diseÑos factoriales ingeniería industrial. estadística iii henry lamos díaz

DISEÑOS FACTORIALES

Ingeniería Industrial.Estadística IIIHenry Lamos Díaz

EJEMPLOUn ingeniero diseña una batería para usar en un motor de cierto producto. Para ello dispone de tres tipos diferentes de material. Como considera que la temperatura es un factor influyente en la duración de la batería, decide diseñar el experimento combinando los tres materiales con tres temperaturas concretas.

• ¿Cómo llevaría a cabo el experimento?• Realice un diseño para el experimento• Defina la unidad experimental• ¿Cuántas unidades experimentales tomaría?

Diseño Factorial 2

EJEMPLO¿ Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería?

• ¿ Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura? O sea, ¿Hay posibilidad de un material sea más recomendado a una temperatura en concreto y no lo sea a otra distinta?

Diseño Factorial 3

DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

4

Duración en horas de la

batería

Temperatura

Tipo de Material

Experimento

¿QUÉ ES?Es el estudio de los efectos de dos o más factores de interés.Para ello en cada ensayo o réplica completa se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores deseados.

Diseño Factorial 5

Ejemplo. Si el factor A tiene a niveles, el factor B tiene b niveles y el factor C tiene c niveles, cada réplica contiene todas las abc combinaciones de los tratamientos.

VENTAJAS DE DISEÑOS FACTORIALES

Son más eficientes que estudiar cada factor solo.

Son necesarios cuando pueden haber

interacciones presentes a fin de evitar

conclusiones incorrectas.

Permiten conocer las estimaciones de una

factor con varios niveles de factores restantes.

Diseño Factorial 6

DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES

Se tiene dos factores A y B, el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles. Cada réplica n contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. En total se tienen abn observaciones o corridas.

Diseño Factorial 7

Y111, Y112, …, Y11n

Y121, Y122, …, Y12n

… Y1b1, Y1b2, …, Y1bn

Y211, Y212, …, Y21n

Y221, Y222, …, Y22n

… Y2b1, Y2b2, …, Y2bn

Ya11, Ya12, …, Ya1n

Ya21, Ya22, …, Ya2n

… Yab1, Yab2, …, Yabn

Factor B 1 2 … b

1

2

.

.

a

Fact

or A

Diseño Factorial 8

jj

ii

a

jij

b

j

a

jijj

b

jiji

ab

ab

.

.

11

1.

1.

,1

,1

,1

NOTACIONES

8


Diseño Factorial 9

9


µ es la gran media de la población, que es el promedio de todas las medias de los tratamientos

Se llama el i-ésimo efecto del renglón, el valor de indica el grado con el cual el i-ésimo nivel del factor A tiende a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población.

Se llama el j-ésimo efecto de columna o factor B, indica el grado con el cual el j-ésimo nivel de la columna tiene a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población.

Diseño Factorial 10

jiij

jiijij

jj

ii

jiijjiij

a

jij

b

jab

..

.

.

....

11

)()(

)()()(

,1

NOTACIONES

10


Interacción: Cuando el efecto de un factor depende del nivel del otro factor


11


Se llama interacción.

El efecto de un nivel de factor A (o B) puede depender del nivel del factor B (o A) que esta apareado con el factor A. Los términos de interacción miden el grado con el que este ultimo ocurre.Por ejemplo, suponga que el factor 1 del factor A tiende a producir un resultado grande cuando se aparea con el factor B de nivel 1, pero un resultado pequeño cuando se aparea con una columna de nivel 2. En este caso sería positivo y sería negativa.

Dos conceptos importantes

EFECTO PRINCIPAL

Cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de un factor de

interés primario.


Modelos

• Modelo de los Efectos

Donde µ es el efecto promedio de la media global, τi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A de los renglones, βj es el efecto del nivel j-ésimo del factor B de las columnas, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre el factor A en el nivel i y el factor B en el nivel j, y ɛijk es un componente del error aleatorio.


ijkijijijky

• Modelo de las Medias

Donde la media de la celda ij-ésima es

• Modelo de RegresiónÚtiles cuando uno o más de los factores del diseño son cuantitativos.


ijijij

ijkijijky

Hipótesis• Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los

renglones o factor A.Ho: τ1 = τ2 = … = τa = 0H1: al menos una τi ≠ 0

• Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas o factor B.

Ho: β1 = β2 = … = βb = 0H1: al menos una βj ≠ 0

• Acerca de la interacción entre las columnas y los renglones.H0: (τβ)ij = 0

H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0


ANÁLISIS DEL MODELO

Se definen:


Observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A

Observaciones bajo el nivel j-ésimo del factor B

Observaciones de la celda ij-ésima

De todas las observaciones

Suma de cuadrados


La suma de cuadrados total corregida puede escribirse como

Se tiene finalmente

Los Grados de libertad asociados son


2 2 2... .. ... . . ...

1 1 1 1 1

2 2. .. . . ... .

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b n a b

ijk i ji j k i j

a b a b n

ij i j ijk iji j i j k

y y bn y y an y y

n y y y y y y

Efecto Grados de Libertad

A a-1B b-1

Interacción AB (a-1)(b-1)Error ab(n-1)Total abn-1

Cuadrados MediosCada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio, los valores esperados de los cuadrados medios son


Si son verdaderas las hipótesis nulas de que no hay efectos en los tratamientos de los renglones, ni de los tratamientos de las columnas, ni interacción, entonces los valores esperados de los Cuadrados Medios son todos estimaciones de la varianza.

ANOVA


Fuente de variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado Medio F0

Tratamientos A SSA a-1 SSA

a-1MSA

MSE

Tratamientos B SSB b-1 SSB

b-1MSB

MSE

Interacción SSAB (a-1)(b-1) SSAB(a-1)(b-1)

MSAB

MSE

Error SSE ab(n-1) SSEab(n-1)

Total SST abn-1

Cada Hipótesis Nula deberá rechazarse si:

FFo

Cálculos Manuales


Tipo de material

Temperatura

15 70 125

1 130, 155, 74, 180

34, 40, 80, 75

20, 70, 82, 58

2 150, 188, 159,126

136, 122, 106, 115

25, 70, 58, 45

3 138. 110, 168, 160

174, 120, 150, 139

96, 104, 82, 60


Tipo de material

Temperatura

15 70 125

1 539/4 229/4 230/4 998/12

2 623/4 479/4 198/4 1300/12

3 576/4 583/4 342/4 1501/12

1738/12 1291/12 770/12 3799/36

Se obtienen los totales y los promedios por celdas, renglones, columnas y Total


Tipo de material

Temperatura

15 70 125

1 12.28 -27-97 15.69 -22.36

2 8.11 9.36 -17.47 2.8

3 -20.38 18.61 1.78 19.55

39.3 2.06 -41.36

Efectos

Gráfica tipo de material-temperatura


Vida

Pro

med

io

Temperatura

Se observa que en promedio el materia C tiene mayor duración. El material A parece ser inadecuado para la batería.

Gráfica tipo de material-temperatura


Anova



Suma de Cuadrados

Grados de

LibertadCuadrado

Medio F0

Tipos de Material 10,683.72 2 5,341.86 7.91

Temperatura 39,118.72 2 19,559.36 28.97

Interacción 9,613.78 4 2,403.44 3.56

Error 18,230.75 27 675.21

Total 77,646.97 35

Interacción entre las columnas y los renglones.H0: (τβ)ij = 0

H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS


Los parámetros del modelo se obtienen mediante:

........

.....

.....

...

ˆ

ˆ

ˆ

yyyy

yy

yy

y

jiijij

ii

jj

Conclusiones• Tanto el material como la temperatura son factores

determinantes para la duración de las baterías. Además, por haber interacción, puede ocurrir que un material sea más recomendado a una temperatura, pero no lo sea a otra distinta.

• A menor temperatura mayor duración de la batería, independiente del material utilizado.

• Al variar la temperatura de 15 a 70, la duración se mantiene con el material 3, y disminuye con los materiales 1 y 2.


• Si comparamos la temperatura de 70 y la de 125, la duración disminuye con los materiales 2 y 3, y apenas cambia con el material 1.

• Si lo que deseamos es que al aumentar la temperatura la duración no disminuya excesivamente, la mejor opción es el material 3.

• Al haber interacción, tiene sentido querer comparar el tipo de material a una temperatura en concreto; por ejemplo a 70.


VERIFICACIÓN DEL MODELOLa violación de supuestos básicos y la adecuación del modelo se investigan mediante los residuales.

Se hace uso de gráficas para analizar. Si el modelo es adecuado, los residuales deben estar sin estructura; es decir, no deben haber patrones obvios.


Residuales del modelo.ijijkijk yye

GráficasGráfica de Probabilidad

Normal

• Se verifica la normalidad.

• No debe presentar formas curvas, debe ser una recta.

• Se detectan puntos atípicos.

Gráfica de los Residuales contra los niveles del

factor deseado (A o B)

• Si hay alguna dispersión mayor en alguno de los tratamientos se concluye que el nivel del factor produce lecturas más erráticas que otras.

Gráfica de los Residuales contra valores ajustados

• Si esta gráfica presenta algún patrón o forma particular, indica que existe relación .


ijke

Q ijke

Niveles del Factor

ijke

Valores ajustadosijkY

Gráfica de probabilidad Normal


% d

e Pr

obab

ilida

d no

rmal

Residuales

Residuales contra Factores


Tipo de Material Temperatura Gráfica de los

residuales contra el tipo de material para el ejemplo.

Gráfica de los residuales contra la temperatura para el

ejemplo.

Estadística III.

Residuales contra


35DISEÑO Y ANALISIS DE

EXPERIMENTOS

En la práctica algunas variables de respuesta no siguen una distribución normal sino que se distribuyen, por ejemplo, Poisson, binomial o Gamma, etc. En algunas de estas distribuciones la media está relacionada con la desviación estándar, y, al cambiar la media de un tratamiento a otro, con ella cambia la variabilidad de la respuesta.

Soluciones: 1. Utilizar métodos de análisis no paramétricos. Investigar2. Hacer el análisis mediante modelos lineales generalizados (GML)3. Transformar la variable respuesta

36DISEÑO Y ANALISIS DE

EXPERIMENTOS

predichosvs. residuos de

gráfica la en ver puede se alidadproporcion de grado El

fuerte. más cióntransforma una re

requie se media, la de potencia mayor a respecto con

alidadporporcion de relación la da se que medidaA

al.porporcion es" significa símbolo el tabla la En

poisson

esproporcion son y

2

2

2

2

2

1'4

2/1'3

'2

'

1'

)]([

)]([

)ln()]([

)(

)(sin)(1)((

yyyE

yyyE

yyyE

yyyE

yyyEyE

INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

Diseño y Análisis de experimentos 37

Regresión Lineal.

Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y optimizar.

Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio.

Las conclusiones pueden obtenerse mediante:

Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis


j

),1n(ab,aji bn

MSEqˆˆ

i

sdiferencia las de verdadero el contengan deTukey

confianza de intervalos los que de )%-100(1 del

confianza una tiene Se

de nivel un con rechaza se

nula hipótesis La .

i 0:Hbn

MSEq|ˆˆ|

j0

),1n(ab,aji

Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis


j

),1n(ab,bji an

MSEqˆˆ

i

sdiferencia las de verdadero el contengan deTukey

confianza de intervalos los que de )%-100(1 del

confianza una tiene Se

COMPARACIONES MULTIPLES

PRUEBA DE TUKEY. SE FIJA EL FACTOR B EN UN NIVEL ESPECIFICO (NIVEL 2, T=70)

• Cuando la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de los factores (A o B) pueden ser oscurecidas por la interacción AB.

• Entonces, se fija un nivel del factor B y se aplica, por ejemplo, la prueba de Tukey a las medias del factor A con ese nivel.

• Si la interacción es significativa se puede comparar las medias de todas las ab celdas para determinar cuáles difieren significativamente.


Ejercicio en clase


Tipo de cristal Tipo de fosforo 1 2 3

1280 300 290290 310 285285 295 290

2230 260 220235 240 225240 235 230

En un artículo de Industrias Quality Control se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal de fosforo sobre la brillantez de un cinescopio. Los datos son los siguientes:

Ejericicio continuación


¿Existe algún indicio de que alguno de los dos factores influya en la brillantez? Utilizar α=0.05 ¿Los dos factores interactúan? Utilizar α=0.05Analizar los residuales de este experimento

Ejercicio I


Los datos recogidos en la siguiente tabla son los tiempos de supervivencia, en horas, de unos animales a los que se les suministra al azar tres venenos y cuatro antídotos (o tratamientos). Se pretende estudiar qué antídoto es el adecuado para cada veneno.

Veneno I II III IVA1 3.1 4.5

4.6 4.38.2 118.8 7.2

4.3 4.56.3 7.6

4.5 7.16.6 6.2

A2 3.6 2.94 2.3

9.2 6.14.9 12.4

4.4 3.53.1 4

5.6 10.27.1 3.8

A3 2.2 2.11.8 2.3

3 3.73.8 2.9

2.3 2.52.4 2.2

3 3.63.1 3.3

Antidoto

Debe responde


Plantear el modelo adecuado. Definir la suma de cuadrado del efecto del veneno en el antídoto I. Determinar la distribución de probabilidad . ¿Qué valor tiene la variable aleatoria en los datos? ¿Son los venenos igual de peligrosos?¿Los antídotos son igual de efectivos?La efectividad de los antídotos, ¿es la misma para todos los venenos? Estudiar, utilizando el método de diferencias significativas mínimas (LSD), qué antídoto(s) es el más efectivo

• Modelo de las Medias

Donde la media de la celda ijk-ésima es


ijkjkikijkjiijk

ijklijkijkly

Modelo estadístico para tres factores

• Una interacción de dos factores típica es

La interacción de tres factores se presenta cuando las interacciones del efecto principal y dos factores no logran explicar la variación en las desviaciones de las medias de las celdas

La interacción de tres factores es la diferencia entre la desviación de la media de celdas y la suma de los efectos principales y los efectos la interacción de dos factores


Modelo estadístico para tres factores

kj...jk.jk )(

...ijk

Continuación


jkikijkji...ijkijk

La interacción significativa de los tres factores implica que la interacción dos de ellos nos es constante para los niveles del tercer factor

Si no hay Interacción…

Entonces el Cuadrado Medio de los residuales es un estimador insesgado de la varianza y los efectos principales se prueba con:


0 ijjiijY

Rsidual

B

Rsidual

A

MS

MS

MS

MS


Si llega a existir un patrón en la gráfica se puede llegar a concluir que el supuesto sobre no interacción entre los factores es falso.


.yyy

yyyy

ijkijk.ij

....j...iijk

ajustado valor el contra ajustado

valor el menos celdas las de promedios los graficar Al

calculan se ajustado valores Los

Continuar con el ejemplo de la temperatura y el tipo de material

asumiendo que no existe interacción


UNA OBSERVACIÓN POR CELDA

Cuando se encuentran experimentos con una sola réplica.En este caso la varianza del error no se puede estimar puesto que el efecto de la interacción de los dos factores y el error experimental no pueden separarse de alguna manera obvia. Por ello no se cuenta con pruebas para los efectos principales a menos que el efecto de la interacción sea cero.




0 ijjiijY

AB

B

sidual

B

j

AB

A

sidual

A

i

MS

MS

MS

MS

H

MS

MS

MS

MS

H

0:

.

0:

Re

0

Re

0

Para probar si hay InteracciónTukey desarrolló una prueba


jiij

BA

a

i

b

jBAjiij

N SSabSS

ab

YSSSSYYYY

SS

2

1 1

2..

....

Con 1 Grado de Libertad

NsidualE SSSSSS ReCon (a-1)(b-1)-1 Grados de Libertad

La Hipótesis Nula de que no hay ninguna interacción deberá rechazarse si

1)1)(1(;1; bao FF

1)1)(1/(

baSS

SSF

E

No


Las impurezas presentes en un producto químico son afectados por dos factores, la presión y la temperatura.

Temperatur

a

Presión

25 30 35 40 45

100 5 4 6 3 5

125 3 1 4 2 3

150 1 1 3 1 2

2. DISEÑO FACTORIAL GENERAL

En este caso hay a Niveles del Factor A, b Niveles del Factor B y c Niveles del Factor C.Entonces habrá abcn observaciones si se hacen n réplicas del experimento completo.

Modelo


ANOVA



Suma de Cuadrados

Grados de Libertad Cuadrado Medio Fₒ

A SSA a-1 MSAMSAMSE

B SSB b-1 MSBMSBMSE

C SSC c-1 MSCMSCMSE

AB SSAB (a-1)(b-1) MSABMSABMSE

AC SSAC (a-1)(c-1) MSACMSACMSE

BC SSBC (b-1)(c-1) MSBCMSACMSE

ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABCMSABC

MSE

Error SSE abc(n-1) MSE

Total SST abcn-1

Cálculos Manuales


EJEMPLOUna empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. El ingeniero de proceso puede controlar 3 variables: El porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de línea (C). Se decide trabajar 3 niveles para el factor A, y 2 niveles para los factores B y C.Se muestran los resultados obtenidos que representan la desviación promedio de la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.


Datos


Porcentaje de carbonatación

(A)

Presión de operación (B)

Yi…

25 psi 30 psi

Rapidez de línea (C) Rapidez de línea (C)

200 250 200 250

10-3

-4-1 -1

-1 -1

12 -4

-1 0 0 1

120

12

32

56

11 201 1 3 5

145

97

137

1610

21 594 6 9 11

Totales B x C y.jk. 6 15 20 34 75=Y….

Y.j.. 21 54

Datos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo para la construcción del ANOVA


TOTALES A X B

Yij..

B

A 25 30

10 -5 1

12 4 16

14 22 37

TOTALES A X C

Yi.K.

C

A 200 250

10 -5 1

12 6 14

14 25 34

Anova



Suma de Cuadrados

Grados de Libertad Cuadrado Medio F0

A 252.750 2 126.375 178.412

B 45.375 1 45.375 64.059

C 22.042 1 22.042 31.118

AB 5.250 2 2.625 3.706

AC 0.583 2 0.292 0.412

BC 1.042 1 1.042 1.471

ABC 1.083 2 0.542 0.765

Error 8.500 12 0.708

Total 336.625 23

AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA


Es útil ajustar una curva de respuesta a los niveles de un factor cuantitativo con el propósito de contar con una ecuación que relacione la repuesta con el factor.

La ecuación se usa para hacer interpolaciones.

Se usan métodos de regresión lineal para ajustar estos modelos a los datos experimentales


2210 xxY


Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad

Intercepción -39,9885714 9,78467045 -4,0868593 0,00048799

Peso porcentual 4,59257143 0,82771391 5,54850094 1,4115E-05Peso porcentualcuadrático -0,08857143 0,0164396 -5,38768723 2,0715E-05

Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible.

Modelo de regresión lineal

• Para probar la capacidad de un determinado polímero para eliminar desechos tóxicos del agua, se hicieron experimentos a tres temperaturas (x=1,2,3) diferentes. Los datos siguientes indican los porcentajes de impurezas eliminadas (y) por el polímero en 21 ensayos independientes.

Estadística III. H Lamos 66


A baja temperatura A temperatura media A Alta temperatura42 36 3341 35 4437 32 4029 38 3635 39 4440 42 3732 34 45

contrario caso en 0

i otratamient del es si

otratamient del es si

ostratamient de número el es donde

i

i

i

ii

1a

1i0i

y1

ay1

x

a

xy


a

..

1a,..2,1i,

a21

0

ii


]2[]1[]2[]1[]2[]1[ 28

276543

2210 BABAABABBBAAY


Tipo de material

1 2 3

B[1] 1 0 -1

B[2] 0 1 -1

Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible.

Salida


Análisis de regresión: Vida vs. x1. x21. ... La ecuación de regresión esVida = 108 - 40,3 x1 - 50,3 x21 + 12,2 x22 - 3,08 x1^2 + 1,71 x1x21 - 12,8 x1x22 + 42,0 x1^2x21 - 14,0 x1^2x22 Predictor Coef SE Coef T PConstante 107,583 7,501 14,34 0,000x1 -40,333 5,304 -7,60 0,000x21 -50,33 10,61 -4,74 0,000x22 12,17 10,61 1,15 0,261x1^2 -3,083 9,187 -0,34 0,740x1x21 1,708 7,501 0,23 0,822x1x22 -12,792 7,501 -1,71 0,100x1^2x21 41,96 12,99 3,23 0,003x1^2x22 -14,04 12,99 -1,08 0,289 S = 25,9849 R-cuad. = 76,5% R-cuad.(ajustado) = 69,6%

Salida


Análisis de varianza Fuente GL SC MC F PRegresión 8 59416,2 7427,0 11,00 0,000Error residual 27 18230,7 675,2Total 35 77647,0

Salida


Fuente GL SC Sec.x1 1 39042,7x21 1 10542,0x22 1 141,7x1^2 1 76,1X1x21 1 351,6X1x22 1 1963,5x1^2x21 1 6510,0x1^2x22 1 788,7

BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS

RELACIONADOS

1. BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS

En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados.

• Factor perturbador: Factor de diseño que probablemente tenga un efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe interés.

74Diseño por bloques

Desconocido y no controlable

Conocido

pero no controlable

Y se puede controlar

Se controla con aleatorización.

Deben analizarse.

Se controla con BLOQUES

El diseño por bloques completos y aleatorizados es un diseño en el que las unidades (unidades de experimentación) a las que se aplican los tratamientos son subdivididas en grupos homogéneos llamados bloques, de tal manera que el número de unidades de experimentación en un bloque es igual al número (o a un múltiplo del mismo) de tratamientos en estudio.


¿QUÉ ES?

OBJETIVOHacer que el error

experimental sea tan pequeño como sea posible.

Y reducir el error residual del experimento al eliminar

la variabilidadPara ello el experimentador prueba cada nivel del factor en cada uno de los ejemplares de prueba.


UTILIDIDAD DE BLOQUEAR

Unidades de maquinaria.

Lotes de materia prima, personas, tiempo.

Combinaciones de factores no

controlables.

Probar la robustez de la variable deseada frente

a las condiciones que no se pueden controlar.

Los bloques o ejemplares de prueba forman una unidad experimental más homogénea.

ANÁLISIS ESTADÍSTICOBl

oque

• Y11• Y21• …• Ya1

Bloq

ue • Y12

• Y22• …• Ya2

Bloq

ue • Y1B

• Y2B• …• YaB


Hay una observación por tratamiento en cada bloque, el orden en que se corren los tratamientos en los bloques se determina al azar.

Modelo para los datosModelo de los Efectos

1,2,...,

1, 2,...,ij i j ij

i ay

j b

Supóngase que hay a tratamientos y b bloques


ij

j

i

Media global.

Efecto del tratamiento i-ésimo.

Efecto del bloque j-ésimo.

Término del error.

0 011

b

jj

a

ii

HipótesisEl interés se encuentra en probar la igualdad de las medias.

Donde

Análisis del modelo con efectos fijos


....

1 1..

..

1.

..

1.

Nab

YY

YY

a

YY

YY

b

YY

YY

a

i

b

jij

jj

a

iijj

ii

b

jiji Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.

Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.

Total de las observaciones bajo el bloque j-ésimo.

Promedio de las observaciones bajo el bloque j-ésimo.

Gran total de todas las observaciones.

Promedio de todas las observaciones.

ANÁLISIS DE VARIANZASuma de cuadrados total corregida y su partición:


a

i

n

jijT

i

yySS1 1

2.. )( 1N Grados de

Libertad

SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE


........

.

.......

............

)()(

teconsiguienpor ; tienese ndoSimplifica

).()(expresión la Observemos

)()()(

iijjiijj

iij

jiijj

jiijjiij

yyyyyyyy

yy

yyyyyy

yyyyyyyyyy


Los grados de libertad para las sumas cuadradas en

Son :

Cada suma de cuadrados dividida por sus Grados de Libertad es un cuadrado medio.

SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE

1 1 1 ( 1)( 1)ab a b a b

)1)(1(,

1,

1 ba

SS

b

SS

a

SS EBloqueoTratamient

Los valores esperados de los cuadrados medios son:


2

1

2

2

1

2

2

)(

1)(

1)(

E

n

ii

Bloque

n

ii

oTratamient

MSE

b

aMSE

a

bMSE

Estadístico de PruebaSe tienen dos estadísticos de prueba los cuales se obtienen dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error.

Anova


)1)(1(,, baGLnumo FF


Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado Medio F0

Tratamientos SSTRATAMIENTOS a-1 SSTRATAMIENTOS

a-1MSTRATAMIENTOS

MSE

Bloques SSBLOQUES b-1 SSBLOQUES

b-1MSBLOQUES

MSE

Error SSE (a-1)(b-1) SSE(a-1)(b-1)

Total SST N-1

La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:

Cálculos Manuales


BloquesosTratamientTE

j

b

iBloques

i

a

iosTratamient

ij

a

i

b

jT

SSSSSSSS

N

yy

aSS

N

yy

bSS

N

yySS

2..2

.1

2..2

.1

2..2

1 1

1

1

,

Ejemplo

• Objetivo de la investigación: en ciertas situaciones, las pruebas de nitrato en los tejidos de la espiga de trigo predecían una mayor cantidad de nitrógeno, en consecuencia, el investigador quería evaluar el efecto de varios programas de fertilización sobre esas cantidades de nitrógeno y sobre la producción de trigo, para refinar las recomendaciones del procedimiento.

• Diseño del tratamiento: el diseño del tratamiento incluyó seis programas diferentes de aplicación de nitrógeno que podían proporcionar el intervalo de condiciones necesarias para evaluar el proceso. Para la comparación se incluyó un tratamiento sin nitrógeno al igual que la recomendación normal vigente.

• Diseño del experimento: el experimento se llevó a cabo en un campo irrigado, con un gradiente de agua en dirección del área de parcelas experimentales. Como las respuestas de las plantas dependían de la humedad disponible, las parcelas se agruparon en bloques de seis de manera que cada bloque se encontraba en partes con el mismo gradiente de agua, de manera que cualesquiera diferencias en las respuestas de las plantas causadas por el gradiente de agua podía asociarse con los bloques.

• El diseño de experimento resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado, con 4 bloques de seis parcelas a las que se asignaron al azar los tratamientos de nitrógeno.

Bloque 1

Bloque 2

Bloque 3

Bloque 4

40.89 37.99 37.18 34.98 34.89 42.07

2 5 4 1 6 3

41,22 49.92 45.85 50.15 41.99 46.69

44.57 52.68 37.61 36.94 46.65 40.23

41.90 39.20 43.29 40.45 42.91 39.97

1 3 4 6 5 2

6 3 5 1 2 4

2 4 6 5 3 1

Permutaciones

Permutaciones

Asignación de tratamientos a las unidades experimentales en un bloque completoPermutación 2 5 4 1 6 3Tratamientos B E D A F C


Pruebas de los efectos inter-sujetos

Variable dependiente: Rendimiento

247,968a 8 30,996 1,748 ,16742522,685 1 42522,685 2398,355 ,000

47,117 5 9,423 ,532 ,749200,850 3 66,950 3,776 ,034265,949 15 17,730

43036,602 24513,917 23

FuenteModelo corregidoIntersecciónPlanBloqueErrorTotalTotal corregida

Suma decuadrados

tipo III glMedia

cuadrática F Signif icación

R cuadrado = ,483 (R cuadrado corregida = ,207)a.

1,2,...,

1, 2,...,ij i j ij

i ay

j b

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO

....

...

...

..

ˆ

ˆ

ˆ

yyyye

yy

yy

y

jiijij

jj

ii

Diseño por bloques

91

Estimadores de los parámetros

Residual

3. FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL

La presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento de corra en bloques.Se corre cada una de las n réplicas utilizando un lote o bloque separado, que representa una restricción sobre la aleatorización.Dentro del bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está completamente aleatorizado.


• Modelo de los Efectos

Donde τi representa el efecto del Factor A, βj

representa el efecto del Factor B, (τβ)ij es la interacción, δk es el efecto del bloque y ɛijk es el componente NID (0, σ²) del error.

Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.


Incluye el efecto del bloque k-ésimo

Anova


EJEMPLOUn ingeniero estudia lo métodos para mejorar la capacidad de detectar objetivos en el campo de acción de un Radar. Dos factores que el ingeniero considera importantes son la cantidad de ruido de fondo, o “desorden del terreno”, en el campo de acción del radar y el tipo de filtro colocado sobre la pantalla. Se diseña un experimento utilizando tres niveles del desorden del terreno y dos tipos de filtro. Los datos se presentan a continuación.


Datos


Anova

Otros conceptos…

• Gráfica de superficie de respuesta: Gráfica del plano de los valores de Y generados por las diferentes combinaciones de X1 y X2.Si hay alguna interacción se observará una forma curva en el modelo.

• Interacción significativa: Cuando una interacción es grande, lo efectos principales tienen escaso significado ya que la interacción suele enmascarar la significación de los efectos principales.


Modelo de regresión para dos factores


ab

iib

jaj

ijji0ijjiij

ij

j

ij

i

jiij

1a

1i

1b

1jjj

1b

1jii

1a

1i0ij

1b,..2,1j,1a,..2,1i,

1b,..2,1j

jy1z

1a,..2,1i

y1x

zxzxy

contrario caso en 0


contrario caso en 0


donde

Modelo de regresión para dos factores


ab

i

1a

1ib.

iji

1a

1ij0ijji

1a

1iij

1a

1i

j

1b

1j.a

ijj

1b

1ji0

1ib1i

ijj

1b

1ji0ijji

1b

1jij

1b

1j

)1a/(

)()1a()1a()(

)1b/(

)1b/()(1b

..

)()1b()1b()(


ab

iib

jaj

ji0jiij

ij

j

ij

i

jj

1b

1jii

1a

1i0ij

1b,..2,1j

jy1z

1a,..2,1i

y1x

zxy

contrario caso en 0


contrario caso en 0


donde

factores dos con osexperiemnt para regresión de Modelo

DISEÑO FACTORIAL 2

HENRY LAMOS

k

diseÑos factoriales ingeniería industrial. estadística iii henry lamos díaz

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