Ulises Garca Ramos

Informtica 712

Distribucin Geomtrica

La distribucin geomtrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se

repiten pruebas hasta la consecucin del xito a resultado deseado.

Esta distribucin toma en cuenta el nmero de veces que debe repetirse el experimento

hasta que ocurra xito por primera vez, en cuyo caso, termina de realizarse el experimento.

Aqu slo ocurre xito una sola vez. No interesa cuntos veces se deba repetir el ensayo.

Esta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en

el que tengamos las siguientes caractersticas.

El proceso consta de un nmero no definido de pruebas o experimentos separados o

separables. El proceso concluir cuando se obtenga por primera vez el resultado

deseado (xito).

Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A

La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un

resultado no A es q

Siendo (p + q = 1).

Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas

son independientes (si se trata de un proceso de "extraccin" ste se llevar a cabo

con devolucin del individuo extrado).

Esta distribucin sirve para calcular la probabilidad de que ocurra un xito por primera y

nica vez en el ltimo ensayo que se realiza del experimento.

Definicin

Diremos que una variable aleatoria X tiene distribucin Geomtrica si X representa El

nmero de veces que debe repetirse un experimento hasta que ocurra xito por primera

vez. En este caso denotaremos por X G(p), donde p, la probabilidad de xito, constituye el

parmetro de la distribucin cuya funcin viene dada por:

Observaciones

El experimento termina cuando ocurre xito por primera vez

El valor esperado de X, E(X) = 1/p

La varianza de X, V(X) = q/p

Ejemplo:

Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que

aparezca guila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3,

Determine la probabilidad de que en el ltimo lanzamiento aparezca un guila.

Solucin:

Si nosotros trazamos un diagrama de rbol que nos represente los 8 lanzamientos de la

moneda, observaremos que la nica rama de ese rbol que nos interesa es aquella en donde

aparecen 7 sellos seguidos y por ltimo un guila; como se muestra a continuacin:

S S S S S S S A

S denotamos;

x = el nmero de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un xito por

primera y nica vez = 8 lanzamientos

p = probabilidad de que aparezca una guila = p( xito) = 2/3

q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3

Entonces la probabilidad buscada sera;

P(aparezca una guila en el ltimo lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

=q*q*q*q*q*q*q*p =

Luego, la frmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribucin

sera;

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un xito en el ensayo x por primera y nica vez

p = probabilidad de xito

q = probabilidad de fracaso

Resolviendo el problema de ejemplo;

x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una guila

p = 2/3 probabilidad de que aparezca una guila

q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) =

Distribucin Binomial Negativa

Es una distribucin de probabilidad discreta que incluye a la distribucin de Pascal.

El nmero de experimentos de Bernoulli de parmetro independientes realizados hasta la

consecucin del k-simo xitoes una variable aleatoria que tiene una distribucin binomial negativa con

parmetros k y .

La distribucin geomtrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.

Propiedades

Ejemplo

Si la probabilidad de que un nio expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, Cul es la

probabilidad de que el dcimo nio expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso,

X es el nmero de nios expuestos la enfermedad y

La solucin es:

En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, cual

es la probabilidad que el quinto (5) artculo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?.

Solucin

Es: X= artculos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\1-

1)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extrado sea el primero

en estar defectuoso.

Distribucin Hipergeometrica

Este es otro de los modelos contrario al modelo Binomial. Si en este los resultados del

experimento son independientes uno de otro, en el caso de una Distribucin

Hipergeomtrica los resultados siguientes dependen de los anteriores. Esto ocurre ya que el

experimento o fenmeno se realiza sin reposicin. Por esta razn, la variable aleatoria

definida como el nmero de xitos obtenidos tiene una distribucin Hipergeomtrica.

Definicion

Supongamos que se tiene una poblacin finita de tamao N. Supongamos que en esta

poblacin r elementos de ella poseen un determinado tipo de atributo. Supongamos

tambin que en esta poblacin se realiza el experimento de extraer una muestra de tamao

n sin reposicin (sin reponer los elementos extrados). Si se define la variable aleatoria X

como El nmero de elementos en la muestra que poseen dicho atributo, diremos que X

tiene Distribucin Hipergeomtrica, de parmetros N, r y n lo cual denotaremos por X

H(N, r, n).

Si se define a X: Nmero de xitos obtenido en la muestra de tamaon y definimos al

evento A como A = { x/ X = x }, entonces P(A) = p(x) = P(X = x) debemos calcularla usando el

siguiente razonamiento

P(A) = Nmero de casos favorables / Nmero de casos posibles

Si deseamos obtener x elementos de un total r elementos, el nmero de maneras de hacerlo

es C(r, x) Del mismo modo, puesto que la muestra debe tener n elementos, los restantes n

x deben ser obtenidos de un total de N r. El nmero de maneras de hacer esto es C(N - r, n

- x).

Luego, el nmero de maneras de que x posean el atributo, y n x, que no lo posean, es C(r,

x) C(N - r, n - x), lo que constituye el nmero de casos favorables.

Por otro lado, si del total de N elementos se desea extraer muestras de tamao n, el nmero

de maneras de hacer esto es C(N, n).

Luego, la funcin de distribucin de X ser

Teorema

Si X es una variable aleatoria que tiene distribucin Hipergeomtrica, H(N, r, n), de

parmetros N, r y n, entonces

La distribucin hipergeomtrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

N: es el nmero total de bolas en la urna

N1: es el nmero total de bolas blancas

N2: es el nmero total de bolas negras

k: es el nmero de bolas blancas cuya probabilidad se est calculando

n: es el nmero de ensayos que se realiza

Ejemplo

En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas Cul es la probabilidad de que

3 sean blancas?

Entonces

N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4

Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.