diseño aerogenerador efecto magnus
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PROYECTO FIN DE CARRERA
ESTUDIO Y DISEÑO DE UN AEROGENERADOR BASADO EN EL
EFECTO MAGNUS
AUTOR: JESÚS ÁNGEL GARCÍA MATOS
MADRID, Junio 2009
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
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Modelo desarrollado 59
3.1 Elección de las curvas experimentales de CL y CD
Después de una amplia búsqueda se encontraron dos referencias para las
curvas experimentales de los coeficientes de sustentación y arrastre de
cilindros giratorios inmersos en una corriente de fluido.
Figura 28. Curvas de CL en función de ! según [ROUS78] y [BYCH07].
Figura 29. Curvas de CD en función de ! para las según [ROUS78] y [BYCH07].
Modelo desarrollado 60
Se procedió entonces a la comparación de ambas. Tomando puntos de la
Figura 20, extraída de [ROUS78] y de una gráfica homóloga en [BYCH07], se
obtuvieron las gráficas mostradas:
Donde
!
" =#d
2V
!: Velocidad angular de la pala
d: Diámetro de la pala
V: Velocidad de la corriente de fluido incidente
sobre la pala
Como se observa en la Figura 29, los valores para son bastante similares
aunque las tendencias de las curvas sean diferentes. Sin embargo la Figura 28
muestra que los valores de son comparables únicamente hasta valores de
de aproximadamente . A partir de ahí ambas curvas son claramente
diferentes, teniendo valores mucho más elevados el
!
CL correspondiente a
[BYCH07]. Esto puede deberse a que los cilindros ensayados en [BYCH07]
tenían adherida, en su extremo más alejado del buje, una placa circular del
doble de diámetro que el cilindro, lo que alteraría los resultados respecto a
los que se obtendrían con cilindros totalmente lisos.
También se aprecia en la Figura 30 que las curvas correspondientes a
[ROUS78] abarcan un mayor rango de valores de , ya que llegan hasta
valores de iguales a 8, mientras que las curvas de [BYCH07], solo llegan
hasta .
Por esta razón principalmente (poder contar con un rango de datos mayor
para poder trabajar) y dado que se corresponden con los resultados
experimentales que siempre se citan en la bibliografía de mecánica de
fluidos, las curvas de [ROUS78] serán las utilizadas en adelante para los
cálculos que se lleven a cabo. Cabe destacar también que estas curvas son
Modelo desarrollado 61
más conservadoras en cuanto a los valores de
!
CL, lo cual se considera
conveniente para no obtener resultados tal vez demasiado optimistas.
Lo ideal hubiera sido llevar a cabo un ensayo para determinar estas curvas
experimentalmente de manera independiente, sin tener que depender de la
bibliografía, pero dados los medios y el tiempo disponibles no se consideró
oportuno.
Figura 30. Representación conjunta de las curvas correspondientes de CL y CD en función de !
3.2 Obtención de las expresiones analíticas de CL y CD
Teniendo en cuenta las conclusiones de 3.1 , se tomaron puntos sobre la
gráfica que representa los resultados experimentales de y [Figura 20]
y se trasladaron posteriormente a Matlab".
Antes de obtener las curvas y aproximarlas mediante líneas de tendencia
polinómicas, se creyó conveniente comprobar si el rango de datos disponible
era adecuado para el estudio del problema. Para ello, se representaron
!
"min
=" R( ) y
!
"max
=" R0( ) , según la Ec. 15 y los valores de la Tabla 4 para el
modelo dimensional del aerogenerador que se desarrollará en 4.1 .
Modelo desarrollado 62
!
" =#d
2v=
#d
2 v$2
+% 2r2
!
"min
=" R( ) =#d
2 v$2 +% 2
R2
=&'
1+ (2
!
"max
=" R0( ) =
#d
2 v$2 +% 2
R0
2
=&'
1+ (2 1) 2l( )2
En la Figura 31 se muestra
!
"max
=" R0( ) , eliminando de la superficie obtenida
aquellos valores mayores de 8 y por tanto fuera del rango en que se
desconocen las curvas experimentales. Se puede observar que la zona no
representada es pequeña y corresponde tan solo a valores de
!
" y
!
v" muy
pequeños, lo que se considera asumible y se tendrá en cuenta en el modelo,
como se reafirmará en 4.1 .
Figura 31.
!
"max
para los valores de la Tabla 4.
En la Figura 32, sin embargo la zona de
!
"min
=" R( ) eliminada de la superficie
por ser
!
"min
< 0,75 es de unas dimensiones considerables conteniendo sobre
todo valores de
!
" que podrían ser de significancia para los resultados.
Debido a esto se consideró necesario disponer de los datos de las curvas
Modelo desarrollado 63
experimentales entre
!
0 <" < 0,75. Para ello se tuvo en cuenta las tendencias
de ambas curvas para
!
" < 0,75 y el carácter de la recta teórica para
!
CL.
Figura 32.
!
"min
para los valores de la Tabla 4.
Resultaría lógico que la curva de
!
CL en este tramo adquiriera dicha forma, ya
que a valores tan bajos de
!
" la velocidad angular de los cilindros sería
pequeña en comparación con la del fluido incidente y las pérdidas por
desprendimiento de la capa límite en la parte posterior del cilindro serían
menos representativas. De este modo la curva se ajustaría más a los
resultados teóricos para valores bajos de
!
" .
Aunque teóricamente el
!
CD
tendería a 0, la tendencia de la curva
experimental no sugería tal cosa, por lo que se aproximó también de manera
asintótica a la teórica de
!
CL, aplicando así un criterio conservador en cuando
a la influencia del arrastre en el modelo. Los resultados finales para ambas
curvas en comparación con la teórica se muestran en la Figura 33.
Modelo desarrollado 64
Figura 33. Curvas experimentales a utilizar en el modelo, válidas 0<
!
"<8.
Con estas curvas se obtuvieron las siguientes líneas de tendencia
polinómicas, que como se aprecia en la Figura 34 y en la Figura 35, se ajustan
de manera muy razonable a las curvas experimentales de partida.
Figura 34. Curva y línea de tendencia de CL en función del cociente de velocidades.
Modelo desarrollado 65
Figura 35. Curva y línea de tendencia de CD en función del cociente de velocidades.
El programa devolvió los valores para los coeficientes de los polinomios
recogidos en la Tabla 2, para un polinomio como el que se muestra.
y = p1*x^7 + p2*x^6 + p3*x^5 + p4*x^4 + p5*x^3 + p6*x^2 + p7*x^1 + p8
!
CL
!
CD
Coefficients:
p1 = 0.00086638
p2 = -0.025843
p3 = 0.30458
p4 = -1.7843
p5 = 5.3345
p6 = -7.5814
p7 = 6.0768
p8 = -0.01548
Coefficients:
p1 = 0.00019872
p2 = -0.0068258
p3 = 0.09464
p4 = -0.67174
p5 = 2.5358
p6 = -4.7506
p7 = 4.0584
p8 = 0.03041
Tabla 2. Valores de los coeficientes de las curvas polinómicas que aproximan las curvas
experimentales para
!
CL
y
!
CD
hallados con Matlab!.
Modelo desarrollado 66
Se observa que el término independiente de
!
CL (-0,01548) es menor que el
término independiente de
!
CD
(0,03041). Esto provocaría que a partir de un
cierto valor de
!
" ,
!
CD
fuera mayor que
!
CL, lo cual no concuerda con los
resultados experimentales obtenidos para ningún valor de
!
" observado.
Debido a esto y puesto que en realidad las curvas deberían pasar por cero, se
forzó en el modelo que los términos independientes fueran cero, para que
siempre se diera
!
CL
> CD. Tal acción se traduce en un desplazamiento vertical
de las curvas polinómicas respecto a las curvas experimentales, pero dado
que el valor de los términos independientes difería del orden de las
centésimas respecto a cero, se consideró que suponía un error asumible para
la precisión del modelo.
Es de señalar que aunque se consideró que los términos independientes eran
0, los cálculos se realizaron para cualquier valor de los mismos como se verá
en 3.4 . Finalmente las expresiones analíticas para los coeficientes de
sustentación y arrastre se recogen en las expresiones:
Ec. 13
!
CL
= CCL0
+ CCL1" + C
CL 2" 2
+ CCL 3" 3
+ CCL4" 4
+ CCL 5" 5
+ CCL 6" 6
+ CCL 7" 7
Ec. 14
!
CD
= CCD0
+ CCD1" + C
CD2" 2
+ CCD3" 3
+ CCD4" 4
+ CCD5" 5
+ CCD6" 6
+ CCD7" 7
Se ha nombrado cada coeficiente como
!
CCXN
, donde
!
X se sustituirá por
!
L o
!
D según corresponda y
!
N por el grado al que está elevado
!
" . Sus valores se
recogen en la Tabla 3.
!
CCL7
=0.00086638
!
CCL6
= -0.025843
!
CCL5
= 0.30458
!
CCL4
= -1.7843
!
CCL3
= 5.3345
!
CCL2
= -7.5814
!
CCD7
= 0.00019872
!
CCD6
= -0.0068258
!
CCD5
= 0.09464
!
CCD4
= -0.67174
!
CCD3
= 2.5358
!
CCD2
= -4.7506
Modelo desarrollado 67
!
CCL1
= 6.0768
!
CCL0
= 0
!
CCD1
= 4.0584
!
CCD0
= 0
Tabla 3. Coeficientes de las curvas polinómicas que se usarán en los cálculos.
3.3 Hipótesis de comportamiento independiente en los
perfiles
Para el desarrollo a continuación de los modelos matemáticos dimensional y
adimensional del aerogenerador, se partirá de la hipótesis de que las palas no
interfieren entre ellas, es decir, que el flujo no queda alterado tras el paso de
una pala. Estos modelos, se basarán en la integración de las fuerzas de
arrastre y sustentación a lo largo de una pala (ver 3.4 ). Serán por lo tanto,
modelos basados en un elemento simple, siendo tan solo necesario
multiplicar los resultados de una pala por el número de estas para obtener
los resultados correspondientes al total del aerogenerador.
No es difícil adivinar que esto no es del todo correcto. De esta forma si se
pusieran infinitas palas también se multiplicaría infinitamente el
!
Cp ,
sobrepasándose el límite de Betz. Pero este límite de 0,593 es imperativo,
pues es un límite energético. Claro que al aumentar el número de palas en los
modelos irá aumentado la potencia, pero es así porque se consideran las
palas de manera independiente, en un campo fluido en que no reciben
interferencias provenientes de la estelas de las anteriores.
En realidad, si se pusieran infinitas palas el fluido no pasaría y sin embargo
el modelo afirmaría que se obtendrían enormes cantidades de energía. No se
comporta igual un perfil aislado que un perfil en enrejado (ver capítulo 10.8
de [MATA75]). La corrección que debería hacerse a este respecto sería
necesaria, pero no se va a desarrollar en este proyecto, debido a su
complejidad y a la falta de datos experimentales, pero debería ser objeto de
futuros desarrollos.
Modelo desarrollado 68
3.4 Cálculo de la potencia generada
Como se ha mencionado en 3.3 , se partirá del modelo matemático para una
pala. Se tomará un elemento diferencial de pala a una distancia del eje del
aerogenerador tal y como se muestra en la Figura 36.
Figura 36. Situación del elemento diferencial de pala a estudiar en una vista frontal del aerogenerador
Figura 37. Velocidades y fuerzas sobre el elemento diferencial de pala.
Modelo desarrollado 69
En la Figura 37 se puede observar las fuerzas que actúan sobre un elemento
diferencial de pala:
y serán sustituidos aquí por la fórmula analítica obtenida en 3.2 .
Teniendo en cuenta que se denominará a la velocidad angular de la pala y
que la velocidad incidente sobre la misma será ahora la relativa , las Ec. 13 y
Ec. 14 tendrán ahora por variable independiente:
Del triángulo de velocidades se puede deducir
!
v = v"2
+# 2r2
luego
Ec. 15
!
" =#d
2v=
#d
2 v$2
+% 2r2
Los diferenciales de fuerza ejercerán unos diferenciales de par sobre el eje del
aerogenerador. Teniendo en cuenta su brazo y la proyección de las fuerzas
sobre el plano perpendicular al mismo:
!
dML
= dLcos" r = dLv#
vr =
1
2$v#d Cl
vr dr
!
dMD
= dDsin" r = dL#r2
v=1
2$d# C
dvr
2dr
Sustituyendo e integrando en toda la longitud de la pala, desde (radio del
buje del aerogenerador) hasta , se obtienen los siguientes resultados.
Para la fuerza de sustentación :
Modelo desarrollado 70
!
= CCL0
1
2"v#$d
R2
+v#
$
%
& '
(
) * 2%
& ' '
(
) * *
32
+ R0
2+v#
$
%
& '
(
) * 2%
& ' '
(
) * *
32
3
,
-
.
.
.
.
.
/
0
1 1 1 1 1
+ CCL1
1
4"v#d
22R2 + R
0
2
2
,
- .
/
0 1 +
!
+CCL 2
1
8"v#d
3$2
%R2
+v#
%
&
' (
)
* + 2
, R0
2+v#
%
&
' (
)
* + 2-
.
/ /
0
1
2 2
+
!
+CCL 3
1
32"v#d
4 $3
% 2ln
R2
+v#
%
&
' (
)
* +
2
R0
2+v#
%
&
' (
)
* +
2
&
'
( ( ( (
)
*
+ + + +
+
!
+CCL 4
1
32"v#d
5$4
% 3
1
R0
2+v#
%
&
' (
)
* + 2,
1
R2
+v#
%
&
' (
)
* + 2
-
.
/ / / / /
0
1
2 2 2 2 2
+
!
+CCL 5
1
128"v#d
6 $5
% 4
1
R0
2+v#
%
&
' (
)
* + 2,
1
R2
+v#
%
&
' (
)
* + 2
-
.
/ / / /
0
1
2 2 2 2
+
!
+CCL 6
1
384"v#d
7$6
% 5
1
R0
2+v#
%
&
' (
)
* + 2&
' ( (
)
* + +
32
,1
R2
+v#
%
&
' (
)
* + 2&
' ( (
)
* + +
32
-
.
/ / / / /
0
1
2 2 2 2 2
+
!
+CCL 7
1
1024"v#d
8$7
% 6
1
R0
2+v#
%
&
' (
)
* +
2&
' ( (
)
* + +
2,
1
R2
+v#
%
&
' (
)
* +
2&
' ( (
)
* + +
2
&
'
( ( ( ( (
)
*
+ + + + +
Modelo desarrollado 71
Para la fuerza de resistencia :
!
= CCD0
1
2"d# 2
R R2
+v$
#
%
& '
(
) * 2%
& ' '
(
) * *
32
+ R0R0
2+v$
#
%
& '
(
) * 2%
& ' '
(
) * *
32
4+…
,
-
.
.
.
.
.
!
…+
v"
#
$
% &
'
( ) 2
R0R0
2+v"
#
$
% &
'
( ) 2
* R R2
+v"
#
$
% &
'
( ) 2$
%
& &
'
(
) )
8+
v"
#
$
% &
'
( ) 4
8ln
R0
+ R0
2+v"
#
$
% &
'
( ) 2
R + R2
+v"
#
$
% &
'
( ) 2
$
%
& & & & &
'
(
) ) ) ) )
+
,
- - - - - -
+
!
+CCD1
1
4"d2#$
R3 % R
0
3
3
&
' (
)
* + +
!
+CCD2
1
8"d3# 2
R R2
+v$
%
&
' (
)
* + 2
, R0R0
2+v$
%
&
' (
)
* + 2
2+
v$
%
&
' (
)
* + 2
2ln
R0
+ R0
2+v$
%
&
' (
)
* + 2
R + R2
+v$
%
&
' (
)
* + 2
&
'
( ( ( ( (
)
*
+ + + + +
-
.
/ / / / /
0
1
2 2 2 2 2
+
!
+CCD3
1
16"d4
# 3
$R % R
0+v&
$arctg
R0
v&
$
'
(
) ) )
*
+
, , , % arctg
R
v&
$
'
(
) ) )
*
+
, , ,
'
(
) ) )
*
+
, , ,
-
.
/ / /
0
1
2 2 2 +
!
+CCD4
1
32"d5
# 4
$ 2
R0
R0
2+v%
$
&
' (
)
* + 2,
R
R2
+v%
$
&
' (
)
* + 2
+ ln
R + R2
+v%
$
&
' (
)
* + 2
R0
+ R0
2+v%
$
&
' (
)
* + 2
&
'
( ( ( ( (
)
*
+ + + + +
-
.
/ / / / /
0
1
2 2 2 2 2
+
!
+CCD5
1
128"d6
# 5
$ 3
R0
R0
2+v%
$
&
' (
)
* + 2,
R
R2
+v%
$
&
' (
)
* + 2
+1
v%
$
arctgR
v%
$
&
'
( ( (
)
*
+ + + , arctg
R0
v%
$
&
'
( ( (
)
*
+ + +
&
'
( ( (
)
*
+ + +
-
.
/ / / /
0
1
2 2 2 2
+
Modelo desarrollado 72
!
+CCD6
1
384"d7
# 6
$ 4
1
v%
$
&
' (
)
* + 2
R
R2
+v%
$
&
' (
)
* + 2,
R0
R0
2+v%
$
&
' (
)
* + 2
&
'
( ( ( ( (
)
*
+ + + + +
+R0
R0
2+v%
$
&
' (
)
* + 2&
' ( (
)
* + +
32
,R
R2
+v%
$
&
' (
)
* + 2&
' ( (
)
* + +
32
-
.
/ / / / /
0
1
2 2 2 2 2
+
!
+CCD7
1
1024"d8
# 7
$ 5
R
2v%
$
&
' (
)
* +
2
R2
+v%
$
&
' (
)
* +
2&
' ( (
)
* + +
,R0
2v%
$
&
' (
)
* +
2
R0
2+v%
$
&
' (
)
* +
2&
' ( (
)
* + +
+!
&
'
( ( ( ( (
!
!+1
2v"
#
$
% &
'
( )
3arctan
R
v"
#
$
%
& & &
'
(
) ) ) * arctan
R0
v"
#
$
%
& & &
'
(
) ) )
$
%
& & &
'
(
) ) )
+R0
R0
2+v"
#
$
% &
'
( )
2$
% & &
'
( ) )
2*
R
R2
+v"
#
$
% &
'
( )
2$
% & &
'
( ) )
2
'
(
) ) ) ) )
Finalmente, el par total sobre el eje corresponderá a la resta del que ejerce la
fuerza de sustentación menos el que ejerce la de resistencia multiplicada por
el número de palas :
!
Mt
= n ML"M
D( )
Con lo que la potencia generada en el mismo será igual a:
Ec. 16
!
Pmec
= n ML"M
D( )#
3.5 Estimación de las pérdidas por fricción en las palas
Ya que no se encontraron resultados para el par viscoso que produce un
cilindro en rotación, se aproximará la resistencia que ejerce el fluido sobre los
cilindros asumiendo que la fuerza que ejerce sobre los mismos, es muy
similar a la que experimenta una placa plana correspondiente con el
desarrollo de los mismos, es decir, de la misma longitud y anchura
!
b = "d .
Para calcular la U, la velocidad incidente sobre esta placa equivalente, se
debería usar la velocidad relativa sobre las palas, como ya se utilizó en el
Modelo desarrollado 73
cálculo del par y la potencia generada, teniendo además en cuenta su
movimiento de rotación. Sin embargo la contribución que realiza la
velocidad angular del aerogenerador es lo suficientemente compleja como
para no considerarla. Por uno de los extremos se añadiría y por otro se
restaría a la periférica de la pala, así que se dará por válido que la velocidad
del fluido incidente sobre esta placa será igual únicamente a la velocidad
periférica del cilindro, .
Además se partirá de la hipótesis de que el flujo es laminar, ya que incluso
para un número bajo de Reynolds ( ) la longitud crítica (en la cual se
pasaría a régimen turbulento para una placa plana) resulta mucho mayor que
!
b = "d . Con esto, según [WHIT04], el esfuerzo cortante sobre la placa será:
!
"w
= cD
#
2U2
Siendo para régimen laminar sobre placa plana:
!
cD"1,328
Reb
1 2; con
!
Reb
="Ub
µ="#db
2µ
Con lo que sustituyendo queda:
!
"w
=1,3282µ
#$db
%
& '
(
) *
12 #
8$ 2d2
El par y la potencia asociadas al esfuerzo cortante resultarán finalmente:
!
M = "wAd
2= "
wLb
d
2
Ec. 17
!
Pperd = M" =1,328#
16
$" 3d4L
Reb1 2
Se observa que el número de Reynolds del que dependen estas pérdidas por
fricción en las palas tiene una definición diferente a la del número de
Reynolds de 3.6 . Esto se debe a que al hacer la simplificación de equiparar el
desarrollo de la pala a una placa plana se está utilizando una geometría
Modelo desarrollado 74
totalmente diferente, por lo que la definición del número de Reynolds
cambia.
3.6 Adimensionalización de la potencia
Se aplicará el teorema de # para la potencia, tanto generada como de
perdidas. Las variables de las que dependen estas potencias son:
!
P = f ",v#,n,$,D,L,%,d,µ( )
siendo
Densidad del fluido.
Velocidad del viento (Perpendicular al plano del aerogenerador).
n Número de palas del aerogenerador.
Velocidad angular del aerogenerador.
Diámetro del aerogenerador.
Longitud de la pala.
Velocidad angular de cada pala del aerogenerador.
Diámetro de cada pala del aerogenerador.
Viscosidad del fluido.
Tomando como grupo dimensional las variables , y se obtuvieron las
siguientes variables adimensionales:
!
Cp =P
1
2"v#
3 $D2
4
=P
1
2"v#
3A
= f Re,n,%,l,&,'( )
siendo
!
Re ="v#D
µ Número de Reynolds.
n Número de palas del aerogenerador.
Modelo desarrollado 75
!
" =d
D Relación de aspecto entre el diámetro de las palas y el del
aerogenerador.
!
l =L
D Relación de aspecto entre la longitud de la pala y el diámetro
total del aerogenerador.
!
" =#D
2v$
Velocidad angular adimensional del aerogenerador.
!
" =#D
2v$
Velocidad angular adimensional de las palas.
Se observa que dado el grupo adimensional elegido, la potencia
adimensional obtenida se corresponde con la definición del coeficiente de
potencia
!
Cp .
3.7 Potencia en función de las variables adimensionales
Una vez halladas las variables adimensionales de las que depende el
problema en 3.6 , se pueden adimensionalizar las expresiones halladas en 3.4
y 3.5 .
De este modo la Ec. 16 en función de variables adimensionales queda:
!
Cpmec=
Pmec
1
2"v#
3$D2
4
= n CCL 0
2
3$%&2 1+
1
&2'
( )
*
+ ,
32
- 1+ 4 l2 - l( ) +1
&2'
( )
*
+ ,
32
'
(
) )
*
+
, , +
'
(
) )
!
+CCL1
1
"# 2$% 1& (1& 2l)2( ) + C
CL 2
2
"# 3$ 2 1+
1
%2& (1& 2l)2 +
1
%2'
( )
*
+ , +
!
+CCL 3
1
"
# 4$ 3
%ln
1+1
%2
(1& 2l)2 +1
%2
'
(
) ) )
*
+
, , ,
+ CCL 4
2
"
# 5$ 4
%21
(1& 2l)2 +1
%2
&1
1+1
%2
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
+
Modelo desarrollado 76
!
+CCL 5
1
"
# 6$ 5
%31
(1& 2l)2 +1
%2
&1
1+1
%2
'
(
) ) )
*
+
, , ,
+ CCL 6
2
3"
# 7$ 6
%41
(1& 2l)2 +1
%2'
( )
*
+ ,
32
&1
1+1
%2'
( )
*
+ ,
32
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
+
!
+CCL 7
1
2"
# 8$ 7
%51
1& 2l( )2
+1
%2'
( )
*
+ ,
2&
1
1+1
%2'
( )
*
+ ,
2
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
&
!
" CCD0
1
4#$%3 2 1+
1
%2&
' (
)
* +
32
" 1" 2l( ) 1" 2l( )2
+1
%2&
' (
)
* +
32
&
'
( (
)
*
+ + +…
&
'
( (
&
'
( (
!
…+1
"21# 2l( ) 1# 2l( )
2
+1
"2# 1+
1
"2$
% &
'
( ) +
1
"4ln
1# 2l( ) + 1# 2l( )2
+1
"2
1+ 1+1
"2
$
%
& & & &
'
(
) ) ) )
'
(
) ) ) )
+
!
+CCD1
2
3"# 2$%2 1& 1& 2l( )
3( ) + CCD2
1
"# 3$ 2% 1+
1
%2& 1& 2l( ) 1& 2l( )
2
+1
%2+…
'
( )
!
…+1
"2ln
1# 2l( ) + 1# 2l( )2
+1
"2
1+ 1+1
"2
$
%
& & & &
'
(
) ) ) )
'
(
) ) ) )
+
!
+CCD3
2
"# 4$ 3 1% 1% 2l( ) +
1
&arctan & 1% 2l( )( ) % arctan &( )( )
'
( )
*
+ , +
!
+CCD4
2
"
# 5$ 4
%
1& 2l
1& 2l( )2
+1
%2
&1
1+1
%2
+ ln
1+ 1+1
%2
1& 2l( ) + 1& 2l( )2
+1
%2
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
+
!
+CCD5
1
"
# 6$ 5
%21& 2l
1& 2l( )2
+1
%2
&1
1+1
%2
+ % arctan %( ) & arctan % 1& 2l( )( )( )
'
(
) ) )
*
+
, , ,
+
Modelo desarrollado 77
!
+CCD6
2
3"
# 7$ 6
%3%2
1
1+1
%2
&1& 2l
1+ 4 l2 & l( ) +1
%2
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
+1& 2l
1+ 4 l2 & l( ) +1
%2'
( )
*
+ ,
32
&1
1+1
%2'
( )
*
+ ,
32
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
*
+
, , , , ,
+
!
+CCD7
1
4"
# 8$ 7
%4%2
1+1
%2
&%2 1& 2l( )
1& 2l( )2
+1
%2
+ %3 arctan %( ) & arctan % 1& 2l( )( )( ) +2 1& 2l( )
1+ 4 l2 & l( ) +1
%2'
( )
*
+ ,
2&
2
1+1
%2'
( )
*
+ ,
2
'
(
) ) ) )
*
+
, , , ,
*
+
, , , ,
Y la Ec. 17, multiplicada por el número de palas y dividida por el
rendimiento al igual que se utilizará en 5.3 , en función de variables
adimensionales queda:
Sin embargo, se pueden expresar las pérdidas en función del Reynolds
obtenido anteriormente, ya que
Con lo que queda
!
Cp perd=1,328 " 4
n
#
$ 4l% 3
Reb1 2
=1,328 " 4n
#
$ 4l% 3
& ' 2%Re( )12
=1,328 " 4n
#&
$ 3l%52
Re12
Capítulo 4 RESULTADOS
Resultados 79
4.1 Modelo dimensional
Con las ecuaciones de los pares correspondientes a las fuerzas de
sustentación y arrastre obtenidas en 3.4 , se realizó un modelo dimensional
en Matlab® sobre el que se llevaron a cabo diversos análisis.
A continuación se comprobará la influencia de la velocidad del viento, , y
la velocidad angular del aerogenerador, , sobre los pares y la potencia
producida. Para ello resultó necesario fijar el resto de variables de las que
depende el problema, reflejadas en la Tabla 4.
! 1,2 kg/m3
µ 1,80E-05 Ns/m2
D 11,5 m
R0 0,5 m
d 0,35 m
n 5
100 rad/s
0,5-40 m/s
0,25-20 rad/s
Tabla 4. Valores de las variables para el modelo dimensional del aerogenerador.
Para las dimensiones se eligieron las correspondientes al Spiral Magnus de
Mecaro, por tomar una referencia real de lo que podría ser una
aerogenerador de estas características, con una relación de aspecto para las
palas de
!
L d =15 , óptima según [BYCH07]. Para las propiedades del fluido
se escogió aquellas correspondientes a aire a 20º C y una atmósfera, mientras
que la velocidad angular de las palas se fijó en 100 rad/s (unas 1000 rpm
aproximadamente). El rango de variación de y fue el indicado también
en la Tabla 4.
Resultados 80
4.1.1 Determinación del alcance del modelo
Antes de analizar los resultados se comprobó el rango de validez del modelo,
ya que hay que recordar que solo se conocen las expresiones de
!
CL y
!
CD
para
valores de
!
" < 8 y que a partir de tal valor, el comportamiento de las
polinómicas con las que se ha aproximado las curvas experimentales es
desconocido, por lo que los resultados quedarían alterados. Para ello se
representó
!
"max
correspondiente a
!
" R0( ) , obligando al programa a borrar
aquellos valores de
!
"max
> 8 . La superficie obtenida se observa en la Figura
38.
Figura 38.
!
"max
para los valores de la Tabla 4.
Como era de esperar debido a la definición de
!
" (Ec. 15), para valores fijos
de
!
" y
!
d , como es el caso, los valores de ésta se disparan para valores bajos
de
!
v" y
!
" . Puesto que como se ha mencionado, el comportamiento del
modelo no estaría definido para la zona eliminada de la superficie y dado
que es una zona relativamente pequeña y correspondiente a velocidades de
viento muy bajas, se decidió eliminar esta zona de los resultados para evitar
resultados anómalos.
Resultados 81
Se comprobó que un aumento del valor de
!
R0 podía provocar que para toda
la gama de valores de
!
v" y
!
" ,
!
" fuera menor que 8, pudiéndose observar así
la superficie al completo. Sin embargo este aumento tan solo provocaba un
desplazamiento en escala de los resultados (con menor superficie útil del
aerogenerador y menor diámetro de las palas, al forzar la relación de aspecto
en 15, se provocan menores pares y potencias), manteniéndose las mismas
tendencias generales. Por este motivo se prefirió dejar
!
R0 con el valor inicial
para así comparar en cierta manera con un aerogenerador real como el Spiral
Magnus, teniendo en cuenta que se puede pensar que la superficie eliminada
sigue la misma tendencia que el resto.
Los resultados obtenidos se observan en las figuras que se muestran a
continuación. Hay que tener en cuenta para su interpretación que, dado que
este es un modelo dimensional, dichos resultados pueden variar de manera
sustancial con la modificación de cualquiera de las variables fijadas y por
tanto, solo servirán como muestra de las tendencias del comportamiento del
aerogenerador.
4.1.2 Par en el eje
Figura 39.
!
ML
en una pala, para los valores de la Tabla 4.
Resultados 82
Como se observa en la Figura 39, el
!
ML para una pala aumenta de manera
prácticamente lineal y muy significativa con
!
v" , mientras que con
!
" aumenta
pero tan solo en pequeña medida, siendo esta tendencia mayor para valores
altos de
!
v" .
Figura 40.
!
MD
en una pala, para los valores de la Tabla 4.
Figura 41.
!
MT
del aerogenerador, para los valores de la Tabla 4.
Resultados 83
Sin embargo, en la Figura 40,
!
MD
aumenta de manera drástica con
!
" , no
teniendo apenas influencia el valor de
!
v" sobre él. Restando
!
MD
a
!
ML y
multiplicando por el número de palas
!
n , se obtiene la Figura 41,
correspondiente al par total,
!
MT
. Su valor, como cabía esperar, aumenta con
!
v" como en cualquier aerogenerador, pero también decrece con
!
" , como se
podía deducir de los anteriores razonamientos.
Figura 42. Valores positivos del
!
MT
del aerogenerador, para los valores de la Tabla 4.
Si se obtiene la misma gráfica pero anulando los valores no aprovechables de
par total (
!
MT
< 0), pueden observarse mejor estas tendencias en la Figura 42.
Tomando cortes de esta última superficie para algunas velocidades de viento
significativas se consigue la gráfica de la Figura 43.
Para
!
v" = 6m /s (velocidad media de funcionamiento del Spiral Magnus,
según Mecaro), el
!
MT
únicamente es positivo para valores muy bajos de
!
" ,
menores que 3 rad/s. A
!
v" =12m /s, una velocidad de viento a la que se
suelen realizar medidas en los aerogeneradores convencionales y próxima
también a los
!
11m /s de velocidad nominal del Spiral Magnus, el rango de
valores de
!
" en que el par es positivo se amplía, ofreciendo por ejemplo un
!
MT
de 4000 Nm a una velocidad angular de 3 rad/s, cercana a los
Resultados 84
!
30 rpm = 3,14 rad /s de la velocidad nominal del rotor del Spiral Magnus. Así
ocurre también con
!
v" =15m /s (Velocidad a la que normalmente suelen
empezar a regularse los aerogeneradores convencionales, produciendo la
máxima potencia).
Figura 43. Curvas de
!
MT
del aerogenerador frente a
!
" , a diferentes velocidades de viento (
!
v" ), para
los valores de la Tabla 4.
Figura 44. Par de arranque (
!
MT
para
!
" # 0 ), para los valores de la Tabla 4.
Resultados 85
También se puede apreciar que los valores más altos de par se dan en el
momento del arranque, lo cual resulta beneficioso, ya que el aerogenerador
empezará a moverse sin que sea necesaria ninguna otra intervención cuando
este par sobrepase al par resistente del generador que tenga acoplado. La
Figura 44 muestra el valor del par de arranque (
!
MT
para
!
" # 0), para
diferentes velocidades de viento.
Se confirma con los resultados anteriores, que el par desciende con la
velocidad angular del aerogenerador,
!
" . Esto resulta comprensible si se
atiende a las ecuaciones obtenidas en 3.4 citadas de nuevo aquí:
!
dML
= dLcos" r = dLv#
vr =
1
2$v#d Cl
vr dr
!
dMD
= dDsin" r = dL#r2
v=1
2$d# C
dvr
2dr
Los términos
!
dML y
!
dMD
son muy similares entre sí, únicamente difieren en
los coeficientes
!
CL y
!
CD
y en seno y coseno de
!
" (
!
sin" y
!
cos" ). La diferencia
de valor entre los coeficientes de sustentación y arrastre, aunque existente, no
es tan significativa para un mismo punto de la gráfica si se comparan y lo
más importante, no depende de manera directa de
!
" , aunque variaciones en
esta provoquen desplazamientos en las curvas de los coeficientes. Sin
embargo el
!
cos" y el
!
sin" introducidos al proyectar los diferenciales de
fuerza provocan que
!
dML se vea multiplicado por
!
v" y
!
dMD
por
!
"r .
Esto tiene dos consecuencias importantes. La primera es que para una
velocidad de viento determinada, un aumento en la velocidad angular del
aerogenerador provoca, aunque
!
CD
sea menor que
!
CL, que el
!
MD
aumente
de forma directamente proporcional a
!
" [Figura 40], lo que contrarresta el
!
ML, disminuyendo de manera drástica el
!
MT
en la turbina.
La segunda es que, de nuevo para una velocidad de viento fija, un aumento
de
!
r provocará el mismo efecto que la aceleración del aerogenerador, la
fuerza ejercida por el arrastre crecerá, oponiéndose a la de sustentación. Esto
Resultados 86
se traduce en que la parte de la pala más cercana al buje existirá una
diferencia mayor entre la fuerza de sustentación y de arrastre.
Esta diferencia se irá acortando según aumenta la distancia hasta el eje, hasta
llegar a un punto en el cual ambas fuerzas se igualen y no contribuyan a
ejercer par sobre el eje, punto a partir del cual el aerogenerador se verá
frenado por la mayor fuerza de arrastre. La determinación de este punto así
como su vinculación con la relaciones de aspecto entre el diámetro de la pala,
la longitud de la misma y el diámetro del aerogenerador pueden ser claves
para la optimización del diseño geométrico de la turbina.
4.1.3 Potencia
Se ha analizado hasta ahora el comportamiento del par, pero principalmente
el objetivo y principal interés en un aerogenerador es la potencia producida
por el mismo, que se obtiene del producto
!
MT" . La Figura 45 muestra el
comportamiento de la potencia:
Figura 45. Potencia generada por el aerogenerador, para los valores de la Tabla 4.
En líneas generales se observa que la potencia decrece de manera
aproximadamente parabólica con
!
" mientras que aumenta linealmente con
Resultados 87
la velocidad del viento. Pero al centrarse en aquellos valores de la misma
mayores que cero (correspondientes a pares positivos, no negativos o de
frenado), la potencia adopta la forma mostrada en la Figura 46.
Figura 46. Valores positivos de la potencia generada por el aerogenerador, para los valores de la Tabla
4.
Figura 47. Curvas de potencia generada frente a
!
" , a diferentes velocidades de viento (
!
v" ), para los
valores de la Tabla 4.
Resultados 88
Cortando para las mismas velocidades que anteriormente la superficie
correspondiente a la potencia se obtiene la gráfica de la Figura 47.
Como era de suponer la potencia tiene un valor bajo a valores de
!
"
pequeños, ya que aunque el par sea grande no se compensa al hacer el
producto y lo contrario sucede a valores altos de
!
" , cuando el par disminuye
como se ha explicado, alcanzando las curvas un máximo cuando ambas
variables alcanzan cierto compromiso.
Según la Figura 47, para
!
v" =15m /s, la turbina produciría unos 18 Kw, lo que
representa casi un 50% más que la potencia nominal del Spiral Magnus, con
12 Kw. de potencia nominal. Ambos valores están en el mismo orden de
magnitud, lo que valida en cierta medida los resultados como válidos para el
estudio de las tendencias del problema, verdadero objetivo del análisis.
Lo más importante que aporta la Figura 47, es que sugiere una velocidad
angular óptima de aproximadamente algo más de 3 rad/s, para moverse en
puntos de potencia cercana a la máxima para velocidades de viento
!
v" = 9m /s y
!
v" =15m /s. Esto concuerda con la velocidad nominal de giro del
rotor del Spiral Magnus que es
!
30 rpm = 3,14 rad /s.
Se concluye así que un aerogenerador basado en el efecto Magnus, sería un
tipo de aerogenerador lento, pues funcionaría de manera óptima a
velocidades de giro bajas.
Se tendrán en cuenta ahora las pérdidas del aerogenerador, producidas por
la fricción del aire sobre las palas al girar estas y la transmisión mecánica
necesaria desde el motor a las mismas. Para ello se utilizará la Ec. 17 obtenida
en 3.5 añadiendo a la misma la influencia del número de palas
!
n y del
rendimiento de la transmisión mecánica
!
" = 0,5 :
!
Pperd =n
"M# =1,328
n
"
$
16
%# 3d4L
Reb1 2
=1,328n
"
1
162%$µ #
52d
3L
Resultados 89
Como se puede ver, las pérdidas tan solo dependen de
!
" , por lo que serán
constantes para un valor determinado de esta variable. A continuación en la
Figura 48 se muestra la diferencia existente entre la potencia generada y la
potencia útil del aerogenerador, es decir, la generada menos las pérdidas,
que se deben a la potencia consumida en el motor para
!
v" =12m /s.
Figura 48. Comparación entre la potencia generada y la potencia útil (potencia generada menos las
pérdidas), para los valores de la Tabla 4.
La diferencia entre ambas curvas es mínima, por lo que se considerará en
adelante que la potencia de pérdidas se puede considerar despreciable para
los valores elegidos de las variables y que la potencia útil del aerogenerador
es aproximadamente la generada en el mismo.
Solo quedaría comprobar el efecto que produce una variación de
!
" en la
potencia producida por el aerogenerador. Pero es la variable más propicia a
ser constante, para poder generar así una sustentación similar durante el
funcionamiento de la turbina, por lo que entraría en juego sobre todo a la
hora de regular éste, asunto que se debería estudiar en detalle. Aumentarla o
disminuirla, sería previsiblemente una forma de conseguir más o menos par
Resultados 90
y así controlar la
!
" del aerogenerador, evitando sobreaceleraciones y
regulando la potencia que extrae del viento.
4.2 Modelo adimensional
Con vistas a realizar ensayos sobre el modelo, se redujeron las variables del
problema mediante la adimensionalización de las ecuaciones
correspondientes a la potencia de la misma, obteniéndose las expresiones de
3.7 .
Se introdujeron estas ecuaciones en Matlab®, definiéndose así un modelo
adimensional de aerogenerador, más adecuado para el estudio de la
optimización del mismo y apreciar de una manera más global su
comportamiento.
Las variables relativas a las dimensiones del aerogenerador, las que definen
sus proporciones geométricas se fijaron, buscándose los valores óptimos de
las variables
!
" y
!
" para el modelo de aerogenerador definido. En este caso y
al igual que para el análisis dimensional se tomarán las proporciones del
Spiral Magnus de Mecaro como referencia, con una relación de aspecto para
las palas igual a
!
l " =15. De este modo las variables que se utilizarán en el
análisis serán las mostradas en la Tabla 5.
" 0,0304
l 0,4565
!
" 0,1-6
!
" 2-300
Re 105
Tabla 5. Valores de las variables para el modelo adimensional del aerogenerador.
Resultados 91
El número de Reynolds se fijó en
!
105 como primera referencia, aunque como
se verá posteriormente, tiene una gran influencia en los resultados, debido a
que las pérdidas dependen de
!
Re" 12 .
4.2.1 Determinación del alcance del modelo
Como en el modelo dimensional, se deberá limitar el rango de validez del
modelo para
!
" < 8. Para ello se adimensionalizó la expresión de
!
"max
:
!
"max
=" R0( ) =
#d
2 v$2 +% 2
R0
2
=&'
1+ (2 1) 2l( )2
Representando
!
"max
en función de
!
" y
!
" , se obtuvo la superficie de la Figura
49:
Figura 49.
!
"max
para los valores de la Tabla 5.
Como era de esperar, se sobrepasa el valor permitido de
!
" , para valores de
!
"
elevados, más si
!
" tiene un valor pequeño. Se eliminarán de las superficies y
demás resultados, como se hizo anteriormente, estas zonas en que el modelo
no está determinado.
Resultados 92
4.2.2 Coeficiente de potencia
Deberán tenerse en cuenta las pérdidas esta vez, pues son directamente
proporcionales a
!
"52 . En la Figura 50 se muestra cómo crecen de manera
muy importante, llegando a tener valores muy significativos para valores
altos de
!
" .
Figura 50. Valor de las perdidas de potencia adimensionales en una pala en función de
!
" , para los
valores de la Tabla 5.
Una vez tenidas en cuenta estas consideraciones, los resultados obtenidos se
recogen en las figuras que se muestran a continuación. El
!
Cp correspondiente
a la sustentación [Figura 51] crece de manera muy acusada y prácticamente
lineal con
!
" sobre todo para valores de
!
" elevados, mientras que también
aumenta con
!
" aunque de forma más moderada, sobre todo a partir de
!
" = 50 aproximadamente.
El
!
Cp correspondiente al arrastre [Figura 52], sin embargo, aumenta con
!
" de
manera parabólica, aunque es más de señalar que crece de manera muy
acusada para valores bajos de
!
" , estabilizándose en valores cercanos a 1,4 a
partir de
!
" =100 aproximadamente.
Resultados 93
Figura 51. Coeficiente de potencia debido a la sustentación en una sola pala, para los valores de la
Tabla 5.
Figura 52.
!
Cp debido al arrastre en una sola pala, para los valores de la Tabla 5.
Restando el
!
CpD al
!
CpL se obtiene el
!
Cp para una pala. Se muestra el
resultado correspondiente al
!
Cp total [Figura 53] y al
!
Cp útil [Figura 54 y
Figura 55], igual al total menos las pérdidas:
Resultados 94
Figura 53.
!
Cp en una sola pala sin tener en cuenta las pérdidas, para los valores de la Tabla 5.
Figura 54.
!
Cp en una sola pala teniendo en cuenta las pérdidas (
!
Cp útil), para los valores de la Tabla
5.
Como se ve, la influencia de las pérdidas, directamente proporcionales a
!
"52 ,
tiene como consecuencia el desplazamiento del máximo
!
Cp hacia valores
menores de
!
" (de 3 a 2,5) y
!
" (de 250 a 200 aproximadamente), así como la
disminución del mismo en casi un 50% para este valor de Reynolds.
Resultados 95
Figura 55.
!
Cp en una sola pala teniendo en cuenta las pérdidas (
!
Cp útil), para los valores de la Tabla
5. Vista en perspectiva.
4.2.3 Influencia del número de Reynolds
Figura 56.
!
Cp útil de una pala para los valores de la Tabla 5, excepto
!
Re =104
El valor de Reynolds influye notablemente en los resultados. Se muestran
aquí los
!
Cp útiles para 3 órdenes de magnitud diferentes del mismo:
!
104
Resultados 96
[Figura 56],
!
105 [Figura 57] y
!
106 [Figura 58] y los mismos valores para el
resto de variables anteriormente utilizados.
Figura 57.
!
Cp útil de una pala para los valores de la Tabla 5 (
!
Re =105)
Figura 58.
!
Cp útil de una pala para los valores de la Tabla 5, excepto
!
Re =106
Como se puede observar, a mayor número de Reynolds, menor es la
influencia de las pérdidas. Para valores de Reynolds altos, los esfuerzos
viscosos, que originan la fricción que provoca las pérdidas, pasan a un
Resultados 97
segundo plano, perdiendo importancia frente a altas velocidades de fluido.
También se origina un desplazamiento del máximo hacia valores mayores de
!
" y
!
" , como ya se había observado, debido a la dependencia de las perdidas
con
!
"52 .
4.2.4 Curvas
!
Cp -
!
"
Se procederá ahora a situar el aerogenerador en el gráfico
!
Cp frente a
!
" , con
el resto de aerogeneradores. Para ello se utilizará el
!
Cp útil hallado para los
datos de la Tabla 5 y se multiplicará éste por
!
n = 3 y
!
n = 5 (ver apartado 3.3 )
respectivamente, extrayendo las curvas correspondientes a los máximos
coeficientes y representándolas en el gráfico de la Figura 14.
En la Figura 59 y la Figura 60, correspondientes a
!
n = 3 y
!
n = 5
respectivamente como ya se ha mencionado, se observan las tendencias de
!
Cp según aumenta
!
" para diferente valores de
!
" en las líneas que se dibujan
las superficies, correspondientes a
!
" = cte . El máximo
!
Cp para ambas
corresponde a un valor de aproximadamente
!
" =194 , para el cual se
representarán las curvas
!
Cp -
!
" , en la Figura 61.
Figura 59. Superficie de
!
Cp útil para n=3 y los valores de la Tabla 5.
Resultados 98
Figura 60. Superficie de
!
Cp útil para n=5 y los valores de la Tabla 5.
Como se aprecia, para ambas curvas, similares en su forma a las de cualquier
otro aerogenerador, se alcanza el valor máximo de
!
Cp para
!
" # 2,6 , siendo
este de 0,3094 para n=3 y de 0,5157 para n=5.
Figura 61. Curvas de
!
Cp útil máximo para los valores de la Tabla 5.
Aunque hay que tener en cuenta las hipótesis realizadas (ver 3.2 y 3.3 ), son
valores altos para el coeficiente de potencia, cercanos al 0,593 ideal y desde
Resultados 99
luego equiparables a los de los aerogeneradores actuales que tienen
coeficientes de potencia cercanos a 0,5. Esto hace pensar en la conveniencia
de seguir investigando este tipo de aerogeneradores.
Al representar estas curvas obtenidas, frente a las de los demás
aerogeneradores en la Figura 62, queda patente que los aerogeneradores
basados en efecto Magnus, quedarían enmarcados dentro de los
denominados aerogeneradores lentos, debido a que muestran su máxima
eficiencia para valores de
!
" entre 2 y 3.
Figura 62. Coeficientes de potencia en función de la velocidad relativa !, incluyendo las de los
aerogeneradores basados en el afecto Magnus, para 3 y 5 palas.
Capítulo 5 MODELO FUNCIONAL A
ESCALA
Modelo funcional a escala 101
5.1 Sistema de accionamiento de las palas
Después de elegirse una configuración de eje horizontal para el
aerogenerador, dado el mayor y la generación de un par constante en
condiciones estacionarias frente al par sinusoidal que se produce en los
aerogeneradores de eje vertical, la siguiente cuestión a tener en cuenta es
cómo conseguir el movimiento de rotación de las palas.
Figura 63. Propuesta de aerogenerador con motores independientes para cada una de las palas
La primera solución que se planteó, consistía en situar un motor
independiente para cada una de las palas en el buje, como se muestra en la
Figura 63. Sin embargo esta solución no era viable para la construcción de un
modelo a escala ya que presenta el problema de tener que alimentar los
motores desde el buje, lo que obligaría a idear un sistema para evitar que los
cables se enrollaran alrededor del eje, como por ejemplo, un sistema de
escobillas, similares a los que se usan para la alimentación de motores
eléctricos trifásicos. Además el tamaño del buje sería muy grande en
comparación con el aerogenerador, lo que le restaría eficiencia ya que tendría
una menor superficie útil.
Modelo funcional a escala 102
De modo que se tiene que transmitir el movimiento a las palas a través del
buje. Los planos de la patente del Spiral Magnus de Mecaro (Ver 2.9.2 )
sugieren una posible solución [Figura 64].
Figura 64. Esquema interno de un aerogenerador Spiral Magnus. [WIPO09]
Aunque no se aprecia claramente en la figura, el movimiento proveniente del
motor (Marca 18 en la figura), es transmitido mediante un eje macizo y un
Modelo funcional a escala 103
engranaje cónico a las palas. Las palas al exponerse al viento incidente
girarían arrastrando el buje que está solidariamente unido a un tubo,
dispuesto coaxialmente al eje anterior y que transmite el movimiento al
generador eléctrico (Marca 15 en la figura).
De este modo el giro de las palas es independiente del giro del conjunto del
aerogenerador, lo que es fundamental para posteriormente regular la
potencia durante el funcionamiento del mismo.
Figura 65. Esquema de funcionamiento del modelo
La solución adoptada finalmente fue similar a la de Mecaro, pero más
sencilla, para facilitar su realización material. Como se puede ver en el
esquema de la Figura 65, el motor transmite su movimiento a través de unos
engranajes rectos a un tubo (en naranja) con un engranaje cónico en su
extremo opuesto, que acciona la pala (en amarillo), la cual gira libremente
sobre su eje (en negro). Al girar las palas en presencia de viento, generarán
suficiente sustentación como para arrastrar el eje del generador con ellas. Las
partes verdes del esquema representan el buje y su soporte, que son fijos.
Entre todos los ejes con movimiento relativo se colocarán rodamientos.
Modelo funcional a escala 104
5.2 Elección de materiales, dimensiones y componentes
En un principio se pensaba realizar la totalidad del modelo mediante una
máquina de prototipado rápido, por permitir una mayor flexibilidad en el
diseño, necesaria en un principio para adaptar el modelo a los resultados
teóricos conseguidos.
Sin embargo, la complejidad de estos cálculos obligó a comenzar la
construcción del modelo antes de su finalización, por lo que se optó por
adquirir los materiales y componentes necesarios, y adaptarlos en lo posible
a los datos que se poseían en aquel momento; como por ejemplo, que según
[BYCH07] la relación de aspecto óptima para las palas es .
Dado que era necesario mover el conjunto sin que fuera necesaria mucha
potencia, se decidió que el material más adecuado sería el aluminio debido a
su escaso peso y facilidad de mecanizado, lo que proporcionaría una menor
inercia y una mayor flexibilidad a la hora de diseñar.
Figura 66. Esquema de las diferentes etapas de diseño
Modelo funcional a escala 105
El diseño se dividió en 3 etapas, correspondientes a diferentes zonas críticas
de funcionamiento del aerogenerador y que aparecen reflejadas en la Figura
66.
Figura 67. Croquis numerado de la primera etapa de diseño
La Figura 67 muestra un croquis de la primera parte del diseño, que guarda
ciertas características que se repetirán en la segunda ya que es en cierta
manera una prolongación de la misma.
El primer paso fue adquirir los tubos y varillas correspondientes a las palas y
el tubo interior del buje. Como ya se ha mencionado anteriormente, en un
principio se pensaba construir la totalidad del modelo mediante la máquina
de prototipado rápido. Dado que las dimensiones del espacio de trabajo de
esta máquina son de 200x200 mm de base y 250 mm de altura, la dimensión
máxima de cada pala del aerogenerador, incluyendo el engranaje de la parte
inferior, podía ser como máximo de 250 mm y con esta idea se hicieron los
primeros esbozos del diseño.
Modelo funcional a escala 106
Sin embargo cuando posteriormente se decidió comprar los materiales, las
dimensiones vinieron determinadas por los diámetros de tubos disponibles y
la relación de aspecto que se pretendía obtener, con acuerdo a
[BYCH07]. Entre los tubos para construir las palas hubo que escoger entre
dos diámetros exteriores: 20 ó 16 mm. Las longitud de las palas debían ser
por tanto, para cada uno:
Finalmente se escogió para la parte exterior de las palas y el tubo interior del
buje (Marca 1 en el croquis), un tubo de aluminio de 16mm de diámetro
exterior y 1 mm de espesor, lo que proporcionaba 14 mm de diámetro
interno, adecuados para encajar rodamientos de 14 mm de diámetro exterior.
Además, al cumplir la relación de aspecto, el aerogenerador una vez
construido tendría un frente a que hubiera tenido
con palas de diámetro exterior de . Esto resultará especialmente útil
para su ensayo dada las escasas dimensiones de los ventiladores disponibles
para generar la corriente incidente de aire.
Para los ejes internos se escogieron varillas macizas de aluminio de 8mm de
diámetro (Marcas 2 en el croquis). Aunque había tubos de las similares
dimensiones, se eligieron las varillas macizas pese a su mayor peso porque
aportaban más flexibilidad para poder mecanizarlas y poder montar en ellas
los rodamientos.
Una vez seleccionados estos tubos y varillas, se determinaron los
rodamientos que aseguran el giro independiente entre dichas marcas 1 y 2,
señalados por la marca 3 en el croquis. Se eligieron unos rodamientos en
miniatura de diámetro exterior 14 mm como ya se había mencionado, y
diámetro interior 7 mm, por lo que fue necesario rebajar en 1 mm el diámetro
de las varillas para que los rodamientos encajaran en ellas adecuadamente.
Modelo funcional a escala 107
Los engranajes (Marca 4) iban a ser en principio diseñados en 3D y
posteriormente realizados mediante la máquina de prototipado rápido, pero
tras una pequeña búsqueda y dada la escasa flexibilidad del software
utilizado para crear los engranajes en 3D, se encontraron unos engranajes
cónicos adecuados, de material plástico y relación 2:1. Estos se ajustaban
perfectamente a las necesidades del modelo salvo por alguna pequeña
modificación que fue necesario introducir mediante el mecanizado de los
mismos, como aumentar el diámetro interior de los mismos para que la
varilla pasase holgadamente y reducir el exterior de su zona de acople para
que se adaptara al interior de los tubos.
La marca 5 señala la pieza de unión entre, los ejes interiores de las palas y el
eje también interior del buje que irá posteriormente acoplado al generador
eléctrico. Se realizó a partir de un bloque cilíndrico de aluminio, mediante
torneado manual del mismo. Posteriormente se taladraron y roscaron con
métrica 6 los alojamientos para el eje interior del buje en el eje de la pieza y
los correspondientes a las palas en su cara cilíndrica, separados 120º entre
ellos, como corresponde a un modelo tripala.
Tras esto, era necesario seleccionar los rodamientos que aseguraran el libre
movimiento entre el tubo interior del buje y el soporte del mismo. Ya que no
hay rodamientos de diámetro interior igual a 16mm, fue necesario realizar un
par de casquillos (Marca 6), para acoplar los rodamientos elegidos, de
diámetro interior 20 mm y exterior 32 mm. Estos casquillos se realizaron
también mediante el torneado de bloques macizos de aluminio.
Se eligieron estos rodamientos en concreto (Marca 7) ya que, además de que
su diámetro interior era mayor que 16 con el suficiente margen para poder
fabricar un casquillo sin muchas dificultades (el grosor de los mismo es de 2
mm, fácil de conseguir mediante mecanizado) su diámetro exterior encajaba
con un tubo de PVC, que se encontraba disponible.
Modelo funcional a escala 108
Sin embargo el tubo de PVC (Marca 8), carecía de precisión dimensional y los
rodamientos no encajaban perfectamente sino con cierta holgura. Debido a
esto, fue necesario usar bridas sobre el tubo, alrededor del alojamiento del
rodamiento. Se aplicó calor previamente sobre el tubo para que éste se
deformara plásticamente y las bridas pudieran ejercer la presión adecuada
sobre los rodamientos. Con esto quedaría definida la primera parte del
diseño.
La segunda parte del diseño se centra en la parte posterior del buje, en la
Figura 68 se muestra un croquis de la misma. Las marcas 1, 2, 3, 6, 7 y 8
corresponden a los mismos elementos descritos para la primera parte, ya que
se trata de su otro extremo.
Figura 68. Croquis numerado de la segunda etapa de diseño
La marca 9 hace referencia al motor, que se ha representado como un bloque
rígido. Una vez elegido uno de los motores que había disponibles, se
pudieron elegir los engranajes (marcas 11 y 12) ya que era necesario saber el
tamaño del motor para estimar la distancia entre ejes que deberían tener
estos.
Modelo funcional a escala 109
Se seleccionaron unos engranajes de material plástico con una relación de
transmisión 1:2, para la posición en que se colocaron, lo que permite que las
palas giren a la misma velocidad que el motor, ya que los engranajes cónicos
del buje, como se mencionó anteriormente, tienen una relación 2:1.
Permitirían también cierta flexibilidad a la hora de ensayar el modelo, ya que
bastaría con intercambiar su posición para que la velocidad de las palas fuera
4 veces la del motor. Fue necesario mecanizar mediante torno el diámetro
exterior de la zona de acoplamiento del engranaje de mayor tamaño con el
buje, para que pudiera introducirse en el tubo interior.
La marca 10 re refiere al soporte del motor. Éste se realizó con una pieza de
PVC, consistente en un tubo de igual diámetro que el de la marca 8 unido a
una placa plana. La parte del tubo fue abierta en toda su longitud para poder
ser acoplada al exterior del tubo de soporte de PVC. A la parte plana se le
realizaron 3 agujeros, el primero de ellos y que ocuparía una posición más o
menos centrada, para que lo atravesara el eje del motor. Los otros 2 de menor
tamaño se destinarían a alojar sendos tornillos (marca 13), cuyo objetivo sería
fijar el motor a la parte plana de PVC del soporte.
Con esto concluiría la segunda etapa del diseño. La tercera parte,
correspondiente al acople del generador, no se llevo a cabo ya que no se
encontró ningún generador adecuado.
Tras el montaje de todos los componentes se pegaron los rodamientos
mediante un adhesivo especial para tal fin y se ajustaron 2 bridas alrededor
de las piezas de PVC para asegurar que no se desplazaran entre sí, del
mismo modo que se describió anteriormente. También se engrasaron todas
las partes móviles de manera adecuada. El resultado final puede apreciarse
en la Figura 69 y en la Figura 70.
En los apéndices se encuentran todos los detalles de los componentes
utilizados para la construcción del modelo y anteriormente mencionados.
Modelo funcional a escala 110
Para más detalles sobre las dimensiones de los mismos, consultar los planos
también incluidos en los apéndices.
Figura 69. Aspecto final de la primera etapa de diseño.
Figura 70. Aspecto final de la segunda etapa de diseño.
Modelo funcional a escala 111
5.3 Estimación de la potencia del motor del modelo
Tomando los resultados obtenidos en 3.5 y teniendo en cuenta que se refieren
a la potencia de pérdidas para una sola pala, la potencia del motor puede
estimarse como:
Ec. 18
!
Pmotor =n
"Pperd =1,328
#
16
n
"
$% 3d4L
Reb1 2
Como se ve, se han introducido en la ecuación dos variables más, el número
de palas y un rendimiento , para tener en cuenta los rozamientos
mecánicos que se producen en la trasmisión de movimiento desde el motor
hasta las palas.
La Tabla 6 recoge los datos necesarios para el cálculo, tomando los datos del
aire para la presión atmosférica y de temperatura de [WHIT04] y las
dimensiones del modelo construido.
! 1,2 kg/m3
µ 1,80E-05 Ns/m2
d 0,016 m
L 0,24 m
b 0,050 m
n 3
Tabla 6. Datos para la estimación de la potencia del motor
Se realizaron los cálculos para diversas velocidades de giro de las palas,
considerando .
A la vista de los resultados que se observan en la Tabla 7, será necesario un
motor de escasa potencia ya que para la máxima velocidad angular
propuesta la potencia necesaria es de aproximadamente 0,26 W.
Modelo funcional a escala 112
Finalmente se utilizó un motor correspondiente a una pequeña bomba de
electrodoméstico que estaba disponible.
!"#$#% Reb U CD "# &% '"()*% '+,-,)%
!"#$%& !'%& !$()%& !'%& !*($+%& !*$%& !,%& !,%&
-...& +/.01234& .1/2/& +13-5'.+& .1.--& -1.+5'.6& -1.05'.4& .1..-&
+...& 36-410./& -1606& -1005'.+& .1.2.& +1//5'.6& 61.25'.4& .1..4&
2...& /4++1.6+& +13-2& -1435'.+& .1.33& 31+75'.6& -1665'.2& .1.-.&
4...& --++714-0& 2123-& -1+35'.+& .1./4& /1-35'.6& 214-5'.2& .1.+.&
3...& -4.26100-& 41-/7& -1-+5'.+& .1--/& -1-45'.3& 31765'.2& .1.26&
6...& -6/441-+3& 31.+0& -1.+5'.+& .1-33& -13.5'.3& 714-5'.2& .1.36&
0...& -763-1407& 31/64& 71405'.2& .1-73& -1/75'.3& -12/5'.+& .1./2&
/...& ++43/1/22& 610.+& /1/65'.2& .1+27& +12.5'.3& -1725'.+& .1--6&
7...& +3+661-/0& 0134.& /1235'.2& .1+/3& +1035'.3& +1375'.+& .1-36&
-....& +/.02134-& /120/& 01725'.2& .1224& 21++5'.3& 21205'.+& .1+.+&
--...& 2.//.1/76& 71+-3& 01365'.2& .12/3& 210+5'.3& 41+/5'.+& .1+30&
Tabla 7. Resultados para diferentes velocidades angulares de las palas
5.4 Factores de escala
Para que se cumplan las 3 semejanzas (geométrica, cinemática y dinámica) en
modelo y prototipo, se deberá asegurar la igualdad de todas las variables
adimensionales, así como la proporcionalidad de las dimensiones en ambos.
Así, se obtendrán relaciones de escala entre las variables para el
aerogenerador modelo (Variables con subíndice ) y el aerogenerador real o
prototipo (Variables con subíndice ). De este modo, la relación de aspecto
entre modelo y prototipo vendrá dada por la ecuación:
!
DM
DP
= "
Igualando los números de Reynolds para que se cumpla la semejanza
dinámica y cinemática y suponiendo el mismo fluido (aire) con las mismas
propiedades:
!
ReM
= ReP;
!
v"MDM= v"PDP
;
!
v"M =DP
DM
v"P =1
#v"P
Igualando el resto de variables adimensionales:
Modelo funcional a escala 113
!
nM
= nP
!
"M
= "P;
!
dM
DM
=dP
DP
;
!
dM
=DM
DP
dP
= "dP
!
"M
= "P
;
!
"MDM
2v#M
="
PDP
2v#P
;
!
"M
=DPv#M
DMv#P
"P
=1
$ 2"
P
!
"M
= "P
;
!
"MDM
2v#M
="
PDP
2v#P
;
!
"M =DPv#M
DMv#P" p =
1
$ 2"P
Hay que tener en cuenta las restricciones de los equipos que se van a utilizar
en el ensayo del modelo. Los ventiladores disponibles para conseguir
puede proporcionar una velocidad máxima aproximada de 8 m/s lo que
significaría que a una escala de por ejemplo la velocidad ensayada
sería de 2 m/s sobre el prototipo, muy baja en comparación con una
situación de viento real.
También hay que contar con que la escala del modelo que fue condicionada
en gran medida por los materiales disponibles y las dimensiones de los
ventiladores.
Sin embargo si se rehúsa a igualar los número de Reynolds y se impone una
relación de velocidades arbitraria, por ejemplo:
!
v"M
v"P
= #
El intervalo de velocidades de ensayo sería ampliado en vez de reducido por
el factor de escala y la limitación de 8 m/s del ventilador como velocidad
máxima no sería tan crítica. Del mismo modo, las variables adimensionales
que dependen de la relación de la velocidad del viento:
!
"M
= "P
;
!
"MDM
2v#M
="
PDP
2v#P
;
!
"M
=DPv#M
DMv#P
"P
="P
!
"M
= "P
;
!
"MDM
2v#M
="
PDP
2v#P
;
!
"M =DPv#M
DMv#P" p ="P
Modelo funcional a escala 114
Por lo que las velocidades angulares en modelo y prototipo coincidirían
fuera cual fuera la relación de proporcionalidad entre las dimensiones de
ambos.
La no igualación de los números de Reynolds es una práctica habitual dentro
del ensayo de modelos, ya que cumplir todas las restricciones que conlleva
satisfacer los 3 tipos de semejanzas es en ocasiones extremadamente
complicado. Para validar los resultados del ensayo se hallará la influencia del
número de Reynolds en los mismos y se extrapolará la tendencia observada a
los resultados que se obtendrían en el prototipo (ver [WHIT04]).
5.5 Elección de la relación de velocidades del modelo para
ensayo a diferente número de Reynolds en modelo y prototipo.
Como ya se mencionó en 5.4 , la elección de la relación de velocidades entre
modelo y prototipo condicionará también la relación entre las velocidades
angulares en ambos. Dado que el diámetro del modelo es aproximadamente
!
DM
= 0,5 m , si se elige como dimensiones de prototipo y como referencia el
actual modelo comercial de Mecaro, que tiene 12 m de diámetro
aproximadamente, entonces
!
DP
=12 m , con lo que resulta, a modo
orientativo:
!
DM
DP
=0,5
12= 0,04167
Para simplificar las cuentas se impondrá , que está en el mismo
orden de magnitud que las dimensiones del aerogenerador de Mecaro y
resulta:
!
DM
DP
=0,5
10= 0,05
Puesto que en [BYCH07] la referencia como velocidad angular de las palas es
de 8000 rpm, se fijará
!
"P = 8000rpm . Como el motor eléctrico solo nos dará
1000-1500 rpm, se tendrá que conseguir esta velocidad de alguna otra
Modelo funcional a escala 115
manera, mediante los factores de escala de las variables adimensionales o la
relación de transmisión de los engranajes. Ésta última opción está más
limitada por cuestión de dimensiones, aunque se ha visto que un cambio de
posición de los engranajes rectos en la parte trasera del modelo podría
conseguir que la velocidad de las palas fuera cuatro veces la del motor.
En la siguiente tabla se tratará de mostrar una visión general del problema y
las posibles soluciones, partiendo de los datos mencionados anteriormente:
; ;
[m/s] [m/s] [rpm]
0,05 20 160 8000
0,25 4 32 40.000
0,5 2 16 80.000
1 8 1 160.000
Tabla 8. Tanteo de posibles relaciones de velocidades de viento entre modelo y prototipo
Como se aprecia en la Tabla 8 una
!
"M
de 8000 rpm, la más baja que se ha
conseguido, pero que aun seria difícil de conseguir, conlleva un intervalo de
velocidades en el prototipo no admisible para una situación de viento
habitual (entre 2 m/s y 30-40 m/s). Por otra parte la situación inversa, con
rangos de velocidades de viento aceptables en el prototipo, obliga a
conseguir altas velocidades de rotación de las palas que no son viables.
Esto nos obligará a cambiar el factor de escala por uno más modesto,
teniendo que ser de este modo el prototipo más pequeño de lo que se
esperaba en un principio. Imponiendo un rango de velocidades para el
prototipo de entre 1 m/s y 20 m/s aproximadamente, así como una
velocidad de rotación de las palas más razonable, de entre 1000-1500 vueltas,
se tratará de conseguir un
!
" lo mayor posible.
Modelo funcional a escala 116
5.6 Primeros ensayos con el modelo en construcción
Con el modelo aún en construcción, solo con la primera parte del diseño
realizada, se trató de realizar alguna prueba para ver si en efecto podía
moverse mediante efecto Magnus.
La primera prueba se llevó a cabo con el modelo montado sin el soporte
(Tubo de PVC) y sin haber sido unidas ni consolidadas sus partes. Se sometió
el modelo a una corriente de aire producida por el ventilador del pequeño
túnel de viento del laboratorio de fluidos, mientras se movía con un simple
movimiento de muñeca el tubo del buje. Al principio las palas se movieron
en la dirección que determinaba el rozamiento de las partes mecánicas, es
decir a favor del giro que se estaba ejerciendo sobre el tubo del buje, pero al
rato de estar funcionando el giro del conjunto se invirtió y giró en el sentido
en que debería hacerlo al funcionar por efecto Magnus, es decir, en sentido
contrario al giro del tubo interior del buje.
La segunda prueba se llevo a cabo con el tubo de PVC ya montado y el resto
de piezas fijadas de forma definitiva pero sin el motor acoplado. Se sometió
entonces el modelo a la corriente de aire producida por uno de los
ventiladores de las celdas de motores del laboratorio. Sin hacer nada,
sujetando el aerogenerador únicamente por su soporte es decir, por su parte
fija, sin inducir el giro de las palas, el modelo giró en su conjunto.
En un principio puede resultar sorprendente, ya que al no girar las palas no
hay manera de que éstas generen la sustentación necesaria para que el
aerogenerador gire. La explicación aunque puede no resultar obvia si es
bastante simple. El ventilador utilizado no produce una corriente fluida de
dirección única y de hacerlo, tampoco se puede colocar de manera manual y
sin mediciones previas el aerogenerador de manera perpendicular a la
misma. Esto provoca que las fuerzas de arrastre sobre las palas tengan una
proyección no nula respecto al plano del aerogenerador, provocando que
gire.
Modelo funcional a escala 117
Debido a estos resultados, se realizó otra prueba con un aparato de aire
acondicionado. La razón de esto fue que aunque produce una corriente de
velocidad mínima, ésta es prácticamente unidireccional, debido a los
estabilizadores de flujo a la salida del mismo. Sin embargo, realizando la
misma prueba que la primera vez, el aerogenerador no fue capaz de superar
el par de rozamiento y solo se movió en el mismo sentido que el tubo interior
del buje. Se piensa que fue debido a la escasa velocidad de la corriente
incidente y la también baja velocidad de las palas, al ser estas movidas
únicamente de manera manual mediante el tubo interior del buje.
5.7 Ensayo con el modelo completado
Una vez completada la construcción del modelo y acoplado el motor que
accionaría las palas se procedió a realizar el ensayo definitivo en el
laboratorio de fluidos de la ETSI-ICAI.
Figura 71. Fuente de alimentación utilizada en el ensayo.
Modelo funcional a escala 118
Pruebas previas en el laboratorio de máquinas eléctricas demostraron que el
motor, de corriente continua, funcionaba de manera correcta y a una
velocidad razonable a unos 2,5 V de tensión. En este punto consumía unos 7
amperios de corriente, por lo que fue necesario encontrar una fuente de
alimentación que pudiera proporcionar estos valores y que fuera también
regulable. Finalmente se utilizó una fuente de alimentación de corriente
continua, de la que se podía controlar la tensión y la corriente, con displays
que indicaban el valor de cada uno de ellos y que se muestra en la Figura 71.
Figura 72. Montaje final del ensayo
Como soporte para el aerogenerador, se utilizó una mesa que disponía de
una barra acoplada con una pletina cuya altura podía variarse y en la que se
fijó el modelo mediante adhesivo. El montaje final puede observarse en la
Figura 72. En la misma también se observa el ventilador utilizado para
generar el flujo de aire libre, no confinado para evitar posibles efectos de
Modelo funcional a escala 119
borde, correspondiente a la parte posterior del túnel de viento del
laboratorio. Se eligió éste por ser el más potente disponible.
Una vez realizado el montaje, se llevaron a cabo diferentes ensayos para
observar el comportamiento del aerogenerador.
5.7.1 Determinación del sentido de giro adecuado.
Dado que al cambiar la polaridad del motor se cambiaba el sentido de giro
del motor y por tanto de las palas, hubo de determinase el sentido de giro
adecuado para que las palas no se desenroscaran del buje. Este efecto se debe
a que a pesar de la presencia de los rodamientos siempre aparece cierto
rozamiento en el sentido de giro.
Para determinar el sentido de giro adecuado, sin accionar el ventilador, se
comprobó después de un periodo de prueba de una par de minutos para
cada polaridad del motor, en cual de ellos las palas se desenroscaban. El
sentido adecuado resultó ser el indicado en el esquema de la Figura 73.
Como se puede apreciar en la misma, de ahora en adelante, las figuras se
centrarán en el sentido de giro del tubo interior del buje y de las palas
únicamente.
Figura 73. Esquema que muestra el sentido de giro adecuado del aerogenerador.
Modelo funcional a escala 120
5.7.2 Par de arrastre.
Una vez determinado el sentido adecuado del giro en 5.7.1 , se accionó el
ventilador sin poner en marcha el motor del aerogenerador, para ver que
acciones producía sobre el mismo.
Se observó que producía un par sobre el mismo en el sentido indicado en la
Figura 74, al que se denominará
!
Marr
, ya que se piensa que es originado por
la inexactitud en la alineación del generador o sobre todo porque el flujo del
ventilador no es uniforme ni perpendicular al mismo, cuestiones que ya se
observaron en 5.6 . Esto provocaría que las proyecciones de las fuerzas de
arrastre sobre las palas no fueran iguales ni estuvieran proyectadas en el
mismo ángulo, lo que daría lugar al par de arrastre que se observa.
Se comprobó que aumentando la distancia entre el ventilador y el modelo,
este par disminuía, pero también lo hacia la velocidad de viento incidente
sobre el modelo.
Figura 74. Par de arrastre provocado por el ventilador.
5.7.3 Par de rozamiento
De nuevo sin accionar el ventilador pero poniendo en marcha el motor del
aerogenerador, se comprobó que aunque la transmisión de movimiento
Modelo funcional a escala 121
funcionaba, y las palas giraban según lo previsto, la tendencia de los
engranajes cónicos a moverse como un sólido rígido provocaba un par de
rozamiento del mismo sentido que el giro del buje tal y como se indica en la
Figura 75 y que se denominará
!
Mroz
.
Figura 75. Par de rozamiento mecánico del aerogenerador.
5.7.4 Par del efecto Magnus
Finalmente la última prueba serviría para comprobar si el efecto Magnus
podía hacer girar el aerogenerador en las condiciones más desfavorables.
Éstas se dan para el caso que se observa en la Figura 76, en la que el par de
arrastre (
!
Marr
) y el de rozamiento (
!
Mroz
) van en contra del par que genera el
efecto Magnus debido al sentido de giro de las palas (ver Figura 36 y Figura
37).
Los resultados del ensayo fueron concluyentes, el par originado por el efecto
Magnus no fue suficiente para vencer ambos pares resistentes (no se ha
tenido en cuenta el par resistente estático inherente al aerogenerador) y el
aerogenerador giraba en el sentido de estos últimos, y no en el que debiera
según el efecto Magnus. Se probaron diferentes configuraciones de distancia
entre ventilador y modelo, así como diferentes velocidades del motor,
Modelo funcional a escala 122
alimentándolo a más y menos potencia de la inicial, pero el resultado
siempre fue el mismo.
Cabe también destacar, aunque se tratara de un motor no específicamente
elegido para esta aplicación, que la potencia requerida por éste fue mucho
mayor que la esperada (ver 5.3 ) ya que consumía alrededor de 8 amperios
para una tensión de 3 voltios, es decir, una potencia de aproximadamente 24
W, dos órdenes de magnitud mayor de la esperada.
Figura 76. Esquema del sentido de giro del aerogenerador y los pares presentes en el mismo para la
comprobación del efecto Magnus.
!
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E%* 2/"3%)10*6)* %0* '&';)#;0$(?#* "/(7(#060* )#* &#* $(%(#6/"* $"#* $(/$&%0$(?#* ')*
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1!-02-0,)
Listado de patentes 136
Listado de patentes 137
Apéndice B CÓDIGOS MATLAB
Códigos Matlab 139
Modelo Dimensional: Variables
!
" y
!
v"
%Modelo Dimensional
%Reinicio
clear all
close all
%Coeficientes de la curva de CL
cCL7 = 0.00086638;
cCL6 = -0.025843;
cCL5 = 0.30458;
cCL4 = -1.7843;
cCL3 = 5.3345;
cCL2 = -7.5814;
cCL1 = 6.0768;
%cCL0 = -0.01548;
cCL0 = 0;
%Coeficientes de la curva de CD
cCD7 = 0.00019872;
cCD6 = -0.0068258;
cCD5 = 0.09464;
cCD4 = -0.67174;
cCD3 = 2.5358;
Códigos Matlab 140
cCD2 = -4.7506;
cCD1 = 4.0584;
%cCD0 = 0.03041;
cCD0 = 0;
%Variables del problema
p=1.2; % [kg/m3] Densidad del aire a 20ºC y 1 atm
u=1.8E-5; % [Ns/m2] Viscosidad del aire a 20ºC y 1 atm
vinf=0.5:0.5:40;% [m/s] Velocidad del viento
n=5; % [-] Número de palas
w=0.25:0.25:20; % [rad/s] Velocidad angular del aerogenerador
D=11.5; % [m] Diámetro del aerogenerador
R=D/2; % [m] Radio del aerogenerador
R0=0.5; % [m] Radio del buje
L=R-R0; % [m] Longitud de una pala
chi=100; % [rad/s] Velocidad angular de una pala
d=L/15; % [m] Diámetro de una pala
rend=0.5; % [-] Rendimiento de la transimisión desde el motor a
la pala
for i=1:1:numel(vinf);
for j=1:1:numel(w);
%Variables a y b
Códigos Matlab 141
a(i,j)=R^2+(vinf(i)/w(j))^2;
b(i,j)=R0^2+(vinf(i)/w(j))^2;
% Sumandos de ML
ML0=cCL0*(1/6)*(p*vinf(i)*w(j)*d)*(a(i,j)^(3/2)-b(i,j)^(3/2));
ML1=cCL1*(1/8)*(p*vinf(i)*d^2*chi)*(R^2-R0^2);
ML2=cCL2*(1/8)*(p*vinf(i)*d^3*chi^2/w(j))*(sqrt(a(i,j))-
sqrt(b(i,j)));
ML3=cCL3*(1/32)*(p*vinf(i)*d^4*chi^3/(w(j)^2))*log(a(i,j)/b(i,j));
ML4=cCL4*(1/32)*(p*vinf(i)*d^5*chi^4/(w(j)^3))*(1/sqrt(b(i,j))-
1/sqrt(a(i,j)));
ML5=cCL5*(1/128)*(p*vinf(i)*d^6*chi^5/(w(j)^4))*(1/b(i,j)-1/a(i,j));
ML6=cCL6*(1/384)*(p*vinf(i)*d^7*chi^6/(w(j)^5))*(1/(b(i,j)^(3/2))-
1/(a(i,j)^(3/2)));
ML7=cCL7*(1/1024)*(p*vinf(i)*d^8*chi^7/(w(j)^6))*(1/(b(i,j)^2)-
1/(a(i,j)^2));
% Sumandos de MD
MD0=cCD0*(1/16)*(p*d*w(j)^2)*(2*(R*(a(i,j)^(3/2))-
R0*(b(i,j)^(3/2)))+((vinf(i)/w(j))^2)*(R0*sqrt(b(i,j))-
R*sqrt(a(i,j)))+((vinf(i)/w(j))^4)*log((R0+sqrt(b(i,j)))/(R+sqrt(a(i,j)))));
MD1=cCD1*(1/12)*(p*d^2*w(j)*chi)*(R^3-R0^3);
MD2=cCD2*(1/16)*(p*d^3*chi^2)*(R*sqrt(a(i,j))-
R0*sqrt(b(i,j))+((vinf(i)/w(j))^2)*log((R0+sqrt(b(i,j)))/(R+sqrt(a(i,j)))));
MD3=cCD3*(1/16)*(p*d^4*chi^3/w(j))*(R-
R0+(vinf(i)/w(j))*(atan(R0/(vinf(i)/w(j)))-atan(R/(vinf(i)/w(j)))));
MD4=cCD4*(1/32)*(p*d^5*chi^4/(w(j)^2))*(R0/sqrt(b(i,j))-
R/sqrt(a(i,j))+log((R+sqrt(a(i,j)))/(R0+sqrt(b(i,j)))));
Códigos Matlab 142
MD5=cCD5*(1/128)*(p*d^6*chi^5/(w(j)^3))*(R0/b(i,j)-
R/a(i,j)+(1/(vinf(i)/w(j)))*(atan(R/(vinf(i)/w(j)))-
atan(R0/(vinf(i)/w(j)))));
MD6=cCD6*(1/384)*(p*d^7*chi^6/(w(j)^4))*(((1/(vinf(i)/w(j))^2)*(R/sqrt(a(i,j
))-R0/sqrt(b(i,j))))+(R0/(b(i,j)^(3/2))-R/(a(i,j)^(3/2))));
MD7=cCD7*(1/2048)*(p*d^8*chi^7/w(j)^5)*(R/(((vinf(i)/w(j))^2)*a(i,j))-
R0/(((vinf(i)/w(j))^2)*b(i,j))+(1/((vinf(i)/w(j))^3))*(atan(R/(vinf(i)/w(j))
)-atan(R0/(vinf(i)/w(j))))+2*R0/(b(i,j)^2)-2*R/(a(i,j)^2));
% Cálculo de pares
ML(i,j)=ML0+ML1+ML2+ML3+ML4+ML5+ML6+ML7;
MD(i,j)=MD0+MD1+MD2+MD3+MD4+MD5+MD6+MD7;
MT(i,j)=n*(ML(i,j)-MD(i,j));
% Cálculo de potencias
PT(i,j)=MT(i,j)*w(j);
Pperd=1.328*(1/16)*(n/rend)*sqrt(2*p*pi*u)*chi^(5/2)*d^3*L;
PTp(i,j)=PT(i,j)-Pperd;
%Definición de FImax
FImax(i,j)=chi*d/(2*sqrt(vinf(i)^2+w(j)^2*R0^2));
%Definición de FImin
FImin(i,j)=chi*d/(2*sqrt(vinf(i)^2+w(j)^2*R^2));
if MT(i,j) < 0;
Códigos Matlab 143
MT(i,j)=0;
end
if PT(i,j) < 0;
PT(i,j)=0;
end
if PTp(i,j) < 0;
PTp(i,j)=0;
end
if FImax(i,j) > 8;
ML(i,j)=NaN;
MD(i,j)=NaN;
MT(i,j)=NaN;
PT(i,j)=NaN;
PTp(i,j)=NaN;
FImax(i,j)=NaN;
end
if FImin(i,j) < 0.75;
FImin(i,j)=NaN;
end
Códigos Matlab 144
end
end
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('FImin')
surface(w,vinf,FImin) %1
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('FImax')
surface(w,vinf,FImax)%2
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('ML')
surface(w,vinf,ML)%3
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('MD')
surface(w,vinf,MD)%4
Códigos Matlab 145
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('MT')
surface(w,vinf,MT)%5
figure
xlabel('Omega')
ylabel('Vinf')
zlabel('PT')
surface(w,vinf,PT)%6
figure
plot(vinf,MT(:,1),'LineWidth',2)%7
figure
plot(w,MT(12,:),w,MT(18,:),w,MT(24,:),w,MT(30,:))%8
figure
plot(w,PT(12,:),w,PT(18,:),w,PT(24,:),w,PT(30,:))%9
figure
plot(w,PT(24,:),w,PTp(24,:))%10
max(ML)
max(ans)
Códigos Matlab 146
Modelo adimensional: Variables
!
" y
!
"
%Modelo Adimensional
%Reinicio
clear all
close all
%Coeficientes de la curva de CL
cCL7 = 0.00086638;
cCL6 = -0.025843;
cCL5 = 0.30458;
cCL4 = -1.7843;
cCL3 = 5.3345;
cCL2 = -7.5814;
cCL1 = 6.0768;
%cCL0 = -0.01548;
cCL0 = 0;
%Coeficientes de la curva de CD
cCD7 = 0.00019872;
cCD6 = -0.0068258;
cCD5 = 0.09464;
cCD4 = -0.67174;
cCD3 = 2.5358;
Códigos Matlab 147
cCD2 = -4.7506;
cCD1 = 4.0584;
%cCD0 = 0.03041;
cCD0 = 0;
%Variables adimensionales
n=1; % Número de palas
l=5.25/11.5; % Relación de aspecto entre L y D
delta=l/15; % Relación de aspecto entre d y D
y=0.1:0.1:6; % Velocidad angular adimensional del aerogenerador
t=2:2:300; % Velocidad angular adimensional de una pala.
Re=10e5; % Número de Reynolds basado en vinf y D
rend=0.5; % Rendimiento de la transimisión desde el motor a la
pala
for i=1:1:numel(y);
for j=1:1:numel(t);
%Variables a y b
a(i)=1+1/y(i)^2;
b(i)=(1-2*l)^2+1/y(i)^2;
% Sumandos de cpL
PL0=cCL0*(2/(3*pi))*(delta*y(i)^2)*(a(i)^(3/2)-b(i)^(3/2));
Códigos Matlab 148
PL1=cCL1*(1/pi)*(delta^2*y(i)*t(j))*(1-(1-2*l)^2);
PL2=cCL2*(2/pi)*(delta^3*t(j)^2)*(sqrt(a(i))-sqrt(b(i)));
PL3=cCL3*(1/pi)*(delta^4*t(j)^3/y(i))*log(a(i)/b(i));
PL4=cCL4*(2/pi)*(delta^5*t(j)^4/y(i)^2)*(1/sqrt(b(i))-1/sqrt(a(i)));
PL5=cCL5*(1/(pi))*(delta^6*t(j)^5/y(i)^3)*(1/b(i)-1/a(i));
PL6=cCL6*(2/(3*pi))*(delta^7*t(j)^6/y(i)^4)*(1/(b(i)^(3/2))-
1/(a(i)^(3/2)));
PL7=cCL7*(1/(2*pi))*(delta^8*t(j)^7/y(i)^5)*(1/(b(i)^(2))-
1/(a(i)^2));
% Sumandos de cpD
PD0=cCD0*(1/(4*pi))*(delta*y(i)^3)*(2*(a(i)^(3/2)-(1-
2*l)*(b(i)^(3/2)))+(1/y(i)^2)*((1-2*l)*sqrt(b(i))-
sqrt(a(i)))+(1/(y(i)^4))*log(((1-2*l)+sqrt(b(i)))/(1+sqrt(a(i)))));
PD1=cCD1*(2/(3*pi))*(delta^2*y(i)^2*t(j))*(1-(1-2*l)^3);
PD2=cCD2*(1/pi)*(delta^3*y(i)*t(j)^2)*(sqrt(a(i))-(1-
2*l)*sqrt(b(i))+(1/(y(i)^2))*log(((1-2*l)+sqrt(b(i)))/(1+sqrt(a(i)))));
PD3=cCD3*(2/pi)*(delta^4*t(j)^3)*(1-(1-2*l)+(1/y(i))*(atan(y(i)*(1-
2*l))-atan(y(i))));
PD4=cCD4*(2/pi)*(delta^5*t(j)^4/y(i))*((1-2*l)/sqrt(b(i))-
1/sqrt(a(i))+log((1+sqrt(a(i)))/((1-2*l)+sqrt(b(i)))));
PD5=cCD5*(1/(1*pi))*(delta^6*t(j)^5/y(i)^2)*((1-2*l)/b(i)-
1/a(i)+y(i)*(atan(y(i))-atan(y(i)*(1-2*l))));
PD6=cCD6*(2/(3*pi))*(delta^7*t(j)^6/y(i)^3)*(y(i)^2/sqrt(a(i))-
y(i)^2*(1-2*l)/sqrt(b(i))+(1-2*l)/(b(i)^(3/2))-1/(a(i)^(3/2)));
PD7=cCD7*(1/(4*pi))*(delta^8*t(j)^7/y(i)^4)*(y(i)^2/a(i)-y(i)^2*(1-
2*l)/b(i)+(y(i)^3)*(atan(y(i))-atan(y(i)*(1-2*l)))+2*(1-2*l)/(b(i)^2)-
2/(a(i)^2));
Códigos Matlab 149
% Coeficientes de potencia
cpL(i,j)=PL0+PL1+PL2+PL3+PL4+PL5+PL6+PL7;
cpD(i,j)=PD0+PD1+PD2+PD3+PD4+PD5+PD6+PD7;
cp_perd(j)=1.328*4*delta^3*l*t(j)^(5/2)/(rend*sqrt(pi*Re));
cp(i,j)=n*(cpL(i,j)-cpD(i,j));
cpu(i,j)=cp(i,j)-n*cp_perd(j);
%Definición de FImax
FImax(i,j)=t(j)*delta/sqrt(1+y(i)^2*(1-2*l)^2);
%Definición de FImin
FImin(i,j)=t(j)*delta/sqrt(1+y(i)^2);
if cp(i,j) < 0;
cp(i,j)=0;
end
if cpu(i,j) < 0;
cpu(i,j)=0;
end
if FImax(i,j) > 8;
cpL(i,j)=NaN;
cpD(i,j)=NaN;
cp(i,j)=NaN;
Códigos Matlab 150
cpu(i,j)=NaN;
FImax(i,j)=NaN;
end
if FImin(i,j) < 0.75;
FImin(i,j)=NaN;
end
end
end
figure
xlabel('Teta')
ylabel('Landa')
zlabel('FImax')
surface(t,y,FImax)
figure
xlabel('Teta')
ylabel('Landa')
zlabel('FImin')
surface(t,y,FImin)
figure
xlabel('Teta')
Códigos Matlab 151
ylabel('Landa')
zlabel('CpL')
surface(t,y,cpL)
figure
xlabel('Teta')
ylabel('Landa')
zlabel('CpD')
surface(t,y,cpD)
figure
xlabel('Teta')
ylabel('Landa')
zlabel('Cp')
surface(t,y,cp)
figure
xlabel('Teta')
ylabel('Landa')
zlabel('Cpu')
surface(t,y,cpu)
figure
plot(t,cp_perd,'LineWidth',2)
figure
plot(y,3*cpu(:,97),y,5*cpu(:,97))
max(cpu);
cpu1=max(ans);
Códigos Matlab 152
cpu3=3*cpu1
cpu5=5*cpu1
Apéndice C COMPONENTES DEL
MODELO FUNCIONAL
Componentes del modelo funcional 154
Lista de componentes
En la Tabla 9 se indica para cada marca del plano de conjunto del Apéndice
D, su procedencia y precio a modo de sencillo presupuesto del modelo
funcional.
Marca Descripción Procedencia Referencia Precio Cantidad Precio total
1 Unión buje-
palas
Mecanizado de un bloque de aluminio
- - - -
2 Eje de la
pala Leroy Merlin 69062 2,70 !/m 1 m 2,70!
3 Tubo
exterior de la pala
Leroy Merlin 703780 3,30 !/m 1 m 3,30!
4 Rodamiento
interior RS (NMB) 612-5880 4,865 !/ud 8 38,92!
5 Engranaje
cónico de la pala
RS 521-6137 2,850 !/ud 3 8,55!
6 Engranaje cónico del
buje RS 521-6121 4,750 !/ud 1 4,75!
7 Eje del buje Leroy Merlin 69062 2,70 !/m 1 m 2,70!
8 Tubo
exterior del buje
Leroy Merlin 703780 3,30 !/m 1 m 3,30!
9 Soporte del
buje Tubo de PVC disponible
- - - -
10 Casquillo Mecanizado
de un bloque de aluminio
- - - -
11 Rodamiento
Exterior RS (SFK) 286-7495 8,990 !/ud 2 17,98!
12 Engranaje recto del
buje RS 521-7663 5,180 !/ud 1 5,18!
13 Engranajes recto del motor
RS 521-7556 3,490 !/ud 1 3,49!
14 Soporte del
motor Pieza de PVC
disponible - - - -
15 Tornillo Tornillos
disponibles - - - -
16 Motor Motor CC disponible
- - - -
TOTAL 90,87!
Tabla 9. Listado de componentes según marcas del plano de conjunto
Componentes del modelo funcional 155
Rodamientos
A continuación se indican las especificaciones facilitadas por los fabricantes
de los rodamientos utilizados en la construcción del modelo funcional.
Marca 3 – Rodamiento interior
Marca 10 – Rodamiento exterior
Componentes del modelo funcional 156
Engranajes
A continuación se indican las especificaciones facilitadas por los fabricantes
de los engranajes utilizados en la construcción del modelo funcional.
También se señalan cuales fueron las modificaciones necesarias para su
acoplamiento con el resto de componentes.
Marcas 5 y 6 – Engranajes cónicos
Componentes del modelo funcional 157
Modificaciones de la marca 5 (Pieza 1 según el fabricante):
• Medida A: Ampliada de 5 a 8 mm mediante taladrado.
• Medida B: Reducida de 15 a 14 mm mediante torneado.
Modificaciones de la marca 6 (Pieza 2 según el fabricante):
• Medida A: Ampliada de 6 a 8 mm mediante taladrado.
• Medida B: Reducida de 18 a 14 mm mediante torneado.
Marcas 12 y 13 – Engranajes rectos
Marca 12
Marca 13
Modificaciones en la marca 12:
• El diámetro del agujero interior (Bore) se amplió desde 6 a 8 mm
mediante taladrado.
Apéndice D PLANOS
Planos 159
Nota sobre los planos
Debido al carácter artesanal del modelo construido, los planos que se
mostrarán a continuación, no pretenden ser más que croquis algo más
elaborados que los que se llevaron a cabo durante el diseño del
aerogenerador.
Por este motivo, no se incluirán en ellos tolerancias geométricas ni
dimensionales, ni aspectos demasiado finos, tan fundamentales en los planos
destinados a la fabricación de bienes de consumo. Únicamente se pretende
que el lector pueda valorar el trabajo realizado y las proporciones del
modelo.
Para elaborarlos se realizó un modelo en 3D del aerogenerador mediante
CATIA V5 R17 (Ver Figura 77 y Figura 78).
Figura 77. Vista frontal del modelo en 3D.
Planos 160
Figura 78. Vista trasera del modelo en 3D.
Lista de planos
Nº Nombre Marcas representadas
1.00 AEROGENERADOR Plano de conjunto
1.01 UNIÓN BUJE-PALAS 1
1.02 PALA-ELEMENTOS 2, 3
1.03 BUJE-ELEMENTOS 7, 8, 9, 10
1.04 BUJE-SOPORTE MOTOR 14
AD
BC AD
32
3
2
41
4
1
PROYECTO FIN DE CARRERA: ESTUDIO Y DISEÑO DE UN AEROGENERADOR BASADO EN EL EFECTO MAGNUS
ESCALA
2:1NÚMERO DE PLANO
1.01 ! MARCA 1
HOJA
2/5
TAMAÑO
A4
COMPROBADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009
DISEÑADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009 UNIÓN BUJE!PALAS
A _
B _
C _
D _
E _
F _
G _
H _
I _
E.T.S. Ingenieros Industriales ICAI
26
6
A
A12
6
6
3R
12
24
77
Corte A!A
AH BG
DE CF BG AH
32
3
2
41
4
1
PROYECTO FIN DE CARRERA: ESTUDIO Y DISEÑO DE UN AEROGENERADOR BASADO EN EL EFECTO MAGNUS
ESCALA
1:1NÚMERO DE PLANO
1.02 ! MARCAS 2 Y 3 3/5
TAMAÑO
A3
COMPROBADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009
DISEÑADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009 PALA!ELEMENTOS
A _
B _
C _
D _
E _
F _
G _
H _
I _
E.T.S. Ingenieros Industriales ICAIHOJA
5
257
7876
1 0
6
Marca 2
27 5
16
Marca 3
A
A
14
240
Corte A!A
AH BG
DE CF BG AH
32
3
2
41
4
1
PROYECTO FIN DE CARRERA: ESTUDIO Y DISEÑO DE UN AEROGENERADOR BASADO EN EL EFECTO MAGNUS
ESCALA
1:2NÚMERO DE PLANO
1.03 ! MARCAS 7,8,9 Y 10 4/5
TAMAÑO
A3
COMPROBADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009
DISEÑADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009 BUJE!ELEMENTOS
A _
B _
C _
D _
E _
F _
G _
H _
I _
E.T.S. Ingenieros Industriales ICAIHOJA
20
Marca 10
D
D 30
16
Corte D!D
36
Marca 9
B
B
32
290
Corte B!B
16
Marca 8A
A 350 14
Corte A!A
4306 7 8 7 6
1 26
Marca 7
5 70
32 5
AH BG
DE CF BG AH
32
3
2
41
4
1
PROYECTO FIN DE CARRERA: ESTUDIO Y DISEÑO DE UN AEROGENERADOR BASADO EN EL EFECTO MAGNUS
ESCALA
1:1NÚMERO DE PLANO
1.04 ! MARCA 14 5/5
TAMAÑO
A3
COMPROBADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009
DISEÑADO:
García Matos,J.A.FECHA:
27/06/2009 BUJE!SOPORTE MOTOR
A _
B _
C _
D _
E _
F _
G _
H _
I _
E.T.S. Ingenieros Industriales ICAIHOJA
3
8
3
40
80
100
10R
36
10
A
A
120
48
2Corte A!A
16
16