Universidad de La Frontera

TEMUCO 02 Junio 2010

Margareth Sepúlveda C. - Miguel Pichipillán S.

¿Qué es un volumen? Comenzamos con sólidos sencillos denominadoscilindros rectos cuatro de los cuales se muestran en la figura ??. En cadacaso de los sólidos se generan moviendo una región plana (la base) a lo largode una distancia h en dirección perpendicular a esa región. Y en cada casoel volumen del sólido se define como el área A de la base por la altura h ; es,V = A ∗ h;

Figura 1: figura1

Ahora considere un sólido con la propiedad de que su sección transversalperpendicular a una recta dada tiene área conocida. En particular, supóngaseque la recta es el eje x y que el área de la sección transversal en x es A(x), a ≤ x ≤ b (véase la figura ??). Dividimos el intervalo [a, b] insertando lospuntos a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Después, a través de estos puntos,pasamos planos perpendicular al eje x, con lo que rebanamos el sólido encapas delgadas o rebanadas (véase en la figura 3). El volumen del ∆xVi deuna revanada debe ser aproximadamente el volumen de un cilindro; esto es,∆Vi ≈ A(x̄i∆xi)

(Recuérdese que x̄i, denominado punto muestra, es cualquier número en

1

el intervalo[xi−1, xi]).

El "Volumen"V del sólido debe estar dado, de manera aproximada, porla suma de Riemann.

V ≈n∑

i=1

A(x̄i)∆xi

Cuando hacemos que la norma de la partición tienda a cero, obtenemos unaintegral definida; ésta se define como el volumen del sólido.

V =

∫

b

a

A(x)dx

En lugar de aplicar de manera mecánica la fórmula en el recuadro paraobtener volúmenes, le sugerimos que en cada problema vaya a través delproceso que conduce a ella. Al igual que para áreas, llamamos a este procesorebane, aproxime, integre. Se ilustra en los siguientes ejemplos.

Sólidos de revolución: Métodos del disco.

Cuando una región plana está por completo en un lado de una rectafija en su plano y se hace girar alrededor de esa recta, genera un sólido derevolución. La recta fija se denomina eje del sólido de revolución. A manerade ilustración, si la región acotada por un semicírculo y su diámetro se hacengirar al rededor de ese diámetro, barre un sólido esférico (véase la figura 4).Si la región dentro de un triángulo rectángulo se hace girar al rededor deuno de sus catetos, genera un sólido cónico (véase en la figura 5). Cuandouna región circular se hace girar al rededor de una recta en su plano y queno intepté al círculo(véase la figura 6), barre un toro (dona). En cada caso

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es posible de representar el volumen como una integral definida.

Ejemplo 1: Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido alhacer girar al rededor del eje x la región plana R, acotadas por y =

√x, el eje

x y la recta x = 4. Solución: La región R, con una rebanada reprensentativa,se muestra como la parte de la izquierda de la figura 7. Cuando se hace giraren torno al eje x, esta región generea un sólido de revolución y la rebanadagenera un disco, un objeto delgado en forma de moneda.

Al recordar que el volumen de un cilindro circular recto es πr2h, aprox-imamos el volumen ∆V de este disco V ≈ π(

√x)2∆x y entonces integramos:

V = π

∫

4

0

xdx = π

[

x2

2

]4

0

= π16

2= 8π ≈ 25,13

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