diseño de elementos de concreto antologia-ing octaviano luna sanchez

8/18/2019 Diseño de Elementos de Concreto Antologia-Ing Octaviano Luna Sanchez

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DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

ING. OCTAVIANO LUNA SANCHEZ

I.T.C.A. DEPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA

ANTOLOGIA DE LA MATERIA

DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETOREFORZADO CLAVE (ICF-1011)

VERSION ALUMNO


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INDICE

INTRODUCCION----------------------------------------------------------------------I

UNIDAD 1

CONCEPTOS GENERALES

1.1Conceptos generales--------------------------------------------------------------1

1.2 Criterios de diseño----------------------------------------------------------------8

1.3Análisis de cargas por gravedad------------------------------------------------21EJERCICIO UNIDAD 1

UNIDAD 2

DISEÑO DE VIGAS2.1 Secciones simplemente armadas-----------------------------------------------28

2.2 Secciones doblemente armadas-------------------------------------------------32

2.3 Secciones T y L-------------------------------------------------------------------39

2.4 Adherencia y anclaje-------------------------------------------------------------50

2.5 Tensión diagonal------------------------------------------------------------------55

2.6 Deflexiones------------------------------------------------------------------------66EJERCICIOS UNIDAD 2

UNIDAD3

DISEÑO DE LOSAS

3.1 Clasificación y tipo de análisis -------------------------------------------------72

3.2 Losas en una dirección-----------------------------------------------------------76

3.3 Losas en dos direcciones---------------------------------------------------------80EJERCICIOS UNIDAD 3

UNIDAD 4

DISEÑO DE COLUMNAS


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4.1 Tipos de columnas----------------------------------------------------------------88

4.2 Cuantía máxima y mínima de acero-------------------------------------------95

4.3 Construcción del diagrama de interacción carga-momento

uniaxial----------------------------------------------------------------------------96

4.4 Construcción del diagrama de interacción carga momento

biaxial ----------------------------------------------------------------------------105

4.5 Efectos de esbeltez--------------------------------------------------------------114

UNIDAD 5

APLICACIÓN A PROYECTOS

5.1 Memoria descriptiva del diseño de los elementos.--------------------------126

5.2 Especificaciones y detalles constructivos estructurales.------------------213

APENDICE 1 Y 2--------------------------------------------------------------------215

APENDICE 4-------------------------------------------------------------------------216

APENDICE C------------------------------------------------------------------------217

BIBLIOGRAFIA---------------------------------------------------------------------228


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I




INTRODUCCION

La presente antología es realizada pensando en los estudiantes de la carrera deIngeniería Civil del plan de estudios vigentes 2010 con clave ICF-1011 diseñode elementos de concreto reforzado, para que el estudiante cuente con un

documento en donde tenga a la mano todos los temas de dicha materia la cualconsta de las siguientes unidades. La unidad 1 trata los conceptos básicos deque está compuesto el concreto reforzado, como el cemento, el agua, la arena yla graba así también sus propiedades de cada uno de los elementos esto sin dejarde lado el acero que por lo cual toma el nombre de concreto reforzado y susdiferentes características así también el primer paso que hay que tomar paradiseñar cualquier construcción como es el bajado de cargas que soporta cadaelemento a diseñar tomando en cuenta su geometría.

En la segunda unidad tratamos el diseño de vigas desde una viga simplementearmada como doblemente armada y las vigas espaciales como vigas T y Ldiseñando su refuerzo tomando en cuenta los esfuerzos de tensión ycompresión, por lo que se realizan ejemplos de cada elemento a diseñar ya sea

por flexión, por cortante, adherencia, y también tomando en cuenta la deflexióna que suelen ser sujetas estos elementos en un momento dado.

En la unidad tres tratamos el diseño de losas en una dirección y dos direccionesque son muy comunes en los elementos de ingeniería civil haciendo uso decoeficientes para determinar los momentos de diseño haciendo ejercicios muyclaros y explícitos para una mejor comprensión del estudiante

En la unidad cuatro vemos el diseño de columnas tanto cuadradas comocirculares, aplicando los reglamentos del ACI y RDF, dando unasespecificaciones de acuerdo a dichos reglamentos y diseñando usando losdiagramas de interacción carga-momento uniaxial y biaxial y también revisandolos efectos de esbeltez.

Por ultimo en la unidad 5 damos un ejemplo de aplicación del diseño de una

casa habitación en la cual el estudiante podrá poner en práctica susconocimientos aquí adquiridos llevarlos a la práctica profesional cuando se le presente la ocasión

Y por último realizamos unos reactivos para apoyar al maestro en su catedradando también libertad a que el realice sus propios examen.


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I




Esto en la versión maestro y para la versión alumno dejamos unos ejercicios de práctica con lo que el estudiante reafirme su conocimiento aquí adquirido.

Por todo lo expuesto, espero contribuir al buen desempeño de los estudiantesdel Instituto Tecnológico de Cerro Azul y de antemano doy las gracias por la

oportunidad recibida a la directora y amiga Mta. Yeyezin Sandoval Gonzálezy a la DIRECCIÓN GENRAL DE TECNOLÓGICOS por seguir apoyando estetipo de trabajos que mucha beneficio proporciona a nuestros estudiantes.


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ING. OCTAVIANO LUNA SANCHEZI.T.C.A. DEPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA

Clase 2. Con peso volumétrico en estado fresco superior a 1.9 y 2.2 ton/m3 . Su resistenciaespecifica f ́c = será inferior a 250 kg/cm2 . El módulo de elasticidad se tomará igual a:

EC = 8000√´ en kg/cm2 El concreto ofrece una buena resistencia a esfuerzos de compresión y corte, pero es débil

para resistir esfuerzos de tensión, para ello requiere un refuerzo de acero.

La resistencia del concreto requerida en una estructura dependerá de la calidad ycaracterísticas de los agregados, así como de su uniformidad y control del mezclado.

AGREGADOS INERTES

Los agregados finos y gruesos deberán garantizar la adecuada resistencia y durabilidad delconcreto, responder a una graduación y contenido de humedad apropiada.

En la fabricación del concreto se puede utilizar arenas y gravas existentes de yacimientosnaturales, rocas trituradas cuyos fragmentos estén limpios, resistentes y densos.

Los agregados inertes no deben producir reacciones con el cemento, de tal manera se evitaránlos agregados procedentes de rocas blandas o porosas.

CEMENTOS

Es el elemento principal en la elaboración del concreto. El cemento portland es el más usadoen la fabricación de todo concreto y se puede definir como:

La pulverización fina por calcinación a fusión incipiente de materiales arcillosos y calizosque contengan oxido de calcio, aluminio, silicio y fierro, en cantidades adecuadamentecalculadas, sin más adición posterior a la calcinación que yeso natural.

Cuando varían la dosificación de las materias crudas empleadas en la fabricación delcemento, se pueden obtener cementos especiales, cada uno con características diversasveamos:

(CPC 30R) por su adecuada formulación, permite elaborar concretos con alta resistenciainiciales por lo que se puede retirar las cimbras en un tiempo menor y optimizar los tiemposde fabricación de los productos de concreto.

Los concretos producidos con este cemento son más trabajables, lo cual facilita su colocacióny compactación, aumentando así su durabilidad.

Clase resistente 40 de resistencia rápidas, cumple ampliamente con las especificaciones decalidad establecidas en la nueva norma mexicana MMX-ONNCCEE-1999.

El (CPC 40) es adecuado para la fabricación de bloques, tabicones, adoquines, etc., y engeneral para la elaboración de productos prefabricados y concretos, donde se requieran altasresistencias.

Entre sus características físicas más importantes son: En pruebas de concreto, la resistenciamínima son:


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A los 28 días (408 kg/cm2 ) .

Tiempo de fraguado inicial 45 min.

Tiempo de fraguado final 10 hrs.

El (CPO 30RS) es el más adecuado para utilizarlo en obras o productos de cementos que seansusceptibles a ser atacados por sulfatos.

Este concreto es sugerido para: construcciones en suelos con sulfatos y en ambientesagresivos. Plantas de tratamiento de aguas negras, tuberías de drenaje o de riego, estructurasde concreto sumergidas, etc. La resistencia mínima a 28 días es de (306 kg/cm 2 ).

El (CPO 30 RS/BRA) Lo hace resistente a los agentes agresivos, siendo mejor opción paraelaborar concretos más durables, ya que el desempeño de este producto es el más adecuado para resistir los ataques de los sulfatos.

Permite el uso de agregados reactivos o potencialmente reactivos con el cemento por su bajareactividad Alcali-Agregado.

El cemento ordinario (CPO 40R) es muy adecuado para la construcción de estructuras deconcreto que requieren de un endurecimiento más rápido de lo normal y alta resistencia aedades iniciales.

Se recomienda para pilotes, trabes, columnas, pistas de aterrizaje, elementos pretensados y potenzados, a los 3 días la resistencia es de (306 kg/cm2 ) y a los 28 días la resistencia es de(408 kg/cm2 ).

El cemento clase (H-HSR) es recomendable exclusivamente para la industria petrolera ygeotécnica.

El cemento clase ( H-HSR) es el más complejo de los cementos petroleros ya que tienen quesoportar temperaturas hasta156 °C y presiones hasta 36000lb/pulg2 a 9000 m de profundidadque son algunas ocasiones las condiciones de los pozos en México.

El cemento H considerado único en su tipo a nivel nacional con especificaciones muyespeciales a la industria petrolera.

Como alta resistencia a los sulfatos para garantizar la vida del pozo, resistencia adecuada para soportar presiones y temperaturas, fluidez en lechadas que garanticen un buen bombeo,

no presentar segregación que dificulta la operación, mezcla más económica y bajo consumode aditivos.


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AGUA

En la elaboración del todo concreto se utilizará agua limpia y exenta de materias nocivas alos agregados y al acero de refuerzo.

El reglamento indica que se evitara el empleo de agua de mar ya que reduce la resistencia del

concreto, además, afecta al acero de refuerzo debido a la corrosión.

ADITIVOS

Son productos que se mezclan con el concreto en proporciones no mayores al 5% del pesodel cemento para darle a la mezcla una cualidad que el concreto por sí solo no puede proporcionar.

Se tendrá especial cuidado en no utilizar como aditivo productos que contengan sulfuros,cloruros, ni tampoco ningún componente químico que ocasione corrosión en las armadurasde refuerzo.

PLASTICIDAD EN EL CONCRETOLa plasticidad en el concreto se mide con la altura de revenimiento. La prueba se efectúa dela siguiente manera. En un molde de la forma troco – cónica, de 30cms de altura, 20 cms dediámetro en la base inferior y 10 cms de diámetro en la base superior, por su parte superiorse vierte el concreto fresco mediante tres capas que serán compactadas con una varilla lisacon punta de bala con 25 golpes por capa hasta el enrase del molde. Hecho esto, se extraecuidadosamente el molde por la parte superior. Al quitar el molde, la mezcla aun fresca sedeforma más o menos según sea su plasticidad. La diferencia entre la altura del molde y lamezcla se llama altura de revenimiento.

Ahora bien, no todos los elementos que se consideran estructurales de concreto, necesitanmezclas de igual plasticidad; por tanto, el responsable de obra hará la selección delrevenimiento adecuado dependiendo del tipo de obra a la que se destina el concreto.

FIG. 1.1-Cono de revenimiento

30cm

20cm

10cm 20cm


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Fig.1.2Revenimiento

7cms

VIBRADO DEL CONCRETO

Para una buena consolidación exenta de oquedades en el interior de una masa de concreto,se necesita recurrir a una adecuada vibración en su interior y esta se logra colocando elvibrador en posición vertical. La operación de vibrado es muy importante para lograr una buena consolidación de la mezcla y deberá efectuarla personal especializado en el manejodel vibrador.

FRAGUADO DEL CONCRETO

En el momento que se mezcla el cemento con el agua se inicia una reacción química quedetermina lentamente el endurecimiento del concreto; mientras el cemento se encuentre encontacto con el agua, el endurecimiento continua efectuándose. Antes de su totalendurecimiento, la mezcla experimenta dos etapas dentro de su proceso general que son:

1. Fraguado inicial 2. Fraguado final

El fraguado inicial. Resulta difícil predecir su inicio de esta etapa, no obstante se puede decirque corresponde cuando la mezcla pierde plasticidad volviendo difícilmente manejable ydura unos 45 minutos, en este tiempo se debe colocarse el concreto en los moldes y no

manejarse más.

El fraguado final. Al irse deshidratando la mezcla, el endurecimiento llega a su segunda etapaalcanzando tal dureza que la mezcla deja de ser manejable y entra en su fraguado final quedura unas 10 a 11 horas de tiempo al llegar a su término este. Generalmente todos loscementos se comportan más o menos de manera similar.


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CURADO DEL CONCRETO

De un buen curado dependerá de manera importante la resistencia que alcanzará finalmenteel concreto.

La protección que se le proporciona para evitar la pérdida de agua o para reponer lo que se pierde recibe el nombre de “curado del concreto” y es tan importante que de un buen curadodependerá la resistencia que finalmente alcanzara el concreto.

Por lo general se utilizan varios procedimientos, pero el más generalizado consiste encubrirla superficie con una película impermeable con base de parafina que impida la deshidratacióndel concreto recién colado.

Otro procedimiento consiste en mojar frecuentemente la superficie para darle al concreto elagua necesaria que necesita para su adecuada hidratación.

El concreto normal debe mantenerse a una temperatura superior a 10 °C y en condiciones dehumedad durante los 7 días posteriores al colado.

La congelación en el concreto es altamente perjudicial y debe evitarse, ya que puede causargrandes agrietamientos en la masa con disminución importante de la resistencia en forma permanente.

COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO A ESFUERZOS DE COMPRESION AXIAL

La resistencia a compresión del concreto se obtiene de cilindros de prueba con relación dealtura a diámetro iguala dos (molde) curados en laboratorio y probarlos a los 28 días o a unaedad menor, especificada para concretos de alta resistencia a temprana edad.

Es difícil que el concreto vaciado y curado en obra desarrolle la misma resistencia que curadoy cuidado en laboratorio. Es por ello que la resistencia supuesta en los cálculos deberá sersuperior (aproximadamente (40 kg/cm2 ) que la resistencia ́ especificada.La resistencia de un concreto sometido a la compresión axial puede ser de 1000 (kg/cm 2) ymás dependiendo de una proporción adecuada, la relación agua – cemento equilibrada,supervisión y mezclado, buen vibrado y excelente curado, sin embargo, bajo condicionesnormales y agregados comunes, debemos considerar concretos con una resistencia acompresión de entre 150 y 450 (kg/cm2), siendo los comunes el de 200 (kg/cm2) y 250(kg/cm2).

Para diseño el reglamento especifica que se usara un valor nominal:

∗ =0.8́ Tanto para concretos Clase 1 como 2


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COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO A ESFUERZOS DE TENSION

Su resistencia tensión axial es baja, se considera del orden de 15 a 20 % de su resistencia ala compresión.

El reglamento acepta una resistencia a tensión f t , de :

Concreto clase 1 : 1.5√́ Concreto clase 2 : 1.2√́ Para diseñar se usara un valor nominal f t igual a 0.75 f t

ACERO DE REFUERZO

El concreto es resistente a la compresión, pero débil a la tensión, por lo que se necesita de unelemento que lo ayude a resistir los esfuerzos de tensión resultantes de la aplicación de las

cargas. Luego entonces, este material que se adiciona es el acero.

El acero es un producto siderúrgico en el que el hierro se combina con pequeñas cantidadesde carbono. En efecto, el acero deberá contener menos de 1.7% de carbono.

El reglamento determina que el acero de refuerzo para concreto será con base en barras deacero o mallas soldadas de alambre (electro malla) lisas o corrugadas.

En barras (varillas) se permite el uso de la barra lisa núm. 2 (1/4” de diámetro), principalmenteen el empleo de estribos.

En la tabla 1.1 se indican los datos técnicos de las varillas más usuales en el cálculo de una

estructura de concreto

TABLA 1.1 Tamaño de varillas corrugadas datos técnicos

8 1 2.54 5.07 8.00 3.9759 11/8 2.86 6.42 9.00 5.033

10 11/4 3.18 7.94 10.00 6.22512 11/2 3.81 11.40 12.00 8.938

Numero devarilla

DiámetroPulgadas

DiámetroCentímetros Área (cm)

Perímetro(cm)

Peso(Kg/ml)

2* ¼ 0.64 0.32 2.00 0.2512.5 5/16 0.79 0.49 2.50 0.3843 3/8 0.95 0.71 3.00 0.5574 1/2 1.27 1.27 4.00 1.00

5 5/8 1.59 1.99 5.00 1.5606 ¾ 1.91 2.87 6.00 2.2507 7/8 2.22 3.87 7.00 3.034


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El alambrón corrugado. Es un magnifico sustituto del alambrón común ya que soporta lamisma carga en kilogramos que aquel, pero es mucho más delgado (3.47mm de diámetrocontra 6.4 mm del alambrón común). Otra gran ventaja con sus corrugaciones, que sin duda, proporciona una mejor adherencia con el concreto.

El alambrón corrugado es laminado en frio.

El reglamento especifica que las intersecciones soldadas no deben estar espaciadas a más de30 cms en dirección del esfuerzo calculado.

MODULO DE ELASTICIDAD DEL ACERO

El reglamento determina que el módulo de elasticidad para todos los aceros de refuerzoordinarios se supondrá igual a:

Es = 2000 000 kg/cm2 = 2 X 106 kg/cm2

Para torones de pre esfuerzo igual a:

Es = 1900 000 kg/cm2 = 1.9 X 106 kg/cm2

TABLA 1.2 Datos de técnicas de electro mallas más usuales.

Malla decalibres dealambres

Diámetro enMilímetros

Diámetro enPulgadas

Área de acero(Cm2 /m)

Peso(Kg/m)

6X6-1/1 7.19 0.283 2.662 4.3096X6-2/2 6.65 0.262 2.291 3.706

6X6-3/3 6.20 0.243 1.974 3.2046X6-4/4 5.72 0.225 1.687 2.7296X6-6/6 4.88 0.192 1.225 1.9826X6-8/8 4.11 0.162 0.872 1.412

6X6-10/10 3.43 0.135 0.605 0.9826X6-12/12 2.67 0.105 0.370 0.595

1.2.-CRITERIOS DE DISEÑO

Existen dos teorías para el diseño de estructuras de concreto reforzado : “la teoría elástica”

llamada también “Diseño por esfuerzos de trabajo” y la “teoría plástica” o “Diseño deresistencia última”.

La Teoría elástica es ideal para calcular los esfuerzos y deformaciones que se presentan enuna estructura de concreto bajo las cargas de servicio. Sin embargo esta teoría es incapaz de predecir la resistencia última de la estructura con el fin de determinar la intensidad de las


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cargas que provocan la ruptura y así por asignar coeficientes de seguridad ya que la hipótesisde proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones es completamente errónea en lavecindad de la falla de la estructura.

TEORIA ELASTICA (DISEÑO POR ESFUERZO DE TRABAJO).

En una viga típica de concreto armado, toda la compresión través de la parte central de la luzla resiste el concreto y toda la tracción se supone que la resiste el acero. Los esfuerzos decompresión disminuyen a partir de un máximo ́ en el concreto de la superficie superior dela viga, hasta cero en su plano neutro que se halla un poco más alto que el centro de la seccióntransversa. Se supone que el esfuerzo de tracción actúa con intensidad uniforme f s en el centrode del armado longitudinal. La resultante de los esfuerzos de compresión en el concreto y alde los de tracción en el acero forme las fuerzas par resistente.

Como las dos fuerzas de un par deben ser iguales, la viga más económica será aquella enque las áreas del concreto y el acero son proporcionadas de modo que cada una desarrolle,simultáneamente con la otra, su trabajo total. Generalmente, las vigas rectangulares y laslosas se calculan con arreglo a este principio, tomando un área del armado que sea un tanto por ciento de la del concreto. Sin embargo, en el caso de vigas T, existen corrientemente unexceso de concreto y será un gasto inútil poner un área equivalente, y por lo tanto excesiva,de acero. En consecuencia, el armado de la viga T se calcula, de ordinario,independientemente dela sección de concreto.

SUPUESTOS FUNDAMENTALES. El cálculo de las piezas de concreto armado se basaen las siguientes suposiciones bajo el criterio de esfuerzos de trabajo.

1.- Una sección transversal plana de una viga antes de la flexión permanece plana despuésde la flexión.

2.- El módulo de elasticidad del concreto a la compresión permanece constante, dentro de losesfuerzos de trabajo admitidos y la distribución de esfuerzos de compresión en las vigas esrectilínea, es decir, que las intensidades de aquellas están limitadas por una recta que corta lasección de la viga.

3.- Entre el concreto y el acero existe una adherencia perfecta dentro de los límites de losesfuerzos de trabajo.

4.- La resistencia a la tracción del concreto es despreciable en el cálculo del momentoresistente de vigas y losas de concreto armado.

5.- El esfuerzo inicial que se producen en el acero por la contracción o dilatación delconcreto es despreciable, excepto en algunas fórmulas de columnas.

6.- En los cálculos para la situación del eje neutro, por el momento resistente de las vigas y para la compresión del concreto en las columnas, el módulo de elasticidad del concreto vieneexpresado por la fórmula:


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= ´ = ´ Notación que se emplea en los cálculos de concreto armado.

d = altura efectiva de una viga, distancia desde la fibra extrema en compresión al centro degravedad del armado o tracción en centímetros.

b = ancho de la viga o sección de losa, en centímetros

k = relación entre distancia del eje neutro de la sección transversal a las fibras extremas encompresión y la altura efectiva de la viga.

kd = distancia de la fibra extrema en compresión al eje neutro, en centímetros.

j = relación de la distancia entre el centro de compresión del concreto y el centro de traccióndel acero, y la altura efectiva de la viga o sea relación entre el brazo de palanca del parresistente en centímetros.

jd = distancia del centro de compresión del concreto al de tracción del acero o sea brazo de palanca del par resistente en centímetros.

fc = esfuerzo unitario a la compresión en la fibra extrema del concreto en kilogramos porcentímetros cuadrados.

f ´´c = esfuerzo unitario a la tracción en las fibras extremas del concreto en kilogramos porcentímetro cuadrado.

f s = esfuerzo unitario a la tracción en el acero, en kilogramos por centímetro cuadrado.

f ´

s = esfuerzo unitario de compresión en el acero, en kilogramos por centímetro cuadrado.AS = área de la sección transversal del armado a la tracción principal, en centímetroscuadrados.

Es = módulo de elasticidad del acero, en kilogramos por centímetro cuadrado.

Ec = módulo de elasticidad del concreto, en kilogramos por centímetro cuadrado.

n = módulo de elasticidad del acero dividido por el módulo de elasticidad del concreto o seaEs /Ec.

Ms = momento resistente del armado, en centímetros – kilogramos, cuando se calcula sobrela base del área total del acero, As, por un esfuerzo supuesto f s .

Mc = = momento resistente del concreto, en centímetros – kilogramos, cuando se calculasobre la base de un esfuerzo supuesto, f c en la fibra extrema del concreto.


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M = momento flexionante en centímetros- kilogramos

= porción del armado, o sea As/bd.Según el supuesto (1), la deformación de una fibra cualquiera en una viga es proporcional asu distancia al plano neutro, o sea al eje neutro de la sección transversal de la viga.

Fig.1.3-. Esfuerzos de trabajo

∆c

kd centro de

d compresión

(1-k)dcentro de tracción

∆s

Como supuesto (2) el módulo de elasticidad permanece constante, los esfuerzos son proporcionales a sus deformaciones y, por lo tanto, estos esfuerzos varían también proporcionalmente a su distancia al eje neutro. En el plano neutro de la viga, el esfuerzo escero y en el lado de la compresión aumenta hasta un valor máximo, fc, en las fibras extremas

comprimidas.

De este modo se forma un triángulo con los esfuerzos de compresión, con el centro decompresión aun tercio de la altura del triángulo medido desde su base.

El centro de tracción coincide con el centro de su gravedad de la sección transversal delacero.

En la figura ∆c y ∆s representan las deformaciones máximas en el concreto y en el acerorespectivamente, cuando la viga se flexiona bajo la acción de un sistema de cargo. El esfuerzode compresión resultante en el concreto se compone de la suma de los esfuerzos variables de

compresión y su línea de acción pasa por el centro de gravedad del triángulo de los esfuerzos.Como el módulo de elasticidad de cada material es igual al esfuerzo unitario de dicho materialdividido por la deformación unitaria correspondiente.

Módulo de elasticidad


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Sustituyendo: Ec =∆ y Es = ∆

Transponiendo: ∆c = y ∆s = Por semejanza de triángulos ∆∆ = Sustituyendo los valores de: ∆c y ∆s

=

− O

=

−

Sustituyendo valores de n =

= − y = − (1)

Como el armado longitudinal puede desarrollar un momento resistente igual al área de su

sección ∆s o

bd x fs x jd o Ms =

bd x fs x jd = =

fs jb d2 (2)

Como el concreto puede desarrollar un momento resistente igual al área de seccióntransversal sujeta a compresión, kbd por el esfuerzo medio unitario de compresión, ½ f,

Por su brazo de palanca jd se deduce que

Mc = kbd x ½ fc x bd2 o Mc = ½ fcjkbd2 (3)

Como el esfuerzo de tracción en el armado tiene que equilibrarse con el esfuerzo decompresión en el concreto, se pueden igualar estas dos expresiones luego

= 12


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Y suprimiendo factores comunes

2 fs=fck o = (4)Igualando los valores de de las formulas (1) y (4)

− =

o k 2 = 2 n(1-k)

Y 2 = 2 Agregando a los dos miembros de esta fórmula 2 para completar el cuadrado en el primer miembro 2 = 2 Extrayendo raíz cuadrada

k+ = 2

= 2 - (5)Conocidos se puede deducir de esta fórmula el valor de k determinando de este modola posición del eje neutro.

Transponiendo en la fórmula (2) y sustituyendo Ms por M

=

6

Y del mismo modo, de la fórmula (3)

= 2 7


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Esta fórmula se emplea para comprobar los esfuerzos en el acero y en el concreto,respectivamente, en las piezas proyectadas. Sustituyendo ∆s = y trasponiendo en la formula (6)

∆ = 8 Por definición ∆= 9 Estas últimas fórmulas sirven para determinar el área de la sección trasversal del armado principal que trabaja a la tracción necesaria para resistir el momento dado de flexión. Lafórmula (8) es de uso general. El valor de j que corresponde a un esfuerzo dado cualquieray el valor de se puede tomar de las tablas que hay para ello.Por medio de la fórmula (9) se puede determinar el área de la sección del armado como un

tanto por uno, , de la sección de concreto bd.Este procedimiento da buenos resultados en el caso de losas y vigas rectangulares en las quese determina la sección de concreto basándose en los momentos.

Transponiendo en la formula (7).

M = ½ fcjkbd2

De donde

=

=

(10)

Esta fórmula sirve para determinar la altura necesaria de una losa o viga para resistir unmomento dado de flexión sin pasar del esfuerzo unitario especificado de antemano, en elconcreto.

Empleando esta fórmula, se pueden aplicar las formulas (8) y (9) para determinar la secciónde acero.

TEORÍA ELASTICA (DISEÑO DE RESISTENCIA ÚLTIMA).

El criterio de diseño por resistencia ultima, se caracteriza por utilizar un análisis plástico concarga factor izadas actuando sobre la estructura y se supone que las secciones mas esforzadasllagan a su capacidad ultima de carga, suponiendo además que son capaces de sufrir grandesdeformaciones inelásticas. También en este caso se toma en cuenta el comportamiento conlos esfuerzos máximos que pueden soportar el material. Las cargas factorizadas se obtienena partir de las cargas de servicio mediante factores mayores que la unidad llamados factoresde seguridad.


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Este criterio toma en cuenta el comportamiento general de la estructura en el momento defalla, mientras que el anterior solo toma en cuenta el comportamiento de algunas secciones bajo las solicitaciones máximas.

Tabla 1.3 RESUMEN DE LOS CRITERIOS BREVEMENTE

CREITERIOS ANALISIS CARGAS ESFUERZOS GARANTIADE

ESTABILIDAD

Por esfuerzosde trabajo

Elástico De servicio Menores a losmáximos

Factor deseguridad de los

esfuerzos

Por resistenciaultima

Plástico Factorizada Máxima Factor deseguridad

HIPOTESIS BÁSICA DE LA TEORIA

Para determinar la resistencia de secciones sometidas a flexión, con carga axial o ambascombinadas, el reglamento se basa en las siguientes hipótesis y condiciones de equilibrio.

1.- Toda sección que antes de la flexión era plana permanece plana después de la flexión.

2.- Se desprecia la resistencia del concreto a esfuerzos de tensión.3.- En una sección con flexión y carga axial, se considera que la distribución del esfuerzo enel concreto es un rectángulo con un esfuerzo de 0.85 f *c distribuido uniformemente sobreuna zona equivalente de compresión a una profundidad a= β1 se tomará igual a 0.85f *c cuandof * c ≤ 250 kg/cm2 e igual a

(1.05 ∗1250) ∗ ∗>250/ 4. entre el acero y el concreto existe adherencia, de tal manera que las deformaciones

unitarias del acero son iguales a las del concreto adyacente.5. La deformación máxima unitaria en la fibra extrema en compresión se considera igual a0.003.

La resistencia obtenida con estas hipótesis, multiplicada por el factor FR correspondiente(factor de reducción), da la resistencia de diseño.


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BLOQUE DE ESFUERZOS RECTANGULAR EQUIVALENTE

A continuación se analizará el comportamiento de una viga de concreto reforzado sujeto auna carga de flexión creciente tomando en cuenta las anteriores hipótesis.

Antes de deformarse la viga bajo la acción del momento flexionante, esta se encuentra

representada por el rectángulo 1,2,3,4, de la siguiente (figura1.4.) Al someterse la viga a unacarga creciente está se deforma, acortándose las fibras sujetas a compresión (11 - 22 )yalargándose las sujetas a tensión (33 – 44 ).

Entre las compresiones y las tensiones se encuentra un plano de fibras que no sufre ningunadeformación y se la da plano o eje neutro.

Los resultados obtenidos con la teoría elástica donde se produce una deformación lineal deesfuerzos según la (figura 1.4.) no son comparables con la realidad, siendo muy difícil de predecir la carga de ruptura con esta teoría, debido fundamentalmente a que las secciones deconcreto reforzado se comportan inelásticamente bajo cargas elevadas.

b 1 11 carga de flexión creciente 22 2

d eje o plano neutro

h

As acero de refuerzo

r

sección transversal de la viga 44 4 3 33

sección longitudinal de la viga

Fig.1.4. viga sujeta a flexión

Al ir aumentando el momento flexionante, los esfuerzos de compresión varían y son de ceroen el plano neutro a un máximo en la fibra más alejada de compresión( fig1.5).Al respecto,el científico Charles S. Whitney remplaza la distribución del bloque de esfuerzos de concretoa compresión por un rectángulo equivalente ( fig.1.5). Con esta distribución rectangular selogra una simplificación en los cálculos.

=0.003 0.85

´

C C a/2

c a = β1c a/2 a/2

eje neutro

Fig. 1.5 Esfuerzos equivalentes


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Ahora bien, para que haya las fuerzas resultantes de compresión de los bloques real yequivalente, se deberán cumplir dos condiciones:

a)

El volumen de la cuña rectangular representada por la resultante C, con un ancho0.85 ´ un espesor b y una profundidad a, tiene que ser equivalente al volumen del bloque real de esfuerzos. b) La distancia de la resultante C en la cuña rectangular equivalente tiene que ser iguala la profundidad de la resultante C en el bloque real de esfuerzos.

Efectivamente cuando en una sección dada se cumple las dos condiciones mencionadas,la mecánica de sus fuerzas no sufre alteración alguna.

MIEMBROS SOMETIDOS A FLEXION. FALLAS

Las condiciones de equilibrio demandan que la fuerza resultante interna de compresiónsea igual a la fuerza interna de tensión.

B 0.85f´c

a/2

d C c C a=β1CC

jd EN

1. d-c

As

r

a) b) c) d)

Fig. 1.6 a) Sección longitudinal b) Sección transversalc) Esfuerzos reales d) Esfuerzos equivalentes

Por necesidad de equilibrio

C=T y C= 0.85f c´ab T= As f s ρ = ∴ = 0.85́ = A

y jd = d-0.5a


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Momento de diseño

Concreto: Mu = Cjd = C (d-0.5a)

Acero: Mu = Tjd = T(d-0.5 a )En el análisis de una viga simplemente armada vamos a estudiar las posibles fallas a flexión:

a) Falla a tensión b) Falla a compresiónc) Falla balanceada

a)

Falla a Tensión. Esta falla ocurre cuando la sección de concreto presenta bajocontenido de acero, en estos casos el acero alcanza la resistencia de cedencia antesde que el concreto llegue a sus capacidad máxima, es decir, f s = f y (falla a tensión).

Obtención de la distancia a:

= .́ ; también = Momento de diseño:

Mu = As f y (d-0.5 a) = As f y 0 . 5 0.85´ = As f y0.59 ´

Relacionando la ecuación anterior con el porcentaje de acero, se tiene:

Mu = 10.59 ´ y simplificando ´ = Se tendrá finalmente:

Mu = ´ (1-0.59 Hay que recordar que el reglamento determina que el momento de diseño se debe afectar

por un coeficiente de seguridad (FR ) por tanto:

Mu = ´ (1-0.59


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Donde

a, altura del bloque rectangular equivalente

b, ancho de una sección rectangular (viga)d, peralte efectivo de la viga

As área de acero

f s fatiga de trabajo del acero

f y resistencia de cedencia del acero

C y T resultantes de compresión y tensión, respectivamente

jd, brazo de palanca entre ambas resultantes

Mu momento ultimo, porcentaje de acero, literal simplificada

b)

Falla a compresión. Cuando en una sección de concreto el porcentaje o área de aceroes muy alto, el concreto puede llegar a su capacidad máxima antes de que el aceroceda. Esta falla es muy peligrosa y hay que evitar que ocurra, pues el elemento fallaen forma frágil y repentina, sin ningún indicio. El reglamento da un valor para la

deformación del concreto en la fibra más alejada en compresión de =0.003. Para una falla de compresión, f s < , esto debido a que el acero se encuentra en estadoelástico,

C

h c

d T plano neuto

r Fig.1.7 Deformaciones de una viga de sección rectangular


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Por comparación de triángulos, en la figura 1.7 se obtienen

=

+ y

=

∴ =

por tanto

= ..+ =

..+

Ahora bien, multiplicando todos los términos de la ecuación por 2 x 106 obtenemos:

= + = + Por necesidad de equilibrio, C= T

Mu = C(d-0.5 a) = 0.85fć ab(d-0.5 a)

a = por tanto Mu = 0.85bfć (d-0.5 )Finalmente el momento resistente de diseño es igual a:

Mu =FR 0.85fć (d-0.5 ).c) Falla balanceada. Ocurre cuando simultáneamente el acero llega a su esfuerzo defluencia y el concreto alcanza su deformación máxima de 0.003 en la fibra masalejada de compresión.

En elementos a flexión diseñados para resistir fuerzas sísmicas, el acero de tensión tendrácomo máximo 75% del área correspondiente a falla balanceada.

La mencionada limitación ( 75% ) tiene como finalidad proporcionar al elementodiseñado un comportamiento dúctil. Tratándose de elementos continuos, el refuerzo deacero por tensión quedará limitado a ( 50% de

). El propio reglamento especifica como

refuerzo máximo de acero para elementos no sometidos a fuerzas sísmicas el quecorresponde a la falla balanceada.

Haciendo referencia a la ecuación de equilibrio:

0.85́ = = 0.85fć = y =


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0.85f´c = y = .´ = .´

Como se conoce el valor de , se tiene;.´ . = = .´ . +

El porcentaje de acero no excedá de 75%

=0.75.´

.

+

El reglamento da la fórmula:

=. .´ .∗ . + =. .´ . + 1.3 ANALISIS DE CARGAS POR GRAVEDAD

Para las diferentes clases de cargas y fuerzas que pueden llegar a actuar en la estructuraque se está diseñando, el ingeniero cuenta con la ayuda de los códigos de diseño endonde se especifican en general las cargas más usuales para las estructuras. Una de lastareas iniciales del calculista es la determinación de las acciones que afectan la estructuraocasionando en ella efectos significativos .La clasificación de estas acciones puedehacerse con diferentes criterios. Para tal efecto, el RCDF las clasifica de la siguientemanera.

A) Acciones permanentes .Son aquellas que obran en las estructuras en forma continuay cuya intensidad se puede considerar no variante con respecto al tiempo. Dentro deestas entran las cargas muertas, que son debidas al peso propio de las estructuras y a

empujes estático ya sea de tierras o líquidos o granos que tengan carácter permanente.B) Acciones variables. Son aquellas que obran sobre la estructura con una intensidad

variable con respecto al tiempo, pero que alcanzan valores significativos durante periodos grandes. En este grupo tenemos a las cargas vivas, que son las que seoriginan por el funcionamiento de la estructura y no tienen carácter permanente como pueden ser: las personas, el mobiliario etc.


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C) Acciones accidentales. Son aquellas que no se deben al funcionamiento normal de laestructura, pero que toman valores muy significativos solo durante breves periodosen la vida útil de la construcción. En este tipo tenemos al viento, al sismo, al oleaje,las explosiones etc.

Entendemos por cargas muertas como el conjunto de acción básicas derivadas del peso propio de la estructura, muros divisorios, acabados de pisos, muros y techos, herrería conventanas, instalaciones y equipo que están fijos durante la vida útil de la construcción.

Cargas vivas, se derivan de la función que tenga la edificación. Por lo tanto, toda carga queno tenga una posición fija dentro de la construcción se considerará como carga variable, esdecir carga viva

Carga accidental, la más importante para diseño de casas habitación es el sismo.

DETERMINACIÓN DE CARGAS UNITARIAS DE ELEMENTOS

Figs 1.8.- Cargas unitarias

Primer caso: losa

L1

1.0

1.0

L2

e = .10

PLOSA DE CONCRETO = PVOL X e X 1.0 X 1.0 =

Si PVOLU DEL CONCRETO = 2400 kg/cm2

PLOSA DE CONCRETO = 2400 X .10 = 240 kg/m2


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Segundo caso: Muro de tabique

MURO DE TABIQUE DE

BARRO RECOCIDO

PVOL =1500KG/M3

PMURO = PVOL X e

PESO MURO = 1500 X 0.15

PMURO = 225 KG/M2

1.0 1.0

0.15

Tercer caso: Trabe CONCRETOPVOL =2400kg/m3

PTRABE = PVOLXbXt

L

0.40 PTRABE =2400X0.15X0.40=

= 144kg/m2

0.15 1.0m


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Cuarto caso: Columna

CONCRETO

Pvol = 2400 kg/m3

h P col = Pvol x b x t x1.0

Pcol = 2400 x 0.15 x 0.20 = 72 kg/m

1.0

0.20

0.15

Quinto caso: peso de tinaco y bases

P = PESO DE TINACO +AGUA = 220 +1100 KG

P =1320 KG

PESO DE LAS BASES

P = 2X270 kg/m2 X1.05=568kg

P1 = (peso tinaco + peso agua +peso

P/2 =660 kg P/2 = 660 kg bases)

1.05m P1 = (peso tinaco + peso agua + peso bases)/2

P1 = (1320 + 568)/ 2 = 944kg

P1 =944 kg


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BAJADA EQUIVALENTE DE MUROS DIVISORIOS

Cuando un tablero de losa se encuentra un muro divisorio colocado paralelo a una de suslados primero hay que obtener el peso del muro luego dividirlo entre el área del tablero y el

resultado se deberá de multiplicar por un coeficiente de acuerdo a la siguiente tabla 1.4

Relación de clarosM=

0.5 0.,8 1.0

Muro paralelo allado corto

1.3 1.5 1.6

Muro paralelo allado largo

1.8 1.7 1.6

Ejemplo:

a2 =5.00m

a1= 4.00m

perímetro del tablero muro divisorio

Datos :

a1 = 4.00M

a2 =5.00M

m = =

4= 0.8 peso del muro completo 1296 kg

W equivalente =

x 1.5 = 97 kg/ m2

Esta carga se deberá sumar a la carga muerta de la losa o tablero en el que se tenga apoyadoel muro divisorio.


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BAJADA DE CARGAS EN LOSAS

Transmisión de la carga hacia el perímetro de los distintos tableros principia con el cálculode la carga W por metro cuadrado de los distintos tableros. En este cálculo se toma en cuentael área tributaria que le corresponde a cada tablero.

Caso 1 Área tributaria = AT/ 4

45°

a2

Caso 2

45° hHHH 45° a1

h

Área del trapecio = – Área de triánguloÁrea del triángulo =

4 Caso 3 volado

1m

L

W = WxL

W= peso por m2 del sistema

L = claro del volado


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Peso por metro lineal del volado. En este caso de volados, la carga w que aplican por metrolineal a todo lo largo de su apoyo equivalente al peso W por metro cuadrado multiplicado por la longitud del claro.

Bajada de carga hacia la cimentación este proceso se desarrolla mediante la suma de lascargas por metro lineal que transmite un tablero hacia el borde analizado y la carga pormetro lineal que transmite un muro. Este proceso se repite tantas veces como pisos tenga.

En la fig . 1. 8 puede observarse la representación de la bajada de cargas. En este caso, lasuma mencionada seria la siguiente:

Carga sobre cimiento= w s/c = w azotea +wmuro1 + w entrepiso + wmuro2

W W

losa de azotea AZOTEA AZOTEA

muro p alta W MURO DE P ALTA

W W

losa de entre piso ENTREPISO ENTREPISO

muro p baja W MURO P BAJA

carga sobre cimiento

CARGA SOBRE TERRENO

Fig. 1.8 Bajado de cargas sobre la cimentación


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EJERCICIO UNIDAD1

1.- calcular el peso de la siguiente losa , = 2400 /2

L1

1.0

1.0

L2

.10

2.-


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2.- Calcular el peso del muro hueco sin recubrimiento

1.00m

1.00

0.12


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3. calcular el peso del tinaco P = peso de agua 1500kg, peso de tinaco 300kg muros deladrillo revocado en ambas caras con mortero arena cemento con un peso total de 900kg

1.05m

4.-ANALIZAR LAS CARGAS DE LA SIGUIENTE LOSA.

MORTERO ENLADRILLADO

2 cm

RELLENO 5 cm

5.0 cm

10.0cm

PLAFON DE LOSA DE 10cm YESO CONCRETO 1.5


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5,-CALCULE EL PESO DE LA ESCALERA POR M2 DE SU PROYECCIÓN

HORIZONTAL N = + 2.70

0.12 1.10

0.74

1.72

0.74 1.15

12 2.25

PLANTA

CORTE


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ING.OCTAVIANO LUNA SANCHEZITCA DEPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA

UNIDAD II DISEÑO DE VIGAS

Competencia específica a desarrollar.- Diseñar y revisar vigas por flexión y cortante conforme a los reglamentos

de construcción vigentes.

2.1- SECCIÓNES SIMPLEMENTE ARMADAS

Bueno vamos a dar unos ejemplos donde se apliquen las formulas anteriormente obtenidasde acuerdo a la teoría plástica que es la más actualmente aplicada debido a que la teoría deesfuerzos de trabajo ya no es conveniente pues resultan muy grandes sus elementos.

Ejemplo 2.1.- Calcular el momento resistente de diseño en una viga de sección rectangularsimplemente armada. Diga si la viga falla a tensión, a compresión o se encuentra balanceada.

Datos :

fć = 200 kg/ cm2; f y = 4200 kg/cm2

d = 40 cm; b = 25cmAs =3 ɠ = # 5 = 5.97 cm2 (supuesto)

0.85fć

B=25 a/2 c a/2

h d=40cm

d-c T jd = d-a/2

r Fig.2.1 Deformación de una viga simplemente armada

Primeramente calculamos la profundidad de la cuña rectangular de esfuerzos equivalentes:

C= T

∴ 0.85 fć ab = AS f s y f s = f y

a =

.´ . .= = 5.90cm


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∴ 5.900.85 6.94

Cuando < , la viga fallara en tensión, veamos:

(viga balanceada) =0.75.´ . + 0.75 .. . = 0.258 x 0.588 x 0.85 = 0.015

5.97

25 40 0 . 0 0 6 < R=La viga falla por tensión

El reglamento especifica un esfuerzo mínimo de acero en secciónes rectangulares deconcreto armado de:

As min =. ´

.√

25 40 2.36 Calculo del momento resistente de diseño:

Mu = FR bd2 f´c(10.59) 0.006

´ 0.006 4200

200 0.126

Assmin =. ´

2.36 cm2

finalmente:

Mu = FR bd2 f´c(10.59)=0.90x25(40)2 200x 0.126(1-0.59x0.126)= 839760 ∴ Mu=839800kg-cm


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Ejemplo 2.2 Diseñar la viga de sección rectangular simplemente armada

b=?

d=?

viga rectangular simplemente armada

La viga se encuentra sometida a un momento de:

Mu = 4 600 000 kg-cm; f´c = 200kg/cm2 y f y = 4200 kg/cm2

(La viga no está sometida a empujes sísmicos)

Se pide diseñar la viga con el máximo porcentaje de acero y con el mínimo permitido por elreglamento.

a) Diseño con el máximo porcentaje de acero.

.´ . 0.020 Y

´ 0.020 0.42

Se aconseja que el ancho de la viga no sea menor de 20 cm, por tanto:

´ (10.59) 0.90 20 200 0.42(1 0.590.42)


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4044.60 ∴ √ 4044.60≈63.60 h =d + r = 63.60 + 2.40 = 66cm

El peralte efectivo, d = 66.30 cm, será el mínimo que podrá tener la viga ya que se encuentrareforzada a su máximo porcentaje de acero permitido.

Calculo del área de acero:

AS = 0.020 20 63.6025.44 a) Diseño con mínimo porcentaje de acero permitido.

El reglamento dice: “En elementos de sección rectangular de concreto refor zado elárea mínima de refuerzo se obtiene con la expresión siguiente.”

Amin =. ´

Amin=.√ 0.0024 . = 0.0024∴ ´ 0.0024

4200200 0.05

Suponiendo b = 20 cm

d2 =

..(−..) 26332

d =√ 26332 163 ℎ 166 ∗ *El reglamento dice “Haciendo referencia al esfuerzo cortante la relación h/b noexcederá de 6 para evitar torsiones en la viga” La relación anterior obliga a un cambio de sección por ejemplo b = 40 cm

4 600 000.9040 2000.05(10.590.05) 13 166.00

∴ √ 13166 114 ∴ ℎ 118 = 2.95


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Calculo del área de acero:

AS = 0.00244011410.94

Con ɠ # 7 =

.. 3 ɠ #7

Al diseñar una estructura se tendrá presente que las fallas a compresión son en la práctica extremadamente peligrosas (falla frágil ρ> viga con gran porcentaje deacero), debido a que fallan con poca advertencia visible. En cambio, cuando la fallaes a tensión (falla dúctil ρ< , viga con poco porcentaje de acero), la viga mostraráagrietamiento del lado de la tensión, pero la falla ocurrirá lentamente indicandofuertes deflexiones y fracturas, lo cual anuncia el colapso con anticipación.Lo mencionado anteriormente indica que para asegurar un buen comportamiento entodos los elementos estructurales, el reglamento limita el área de acero a la

correspondiente falla balanceada.

2.2 SECCIONES DOBLEMENTE ARMADASUna viga doblemente armada se presenta, cuando por razones arquitectónicas oestructuras se fijan de antemano las dimensiones de la viga. Cuando esto sucede, podrá requerirse acero en la zona de compresión, ya que el momento flexionante quese debe absorber es mayor que el momento resistente capaz de soportar la viga con lasección impuesta.El acero en ambas zonas (tensión y compresión) podrá alcanzar o no su límite defluencia, no obstante, para su cálculo lo mejor es suponer que todo el acero seencuentra en estado de cedencia y, en caso contrario, efectuar las modificaciones enel cálculo del acero que no se encuentre en estado de cedencia. Hay que mencionarque las vigas doblemente armadas necesitan grandes cantidades de acero, y aun así,el incremento de resistencia que proporciona es poco significativo.

OBTENCION DE LAS FORMULAS

Primeramente se considera que todo el acero está cediendo 0.003 0.85F´c

A´S d´ CS

c c-d´ CC+ = EN h d

d-cr

AS1 AS2 Fig2.1 a) Sección de la viga doblemente armada. Fuerzas


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0.85fć

CS

a = β1c CC

EJE NEUTRO

Fig2.1 b) Sección de la viga doblemente armada. FuerzasDonde :

´ = área de acero en compresiónCc = fuerza resultante de compresión

CS = fuerza resultante del acero en compresión

= deformación del acero en compresión en ese plano = fatiga del acero en compresión en ese plano

Primeramente se supone que todo el acero está cediendo, entonces por necesidad deequilibrio, obtenemos:

Cc + Cs = C = T = 0.85fć ab + As´f y = As f y As = As1 + As2

despejando ∴ 0.85 fć ab = As f y – As ´f y 0.85 fć ab= (As – As´ )f y

(−´ ).´ (ecuación valida cuando el acero alcanza la fluencia)Se puede obtener el valor de en función del porcentaje de acero, veamos:

= ∴ . . . . ´ ´ ∴ ´ ´

El valor de en función del porcentaje de acero será:


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(−´).´ (−´

.´ (−´)

.´

Ahora bien, cuando la deformación en el acero es mayor que , se dice que el acero estacediendo veamos la figura siguiente:

0.003

c d´

c-d´ eje neutro

d

d-c

Fig. 2.2 Diagrama de deformación

´ ∴

´ ≥

∴

∴

≥

∴

Cuando ambas ecuaciones se cumplen, el acero en compresión y en tensión alcanza lafluencia.

Basándose en lo expuesto anteriormente, calculamos el momento resistente total. Haciendomomentos en el plano donde se ubica el acero en tensión, obtenemos:

Mu = FR [(AS – A´S )f y (d-0.5a) + A´s f y (d-d´)]


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= FR 0.85fć ab (d-0.5a) + A´s f y (d-d´)

Es muy importante recordar que la distancia (profundidad del bloque rectangular deesfuerzos equivalentes) mostrada en ecuaciones anteriores, es correcta cuando ambos acerosfluyen; en caso contrario, la distancia deberá calcularse partiendo de la ecuación deequilibrio:

0.85fć = As f s – As´f sc

= A f−´ .´ (ecuación valida cuando los aceros no fluyen)Ejemplo2.3 En una viga de sección rectangular con refuerzo de acero en la zona de

compresión, calcular el momento resistente. Dígase también si el acero en tensión y encompresión se encuentra en cedencia.

b 0.85 ´ A´S d´ A´S a/2 d´

C c-d´ = Cc d + = d-d´

AS2 d-c T

r AS1

Fig 2.3 Viga doblemente armada

Datos:

Fć = 200 kg/cm2 , f y = 4200 kg/cm2

d = 46 cm; b = 20 cm≥

d´= 4 cm

AS = 5 # 8 = 5 x 5.07cm2 = 25.35 cm2 ( supuesto )A´S = 4vs # 6 = 4 x 2.87cm2 = 11.48 cm2 ( supuesto )


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En un principio se mencionó que el acero en ambas zonas ( tensión y compresión ) puede ono alcanzar su límite de fluencia. En nuestro ejemplo suponemos que todo el acero seencuentra cediendo, veamos:

=

( −´). ´

(.−.).

17.13

y

17.130.85 20.15

A continuación, se comprueba si el acero en compresión alcanza la fluencia como sesupuso:

−´

0.003 .−.

=0.0024 y si ≥

el acero se encuentra cediendo:

42002 000 000 0.0021∴0.0024>0.0021( )

Comprobación del acero en tensión:

∴

0.003

4620.1520.15 0.0038 ≥

El acero en tensión estará cediendo, cuando:

0.0038>0.0021 (el acero en tensión también se encuentra cediendo)Como todo el acero alcanza la cedencia, se calcula el momento resistente de diseñoaplicando el coeficiente de seguridad especificado por el reglamento:

Mu = FR [(As – As´ )f y (d-0.5a) + As´f y(d- d´)]

= ( 25.35-11.48)4200(46-0.5x17.13)+11.48x4200(46-4)

= 0.9 (2180738+2025072) = 3 785 000 kg cm

El momento obtenido lo comparamos aplicando otro procedimiento:

1° Como viga simplemente armada (concreto).

Mu = FR [(As – As´ )f y (d-0.5a) + As´f y(d- d´)] = 0.90(2180300)

Para equilibrar la viga se requiere una cantidad de acero como viga simple:

Mu = FR [As1 f y (d-0.5a ) ∴ As1 = [(−.)]


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( )([(−.)] =13.87cm

2° Para finalizar el cálculo, será necesario obtener la cantidad de acero que se requiere en lazona de compresión y otra cantidad de acero complementario en la zona de tensión.

a/2 (viga simple armada)

d= 46 cm CC Mr =1962300kg cmd - a/2

Mr =1962300kg cm

AS1 T (acero en tensión como simple armada)

Fig. 2.4 Acero en la zona de tensión

b

d´=4cm concreto

concreto AS´ =11.48cm2 acero en compresión

d =46cm AS1=13.87 cm2 M ŕ = 1822600 Mu= 3784900kgm

A´s2 = 11.48cm2 acero en tensión,más

acero en tensión

complementaria

Fig 2.5 Acero complementario en la zona de tension

Acero en compresión:

Mu = FR [A´s f y (d-d´)] = FR [11.48x4200(46-4)] =FR [2025072]

Acero complementario en tensión:

AS2 =AS – AS1 =25.35-13.87 =11.48 cm2

Mu = FR [ 11.48 X 4200(46-4)] = FR [2025072]


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Que comprobado que los momentos calculados por ambos procedimientos son prácticamente iguales, ya que: 3 785 000 kg cm ≃ 3 784 900 kg cm

Ejemplo 2.4. En un centro deportivo se tiene una viga que recibe una carga de5490 kg/m como lo muestra la figura

w =8240 kg/m

L= 6.60M

Fig.2.4.Viga doblemente empotrada

Diseñarla viga calculando las áreas de acero necesarias

Datos:

Sección obligada, d =40 cm; b = 25 cm

F´c = 200kg/cm2 ; fy = kg/cm2

El reglamento determina un factor de carga de Fc = 1.5

W = 5490 x 1.5 = 8240 kg/m

Momento flexionante:

M =

=

.

29900kg m = 2990000kgcm

En elementos a flexión el área de acero será como máximo 75% del área correspondiente afalla balanceada:

0.75 .´ .

+ 0.75..

. 0.015 ∴ 0.015254015


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Obtención de la distancia :0.85´ ∴ .´ . 14.82 Veamos si la viga es doblemente armada:

Mu = [ ( 0.5 ) 0.9 [154200(400.514.82)] 1 847 850 El momento capaz de tomar la viga como simplemente armada (1 847 850 kg cm ) es menorque el momento requerido por flexión (2 990 000 kg cm), por tanto,la viga es doblementearmada.

Concreto d´ = 4cm A´S =8.4cm2

d Mr =1847850 kg cm Mr = 1142150 kg cm Mu = 2 990 000 kg cm

+ =

AS1 =15 cm2

Mr = 1142150 kg cm Mu = 2 990 000 kg cmAS2 = 8.4cm2 AS =23.4 cm2

2 990 000 – 1847850 = 1142150 kg cm ∴ ´ .(−) . El momento excedente (1142150 kg cm), se tomará con una armadura en compresión y otraen tensión complementaria.

2.3 SECCIONE T y L

En estas secciones son una combinación de losa y viga formando ambos elementos una solaunidad. La losa, como elemento horizontal, recibe el nombre de patín, y la viga, comoelemento vertical, el de alma o nervadura.

El elemento estructural puede mostrar la apariencia de una viga “T”, sin embargo, para que

la sección se considere una viga “T” , será necesario que el eje neutro caiga abajo del espesord la losa o patín.

b

t patín

d eje neutro

h AS alma

b´ Fig.2.5.Viga “T”


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40



b

t eje neutro

h d

A´S

b´

Fig. 2.6.Viga “T”

b

t

eje neutro

h d

A´S

b´

Fig. 2.7.Viga “T”

En efecto, cuando el eje neutro cae dentro del patín o en el límite de este, la viga “T” será

únicamente en apariencia y la sección trabajará como una viga rectangular y deberáanalizarse como tal.(figs. 2.6 y2.7 ).

Además el reglamento especifica. “El ancho del patín que se considere trabajando a

compresión en secciones “T” y “L” a cada lado del alma será el menor de los tres valoressiguientes”

a) La octava parte del claro menos la mitad del ancho del alma. b) Ocho veces el espesor del patín o losa.c) La mitad de la distancia al paño del miembro más cercano.


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b 0.003 0.85´ t C a/2

h d a/2

A´S EJE NEUTRO T d-a/2

r

Fig. 2.10. Viga “T” de concreto

Partiendo de la suposición de que c> , la profundidad del bloque de esfuerzos a caeabajo del espesor del patín y de la viga es “T”. Cuando esto sucede el reglamento

dice: “ el momento se obtiene considerando primero la parte correspondiente al

concreto del alma en compresión y otra parte que corresponde al concreto encompresión de los salientes del patín; la suma de ambos momentos da el momentoultimo de diseño y estará equilibrado con los momentos en la zona de tensión”

(fig2.11) por equilibrio de fuerzas, C = T;

C= 0.85 f´c ab´ + t ( b-b´)T= AS fy ( si el acero de tensión alcanza la cedencia, )

b a/2

t a C

d E. N.

d-a/2

A´S T

b´

Fig2.12. Eje neutro abajo del patín


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y, también

C = CC + C

P y T = A

S= A

S1 + A

S2

0.85f´c ab + 0.85 f c t (b-b´) = AS f y

∴ 0.85´ ( ´)0.85́ ´ Haciendo momentos respecto al centroide del acero en tensión se obtiene el momentocorrespondiente al concreto del alma y el que corresponde a los salientes del patín; sinembargo, antes de proceder a la obtención de los momentos es conveniente comprobar queel acero en tensión esté o no fluyendo.

El acero fluye cuando:

0.003 0.0030.85

≥

Mu = Cc (d-0.5 a ) = 0.85 ´ ´ (0.5 ), momento proporcionado por el concreto delalma,

y Mu = C p* ( d-0.5t ) = 0.85 ´ ( ´)( 0.5 ), momento del concreto en el patín de la viga.

Sumando ambas ecuaciones y aplicando el factor de reducción, obtendremos el momento

resistente a la totalidad del concreto (Mu) en la zona de compresión:

Mu=FR [ 0.85 ´ ´ (0.5 ) 85 ´ ( ´)( 0.5 )]

De igual forma se obtienen los momentos correspondientes al acero en tensión

Mu = AS1fy (0.5 ), momento proporcionado del acero que equilibra el concreto delalma .

Mu = AS1fy (0.5 ), momento que equilibra al concreto en el patín.Sumando ambas ecuaciones se obtiene el momento resistente de todo el acero (zona detensión):

Mu = FR [(AS1 – ASP ) ( 0.5 ) ( 0.5 )]


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Datos:

F´c = 200kg/cm2 L = 6.60 m

Fy = 4200 kg/cm

2

L´= 2.20d = 45 cm t = 7cm

b´=25 cm AS=4 VS # 10 = 4x 7.94 = 31.37 cm2

Veamos en corte x-x b = 95

* Es aconsejable que la t =7cm

distancia a cada lado *

del alma no exceda de d= 45 cm

8 veces el espesor del AS

patín b´= 25 cm

Ancho efectivo del patín trabajando a compresión:

a) ´ . 0.70 0.95

b)´ .−. . 0.975

c) 8.t =8x7 =56 cm = 0.56m

Se tomó el valor de b = 0.95, ya que bx =−

35(8) Primeramente suponemos que el acero fluye en la zona de tensión;

Valor de la compresión en el patín:

Cs +C p= As f y ∴ 0.85´ 0.85200( ´) 31.76 4200 y 0.85 x 200x a x25+0.85 x 200 x 7(95-25)= 133392

133392833004250 11.80 Profundidad del plano neutro:

∴ 11.800.85 13.88>


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El acero en tensión fluye cuando ≥ De la figura

0.0034513.88

13.88 ≈0.0067 4200

2000000 0.0021∴0.0067>0.0021 (el acero en tensión fluye como se supuso)

Para equilibrar al concreto en el patín se necesita un área de acero de:

0.003 ASP 0.85´ ( ´) ∴ c eje neutro ASP .´ (−´)

d = 45cm d-c AS =. (−)

=19.83 cm2

Momento ultimo

Mu = FR [(AS – Asp) f y(d - 0.5 a )+ Asp f y (d - )]

= 0.90 [(31.76 -19.83)4200(45 - 0.5x11.80)+ 19.83 x 4200(45 -0.5x7)]

= 0.90 [(1959000) + (3456000)] =4 873 500 kg cm

A continuación calculamos l viga descomponiéndola la sección en dos partes

0.85 f´c

a =11.80 a/2 Ca=50400kg

d =45cm d-0.5=39.11 cm Ma=1959000kgcm

T T = 50400 kg

b´=25cm

Fig2.16 .Concreto en el alma + acero

Ma = 0.85 f´c ab´ (d-0.5 a ) = 0.85x200x11.80x25( 45-0.5x11.80)≈ 1 959 000kg cm


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t = 7cm

d =0.5 t= 41.50 cm MP = 3456000kgcm

ASP T = 83280kg

b´=25cm

Fig .2 17. Concreto en el patín + acero

Mu = (Ma + MP) ( FR ) = (1959000 + 3456000)(0.9) = 4 873 500 kg cm

Ejemplo 2.6 Diseñar la viga “L” que aparece en la figura siguiente.

La estructura está diseñada para un gimnacio. b =55cm

F´c = 200 kg/cm2 Fy = 4200kg/cm2 d =50 cm t =5cm

d = 50 cm b´ = 20 cm b =22cm As bx =35cm

t =5cm Fc =1.5

vigasT

L = 10.60m

D-1

0.20m L´=0.70m

Fig.2.18.Planta y detalle


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Ancho efectivo del patín:

a) ´ 122.5

b) 8 8 5 40 c)

´

3 5 ∗

Cargas sobre la losa:

Piso de granito = 0.03 x 3600 kg/cm3 =108.00kg/m2

Mortero de cemento = 0.03 x 2200 kg/m3 = 66.00kg/m2

Losa de concreto armado =0.05 x 2400 kg/m3 = 120.00kg/m2

Trabe de concreto armado = 0.45 x 2400kg/m3 = 1080.00kg/m2

Equipo utilizado = 890.00kg/m2

Falso plafón con madera = 110.00kg/m2 CM = 2374.00kg/m2

CV = 350.00 kg/m2

CM + CV = 2724.00 kg/m2

Multiplicando la carga por el factor (F c ):

2724.00 x 1.5 = 4100 kg/m2

4100 kg/m2 x 0.55 m = 2300 kg/m

Calculando el momento flexionante :

Mf =

= (.)

3 230 000 Valor de la compresión en el concreto del alma:

Ca = 0.85f´c ab´= 0.85 x 200 x 20 (a)=3400a

Valor de la compresión en el concreto del patín:

C p = 0.85f´c t(b-b´) = 0.85 x 200 x 5 ( 35 ) = 29750 kg

Calculo de la profundidad del bloque a:

3 230 000 = 0.90[(3400a (50-0.5a )+29750(50-0.5 x 5)]=

=0.90 (170 000a – 1700 1 413 000); Por tanto, 3 230 000 = 153 000a -1530 1 271 700


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Se tomará el menor de los tres ∴ = 35cm Efectuando operaciones, se tiene:

100 1280 0 = 15.07cmEl acero fluye cuando

≥

0.0021

y

∴

15.070.85 17.73

0.003 5017.7317.73 0.0055>0.0021 (el acero fluye como se supuso)

La viga “L” queda finalmente como se muestra en las figuras siguientes:

b´=20cm

Ca =3400 x 15.07=51238kg

a=15.07 0.5a =0.5 x 15.07 7.535cm

d d-7.535 = 42.465cm ∴ 5123842.465 2175800

Asa T=51238KG ASa = .

Fig.2.19. Concreto y acero alma de la viga

bx=35cm t/2= 2.5cm

Cp= 29750kg

d-t/2=47.50 cm

AsP Tp = 29750kg

Mp= 29750 x 47.50 = 1413100kg cm

ASP = . ∴ A S =ASa +A SP = 19.28cm2

Fig. 2.20. Concreto y acero (patín de la losa )


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2.4 ADHERENCIA Y ANCLAJE

Se define como anclaje al efecto logrado entre el concreto y el acero de refuerzo que impidea éste último deslizarse, permitiendo así la correcta transferencia de los esfuerzos de tensión

del concreto al refuerzo. Las barras deben estar ancladas en el concreto a ambos lados de lasección donde se requiera, de manera que puedan desarrollarse los esfuerzos mencionados.

El anclaje de la varilla se obtiene por adherencia química, por fricción y por apoyo mecánicoentre la corrugación y el concreto en que se apoya, siendo esta ultima la contribución másimportante de todas.

Una forma simplificada de explicar el fenómeno considera una barra situada en la zona detensión de una viga y de la cual deseamos obtener la longitud que permite que se desarrolleel esfuerzo de fluencia.(fig. 2.21). detalle A

Fig 2.21. Barra ahogada en zona de tensión de viga de concreto

Cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia de la barra, el equilibrio de fuerzas (fig.2.22) selogra si T1 = T2 es decir

T1 T2

Ld

Fig.2.22. Equilibrio de fuerzas en barras ahogadas en concreto

Donde:

= Diámetro de la barraLd = Longitud de desarrollo


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= Esfuerzo de adherencia entre varilla y conceto = Área de la sección transversal de la barra

= Esfuerzo de fluencia del acero de la varilla

Al despejar la longitud de desarrollo Ld :

∅ ( B )Para evaluar el esfuerzo de adherencia , consideramos que éste directamente proporcionala ´ e inversamente proporcional al diámetro de la barra, o sea:

∝ ´∅

Si establecemos un coeficiente de proporcionalidad k:

= ´∅ ( C )A la constante k se le asigna, conservadoramente, un valor aproximado a 6.0, por lo que alsustituir la Ec. (C ) en la expresión ( B):

. ´ ≡0.6 ´ ( D )

El reglamento del D.F. afecta la longitud de desarrollo obtenida mediante la expresiónanterior con un factor o factores que toman en cuenta diversas condiciones de anclaje

(tabla2.1 ) y establece que la longitud obtenida debe ser mayor o igual que 0.006 ∅ multiplicado por el factor o factores mencionados: 0.6 ´ x factor (es)≥0.006∅ x factor (es)

Además el reglamento establece que la longitud de desarrollo no debe ser menor a 30cm.

Tabla de factores que afectan la longitud de desarrollo

Condicion del refuerzo factor

Varilla con mas de 30 cm de concreto

colado por debajo

1.4

Varilla en concreto ligero 1.3Barras torcidas en frio diam > 3/4 1.2

Barras con >4200/ 2-(2400/ )Todos los otros casos 1.0


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Las longitud de las barras de tensión necesaria para que se desarrolle el esfuerzo de fluenciaen el acero, antes de que este se deslice, se puede calcular, según las NTC, si se cumplen lassiguientes condiciones de armado:

I. A cada lado de toda sección de momento máximo la longitud de cada barra esmayor o igual que la longitud de desarrollo Ld ver fig.2.23

II.

Las barras que dejan de ser necesarias por flexion se cortan o se doblan a unadistancia no menor que un peralte efectivo d más allá del punto teórico donde, deacuerdo con el diagrama de momentos, ya no se requieren.

III.

En las secciones donde, según el diagrama de momentos flexionantes,teóricamente ya no se requiere el refuerzo que se corta o se dobla, la longitud quecontinua de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que L d +d.Este requisito no es necesario en las secciones teóricas de corte más próximas alos extremos libremente a poyados.

IV. Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado se prolonga más allá del centro del apoyo, incluyendo proporciones dobladas una

longitud no mayor que( Ld -0.25L)≥ 0.5 ℎ

donde L es el claro del elemento y h su altura total.

Longitud final de bastones

Fig. 2.23. Longitud de bastones según el diagrama de momentos de viga

simplemente armada

Traslape

Diagrama de momentos

d Ld Ld d


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Requisitos complementarios para extremos apoyados de vigas

a)

Cuando menos una tercera parte del armado se prolongará más allá del eje del apoyouna longitud (Ld – 0.25 L), o bien, 0.5h ( lo que sea mayor)

b) Los traslapes deberán tener una longitud mínima mínima a:

1.33 ≥(0.01 6)∅ c) Se recomienda realizar estos traslapes lejos de zonas criticas

Disposiciones para vigas continuas

a) Cuando menos una tercera parte del refuerzo para momento negativo se prolongará,sin doblar más allá del punto de inflexión, una distancia d, 12∅ /16.

b) En extremos libremente apoyados se prolongará, sin doblar, cuando menos la tercera parte del refuerzo por momento positivo. En apoyos continuos, se prolongará cuandomenos la cuarta parte.

Ejemplo.2.7 Obtener la longitud de los bastones negativos (superiores) de la vigacontinua mostrada.

Datos:

F´c = 250 kg/cm2 F*c = 0.8 F´c = 200 kg/cm2

Fy = 4200 kg/cm2 peralte d= 45cm

Área de acero negativo:

As = 14175 / 0.9 x 4200x0.89x 45=9.36cm2

Si proponemos dos varillas corridas de 3/4´´ (as = 2.85cm2 ) y dos bastones de 5/8´´

(as =1.98cm2 ) de diámetro:

As =( 2 x2.85 +2x1.98) =9.66 > 9.36cm2 Momento resistente de 2 varillas corridas de ¾´´:

MR = 0.9 x 2.85 x 4200 x 0.89 x 45

MR = -8629 KG-M (negativo por ser armado superior)


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2 bastones 5/8´´

Longitud=? 2 varillas ¾ ´´

Pu =12600 kg d Ld Ld d Pu

d Ld Ld d

MX = -8662 + 37800

11812kg m

-14175kg-m MR = (2var ¾)

D MR =(2 bast 5/8)

X =5.36m 45 64cm

109cm > Ld (ok)

3 m 3m

Fig.2.24. Longitud de bastones según el diagrama de momentos


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2.5 TENSION DIAGONAL

Hasta ahora sean establecido procedimientos para predecir la resistencia y de formaciones demiembros sometidos a combinaciones de carga axial y momentos flexionante, buscandosiempre el equilibrio entre el momento flexionante y el momento resistente, sin tomar encuenta los efectos de la fuerza cortante. A continuación se estudiara el efecto producido porfuerzas cortantes en combinación con flexión y carga axial.

En una sección rectangular se somete a una determinada condición de carga (fig 2.25) siaislamos un trozo de esa viga según los cortes 1-2 y3-4 para que exista el equilibrio, seránecesario aplicar en esa porción de viga un par de fuerzas que e precisamente el momentoresistente de la pieza.

eje neutro b

C d

T As

Fig.2.25.Viga de concreto reforzado

Haciendo ahora momentos en el punto, o, de la figura2.26 obtenemos:

Σ MO = V 0 ∴

T1 = T2

kd/3|

1| 3

Kd C2 O C1+

M2 M1

V 2 4 V

T2 T1 + FIG.2.2.Distribucion de esfuerzos en una porcion de la viga


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Haciendo un corte horizontal ala proporcion de la viga abajo del eje neutro y representando por la fuerza diferencial de tension, sera necesario, para equilibrar dicha porcion, unesfuerzo cortante, v (esfuerzo rasante horizontal), que actue sobre un area de b (fig 2.27).Hemos visto que:

Por tanto:

y v =

b

V V

T2 T1+

Fig.2.27.Esfuerzo cortante en una sección de la viga

El reglamento ACI determinó omitir el coeficiente j por no concordar con los resultados y la poca exactitud que demuestran las fórmulas para calcular el esfuerzo cortante .La ecuaciónfinalmente queda :

donde:

, = esfuerzo cortante unitario

esfuerzo cortante total de diseño

El reglamento de construcciones para el Distrito Federal indica otras literales, veamos:

VCR = esfuerzo cortante que toma el concreto

, = porcentaje de aceroFR = factor de reducción


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Los esfuerzos que se producen en los planos 1-2 y 3-4 se llaman cortantes y se distinguen delos esfuerzos rasantes, que se producen en las caras horizontales; ambos esfuerzos (cortantesy rasantes ) son iguales en magnitud, sin embargo, debe tenerse presente que no son estos losmás peligrosos, si no los que se producen por la combinación de esfuerzos cortante y rasanteque originan a su vez otros de compresión y de tensión diagonal significativos, que actúan

en planos que forman un ángulo de 45° con el eje horizontal de la viga.La presencia de esta tensión diagonal hace que los elementos de concreto resulten

peligrosos, por la escasa resistencia de este material a tal clase de esfuerzos.

RESITENCIA A CORTANTE E

diseño de elementos de concreto antologia-ing octaviano luna sanchez

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