DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. INTRODUCCION: Es una distribución de probabilidad de variable

discreta y Bernoulli es el autor de esta distribución.Ensayo de Bernoulli: Es cualquier ensayo de algún

experimento que conduce sólo a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + ó –

De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la

distribución binomial.La formación de un proceso de Bernoulli se efectúa bajo las siguientes condiciones.

A. Se tiene un número finito de ensayos B. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes. Uno de los resultados posibles se denomina (arbitrariamente) éxito y el otro fracaso.

C. La probabilidad de éxito, representada por p,

permanece constante de ensayo a ensayo. La

probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q.

D. Los ensayos son independientes, es decir, el

resultado de cualquier ensayo particular no es

afectado por el resultado del otro ensayo.

2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALAl estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener x éxitos de un total de n ensayos de Bernoulli. Este cálculo se realiza con:

xn-xqpx)!-(nx!

n!=x)=p(X

Donde: X = variable aleatoria x = 0,1,2,3,....n Se demuestra que la distribución binomial es

una distribución de probabilidad ya que:a. P(x) 0b. P(x) =1

La distribución binomial tiene dos parámetros: n y pLa media de la distribución binomial es: x = npLa desviación estándar es:

x = npq

Ejemplo: En cierta población la prevalencia de alergia es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de n=10. Calcular :

a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico.

Solución: Datos: Éxito= tener alérgia p = 0,2 y q = 0,8

n = 10 x = 1 Luego: P(X=1)= 10! (0,2)1 (0,8)9

1!9! = 10 (0,2)(0,8)9

P(X=1) = 0,2684

b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alérgicosSolución:p = 0,2q = 0,8n = 10P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

= 10! (0,2)0 (0,8)10 + 0,2684 0!10! = 0,1074 + 0,2684

P(X<2) = 0,3758

c. La probabilidad de que la muestra incluya

dos o más alérgicos. d. La probabilidad de que la muestra

incluya entre uno y tres alérgicos inclusive. C. Cuál es el valor de la media y varianza

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION NORMAL

• Es una distribución de probabilidad de variablecontinua.

• El matemático Gauss contribuyó notablemente en el estudio y difusión de esta distribución.

• La mayoría de las variables continuas tienen polígonos de frecuencias que permiten visualizar un aumento gradual hasta llegar a un máximo y luego un descenso igualmente gradual. Así:

Polígono de frecuencias

Si n e i 0Xi

x Xi

Curva normal

y

• Como toda figura geométrica en el plano, la curva normal posee una fórmula o ecuación denominada tambien Función de densidad de la variable aleatoria continua que es la siguiente: 2

2

1

2

1

σ

μx

e

σπy

- x

(1)

Donde: y = altura de la curva en el punto x = media aritmética de la distribución = desviación estándar de la distribución

Características más importantes de la

distribución normal1. Es simétrica respecto a la media, .2. La media, la mediana y la moda son

iguales.3. El área total debajo de la curva y por

encima del eje x es igual a una unidad cuadrada

4. Si se levantan perpendiculares a una distancia de una desviación estándar a ambos lados de la media, se habrá delimitado aproximadamente el 68.26% del área total.

Si se extienden estas perpendiculares hasta dos desviaciones estándar, se define como 95.44% del área total y con 3 desviaciones estándar aproximadamente el 99.74%. Así:

- Xi+

0,6826

-2 Xi +2

0,9544

5. La normal queda completamente determinada por los parámetros y

Distribución normal unitaria o normal estándar

• Tiene una media de cero y desviación estándar de uno

• Se obtiene a partir de la ecuación (1), haciendo =0, =1 y x - = z

Donde z es una variable aleatoria con distribución normal. Luego:

Cálculo de área o probabilidad en la curva

normal estándarSe utiliza la tabla de áreas.Ejemplo 1: Calcular el área entre z= - y z=2Solución:Se recomienda graficar la curva normal y sombrear el área solicitada para facilitar la resolución del problema. Así:

De la tabla de áreas se obtiene:P(z 2) = 0,9772Interpretación: La probabilidad de que la variable z asuma valores entre - y 2 inclusive, es 0,9772

0 zi

=1

2

Ejemplo 2:Si de la población de posibles valores de z, se elige uno al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que se encuentre entre 0,84 y 2,45 inclusive?Solución:La pregunta permite calcular:P(0,84 z 2,45) = ?Veamos el gráfico siguiente:

De la tabla: área entre - y z=2,45 0,9929

área entre - y z=0,84 0,7995P(0,84 z 2,45) = 0,9929 - 0,7995= 0,1934Interpretación: La probabilidad de que una z elegida al azar quede entre 0,84 y 2,45 es de 0,1934 ó el 19,34% de los valores de z están entre 0,84 y 2,45.

0,84 zi

=1

2,45 0

Ejemplo 3:Calcular P(z2,71).Solución: Graficando:

Interpretación:La probabilidad de que un valor de z sea mayoro igual a 2,71 es de 0,0034.

De la tabla: área entre - y z=2,71 0,9966

Luego: P(z2,71)=1,0-0,9966 =0,0034.

zi

=1

2,71 0

Cálculo de áreas en una curva normal cualquiera

Ejemplo:Los niveles de colesterol total en la población general se distribuyen normalmente con =200 y = 20. Si de esta población se selecciona un sujeto al azar, ¿ cúal es la probabilidad de que:a. tenga un valor entre 170 y 230?Solución:

Se solicita: P(170x230)=?. En el gráfico, el área que debemos calcular aparece sombreada:

200170 Xi230

=20

Se transforman o estandarizan los valores de xi en términos de z.

50,120

200170

50,120

200230

22

11

xz

xz

Luego: P(170x230)= P(-1,50z1,50)=?.De la tabla: P(-1,50z1,50)= 0,9332 - 0,0668 = 0,8664Interpretación:La probabilidad de que un sujeto seleccionado al azar tenga un nivel de colesterol entre 170 y 230, es de 0,8664

0-1,50 zi1,50

=1

b. Tenga un valor de 270 ó más.Solución:p(x270) =?

Cálculo de z:Z= 270 – 200=3,50 20

Luego:P(x270)=P(z3,50)= 1 - 0,9998= 0,0002.

xi

=20

270200

zi

=1

3,50 0

Interpretación:La probabilidad de que un sujeto elegido al azar tenga un nivel de colesterol de 270 ó más, es de 0,0002

b.1 Calcular el valor de la mediana y moda

• C. A partir de que valor del colesterol se localiza el 10% superior de la población?

• D. Entre que valores de colesterol se localiza el 80% central de la población?