Diseño Flexible

Prof. Cesar de PradaISA-UVA

Flexibilidad

Las condiciones de operación de un proceso suelen ser distintas de las nominales de diseño

El proceso diseñado debe ser operable en distintas condiciones de funcionamiento

Flexibilidad: La capacidad de un proceso de poder operar en estado estacionario, cumpliendo especificaciones, para un rango de valores de perturbaciones, usando las variables manipulables.

Operabilidad incluye ademas

de la flexibilidad, otros aspectos tales como controlabilidad, seguridad, etc

Indice

Ejemplo

Test de Flexibilidad

Indice

de Flexibilidad

Métodos de diseño de sistemas flexibles

Ejemplo: Red de cambiadores (Grossmann)

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4 563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

Qc

Condiciones de diseño

Incertidunbre en T3

y T5

Qc

= 75kW nominal, carga ajustable

Operación

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

QcIncertidunbre

en T3

y T5

Qc

= 75kW nominal, carga ajustable

TT

TC

TC TT

TC TT

¿Puede operar manteniendo SPs

en equilibrio si T3

y T5

cambian en ±

10K?

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

QcIncertidunbre

en T3

y T5

Qc

= 75kW nominal, carga ajustable

TT

TC

TC TT

TC TT

Test de flexibilidad

¿Cuál es el máximo cambio admisible en T3

y T5

para seguir operando bien?

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

1 kW/K

T5

=583K

T4563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

QcIncertidunbre

en T3

y T5

Qc

= 75kW nominal, carga ajustable

TT

TC

TC TT

TC TT

Indice

de flexibilidad

Por simplicidad no se considerarán detalles de válvulas, bypass, etc.

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

QcIncertidunbre

en T3

y T5

Qc

= 75kW nominal, carga ajustable

TT

TC

TC TT

TC TT

Balances

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4 563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

Qc

1.5(620-

T2

) = 2(T4 -T3

)

1(T5 -T6

) = 2(563 -T4

)

1(T6 -T7

) = 3(393 -313)

Qc

= 1.5(T2

-350)

T2

≥

T3

T6

≥

T4

T7

≥

313 T6

≥

393

T7

≤

323

Especificaciones

Balances

Operación

1 2

3

4

1.5 kW/K

T1

= 620K

350K

2 kW/K

T3

= 388K

±

10K

1 kW/K

T5

=583K ±

10K

T4

563K

T6

393K

T7

≤

323K

T2

3 kW/K

T8

= 313K

Qc

Qc

= 1.5(T2

-350) T2

1.5(620-

T2

) = 2(T4

-T3

) T4

1(T5

-T6

) = 2(563 -T4

) T6

1(T6

-T7

) = 3(393 -313) T7

Para un valor de Qc

y de T3

y T5

quedan determinadas las demas

temperaturas en ss

El problema

es

asegurar que

se cumplan

las

restriciones

para

un rango de valores

de Qc

, T3

, T5

Region de operación

T2

≥

T3

T6

≥

T4

T7

≥

313

T6

≥

393

T7

≤

323

1.5(620-

T2

) = 2(T4 -T3

)

1(T5

-T6

) = 2(563 -T4

)

1(T6 -T7

) = 3(393 -313)

Qc

= 1.5(T2

-350)

Sustituyendo T2

, T4

, T6

, T7

en:

T3

-0.666 Qc

- 350 ≤

0

-T3

– T5

+0.5 Qc

+ 923.5

≤

0

-2T3

– T5

+ Qc

+ 1144 ≤

0

-2T3 – T5 + Qc

+ 1274 ≤

0

2T3

+ T5

- Qc

-

1284 ≤

0

Estas ecuaciones definen la región de operación factible para unos valores de T3

, T5

y Qc

Región de operaciónf1

: T3

-0.666 Qc

-

350 ≤

0

f2

: -T3

– T5

+0.5 Qc

+ 923.5

≤

0

f3

: -2T3

– T5

+ Qc

+ 1144 ≤

0

f4

: -2T3 – T5 + Qc

+ 1274 ≤

0

f5

: 2T3

+ T5

- Qc

-

1284 ≤

0

Para un valor de Qc

se pueden representar las desigualdades

Qc

=75 kW

350 375 400 425 T3

T5

600

575

550

525

f1

f2

f4f5

f3

nominal

¿qué

variaciones en T3

y T5

son admisibles variando Qc

?

Test de Flexibilidad

388

583

T3

T5

Rango de variación de T3

T5

¿Cual es la máxima violación

de las restricciones en un vértice? P.e. Vertice

1

= min

, Qc

T3

-0.666 Qc

- 350 ≤

-T3

– T5

+0.5 Qc

+ 923.5

≤

-2T3

– T5

+ Qc

+ 1144 ≤

-2T3 – T5 + Qc

+ 1274 ≤

2T3

+ T5

- Qc

-

1284 ≤

T3

= 338 + 10

T5

= 583 + 10 75

Qc

≥0

12

3 4

Si

es negativo en todos los vértices, el proceso puede operar con esas incertidumbres

Indice de Flexibilidad

388

583

T3

T5

Rango de variación de T3

T5

¿Cual es la máxima desviación admisible en una dirección? P.e. Vertice

1

max δ

δ, Qc

T3

-0.666 Qc

- 350 ≤

0

-T3

– T5

+0.5 Qc

+ 923.5

≤

0

-2T3

– T5

+ Qc

+ 1144 ≤

0

-2T3 – T5 + Qc

+ 1274 ≤

0

2T3

+ T5

- Qc

-

1284 ≤

0

T3

= 338 + δ

T5

= 583 + δ

75

Qc

≥0 δ ≥0

12

3 4

El índice

vendria

dado por

la máxima

variación

admisible

en cualquier

dirección

Indice de Flexibilidad δ

388

583

T3

T5

Rango de variación de T3

T5

12

3 4

Vertice δ Res.Act.

1

2

3 1.53 f1

, f2

4 2 f5

, f2

La desviación admisible mas pequeña se obtiene en el vertice

3 para δ=1.53Los valores límite no siempre

se encuentran en un vértice!

Análisis de flexibilidad

Modelo: h(d,x,u,)=0g(d,x,u,)≤0

d variables de dimensionamientox variables del proceso (temperaturas, flujos, etc)u variables de control Incertidumbres

Eliminando x: g(d,x(d,u,),u, ) = f(d,u,) ≤0

Test de flexibilidad

),u,d(fmin),d(

ese para flexibleoperacion 0),d(

),u,d(fmaxmin),d(

u,

jju

Test

de flexibilidad: determinar si para un d dado, puede encontarse

un u (dentro de su rango admisible) tal que se cumpla f(d,u,)

0 para todo

el rango de variación de Para un

dado:

Test de flexibilidad

flexible operacion 0)d(

),d(max)d(

Para todo el rango de :

Si se han

de analizar

condiciones

en cada

vértice puede

haber

una

explosión

combinatoria, y no está

asegurado

que

el límite

esté

en un vértice

Método de las restricciones activas

),u,d(fmin),d(

or

),u,d(fmaxmin),d(.t.s

),d(max)d(

u,

jju

Problema

de optimización

a dos niveles. Aplicaremos

las

condicines

de KKK al poblema

interno:

Condiciones de KKT

00)(g

0)(g

0)(h

0)(g)(h)(J

i

ii

i

j

iixi

jjxjx

xx

x

xxx

0g(x)0h(x)

x

)(min Jx

),u,d(fmin),d(

u,

Se pueden aplicar a:

j0),u,d(f,0

j0),u,d(f

0uf1

jj

jj

j

ij

jj

Restricciones activas

j0),u,d(f,0

j0),u,d(f

0uf1

),u,d(fmin),d(

jj

jj

j

ij

jj

u,

Como la solución

óptima

es

(d,) = , el problema

puede reformularse

como

uno

de un

solo nivel

j0),u,d(f,0

j0),u,d(f

0uf1

.t.smax)d(

jj

jj

j

ij

jj

Solucion como MINLP

j0),u,d(f,0

j0),u,d(f

0uf1

.t.smax)d(

jj

jj

j

ij

jj

jj

jj

jj

jj

y)y1(Us

contrario casoen 00),u,d(f si 1

y

s),u,d(f

0,Us00ysi10;0s1ysi

jjj

jjj

1)udim(yj

j

Permite

eliminar

la ecuación

no- convexa

[f(d,u,)]=0

Se limita

el número

de restricciones

activas

en función

del

número

de variables manipuladas

Test de FlexibilidadProblema MINLP

Si (d) < 0 el sistema

puede

operar

de forma estable

para

variaciones

de los parámetros

m

<

< M

Mmjjj

jj

jj

jj

jj

j

ij

jj

y,s,,u,,

j1,0y,0s,

1)udim(y

y)y1(Us

s),u,d(f

0uf1

.t.s

max)d(

Indice de Flexibilidad

00jjj

jj

jj

jj

jj

j

ij

jj

y,s,,u,

j1,0y,0s,,

1)udim(y

y)y1(Us

0s),u,d(f

0uf1

.t.sminF Problema MINLP

F da

el rango

de

en el que

sistema

puede

operar

de forma factible

(

= 0)

0

- F

<

< 0

+F