DISTRIBUCIONES

Pedro Lopez Montañez.

2 D.

DISTRIBUCION DE BERNOULLI.

• DEFINICION. La distribución consiste donde solamente existen 2 posibles resultados, que los conocemos como Éxito y Fracaso, ambos resultados los podemos definir o expresar como 1 y 0.

• EXPLICACION BREVE. Esta distribución nos habla acerca sobre dos posibles resultados a los cuales los llamamos o conocemos como Éxito y Fracaso, los cuales los podemos calcular con una formula, un ejemplo muy sencillo seria el lanzamiento de una moneda.

• FORMULA. Podemos tomar en cuenta que P es la probabilidad lo podemos expresar como P(X=1) si es un éxito y P(X=0) si es un fracaso.

• EJEMPLOS.

• PROBLEMAS.

EJEMPLO DE BERNOULLI.

• Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que caiga 2. Es X=1 si el dado cae 2 seria X=0, ¿ Cual es la distribución de X ? Solución: la probabilidad de éxito sea P(X=1)=1/6.

• Diez porciento de las tuercas que fabrica takata están defectuosas, se seleccionan 1 tuerca al azar, si sabemos que X=1 si el componente esta defectuoso y X=0 en cualquier otro. Solución: la probabilidad de éxito es de P(X=1)=.1.

• Se prueba un experimento de lanzar una moneda al aire, sabemos que solamente existen 2 posibles resultados, “SOL” y “AGUILA”, SOLUCION; X=1/2, entonces P(X=!)=1/2.

PROBLEMAS DE BERNOULLI.

• Diez por ciento de los autos fabricados por Honda mediante determinado proceso está defectuoso. Se selecciona un auto aleatoriamente. Sea X =1 si el auto está defectuoso y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

• En la planta de John Deere de torreón se seleccionan 2 tractores por día para verificar si contiene algún defecto o tiene las especificaciones del cliente. ¿Cuál es la distribución de X?

• En un casino de las vegas se encuentran un par de amigos ellos quieren saber o calcular cual es la probabilidad de que en un juego de arrojar dados caigan 1/6 ¿ cual es la distribución de X?

• En un juego de la feria de san marcos llamado las canicas ruedan por un premio, Pepito quiere ganarse una alcancía para esto tiene que juntar 12 puntos si solo hay las opciones de puntos de 1,2…6. ¿ cual es la distribución de X?

• En el partido de futbol Santos vs Tijuana los capitanes pasan con el arbitro para escoger saque o portería el arbitro lanza una moneda al aire si sabemos que P(x=1)=1/2, ¿Cuál es la distribución de X?

RESULTADOS.

• = .1.

• = .45.

• =1/6.

• = .9.9599.

• P(X=1/2)= la probabilidad de que el capitán del santos es de 1/2 ya que solo hay 2 posibles resultados.

DISTRIBUCION BINOMIAL.

• DEFINICION. Es una distribución la cual podemos tomar en cuenta los Éxitos como una variable aleatoria y discreta, en todos los posibles resultados será la misma probabilidad de éxito, esta distribución nos ayuda a calcular los ensayos independientes de Bernoulli cuando son mas de 1, se encarga de calcular el numero de Éxitos.

• EXPLICACION BREVE. Es una distribución con la cual podemos calcular el numero de Éxitos independientes de Bernoulli.

• FORMULA.

• EJEMPLOS.

• PROBLEMAS.

EJEMPLOS DE BINOMIAL• Un par de amigos lanzan al aire diez veces una moneda. Sea X el número de caras que

aparecen. ¿Cuál es la distribución de X? solución: Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de p=0.5. La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

• Un yonke contiene miles de tuercas, de éstos 10% están defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es la distribución de X? Solución: Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menor a 5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin(7, 0.1).

• Se lanza al aire ocho veces un dado. Determine la probabilidad de que no salgan más de dos números seis. Solución: Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad de éxito de 1/6. Sea X el número de seises en los ocho lanzamientos. Entonces X=Bin(8, 1/6). Se necesita determinar a P(X=2). Con el uso de la función de masa de probabilidad,

PROBLEMAS DE BINOMIAL.• En cooper stand se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la

cual 10% de los elementos está defectuoso. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuoso.

• En un cargamento de la empresa Michelin de llantas de automóvil, 10% tiene cierta imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?

• Un ingeniero de John Deere que supervisa el control de calidad, selecciona una muestra aleatoria de 100 tuercas de acero de la producción del día, descubre que 92 de ellas satisfacen las especificaciones. a) Estime la proporción, de la producción de ese día, que satisface las especificaciones y determine la incertidumbre en la estimación.

• De los elementos producidos por la fabrica del ingeniero eduardo en determinado proceso, 20% estaba defectuoso; de ellos, se puede reparar 60 por ciento. a) Determine la probabilidad de que un elemento elegido de forma aleatoria esté defectuoso y no se pueda reparar.

RESULTADOS.

• = .059049.

• = .034867844.

• = .0000176418.

• = .270170343.

DISTRIBUCION DE POISSON.

• DEFINICION. Es una de las distribuciones de probabilidad discreta, esta distribución nos puede ayudar a calcular las probabilidades de un evento con la tasa media en un determinado tiempo.

• EXPLICACION BREVE. Es una distribución que con su ayuda obtendremos la probabilidad de un evento que ocurre en un determinado periodo.

• FORMULAS.

• EJEMPLOS.

• PROBLEMAS.

EJEMPLOS DE POISSON.

• En un línea telefónica se reciben 10 llamadas cada hora, calcular la probabilidad que existe en que en una hora se reciban 5 llamadas. SOLUCION: P(X=5)=

• La fabrica de motores John Deere se fabrican 4 motores cada hora, calcular la probabilidad de que en una hora se fabriquen 2 motores en una hora.

• En un restaurant un mesero despacha 20 clientes en una hora, calcula la probabilidad que existe en que en una hora el mismo mesero atienda 15 personas

PROBLEMAS DE POISSON.

• En la central telefónica de quejas del Cable Laguna se reciben en promedio 4 llamadas por hora, calcula las siguientes probabilidades. A) que se reciba 1 llamada en una hora.

• En John Deere se fabrican 8 motores promedio por hora, calcula la probabilidad de que en una hora fabriquen 4 motores.

• Unos amigos de la universidad se ponen dos borracheras cada semana, calcula la probabilidad de que en una semana se pongan 4 borracheras.

• En la central telefónica de en Familia Con Chávelo se reciben 4 llamadas por hora para participar por un premio, calcula la probabilidad de que en 2 horas se reciban 3 llamadas.

• En Coppel se venden 15 productos cada hora, por cada uno de los vendedores que hay en esa tienda, calcula la probabilidad de que en una hora vendan 10 productos.

RESULTADOS. 1.- P.

2.- P .0572522.

3.- P .005638970.

4.- P .028626144.

5.- P .0001013777.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

• DEFINICION. Es una distribución la cual es continua, esta distribución nos ayuda a calcular un evento antes de que ocurra sin embargo a este tiempo se le conoce como TIEMPO DE ESPERA.

• EXPLICACION BREVE.

• FORMULA.

• EJEMPLOS.

• PROBLEMAS.

EJEMPLOS DE EXPONENCIAL.

• El fabricante de Baterías para autos Juan Carlos Slim ofrece un año de garantía, ofrece cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes del año. Si la vida útil de estas baterías es de promedio de 10 años ¿ que porcentaje de las baterías fallaran antes de un año? SOLUCION. P(X<1)=1-e=1-.9048.

• La vida útil de un celular es aproximadamente 4 años ¿Cuál es la probabilidad de que un componente falle antes de los 6 meses? SOLUCION. P(X<.5)=1-e=1-.7788=.221199.

• El numero de visitas a un sitio web sigue un proceso de poisson con una razón de tres por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada en 1 minuto?

PROBLEMAS DE EXPONENCIAL.• El tiempo de vida de un fusible en cierta aplicación tiene distribución exponencial con

media de dos años. a) ¿Cuál es el valor del parámetro λ? b) ¿Cuál es la mediana del tiempo de vida de dicho fusible?

• Una investigadora de catalizadores afirma que los diámetros, en micrones, de los poros de un nuevo producto que ella ha fabricado sigue una distribución exponencial con parámetro λ=0.25. a) ¿Cuál es la media del diámetro de los poros?

• Alguien argumenta que el tiempo de espera, en minutos, entre las visitas a un sitio web tiene una distribución exponencial con parámetro λ=1. a) Sea X el tiempo de espera hasta la siguiente visita. Si la afirmación es verdadera, ¿a qué es igual P(X = 5)?

• Una masa radiactiva emite partículas de acuerdo con un proceso de Poisson a una razón media de dos por segundo. Sea T el tiempo de espera, en segundos, entre las emisiones. c) Determine P(T=2).

• El fabricante de celulares ofrece un año de garantía, ofrece cambiar gratuitamente el producto si presenta problemas antes del año. Si la vida útil de estas baterías es de promedio de 10 años ¿ que porcentaje de las baterías fallaran antes de un año?

RESULTADOS.• Lambda= .5, P(x<1)=.393469.

• P(x<1)=.221199216.

• P(x=5)= .993262053.

• P(T=2)= .864664716.

• P(T=1)= .9999546.