diseño de una propuesta metodológica que contribuya a la...
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Diseño de una propuesta metodológica que contribuya a la enseñanza de la operación división exacta de los números
enteros, mediante la resolución y planteamiento de problemas mediados por las TIC
Xavier Smit Salazar Cordoba
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Medellín, Colombia
2017
Diseño de una propuesta metodológica que contribuya a la enseñanza de la operación división exacta de los números
enteros, mediante la resolución y planteamiento de problemas mediados por las TIC
Xavier Smit Salazar Cordoba
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de Las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Alcides Montoya Cañola, Ph.D
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Medellín, Colombia
2017
Dedicatoria
A mi esposa, Adriana Mercado, que fue
un apoyo fundamental para poder culminar estos
estudios y quien me dio la fortaleza necesaria
para no desfallecer en el camino.
A mis padres que siempre me inculcaron
que la educación es el camino para salir
adelante. Porque además, me enseñaron que
los obstáculos en la vida se pueden superar con
la convicción de que los sueños y metas se
pueden lograr.
Agradecimientos
A Dios primeramente, porque siempre ha estado ahí llenándome de muchas
bendiciones y dándome la sabiduría necesaria para afrontar todas y cada una
de las pruebas que se me presentaron en esta etapa fundamental de mi vida.
A Gloria Elcy Muñoz rectora de la I.E Navarra quien permitió la aplicación del
diseño de una propuesta metodológica que contribuyó a la enseñanza de la
operación división exacta de números enteros, mediante la resolución y
planteamiento de problemas mediados por las Tic.
Al Doctor Alcides Montoya Cañola quien me orientó durante mi proceso de
formación académica.
Resumen
Durante el proceso de observación e indagación en la I.E Navarra, se encontraron
dificultades en la operación división de números enteros en los grados séptimos, por
ello, la presente propuesta pretende diseñar una estrategia metodológica que
propicie el fortalecimiento de la competencia de resolución de problemas en cuanto a
la división del conjunto de números enteros en los estudiantes de dicho grado,
mediante el método heurístico de ¨Polya, G. (1965) además, se incluirán las
Tecnologías de la Información y la Comunicación – (TIC) como parte integral del
proceso de enseñanza y aprendizaje. Para ello, se realiza una prueba diagnóstica
mediante la observación directa y la utilización de la plataforma Moodle, luego, se
hacen actividades con objetos manipulables y por último se realiza una evaluación
que constituye tres momentos, donde se articulan todos los conceptos de la
operación división de números enteros, encontrándose resultados favorables en los
estudiantes participantes de dicha propuesta.
Palabras clave: Método, heurístico, resolución, problema, división, TIC,
constructivismo.
Abstract
During the observation and investigation process at IE Navarra, difficulties were
encountered in the operation of integer division in the seventh grades. Therefore, the
present proposal intends to design a methodological strategy that favors the
strengthening of problem solving competence in As for the division of the set of
integers in the students of that grade, using the heuristic method of Polya, G. (1965)
in addition, will be included Information and Communication Technologies - (ICT) as
an integral part of the teaching and learning process. To do this, a diagnostic test is
performed through direct observation and the use of the Moodle platform, then
activities are done with manipulable objects and finally an evaluation is made that
constitutes three moments, where all the concepts of the division operation are
articulated Of whole numbers, finding favorable results in the students participating in
this proposal.
Keywords: Method, heuristic, resolution, problem, division, TIC,
constructivism.
Contenido
Agradecimientos ....................................................................................................................... X
Contenido .............................................................................................................................. XIII
Lista de figuras ........................................................................................................................ XV
Lista de tablas ......................................................................................................................... XV
1. Aspectos Preliminares ................................................................................................ 15
1.1. Selección y Delimitación Temática ........................................................................ 15
1.2. Planteamiento del problema ................................................................................ 15
1.2.1. Antecedentes .................................................................................................. 15
1.2.2. Descripción del Problema .............................................................................. 17
1.2.3. Formulación de la Pregunta ........................................................................... 18
1.3. Justificación ............................................................................................................ 18
1.4. Objetivos ................................................................................................................ 20
1.4.1. Objetivo General ............................................................................................ 20
1.4.2. Objetivos Específicos ...................................................................................... 20
2. Marco Referencial .......................................................................................................... 21
2.1. Marco Teórico ........................................................................................................ 21
2.2. Marco Conceptual - Disciplinar .............................................................................. 25
2.2.1. División de números enteros ......................................................................... 28
2.3. Marco legal ............................................................................................................. 30
2.4. Marco Espacial ....................................................................................................... 31
3. Diseño metodológico: investigación acción ................................................................... 33
3.1. Método ....................................................................................................................... 34
3.2. Instrumentos de recolección de la información ......................................................... 35
3.3. Población y muestra ................................................................................................... 36
3.4. Cronograma ................................................................................................................ 36
4. Trabajo final .................................................................................................................... 38
4.1. Resultados y hallazgos ........................................................................................... 39
4.1.1. Prueba diagnostica ............................................................................................. 40
4.1.2. Grupo muestra ................................................................................................... 40
4.1.3. Grupo control ..................................................................................................... 42
4.2. Actividades para el desarrollo de situaciones problemas ........................................... 43
4.2.1. Actividad 1: las TIC como mediadoras en el aprendizaje del conjunto de los
números enteros ................................................................................................................ 44
4.2.2. Actividad 2: palillos de colores y las operaciones con números enteros ...... 46
4.2.3. Actividad 3: jugando con la recta numérica y los números enteros .............. 47
4.2.4. Actividad 4: situación problema de división de números enteros ................ 50
5. Evaluación final .......................................................................................................... 53
5.1. Grupo control ..................................................................................................... 53
5.2. Grupo muestra ................................................................................................... 55
6. Conclusiones y Recomendaciones .................................................................................. 57
6.1. Conclusiones........................................................................................................... 57
6.2. RECOMENDACIONES .............................................................................................. 59
REFERENCIAS .......................................................................................................................... 61
Lista de figuras
Pág.
Figura 2-1: Entrada principal de la Institución Educativa Navarra…………………..31
Figura 2-2: Ubicación geográfica de la Institución Educativa Navarra……………..32
Figura 4-1: Contenidos de la plataforma Moodle.……………………………………46
Figura 4-2: Palillos de colores y las operaciones con números enteros...…………47
Figura 4-3: Resolviendo operaciones de números enteros con la recta numérica..49
Figura 4-4: Divisiones de números enteros con material manipulable……………..50
Lista de tablas
Pág.
Tabla 2-1 Normograma del marco legal …………………………………………………30
Tabla 3-1: Planificación de actividades……………………………………………….36
Tabla 3-2: Cronograma de actividades…………..…………..………………………….37
Tabla 4-1 Competencias matemáticas………………………………………………..….40
Tabla 4-2 Grupo muestra: prueba diagnóstica……………………………………….....42
Tabla 4-3 Grupo control: prueba diagnóstica……………………………………….…...43
Tabla 5-1 Paralelo: diagnóstico y evaluación final grupo control……………………..55
Tabla 5-2 paralelo: diagnóstico y evaluación final grupo muestra…………………….56
Lista de diagramas
Pág.
Diagrama 4-1 Grupo muestra: prueba diagnóstica………………………………..…..41
Diagrama 4-2 Grupo control: prueba diagnóstica…………………………………......43
Diagrama 5-1 Paralelo: diagnóstico y evaluación final grupo control………………..54
Diagrama 5-2 paralelo: diagnóstico y evaluación final grupo muestra……………....56
Lista de anexos
Pág.
Anexo A Prueba diagnóstica……………………………………………………….....63-64
Anexo B Situaciones problemas creadas por estudiantes…..…………………….65
Anexo C Situaciones problema momento 1……………………………………..…..66-67
Anexo D Situaciones problema momento 2……………………………………..…..68-69
Anexo E Situaciones problema momento 3………………………………………....70-71
Anexo F Evaluación final………………………………………………………….…..72-73
Anexo G Evaluación final resuelta por grupo control……….………………….…..74-75
Anexo H Evaluación final resuelta por grupo muestra……………….……….…....76-77
15
1. Aspectos Preliminares
1.1. Selección y Delimitación Temática
Enseñanza de la operación división exacta del conjunto de números enteros en
estudiantes del grado séptimo de la I.E Navarra, basados en la competencia de
resolución de problemas.
1.2. Planteamiento del problema
1.2.1. Antecedentes
Para el desarrollo de esta investigación es importante tener en cuenta otros trabajos
que de una forma u otra se relacionan y contribuyen al mejoramiento de la misma. A
nivel internacional se han realizado algunos trabajos que hacen parte de este tema,
los cuales se relacionan a continuación:
Montoya, M. (2006), la investigación realizada por esta profesora de matemáticas se
centró en las dificultades que presentaban los estudiantes del grado séptimo en las
operaciones de suma y resta de los números enteros, esto se pudo observar en los
ejemplos de cálculo de adición y sustracción que realizaron los estudiantes de
séptimo grado, los cuales estaban errados: a) (-8) + (+7) = -15; b) (-7) – (+6) = -1; c)
(-25) – (+6) = 4. Por lo cual, la estrategia que utilizo para que los alumnos tuvieran
una mejor apropiación de dichas operaciones fue la creación de una “mini ingeniería
didáctica exploratoria” la cual consistía en desarrollar situaciones didácticas
mediante metodologías de investigación con operaciones de números enteros. En
dicha investigación se logró que los estudiantes de séptimo grado se apropiaran de
dichas operaciones en aproximadamente ocho semanas.
Ginsburtg, K. (2003), trabajó sobre "la capacidad intuitiva de la aritmética que
desarrollan los estudiantes a través de procesos informales", donde su objetivo
primordial fue "analizar los procesos informales mediante los cuales, los estudiantes
16
adquieren un desarrollo sólido a nivel aritmético". En esta investigación se obtuvieron
los siguientes resultados: los educandos son muy buenos en cuanto a la aritmética
informal, debido a que el nivel intuitivo, es mejor de lo que hacen escrito y
simbólicamente en función del cálculo. “Destaca la estrategias que utilizan los
estudiante para recontar, en donde utilizan los dedos, marcas, entre otros, y los
denomina como la herramienta fundamental para los procesos informales”. La
conclusión a la cual se llegó en esta investigación es que los factores que dificultan
la comprensión e interpretación de los números enteros; están directamente
relacionados con la ausencia de implementos didácticos para la enseñanza de estos.
Kûchemann, D. (1981), realiza un cuestionario a alumnos de ciertas edades, sobre
las operaciones básicas de suma y resta en el conjunto de números enteros.
Considera que la operación donde se obtuvieron resultados satisfactorios fue la
operación “suma”, sin embargo la resta resulta ser la operación más difícil de
resolver. En conclusión se obtuvo que el 77% de los estudiante realizan bien los
procesos de suma mientras que el 44% la resta".
Bell, A. (1986), este realiza encuentros con educandos de 15 años, donde se da
cuenta de que el 80% de estos realizan correctamente la suma de dos números
enteros y únicamente el 40% realiza restas sin equivocarse"
Murray, B. (1985), interviene a estudiante, que poseen los conceptos básicos en
relación al conjunto de números enteros, donde el 75% de los alumnos resuelven de
manera adecuada la operación multiplicación, mientras que el 46% realiza
exitosamente la resta de enteros".
A nivel local, la investigación realizada por Valencia, J. (2007), de la “Universidad
Tecnológica del Chocó Diego Luis Córdoba”, es un proyecto sobre los “factores que
dificultan el incremento en el nivel de competencia comunicativa en las cuatro
operaciones básicas con los números enteros en los estudiantes de los cursos
séptimos del colegio Santa Coloma Villa”, con una propuesta didáctica que busca
potencializar el nivel de competencia comunicativa a través de una propuesta
pedagógica radicada en la lúdica que no es más que un juego de ganar o perder,
donde se relaciona componentes matemáticos operacionales, procedimentales y
cognoscitivos. En esta investigación se utilizó como metodología para recolectar la
información, la encuesta como instrumento de investigación, además para validar los
datos arrojados por los docentes y estudiantes de la institución, en dicha
investigación se encontró que 3.5% de los estudiantes de los grados séptimo, no
tienen unas relaciones interpersonales optimas, lo cual no propicia el incremento de
17
la competencia comunicativa en las cuatro operaciones básicas con los números
enteros; 17.5% de la población estudiada manifestó que las estrategias de
enseñanza aplicada no resultan eficaces para enseñar lo referente a las cuatro
operaciones básicas con los números enteros; del mismo modo, 12.5% concuerdan
en que hace falta un elemento transversalizador de las asignaturas del plan de
estudio que propiciaran que los estudiantes analizaran problemas referentes a las
cuatro operaciones básicas con los números enteros.
De acuerdo a los antecedentes descritos arriba, se puede concluir, que los
estudiantes presentaban mayor grado de dificultad al realizar operaciones del
conjunto de números enteros, principalmente en la multiplicación y división, y por el
contrario se les facilitaba solucionar sumas y restas de dicho conjunto; en relación a
lo anterior, en el presente proyecto, se propició el aprendizaje de la operación
división del conjunto de números enteros, a través del método de resolución de
problemas planteado por Polya, (1965); se diseñaron e implementaron actividades
recreativas con objetos manipulables y además se utilizaron las TIC como
mediadoras del aprendizaje.
.
1.2.2. Descripción del Problema
Durante el proceso de observación e indagación en la Institución Educativa Navarra,
se pudieron evidenciar dificultades por parte de los estudiantes del grado séptimo en
la resolución de problemas, ya que al momento de aplicar divisiones del conjunto de
números enteros se les dificultaba su comprensión, o sea, luego de leer el problema,
no deducían la operación que debían realizar para llegar a una posible solución, y
cuando lograban deducir la operación, no realizaban los procesos adecuados
incurriendo en errores relacionados a la resta y la multiplicación implícitas en la
división, del mismo modo, se observó que los educandos no relacionan el problema
con el contexto que les rodea, es decir, con situaciones que se les presentan en su
cotidianidad, limitándose a resolver el problema únicamente por la ruta que sugería
el docente, sin buscar otras vías de solución.
Es importante resaltar, que además de que a los estudiantes se les dificulta la
comprensión de la operación división del conjunto de números enteros, existen otros
factores que influyen directamente en dicho aprendizaje como la falta de conceptos
18
básicos de operaciones como suma, resta y multiplicación, clases tradicionales y
poco motivadoras, desconocimiento de los lineamientos curriculares por parte de los
docentes y la falta del uso de las nuevas tecnologías educativas en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Todo lo dicho anteriormente, puede ser la causa de que los estudiantes obtengan
bajos resultados en las pruebas externas e internas que se aplican en la institución,
como las pruebas saber, en las cuales obtuvo un puntaje inferior a los establecidos a
nivel nacional y territorial en los grados de secundaria en los años 2012 y 2014;
mientras que en los niveles de primaria y media, el índice sintético de calidad
educativa fue superior comparado con los de Bello y de Colombia. Refiriéndose, por
índice sintético de calidad educativa, a la herramienta desarrollada por el Ministerio
de Educación Nacional (MEN), para el apoyo en el seguimiento del progreso de los
Establecimientos Educativos de Colombia.
1.2.3. Formulación de la Pregunta
¿Cómo lograr que los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa
Navarra, se apropien del algoritmo de la operación división de números enteros, a
través de la competencia de resolución de problemas?
1.3. Justificación
Este trabajo final de maestría, es de suma importancia ya que es una estrategia de
carácter educativo, que está enfocado en identificar las falencias que se generan en
el proceso de resolución y planteamiento de problemas. Así mismo, permite que los
estudiantes se interesen más por aprender y mantenerse activos frente al desarrollo
de los procesos de las clases de matemáticas.
Por lo tanto, se optó por trabajar con la enseñanza de la operación división en el
conjunto de los números enteros, partiendo de la resolución y planteamiento de
problemas apoyados en el método heurístico de Polya, (1965) el cual consiste en
cuatro etapas fundamentales que son: entender el problema, configurar el plan,
ejecutarlo y comprobar los resultados, los cuales, aplicados conscientemente en las
19
clases desarrollarán en los estudiantes la capacidad analítica e interpretativa,
propiciando que realicen procesos de descubrimientos que los conllevaran a que
comprendan, reflexionen y solucionen problemas de división de números enteros de
una manera clara y eficaz, es decir, que se den cuenta de que en el algoritmo de la
división intervienen las operaciones como suma, resta y multiplicación, logrando
despertar en el educando un interés que lo involucre a resolver problemas
matemáticos. Además, permite la utilización de material didáctico que contribuye a la
comprensión de los mismos de forma contextualizada y lúdica.
A través de la experiencia docente se pudo concluir que los estudiantes presentan
falencias en la comprensión de la operación mencionada anteriormente; dichas fallas
se pueden estar presentando por los siguientes aspectos:
Debido a que los estudiantes presentan desinterés en cuanto al
aprendizaje de las matemáticas.
Los profesores no utilizan estrategias que faciliten el proceso de
enseñanza de la operación división de números enteros.
Los estudiantes no poseen una buena estructura en el pensamiento
numérico.
Por lo anterior, se puede decir que los alumnos no identifican los conceptos de una
manera clara y significativa y los docentes no son partícipes en este proceso, puesto
que trabajan con metodologías verbalistas y sensorio-empirista, las cuales no
permiten que los alumnos construyan, descubran y elaboren su propio aprendizaje.
Es importante que el área de las matemáticas sea enseñada mediante estrategias,
técnicas y métodos que permitan que los alumnos sean autónomos, creadores,
críticos, analíticos, pero principalmente que comprendan e interpreten los problemas
que le afectan en el ámbito escolar, familiar y social, por ello, se utilizará el método
de resolución de problemas planteado por Polya, (1965) puesto que su estructura
permite que el educando, paso a paso vaya desarrollando la competencia o
habilidad de plantear y solucionar problemas de división de números enteros.
Por otro lado, en la actualidad, la tecnología juega un papel muy importante en los
cambios que se vienen presentando en la sociedad, de ahí la necesidad de siempre
ir a la par con estos avances. En este sentido, la educación tiene como objetivo
fundamental, buscar todas las herramientas con las cuales se pueda impartir una
20
buena educación sin sacar el estudiante de su entorno social y que estas puedan
facilitar el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Teniendo en cuenta lo anterior, este trabajo final de maestría, pretende diseñar una
propuesta metodológica, que propicie la enseñanza de la operación división del
conjunto de números enteros en estudiantes del grado séptimo de la Institución
Educativa Navarra, mediante la resolución y planteamiento de problemas, mediados
por las TIC.
1.4. Objetivos
1.4.1. Objetivo General
Diseñar e implementar una propuesta didáctica, que propicie la enseñanza de la
operación división del conjunto de números enteros en estudiantes del grado
séptimo de la Institución Educativa Navarra, mediante la competencia de
resolución de problemas, mediados por las TIC.
1.4.2. Objetivos Específicos
Diagnosticar las posibles causas que dificultan las estrategias cognoscitivas y
el razonamiento matemático, en la enseñanza de la operación división del
conjunto de los números enteros.
Elaborar una propuesta didáctica que propicie el fortalecimiento de la
competencia de resolución de problemas con la operación división en el
conjunto de los números enteros, en los estudiantes de los grados séptimos
de la Institución Educativa Navarra de la ciudad de Bello.
Intervenir las dificultades que se presentan en la operación división del
conjunto de números enteros, por medio de una propuesta didáctica
enfocada en la resolución de problemas, mediados por las nuevas
tecnologías.
Evaluar la estrategia planteada mediante la actitud y la motivación que
presentaron los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa
Navarra, durante la aplicación de la propuesta.
21
2. Marco Referencial
2.1. Marco Teórico
La enseñanza verbalista se ha convertido en una tradición en las instituciones
educativas tanto oficiales como privadas y de cierto modo ello ha ocasionado un
rechazo y temor generalizado hacia el aprendizaje de las ciencias exactas, en
particular en las matemáticas. Considerando esto, se pretende diseñar una
propuesta metodológica que propicie la formación del pensamiento numérico en la
enseñanza de la operación división del conjunto de números enteros en los
estudiantes, mediante la resolución y planteamiento de problemas, mediados por las
tics. Lo anterior, está fundamentado en el desarrollo cognitivo que no puede
entenderse sin referencia al contexto social, histórico y cultural en que ocurre según
Vygotsky, (1987 – 1988), en el método para la solución de problemas de Polya,
(1965), el aprendizaje significativo según Ausubel, (1983) y las TIC como
mediadoras del aprendizaje.
Para desarrollar lo anterior, el docente utilizará la metodología de resolución de
problemas, donde plantee situaciones problemas con procesos aritméticos de la
operación división exacta de los números enteros, buscando que los estudiantes las
resuelvan, basados en situaciones relacionadas con experiencias de la cotidianidad
con fundamentos en el lenguaje natural. Es preciso, que esta propuesta para ser
efectiva se apoye en el método heurístico de resolución de problemas de Polya,
(1965), el cual consiste en cuatro etapas fundamentales: 1. Entender el problema, 2.
Configurar un plan, 3. Ejecutar el plan y 4. Comprobar los resultados. Se optará por
trabajar las situaciones problemas como trabajo en equipo, lo cual se realizará
mediante el aprendizaje cooperativo, donde en el desarrollo de la clase se
aprovechen los debates sobre los resultados obtenidos de la situación problema
para que el estudiante analice cada una de las etapas y pueda ser crítico con la
información de sus pares.
Entendiéndose el aprendizaje colaborativo como una estrategia metodológica que se
emplea en el aula con el propósito de aumentar la motivación y la retención de
22
conceptos, de ayudar a los estudiantes a desarrollar una imagen positiva de ellos
mismos y de sus compañeros, de usar diferentes medios para la resolución de
problemas y de estimular el empleo de destrezas de interacción y cooperación,
Johnson y Johnson, (1986).
Inicialmente, para que los alumnos entiendan el problema deben desarrollar en su
estructura cognitiva un pensamiento numérico, para ello, el docente inicialmente
debe plantear a sus educandos situaciones contextualizadas a su entorno, que les
permitan establecer sus propios problemas, como por ejemplo: ¿cómo repartes 56
colores entre 9 amigos, de modo que no te sobren colores? para que el estudiante
entienda el problema, es decir, lo interiorice, el docente le hará preguntas como
¿distingues cuáles son los datos? ¿Se te ha presentado una situación similar, cuál?
¡Replantea con tus propias palabras este enunciado! En este sentido Mcintosh,
(1992), citado por el MEN, (1998), amplía este concepto y afirma que el pensamiento
numérico se refiere a la comprensión general que tiene un sujeto sobre los números
y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en
formas flexibles para construir juicios matemáticos y para desarrollar estrategias
útiles al manejar números y operaciones. Es así, como se busca generar en la
estructura cognitiva del estudiante métodos cuantitativos como medios para
comunicar, procesar e interpretar la información.
En consecuencia con lo anterior, el MEN, (1988), indica que el pensamiento
numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando a la medida en que los
alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos
significativos. Otro aspecto importante del pensamiento numérico es la utilización de
las operaciones y de los números en la formulación y resolución de problemas y la
comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario, lo
que da pistas para determinar si la solución debe ser exacta o aproximada y también
si los resultados a la luz de los datos del problema son o no razonables.
Dentro de esta perspectiva, lo anterior se realizará teniendo siempre en cuenta los
conocimientos previos (subsunsores) de los educandos, en aras de propiciar
aprendizajes significativos sobre la operación división exacta de los números
enteros. Según Ausubel, (1983), “Un aprendizaje es significativo cuando los
contenidos son relacionados de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra)
con lo que el alumno ya sabe. Por relación sustancial y no arbitraria se debe
entender que las ideas se relacionan con algún aspecto existente específicamente
relevante de la estructura cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya
significativo, un concepto o una proposición.
23
Por ello, en esta propuesta, se considerará lo que el estudiante ya sabe (saberes
previos), es decir, el concepto de número entero negativo, positivo y el cero, además
de las operaciones de la suma, resta y multiplicación de números enteros, de tal
forma que establezca una relación con aquello que debe aprender, en este caso,
división de enteros; este proceso tiene lugar si el educando posee en su estructura
cognitiva ideas, conceptos, proposiciones estables y definidas con las cuales la
nueva información puede interactuar, para verificar que dicho conocimiento existe en
el estudiante, se contemplará la estrategia de clarificación/verificación con
actividades como pruebas diagnósticas, mesa redonda donde se discutan los
conocimientos previos.
En segunda instancia, para configurar el plan el docente resolverá un problema
similar más simple retomando sucesos del contexto social, histórico y cultural que los
rodea, con el fin de que el estudiante pueda relacionarlo con la situación planteada.
Vygotsky, (1987 – 1988), afirma que los procesos mentales superiores como el
pensamiento, el lenguaje y el comportamiento voluntario tienen su origen en
procesos sociales; el desarrollo cognitivo es la conversión de relaciones sociales en
funciones mentales. Agrega que el desarrollo cognitivo no puede entenderse sin
referencia al contexto social, histórico y cultural en que ocurre.
En tercer momento, para ejecutar el plan como lo plantea Schoenfeld, (1992), es
necesario que el estudiante tenga un dominio del conocimiento que se constituye en
el lenguaje natural. Igualmente avala las estrategias cognoscitivas que incluyen las
estrategias heurísticas propuesta por Polya, (1965), como un medio efectivo dentro
del desarrollo del problema. En idéntica forma, enfoca las estrategias
metacognitivas, como las acciones concretas que realizamos conscientemente con
el propósito de mejorar o facilitar el aprendizaje de los estudiantes y finalmente
involucra el sistema de creencias, el cual se relaciona desde el punto de vista del
sujeto con la visión que se tenga de sí mismo y de las matemáticas, cómo se
aproxima una persona al problema, las técnicas que usa, el tiempo y el esfuerzo que
le dedico para la solución.
Por último, para comprobar los resultados el profesor podrá preguntar a sus
estudiantes: ¿tu solución es correcta, por qué? ¿Cuál fue el paso clave para
conseguir la respuesta correcta? ¿Qué aprendiste? entre otras que le permitan
demostrar que los resultados son correctos. Moreira, (2000), Plantea que el
aprendizaje no solo debe ser significativo sino también crítico, ya que a través del
aprendizaje significativo crítico es como el alumno podrá formar parte de su cultura y,
al mismo tiempo, no ser subyugado por ella, por sus ritos, sus mitos y sus ideologías.
24
Por lo anterior, en esta propuesta para facilitar el aprendizaje significativo crítico en
la operación división con los números enteros y desarrollar las competencias
matemáticas en los estudiantes, tales como: la interpretativa de enunciados, la
pragmática y comunicativa, la creativa, la contrastativa y argumentativa, se
realizaran diversas actividades. Según Rúa y Bedoya, (2008) la competencia se
entiende como la capacidad de una persona para contribuir con posibilidades de
éxito a la solución de problemas a través de conocimientos científicos, técnicos,
tecnológicos o artístico, por ello, se les propondrán a los estudiantes actividades
como debates sobre los resultados obtenidos de un problema, buscando los errores,
especialmente en el algoritmos de la división, de esta manera los estudiantes
aprenderán de sus errores, esto apoyado en el principio del aprendizaje por error
propuesto por Moreira, (2000); así mismo al educando se le presentará material
manipulable como representaciones de los signos y símbolos de la división de
enteros hechos en cartulina, la utilización de palillos pintados de dos colores que
indiquen cantidades positivas o negativas, de esta forma el estudiante se convierte
en actor del proceso de enseñanza – aprendizaje y no solo un receptor,
fundamentado en el principio del aprendiz como perceptor/representador también
planteado por Moreira, el cual consiste en que el estudiante debe percibir el mundo y
representarlo.
Las TIC como medios o recursos didácticos de la enseñanza
Según Cebrian, (1992), los medios y recursos didácticos son todos los objetos,
equipos y aparatos tecnológicos, espacios y lugares de interés cultural, programas o
itinerarios medioambientales, materiales educativos que en algunos casos utilizan
diferentes formas de representación simbólica y en otros son referentes directos de
la realidad. Estando siempre sujeto al análisis de los contextos y principios didácticos
e introducidos en un programa de enseñanza, favorecen la reconstrucción del
conocimiento y de los significados culturales. En este sentido, en la presente
propuesta de trabajo final se incluirán las TIC como medios o recursos didácticos del
proceso de enseñanza y aprendizaje de la operación división de los números
enteros. Específicamente se utilizará la plataforma Moodle que es un sistema para el
manejo del aprendizaje en línea, que les permite a los educadores la creación de sus
propios sitios web privados llenos de cursos dinámicos que extienden el aprendizaje
en cualquier momento, en cualquier sitio, Dougiamas, (2002).
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En dicha plataforma se incluyen todos los contenidos de los números enteros como
su historia, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, con el fin de que
el estudiante pueda ejercitarse frente a estas operaciones y así comprender de una
mejor forma el algoritmo de la división. Lo anterior, se desarrollará por medio de la
ejercitación y modelación a través de videos, evaluaciones, donde se incluyen
ejercicios y situaciones problema, que permitan monitorear las fortalezas y
debilidades que presenten los alumnos.
Las TIC como medios de enseñanza adquieren valor pedagógico en primer lugar
cuando se les utiliza sobre la base del aprovechamiento de sus recursos de
comunicación. Pero esto no es suficiente; el valor pedagógico viene de su mediación
para promover y acompañar el aprendizaje; y esto pasa por el uso de sus
posibilidades comunicacionales y a la vez por un propósito explícito de mediar los
diferentes materiales y emplearlos desde una situación educativa.
Cabe decir, que lo que se pretende aquí es presentar y trasmitir el conocimiento de
forma contextualizada y a la vanguardia del mundo en que se vive hoy por hoy,
permitiendo que la clase tradicional se transforme en una clase dinámica, que le
permita a los estudiantes explorar nuevas formas de aprendizaje, interactuar con su
contexto social, aprender de forma recreativa y así puedan adquirir un aprendizaje
significativo critico mediante la interacción con herramientas de tipo tecnológico.
2.2. Marco Conceptual - Disciplinar
Bajo el siguiente marco conceptual, estará soportado el presente proyecto el cual
plantea el tema de números enteros, incluyendo las teorías que soportan la
formación de este y los planteamientos realizados por el Ministerio de educación
nacional, aunque aquí se enfatizará más sobre la operación división exacta de
números enteros, mostrando así la importancia que tiene este conjunto y la
operación mencionada anteriormente en las matemáticas, en el contexto y en otras
ciencias exactas; de acuerdo a lo anterior, para poder hablar de este conjunto es
necesario mencionar el concepto de número, el conjunto de los números naturales y
los números negativos, los cuales son importantes en la formación de dicho
conjunto, como se mostrará a continuación.
Según el MEN, (1998), en los estándares curriculares dice que el desarrollo del
pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos,
26
conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales
permiten configurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas
numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eficaz por medio
de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. Es por ello que
se hace necesario conocer algunos sistemas numéricos escritos que históricamente
han sido representativos en la construcción del mundo matemático.
En este sentido los números en la vida real se utilizan de distintas formas, ya sean
como una secuencia verbal, es decir, para representarlos con palabras como (uno,
dos, tres,…), para expresar una cantidad de objetos, para medir o para marcar una
posición, es así que los números pueden significar distintas cosas de acuerdo al
contexto que se esté empleando. Históricamente los números surgieron por la
necesidad que se tenía de contar las cosas, esto llevo al hombre a construir
símbolos que expresaban la totalidad de objetos que tenían en su medio, por lo tanto
se hace necesario establecer el significado de número y de numeral, entendiéndose
por número a la cantidad o conjunto de objetos y por numeral a la representación del
número, por ejemplo en la calle podemos observar tres casa, pero nunca vemos el
número tres por ahí. Todas estas representaciones han sido utilizadas
aproximadamente 10000 años por nuestros antepasados, estos hacían marcas en
los objetos, de lo cual se puede establecer una idea de cómo era la forma que
utilizaban para contar; estas formas al transcurrir el tiempo fueron siendo más
elaboradas, para mencionar algunos ejemplos de ello, tenemos la cultura babilónica,
quienes construyeron el sistema de escritura base 60 y posicional, los egipcios que
escribían los números por medio de jeroglíficos y por ultimo tenemos a los indios
quienes fueron los creadores del sistema de numeración actual, es decir, el sistema
indo-arábigo, que consta de un número limitado de símbolos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, los
cuales se combinan en un sistema base 10 para expresar cualquier cantidad aunque
se le atribuye a los árabes su difusión por todo Europa. Por todo lo anterior, se dice
que los números naturales nacen por el desarrollo del comercio, por la condición de
“contar”, pero debido al crecimiento del comercio y su avance progresivo hacia los
intercambios grandes entre una cultura y otra, se fue introduciendo lentamente otra
condición, que fue la de utilizar créditos y deudas, lo que provocó el uso de unos
nuevos números, en este caso los negativos, que tal vez si no se hubiera establecido
la condición de “deuda”, no podrían haberse entendido, ya que en la antigüedad se
desconocían los números negativos porque se consideraba que después del cero y
de no tener nada ¿Cómo era posible tener un número? Aunque algunas culturas
como los hindúes, los griegos, sabían de la existencia de estos pero no los
27
utilizaban. De acuerdo a todo lo planteado anteriormente, se puede establecer que
los números negativos no fueron inventados por el hombre, sino que fueron
descubiertos producto de las interacciones naturales que tiene este con su contexto,
por ejemplo, fiar en la tienda, prestar algo de dinero etc. Es así que se estableció
una relación entre los números naturales, los negativos y el cero, formando el
conjunto de los números enteros, que se definen como aquellos números naturales
que están precedido por los signos más y menos (+ y -), este conjunto representa
únicamente partes enteras (personas, objetos, animales etc.), es decir, que no
admiten ningún tipo de fracción o decimal que los complemente, como por ejemplo
35 manzanas, 5 carros, 3 vacas etc. Se representan con la letra Z. Además los
números enteros se originan también por el interés de representar cantidades con
relaciones opuestas como el ganar y perder dinero, por ejemplo 300 se representa
como +300 que significa ganancia, en el caso de la deuda o perdida este mismo
número quedaría representado como -300. También este conjunto se utiliza para
establecer temperaturas que pueden ser frías o calientes, representar las
profundidades del lecho del mar, establecer condiciones de arriba y abajo etc.
En resumidas cuentas, la utilización de los números enteros como la de los signos (+
y -), son parte del contexto en el que vivimos, ya que aparecen a la hora de bajarle o
subirle el volumen a un radio o televisor, en las baterías que utilizamos en una
linterna etc.
Por otro lado, este tema presenta relaciones directas con otras materias de las
matemáticas, como por ejemplo en el álgebra con relación a las ecuaciones y la
existencia de raíces positivas y negativas, en trigonometría en relación a los ángulos
positivos y negativos, en el plano cartesiano para establecer relaciones entre una
recta horizontal y vertical tomando como punto central el cero, en cuanto a la
localización de un punto, en la contabilidad cuando se habla de activos y pasivos. Es
por eso, que este conjunto es de gran importancia ya que sirve como medio de
comunicación para las diferentes actividades que un individuo puede realizar en su
cotidianidad, como por ejemplo saber que significa estar en la planta alta o baja de
un edificio, determinar las temperaturas cuando son frías o calientes. En
consecuencia los números enteros son importantes ya que siempre se va a estar
sujeto a representar estados de la naturaleza o situaciones de la vida cotidiana,
donde se involucren cantidades negativas y positivas.
Es de gran importancia, tener en cuenta que para realizar operaciones en este
conjunto se debe cumplir una condición única que nos dice que al realizar
operaciones con dos o más enteros su resultado debe ser otro entero, de ahí que las
28
operaciones que cumplen completamente esto son la suma, resta y la multiplicación.
La operación división cumple parcialmente esta condición ya que presenta divisiones
exactas e inexactas, por eso, este proyecto se enfatiza en esta operación.
Según el MEN, (2011), en su estrategia Colombia aprende dice, que la operación de
la división es compleja para los estudiantes, quienes, en general, no la comprenden
fácilmente desde el punto de vista conceptual. Esto es, porque la división no es
siempre exacta.
2.2.1. División de números enteros
Se puede decir que la división en matemáticas es la operación inversa a la
multiplicación, la cual relaciona dos aspectos fundamentales, como son el dividendo
(valor que se va a repartir) y el divisor, que designa el número de partes resultante
de la repartición. En este algoritmo se han presentado errores conceptuales desde la
antigüedad, por ejemplo el matemático Brahmagupta, intento extender la aritmética
para incluir la división por el cero Sánchez, J. (2010) pero cometió un error en decir
que cero dividido cero era igual a cero, hoy en día sabemos que eso no es así.
En el caso de los números enteros, tenemos que la división sea exacta, esto sucede
cuando el divisor esta contenido un número de veces en el dividendo, pero también
puede ocurrir que esta no sea exacta, lo cual quiere decir que la división de números
enteros no siempre da como resultado otro número entero, por ende, esta no es una
operación cerrada y de serlo es porque el dividendo es múltiplo del divisor.
En la división exacta de los números enteros se tiene en cuenta la regla de los
signos y se realiza igual que en la multiplicación diciendo, que si el dividendo y el
divisor tienen signos iguales, su resultado va a hacer positivo y si sucede lo
contrario, que sean diferentes, su resultado será negativo. La división de enteros se
da en otras ciencias diferentes de las matemáticas, como por ejemplo, en ciencias
sociales, para determinar la cantidad de personas extranjeras por día que entran al
país en un numero de meses; en la economía, cuando en una empresa se realiza el
pago de nómina a los empleados, en las ciencias agrarias; para determinar la
cantidad de fertilizantes que se utilizaron en x días de un mes, entre otras.
Finalmente la división de números enteros no exacta, por salirse del conjunto de los
enteros, servirá como introducción para abordar otras temáticas como lo son los
números racionales. Así mismo, esta operación es de gran utilidad, ya que permite
29
solucionar una variedad de situaciones que se presentan en la cotidianidad, aunque
la enseñanza y aprendizaje de esta, se dificulte en los estudiantes ya sea por la gran
cantidad de razonamientos que se dan aquí, la falta de interés o de metodologías y
recursos implementados por el docente; ello no puede ser un impedimento para
aprender a resolver procesos algorítmicos de esta operación, por eso, es de gran
importancia que el docente utilice herramientas tecnológicas, material didáctico,
metodologías basadas en evidencia, entre otras, para despertar no solo el interés de
los educandos, sino también obtener aprendizajes significativos.
30
2.3. Marco legal
Normatividad Fragmento Contexto
Artículo 5 de la
ley 115 de 1994.
Fines de la
educación
El desarrollo de la capacidad crítica,
reflexiva y analítica que fortalezca el
avance científico y tecnológico
nacional, orientado con prioridad al
mejoramiento cultural y de la calidad
de la vida de la población.
La participación de los
estudiantes y los docentes
en los avances tecnológicos,
en cuanto su uso e
implementación
Artículo 20 de la
ley 115 de 1994.
Educación
básica
Ampliar y profundizar en el
razonamiento lógico y analítico para la
interpretación y solución de los
problemas de la ciencia, la tecnología
y de la vida cotidiana.
El estudiante tiene derecho a
que se le propicie una buena
educación, que permita
potencializar sus
capacidades, en cuanto a la
resolución de problemas que
se dan en su entorno.
Artículo 20 de la
ley 115 de 1994.
Educación
básica
El desarrollo de los conocimientos
matemáticos necesarios para manejar
y utilizar operaciones simples de
cálculo y procedimientos lógicos
elementales en diferentes situaciones,
así como la capacidad para solucionar
problemas que impliquen estos
conocimientos
El estudiante tiene el
derecho a que se le
implementen todas las
estrategias posibles en pro al
desarrollo del pensamiento
matemático, que le permita a
este aplicar todos estos
conocimientos en diferentes
situaciones.
Contexto internacional
De acuerdo a la información arrojada en las pruebas pisa por la
OCDE, se muestran que los resultados en pruebas de
matemáticas realizadas por los estudiantes es bajo o poco
significativo, en lo cual no alcanzaron el nivel básico (nivel 2).
Es decir que los estudiantes a ese nivel, pueden extraer
información relevante de una sola fuente y utilizar algoritmos
básicos, formulas, procedimientos convencionales para resolver
problemas que contengan números enteros.
Según la UNESCO, (2015 p. 57), por el potencial que entrañan las tecnologías de la información y la comunicación, el docente pasa a ser un guía que permite a los estudiantes, desde la primera infancia y durante toda la trayectoria de su aprendizaje, desarrollarse y avanzar en el laberinto cada vez más intrincado del conocimiento.
Contexto nacional
El MEN, (2008), presenta el plan sectorial (2006 – 2010, pág.
33), en lo cual dice que el fomento dela calidad en la educación
básica y media debe contemplar estrategias de mejoramiento
en formación docente, uso y apropiación de medios y nuevas
tecnologías, y fortalecimiento de la gestión escolar.
Tabla 2-1 normograma del marco legal
31
2.4. Marco Espacial
Figura 2-1 Entrada Principal De La Institución Educativa Navarra.
La institución educativa Navarra se encuentra ubicada en la comuna 8 del municipio
de Bello, el plantel educativo se encuentra en la dirección diagonal 57 número 20-43
Bello. La naturaleza de esta institución es oficial y atiende los niveles de preescolar,
básica primaria, secundaria y media.
La Institución Educativa Navarra comenzó su labor educativa en 1990 en este barrio
de numerosos habitantes, pero de pocos recursos económicos. Existe una marcada
tendencia de desempleo por parte de los padres de familia que tienen que afrontar
dificultades para cumplir sus obligaciones; además, se encuentran familias en las
que ambos padres deben trabajar y, otras, el mayor de los casos, en las que las
madres son cabeza de familia. Los niños y jóvenes permanecen, la mayor parte del
tiempo, solos, sin el acompañamiento de los padres, o adultos que asuman la
responsabilidad de su cuidado y acompañamiento. De aquí no sea raro que el
municipio pueda verse como un caldero en el que conviven diversidad de
idiosincrasias y diferentes modos de vivir en cuanto a costumbres culturales,
socialización, deseos y aspiraciones.
En el barrio, Navarra es el único establecimiento educativo oficial, con
aproximadamente 750 estudiantes, 26 docentes y 2 directivas docentes.
La comunidad de Navarra, es una comunidad bastante numerosa agregando a ello
que sus habitantes en un 50%, no son propiamente de esta comunidad, además de
32
ese 50% la gran mayoría son de otras poblaciones del Departamento, con
idiosincrasias diferentes, con modo de vivir diferente en cuanto a costumbres
culturales, socialización, etc. Situación que origina una comunidad no compacta en
cuanto a grupo se refiere; esto a su vez origina una comunidad que presenta cierta
desorganización que va en detrimento de una mejor calidad de vida.
Límites:
Al norte con el cerro la madera y la hidroeléctrica Niquía.
Al sur con la doble calzada que conecta al Área Metropolitana con la costa y
el occidente.
Al oriente con la hacienda Niquía y urbanización el trébol.
Al occidente con la quebrada guayacana.
Se cuenta con una población que oscila entre 5.000 y 5.200 habitantes distribuidos
en 1.050 familias. Con una población estudiantil más o menos de 2.000, con edades
comprendidas entre 5 y 15 años, de los cuales el 30% asiste a la Institución
Educativa Navarra. El 30% de las viviendas son habitadas por inquilinos, lo que hace
que haya mucha movilidad de población.
Figura 2-2 ubicación geográfica de la Institución Educativa Navarra.
MISIÓN: Formamos integralmente al educando, desde su singularidad y la madurez
integral de sus procesos y dimensiones para que construya y transfiera el
conocimiento y transforme su realidad socio-cultural, con liderazgo y
emprendimiento, desde la convivencia, la prevención y la innovación educativa,
pedagógica, didáctica y curricular.
VISIÓN: Nos visionamos para el 2015, como una Institución comprometida con el
mejoramiento continuo y el logro de la filosofía institucional. Responsable en
procesos integrales, convivenciales y de prevención; formadora de autonomía y
sentido de pertenencia que posibilite la construcción del conocimiento y la
transformación de la comunidad.
33
3. Diseño metodológico: investigación acción
En su quehacer pedagógico el docente actúa como un investigador de las
constantes situaciones presentadas en el aula de clases y por fuera de ella, por ello,
la actual propuesta está enmarcada en el método de investigación – acción, por ser
esta una metodología “orientada al cambio educativo” Bausela, H. (2004). O sea, su
objeto es promover cambios tanto en el proceso educativo como en los sujetos que
participan en este; según lo dicho por Elliott, (1993) citado por Bausela, la
investigación – acción, se entiende como el estudio de una situación social para
tratar de mejorar la calidad de la acción en la misma. En este sentido, la
investigación acción en esta propuesta sirve como un instrumento que permite la
evolución o transformación no solo de una situación social, sino también del acto
mismo educativo con lo cual se impacte positivamente un contexto.
En concordancia con lo anterior, el método de investigación acción en este trabajo es
de gran importancia porque se incluye al docente, el cual, por medio de encuestas
podrá identificar no solo las dificultades de los estudiantes sino también sus
intereses, necesidades y las dificultades que se presentan en la adquisición de
conocimientos, es así, como se hará un diagnóstico de la situación para
posteriormente planificar las estrategias de intervención y de esta forma mejorar los
procesos educativos.
Se puede decir, que esto se da en la medida de que los actores principales en la
educación como lo son los profesores, rectores y estudiantes, reflexionen sobre
estas prácticas y busquen una solución a las situaciones problemas que se
presentan en su cotidianidad en pro al cambio de actitudes que conlleven a un
aprendizaje más activo y finalmente a la construcción de un saber, Gollete, Lesgard
y Hervert ,(1988) citados por Bausela, acogiendo lo planteado anteriormente, los
actores deben ser críticos en el proceso pedagógico ya que es una herramienta
fundamental para la toma de decisiones.
34
3.1. Método
Esta propuesta de trabajo final tiene como objetivo general diseñar una propuesta
metodológica, que propicie la formación del pensamiento numérico en la enseñanza
de la operación división del conjunto de números enteros en estudiantes del grado
séptimo de la Institución Educativa Navarra, mediante la resolución y planteamiento
de problemas, mediados por las (TIC). Para la ejecución de este trabajo se trazaran
objetivos específicos implementados en tres momentos como se describe a
continuación:
El primer momento está relacionado con la caracterización y el diagnostico, el cual
permitirá establecer el problema objeto de estudio donde se evidenciarán las
dificultades y los intereses de los estudiantes sobre la división de números enteros,
luego, se plantearan objetivos específicos con el fin de darle respuesta a la pregunta
de investigación sobre las estrategias que aportan a la enseñanza de división de
números enteros.
Para la fase de caracterización se plantea la realización de un diagnostico por medio
de la observación directa donde el docente realizará preguntas dirigidas a los
estudiantes como ¿en tu cotidianidad cómo repartes objetos o cosas? ¿Qué podrías
hacer para repartir adecuadamente las cosas? entre otras que den cuenta de las
actitudes, intereses y motivación que los alumnos presentan en el instante de
abordar dichas situaciones; además se realizará una encuesta que dé cuenta no
solo del pensamiento numérico sino también de sus saberes previos. Luego, se
analizaran cada una de las dificultades observadas con el fin de elaborar una
propuesta metodológica, que permita que los estudiantes de la Institución Educativa
Navarra del grado séptimo superen dichas dificultades.
En el segundo momento, se plantea la fase del diseño e intervención de la
propuesta, donde para mejorar la enseñanza y aprendizaje de la división de números
enteros se utilizará el método heurístico de resolución de problemas planteado por
Polya, G. (1965) donde el estudiante guiado por el docente deberá 1. Entender el
problema, 2. Configurar un plan para resolverlo, 3. Ejecutar el plan y 4. Comprobar
los resultados. Además, dentro de las estrategias cognoscitivas y metacognitivas
propuestas por Schoenfeld, A. (1992) se utilizaran objetos manipulables como
cartulina, revistas, dibujos, palillos entre otros, los cuales servirán para que los
estudiantes representen y analicen la situación o problema planteado por el docente.
35
Cabe agregar, que en esta propuesta se promoverá el trabajo en equipo, apoyado en
la estrategia de cooperación (MEN), esto se realizará por medio de actividades como
debates y mesas redondas sobre los resultados obtenidos de un problema donde el
estudiante potencie el aprendizaje significativo crítico propuesto por Moreira, (2000).
De forma similar, se aplicará la estrategia de clarificación/verificación donde se
realizaran actividades como pruebas diagnósticas sobre la división de números
enteros. Se diseñaran y aplicaran evaluaciones, cuestionarios y diferentes
actividades como juegos interactivos, ejercicios, videos etc, en la plataforma Moodle
donde se incluirán los contenidos de la división exacta de números enteros.
Finalmente, en el tercer momento, se plantea la evaluación de los procesos, donde
se busca identificar cuáles fueron las principales dificultades encontradas en el
proceso, el impacto que tuvo en la población objeto y de qué manera se pueden
mejorar futuras propuestas en este campo de las matemáticas.
3.2. Instrumentos de recolección de la información
En esta propuesta, inicialmente se utilizara una encuesta orientada a los
estudiantes, donde se buscará identificar las dificultades en el pensamiento
numérico, indagar por los conocimientos previos, intereses y motivación del
educando; así como también establecer las características individuales de los
mismos.
Así mismo, se utilizaran videos, cuestionarios y pruebas escritas en las que se podrá
evidenciar y analizar el proceso de enseñanza y las dificultades encontradas en el
mismo.
Además se diseñará en la plataforma Moodle actividades de ejercitación y
modelación como talleres interactivos, juegos numéricos con la operación división.
En dicha plataforma, se evidenciará y analizaran todas las actividades
procedimentales que ejecutaran los estudiantes.
36
3.3. Población y muestra
La institución educativa Navarra, cuenta con una población estudiantil de 630
alumnos, la población objeto de estudio son los grados séptimos de la jornada de la
mañana, que en total son 72 estudiantes, de los cuales se tomará como muestra
para la aplicación de la propuesta 20 alumnos que participaran voluntariamente.
3.4. Cronograma
Tabla 3-1 Planificación de actividades
FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES
Fase 1: Caracterización
Diagnosticar las posibles causas que dificultan las estrategias cognoscitivas y el razonamiento matemático, en la enseñanza de la operación división del conjunto de los números enteros. Revisar y analizar los documentos del (MEN), situados en la enseñanza del pensamiento numérico.
1.1. Revisión bibliográfica de las teorías del aprendizaje significativo aplicadas al pensamiento numérico.
1.2. Revisión bibliográfica sobre la resolución de problemas en las matemáticas.
1.3. Revisión bibliográfica de los documentos del (MEN) enfocados a los lineamientos curriculares en la enseñanza de la operación división de números enteros.
1.4. Revisión bibliográfica acerca de las nuevas tecnologías tic en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Fase 2: Diseño e Implementación.
Elaborar una propuesta didáctica que propicie el fortalecimiento de la competencia de resolución de problemas con la operación división en el conjunto de los números enteros, en los estudiantes de los grados séptimos de la Institución Educativa Navarra de la ciudad de Bello.
2.1. Diseño de material manipulable para la enseñanza y aprendizaje de la operación división de números enteros.
2.2. Diseño y construcción de herramientas tecnológicas como medios de enseñanza y aprendizaje de la operación división de números enteros.
2.3. Diseño de situaciones problemas de división exacta de números enteros.
Fase3: intervención
Intervenir las dificultades que se presentan en la operación división del conjunto de números enteros, por medio de una propuesta didáctica enfocada en la resolución de problemas, mediados por las nuevas tecnologías.
3.1. Intervención de la propuesta metodológica enseñanza de la operación división exacta de los números enteros en el salón de clases.
Fase 4: Análisis y Evaluación
Evaluar la estrategia planteada mediante la actitud y la motivación que presentaron los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Navarra, durante la aplicación de la propuesta.
4.1. Evaluar desde el punto de vista curricular el desempeño alcanzado durante la implementación de la propuesta metodológica
4.2. Evaluar la propuesta con base en los resultados obtenidos en los instrumentos.
37
Tabla 3-2 Cronograma de actividades
ACTIVIDADES SEMANAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X
Actividad 1.2 X X
Actividad 1.3 X X
Actividad 2.1 X X
Actividad 2.2 X X
Actividad 2.3 X
Actividad 2.4 X
Actividad 3.1 X
Actividad 4.1 X
Actividad 4.2 X X X
38
4. Trabajo final
La ejecución de esta propuesta se desarrolló en la Institución Educativa Navarra,
ubicada en el municipio de Bello Antioquia, donde se seleccionaron 20
estudiantes como grupo muestra y 29 como grupo de control, de los grados
séptimos; con este último se abordó el tema de la operación división de manera
tradicional, es decir, sin incluir actividades de manipulación de objetos,
ejemplificación de situaciones problemas cotidianos o la utilización de
aplicaciones tecnológicas, que les permitieran resolver de una mejor forma dicho
algoritmo.
A ambos grupos, antes de iniciar la propuesta, se les aplicó una prueba
diagnóstica, la cual consistió en un cuestionario sencillo (Ver anexo A) con
preguntas sobre la repartición de objetos o cosas en su cotidianidad; la prueba
constó de 15 preguntas organizadas de la siguiente forma: siete de selección
múltiple con una única respuesta y ocho de respuestas abiertas y de
argumentación, en donde se requería realizar ciertos procedimientos para
obtener las soluciones. Las preguntas se respondieron en 60 minutos donde el
principal objetivo fue identificar las capacidades que poseen los estudiantes para
solucionar problemas y algoritmos que se relacionan con las operaciones en el
conjunto de los números enteros, concretamente la división. Esto se realizó,
apoyados en la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, (1983), quien
manifiesta que es necesario conocer los conocimientos previos (subsunsores)
que poseen los estudiantes, de tal forma que los relacionen con el nuevo
conocimiento de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra).
Después de aplicar la prueba diagnóstica, se realizó en el grupo muestra una
serie de actividades lúdico-educativas con la recta numérica, palillos de colores y
canastas de huevos, las cuales no solo ayudarían a los estudiantes a reconocer
el conjunto de los números enteros y sus operaciones, sino también facilitaría la
comprensión de la división de números enteros. Con dichas actividades se
pretendía que el educando tuviera mayor motivación y analizara la importancia
de la operación división en su cotidianidad, ello enmarcado en lo planteado por
39
Vygotsky, (1987 – 1988), quien afirma que el desarrollo cognitivo no puede
entenderse sin referencia al contexto social, histórico y cultural en el que ocurre,
por ello, las actividades que se implementaron se adaptaron a las acciones que
el estudiante desarrollaba en su diario vivir, con el fin de que este pudiera
encontrarle sentido a lo que estaba haciendo.
En el diseño de las situaciones problemas se tuvo en cuenta lo sugerido por
Polya, (1965), en el sentido de que cuando el estudiante empezara a resolver
dicha situación, este fuera resolviendo problemas más sencillos, que lo
encaminaran a dar solución a la situación planteada inicialmente. Es importante
resaltar, que el rol del docente es ser orientador, es decir, quien a través de
diferentes preguntas direcciona al estudiante al establecimiento de su propio
plan para resolver la situación. En el desarrollo de la situación se promovió el
trabajo colaborativo entre los mismos estudiantes donde comparaban sus
planteamientos y buscaban estrategias que les permitieran llegar a la solución.
Por último se utilizó la plataforma Moodle como herramienta mediadora del
aprendizaje de las operaciones del conjunto de los enteros. Esta plataforma
cuenta con videos, textos y juegos educativos que le permitirían al estudiante
afianzar sus conocimientos frente a este tema. Por último, se desarrolló una
evaluación sobre situaciones problemas con el fin de que el estudiante se
apropiara en un mayor grado de la operación división, tal como lo establece el
modelo pedagógico implementado en esta propuesta.
Para la fase final, se aplicó la misma prueba diagnóstica que se utilizó al inicio de
la intervención en los dos grupos.
4.1. Resultados y hallazgos
A continuación se presentaran los resultados obtenidos en esta propuesta, como
primero se analizaran los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica
realizados en el grupo de muestra y de control, como segundo se analizaran la
utilización de la plataforma Moodle y las actividades realizadas, por último, se
hará un análisis de la evaluación final que se le aplico a ambos grupos.
40
4.1.1. Prueba diagnostica
Se aplicó la prueba diagnóstica (Ver anexo A) al grupo de control y de muestra,
con el fin de identificar la capacidad interpretativa de los estudiantes para la
resolución de problemas, específicamente el algoritmo de la división del conjunto
de números enteros teniendo en cuenta las competencias que se pretenden
desarrollar expuestas en la siguiente tabla (Rúa & Bedoya, 2008)
Tabla 4-1 competencias matemáticas
Grado escolar
Competencia evaluada Temas relacionados
Séptimo
interpretativa de enunciados matemáticos:
traducen enunciados del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa, además simbolizan enunciados sobre operaciones y relaciones en el pensamiento numérico
Significado de los números positivos y negativos.
Pragmática y comunicativa: Es capaz de
recurrir a diferentes lenguajes de representación en la interpretación y solución de problemas conservando en ellos la estructura lógica y matemática del problema.
Recta numérica: representación, orden y comparación de números enteros
Creativa: encuentra el procedimiento, la
relación o la operación para resolver un problema planteado
Situaciones problemas con números enteros Reglas de signos Suma, resta, multiplicación Algoritmo de la división
Contrastativa: una vez aplicado un
algoritmo, puede revisarlo y confrontarlo con los elementos operados y relacionados
Argumentativa: justifica o explica las
razones por las cuales reconoce, usa o crea relaciones y operaciones
4.1.2. Grupo muestra
Al hacer la revisión y el análisis de los resultados obtenidos en la prueba
diagnóstica aplicada al grupo muestra (diagrama 4-1) se pudo evidenciar en la
pregunta 1 que 85,0% de los estudiantes que se les aplicó la prueba no
identifican el conjunto de números enteros, ya que no expresaron
numéricamente una situación problema ni representaron un número entero
mediante una situación; de igual forma se pudo observar en las preguntas 2 y 3,
que los estudiantes del grupo muestra tenían dificultad para representar los
números enteros en la recta numérica y ordenarlos de mayor a menor o
viceversa, ya que el 72,5% contestaron incorrectamente o no respondieron las
41
preguntas porque manifestaron no saber hacerlo; así mismo, en promedio el
77,5% de los educandos no realizaron correctamente las operaciones o
situaciones que se plantearon mediante suma y resta con números enteros lo
cual se pudo evidenciar en las preguntas 4 y 5; Mientras que en promedio 87,5
% de los estudiantes no realizan de forma correcta operaciones de multiplicación
y división, esto se puede evidenciar en las preguntas 6 y 7; por último, en las
preguntas 8 y 9, se observó que los estudiantes no reconocen la regla de signos
para resolver una multiplicación y/o división de números enteros, ya que el
85,0% no contestaron correctamente la prueba.
Diagrama 4-1: porcentaje de estudiantes que respondieron correcta, incorrectamente o no respondieron la prueba diagnóstica en el grupo muestra.
15,0
35,0
20,0 15,0
30,0
15,0
25,0 20,0 20,0
60,0 55,0
70,0
80,0
45,0
20,0
50,0
35,0
65,0
25,0
10,0 10,0 5,0
25,0
65,0
25,0
45,0
15,0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9
Grupo Muestra
Correcto
Incorrecto
No responde
42
Tabla 4-2: número de estudiantes que respondieron correcta, incorrectamente o no respondieron la prueba diagnóstica en el grupo muestra.
4.1.3. Grupo control
Al hacer la revisión y el análisis de los resultados obtenidos en la prueba
diagnóstica aplicada al grupo control (Ver diagrama 4-2) se pudo evidenciar en la
pregunta 1 que 82,7% de los estudiantes que se les aplicó la prueba no
identifican el conjunto de números enteros, ya que no expresaron numéricamente
una situación problema ni representaron un número entero mediante una
situación; de igual forma se pudo observar en las preguntas 2 y 3, que los
estudiantes del grupo control tenían dificultad para representar los números
enteros en la recta numérica y ordenarlos de mayor a menor o viceversa, ya que
el 82,8% contestaron incorrectamente o no respondieron las preguntas porque
manifestaron no saber hacerlo; así mismo, en promedio el 89,9% de los
educandos no realizaron correctamente las operaciones o situaciones que se
plantearon mediante suma y resta con números enteros lo cual se pudo
evidenciar en las preguntas 4 y 5; Mientras que en promedio 84,5% de los
estudiantes no realizan de forma correcta operaciones de multiplicación y
división, esto se puede evidenciar en las preguntas 6 y 7; por último, en las
preguntas 8 y 9, se observó que los estudiantes no reconocen la regla de signos
para resolver una multiplicación y/o división de números enteros, ya que el 79,4%
no contestaron correctamente la prueba.
Preguntas Correcto Incorrecto No responde
P1 3 12 5
P2 7 11 2
P3 4 14 2
P4 3 16 1
P5 6 9 5
P6 3 4 13
P7 5 10 5
P8 4 7 9
P9 4 13 3
43
Diagrama 4-2: porcentaje de estudiantes que respondieron correcta, incorrectamente o no respondieron la prueba diagnóstica en el grupo control.
Tabla 4-3: número de estudiantes que respondieron correcta, incorrectamente o no respondieron la prueba diagnóstica en el grupo control.
4.2. Actividades para el desarrollo de situaciones problemas
Al realizar un análisis de la prueba diagnóstica se encontró que los estudiantes
presentaban falencias en los algoritmos de la suma, resta, multiplicación y por ende
en la división, por lo que se tuvieron que implementar tres actividades de ejercitación
Preguntas Correcto Incorrecto No responde
P1 5 15 9
P2 3 18 8
P3 7 16 6
P4 0 12 17
P5 7 15 7
P6 2 10 17
P7 7 14 8
P8 5 16 8
P9 7 12 10
17,2
10,3
24,1
0,0
24,1
6,9
24,1
17,2
24,1
51,7
62,1
55,2
41,4
51,7
34,5
48,3
55,2
41,4
31,0 27,6
20,7
58,6
24,1
58,6
27,6 27,6
34,5
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9
Grupo Control
Correcto
Incorrecto
No responde
44
con el fin de que los estudiantes recordaran algunos conceptos necesarios para el
desarrollo del proyecto.
A continuación se realizará un análisis de los resultados obtenidos en cada una de
las actividades y situaciones problemas que se aplicaron al grupo muestra. Para el
desarrollo de las actividades y las situaciones problemas, se empleó un tiempo de
120 minutos, distribuidos de la siguiente manera: Los estudiantes contaban con 40
minutos para realizar la actividad, 40 minutos para resolver situaciones problemas
poco complejas y realizar sus conclusiones y otros 40 minutos, donde con el apoyo
del docente y algunas preguntas orientadoras, los estudiantes daban su punto de
vista sobre la situación, comparaban procesos y resultados con sus demás
compañeros, analizaban los aciertos y desaciertos que se tuvieron en la ejecución
de las actividades hasta llegar a una conclusión sobre la solución del problema
planteado, por último, el docente, teniendo en cuenta las opiniones de los
estudiantes les explicaba la manera apropiada como se debía abordar el problema y
así fortalecer los conocimientos que poseían los educandos.
Tanto en el desarrollo de las actividades como en las situaciones problemas se optó,
por el trabajo colaborativo, es decir, los estudiantes se apoyaban entre si tanto para
la realización de los objetos manipulables como para el desarrollo de las situaciones
problemas.
4.2.1. Actividad 1: las TIC como mediadoras en el aprendizaje del conjunto de los números enteros
Cebrian, (1992), dice que los medios y recursos didácticos son todos los objetos,
equipos y aparatos tecnológicos, que en algunos casos utilizan diferentes formas de
representación simbólica y principios didácticos que introducidos en un programa de
enseñanza, favorecen la reconstrucción del conocimiento. Por ello, se realizó esta
actividad, la cual tenía como objetivo que los estudiantes ejercitaran y afianzaran los
conocimientos que tenían sobre división de números enteros, mediante la
implementación de la plataforma Moodle, una plataforma interactiva que contaba con
un poco de historia, cuestionarios, juegos, videos y evaluaciones sobre la operación
división del conjunto de números enteros.
Primeramente, con la ayuda de un computador y un video beam, se realizó una
inducción a los estudiantes sobre el manejo de la plataforma Moodle, donde se hizo
45
énfasis en la forma de como ingresar y desarrollar los contenidos que se
presentaban en cada unidad; para ello, fue necesario que el docente resolviera
algunas actividades, con el fin de que los estudiantes se apropiaran y utilizaran la
plataforma. Es importante mencionar, que fue imposible que se utilizará la sala de
internet de la institución educativa, debido a que los estudiantes de media técnica la
mantuvieron ocupada, por lo tanto, la manipulación de la plataforma por parte de los
estudiantes no fue tan alta como se esperaba, sin embargo, el docente les sugirió
que exploraran sus contenidos desde la comodidad de sus hogares. A medida, que
los estudiantes manipulaban la plataforma, el docente observaba los avances que
iban teniendo al ejecutar las actividades, simultáneamente, se les daban
calificaciones; es importante aclarar, que el educando podía contestar los
cuestionarios las veces que el considerara necesario, pero cada vez que lo intentaba
las preguntas variaban.
A continuación se hará una breve representación de los contenidos que se
encontraban en la plataforma (ver figura 4-1):
Historia de los números enteros
Para qué sirven los números enteros
Utilidad de los números enteros
Operaciones en el conjunto de números enteros
Sumando y restando números enteros
Multiplicando y dividiendo números enteros
Los resultados obtenidos en la plataforma fueron satisfactorios ya que cuando se
empezaron a realizar las demás actividades se pudo notar una mejor apropiación del
conjunto de los enteros por parte de los estudiantes, ya que en cada uno de los
encuentros se socializaba a través de mesas redondas lo que habían realizado en la
casa, y el aprendizaje que iban adquiriendo mediante el uso de esta lo demostraban
en las actividades siguientes.
46
Figura 4-1: contenidos de la plataforma Moodle
4.2.2. Actividad 2: palillos de colores y las
operaciones con números enteros
Después de que los estudiantes realizaron actividades de ejercitación del conjunto
de números enteros en la plataforma Moodle, se realizó la actividad número dos que
tuvo como finalidad que los estudiantes entendieran el problema, principalmente que
identificaran y diferenciaran cantidades negativas y positivas, además, que
plantearan y resolvieran situaciones sencillas de su vida cotidiana. Para ello, fue
necesario que el docente realizara algunas preguntas orientadoras como: ¿si la
economía en sus hogares disminuye con que color la clasificarían o representarían?
A lo que la mayoría respondió “con el color rojo” ¿y si aumenta con que otro color la
clasificarían? Aquí las respuestas fueron muy variadas (verde, azul, negro, entre
otros) finalmente se optó por el color negro; de allí, que los palillos se colorearon
para representar las cantidades negativas y positivas de color rojo y negro
respectivamente y luego se enumeraron del 1 al 100.
Después, se conformaron grupos de tres o cuatro estudiantes y se les asignó la
misma cantidad de palillos rojos y negros a cada grupo, los cuales utilizaron para
47
representar una situación problema que se plantaba cada uno de ellos; para realizar
esto los estudiante contaron con 15 minutos. Posteriormente, cada grupo le dictaba
sus problemas a los demás grupos, con el fin de que los resolvieran utilizando los
palillos; cada solución del problema daba como premio 5 puntos, mientras que cada
fallo, significaba que el grupo que no realizo bien el problema debía resolver una
situación extra, que colocaba el docente, esto para evitar que se le quitaran dos
puntos, en caso de que no pudieran resolver bien la situación dada y de que no
llevaran puntos se le acumulaban para ser descontados cuando los obtuvieran.
Todas las respuestas las tenían que dar mediante los palillos, por ejemplo si la
respuesta era +120, estos tenían que sumar las cantidades de los palillos negros de
tal forma que obtuvieran este resultado (Ver figura 4-2).
Figura 4-2: Palillos de colores y las operaciones con números enteros
La actividad fue muy enriquecedora desde el punto de vista que los estudiantes
adquirieron la competencia interpretativa de enunciados matemáticos ya que
pudieron solucionar situaciones que se les presentaban en su cotidianidad con
números enteros, aprendieron a distinguir cantidades negativas y positivas,
estableciendo situaciones mediante un dato numérico o viceversa.
4.2.3. Actividad 3: jugando con la recta numérica y
los números enteros
Después de hacer un análisis detenido del diagnóstico, se observó que los
estudiantes presentaban dificultad para resolver multiplicaciones y divisiones del
conjunto de números enteros, además no sabían representar gráficamente dicho
conjunto en la recta numérica, por lo tanto, los estudiantes con ayuda del docente
construyeron una recta numérica utilizando cartulina de colores rojo y negro ya que
anteriormente se venía trabajando con estos dos colores, posteriormente se pegó en
el piso.
48
Al iniciar con la actividad, el docente escribió un ejercicio en una cartulina que a
continuación pegó en la pared (+7)+(-10)-(+8)=, y empezó preguntándole a los
estudiantes por lo que significaba cada uno de los números que contenía el ejercicio,
pidiéndole a los estudiantes que representaran el primer número (+7) en la recta
numérica pegada en el piso, la mayoría de los estudiantes respondieron
correctamente, diciendo que lo que quería decir ese número era que se movieran
siete pasos hacia la derecha, después se les pregunto por lo que se debía hacer con
el segundo número (-10), encontrándose errores a la hora de contestar, pues lo que
hacían era trasladarse directamente al menos diez, por lo cual el docente les explico
que lo que quería decir ese segundo número, era que debían moverse diez pasos
hacia la izquierda, desde el punto en que se encontraban; para finalizar el docente
les pregunto sobre lo que había que hacer con la última cantidad (+8), estos
dedujeron rápidamente lo que tenían que hacer con esta cantidad, diciendo que
había que moverse ocho pasos hacia la derecha desde el nuevo punto en que se
encontraban, luego, el docente les pregunto cuál era la cantidad donde habían
terminado, respondiendo estos con acierto menos once (-11), el educador les indico
que la cantidad donde terminaron era el resultado para el algoritmo planteado.
Luego, se reunieron en grupos de tres estudiantes para comenzar a realizar la
actividad, se organizaron de la siguiente forma: uno se movía en la recta, otro le
daba las instrucciones para poder moverse de acuerdo a la situación planteada y
otro iba anotaba los resultados obtenidos, cada situación tenía un tiempo con el cual
se debía resolver, el grupo que más preguntas respondiera era el ganador y en caso
de que hubiera un empate, ganaba el grupo que respondió en menor tiempo.
El interés principal de esta actividad fue que los estudiantes se apropiaran de las
operaciones en el conjunto de números enteros, principalmente la división, por lo
cual el docente realizo preguntas como, ¿Cuántos pasos mínimos o máximos,
exactos debes dar para llegar al número 15? Cada grupo concertaba y elegía a un
compañero para que realizara el ejercicio, después de que el grupo resolvía la
situación, se le preguntaba a los demás si era correcto lo hecho por sus
compañeros, respondiendo en la mayoría de los casos que sí. En algunos casos
tomaban la mínima cantidad debido a que tenían que saltar hasta llegar al número,
otros tomaban la máxima cantidad, esto debido a que utilizaban a la persona con
más estatura y por lo tanto podía saltar esta distancia, es decir, el ejemplo que
mencionamos algunos saltaban de tres en tres, hasta llegar al punto indicado,
obteniendo 5 pasos en su recorrido y otros saltaban de cinco en cinco, obteniendo
solo 3 pasos hasta llegar a la cantidad indicada. Después el docente les preguntaba
49
a los grupos por el procedimiento que utilizaron para solucionar la situación, en lo
cual un grupo de estudiantes manifestaron que buscaron los múltiplos de quince y
otros que buscaron el máximo común divisor, evidenciando con esto, que tenían idea
sobre el algoritmo de la división, ya que ambos estaban realizando implícitamente el
mismo procedimiento, ya que para este ejercicio existían varias soluciones, una por
el algoritmo de la división, es decir, lo pudieron haber resuelto planteándolo de la
siguiente manera, 5x (…)=15 o 3 x(…)= 15, encontrando así el máximo o mínimo de
pasos que debían dar, o podrían haberlo planteado de la forma convencional que se
realiza una división es decir 15 ÷ 5 𝑜15 ÷ 3, encontrando así la misma solución. La
realización de esta actividad, propicio en los estudiantes la asimilación del algoritmo
de la división y la apropiación de las demás operaciones del conjunto de los enteros.
Después de terminar la actividad el docente se dirigió hacia el salón de clases con
los estudiantes y les presentó un video del algoritmo de la división, además dio una
clase magistral, es decir, por medio del tablero sobre este algoritmo y la división
tradicional que estos conocían, que es por medio de restas reiteradas, luego lo
relacionó con la actividad realizada anteriormente y se le colocaron a los dicentes
ejercicios de división, resolviéndolos por los dos métodos, encontrándose muy
buenos resultados en el momento de realizarlos, lo cual dio cuenta del aprendizaje
adquirido por parte de los estudiante en dicho algoritmo.
Figura 4-3 resolviendo operaciones de números enteros con la recta numérica
Con el fin de que los estudiantes se apropien de una mejor manera del algoritmo de
la división, se planteó como estrategia la utilización de canastas de huevos y el uso
del maíz para hacer cálculos de divisiones, esto se hizo mediante preguntas
orientadoras. Los estudiantes se reunieron en parejas y cada uno contaba con una
50
canasta y maíces, luego, el docente mostraba por medio del computador y el video
beam, una serie de preguntas que iban realizando poco a poco. (Ver figura 4-4)
Cada grupo era autónomo de abordar la situación como mejor les parecía, por
ejemplo una de las preguntas decía, ¿Cómo repartes 30 maíces, a 30 gallinas?, en
esta pregunta se pudo evidenciar que los estudiantes al tener objetos manipulables
como el maíz, pudieron llegar rápidamente a la solución y dándose cuenta de que
estaban realizando una división por dos cifras, manifestaron que la división era más
fácil teniendo objetos para representarla, a lo cual el docente argumento que si era
más fácil hacerlo de esa manera, pero que era importante aprender el algoritmo
como tal, debido a que si tenían cantidades muy grandes se les iba a dificultar un
poco conseguir la respuesta, luego de terminar la actividad los estudiantes
manifestaron que ya no tenían tantas dudas sobre cómo se realizaba la división con
números enteros y que era importante aprender a sumar, restar y multiplicar si se
quería aprender este algoritmo.
Figura 4-4: divisiones de números enteros con material manipulable
4.2.4. Actividad 4: situación problema de división de
números enteros
La situación problema planteada a continuación se desarrolló en tres momentos:
El primero fue de apropiación e interpretación de un texto que articulaba todas las
situaciones problemas que se plantearían posteriormente, esto se dio a través de
51
lecturas, tablas, dibujos y formulas, con el propósito de desarrollar las competencias
interpretativas y creativas del estudiante. Después de que los estudiantes leyeron la
información dada, debían resolver una serie de preguntas orientadoras que el
docente les proporcionó, las cuales le permitieron al estudiante relacionarse con el
tema y aclarar las dudas que tuvieran.
El segundo momento, se complementó la información anterior con un texto nuevo y
se siguió ejercitando al estudiante, en cuanto al análisis de textos, tablas, dibujos y
formulas, aquí se buscaba desarrollar la competencia contrastativa en los
estudiantes, propiciando que relacionaran un problema realizado anteriormente con
una nueva información, y así pudieran comprender el problema y solucionarlo.
En el tercer momento se le planteo al estudiante una situación general, en la cual
aplicaría todas las competencias adquiridas anteriormente. El docente con el fin de
que el educando pudiera resolver dicha situación, realizo una serie de preguntas
orientadoras que le ayudarían al dicente a solucionar o dar respuesta a la situación
planteada inicialmente.
Momento 1: como se dijo anteriormente, el primer momento consistió en que los
estudiantes desarrollaran las competencia interpretativas de enunciados y creativa
Rua y Bedoya,( 2010). Buscando indagar por el grado de afianzamiento que habían
adquirido los estudiantes frente a la solución de problemas, ya que venían
haciéndolo en las actividades anteriores.
Aquí los estudiantes tenían que hacer una lectura crítica y analítica del texto que se
le daba inicialmente, donde debían interpretar cada uno de los cuadros y fórmulas
que se encontraban en este, ya que si no lo hacían, cuando se les plantearan las
situaciones, tenían que volver a leer el texto, porque las respuestas de dichas
preguntas dependían de este, luego, el docente realizo una serie de preguntas
orientadoras que se resolvían directamente con el texto. De los 20 estudiantes que
se les aplico el cuestionario, 14 de ellos respondieron satisfactoriamente (Ver anexo
C) Para poder solucionar las preguntas los estudiantes debían comparar la
información de los cuadros, analizar las formulas, ya que las preguntas se podían
resolver mediante sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, estas dos últimas
enmarcadas a los números enteros. Cabe decir, que este primer momento tenía
como finalidad que los estudiantes se apropiaran de los procedimientos adecuados
para resolver un problema y los demás momentos que seguirían en esta actividad.
52
Momento 2: después de que los estudiantes realizaron la actividad anterior, el
docente planteo nuevas preguntas, incluyéndole al texto anterior una nueva
información (Ver anexo D) Obteniendo como resultado que 17 de los 20 estudiantes
que se les aplico este nuevo cuestionario, respondieron satisfactoriamente, por lo
cual se puede constatar que los educandos en su gran mayoría resuelven una
situación problema, desarrollando así todas las competencias mencionadas
anteriormente y la contrastativa, Rua y Bedoya, (2010), es decir, que son capaces de
relacionar una información dada con una nueva y adaptarlas al contexto que la
requiere.
Momento 3: aquí se les planteo a los estudiantes una situación problema de mayor
complejidad que las anteriores (ver anexo E) en donde se evidenciaría el grado de
comprensión que habían adquirido los estudiantes para encontrarle respuesta a un
problema. El docente, le genero a los educandos una serie de preguntas
orientadoras menos complejas que la planteada inicialmente, como lo sugiere Polya,
(1965) en donde los estudiantes debían ir resolviendo cada una de las preguntas
para encontrarle solución a la situación principal, aquí los estudiantes iban
entendiendo el problema y buscando estrategias con las cuales podían llegar a la
solución. Se pudo observar que los estudiantes presentaban inicialmente dificultad
para resolver dicha situación, pero como ya habían trabajado situaciones similares,
las comparaban y se daban cuenta que tenían que realizar los mismos
procedimientos en los planteamientos nuevos, además, trabajaron
cooperativamente.
Cabe decir, que aunque los educandos tenían idea de la forma de cómo resolver el
problema, solo 9 estudiantes pudieron encontrar la solución a las preguntas que se
planteaban en la situación general.
Aunque algunos estudiantes no pudieron resolver completamente las situaciones
planteadas, se puede decir, que este tipo de actividades, estructuradas por
momentos, ayudan a los alumnos a desarrollar cada una de sus competencias, ya
que esto se pudo evidenciar en los estudiantes en cuanto a su adquisición del
aprendizaje en la resolución de problemas y el sentido de cooperación que estos
tuvieron con los compañeros que no entendían los planteamientos realizados.
53
5. Evaluación final
Para la evaluación final se utilizó el mismo instrumento aplicado en la prueba
diagnóstica tanto al grupo muestra como al grupo control, (ver anexo F) por ende, se
tuvieron en cuenta todas las competencia evaluadas, esto, con el fin de comparar y
constatar el aprendizaje adquirido por los estudiantes al principio y final de la
aplicación de la propuesta. A continuación se presentan los resultados mediante un
paralelo entre el diagnóstico y la evaluación final.
5.1. Grupo control
La evaluación final fue aplicada a 29 estudiantes, la cual no arrojo resultados muy
satisfactorios (diagrama y tabla 5-1), ya que al inicio de la propuesta en la aplicación
de la prueba diagnóstica solo un 15,5% en promedio de los estudiantes resolvían
correctamente situaciones problemas mediante divisiones con números enteros y en
la evaluación final solo un 7,0% de los estudiante resolvieron correctamente las
situaciones problemas, que eran resueltas mediante divisiones con números enteros,
es decir que se tuvo una disminución del 7,5% de estudiantes que resolvían
correctamente estos problemas, esto se puede evidenciar en las preguntas 6 y 7.
(Ver anexo G). También se pudo notar que anteriormente solo un 17,2% de los
estudiantes era capaz de expresar numéricamente una situación problema y
viceversa, mientras que en la evaluación final un 34,5% de los estudiantes fue capaz
de responder correctamente esta pregunta, mostrando un aumento, pero no muy
significativo, ya que solo un 17,3% fue lo que aumento. Esto se puede constatar en
la pregunta 1.
En cuanto a la representación de números enteros en la recta numérica y el
ordenamiento de estos ya sean de menor a mayor o viceversa, se observó que al
aplicar la evaluación final 81,0% en promedio presentó dificultad para contestar
estas preguntas, lo cual se puede evidenciar en las preguntas 2 y 3. Mientras que en
54
la prueba diagnóstica un 82,8% en promedio no respondió o contesto
incorrectamente dichas preguntas, mostrando así una disminución de 1,8% de
estudiantes que contestan incorrectamente.
Un 13,7% de los estudiantes en promedio, demostró saber realizar sumas y restas
en el conjunto de los números enteros, además de saber solucionar situaciones
problemas a partir de las operaciones anteriores, viéndose reflejado en las preguntas
4 y 5, lo cual evidencia una leve mejoría en estas operaciones, ya que inicialmente
un 12,0% de los educandos en promedio sabían resolver correctamente lo
planteado. De igual forma, un 17,5% de los estudiantes reconocen la regla de
signos, esto se puede evidenciar en las preguntas 8 y 9, mientras que inicialmente
un 20,6% de los alumnos en promedio contestaba correctamente, mostrando así una
disminución del 3,2% de estudiantes que manejaban este tema.
Los resultados de la prueba diagnóstica, comparados con los de la evaluación
muestran una disminución del 0,74% en estudiantes que contestaban correctamente,
evidenciando así dificultades en la apropiación del conjunto de los números enteros y
sus operaciones, específicamente la división.
Diagrama 5-1: Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo control.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9
Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo control
Prueba Diagnóstica correcto
Prueba Diagnósticaincorrecto
Prueba Diagnóstica noresponde
Evaluación Final correcto
Evaluación Final incorrecto
55
Tabla 5-1: Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo control.
5.2. Grupo muestra
La evaluación final fue aplicada a 20 estudiantes, la cual arrojó resultados muy
satisfactorios (Ver diagrama 5-2), ya que al inicio de la propuesta solo un 22,5% en
promedio de los estudiantes resolvían correctamente situaciones problemas
mediante divisiones con números enteros mientras que los resultados después de la
aplicación de la propuesta arrojaron que el 77.5% de los estudiante aprendieron a
resolver situaciones problemas, que eran resueltas mediante divisiones con números
enteros, esto se puede evidenciar en las preguntas 6 y 7. (Ver anexo H).
También se pudo notar que anteriormente solo un 15 % de los estudiantes era capaz
de expresar numéricamente una situación problema y viceversa, mientras que
después de aplicar la propuesta, este porcentaje incremento significativamente, ya
que un 65.0% de los estudiantes respondió correctamente, obteniendo un aumento
satisfactorio del 50.0%, esto se puede constatar en la pregunta 1.
En cuanto a la representación de números enteros en la recta numérica y el
ordenamiento de estos ya sean de menor a mayor o viceversa, se observó que
después de aplicar la propuesta solo un 37.5% en promedio presento dificultad para
contestar estas preguntas, lo cual se puede evidenciar en las preguntas 2 y 3.
Mientras que antes de aplicar la propuesta se observaba que el 82.5% en promedio
no respondió o contesto incorrectamente dichas preguntas.
Un 65 % de los estudiantes en promedio, demostró saber realizar sumas y restas en
el conjunto de los números enteros, además de saber solucionar situaciones
Evaluación final Prueba diagnostica
Preguntas Correcto Incorrecto No responde Correcto Incorrecto No responde Total
P1 10 13 6 5 15 9 29
P2 5 16 8 3 18 8 29
P3 6 13 10 7 16 6 29
P4 5 9 15 0 12 17 29
P5 3 14 12 7 15 7 29
P6 0 11 18 2 10 17 29
P7 2 4 23 7 14 8 29
P8 6 4 19 5 16 8 29
P9 4 5 20 7 12 10 29
56
problemas a partir de las operaciones anteriores, mostrando esto en las preguntas 4
y 5, lo cual evidencia una mejoría en estas operaciones, ya que inicialmente estos
presentaban dificultad para realizar esto, debido a que solo un 22.5% de los
educandos sabia resolver correctamente lo planteado.
Un 65.0% de los estudiantes reconocen la regla de signos, esto se puede evidenciar
en las preguntas 8 y 9, ya que más de la mitad de los estudiantes contestaron
correctamente dichas preguntas, caso contrario sucedió inicialmente donde el 80.0%
de los estudiantes en promedio contesto incorrecto dichas preguntas.
Los resultados de la prueba diagnóstica, comparados con los de la evaluación muestran un aumento del 67.0% en resultados satisfactorios, evidenciando así una apropiación del conjunto de los números enteros y sus operaciones, específicamente la división por parte de los estudiantes, ya que inicialmente se presentaban muchas dificultades en este conjunto.
Diagrama 5-2: Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo muestra
Evaluación final Prueba diagnostica
Preguntas Correcto Incorrecto No responde Correcto Incorrecto No responde Total
P1 13 5 2 3 12 5 20
P2 15 5 0 7 11 2 20
P3 10 7 3 4 14 2 20
P4 12 7 1 3 16 1 20
P5 14 6 0 6 9 5 20
P6 12 8 0 3 4 13 20
P7 13 7 0 5 10 5 20
P8 9 10 1 4 7 9 20
P9 17 2 1 4 13 3 20
Tabla 5-2: Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo muestra
0
20
40
60
80
100
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9
Paralelo entre prueba diagnóstica y evaluación final del grupo muestra
Prueba Diagnósticacorrecto
Prueba Diagnósticaincorrecto
Prueba Diagnóstica noresponde
Evaluación Final correcto
57
6. Conclusiones y Recomendaciones
6.1. Conclusiones
En el diagnostico se observó que los estudiantes no deducían la
operación que debían realizar al hacer un problema de división con
números enteros, y cuando lograban deducir la operación, no realizaban
los procesos adecuados, incurriendo en errores relacionados a la resta y
la multiplicación implícitas en la división, con la aplicación de esta
propuesta, las metodologías y estrategias utilizadas, se logró que el
67,0% de los estudiantes que participaron en el proyecto fortalecieran el
aprendizaje de la operación división del conjunto de números enteros
mediante la resolución y planteamiento de problemas, mediados por las
tics.
Se pudo evidenciar que los estudiantes desarrollan la competencia de
resolución de problemas en el proceso de enseñanza de la operación
división en el conjunto de los números enteros con mayor facilidad, si
utilizan materiales manipulables y estos a su vez son articulados con
problemas de su cotidianidad; mientras que con las clases tradicionales al
estudiante le es más difícil desarrollar esta competencia.
Inicialmente, se observó que los educandos no relacionaban el problema
con el contexto que les rodeaba, es decir, con situaciones que se les
presentaban en su cotidianidad, limitándose a resolver el problema
únicamente por la ruta que sugería el docente, sin buscar otras vías de
solución; al finalizar la aplicación de esta propuesta, se pudo evidenciar a
través de las diferentes actividades con objetos manipulables, como los
educandos resolvían los problemas de división con números enteros
utilizando su entorno y haciendo representaciones con situaciones de su
cotidianidad.
En esta propuesta se evidenció que al aplicar el método heurístico de
Polya, (1965) el educando se motivaba a buscar soluciones adecuadas
frente a una situación planteada, ya que para ellos cada paso de dicho
método se convertía en un reto. En la ejecución de esta propuesta se
58
evidencio que los estudiantes finalmente no solo buscaban un resultado,
sino que se interesaban por verificar cada proceso, lo cual les facilitaba la
elaboración de estrategias para la resolución de problemas y por
consiguiente, la apropiación del algoritmo de la división en el conjunto de
los números enteros.
Mediante la utilización de las TIC (plataforma Moodle) se analizaron los
saberes previos de los estudiantes (diagnóstico) y además se
fortalecieron los procesos de aprendizaje de operaciones como suma,
resta y multiplicación mediante sus contenidos didácticos como videos,
juegos, lecturas y evaluaciones; las cuales tuvieron excelentes resultados,
ya que los estudiantes se ejercitaron, buscaron posibles soluciones,
propusieron ideas frente a los problemas planteados, los solucionaron y
confrontaron sus respuestas, ello, aprueba el modelo de enseñanza
adoptado en el presente trabajo.
Las actividades realizadas en esta propuesta, al ser lúdico-recreativas,
motivaron a los estudiantes a desarrollar cada uno de los problemas
planteados durante la ejecución del presente proyecto, además buena
actitud y disponibilidad en los procesos.
Los contenidos como videos presentados durante la aplicación de la
propuesta fueron acertados ya que se presentaron de una forma amena y
recreativa a diferencia de las clases que suelen ser rutinarias y teóricas.
Esta propuesta metodológica permitió que los estudiantes fortalecieran la
competencia de resolución de problemas y a su vez que fueran
autónomos, reflexivos y analíticos, adquiriendo así aprendizajes
significativos.
59
6.2. RECOMENDACIONES
Para facilitar la comprensión de problemas matemáticos, es indispensable
que haya un eje transversalizador entre las áreas de matemáticas y español,
ya que para resolver una situación problema, es necesario primero
comprender el enunciado para luego buscar una posible solución.
En futuros trabajos se recomienda no solo involucrar a los estudiantes sino
también a los docentes y directivos en la ejecución del proyecto, con el fin, de
mejorar los procesos de enseñanza - aprendizaje y a su vez darles
continuidad en los planteles educativos.
Los resultados obtenidos en la presente propuesta, demuestran que es
recomendable enseñar el algoritmo de la operación división del conjunto de
números enteros a los estudiantes de grado séptimo (incluso a otros cursos)
utilizando diferentes estrategias pedagógicas como el método heurístico de
Polya, (1965) y mediante la utilización de material manipulable ya que de esta
forma se apropian de dicho algoritmo de manera fácil y recreativa.
Para futuros proyectos se recomienda emplear el método heurístico de Polya,
(1965) en los diferentes grados de escolaridad, pues, es importante que los
educandos se familiaricen desde los primeros años de estudio con este
método, ya que ello mejorará su desempeño en la resolución de problemas
matemáticos.
En el presente proyecto se realizaron diferentes actividades recreativas sobre
la operación división de números enteros, las cuales les facilitaron a los
estudiantes la comprensión de los contenidos y el desarrollo de la
competencia de resolución de problemas, por ello, se recomienda que las
clases sean mucho más dinámicas y contextualizadas a las vivencias de los
educandos.
Las TIC son una herramienta que al igual que las actividades recreativas,
motivan los estudiantes a desarrollar los contenidos de una clase, por lo
tanto, se recomienda para futuros proyectos hacer uso de dichas
herramientas ya que no solo facilita la labor docente sino que también
desarrolla el pensamiento matemático.
60
Es fundamental que los docentes sean capacitados en el uso de las nuevas
tecnologías, con el fin de suprimir las técnicas tradicionales y lograr que
exista un interés en los estudiantes en el proceso de aprendizaje.
Promover en las instituciones educativas el juego como recurso didáctico
dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, con el fin, de evitar la
predisposición que manifiestan tener muchos educandos frente al área de las
matemáticas.
Es de gran importancia que en otras propuestas, se tengan en cuenta los
saberes previos (subsunsores) de los educandos, y que a partir de allí el
docente establezca un plan para construir los nuevos conocimientos, ya que
de esta forma al estudiante le será menos complicado interactuar con estos.
61
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ANEXOS A
64
65
ANEXO B
66
ANEXO C
67
68
ANEXO D
69
70
ANEXO E.
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72
ANEXO F.
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74
ANEXO G.
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76
ANEXO H.
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