diseño de experimentos de simulacion

8/18/2019 Diseño de Experimentos de Simulacion

1/22

4Los estudios de

simulación


2/22

4.1. Diseño de experimentos de simulación

experimental de la simulación, subrayando el papel de los model

de simulación, sujetos del experimento, como sustitutos de la realid

Un estudio de simulación según la metodología que hem

establecido busca respuestas a preguntas sobre el sistema obj

del estudio a través de la información que le proporcionan l

experimentos con el modelo del sistema. Los experimentos buscen general, respuestas a preguntas del tipo ¿qué pasaría s

preguntas que pueden plantearse en cualquier etapa del ciclo

vida del sistema, tanto en la fase de diseño, en cuyo caso el objet

de las respuestas es encontrar soluciones a las diferentes alternati

de diseño, o investigar los posibles efectos de las diferent

configuraciones factibles; como en fases posteriores, con un siste

ya implantado, cuando se plantea la posibilidad de cambio

modificaciones en el sistema existente para ampliar su capacidad

operación o para adaptarlo a nuevos requerimientos.

En general las respuestas que buscamos mediante l

experimentos servirán de soporte a una decisión racional sobre

sistema, por lo que nos interesará que las respuestas queden expresa

numéricamente, en términos de los valores de las variables de respue

que representen las medidas de la utilidad, o del rendimiento espera

para la alternativa que nos ocupa de diseño o de cambio del siste

Así, por ejemplo, en sistemas de colas cuyo objeto sea dimensionar l


3/22

servicio que permiten un rendimiento óptimo del sistema, ejemplos

tales funciones de utilidad o variables de medida del rendimiento pued

ser, índices que relacionen el tiempo medio de espera (o la longit

media de la cola) con el nivel de utilización de los servidores, o funcio

de coste que engloben el coste de la espera (decreciente cuando

incrementa la eficiencia del servicio) y el del servicio (creciente cuanse aumenta el número de servidores, o los servidores existentes

reemplazan por otros más eficientes).

Las alternativas de diseño, o variante de configuración del siste

constituirán una variante del modelo o escenario de simulación con l

que realizaremos los experimentos. Para ello ejecutaremos el mod

introduciendo como datos las muestras aleatorias de las distribucion

de probabilidad correspondientes tal como hemos descrito en el Capít

2. Las ejecuciones del modelo nos proporcionarán las estimaciones

los parámetros de interés. Desde un punto de vista metodológico hem

de distinguir varios tipos de situación:

• Estimación de variables de respuesta.

• Estimación de efectos combinados.

• Comparaciones entre alternativas de diseño.

Con respecto a la estimación de variables de respuesta,

longitud media de una cola, el tiempo medio de espera, el porcent

de ocupación de los servidores, por ejemplo, ejecutaremos repetid

veces el modelo correspondiente a una misma configuración c

diferentes muestras aleatorias de input, lo que proporcion

variaciones en los resultados debido a las variaciones aleatorias

las muestras utilizadas. Ahora bien, para poder asegurar la validez

nuestras estimaciones, y en definitiva la validez de las respuestas

estudio de simulación, hemos de estar en condiciones de estable

cuándo las diferentes estimaciones de los parámetros de medida

rendimiento del sistema son debidas a la configuración del sistem

cuándo son ocasionadas por las variaciones del muestreo.

Los estudios de simulac


4/22

particular la de las técnicas de muestreo, la que nos permitirá dar u

respuesta correcta a este tipo de cuestiones. No es este el lugar p

extendernos sobre el tema, nos limitaremos a apuntar algunas de

técnicas más utilizadas en el ámbito de los estudios de simulación,

lector interesado puede encontrar una información detallada en text

generales de Estadística y Teoría de Muestras, o en los específicosKleijnen, «Statistical Techniques in Simulation » [29], y «Statistical To

for Simulation Practitioners » [30], de las que la primera constituye

estos momentos un clásico de las técnicas estadísticas en simulaci

Nos limitaremos a comentar aquí que los procedimientos más util iza

son los de:

• Replicaciones independientes: generando muestr

independientes de números aleatorios bien a partir de distint

generadores o un mismo generador, de ciclo muy largo, q

produzca muestras de base independientes a partir

diferentes semillas.

• Lotes («Batch Means») resultantes del fraccionamiento

submuestras de una muestra de gran dimensión genera

con un generador de ciclo muy largo.

• Métodos regenerativos, que utilizan muestras de dimens

variable resultantes de la recogida de observaciones

sistema entre dos pasos consecutivos por un punto o esta

de regeneración (por ejemplo el estado con las colas vací

en un sistema de colas), lo que requiere previamente

comprobación de que el sistema tiene estados regenerati

y la identificación de los mismos.

Otro aspecto que también hay que tener en cuenta, p

garantizar la calidad de las estimaciones de las variables de respue

desde el punto de vista estadístico, es la necesidad de utili

estimadores insesgados y de variancia mínima, de espec


5/22

importancia estos últimos si después la est imaciones se van a utili

para efectuar comparaciones. Una manera de conseguir est

objetivos consiste en recurrir a las técnicas de reducción de varian

diseñadas específicamente para incrementar la precisión de

estimación de las variables de respuesta y facilitar las comparacion

entre las técnicas de reducción de variancia más utilizadas

simulación figuran el muestreo estratificado, el muestreo selectila utilización de variables de control y la variables antitéticas.

Esta última es una técnica muy discutida en lo que respect

sus aplicaciones a la simulación discreta, su objetivo es inducir u

correlación negativa entre las sucesivas simulaciones de una mis

configuración del sistema. Tocher [37], propuso una implantación m

sencilla de esta técnica consistente en ejecutar una de las simulacio

a partir de la muestra {u1, u

2, u

3, ...} de números aleatori

uniformemente distribuidos en (0, 1), y la segunda, la antitética a pa

de la muestra complementaria {1-u1, 1-u

2, 1-u

3, ...}, con la idea de q

esta muestra complementaria asegure una correlación negativa enlas respuestas de las dos simulaciones. En este caso si X1 es

estimación de la variable de respuesta obtenida en la prim

simulación, y X2 en la segunda, la antitética, entonces:

X

X X

X X

X 1

1

22 1 1 2 2

es un estimador insesgado de E(x), y:

vv aa rr v v aa rr v v aa rr c c oo vv , , XX X X X X X X X X 11

44 22

1

1 2 2 1 1 2 2

que al ser comparada con la variancia de dos ejecuciones

correlacionadas debe ser menor si las ejecuciones est

correlacionadas negativamente. Este efecto esperado no siempre

consigue en la simulación de sistemas discretos, especialmente

son complejos, debido a las transformaciones complicadas que tal

modelos llevan a cabo con las variables de entrada, lo cual hace q

no siempre se conserve en el output la correlación negativa del inp


6/22

muestreo antitético en la simulación discreta, y asegurar

previamente de que las correlaciones negativas entre las variab

de entrada se conservan en las de salida.

A la hora de recoger las observaciones producidas por

ejecución de la simulación no hay que olvidar el carácter intrínsecola simulación discreta tal como lo establecimos en el Capítulo

Recordemos que hemos considerado que la simulación de un siste

con estados discretos puede interpretarse como un seguimiento de

evolución del sistema entre sus estados, teniendo en cuenta el carác

aleatorio del input es obvio que la tal evolución puede considera

como un proceso estocástico y como tal podemos considerar dos tip

de situación la que corresponde a la fase transitoria del proceso y

del estado estacionario. En general la fase transitoria dependerá

las condiciones iniciales, mientras que entendemos que la situaci

estacionaria, si el sistema la tiene y llega a ella, es independiente

su estado de partida. Según los objetivos del estudio de simulacióel tipo de sistema tendremos que distinguir entre ambas fases. Si

que interesa es estudiar el comportamiento del sistema en la situaci

estacionaria deberemos proceder a un proceso previo («warming-up

durante el que no se recogerán observaciones, durante el cual

sistema atraviese la fase transitoria y entre en la estacionaria, a pa

de la cual se procederá a recoger observaciones. Sin embargo

hemos de olvidar que puede haber situaciones en que es precisame

la fase transitoria la que interesa.

En general la configuración o las alternativas de diseño de

sistema complejo dependen de muchos factores, así por ejemplo,

los sistemas de colas las variables de decisión, o factores de dise

pueden ser el número de servidores, las características de l

servidores (que afecten por ejemplo al tipo de distribución de los tiem

de servicio, o, dentro de un mismo tipo, a los parámetros de

distribución, como puede ser el caso de los tiempos medios de servi

- más rápidos o más lentos -, política de gestión - FIFO, por prioridad


7/22

a la respuesta del sistema, de tipo cuantitativo (número de sirvient

tiempo medio de servicio, etc.), o cualitativo (prioridades), que oper

a diferentes niveles. En el estudio de simulación interesará identifi

el efecto de cada factor, las interacciones entre factores, etc...

La técnica de diseño de experimentos en Estadística es la qnos proporcionara las herramientas adecuadas para proceder a l

estudios adecuados. Como en el caso anterior nos vamos a limita

glosar aquí unos comentarios sobre la aplicación de estas técnica

la simulación, las referencias [30], anteriormente citada, y [2

proporcionan una información detallada, aunque hay que resaltar q

todo lo que se puede decir para las aplicaciones a la simulación

es más que una adecuación de la teoría general del diseño

experimentos Estadística por lo que textos generales como el de B

Hunter y Hunter [46], o el de Box y Draper [47], constituyen u

referencia obligada.

En el caso de la simulación hay que hacer una observación c

respecto al punto de vista del diseño de experimentos en Estadístic

es que en el caso de los experimentos de simulación se trata siem

de experimentos controlados, es decir, la impredictibilidad esta origina

únicamente por la aleatoriedad del muestreo, no por el modelo, que

supone que el analista conoce y domina completamente.

Los diseños experimentales que más se utilizan en la prácti

de la simulación suelen ser el de variación de un factor cada v

los diseños factoriales globales, los fraccionales, los de superfi

de respuesta, etc... En la práctica se tiende a evitar los diseñ

factoriales completos que para k factores y 2 niveles por fac

requieren 2k combinaciones, y si para estimar adecuadamente

variable de respuesta para cada combinación hemos de replicar

veces cada combinación, hay que realizar un total de m

repeticiones de la simulación que puede ser un núme

prohibitivamente grande. Siempre que se puede se tiende a utili



8/22

con menos observaciones.

Así, por ejemplo en un modelo M/M/s si la tasa de utilizaci

o factor de carga del sistema varia entre 0,5 y 0,8, y el númeroservidores entre 1 y 3, un diseño experimental para estos d

factores, carga del sistema y número de servidores, con dos nivelcada factor, y cuatro combinaciones posibles de niveles de l

factores, es:

Combinación s1 0,5 1

2 0,8 1

3 0,5 3

4 0,8 3

Para un diseño factorial con k factores y dos niveles por fac

suponemos que los efectos de interacción son explicados por el modde regresión (o superficie de respuesta):

y

y

x

x

x

x

x

x

N

N

I

I

D

D ii j j i i j j j j hh i i j j i i hh i i i i

h

h j j

k

k

j j

k

k

j j

k

k

00

2

2

11 11

11

11

0

0

,

,

,

,

que tiene k efectos principales, o de primer orden, j y k(k-1interacciones de dos factores

jh, con errores con distribucion

normales independientes (NID) de media cero y variancia constan

Interacción entre dos factores, el i y el j por ejemplo, significa que

efecto del cambio en el factor i depende del nivel del factor j.

La significación de los efectos principales y las interaccion

se determina por medio del análisis de la variancia del modelo

regresión correspondiente. Así, por ejemplo, en el caso de d

factores A y B, el modelo propuesto supone que la relación en

la variable de respuesta y los efectos de los niveles de los factor

viene dada por:


9/22

y

y ii j j kk i i j j i i j j i i j j kk 00

donde yijk

es el resultado de la combinación del factor A al nivel i

factor B al nivel j en su replicación k-ésima, 0 es el efecto me

global, i el efecto principal del factor A al nivel i,

j el efecto princi

del factor B al nivel j, ij el efecto de la combinación del factor A

nivel i con el factor B al nivel j, y ijk es la variancia no explica(residuo o término de error). Como es habitual en el análiestadístico es importante definir claramente las hipótesis que

toman en consideración. En este tipo de experimentos lo normal

esperar que haya efectos de la interacciones, por lo tanto lo prim

que hemos de hacer es verificar si estos son significativos o no,

que en caso de que lo sean no habría que proceder a estudiar

efectos principales. En consecuencia las hipótesis nulas son:

H0(1): la interacción de A y B no tiene efectos: ij = 0, i y

H0(2): el factor A no tiene efectos: i = 0, i

H0(3): el factor B no tiene efectos: j = 0, j

y las hipótesis alternativas son:

H1(1): ij 0, para algún i, j.

H1(2): i 0, para algún i.

H1(3): j 0, para algún j.

Suponiendo que el factor A tiene n niveles, cada uno de l

cuales se replica m veces, y que lo mismo ocurre con el factor B

denotando por y..., y

i.., y

.j., e y

ij. las sumas:

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

i

i

j

j

k

k

i

i

.

.

i

i

j

j

k

k

k

k

m

m

j

j

n

n

k

k

m

m

j

j

n

n

i

i

n

n

j j i i j j kk i i j j i i j j kk kk

m

m

kk

m

m

ii

n

n

.

.

.. . . . .

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11 11 11

La Tabla 15 muestra el análisis de la variancia.



10/22


11/22

hipótesis procede de la manera siguiente:

HH i i y y j j c c hh aa zz aa rr HH s s ii S

S

n

n

S

S

n

n m m

FF ii j j

AA BB E E

nn n n m m 00 0 0

22

22

22

22 1

1 1

1 11 0 0 1 1

11 1 1 2

2 2

2 :: , , R R ee : :

,,

Si se rechaza H0(1), no tiene sentido verificar H

0(2) y H

0(

En caso de que se acepte H0(1) entonces el modelo se puede si

plificar a:

y

y ii j j kk i i j j i i j j kk 00

En cuyo caso se rechaza H0(2) si:

S

S

n

n

S

S S

S

n

n m m n n

F

F AA E

E A

A B

B

n

n n

n m m n n

2

2 2 2

2

2

2

2 1 1 2 2 1 1

11 2 2 1 1

2 2 ,,

se rechaza H0(3) si:

S

S

n

n

S

S S

S

n

n m m n n

FF BB

E

E A

A BB

n

n n

n m m n n

2

2 2 2

2

2

22 1 1 2 2 1 1

11 2 2 1 1

2 2 :

,,

siendo F la función de Fisher evaluada al nivel de significación y gra

de libertad correspondientes.

Si el análisis de la variancia ha demostrado que un conjunto

efectos (1,

2, ...,

n) son significativamente diferentes entonces res

pertinente compararlos entre si de manera que se puedan identifi

las combinaciones factor-nivel que proporcionan los mejores resultad

El estudio se lleva a cabo aplicando las técnica clásicas del análi

estadístico de comparaciones múltiples.

4.2. Análisis de resultados

la determinación de la mejor alternativa, como si el propósito

simplemente obtener una buena estimación de la variable



12/22

poder efectuar buenas estimaciones de las variables de respues

así como de la estimación de cuán buenas son las estimacion

que estamos obteniendo, pues no hemos de perder de vista

carácter aleatorio de los resultados producidos por una simulaci

Los métodos a utilizar dependen de las característicassistema y en especial de si se trata de sistemas con un horizo

finito, es decir sistemas para los cuales llega un momento en que

ha alcanzado cierto objetivo, se ha realizado una tarea, se ha llega

a una condición a partir de la cual el proceso se repite, se

completado un ciclo, etc.; o de un sistema con un horizonte infinito

una posibilidad de entrar en un estado estacionario). Ejemplos

primer tipo de situaciones pueden ser procesos productivos en l

que el horizonte temporal de fabricación de un producto e

determinado de antemano, de gestión de inventarios con horizont

temporales dados, etc., es decir sistemas cuyo ciclo de vida es fin

(lo que, dicho sea de paso, ocurre con todos los sistemas reale

pero en muchas otras situaciones no hay razones para suponer,

menos en teoría, que hay un suceso especial cuya ocurren

determina el final de la simulación, se trata entonces de sistem

para los que el horizonte temporal puede considerar

indefinidamente largo, la cuestión entonces es si afectan o no l

condiciones iniciales, es decir si el sistema tiene o no esta

estacionario y si lo que nos interesa es estudiar el comportamie

del sistema en la fase transitoria o en el estado estacionario. El análi

estadístico del estado estacionario es más delicado puesto que h

que tener en cuenta aspectos tales como la correlación que present

los resultados, o el no siempre claro de a partir de qué momento

puede considerar que el sistema ha entrado en el estado estacionaLas condiciones de esta monografía no permiten tratar exhaustivame

el tema, cualquiera de las referencias básicas que hemos venido citan

dedican espacio suficiente a estas cuestiones, pero entre est

referencias subrayaré el trato que le dan el texto de Law y Kelton [2

y el de Bratley, Fox y Schrage [28], que han inspirado este resume


13/22

rendimiento de un sistema estocástico se expresa habitualmente

términos de un intervalo de confianza, relacionado intuitivamente c

la idea de precisión, que depende de las dimensiones y característi

de la muestra de observaciones utilizada para realizar la estimaci

En general el problema del intervalo de confianza se puede plant

desde dos puntos de vista, en el primero, denominado de la mue de dimensión fija , se especifica de antemano el número

observaciones con la esperanza de que la precisión resultante s

suficiente, mientras que en el segundo, denominado de muest

secuencial , se especifica de antemano la precisión requerida, se u

una muestra y partir de los resultados que proporciona se determi

si se han de recoger o no observaciones adicionales. La obtenci

de un intervalo de confianza requiere hipótesis subyacentes

normalidad e independencia, lo que en las condiciones de

simulación exige que se haya de recoger un número de observacion

suficientemente grande como para que las condiciones del teore

del límite central nos permitan ignorar la posible no normalidad

las observaciones, que se utilice algún procedimiento que perm

superar las implicaciones de la falta de independencia entre l

muestras, especialmente cuando se trata de simulaciones de estad

estacionarios, y que utilice algún procedimiento que permita corre

el posible sesgo causado por las condiciones iniciales cuando

simulan estados estacionarios.

El análisis del rendimiento esperado de un sistema con

horizonte finito consiste habitualmente en obtener una estimaci

puntual del mismo y un intervalo de confianza o estimación del er

cuadrático medio de dicha estimación puntual. La obtención de e

estimación a partir de una muestra de observaciones producidasla simulación se realiza por medio de las técnicas habituales del análi

estadístico, es decir determinar un estimador puntual y ¯a ser posi

insesgado y de variancia mínima, que esté aproximadame

normalmente distribuido y cuya desviación estándar se pueda esti

adecuadamente.



14/22

simulación (número que quizás haya que determinar secuencialment

e yi es la observación de la variable de rendimiento proporcionada

la i-ésima simulación, i = 1, 2, ...., m, entonces:

(4.1

y

y

y y

m

m

s

s

y

y

y

y

m

m

ii ii

mm

ii ii

m

m

1

1

22

2

2

1

1

1

1

i son independientes y están idénticamente distribuid

entonces ȳ es un estimador insesgado del rendimiento esperad

s2/m es un estimador insesgado de la variancia. Si además la

están normalmente distribuidas, entonces un intervalo de confian

para el rendimiento esperado viene dado por:

y y k k s

s

m

m

2

2

donde k es la ordenada que da la probabilidad (1-)/2 en la cola dedistribución t de Student con m-1 grados de libertad, siendo coeficiente de probabilidad que determina la región crítica p

aceptación del intervalo.

Con respecto al análisis del estado estaciona

comentaremos simplemente que para satisfacer las condicion

anteriormente establecidas, sobre la eliminación de las posib

influencias de los estados de partida, se han propuesto multitud

procedimientos [27,28] que en esencia conducen a determinar c

es el número de observaciones iniciales que hay que desechResuelta esta cuestión el problema es entonces cómo proceder c

observaciones que no son independientes. Sin ánimos de

exhaustivos y para dar al lector una idea simple de los métod

estadísticos que se han ido desarrollando mencionaremos los tr

más utilizados:


15/22

• Procedimientos por lotes («Batch Means»),

• Métodos Regenerativos,

• Análisis Espectral,

que pasamos a resumir.

A) Procedimientos por lotes

la simulación {y1, y

2, ..., y

m}, posiblemente correlacionadas. Definim

y

y

y

y

m

m

s

s y

y y

y m

m

ii ii

m

m

y y i i ii

mm

11

2

2 2 2

11

1

1

siendo b la dimensión de los lotes (definida posiblemente a partir

un estudio estadístico previo) tal que m sea un múltiplo de b, y

consecuencia n = m/b sea entero. Hagamos:

x

x

y

y

b

b

j

j

i

i

i

i

j

j

b

b

j j ii bb

1

1

1

1

media del j-ésimo lote de observaciones de dimensión b. A partir

aquí podemos calcular:

x

x x

x n

n

s

s x x x x n n

j j j j

n

n

xx j j

j j

n

n

11

22 2

2

11

11

El objetivo de nuestro estudio de simulación es, en teoría, esti

l

l i

i mm EE y y

ii i i ]̄. El método de los lotes estima a partir

estadístico ȳ. De las def iniciones se deduce que ȳ =x̄ . S i lobservaciones yi son independientes s

2x /m es un estimador insesga

de var [y ]̄, pero como en general las observaciones procedentes de

simulación están correlacionadas entonces:

v

v

a

a

r

r

v

v

a

a

r

r

c

c

o

o

v

v

,

,

y

y y

y m

m

m

m

y

y y

y ii j j

j j i i

mm

ii

mm

11

2

2

11 11

11

2

2


16/22

de covariancia, lo que en la práctica implica una infraestimación de

[y ]̄ ya que las yi están correlacionadas positivamente. Otro estima

insesgado bajo la hipótesis de independencia es s2x/m, aunque en

caso de correlación de las yi este estimador también está sesgado

está menos que el anterior porque la correlación entre las x j tiend

ser menor que entre las yi.

El método de los lotes en su versión de muestra de dimensi

fija opera de la manera siguiente:

1. Formar n lotes de observaciones x j.

2. Calcular x ¯ y s2x.

3. Utilizar x̄ como estimador puntual de .4. Utilizar x x̄̄ ± ks

x / n como estimador del intervalo de confian

para .(k es el valor correspondiente de la distribución t de Stud

con n-1 grados de libertad).

Las referencias citadas [27,28] proporcionan versiones m

sofisticadas para la implantación del método de los lotes por muestr

secuencial que utilizan un procedimiento de «jackknifing» para esti

la correlación serial y en función de ella determinar la evolución

proceso de generación secuencial de la muestra.

En el ejemplo del puesto de peaje de la autopista hem

aprovechado las características del GPSS para repetir 21 veces

simulación, simulando las llegadas de 240 vehículos en cada repetici

de manera que quedase garantizada la independencia de las muest

de números aleatorios utilizadas en cada ejecución. En realidad lo qhemos hecho ha sido aplicar el método de los lotes como procedimie

de estimación de resultados. Suprimiendo la primera ejecución, cu

función es la de inicializar el sistema y suprimir, de forma aproxima

la posible influencia del período transitorio, de manera que podam

considerar que las siguientes repeticiones tienen lugar cuando


17/22

sistema ha alcanzado el estado estacionario, los resultados de las

repeticiones correspondientes a cada uno de los lotes qued

resumidas en la Tabla 16.

La primera columna contiene los porcentajes de utilización

puesto de peaje, la segunda la estimación de los tiempos medios

pago, es decir la duración media del proceso de pago del peaje,

tercera columna registra las longitudes de las máximas colas que

han observado durante la simulación del lote correspondiente, la cua

las estimaciones que la simulación proporciona de las longitudes medi

de las colas, la quinta columna corresponde a los tiempos medios

espera estimados, y la sexta el estado final de la cola al terminar

simulación correspondiente, es decir el número de vehículos q

estaban esperando en la cola cuando se ha terminado la ejecución

lote. Ese estado final de un lote es el inicial del lote siguiente dado q

hemos utilizado la instrucción RESET del GPSS.

Los resultados de cada lote corresponden lo que hem

denominado las x j, aplicando el procedimiento propuesto hubiésem

obtenido las medias e intervalos de confianza mostrados en la Tabla 1

Ahora estamos en condiciones de profundizar la interpretaci

de resultados que esbozamos en la Sección 3.4. La impresión de qu

puesto de peaje esta operando en condiciones de casi saturación que

confirmada por los resultados que proporciona el análisis estadístico

los lotes, una ocupación media del 86,5%, con un intervalo de confian

al 5%, lo suficientemente pequeño como para reforzar la conclusión

que la ocupación experimenta muy poca variación a lo largo del perío

de tiempo estudiado. Con respecto a los otros parámetros de inter

cola máxima, longitud media de la cola y tiempo medio de espera,solo resultan significativos los altos valores obtenidos, casi 15 coch

en promedio, como número máximo de vehículos que en un mome

dado están esperando a pagar, casi 5 coches en promedio esperand

pagar, y un tiempo de espera para efectuar el pago que en prome

supera ligeramente el minuto, sino que, además, presentan una a


18/22


19/22

variabilidad, especialmente los tiempos de espera, como, por otra parera de esperar dada la variabilidad del proceso de pago. Este análi

podría ampliarse estudiando la posible influencia del estado inicial e

proceso.

B) Métodos regenerativos

sistemas tienen puntos de renovación o regeneración, a partir de l

cuales el comportamiento del sistema es independiente de su pasa

El ejemplo típico es la llegada de un cliente a una cola cuando el siste

está vacío. La idea propuesta y desarrollada por Iglehart [48], pueinterpretarse como una generalización del método de los lotes en

que estos en vez de tener longitud fija tienen una longitud variable q

corresponde a la longitud del ciclo entre dos pasos consecutivos

un punto de regeneración, si hacemos que a cada ciclo entre do punt

de renovación sucesivos corresponda a una observación tenemos


20/22

debido a las condiciones iniciales.

Desgraciadamente la consecución de la independencia tie

un precio, el del sesgo de las estimaciones obtenidas. La aparición

un sesgo en las estimaciones por el método regenerativo est

causadas porque en general los estimadores son cocientes de variabl

aleatorias y en general el valor esperado de un cociente no es

cociente de los valores esperados. Un ejemplo típico es la estimac

del cociente entre el tiempo total de espera en un sistema de col

durante un ciclo y el número de clientes servidos durante ese ciclo

Suponiendo que xi e y

i denotan respectivamente el numerado

el denominador del i-ésimo ciclo nuestro objetivo es estimar el cocie

E(xi) / E(y

i) y su intervalo de confianza. Sea n el número de cicl

simulados, definamos x ¯, y ,̄ s2x, y s2

y de la manera habitual. Hagam

zz x x y y

s

s

x

x

x

x

y

y

y

y

n

n

s

s

s

s

z

z

s

s

z

z

s

s x

x

y

y

i

i

i

i

n

n

i

i

xx x x y y y y

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

entonces es la estimación puntual sesgada de E(xi) / E(y

i), y su interv

de confianza viene dado por:

z

z k

k s

s y

y n

n

siendo k la ordenada apropiada de la distribución normal. En

referencia citada [48], Iglehart recomienda la utilización

estimadores "jackknife" cuando las longitudes de los ciclos no s

muy largas, entonces si z̃ es el estimador jackknife de z̄ el interv

de confianza es:

~

~

~

~

z

z

k

k

s

s

y

y

n

n

donde:

~

~

~

~

~

~

s

s s

s z

z s

s z

z s

s xx x x y y y y

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2


21/22

Aunque los procedimientos regenerativos tienen toda una serie

ventajas ya que no están afectados por los problemas transitorios inicial

producen observaciones independientes, son fáciles de aplicar, etc.,

están completamente libres de problemas ya que las longitudes de los cic

son desconocidas de antemano y estos pueden ser muy largos o m

cortos y no siempre es fácil identificar los puntos de regeneración, o demost

que un tipo de punto dado es de regeneración para un sistema dado.

C) Análisis espectral

estimación de resultados por simulación con una familia que, si bi

en sus formas sencillas no proporciona buenos resultados, ha abie

una amplia perspectiva en el campo del análisis de resultados en

simulación. Dado que las observaciones producidas por la simulaci

están correlacionadas se trata de producir estimadores que trat

explícitamente esta correlación. Una posibilidad estriba en recoger

observaciones a intervalos discretos igualmente espaciados en

tiempo. La secuencia de resultados así obtenida puede considerala observación de una serie temporal para la cual tenemos:

y

y

y

y

n

n

C

C E

E y

y y

y u

u p

p a

a rr aa j j n n

C

C y y y y y y y y n n j j

tt

tt

n

n

j j t t t t j j

j j t t tt j j

n

n

tt j j

11

11

0

0 1 1 2 2 , , , , , , , ,

y bajo la hipótesis de que la secuencia {yt} es estacionaria covarian

es decir, que C j no depende de t:

v

v

a

a

r

r

y

y

C

C

j

j

n

n

C

C

n

n

j

j

j

j n

n

0

0

1

1

1

1

2

2

1

1

si sustituimos C j por C j ]̄ resulta que cuando la

son dependientes entonces C j

en general el estimador truncado


22/22

VV C C j j n n C C n n m

m j j

j j

mm

00

1

1

2

2 1 1

es mucho mejor estimador de var [y ]̄ para m

diseño de experimentos de simulacion

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