DISEO DE ALGORITMOS

Datos: Informacin que se utiliza y se almacena en cualquier programa.

Algoritmos: Secuencia, proceso o manera de manejar los datos.

Estructura de DatosSe trata de un conjunto de variables de un determinado tipo agrupadas y organizadas de alguna manera para representar un comportamiento. Lo que se pretende con las estructuras de datos es facilitar un esquema lgico para manipular los datos en funcin del problema que haya que tratar y el algoritmo para resolverlo. En algunos casos la dificultad para resolver un problema radica en escoger la estructura de datos adecuada. Y, en general, la eleccin del algoritmo y de las estructuras de datos que manipular estarn muy relacionadas. .

Anlisis de AlgoritmosEs una herramienta para hacer la evaluacin de un diseo.Permite establecer la calidad de un programa y compararlo con otros programas que resuelven un mismo problema.Suponga que existen dos programas P1 y P2 para resolver el mismo problema. Cul de los dos es mejor?.

Anlisis de AlgoritmosSolucin:

Desarrollar (Implementar) ambos programas y medir el tiempo que cada uno de ellos consume para resolver el problema. Modificar los datos de entrada, promediar al final su desempeo para establecer su comportamiento en el caso promedio.

Anlisis de AlgoritmosProblemas:

Pueden existir muchos algoritmos para resolver el problema.Costoso y casi imposible implementar todos los programas.Modificacin de los datos puede ser una labor sin sentido.

Anlisis de AlgoritmosObjetivo:Establecer una medida de la calidad de los algoritmos, que permita compararlos sin la necesidad de implementarlosEsto implica asociar a cada algoritmo una funcin matemtica que mida su eficiencia.Adems del tiempo de ejecucin, para medir la eficiencia se debe considerar la cantidad de memoria utilizada por el programa.

Tiempo de ejecucin de un algoritmosPara tener una medida del tiempo de ejecucin de un programa, se debe pensar en los factores que tienen influencia en dicho valor.Velocidad de procesamiento.El compilador utilizado (calidad del cdigo generado).La estructura del algoritmo.Cules de estos factores no son inherentes a la solucin?.

Tiempo de ejecucin de un algoritmosAdems de la estructura del algoritmo, se debe tener en cuenta que el numero de datos con los cuales trabaja un programa influye en su tiempo de ejecucin.Un programa de ordenamiento de un arreglo, se demora menos en ordenar 100 elementos que 500.El tiempo de ejecucin de un algoritmo debe medirse en funcin del tamao de los datos de entrada que debe procesar.

Tiempo de ejecucin de un algoritmos Se define como el tiempo empleado por el algoritmo A en procesar una entrada de tamao n y producir una solucin al problema. El ideal es encontrar una funcin matemtica que describiera de manera exacta TA(n). Sin embargo, en muchos casos, el calculo de esta funcin no se puede realizar, ya que depende de otro factor no considerado y que es casi imposible de medir: la calidad de la entrada.

Tiempo de ejecucin de un algoritmos Ejemplo: Consideremos el algoritmo utilizado para determinar si un determinado elemento se encuentra en un vector de n posiciones.

// elem: es el elemento buscadoi=0;while ((i

Tiempo de ejecucin de un algoritmosAnlisis puramente terico.Verificar la influencia que tienen los datos especficos de la entrada (no solamente su cantidad).Supongamos que fijamos N = 6 y que la evaluacin de cada lnea del programa toma t microsegundos.Consideremos el vector siguiente:

Tiempo de ejecucin de un algoritmosSi elem = 5, cuantos microsegundos consume

i = 0;t ms.((0

Tiempo de ejecucin de un algoritmosSi elem = 9, cuantos microsegundos consume

i = 0;t ms.((0

Tiempo de ejecucin de un algoritmosAunque se conozca el tamao de los datos de entrada, es imposible para muchos problemas determinar el tiempo de ejecucin para cada una de las posibles entradas.Por esta razn se debe trabajar con el tiempo utilizado por el algoritmo en el peor de los caos ya que es mucho ms fcil definir este pero caso.Con este antecedente se redefine TA(n). TA(n) = Tiempo que se demora el algoritmo A en el peor de los caos, para encontrar una solucin a un problema de tamao n.

Tiempo de ejecucin de un algoritmosPara el ejemplo anterior cual es el pero caso?

Concepto de Complejidad.

ComplejidadLa idea detrs del concepto de complejidad es tratar de encontrar una funcin f(n), fcil de calcular y conocida, que acote el crecimiento de la funcin de tiempo, para poder decir TA(n) crece aproximadamente como f o, ms exacto En ningn caso TA(n) se comportar peor que f al aumentar el tamao del problema.

ComplejidadA modo de ejemplo se pueden mencionar algunas funciones tpicas de complejidad de algoritmos (dicho de otra forma que acotan superiormente el comportamiento del tiempo de ejecucin).

2n, n3, n2, nlog(n), n

Cul es la grfica de cada una de ellas?

Complejidad

Grfico1

5000

5010

50.301029995720.6020599913

50.477121254731.4313637642

50.602059991342.4082399653

50.698970004353.4948500217

50.778151250464.6689075023

50.8450980475.9156862801

50.90308998787.2247198959

50.954242509498.588182585

511010

51.04139268521111.4553195367

51.0791812461212.9501749526

51.11394335231314.48126358

51.14612803571416.0457924995

51.17609125911517.6413688858

51.20411998271619.2659197225

51.23044892141720.9176316634

51.25527250511822.5949050919

51.2787536011924.2963184181

51.30102999572026.0205999133

f(n) = 5

f(n) = log(n)

f(n) = n

f(n) = nlog(n)

n

f(n)

Hoja1

05000

15010

250.301029995720.6020599913

350.477121254731.4313637642

450.602059991342.4082399653

550.698970004353.4948500217

650.778151250464.6689075023

750.8450980475.9156862801

850.90308998787.2247198959

950.954242509498.588182585

10511010

1151.04139268521111.4553195367

1251.0791812461212.9501749526

1351.11394335231314.48126358

1451.14612803571416.0457924995

1551.17609125911517.6413688858

1651.20411998271619.2659197225

1751.23044892141720.9176316634

1851.25527250511822.5949050919

1951.2787536011924.2963184181

2051.30102999572026.0205999133

Hoja1

f(n) = 5

f(n) = log(n)

f(n) = n

f(n) = nlog(n)

n

f(n)

Hoja2

Hoja3

Complejidad

Grfico2

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

f(n) = n^2

n

f(n)

Hoja1

0500001

1501012

250.301029995720.602059991344

350.477121254731.431363764298

450.602059991342.40823996531616

550.698970004353.49485002172532

650.778151250464.66890750233664

750.8450980475.915686280149128

850.90308998787.224719895964256

950.954242509498.58818258581512

105110101001024

1151.04139268521111.45531953671212048

1251.0791812461212.95017495261444096

1351.11394335231314.481263581698192

1451.14612803571416.045792499519616384

1551.17609125911517.641368885822532768

1651.20411998271619.265919722525665536

1751.23044892141720.9176316634289131072

1851.25527250511822.5949050919324262144

1951.2787536011924.2963184181361524288

2051.30102999572026.02059991334001048576

Hoja1

f(n) = n^2

n

f(n)

Hoja2

f(n) = 2 ^ n

n

f(n)

Hoja3

Grfico3

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

16384

32768

65536

131072

262144

524288

1048576

f(n) = 2 ^ n

n

f(n)

Hoja1

0500001

1501012

250.301029995720.602059991344

350.477121254731.431363764298

450.602059991342.40823996531616

550.698970004353.49485002172532

650.778151250464.66890750233664

750.8450980475.915686280149128

850.90308998787.224719895964256

950.954242509498.58818258581512

105110101001024

1151.04139268521111.45531953671212048

1251.0791812461212.95017495261444096

1351.11394335231314.481263581698192

1451.14612803571416.045792499519616384

1551.17609125911517.641368885822532768

1651.20411998271619.265919722525665536

1751.23044892141720.9176316634289131072

1851.25527250511822.5949050919324262144

1951.2787536011924.2963184181361524288

2051.30102999572026.02059991334001048576

Hoja1

f(n) = n^2

n

f(n)

Hoja2

f(n) = 2 ^ n

n

f(n)

Hoja3

Complejidad Un problema se denomina Tratable si existe un algoritmo de complejidad polinomial para resolverlo. En caso contrario se denomina Intratable.

Esta clasificacin es importante porque, cuando el tamao del problema aumenta, los algoritmos de complejidad polinomial dejan de ser utilizables de manera gradual.

Complejidad Los algoritmos para resolver problemas intratables, explotan de un momento a otro, volvindose completamente incapaces para llegar a una respuesta al problema planteado.

El caso limite de los problemas Intratables son los problemas Indecibles, son problemas para los cuales no existen algoritmos que los resuelvan.

Complejidad

Complejidad205010020050010001000n0.02 s.0.05 s.0.1 s.0.2 s.0.5 s.1 s.1000n*log(n)0.09 s.0.3 s.0.6 s.1.5 s.4.5 s.10 s.100n20.04 s.0.25 s.1 s.4 s.25 s.2 m.10n30.02 s.1 s.10 s.1 m.21 m.2.7 h.nlog(n)0.4 s.1.1 h.220 das125 SiglosXXXXXX

2n/30.001 s.0.1 s.2.7 h.3*104 SiglosXXXXXX

2n1 s.35 Aos3*104 SiglosXXXXXXXXX

3n58 m.2*109 siglosXXXXXXXXX

Notacin AsintticaOperacin elemental: es aquella operacin cuyo tiempo de ejecucin se puede acotar superiormente por una constante que solamente depender de la implementacin particular usada: de la maquina, del lenguaje, del compilador, etc.Ejemplo de estas operaciones son: suma, resta, multiplicacin, asignacin, acceso a arreglos, etc. Aunque en rigor el tiempo de una multiplicacin no es el mismo que el tiempo de la suma, pero difieren en una constante multiplicativa.

Notacin AsintticaLa eficiencia de un algoritmo se mide mediante las operaciones elementales, ms especficamente del nmero de operaciones elementales que se deben ejecutar.Anlisis del Peor Caso: se define como el mximo costo (operaciones elementales) de aplicar el algoritmo a un problema de tamao n.Este anlisis se suele aplicar para casos extremos en los que interesa saber cuanto, como mximo, va a costar la aplicacin del algoritmo.

Notacin AsintticaAlgunas reglas bsicas para realizar dicho conteo:Operaciones bsicas (+, -, *, =, ): Una unidad de tiempo, o alguna constante.Operaciones de entrada / salida: Otra unidad de tiempo, o una constante diferente.Ciclos Para (for): Se pueden expresar como la sumatoria, con los lmites del ciclo.Si y Case: Estudiar lo que puede ocurrir. Mejor caso y peor caso segn la condicin.Llamadas a procedimientos: Una constante de la llamada ms el tiempo del procedimiento.

Notacin AsintticaLa notacin asinttica nos permite realizar simplificaciones sustanciales aun cuando estemos interesados en medir algo ms tangible que el tiempo de ejecucin, tal como es el nmero de veces que se ejecuta una instruccin dentro del programa.

Se denomina notacin asinttica porque trata acerca del comportamiento de funciones en el lmite, esto quiere decir, para valores suficientemente grandes de su parmetro. Esto hace que los valores pequeos de las entradas no sean interesantes.

Dicho de otra manera, estamos interesados en las tasas de crecimientos en lugar de los valores concretos.

Notacin AsintticaLa notacin (o grande) o cota superior es la encargada de dar una cota para el peor caso y determinar las acotaciones superiores lo ms exactamente posible para valores crecientes de la entrada.

Por lo tanto se puede asegurar que conociendo la cota superior, ningn tiempo empleado en resolver el problema dado ser de un orden superior al de la cota. Se conoce como el orden del peor caso.

La notacin asinttica clasifica las funciones de tiempo de los algoritmos para que puedan ser comparadas.

Notacin Asinttica

Notacin Asinttica

Notacin Asinttica

Notacin AsintticaQue puede decir de las funciones.

Notacin Asinttica

Notacin Asinttica

Hugo Araya CarrascoNotacin Asinttica

Hugo Araya Carrasco

Notacin Asinttica