Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHEZ CARRION

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL ,SISTEMA E INFORMATICA

EAP INGENIERIA INDUSTRIAL

DISTRIBUCION NORMAL

DOCENTE : Silva Toledo Víctor CURSO: Estadística y probabilidades INTEGRANTES: Chávez Bazán AndersonEspinoza Silva JeanpierreMalvas izquierdo CristianUmbert Eguizabal FernandoYarleque Yovera Jhonatan

OBJETIVOS DE LA PRESENTACION:Objetivo general • Esperamos que cuando termines esta

presentación puedas utilizar la distribución normal para obtener probabilidades, intervalos y cantidades específicas.

• Además, esperamos que puedas: Identificar las propiedades de una distribución normal. Encontrar el área bajo una distribución normal estándar. Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo al problema.

HISTORIA La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667- 1754)

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) realizó estudios mas a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente , como la campana de Gauss.

DEFINICION

Se llama distribución normal a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua, es decir puede asumir un numero infinito de valores. La asimetría de la curva normal es nula. Por lo tanto, es simétrica y su altura máxima coincide con la media.

UTILIDAD:-Se utiliza mucho ya que hay variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de esta norma.-Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas), de una especie. Por ejemplo, tallas, pesos, distancias, etc.-Caracteres sociológicos, como el consumo de cierto producto en un grupo de individuos, puntajes de un examen,etc.

CARACTERISTICAS El promedio aritmético, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se ubican en el pico.El área total es 1.La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución.Es simétrica en torno a su promedio . La media divide la curva normal en dos mitades idénticas.

- La forma de la campana de gauss depende de los parámetros µ y σ.

- Tiene una única moda que coincide con su media y mediana

- La curva normal es asíntota al eje X- Es simétrica con respecto a su media µ.

Para este tipo de variables existe una probabilidad de 50% de observar un dato mayor a la media, y un 50% de observar un dato menor.

DISTRIBUCION NORMAL

Se dice que una variable X continua, tiene una distribución normal con parámetros µ y σ o s2 si su función de densidad es:

xexf

x

2

1)(

2

2

2

)(

LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDARTiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.Los valores mayores al promedio tienen valores Z positivos y, valores menores al promedio tendrán valores Z negativos.

X

Y

1

0

Dado que tanto µ como σ pueden asumir infinitos valores, es impracticable tabular las probabilidades para todas las posibles distribuciones normales. Para solucionarlo, se utiliza la distribución NORMAL REDUCIDA O TIPIFICADA.

Entonces, se define una variable Z.

La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media µ = 0 y desviación típica σ = 1

EL VALOR ZSu cálculo está dado por:

ZLa media de la población, ,La desviación estándar de ésta, , La variable de interés x.Es una traslación de unidades x a unidades z, cambio de escala de la variable original.

LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VARIABLE SE ENCUENTRE ENTRE A Y B )21()21( zZzPxXxP

1

1X

Z

22X

Z

1) La media de un grupo de ingresos semanales con distribución aproximadamente normal para un conjunto de gerentes de nivel medio es de 1000 dólares y representa una desviación estándar de 100 dólares. Cuál es la probabilidad:

A) Que los gerentes tengan un ingreso semanal entre 840 y 1200 dólares

B)Con ingresos semanales de 1245 dólares o más.

EJERCICIOS DE DISTRIBUCION NORMAL:

2) La panadería “SANTA ROSA” elabora piezas de pan, la longitud de una pieza se distribuye de forman normal con una media de 15cm y varianza 2.25 cm. Determinea) ¿Probabilidad de que una pieza exceda los 18 cm?b) ¿Probabilidad de que las piezas de pan estén entre 13 y 17 cm?

3)

µ = 80 σ = 14

z

Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 (75 ≤ x ≤ 90)

75 80 90 μ

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.p(x ≤ 75)

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0

p (55 ≤ x ≤ 70)

75 80 μ

55 70 80 μ

4.-Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley

normal con media 100 y desviación típica 15

a)Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110

Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ−3σ≤ X ≤ µ+3σ).

5.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1.- Entre 60 kg y 65 kg.

2.-Menos de 64 kg.

Conclusiones :• La distribución normal se puede utilizar en diferentes tipos de problemas en la vida

cotidiana.

• Entendimos y aplicamos la grafica de campana de Gauss para cada uno de los ejercicios.

• Utilizamos la distribución normal para obtener probabilidades de valores puntuales, intervalos y cantidades específicas.

• La estimación la aplicamos cuando se desconocen parámetros de una población, se toma una muestra aleatoria de dicha población de la cual se calcula una aproximación a dichos parámetros que desconocemos.

Recomendaciones:1. Cuando deseamos en algún trabajo de investigación realizar inferencias acerca de la media o de la varianza poblacional de variables aleatorias continuas.