − γIh − µhIh

Rh = γIh − µhRh

Nv = Sv + Iv Nh = Sh + Ih + Rh

βv = pvbSvIh/Nh βh = phbSvIv/Nv

(5)

1.5. Modelo SIR-SI con dos serotipos

Este modelo contempla dos variantes de la enfermedad, caracterizada por dos serotipos. Los serotiposse identifican por los subíndices 1 y 2. El número de compartimentos se incrementa ahora así:

La población de vectores infectados (Iv) se subdivide en dos comparimentos:

• Iv1: los vectores infectados por el serotipo 1

• Iv2: los vectores infectados por el serotipo 2

4

Sh Ih Rh

Sv Iv

βh γIhµhNh µ

hS

h

µhI h

µhR

h

βvµvNv µ

vS

v

µvI v

Figura 5: Diagrama del modelo SIR-SI

La población de humanos infectados (Ih) se subdivide en cuatro compartimentos:

• Ih1: los humanos infectados por el serotipo 1

• Ih2: los humanos infectados por el serotipo 2

• Ih21: los humanos infectados por el serotipo 1 que previamente se habían infectado (y recu-

perado) con el serotipo 2

• Ih12: los humanos infectados por el serotipo 2 que previamente se habían infectado (y recu-

perado) con el serotipo 1

La población de humanos recuperados (Rh) se subdivide en tres compartimentos:

• Rh1: los humanos recuperados después de haberse infectado (únicamente) con el serotipo 1.

• Rh2: los humanos recuperados después de haberse infectado (únicamente) con el serotipo 2.

• Rh: los humanos recuperados después de haberse infectado con ambos serotipos.

El modelo se representa gráficamente en la figura 6. La ecuación 6 consigna el conjunto de expresionesmatemáticas del modelo.

Ecuaciones del modelo SIR-SI con dos serotipos.Vector.

Sv = µNv − βv1− βv2

− µvSv

Iv1= βv1

− µvIv1

Iv2= βv2

− µvIv2

Nv = Sv + Iv

βv1= pvbSv(Ih1

+ Ih21)/Nh

βv2= pvbSv(Ih2

+ Ih12)/Nh

Humano.

Sh = µNh − βh1− βh2

− µhSh

Rh = γIh12+ γIh21

− µhRh

Nh = Sh + Ih + Rh

Serotipo 1 Serotipo 2

Ih1= βh1

− γIh1− µhIh1

Ih2= βh2

− γIh2− µhIh2

Rh1= γIh1

− µhRh1− βh2

Rh1Rh2

= γIh2− µhRh2

− βh1Rh2

Ih12= βh2

Rh1− γIh12

− µhIh12Ih21

= βh1Rh2

− γIh21− µhIh21

βh1= phbSvIv1

/Nv βh2= phbSvIv2

/Nv

(6)

5

Sh

Ih2Rh2

Ih21

Ih1Rh1

Ih21

Rh

βh1

γIh1βh2

Rh1

γIh12

µhNh

µhS

h

µhI h

1

µhR

h1

µhI h

12

µhR

h

βh

2

γIh2βh1

Rh2

γIh21

µhI h

1

µhR

h1

µhI h

21

Sv

Iv1

Iv2

βv1

βv

2

µvNv

µvS

v µvIv1

µvIv2

Figura 6: Diagrama del modelo SIR-SI con dos serotipos de virus

1.6. Modelo del dengue

En [1] se propone un modelo para la propagación del dengue, y se identifican los parámetros co-rrespondientes para el caso colombiano. El modelo separa la población de humanos en dos poblacionesdiferentes:

La población de jóvenes, identificada con el subíndice j

La población de adultos, identificada con el subíndice a

Para cada una de estas subpoblaciones se formula un modelo SIR-SI con dos serotipos, como elpresentado en la sección 1.5. Sobre ese modelo, se adiciona la migración de cada compartimiento de lapoblación joven a su homólogo de la población adulta, a una rata α que representa la rapidez del pasode joven a adulto.

En esas condiciones, el diagrama resultante es el que se muestra en la figura 7. La ecuación 7 consignael conjunto de relaciones matemática correspondientes.

6

Ecuaciones del modelo para el dengue.Vector.

Sv = µNv − βv1− βv2

− µvSv

Iv1= βv1

− µvIv1

Iv2= βv2

− µvIv2

Nv = Sv + Iv

βv1= pvbSv(Ij1

+ Ij21+ Ia1

+ Ia21)/Nh

βv2= pvbSv(Ij2

+ Ij12+ Ia2

+ Ia12)/Nh

Humano.Joven. Adulto.

Sj = µNj − βj1− βj2

− µjSj − αSj Sa = µNa − βa1− βa2

− µaSa + αSj

Rj = γIj12+ γIj21

− µjRj − αRj Ra = γIa12+ γIa21

− µaRa + αRj

Nj = Sj + Ij + Rj Na = Sa + Ia + Ra

Joven-Serotipo 1 Joven-Serotipo 2

Ij1= βj1

− γIj1− µjIj1

− αIj1Ij2

= βj2− γIj2

− µjIj2− αIj2

Rj1= γIj1

− µjRj1− βj2

Rj1− αRj1

Rj2= γIj2

− µjRj2− βj1

Rj2− αRj2

Ij12= βj2

Rj1− γIj12

− µjIj12− αIj12

Ij21= βj1

Rj2− γIj21

− µjIj21− αIj21

βj1= pjbSvIv1

/Nv βj2= pjbSvIv2

/Nv

Adulto-Serotipo 1 Adulto-Serotipo 2

Ia1= βa1

− γIa1− µaIa1

+ αIj1Ia2

= βa2− γIa2

− µaIa2+ αIj2

Ra1= γIa1

− µaRa1− βa2

Ra1+ αRj1

Ra2= γIa2

− µaRa2− βa1

Ra2+ αRj2

Ia12= βa2

Ra1− γIa12

− µaIa12+ αIj12

Ia21= βa1

Ra2− γIa21

− µaIa21+ αIj21

βa1= pabSvIv1

/Nv βa2= pabSvIv2

/Nv

(7)

2. Plantas de experimentación y experimentos sugeridos

Planta de experimentación 1. Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado . . . . . . . . . . . . . 9Experimento 1.1. Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Experimento 1.2. Tiempos de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Experimento 1.3. Infección máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Experimento 1.4. Tiempo de infección máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Planta de experimentación 2. Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado con nacimientos . . . . 11Experimento 2.1. Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Experimento 2.2. Linealización S-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Experimento 2.3. Infección mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Planta de experimentación 3. Modelo Susceptible-Infectado-Susceptible . . . . . . . . . . . . . 13Experimento 3.1. Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Experimento 3.2. Tiempos de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Experimento 3.3. Nacimientos y muertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Planta de experimentación 4. Modelo SIR para humanos y SI con dos cepas para mosquito . . . 14Experimento 4.1. Tiempos de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Experimento 4.2. Poblaciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Experimento 4.3. Infección máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Experimento 4.4. Entrada del serotipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Experimento 4.5. Modelo del dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Experimento 4.6. Una única cepa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7

Sa

Ia2Ra2

Ia21

Ia1Ra1

Ia21

Ra

βa1

γI1

βa2Ra1

γIa12

µaS

a

µaI a

1

µaR

a1

µaI a

12

µaR

a

βa

2

γIa2βa1

Ra2

γIa21

µaI a

1

µaR

a1

µaI a

21

Sj

Ij2Rj2

Ij21

Ij1Rj1

Ij21

Rj

βj1

γIj1βj2

Rj1

γIj12µjNj

µjS

j

µjI j

1

µjR

j 1

µjI j

12

µjR

j

βj2

γIj2βj1

Rj2

γIj21

µjI j

1

µjR

j 1

µjI j

21

Sv

Iv1

Iv2

βv1

βv

2

µvNv

µvS

v µvIv1

µvIv2

Figura 7: Diagrama del dengue modelo SIR-SI con dos serotipos de virus y población de humanos separadpor edades. Las líneas punteadas representan la migración de las poblaciones jóvenes a adultas, αXj ,donde Xj es la población del compartimento joven

8

Planta de experimentación 1 (Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado)Presentación Modelo de propagación de una enfermedad con tres compartimentos de individuos: Suscep-tibles, Infectados y Recuperados. El modelo se presenta en la sección 1.1.

Instrumentación El modelo cuenta con 4 parámetros ajustables organizados en 2 grupos de controles (Vertabla 1). Como resultado del experimento, el programa despliega:

6 curvas organizadas en 4 gráficos (Ver tabla 2).

Una tabla de datos del comportamiento de 4 variables (Ver tabla 3).

Experimentos sugeridos La siguiente es el listado de experimentos sugeridos:

Experimento 1.1 (Estado estacionario)¿Qué factores inciden en los tamaños de las poblaciones cuando se estabiliza el comportamien-to? Explore cómo afectan los parámetros del modelo a los valores finales de las poblaciones susceptibles,infectadas y recuperadas

Experimento 1.2 (Tiempos de respuesta)¿Qué factores inciden en la rapidez con que se estabiliza el comportamiento? Explore cómoafectan los parámetros del modelo a los tiempos en que se alcanzan los valores finales de las poblacionessusceptibles, infectadas y recuperadas

Experimento 1.3 (Infección máxima)¿Qué combinación de factores causa la máxima infección? Explore cómo afectan los parámetrosdel modelo al valor máximo (valor pico) de la población de infectados.

Experimento 1.4 (Tiempo de infección máxima)¿De qué depende que el pico de infección suceda antes o después? Explore cómo afectan losparámetros del modelo a el tiempo en que sucede el pico de la población de infectados.

Título: Modelo SIRDescripción: Modelo de propagación de una enfermedad con tres compartimentos

de individuos: Susceptibles, Infectados y Recuperados

Créditos

Implementación Oscar Germán Duarte Velascoe-mail [email protected]

Parámetros

Grupo nombre Modelica nombre descripción

9

Enfermedadbeta Tasa de contagio Probabilidad de conta-

gio cuando hay un con-tacto

trec Tiempo de recupera-ción

Número de días quetarda en recuperarseun infectado

PoblaciónNI Infectados iniciales Número de individuos

infectados al inicio dela simulación

NR Recuparados iniciales Número de individuosrecuperados al inicio dela simulación

Cuadro 1: Parámetros del experimento 1, “Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado”

Poblaciones

Curva Descripción x y

Susceptibles dia S.pob

Infectados dia I.pob

Recuperados dia R.pob

Retrato S-I


S vs I I.pob S.pob

Retrato S-R


S vs R R.pob S.pob

Retrato I-R


I vs R R.pob I.pob

Cuadro 2: Figuras del experimento 1, “Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado”

Variable Descripción Unidades

dia días

S.pob IndividuosI.pob IndividuosR.pob Individuos

10

Cuadro 3: Variables en la tabla de resultados del experimento 1, “ModeloSusceptible-Infectado-Recuperado”

Planta de experimentación 2 (Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado con nacimientos)Presentación Modelo de propagación de una enfermedad con tres compartimentos de individuos: Sus-ceptibles, Infectados y Recuperados. Incluye muertes y nacimientos. El modelo se presenta en la sección1.2.





Experimento 2.1 (Frecuencia)¿De qué factores depende la frecuencia de aparición de la infección? Explore cómo afectan losparámetros del modelo el tiempo entre picos de infección

Experimento 2.2 (Linealización S-R)Obtenga un ajuste de línea recta para la relación entre el número de susceptibles y el número derecuperados. Explore cómo se afectan los parámetros de la recta ajustada con los diferentes parámetrosdel modelo.

Experimento 2.3 (Infección mínima)¿Qué factores inciden en los valores mínimos de infección? Explore cómo afectan los parámetrosdel modelo el tamaño de la población de infectados más bajo entre dos picos sucesivos

Título: Modelo SIR con nacimientosDescripción: Modelo de propagación de una enfermedad con tres compartimentos

de individuos: Susceptibles, Infectados y Recuperados. Incluye muer-

tes y nacimientos.

Créditos

Implementación

e-mail

Parámetros


Enfermedad

S.beta Tasa de contagio Probabilidad de conta-gio cuando hay un con-tacto

11

S.trec Tiempo de recupera-ción


mu Tasa de nacimientos(*e-6)

Tasa de natalidad ymuerte natural

PoblacionesS.NI Infectados iniciales Número de individuos

infectados al inicio dela simulación

S.NR Recuparados iniciales Número de individuosrecuperados al inicio dela simulación

Cuadro 4: Parámetros del experimento 2, “Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado con nacimientos”

Poblaciones


Susceptibles S.dia S.S.pobInfectados S.dia S.I.pobRecuperados S.dia S.R.pob

Infectados


Infectados S.dia S.I.pob

Retrato S-I


S vs I S.I.pob S.S.pob

Retrato S-R


S vs R S.R.pob S.S.pob

Retrato I-R


I vs R S.R.pob S.I.pob

Cuadro 5: Figuras del experimento 2, “Modelo Susceptible-Infectado-Recuperado con nacimientos”

12


S.dia díasS.S.pob IndividuosS.I.pob IndividuosS.R.pob Individuos

Cuadro 6: Variables en la tabla de resultados del experimento 2, “ModeloSusceptible-Infectado-Recuperado con nacimientos”

Planta de experimentación 3 (Modelo Susceptible-Infectado-Susceptible)Presentación Modelo de propagación de una enfermedad con dos compartimentos de individuos: Suscep-tibles, Infectados. Los individuos que se recuperan pueden volver a infectarse, y por tanto se convierten ensusceptibles. El modelo se presenta en la sección 1.3.





Experimento 3.1 (Estado estacionario)¿Qué factores inciden en los tamaños de las poblaciones cuando se estabiliza el comportamien-to? Explore cómo afectan los parámetros del modelo a los valores finales de las poblaciones susceptibles,infectadas y recuperadas

Experimento 3.2 (Tiempos de respuesta)¿Qué factores inciden en la rapidez con que se estabiliza el comportamiento? Explore cómoafectan los parámetros del modelo a los tiempos en que se alcanzan los valores finales de las poblacionessusceptibles, infectadas y recuperadas

Experimento 3.3 (Nacimientos y muertes)¿Cómo se comportaría el modelo si se incluyen nacimientos y muertes? Modifique el modelo paraincorporar los fenómenos de nacimiento y muerte. Formule las ecuaciones que describen el nuevo modeloy compárelas con las del modelo original.

Título: Modelo SIS

13

Descripción: Modelo de propagación de una enfermedad con dos compartimentos

de individuos: Susceptibles, Infectados. Los individuos que se recupe-

ran pueden volver a infectarse, y por tanto se convierten en suscep-

tibles.

Créditos

Implementación

e-mail

Parámetros


Enfermedadbeta Tasa de contagio Probabilidad de conta-

gio cuando hay un con-tacto

trec Tiempo de recupera-ción


Poblaciones NI Infectados iniciales Número de individuosinfectados al inicio dela simulación

Cuadro 7: Parámetros del experimento 3, “Modelo Susceptible-Infectado-Susceptible”

Poblaciones


Susceptibles dia S.pobInfectados dia I.pob

Cuadro 8: Figuras del experimento 3, “Modelo Susceptible-Infectado-Susceptible”


dia díasS.pob IndividuosI.pob Individuos

Cuadro 9: Variables en la tabla de resultados del experimento 3, “ModeloSusceptible-Infectado-Susceptible”

Planta de experimentación 4 (Modelo SIR para humanos y SI con dos cepas para mosquito)Presentación Modelo de propagación de una enfermedad en el que hay dos cepas del virus. Los humanosrecuperados de la infección de una cepa pueden reinfectarse con la otra. El modelo se presenta en la sección1.5.

Instrumentación El modelo cuenta con 11 parámetros ajustables organizados en 2 grupos de controles(Ver tabla 10). Como resultado del experimento, el programa despliega:




14

Experimento 4.1 (Tiempos de vida)¿Qué incidencia tienen los tiempos de vida media de humanos y mosquitos en el comporta-miento de la epidemia? Explore cómo afecta la modificación de los tiempos de vida de humanos ymosquitos en los diferentes aspectos del comportamiento de la epidemia

Experimento 4.2 (Poblaciones iniciales)¿Qué efecto tiene el tamaño de las poblaciones iniciales infectadas de humanos y mosquitosen la evolución de la epidemia? Explore cómo afecta el tamaño de las poblaciones iniciales infectadasde humanos y mosquitos los diferentes aspectos del comportamiento de la epidemia.

Experimento 4.3 (Infección máxima)¿Qué condiciones favorecen la propagación de la infección? Explore qué factores del modelo hacenque el número de infectados sea mayor, para cada uno de los dos serotipos.

Experimento 4.4 (Entrada del serotipo 2)¿Qué efecto tiene la entrada del serotipo 2 sobre la infección del serotipo 1? Explore cómo incidela aparición del segundo serotipo en la propagación de la infección del primero. Para ello, puede modificarel día de entrada del segundo serotipo.

Experimento 4.5 (Modelo del dengue)Construya un modelo del dengue El archivo dengue.mo que se encuentra con el código fuente de laplanta de experimentación contiene un modelo del dengue (Camargo G. "Modelamiento de la dinámicadel dengue en Colombia"Tesis de Maestría. Universidad Nacional de Colombia, 2012). Utilice ese modelopara explorar la sensibilidad del modelo a los diferentes parámetros.

Experimento 4.6 (Una única cepa)¿En qué difiere la propagación de la enfermedad entre los casos de una y dos cepas? Implementeel modelo de una única cepa y compara el comportamiento de los dos casos.

Título: Modelo SIR-SI con dos cepasDescripción: Modelo de propagación de una enfermedad en el que hay dos cepas del

virus. Los humanos recuperados de la infección de una cepa pueden

reinfectarse con la otra.

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Créditos

Implementación

e-mail

Parámetros


Enfermedad

b Tasa de picadura Tasa de picadura antecontacto entre humanoy mosquito

H.ph Probabilidad de conta-gio del humano

Probabilidad de conta-gio ante picadura

V.pv Probabilidad de conta-gio del vector

Probabilidad de conta-gio ante picadura

H.trec Tiempo de recupera-ción

Número de días de re-cuperación de la enfer-medad

V.tvida Días de vida del mos-quito

Número de días de vidadel mosquito

H.tvida Años de vida del hu-mano

Número de años de vi-da de los humanos

Poblaciones

to2 Día de entrada del se-rotipo 2

Día en que aparece elprimer mosquito del se-rotipo 2

V.NIv1 Número inicial de mos-quitos infectados

Número de mosquitosinfectados con el sero-tipo 1 al inicio de la si-mulación

V.NIv2 Número inicial de mos-quitos con serotipo 2

Número de mosquitosinfectados con el sero-tipo 2 al inicio de la si-mulación

H.Nih1 Número inicial de hu-manos infectados

Número de humanosinfectados con el sero-tipo 1 al inicio de la si-mulación

H.Nih2 Número inicial de hu-manos infectados conserotipo 2

Número de humanosinfectados con el sero-tipo 2 al inicio de la si-mulación

Cuadro 10: Parámetros del experimento 4, “Modelo SIR para humanos y SIcon dos cepas para mosquito”

Infectados


Infectadoserotipo 1

dia H.Ih1.pob

Infectadoserotipo 2

dia H.Ih2.pob

Reinfectadosserotipo 1

dia H.Ih21.pob

Reinfectadosserotipo 2

dia H.Ih12.pob

Recuperados


Recuperadosserotipo 1

dia H.Rh1.pob

Recuperadosserotipo 2

dia H.Rh2.pob

Recuperados dia H.Rh.pob

16

Susceptibles


Susceptibles dia H.Sh.pob

Vectores


susceptibles dia V.Sv.pobSerotipo 1 dia V.Iv1.pobSerotipo 2 dia V.Iv2.pob

Cuadro 11: Figuras del experimento 4, “Modelo SIR para humanos y SI condos cepas para mosquito”


dia díasH.Ih1.pob IndividuosH.Ih2.pob IndividuosH.Ih21.pob IndividuosH.Ih12.pob IndividuosH.Rh1.pob IndividuosH.Rh2.pob IndividuosH.Rh.pob IndividuosH.Sh.pob IndividuosV.Sv.pob IndividuosV.Iv1.pob IndividuosV.Iv2.pob Individuos

Cuadro 12: Variables en la tabla de resultados del experimento 4, “Modelo SIRpara humanos y SI con dos cepas para mosquito”

3. La implementación

La implementación del modelo utiliza la librería de bloques Modelica Standard Library. Se definendos clases principales: Compartimento e Interacción.

class compartimento: Esta clase implementa la ecuación 1 haciendo explícitos los fenómenos de naci-miento y muerte. Para ello se utilizan dos vectores de objetos de la clase interacción, que modelanel conjunto de entradas y salidas de individuos al compartimento, respectivamente.

Las variables pertenecientes a la clase compartimento son:

pob: representa el número de individuos en el compartimento, es decir, su población.

nace: representa el número de nacimientos en el compartimento.

muere: representa el número de muertes de individuos del compartimento.

entra: es un vector de objetos de la clase interaccion, que representa los fenómenos por losque aumenta la población del compartimento.

17

sale: es un vector de objetos de la clase interaccion, que representa los fenómenos por losque disminuye la población del compartimento.

N: variable de la población total de la especie del compartimento. Es una variable de tipoouter porque la población total de la especie es externa al compartimento.

Los parámetros pertenecientes a la clase compartimento son:

natalidad: tasa de natalidad.

mortalidad: tasa de mortalidad.

nentra: número de interacciones en el vector entra.

nsale: número de interacciones en el vector sale.

Las ecuaciones básicas implementadas son las siguientes:

dpob

dt=

∑nentra entra −

∑nsale sale + nace − muere

nace = natalidad × Nmuere = mortalidad × pob

(8)

class interaccion: Esta clase modela el contacto entre dos especies. Es una extensión de un bloquegeneral MISO con entradas x1, x2, · · · , xnin y salida y. La salida y se calcula como

y = coeficiente ∗

nin∏

i=1

xi (9)

En general, xi representa la población de algún compartimento. Por ejemplo, El número de con-tagios de una especie a otra es proporcional al número de veces que se encuentran dos individuosde esas especies; en esta situación, existirán dos entradas (nin = 2), cada una de las cuales será lapoblación de cada especie, y el coeficiente representará la probabilidad de contagio.

3.1. Ejemplo: implementación del modelo SIR

El modelo SIR (sección 1.1) emplea tres compartimientos denominados S, I, R (Susceptibles, Infec-tados y Recuperados, respectivamente) y dos interacciones denominadas I1 e I2.

La interacción I1 representa la infección de individuos susceptibles, y corresponde al término βSIde la ecuación 2. Esta interacción tiene entonces dos entradas, correspondientes a las poblaciones de loscompartimientos S e I, y su coeficiente corresponde a la tasa de contagio β.

La interacción I2 representa la recuperación de individuos infectados, y corresponde al término γIde la ecuación 2. Esta interacción tiene entonces una entrada, correspondiente a la población del I, y sucoeficiente corresponde a la tasa de recuperación γ.

Las poblaciones iniciales de los tres compartimientos se han modelado con los parámetros NS, NI,y NR. La implementación total del modelo se encuentra en el archivo SIR.mo

3.2. Listado de Archivos

El cuadro 13 Muestra el listado de los archivos fuente de la implementación del modelo.

18

Cuadro 13: Archivos del modelo

Número Archivo

1 SIR.mo

2 SIRn.mo

3 SIS.mo

4 compartimento.mo

5 dengue.mo

6 dosserotipos.mo

7 humano.mo

8 interaccion.mo

9 package.mo

10 vector.mo

Archivo 1: SIR.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model SIR " Modelo S u s c e p t i b l e − In f e c tado − Recuperado "compartimento S( pob ( s t a r t=NS) , nentra =0, nsa l e =1) ;compartimento I ( pob ( s t a r t=NI ) , nentra =1, nsa l e =1) ;compartimento R( pob ( s t a r t=NR) , nentra =1, nsa l e =0) ;i n t e r a c c i o n I1 ( nin =2, c o e f i c i e n t e=beta /(NS+NI+NR) ) " Contagio " ;i n t e r a c c i o n I2 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Recuperacion " ;i nne r Real N;parameter Real beta =0.4 " Tasa de contag io " ;parameter Real gamma=1/ t r e c " Tasa de r e cupe ra c i on " ;parameter Real t r e c ( uni t =" d ia s " )=7 " Tiempo de r e c u p e r a c i ón " ;parameter Real NS=1000−NI−NR " Poblac ion i n i c i a l de s u s c e p t i b l e s " ;parameter Real NI=1 " Poblac ion i n i c i a l de i n f e c t a d o s " ;parameter Real NR=0 " Poblac ion i n i c i a l de recuperados " ;Real d ia ( uni t ="d í as " ) ;

equat iondia=time ;N=(S . pob+I . pob+R. pob ) ;connect ( I1 . u [ 1 ] , S . pob ) ;connect ( I1 . u [ 2 ] , I . pob ) ;connect ( I2 . u [ 1 ] , I . pob ) ;connect ( I1 . y , S . s a l e [ 1 ] ) ;connect ( I1 . y , I . entra [ 1 ] ) ;connect ( I2 . y , I . s a l e [ 1 ] ) ;connect ( I2 . y ,R. entra [ 1 ] ) ;

end SIR ;✝ ✆

Archivo 2: SIRn.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model SIRnSIR S(S . na ta l idad=mu1, S . morta l idad=mu1, I . morta l idad=mu1,R. morta l idad=mu1,NR=646) ;parameter Real mu1=mu∗1e −6;parameter Real mu=44.189;

end SIRn ;✝ ✆

Archivo 3: SIS.mo✞ ☎

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with in Epidemia ;

model SISi n t e r a c c i o n I1 ( nin =2, c o e f i c i e n t e=beta /(NS+NI ) ) " Contagio " ;i n t e r a c c i o n I2 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Recuperaci ón " ;compartimento S( nentra =1, nsa l e =1,pob ( s t a r t=NS) ) " S u s c e p t i b l e s " ;compartimento I ( nentra =1, nsa l e =1,pob ( s t a r t=NI ) ) " I n f e c t a d o s " ;i nne r Real N;parameter Real beta =0.4 ;parameter Real gamma=1/ t r e c " Tasa de r e cupe ra c i on " ;parameter Real t r e c ( uni t =" d ia s " )=7 " Tiempo de r e c u p e r a c i ón " ;parameter Real NS=1000−NI ;parameter Real NI=1;Real d ia ( uni t ="d í as " ) ;

equat iondia=time ;N=(S . pob+I . pob ) ;connect ( I1 . u [ 1 ] , S . pob ) ;connect ( I1 . u [ 2 ] , I . pob ) ;connect ( I2 . u [ 1 ] , I . pob ) ;connect (S . entra [ 1 ] , I2 . y ) ;connect (S . s a l e [ 1 ] , I1 . y ) ;connect ( I . entra [ 1 ] , I1 . y ) ;connect ( I . s a l e [ 1 ] , I2 . y ) ;

end SIS ;✝ ✆

Archivo 4: compartimento.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model compartimento " compartimento de un grupo pob la c i ona l de una e s p e c i e "outer Real N;Real pob ( uni t =" Ind iv iduo s " ) , nace ( uni t =" Ind iv iduo s " ) , muere ( uni t =" Ind iv iduo s " ) ;parameter Real morta l idad =0, na ta l idad =0;Modelica . Blocks . I n t e r f a c e s . RealVectorInput entra [ nentra ] ;Modelica . Blocks . I n t e r f a c e s . RealVectorInput s a l e [ n sa l e ] ;parameter I n t e g e r nentra =1, nsa l e =1;

equat ionnace=N∗ na ta l idad ;muere=pob∗ morta l idad ;der ( pob )=sum( entra )−sum( s a l e )+nace−muere ;

end compartimento ;✝ ✆

Archivo 5: dengue.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model denguevec to r V(muv=muv, pv=pv , b=b , NSv=Nv, NIv1=0,NIv2=0,Nh=Nh) ;humano joven (muh=muj ,gamma=gamma, Nsh=600000 ,Nih1=100 ,Nih2=0,Nrh1=0,Nrh2=500 ,Nih12=0,

Nih21=0,Nrh=0,Nh=Nh, ph=pj , b=b , Sh . na ta l idad=lambda/Nh,Sh . n sa l e=3 , Ih1 . n sa l e=2 , Ih2 . n sa l e=2 ,Rh1 . nsa l e=2 ,Rh2 . nsa l e=2 , Ih12 . n sa l e=2 , Ih21 .

n sa l e=2 ,Rh . nsa l e =1) ;humano adulto (muh=muv, gamma=gamma, Nsh=199300 ,Nih1=100 ,Nih2=0,Nrh1=100000 ,Nrh2=100000 ,

Nih12=0,Nih21=0,Nrh=0,Nh=Nh, ph=pv , b=b , Sh . na ta l idad=0 ,Sh . nentra =1, Ih1 . nentra =2, Ih2 . nentra =2,Rh1 . nentra =2,Rh2 . nentra =2, Ih12 . nentra =2, Ih21 .

nentra =2,Rh . nentra =3) ;i n t e r a c c i o n ASh( nin=1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l te z " ;

20

i n t e r a c c i o n AIh1 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n AIh2 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n ARh1( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n ARh2( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n AIh12 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n AIh21 ( nin =1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l t e z " ;i n t e r a c c i o n ARh( nin=1, c o e f i c i e n t e=a l f a ) " paso a l a adu l te z " ;parameter Real Nh = 1e6 ;parameter Real Nv = 4e5 ;parameter Real lambda = 5 4 . 8 ;parameter Real muj = 1/(62∗365) ;parameter Real mua = 1/(47∗365) ;parameter Real muv = 1/11 ;parameter Real kappa = 1 ;parameter Real t r = 0 ;parameter Real t i r = 100 ;parameter Real t s = 300 ;parameter Real b = 0 . 8 ;parameter Real pj = 0 . 1 ;parameter Real pa = 0 . 2 ;parameter Real pv = 0 . 5 ;parameter Real a l f a = 1/5500 ;parameter Real gamma = 1/10 ; // OJO: es t o no e s t á b ien manejado ! ! ! !parameter Real f i = 1 ;parameter Real q = 0 . 8 ;Real Year ;

equat ionYear=time /365 ;connect (ASh . u [ 1 ] , joven . Sh . pob ) ;connect (ASh . y , joven . Sh . s a l e [ 3 ] ) ;connect (ASh . y , adul to . Sh . entra [ 1 ] ) ;connect ( AIh1 . u [ 1 ] , joven . Ih1 . pob ) ;connect ( AIh1 . y , joven . Ih1 . s a l e [ 2 ] ) ;connect ( AIh1 . y , adul to . Ih1 . entra [ 2 ] ) ;connect ( AIh2 . u [ 1 ] , joven . Ih2 . pob ) ;connect ( AIh2 . y , joven . Ih2 . s a l e [ 2 ] ) ;connect ( AIh2 . y , adul to . Ih2 . entra [ 2 ] ) ;connect (ARh1 . u [ 1 ] , joven . Rh1 . pob ) ;connect (ARh1 . y , joven . Rh1 . s a l e [ 2 ] ) ;connect (ARh1 . y , adul to . Rh1 . entra [ 2 ] ) ;connect (ARh2 . u [ 1 ] , joven . Rh2 . pob ) ;connect (ARh2 . y , joven . Rh2 . s a l e [ 2 ] ) ;connect (ARh2 . y , adul to . Rh2 . entra [ 2 ] ) ;connect ( AIh12 . u [ 1 ] , joven . Ih12 . pob ) ;connect ( AIh12 . y , joven . Ih12 . s a l e [ 2 ] ) ;connect ( AIh12 . y , adul to . Ih12 . entra [ 2 ] ) ;connect ( AIh21 . u [ 1 ] , joven . Ih21 . pob ) ;connect ( AIh21 . y , joven . Ih21 . s a l e [ 2 ] ) ;connect ( AIh21 . y , adul to . Ih21 . entra [ 2 ] ) ;connect (ARh. u [ 1 ] , joven .Rh . pob ) ;connect (ARh. y , joven .Rh . s a l e [ 1 ] ) ;connect (ARh. y , adul to .Rh . entra [ 3 ] ) ;V. Iv1 . pob = joven . Iv1 ;V. Iv2 . pob = joven . Iv2 ;V. Iv1 . pob = adulto . Iv1 ;V. Iv2 . pob = adulto . Iv2 ;joven . Ih1 . pob + adulto . Ih1 . pob =V. Ih1 ;

21

joven . Ih12 . pob + adulto . Ih12 . pob =V. Ih12 ;joven . Ih2 . pob + adulto . Ih2 . pob =V. Ih2 ;joven . Ih21 . pob + adulto . Ih21 . pob =V. Ih21 ;when time>t s then

r e i n i t (V. Iv2 . pob , 1 ) ;end when ;

end dengue ;✝ ✆

Archivo 6: dosserotipos.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model d o s s e r o t i p o svec to r V(b=b) ;humano H(b=b) ;parameter Real to2 =370;parameter Real I o t2 =1;Real d ia ( uni t ="d í as " ) ;Real anno ( uni t ="años " ) ;parameter Real b=0.9 ;

equat iondia=time ;anno=dia /365 ;V. Iv1 . pob =H. Iv1 ;V. Iv2 . pob =H. Iv2 ;H. Ih1 . pob =V. Ih1 ;H. Ih12 . pob=V. Ih12 ;H. Ih2 . pob =V. Ih2 ;H. Ih21 . pob=V. Ih21 ;when time>to2 then

r e i n i t (H. Ih2 . pob , I o t2 ) ;end when ;

end d o s s e r o t i p o s ;✝ ✆

Archivo 7: humano.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

model humanocompartimento Sh ( pob ( s t a r t=Nsh ) , nentra =0, nsa l e =2, morta l idad=muh, na ta l idad=muh) ;compartimento Ih1 ( pob ( s t a r t=Nih1 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Ih2 ( pob ( s t a r t=Nih2 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Rh1 ( pob ( s t a r t=Nrh1 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Rh2 ( pob ( s t a r t=Nrh2 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Ih12 ( pob ( s t a r t=Nih12 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Ih21 ( pob ( s t a r t=Nih21 ) , nentra =1, nsa l e =1, morta l idad=muh) ;compartimento Rh ( pob ( s t a r t=Nrh ) , nentra =2, nsa l e =0, morta l idad=muh) ;inne r Real N;i n t e r a c c i o n C1( nin =2, c o e f i c i e n t e=ph∗b/Nh) "Sh−Ih1 " ;i n t e r a c c i o n C2( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Ih1−Rh1 " ;i n t e r a c c i o n C3( nin =2, c o e f i c i e n t e=ph∗b/Nh) "Rh1−Ih12 " ;i n t e r a c c i o n C4( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Ih12−Rh " ;i n t e r a c c i o n C5( nin =2, c o e f i c i e n t e=ph∗b/Nh) "Sh−Ih2 " ;i n t e r a c c i o n C6( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Ih2−Rh2 " ;i n t e r a c c i o n C7( nin =2, c o e f i c i e n t e=ph∗b/Nh) "Rh2−Ih21 " ;i n t e r a c c i o n C8( nin =1, c o e f i c i e n t e=gamma) " Ih21−Rh " ;parameter Real muh=1/(365∗ tv ida ) ;parameter Real tv ida ( uni t ="años " ) =62;

22

parameter Real gamma=1/ t r e c " Tasa de r e cupe ra c i on " ;parameter Real t r e c ( uni t =" d ia s " )=7 " Tiempo de r e c u p e r a c i ón " ;parameter Real Nh=1000 ,Nih1=5,Nih2=0,Nrh1=100 ,Nrh2=100 ,Nih12=0,Nih21=0,Nrh=200;parameter Real Nsh=Nh−(Nih1+Nih2+Nrh1+Nrh2+Nih12+Nih21+Nrh) ;parameter Real ph =0.4 ;parameter Real b=0.9 ;Real Iv1 , Iv2 ;

equat ionN=Sh . pob+Ih1 . pob+Ih2 . pob+Rh1 . pob+Rh2 . pob+Ih12 . pob+Ih21 . pob+Rh . pob ;connect (C1 . u [ 1 ] , Sh . pob ) ;connect (C1 . u [ 2 ] , Iv1 ) ;connect (C2 . u [ 1 ] , Ih1 . pob ) ;connect (C3 . u [ 1 ] , Rh1 . pob ) ;connect (C3 . u [ 2 ] , Iv2 ) ;connect (C4 . u [ 1 ] , Ih12 . pob ) ;connect (C5 . u [ 1 ] , Sh . pob ) ;connect (C5 . u [ 2 ] , Iv2 ) ;connect (C6 . u [ 1 ] , Ih2 . pob ) ;connect (C7 . u [ 1 ] , Rh2 . pob ) ;connect (C7 . u [ 2 ] , Iv1 ) ;connect (C8 . u [ 1 ] , Ih21 . pob ) ;connect (Sh . s a l e [ 1 ] ,C1 . y ) ;connect (Sh . s a l e [ 2 ] ,C5 . y ) ;connect ( Ih1 . entra [ 1 ] ,C1 . y ) ;connect ( Ih1 . s a l e [ 1 ] ,C2 . y ) ;connect (Rh1 . entra [ 1 ] ,C2 . y ) ;connect (Rh1 . s a l e [ 1 ] ,C3 . y ) ;connect ( Ih12 . entra [ 1 ] , C3 . y ) ;connect ( Ih12 . s a l e [ 1 ] ,C4 . y ) ;connect ( Ih2 . entra [ 1 ] ,C5 . y ) ;connect ( Ih2 . s a l e [ 1 ] ,C6 . y ) ;connect (Rh2 . entra [ 1 ] ,C6 . y ) ;connect (Rh2 . s a l e [ 1 ] ,C7 . y ) ;connect ( Ih21 . entra [ 1 ] , C7 . y ) ;connect ( Ih21 . s a l e [ 1 ] ,C8 . y ) ;connect (Rh . entra [ 1 ] ,C4 . y ) ;connect (Rh . entra [ 2 ] ,C8 . y ) ;

end humano ;✝ ✆

Archivo 8: interaccion.mo✞ ☎

with in Epidemia ;

b lock i n t e r a c c i o n " conta c to s ent r e e s p e c i e s . La probab i l i dad de ocur r enc i a se modela pore l producto "

extends Modelica . Blocks . I n t e r f a c e s .MISO;parameter Real c o e f i c i e n t e =1.0 " parametro de l a i n t e r a c c i ón " ;

equat iony = c o e f i c i e n t e ∗ product (u) ;

end i n t e r a c c i o n ;✝ ✆

Archivo 9: package.mo✞ ☎

package Epidemiaend Epidemia ;✝ ✆

Archivo 10: vector.mo✞ ☎

23

with in Epidemia ;

model vec to rcompartimento Sv ( pob ( s t a r t=NSv ) , nentra =0, nsa l e =4, morta l idad=muv, na ta l idad=muv) ;compartimento Iv1 ( pob ( s t a r t=NIv1 ) , nentra =2, nsa l e =0, morta l idad=muv) ;compartimento Iv2 ( pob ( s t a r t=NIv2 ) , nentra =2, nsa l e =0, morta l idad=muv) ;inne r Real N;i n t e r a c c i o n C11( nin=2, c o e f i c i e n t e=pv∗b/Nh) ;i n t e r a c c i o n C12( nin=2, c o e f i c i e n t e=pv∗b/Nh) ;i n t e r a c c i o n C21( nin=2, c o e f i c i e n t e=pv∗b/Nh) ;i n t e r a c c i o n C22( nin=2, c o e f i c i e n t e=pv∗b/Nh) ;parameter Real muv=1/tv ida ;parameter Real tv ida ( uni t ="d í as " ) =11;parameter Real pv =0.8 ;parameter Real b=0.9 ;parameter Real NSv=375−(NIv1+NIv2 ) ;parameter Real NIv1=0;parameter Real NIv2=0;parameter Real Nh=1000;Real Ih1 , Ih2 , Ih12 , Ih21 ;

equat ionN=Sv . pob+Iv1 . pob+Iv2 . pob ;connect (C11 . u [ 1 ] , Sv . pob ) ;connect (C11 . u [ 2 ] , Ih1 ) ;connect (C12 . u [ 1 ] , Sv . pob ) ;connect (C12 . u [ 2 ] , Ih21 ) ;connect (C21 . u [ 1 ] , Sv . pob ) ;connect (C21 . u [ 2 ] , Ih2 ) ;connect (C22 . u [ 1 ] , Sv . pob ) ;connect (C22 . u [ 2 ] , Ih12 ) ;connect (C11 . y , Iv1 . entra [ 1 ] ) ;connect (C12 . y , Iv1 . entra [ 2 ] ) ;connect (C21 . y , Iv2 . entra [ 1 ] ) ;connect (C22 . y , Iv2 . entra [ 2 ] ) ;connect (C11 . y , Sv . s a l e [ 1 ] ) ;connect (C12 . y , Sv . s a l e [ 2 ] ) ;connect (C21 . y , Sv . s a l e [ 3 ] ) ;connect (C22 . y , Sv . s a l e [ 4 ] ) ;

end vec to r ;✝ ✆

Referencias

[1] Guido Camargo. Modelamiento de la dinámica del dengue en colombia. Master’s thesis, UniversidadNacional de Colombia. Facultad de Ingeniería, 2012.

24

documentation pag3

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