Diseño Óptimo de Dispositivos

Electromagnéticos

Fermín Pascual Espino CortésAlfredo Reyes Rosario

Resumen

• En este trabajo se realizan diseños geométricos óptimos de tres diferentes dispositivos electromagnéticos, utilizando el Método de Elemento Finito y técnicas de optimización numéricas. Se utilizó al paquete por comutadoraANSYS como herramienta de apoyo.

Introducción

• El diseño de dispositivos electromagnéticos consiste en determinar los materiales, geometría y excitaciones que garanticen ciertas características de desempeño.

• En años reciente ha surgido un gran interés por el desarrollo de métodos formales de optimización aplicados al diseño de dispositivos electromagnéticos.

Problema de Optimización

• El problema de diseño óptimo consta de tres elementos:

• Una función objetivo f.• Las variables independientes o de

diseño xi.• Las variables dependientes o de

evaluación del diseño gi.

Formulación Matemática del Problema de Optimización

• Maximizar o Minimizar• f(x1, x2, ... ,xn)

• Sujeta a• xii<xi<xis para i=1,...,n

• gji<gj (x1, x2, ... ,xn) <gjs para j=1,...,m

Técnicas de Optimización

• Métodos de Orden Cero. Requiere únicamente evaluaciones de la función objetivo y de los valores de las variables dependientes y no de sus derivadas.

• Métodos de Primer Orden. Requiere de evaluaciones de la función objetivo y de los valores de las variables dependientes, así como de sus derivadas.

Pasos del Diseño Óptimo

• Proponer un diseño inicial debidamente parametrizado.

• Formular el problema de optimización, lo cual implica definir variables de diseño, dependientes y función objetivo.

• Elegir el o los método de optimización adecuados para resolver el problema.

• Resolver el problema de optimización y analizar los resultados.

Problema 1: Relación Óptima de Radios en un Arreglo Coaxial de Conductores

RERI

MedioAislante

22.5°

Problema 1: Continuación

• Se desea determinar el radio interior que minimice la máxima intensidad de campo eléctrico, tal que el medio aislante este sometido al menor esfuerzo eléctrico posible. Dado que la máxima intensidad de campo eléctrico se tiene en el radio interno y considerando que el radio exterior permanece constante, es conveniente definir la relación x = RE / RI.

Problema 1: Continuación• El problema se formula de manera

analítica mediante métodos convencionales que ofrece la Teoría Electromagnética, con lo cual se obtiene la siguiente expresión:

( )xInRxVE

Emax =

• Mediante el cálculo diferencial se determina que el valor mínimo de Emaxse alcanza cuando x = e = 2.71828

Problema 1: Continuación

• Para resolver el problema utilizando ANSYS se sigue el siguiente procedimiento:

• Se genera la geometría coaxial inicial con RI = 0.1 (m) y RE = 1.0 (m). Se utiliza sólo un 1/16 del área total, a fin de reducir los requerimientos de memoria y tiempo de computo.

Problema 1: Continuación• Se genera la malla de elementos finitos.

El medio aislante se le asigna una permeabilidad relativa unitaria. Las condiciones de frontera que se aplican en este caso son: 1000 (V) en el conductor interno y cero (V) en el conductor externo.

• Se le asigna al redio interno como parámetro de diseño y a Emax como la función objetivo.

Problema 1: Continuación• El problema se resuelve en primera

instancia utilizando un método de orden cero y posteriormente se utiliza un método de primer orden con lo cual se obtiene un radio interior de 0.36675 (m), un valor de Emax = 2715.9 (V/m) y una relación de radios de x = 2.72665, es decir, una diferencia de 0.3% respecto al valor teórico encontrado.

Problema 1: Continuación• Campo eléctrico del diseño inicial: RI =

0.1 (m) y RE = 1.0 (m) y Emax = 4339.3 (V/m).

Problema 1: Continuación• Campo eléctrico del diseño óptimo: RI =

0.36675 (m) y RE = 1.0 (m) y Emax = 2725.9 (V/m).

Problema 1: Continuación• Máxima intensidad del campo eléctrico

en función del radio interior.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.82000

3000

4000

5000

6000

7000

8000E

max

[v/m

]

Rinterno[m]

Problema 2: Relación Óptima de Radios de un Cable

Trifásico Aislado con Gas.

RI

RE

RCRC

eje de simetría

Problema 2: Continuación

• Se desea determinar las realciones de radio óptimascon las cuales se obtenga un esfuerzo mínimo eléctrico en el medio aislante.

• Las variables de diseño son el radio RI y el radio del conductor RC. La función objetivo es la intensidad de campo eléctrico Emax.

Problema 2: Continuación

• En este problema se considera un instante en que la relación de voltajes gurda la relación 1:-0.5:-0.5.

• En la referencia [6], se obtienen losvalores de RI / RE = 0.510 y RC / RE=0.174, mediante el método de simulación de carga.

Problema 2: Continuación• Se utiliza sólo la mitad del área total, a

fin de reducir los requerimientos de memoria y tiempo de computo.

• El problema se resuelve en primera instancia utilizando un método de orden cero y posteriormente se utiliza un método de primer orden con lo cual se obtiene RI / RE = 0.51061 y RC / RE=0.17462.

Problema 2: Contiuación• Campo eléctrico del diseño óptimo: RI /

RE = 0.51061 y RC / RE =0.17462.

Problema 3: Forma del Polo Saliente en una Máquina

Síncrona

B

ESTATOR

ROTOR

BOBINA

AP1 P3P2

CARA POLAR

40

30

20

17

10

0

0 10 20 23 30mm

Problema 3: Continuación

• En un generador síncrono se tiene el objetivo de obtener un voltaje inducido de alta calidad, es decir, lo más cercano posible a una onda senoidal. La forma geométrica del polo saliente de una de estas máquinas, contribuye a obtener dicho objetivo.

Problema 3: Continuación• Se tiene una razón de arco polar a paso

polar de aproximadamente 0.7, que de acuerdo a la referencia [7], se minimizan los armónicos.

• Se considera tanto para el rotor como para el estator un material ferromagnético lineal con permeabilidad magnética relativa de 2000. En la bobina se hace circular una densidad de corriente de 10 (A/cm2).

Problema 3: Continuación

• Se desea que la distribución de la densidad de campo magnético en la región que señala la línea A-B, la cual está colocada a 1 (mm) debajo del estator, este dada de manera senoidalpor la siguiente expresión:

• B0(x)= 0.003 Cos((π/2) (x/30)) (Gauss)

Problema 3: Continuación

• Se escogieron 8 puntos distribuidos a lo largo de la línea A-B, para estimar la densidad de campo magnético dentro del modelo de elementos finitos, tal que se pudiera establecer la diferencia entre los valores deseados y los producidos por una determinada geometría dentro del modelo numérico.

Problema 3: Continuación

• La función objetivo se define como la suma de los errores entre los valores calculador por ANSYS y los valores deseados

( ) ( )( )∑

=

−=

8

1 0

0

i iBiBiBError

Problema 3: Continuación

• Los puntos P1, P2 y P3 definen una curva de interpolación segmentada, y representan las variables de diseño independientes.

• El problema se resuelve en primera instancia utilizando un método de orden cero y posteriormente se utiliza un método de primer orden

Problema 3: Continuación• Para el diseño inicial se tienen los

siguientes valores: P1(0.0,0.026), P2(0.0115,0.025) y P3(0.023,0.024).

• Después del proceso de optimización se obtienen los siguientes valores: P1(0.0,0.027187), P2(0.0115,0.026307) y P3(0.023,0.023484).

• Se obtiene una distribución donde el error promedio que se alcanza es menor a 1.1%.

Problema 3: Continuación• Líneas del flujo magnético del polo

optimizado.

Problema 3: Continuación• Distribución de la densidad de flujo

magnético: valores deseados contra valores obtenidos

0 5 10 15 20 25 300.0

5.0x10-4

1.0x10-3

1.5x10-3

2.0x10-3

2.5x10-3

3.0x10-3

3.5x10-3

B(x

) [G

auss

]

distancia [mm]

Distribución deseada Distribución del diseño optimo Distribución inicial

Conclusiones• Se valida la metodología utilizada en

este trabajo, puesto que los resultados coinciden ya sea con resultados teóricos o resultados obtenidos por otras metodologías.

• Se observa que el Método de Elemento Finito junto con técnicas numéricas de optimización ofrecen una heramientapoderosa, precisa y versátil para el diseño de dispositivos electromagnéticos vía computadora.

Referencias• [1]Silvester, P. P., Ferrari, R. L., Finite Elements for Electrical Engineers, Cambridge

University Press, Third Edition 1996.• [2] ANSYS Theory Reference, Ninth Edition.• [3]Vanderplaats, G. N., Numerical Optimization Techniques for Engineer Design, McGraw-

Hill, 1984. • [4] Neittaanmäki, P. , Rudnicki, M., Savini, A., Inverse Problems and Optimal Design in

Electricity and Magnetism, Oxford Science Publications, 1996.• [5] M. Weedy, Líneas de transmisión Subterráneas, Ed. Limusa, 1983.• [6] Y.M. Li, Y. Q. E. Kuffel et al, “Numerical computation of electric field and optimal desing

of three-phase enclosed CGIS”, Sixth International Symposium on High Voltage Engineering, L.A., USA, 24.02, 1989.

• [7] J. H. Walker, Large Synchronous Machines: Design, Manufacture and Operation, Claredon Press Oxford, 1981.

• [8] Gerald, C. F., Wheatley, Applied Numerical Analysis, Fith Edition, Addison Wesley, 1994.

• [9] Fuat Uler G.,Osama A. Mohammed and Chang-Seop Koh, “Utilizing Genetic Algorithms for the Optimal Design of Electromagnetic Devices”, IEEE Trans. on Magnetics, Vol. 30, No. 6, pp. 4296-4298, 1994.

• [10] Vlatko Cingoski and Norio Kowata, “Inverse Shape Optimization Using Dynamically Adjustable Genetic Algorithms”, IEEE Trans. on Energy Conversion, Vol. 14, No. 3, pp. 661-666, 1999.