Ejercicio Integrador de Diseño de Experimentos

Se tiene una reacción como sigue:

Se desea obtener el máximo rendimiento posible de X y se va a planificar un estudio

experimental para lograr este objetivo. Se debe realizar el menor número de experimentos y

en ninguna etapa se debe realizar más de 20. Según la información disponible, el

Rendimiento “R” puede depender de la concentración del reactivo “A” y del “B”, así como

de la dosis del catalizador “C” empleada, la temperatura “T” de la reacción y el tiempo “t”

de la misma. Acorde a la literatura valores apropiados de estas variables pudieran

inicialmente ser:

A: 0,9 – 1,5 M; B: 0,6 – 1,0 M; C: 1,0 – 2,0 %; T: 60 – 100°C y t: 90 – 150 min.

¿Cómo planificaría Ud. la investigación?

Etapa 1: Screening o tamizado de variables.

Diseño 25-1 = 16 experimentos + 2 centros = 18 experimentos.

Generador y Relación de Definición: I = ABCDE. Resolución V. Solo se confunden las

variables independientes con las interacciones de 4to orden y las interacciones de 2do orden

con las de 3er orden.

Estructura “alias”:

eA = A + BCDE ; eB = B + ACDE ; eC = C + ABDE ;

eD = D + ABCE ; eAB = AB + CDE ; eAC = AC + BDE ;

eAD = AD + BCE ; eBC = BC + ADE ; eBD = BD + ACE ;

eCD = CD + ABE ; eABC = ABC + DE ; eABD = ABD + CE ;

eACD = ACD + BE ; eBCD = BCD + AE ; eABCD = ABCD + E ;

Llamando X1, X2, X3, X4 y X5 a las variables codificadas correspondientes a las variables

independientes descodificadas A, B, C, T y t, respectivamente, se cumple que:

, , , y .

El bloque experimental y las respuestas halladas para cada experimento se muestran a

continuación:

Exp. X1 X2 X3 X4 X5 A, M B, M C, % T, °C t, min R

1 -1 -1 -1 -1 1 0,9 0,6 1,0 60 150 21,0

2 1 -1 -1 -1 -1 1,5 0,6 1,0 60 90 41.2

3 -1 1 -1 -1 -1 0,9 1,0 1,0 60 90 21.1

4 1 1 -1 -1 1 1,5 1,0 1,0 60 150 40.9

5 -1 -1 1 -1 -1 0,9 0,6 2,0 60 90 23.6

6 1 -1 1 -1 1 1,5 0,6 2,0 60 150 43.6

7 -1 1 1 -1 1 0,9 1,0 2,0 60 150 23.5

8 1 1 1 -1 -1 1,5 1,0 2,0 60 90 43.5

9 -1 -1 -1 1 -1 0,9 0,6 1,0 100 90 25.9

10 1 -1 -1 1 1 1,5 0,6 1,0 100 150 46,0

11 -1 1 -1 1 1 0,9 1,0 1,0 100 150 26.2

12 1 1 -1 1 -1 1,5 1,0 1,0 100 90 46.1

13 -1 -1 1 1 1 0,9 0,6 2,0 100 150 28.6

14 1 -1 1 1 -1 1,5 0,6 2,0 100 90 48.4

15 -1 1 1 1 -1 0,9 1,0 2,0 100 90 28.5

16 1 1 1 1 1 1,5 1,0 2,0 100 150 48.7

17 0 0 0 0 0 1,2 0,8 1,5 80 120 35.4

18 0 0 0 0 0 1,2 0,8 1,5 80 120 34.2

¿Qué se puede obtener a partir de estos datos?

Haciendo una regresión lineal múltiple se llega al siguiente modelo codificado (r= 0,9995):

R = 34,8 + 10 X1 + 1,25 X3 + 2,5 X4 (rcrit 14, 0.999=0,742)

Este modelo codificado puede ser transformado en su equivalente descodificado, según:

R = -18,95 + 33,3 A + 2,5 C + 0,125 T

A partir del modelo codificado se puede calcular el vector de máxima pendiente para

explorar la superficie respuesta según:

Variable: X1 X3 X4

Coeficiente (i) 10 1,25 2,5

i 0,3 0,5 20

i i 3 0,625 50

Vector de desplazamiento 1 (3/3) 0,21 (0,625/3) 16,7 (50/3)

El vector de desplazamiento se calcula a partir de la variable más influyente. El “paso” de

variación de la misma se fija de manera lógica acorde con la experiencia, buscando una

variación intermedia, ni demasiado pequeña ni demasiado grande. Los “pasos” de variación

de las restantes variables se calculan proporcionalmente según el valor de los distintos

coeficientes. Para este cálculo se tiene en cuenta el signo (+ ó -) del coeficiente.

La exploración de la superficie respuesta se planifica a partir del nivel base central de las

variables de influencia significativa (X1 ó A, X3 ó C y X4 ó T), manteniendo constantes las

variables no influyentes (X2 ó B y X5 ó t) en sus niveles centrales (B=0,8M y t=120 min).

Se planifica cada paso y se compara la respuesta predicha por el modelo (usando el

descodificado en este caso) con la respuesta experimental. Se continua dando nuevos

“pasos” hasta que se observe una diferencia significativa entre ambas respuestas. A

continuación se dan los resultados obtenidos en este proceso:

A C T Rmod Rexp

Nivel base (centro) 1,2 1,5 80 34,8 -

1er paso 2,2 1,71 96,7 70,7 68,5

2do paso 3,2 1,92 113,4 106,6 85,4

Resulta evidente que el modelo no se cumple para el 2do paso: Se predice un rendimiento

superior al 100 % y se obtiene un valor muy diferente. ¿Qué se debe hacer ahora? Se debe

planificar un nuevo bloque experimental variando solo estas tres variables tomando como

sus niveles centrales los valores del ultimo paso correcto (en este caso el 1ro) o muy

cercanos a los mismos. Al ser posible que se esté ya más cerca de la zona de óptimo no es

conveniente que el rango de estudio sea demasiado amplio. Por otro lado, como se tienen

tres variables, un diseño adecuado puede ser un 23 con dos centros, para un total de 8 + 2 =

10 experimentos. Este nuevo bloque quedaría como sigue, adjuntándose también las

respuestas experimentales:

Exp. X1 X2 X3 A, M C, % T,°C Rend

1 -1 -1 -1 2,0 1,5 90 78

2 1 -1 -1 2,4 1,5 90 81

3 -1 1 -1 2,0 1,9 90 60

4 1 1 -1 2,4 1,9 90 64

5 -1 -1 1 2,0 1,5 110 51

6 1 -1 1 2,4 1,5 110 72

7 -1 1 1 2,0 1,9 110 79

8 1 1 1 2,4 1,9 110 85

9 0 0 0 2,2 1,7 100 70

10 0 0 0 2,2 1,7 100 75

¿Qué se puede obtener a partir de estos datos?

Haciendo una regresión lineal múltiple se llega al siguiente modelo codificado (r= 0,8713):

R = 71,5 + 4,25 A + 9,5 CT (rcrit 7, 0.99 = 0,798)

Un análisis de este modelo indica que posiblemente estemos en una zona de curvatura

(óptimo) lo cual se evidencia por:

El modelo obtenido tiene menor coeficiente de correlación que el anterior.

En dicho modelo tienen mas peso las interacciones que las variables puras.

Esto significa que, en esta zona, se puede plantear un diseño de optimización con estas

variables. La variante 33 esta excluida por tener demasiados experimentos (27). La mejor

variante es un diseño 23 compuesto central con un total de 23 + 2.3 + 2= 16 experimentos,

con la ventaja que ya están hechos los experimentos del bloque 23 y los 2 centros, por lo

que solo queda por hacer las 6 ampliaciones. De esta manera, el nuevo diseño queda:

Exp. X1 X2 X3 A, M C, % T,°C Rend

1 -1 -1 -1 2,0 1,5 90 78

2 1 -1 -1 2,4 1,5 90 81

3 -1 1 -1 2,0 1,9 90 60

4 1 1 -1 2,4 1,9 90 64

5 -1 -1 1 2,0 1,5 110 51

6 1 -1 1 2,4 1,5 110 72

7 -1 1 1 2,0 1,9 110 79

8 1 1 1 2,4 1,9 110 85

9 0 0 0 2,2 1,7 100 70

10 0 0 0 2,2 1,7 100 75

11 -1.76383 0 0 1,85 1,7 100 86

12 1.76383 0 0 2,55 1,7 100 95

13 0 -1.76383 0 2,2 1,35 100 73

14 0 1.76383 0 2,2 2,05 100 70

15 0 0 -1.76383 2,2 1,7 82,4 56

16 0 0 1.76383 2,2 1,7 117,6 61

Haciendo la correspondiente regresión, incluyendo los términos cuadráticos además de las

variables puras y sus interacciones, se llega al siguiente modelo (r =0,9406):

R = 71,19 + 3,507 A + 2,5 A T + 9,5 C T + 5,738 A2 – 4,547 T2 (rcrit 10, 0.999= 0,823)

En este modelo se puede apreciar lo siguiente:

Mejora del ajuste respecto al anterior.

Mas peso de las interacciones y los términos cuadráticos que las variables puras.

A partir de este resultado se puede optar por una de las siguientes variantes:

1. A la ecuación anterior aplicarle derivadas parciales respecto a cada variable, igualar las

primeras derivadas a cero y resolver las ecuaciones así obtenidas para hallar el óptimo

matemático.

2. Asumir como el óptimo las condiciones del exp. 12, por ser el de mayor rendimiento

(95%) y muy cercano al 100 %. Resulta evidente lo mucho que ha mejorado el

rendimiento de la reacción comparando los valores iniciales con el máximo valor

alcanzado hasta este momento.

3. Volver a realizar otro bloque tomando como centro las condiciones del exp. 12 y

pequeño rango de variación de las variables independientes, debido a lo cercano que

debe estar el óptimo del rendimiento.