distribución uniforme discreta

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1

2

Una variable aleatoria X, que puede tomar un

número finito de valores, 1,2,…,n, cada uno

de los cuales tiene la misma probabilidad de

ocurrir, se dice que sigue una ley de

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA. Es decir,

k=1,2,…,n

Pr(X= k)=

0 en caso contrario

k

1

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

3

Su esperanza es igual a:

E(x) =

2

1n

Su varianza es igual al:

V(x)=

12

1n ²


4

• Es la forma más obvia de asignar

probabilidades dentro de un fenómeno

aleatorio cuyo comportamiento es

desconocido.

• Esta ley aparece en los juegos de azar en los

que todos los jugadores tienen iguales

posibilidades; además, esta distribución es la

básica en la simulación de eventos aleatorios

mediante computadora.


5

EJEMPLO 1:

Un reloj automático registra la hora a la cual llegan los

empleados de una oficina, en horas y minutos completos.

Una persona puede atrasarse hasta 59 minutos luego de la

hora prefijada para entrar, caso contrario se le considera

como falta. Por cada minuto de atraso se le cobra una

multa de 50 centavos. Si los tiempos de atraso se

consideran aleatorios:

a) ¿Cuánto esperará una persona que se le descuente por

un día que se atraso?

b) Si en la oficina hay 8 personas, que se atrasaron 2 veces

al mes cada una, ¿cuánto será el descuento global

esperado a estos empleados de la oficina?


6

SOLUCIÓN:

Sean:

t: tiempo de atraso (en minutos)

n: 1, 2, 3,… 59

D: descuento

Z: descuento global

E(t)= (n+1)/2

E(t)= (59+1)/2

E(t)= 30 [min/día]

D= 0.5t

1 2 3 …59

0.5 0.5 0.5 0.5


7

E(D)= E(0.5t)

E(D)= 0.5*E(t)

E(D)= 0.5*30

E(D)= $15 a)

Z= 8*(0.5t)*2

Z= 8t

E(Z)= E(8t)

E(Z)= 8*E(t)

E(Z)= 8*30

E(Z)= $240 b)


8

Para el servicio de transporte entre dos ciudades hay 10

buses, de los cuales 5 son de tipo normal (costo del

pasaje 2 dólares) y 5 de tipo especial (costo del pasaje 3

dólares). Una persona tiene que viajar entre las dos

ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de

la semana, y para transportarse toma el primer bus que

aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cuánto

esperará gastar esta persona en la semana?.

EJEMPLO 2:


9

SOLUCIÓN:

Sean:

n: número de buses

x: costo por viaje ($/día)

BN: bus normal

BE= bus especial

G: gasto semanal de transporte

#días laborables: 5

n: 10

#BN: 5 costo del pasaje: $2

#BE: 5 costo de pasaje: $3


10

IDA VUELTA

Normal x= 2

Normal x= 2

IDA VUELTA

Especial x= 3

Especial x= 3

IDA VUELTA

Normal x= 2

Especial x= 3

4

6

5

x 4 5 6 P(x) (1/2)*(1/2)=1/4 2*(1/2)*(1/2)= 1/2 (1/2)*(1/2)= 1/4


11

P(BN)= 5/10

P(BN)= ½

P(BE)= 5/10

P(BE)= ½

G= 5x

E(G)= E(5x)

E(G)= 5*E(x) E(x)= 4*(1/4)+5*(1/2)+6*(1/4)

E(x)= 1+2.5+1.5

E(x)= 5 [$/día]

E(G)= 5*5

E(G)= 25 [$/semana]


12

En una escuela primaria se registró el número de

palabras por minuto que leían los estudiantes,

encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un

máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable

aleatoria que describe el número de palabras leídas está

uniformemente distribuida.

a) Halle la probabilidad de que un estudiante,

seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras.

b) Determine el número de palabras que se esperaría

lea un estudiante seleccionado al azar.

EJEMPLO 3:


13

SOLUCIÓN:

ƒ(x)= 1/(b-a) si x € [a,b]

ƒ(x)= 1/(139- 80) si x € [80, 139]

ƒ(x)= 1/59

Pr (x ≥100)= 1- Pr (x<100)

Pr (x ≥100)= 1- -

Pr (x ≥100)= 1-

Pr (x ≥100)= 1- [x/59]

dxxf )( dxxf )(80

-∞

100

80

dx)59/1(

80

100

80

100


14

Pr (x ≥100)= 1- (20/59)

Pr (x ≥100)= 0,66 a)

X~Un (p1;p2)

X~Un (80;139)

E(x)= (80 + 139)/2

E(x)= 109,5 ~ 110 palabras b)


15

Un borracho camina de forma aleatoria de la siguiente

manera: cada minuto da un paso hacia adelante o hacia

atrás con igual probabilidad y con independencia de los

pasos anteriores. Cada paso es de 50 cm. Calcule :

a) Los pasos que esperaría dar el borracho

b) La varianza de los pasos

c) La probabilidad de que en una hora camine y avance

más de 5 m.

EJEMPLO 4:


16

SOLUCIÓN: x 0 1

P(x) 1/2 1/2

Sean:

x: # de pasos dados

0: pasos hacia atrás

1: pasos hacia adelante

E(x)= 0*(1/2)+1*(1/2)

E(x)= ½ [pasos/minuto] a)

V(x)= 0²*(1/2)+ 1²*(1/2) – (1/2)²

V(x)= (1/2) – (1/4)

V(x)= ¼ b)


17

1hora=> 60 pasos

Pasos hacia adelante= = 10 pasos

60 pasos totales menos 10 pasos que con certeza

va hacia adelante= 50 pasos

La probabilidad de que los pasos sean hacia

adelante es igual que la probabilidad de que los

pasos sean hacia atrás.

Entonces:

Pasos hacia atrás= 50*(½)= 25 pasos

Pasos hacia adelante= 50*(½)= 25 pasos

Total de pasos hacia adelante: (10+25)= 35

]/[50

][500

pasocm

cm


18

Pr(x1>35)= 1 – Pr(x ≤35)

Pr(x1>35)= 1 – [Pr(x=0)+Pr(x=1)+…+Pr(x=35)

Pr(x1>35)= 1 – Pr

Hacemos un cambio de variable:

z= u= E(x1)

V(x1)= 60* V(x)

E(x1)= 60*E(x) V(x1)=60*(1/4)

E(x1)= 60*(1/2) V(x1)= 15

E(x1)= 30

X

))(

)(35

)(

)((

xV

xE

xV

xEx

)( 1xV

ux


19

z=

z= 1.29

Pr(x1>35)= 1 – Pr(z≤1.29)

Pr(x1>35)= 1- 0.9015 0.9015: valor de tabla

Pr(x1>35)=0.0985

15

3035


20

Supóngase que la concentración que cierto

contaminante se encuentra distribuida de manera

uniforme en el intervalo de 0 a 20 pares de millón. Si se

considera tóxica una concentración de 8 o más.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al tomarse una

muestra la concentración de esta sea tóxica?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea

exactamente 10?.

c) Halle la varianza.

EJEMPLO 5:


21

SOLUCIÓN:

X~Un (p1;p2)

X~Un (0;20)

Pr(x=20)= 1/20

Pr (x ≥8)=

Pr (x ≥8)=[(1/20)*x]

Pr (x ≥8)=(20/20) – (8/20)

Pr (x ≥8)=0,6 a)


22

Pr (x=10)=

Pr (x=10)=[(1/20)*x]

Pr (x=10)= 0 b)

V(x)= (20 ²- 1)/12

V(x)= 33,3 c)


distribución uniforme discreta

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