Tarea 2: Lazo de control lineal

Control Automático I – ELO270Cristian Cofré S. ROL: 201021045-6

1.- Resumen Ejecutivo

Objetivo

Diseño de un controlador con la ayuda de MATLAB – SIMULINK en la simulación y análisis de un lazo de control lineal con un grado de libertad, haciendo especial uso de la interfaz gráfica sisotool.

Resultados Obtenidos

Dado el modelo nominal de una planta, se escogieron ciertos parámetros de ella para la simulación yanálisis de esta, con el fin de encontrar un controlador que cumpliera con requerimientos de estabilidadinterna del sistema, error mínimo en estado estacionario para referencia constante y respuesta rápidadel sistema. Para esto se utilizó la herramienta gráfica de MATLAB, sisotool. A través de sisotool se observaron los gráficos de respuesta a escalón, diagrama de bode, y lugargeométrico de las raíces, para asegurar la estabilidad y la rapidez del lazo.

Debido a los intervalos dados para los parámetros del controlador, se escogen polos y ceros complejosconjugados. Como herramienta, sisotool da la opción de hacer todo el trabajo de manera gráfica,moviendo la ganancia, polos y ceros directamente desde el gráfico root locus (LGR), o a través deajustar ciertos criterios de diseño del controlador (para obtener alguna respuesta deseada), y dejar queMATLAB haga el trabajo de escoger la ganancia, polos y ceros por nosotros.

Con esto, se obtuvo un controlador con polos y ceros complejos conjugados, con el cual el sistema escapaz de responder más rápido que con un controlador proporcional, conservando la estabilidad internadel sistema y dando una buena respuesta a referencias constantes en estado estacionario.

Se obtuvieron además, los polos de lazo cerrado del sistema, a través del comando damp. Gráficos de laentrada u(t) y salida y(t), con referencia escalón unitario, y salida y(t) con perturbación de salidasinusoidal. A través de la herramienta sisotool, se obtuvieron además, los diagramas de bode de lasensibilidad de entrada y de salida..

Conclusiones y comentarios

Como herramienta, sisotool es realmente potente en cuanto a la creación de controladores. Destacaprincipalmente la función de permitir al usuario trabajar todo de forma bastante gráfica y amigable.Además, es bastante considerable la ayuda del poder de computo de MATLAB, al integrar en el mismosisotool una interfaz para encontrar o aún mejor, optimizar el controlador ya fijado por nosotros conanterioridad.En cuanto al controlador, se puede mencionar que debido a los parámetros de diseño de este, y de laforma de la función transferencia nominal de la planta, no fue necesario poner especial énfasis en losceros y polos, debido a que el lugar geométrico de las raíces (LGR) se veía principalmente afectado porla ganancia a continua de este. Los parámetros a ajustar del controlador varían claramente dependiendode los requerimientos a satisfacer en la respuesta total del sistema.

2.- Desarrollo

Parte 1

Considerando el lazo de control de la figura, con el modelo nominal de la planta

Para propósitos de análisis y simulación, elegimos:

Tomando como base el modelo nominal anterior, procedemos a encontrar un controlador de la forma:

Se pide para el controlador que cumpla con los siguientes puntos:

a) Lazo de control internamente estableb) Error estacionario cero para referencias constantesc) Modos naturales (asociados a los polos) de lazo cerrado lo más rápidos que sea posible

Para el cumplimiento del punto a), se puede decir a priori que tomando en cuenta las características tanto del modelo nominal de la planta, y de acuerdo a los parámetros de diseño para el controlador, lo siguiente:

wn=6, ξ=12, K=2

⇒G0(s)=K wn

2

(s+3)(s2+6 s+36)

⇒G0(s)=72

(s3+9 s2+54 s+108)

G0(s )=K wn

2

(s+3)(s2+2ξwn s+wn

2)

C (s)=K c (s−c )

s−p

En donde K c>0, c<0, y p≤0

i) El grado relativo del modelo nominal de la planta es mayor que cero, aún con la posible adición de polos o ceros por parte del controlador. Además, no posee ceros de fase no-miníma, dejando de lado lasposibles cancelaciones inestables del sistema; sus polos están todos en el SPI.

ii) En cuando al controlador, podemos decir de sus ceros lo siguiente:

De sus polos:

Con lo cual el punto de la estabilidad interna está casi garantizado, si podemos garantizar primero, quelos polos del controlador se concentrarán en el SPI y no sobre el eje complejo, y segundo, si laganancia del controlador mantiene las raíces del polinomio de lazo cerrado en el SPI.

Para cumplir con las últimas acotaciones y con los demás puntos, hacemos uso de la herramientagráfica de MATLAB, sisotool, mediante el comando: sisotool(G0)Al abrir sisotool y analizar la respuesta a escalón de la planta junto al lugar de las raíces (root locus) dellazo abierto, podemos ver que para un controlador proporcional con K=5.7 aprox, el sistema se vuelveinestable. Vemos tambien, que para un control proporcional con K=1, el tiempo de subida (rise time) esaprox. 0.332[s], presenta un overshoot de 18% y un tiempo de asentamiento (settling time) de 1.98[s].

Respuesta a escalón del modelo nominal de la planta

Si c<0 , −c>0

⇒ Cero ens=c

⇒ s tiene raices enel SPI ,no tieneceros de fase no−mínimay por lotanto ,no posee undershoot

Si p≤0 , −p≥0

⇒ Cero ens=p

⇒ s tiene raices enel SPI ,o sobre el eje complejo

Para obtener una respuesta más rápida, asociada a polos más rápidos, y un error estacionario de cero areferencias constantes, hacemos click derecho sobre la respuesta a escalón y activamos lasCaracterísticas de Peak Response (para ver el overshoot), Rise Time (para ver el tiempo de subida),settling time (para el tiempo de asentamiento) y Steady State (para ver el estado estable final).Después, agregamos nuevos Requerimientos de Diseño (Design Requirements): rise time de 0.5[s] paraalcanzar el 95% del valor final, settling time de 1[s], un overshoot de no más de 10% y establecemosun valor final de 1 para garantizar un error estacionario cero para referencias constantes.

Como los requerimientos de diseño son un poco difíciles de cumplir utilizando la herramienta gráficaRoot Locus, con la cual podemos agregar polos y ceros (complejos o reales) y moverlos en el planocomplejo, decidimos agregar un polo y cero complejos en el compensador (nuestro controlador), yvamos a la pestaña de Automated Tuning, elegiendo el método de diseño (Design method)Optimization Based Tuning. Eligiendo ese método, hacemos click en Optimize Compensator, en lapestaña Compensator marcamos Gain, Complex Pole y Complex Zero correspondiente sólo a nuestrocontrolador, y le damos al botón Start Optimization (pues nuestros requerimientos de diseño ya fueroningresados antes); con lo anterior Matlab hará el trabajo por nosotros y encontrará la ganancia, polos yceros para que nuestro sistema sea estable y cumpla con los requerimientos de diseño.Para los requerimientos de diseño antes mencionados obtenemos la siguiente respuesta:

Respuesta a escalón del sistema, con un controlador con un polo y un cero complejos

Lugar geométrico de las raíces (LGR) de la respuesta a escalón con controlador con un polo ycero complejos

Con lo anterior, podemos asegurar que el lazo de control es internamente estable, el error estacionario es prácticamente cero, y los polos dominantes son los más rápidos posibles.

Parte 2

El sistema de control resultante es:

Polos de lazo cerrado:Para obtener los polos de lazo cerrado, construímos en MATLAB el polinomio de lazo cerrado:

Acl(s)=1+G0(s)∗C(s)y obtenemos sus polos mediante el comando damp. En este caso, damp(Acl), y obtenemos:

C(s)=85.77∗(s−(−4,6279+ j9,6792))

s−(−189,42+ j 4,37 e−23)

⇒ C (s)≈85.77∗(s−(−4,6279+ j 9,6792))

s−(−189,42)

Gráficos de u(t) e y(t), si la referencia es un escalón unitario:Desde el mismo sisotool, obtenemos:

Gráfico superior: salida y(t), con referencia escalón unitarioGráfico inferior: entrada u(t), con referencia escalón unitario

Diagramas de Bode de las sensibilidades de entrada (Sio) y de salida (So):Desde la misma interfaz de sisotool, la sensibilidad de entrada (Sio) debería estar dado por Closed Loop du to y:

Para el bode de la sensibilidad de salida (So), hacemos lo mismo anterior, pero para Closed Loop dy to y:

Gráfico de la salida y(t), cuando la perturbación de salida es Do(t)=0.1Cos(5t):A través de simulink, obtenemos:

Parte 3

Como se dijo en un principio a priori, debido a que el modelo de la planta no poseía ceros de fase nomínima y todos sus polos estaban en el semi plano izquierdo del plano complejo, la estabilidad estabacasi garantizada, aunque esta no se podía asegurar. Esto debido a que las raíces en el plano complejodependen directamente de la ganancia escogida para el controlador, y a su vez este, de los criterios dediseño escogidos para el mismo.