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DINÁMICA Y CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS
Introducción
Gran parte de las estructuras hidráulicas se diseñan bajo el estado de movimiento de los
fluidos. Sin embargo, la complejidad del estado dinámico nos obliga a realizar una serie
de hipótesis, conduciéndonos a soluciones un tanto particulares y hasta incompatibles
con el fenómeno real. Esta falta de generalidad de las expresiones matemáticas obligó
ingeniosamente a introducir la investigación experimental como herramienta auxiliar de
la Dinámica de Fluidos, lo que hoy se conoce como Modelamiento Físico, teoría que ha
revolucionado la Mecánica de Fluidos. Los métodos numéricos y la computación
también han hecho posible la solución de muchísimos problemas de dinámica que en
otrora se determinaron irresolubles.
Sistema
Cantidad de materia que permanece invariable en el tiempo, pudiendo variar la forma y
el tamaño.
,0
t
m 0
t
Estado
Condición particular del sistema. Queda definido por la observación y medición de sus
propiedades tanto físicas como dinámicas.
Propiedades Físicas:
a. Intensivas (independientes de la cantidad de materia): Densidad, presión,
temperatura superficie, viscosidad, etc.
b. Extensivas (dependiendo de la cantidad de materia): Masa, peso, cantidad de
calor, cantidad de movimiento (propiedad dinámica), etc.
Propiedades Dinámicas:
Frontera
Ctem
1
Ctem
2
Ambiente Medio
Campo de velocidad, campo de aceleraciones, cantidad de movimientos, fuerzas de
energía, momento cinético, etc.
Proceso
Conjunto de estados por los que atraviesa el sistema. El proceso origina cambios en el
medio ambiente por la transferencia de energía.
Cualquier cambio en las propiedades del sistema implica una modificación de su estado,
así como todo cambio de estado es el resultado de un proceso.
“Cuando un sistema realiza un proceso de modo tal que su estado final es exactamente
igual al estado inicial, se dice que el sistema ha realizado un Ciclo”.
Tipos de proceso
a) Reversible
Aquel que se sucede de manera que el sistema recupere exactamente su estado
original, sin ningún cambio final en las propiedades ni del sistema ni del medio
ambiente. En los procesos discipativos de energía, como lo es el moviendo de los
fluidos, no se puede de reversibilidad. Esto último sólo cumplen los fluidos ideales
(no se consideran los efectos de viscosidad).
En ingeniería mecánica, el rendimiento de las maquinas se define en la función de
la proximidad a la Reversibilidad del proceso.
En ingeniería de mecánica de fluidos, debido a la presencia de viscosidad y al
rozamiento entre partículas con los contornos sólidos de las estructuras, es
imposible tratar con procesos reversibles, sin embargo, podemos acercarnos a
ellos seleccionando superficies de contacto mínimas y con mínimo tamaño de
rugosidades (lisas).
b) Irreversible
Aquel donde el estado final del proceso no coincide exactamente con el estado
inicial, debido a la transferencia de calor, por efecto del rozamiento viscoso y
entre el sistema y medio ambiente.
Tiene especial interés para el ingeniero la magnitud de la irreversibilidad, que en
adelante llamaremos Trabajo o Energía, Pérdida o simplemente “Pérdidas”,
que no es más que la pérdida de capacidad para realizar trabajo.
“La diferencia entre las cantidades de trabajo realizado por un sistema, al recorrer
un cierto camino, de manera reversible y el trabajo que es capaz de realizar el
mismo sistema recorriendo el mismo camino de manera irreversible, se llama
“Pérdidas” (Transferencias)”.
realidealPÉRDIDAS WW2
1
2
1 ""
Volumen y Superficie de Control
Se llama volumen de control a la región del espacio – finito o infinitesimal – ubicado en
el interior de un campo de flujo. El flujo puede ocurrir tanto por fuera como por dentro
del c .
La superficie cerrada imaginaria que limita el c se denomina Superficie de Control
(SC).
El c puede tener cualquier forma y tamaño dependiendo del interés y criterio del
investigador. Por simplicidad se recomienda que la superficie de control se hace
coincidir con los contornos sólidos y otras partes dibujarlas normales a las direcciones
principales del movimiento.
El c puede ser:
- Fijo o móvil
- Finito o infinitesimal
- Deformable o indeformable
c infinitesimal, fijo, indeformable.
sistema. del totalEnergíaE
Zg
P
g
vE
2
2
DinámicaEEsteE
S
leIrreversib Periodo 0
S
E
Reversible Periodo 0
S
E
a
a
1
2
Recorrido Camino
mg
ZmgW
*Z
Cte
x x
dxc
dz
SC
dy
z
x
y
0
dxdydz
t
c Deformable:
Parte o toda la SC se está moviendo en determinado instante.
0
t
c
c Indeformable:
Cuando toda la superficie de control está fija en el espacio o se está moviendo como un
todo respecto a un sistema inercial de coordenadas.
0
t
c
leindeformabfijofinitoc ,,
0
t
c
., deformablefinitoc
0
t
c
cSC
Línea de Corriente o de Flujo
Línea imaginaria continúa, trazada en el interior de un campo de flujo, de tal manera
que la tangente a cada uno de sus puntos proporciona la dirección del vector velocidad
de las partículas que momentáneamente ocupan dichos puntos.
Metodologías de Estudio de la Dinámica de Fluidos:
a) Método Euleriano
Basado en la determinación de las características cinemáticas en cada uno de los
puntos de la región del campo de flujo y en cada instante, independientemente de
la trayectoria que pueda seguir cada partícula individual; resultando entonces
campos escalares, vectoriales y tensoriales. Es el método más sencillo.
b) Método Lagrangiano
Basado en la determinación de las características del movimiento de cada
partícula, en cada instante, siguiendo la trayectoria. Es un método complejo y las
ecuaciones “generales” de movimiento deducido mediante esta metodología son
difíciles de resolver por su naturaleza no lineal.
Método de Lagrange:
dt
rdv
2
2
dt
rd
dt
vda
vmdt
dF
atrayectori
z
y
x
r
Método Euleriano
Características de la Línea de Corriente
- No se intersecan. ¿Por qué?
- En general, no son fijas en el espacio. ¿Por qué?
- En general, no son las trayectorias de las partículas. ¿Por qué?
Δt"t" Instante t"" Instante
1v
1
2
3
4
5
6
2v
3v
4v
5v
6v
svelocidadedecampo
sistema
1
3
4
5
6
4v
5v
6v
svelocidadedecampo
sistema
1v 2
2v
3v
elencorrientedeLinea
elencorrientedeLinea
t"" instante
Δt"t" instante
'S
S
'
1v
'
2v
'
3v'
4v
'
5v
2 3 4
5
1
23
4
55v
4v3v2v
1v
z
y
x
kzjyixr (1)
dt
dzk
dt
dyj
dt
dxiv
dt
rd (2)
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ; ; (3)
Eliminando el parámetro dt de la ecuación (3)
vz
dz
vy
dy
vx
dx
tzyxvv xx ,,, v
tzyxvv yy ,,,
tzyxvv zz ,,,
Un caso particular de flujo Permanente ocurre cuando el vector velocidad , en cada
punto, no cambia con el tiempo y en consecuencia las líneas de corriente permanecen
fijas en el espacio y las trayectorias coinciden en las líneas de corriente. “El Patrón de
Flujo es Constante”.
Tubo de Corriente
Conducto imaginario conformado por todas las líneas de corriente que pasan por todos y
cada uno de los puntos de una pequeña curva cerrada. El conjunto de líneas de corriente
que delimitan el tubo de corriente forman una superficie cerrada llamada superficie de
corriente y el volumen de fluido que encierra dicha superficie se llama vena fluida y en
Hidrodinámica, vena líquida.
Características del Tubo de Corriente
- En general, no son fijas en el espacio. Su configuración cambia de un instante a
otro.
- Se comportan como tubos reales. No existe masa que atraviese la superficie de
control porque equivaldría a decir que las líneas de corriente se interceptan.
Tubo de Corriente
Los tubos de corriente son fijos sólo en el caso de Flujo Permanente.
Gasto o Caudal
Volumen de fluido que atraviesa una superficie en la unidad de tiempo.
SC
C
z
y
x
3
1 TQ
S
v
ndAAd
AdvCosvdAdQ .
AdvQA
.
QAV
A
AdvV .2
1
n
i
iAivQ1
.
v = velocidad máxima del sistema de partículas que atraviesan el área elemental
dA
n
i
AiviQAV1
V = velocidad media de las partículas que pasan a través del área.
iAivA
VAiAn
i
.1
1
Campo de Flujo
Cualquier región del espacio ocupa por un fluido un movimiento. A cada punto puede
asociarse un escalar, un vector o un tensor, resultando campos escalares, vectoriales o
tensoriales que describan las propiedades físicas y dinámicas del flujo.
Flujo
Movimiento que realiza un fluido, éstas pueden ser:
a. Permanente y no Permanente
Permanente
Cuando las propiedades del fluido y las características cinemáticas, en un mismo
punto del campo, permanecen invariables en el tiempo, pudiendo variar de un
punto a otro.
No Permanente
Las propiedades del flujo y las características cinemáticas, en un mismo punto,
cambian de un instante a otro. Este es el caso común en el movimiento de fluidos
ya que el caso de flujo Permanente es sólo hipotético.
Ai
b. Uniforme y no Uniforme
Uniforme
Las propiedades del flujo y las características cinemáticas, en un mismo instante,
son equivalentes en todos los puntos del campo; pudiendo variar de un instante a
otro.
0
S
P
0
S
Propiedades del flujo
En un mismo instante
0
S
T
0
S
v Características cinemáticas
No Uniforme
Las propiedades del fluido y las características cinemáticas, en un mismo instante,
varían de un punto a otro en la región del campo. Este es el caso general de
movimiento de fluidos ya que el flujo uniforme, al igual que el permanente, no
existe en la naturaleza.
c. Laminar y Turbulento
Laminar
El flujo lento con un fuerte gradiente de velocidad
r
v. La energía se pierde por
rozamiento viscoso más no así por rozamiento entre partículas y contornos sólidos
debido a la presencia de la Capa Límite. Es un movimiento ordenado donde las
partículas describen trayectorias perfectamente definidas. El gradiente de
velocidades se debe a la presencia de la viscosidad, cumpliéndose en dicho
proceso la Ley de Newton de la viscosidad.
Turbulento
Flujo de alta velocidad con gradiente de velocidades prácticamente nulo. La
energía se disipa por rozamiento entre partículas y contornos sólidos más no por
rozamiento viscoso, siendo esta última en todo caso despreciable. Es un
movimiento desornado, errático, con un mezclado intenso de partículas debido a la
presencia de componentes de la velocidad transversales a la dirección principal del
movimiento.
Estos dos tipos de flujo se observa y se estudian en el aparato de Reynolds
0;
r
v
r
v
- Flujo ordenado
- Trayectorias definidas
- Disipación de energía por rozamiento viscoso
- Presencia de la capa límite.
enAgua
posoRe
Absoluto
)(VidrioTanque
teTransparenVidriodeTubería
LAMINARFLUJO
Válvula
Colorante
DEAPARATO REYNOLDS
DEAPARATO REYNOLDS
enAgua
posoRe
W
W
tQ
A
QV
4
2DA
TURBULENTOFLUJO
0
r
v
- Flujo desordenado
- Trayectorias irregulares
- Disipación de energía por rozamiento entre partículas y paredes de
Tubería
- Ausencia de capa límite
Descripción de la Experiencia de Reynolds
i) El agua en completo estado de reposo esta contenida en el tanque y en la
tubería donde la válvula de control de flujo está totalmente cerrada.
ii) Se abre lentamente la válvula para permitir el movimiento del agua dentro
de la tubería:
- En un principio se observa que los filetes líquidos, que vienen hacer las
trayectorias de las partículas, están totalmente diferenciadas.
- A medida que se incrementa la velocidad en la tubería, aparecen
componentes transversales que hacen que las trayectorias tiendan a ser
irregulares debido al movimiento desordenado de las partículas.
- Llega un momento, en que la mayoría de los componentes
transversales de la velocidad son tales, que ya no se notan las
trayectorias debido al mezclado intenso de partículas. En este instante
se dice que el flujo ha pasado de Laminar a Turbulento y el estado de
separación de ambos flujos se llama Reynolds Crítico Inferior.
- Reynolds cuantificó este estado de flujo usando el parámetro
adimensional que lleva su nombre: Reynolds (R).
t
I
F
FR
IF Fuerza de Inercia
tF Fuerza de tensión cortante
Reemplazando dimensiones:
LVLTLTL
LT
LTL
LT
MLTR
112
21
23
21
2
t A
LVLVR
LVDVR
El R crítico encontrado por el propio Reynolds fue de: 2000cR
Más tarde ECKMAN con mayores cuidados de reposo obtiene:
4000cR
Densidad del líquido
L Longitud característico (en caso de tuberías L = D - Diámetro)
V Velocidad media del flujo en la tubería
Viscosidad cinemática
Viscosidad dinámica
P
ARn
iii) Si estando en régimen turbulento, ahora se va cerrando lentamente la
válvula para disminuir la velocidad de flujo de la tubería:
- Se observa que el paso del Régimen Turbulento al Laminar se hace con
un valor distinto al del paso de Laminar a Turbulento. Este valor
distinto del Número de Reynolds se debe a las condiciones de reposo
del líquido. Pues al pasar del régimen turbulento al Laminar, cerrando
la válvula, el líquido ya está perturbado, y el Número de Reynolds que
separa ambos estados se llama Reynolds Crítico Superior.
En la práctica y teniendo en cuenta las consideraciones expuestas, se
definen ambos estados de flujo por los valores del Número de Reynolds
(R) siguiente:
Sí:
Laminar Flujo2000R
Turbulento Flujo4000R
sicionalFlujo TranR 40002000
d. Flujo Real e Ideal
Real
Se consideran los efectos de la viscosidad (pérdidas por razonamiento viscoso).
Proceso discipativo de energía.
P
A
Ideal
Aquel en donde no se consideran los efectos de la viscosidad. Pero pueden estar
presentes los efectos del rozamiento de partículas con contornos sólidos de
frontera.
e. Flujo Rotacional e Irrotacional
Rotacional
Cuando en algún punto de la región del campo el rotacional adquiere valores de
cero. Los fluidos reales son flujos rotacionales debido a los efectos de la
viscosidad. El sistema no sólo se traslada sino que también gira instantáneamente
debido a la rapidez de deformación angular
r
v.
0* rot (En algún punto)
vzvyvx
zyx
kji
rot
___
Irrotacional
Cuando en todos los puntos de la región del campo el rotacional toma siempre
valores nulos.
0 _
vrot Todos los puntos del campo
Sólo es posible este flujo en los fluidos “ideales”, más no en los reales.
f. Flujo Unidimensional, Bidimensional, Tridimensional
Flujo Unidimensional
Cuando el gradiente de flujo ocurre sólo en una dirección.
0 ,0 ,0
___
z
v
y
v
x
v
No se presenta en ningún fenómeno real de flujo. Sólo es un modelo matemático
simple cuando utilizamos propiedades (cinemáticas y físicas) promedio. Es el caso
de flujo en conductos artificiales (tuberías y canales) con propiedades promedio.
Flujo Bidimensional
Cuando el gradiente de flujo ocurre en dos direcciones. Es el caso más simple de
fenómenos reales de flujo: Flujo en tuberías rectas. Diámetro constante.
0 ,0 ,0
___
z
v
y
v
x
v
Es el caso de flujo muy particular y que no ocurre en la naturaleza.
Flujo Tridimensional
El gradiente de flujo tiene direcciones. Son flujos que ocurren realmente en la
naturaleza. Son los flujos en canales naturales y artificiales.
0 ,0 ,0
___
z
v
y
v
x
v
Flujos en Canales Naturales (Ríos, Quebradas, etc.)
0
x
v
0
x
v
0
z
v FLUJO TRIDIMENSIONAL
Velocidad media en cada sección:
X
Y
a
v
a
aa
Z
Y
v
vdAAVQ
A
vdAA
V1
0
y
V
FLUJO UNIDIMENSIONAL
0
x
V
Flujo en Tuberías Bajo Presión
n
i
viAiA
V1
. 1
AiA
Velocidad media en cada sección:
dAvAV
A
dAvA
V 1
0,0
X
V
Y
V
F. UNIDIMENSIONAL
aa
Y
NALBIDIMENSIOFLUJO
0
x
v
0
y
v
a
a
v
X
Y
Flujo en Canales Artificiales
0
x
v F. UNIDIMENSIONAL
0
y
v FLUJO TRIDIMENSIONAL
0
z
v
Función de Corriente o de Flujo y Teoría de la Red de Flujo
Función de Corriente
Función continua de la que se deriva el campo de velocidades.
Objetivos:
La función de corriente se estudia con los siguientes propósitos:
- Describir cuantitativamente, de manera sencilla, las líneas de corriente. Pues la
ecuación diferencial que describe la geometría de las líneas de corriente es difícil
de integrar.
- Determinar el caudal de manera sencilla.
MediaVelocidad
A
dAvA
V 1
0,0
z
V
y
V
0
X
V
X
Y
a
a
v Ai
aa
Z
Y
v
“S” son las líneas de corriente instantáneas de un flujo bidimensional de cualquier tipo.
El gasto que fluye entre las líneas de corriente 21 , SS , a través de la altura A, B, es:
ABAdvQ__
. (1)
De la figura.
___
jvyivxv
___
jdAidAAd yx
yyxx dAvdAvAdvdQ __
. (2)
Tomando la unidad en la dirección normal al plano :XY
dydAx
(3)
xy ddA
(3) en (2): vydxvxdydQ (4)
El gasto que fluye a través de
AB debe ser el mismo para cualquier curva que pase por
los puntos A y B, por lo que la diferencial total planteada mediante la ecuación (4) tiene
que ser necesariamente independiente del camino recorrido por las partículas y en
consecuencia debe ser una Diferencial total exacta.
corrientedeLíneas eaIns tantan
1S
2S
Ad
A
B
v
o X
Y
ContornoSólido
De lo anterior de deduce que debe existir una función yx, , tal que:
dyy
dxx
d
(5)
Comparando las ecuaciones (4) y (5) se deduce:
vxdy
(6)
vyx
A la función yx, se llama función de corriente que juega un papel importante
en el estudio del movimiento de los fluidos.
Teniendo en cuenta la ecuación de la línea de corriente en el plano xy :
vy
dy
vx
dx (7)
De donde:
0 vydxvxdy (8)
Comparando (8), (5) y (4):
0
vydxvxdydQdy
ydx
xd
(9)
CteQ , sobre cada una de las líneas de corriente.
En consecuencia, cada línea de corriente queda caracterizada por un solo número: el
valor de la función de corriente que corresponda. El gasto se puede calcular a partir de
la ecuación (9).
ddQ Integrando:
AB
BAdQ 21 (10)
De este modo la línea de corriente adquiere ahora un contenido matemático y físico
mucho más preciso e importante. Se observa que la diferencia de los valores que toma la
función de corriente de dos líneas representa el Gasto o caudal de flujo que circula entre
dichas líneas.
Potencial Hidráulico
Zg
P
(11)
El cambio de velocidades también puede cambiarse del campo potencial o Potencial
Hidráulico :
zvz
yvy
xvx
; ; (12)
Comparando la ecuación (6) y (12):
xy
yx
Función de CAUCHY – RIEMANN en la teoría de funciones de variable compleja.
Derivando respecto a “y” y “x”, respectivamente, las funciones de Cauchy – Riemann y
sumando miembro a miembro:
2
22
yyx
2
22
xyx
2
2
2
2
0yx
0
2
2
2
2
yx
(13)
Ecuación de la LAPLACE para líneas de corriente o función de corriente.
Líneas Equipotenciales
La ecuación de continuidad o de conservación de la masa se expresa mediante:
0..
vv
t
(14)
Para flujo permanente: 0
t
, y fluido incomprensible: .Cte
Entonces la ecuación (14) queda: 0. v
0. v ó
0
z
vz
y
vy
x
vx (15)
La ecuación (15) es válida para flujo permanente, incomprensible, homogéneo.
Reemplazando (12) en (15):
0
zzyyxx
02
2
2
2
2
2
zyx
Ecuación de La-Laplace. (16)
Las funciones Cteyx ),( , Cteyx ),( , como se debe satisfacer la
ecuación de Laplace.
Diferenciando , :
dyy
dxx
d
(17)
dyy
dxx
d
Dividiendo la ecuación (17) por dx
Ctedx
dy
yxdx
d
(18)
Ctedx
dy
yxdx
d
Despejando
dx
dy de ambas ecuaciones (18):
o
o
o
y
x
dx
dy
(19)
y
x
dx
dy
Reemplazando en la primera de la ecuaciones (19) los equivalentes de las ecuaciones de
CAUCHY – RIEMANN:
x
y
dx
dy
(20)
Comparando la segunda de las ecuaciones (19) y (20):
dx
dyx
dy 1Una de ellas (pendiente) es la inversa negativa de la otra.
En consecuencia, las familias de curvas yxyx , ,, son mutuamente ortogonales
entre sí. Al conjunto de las dos familias: Líneas de corriente yx, y Líneas
conipotenciales. yx, , se llama Red de Flujo.
Red de Flujo
Sistema de familias de curvas: Líneas de Corriente yx, y equipotenciales yx, ,
mutuamente perpendiculares entre sí. Su estudio es de especial importancia en la
Ingeniería Hidráulica por sus múltiples aplicaciones.
FLUJODERED
yx,
S
yx,
zg
P
Aplicaciones
- Para materializar la “Línea de Divortio Aquarum” en sistemas hidrológicos.
Ingeniería Hidráulica.
- Para determinar el gasto de infiltración en medios porosos (movimiento del agua
en el suelo y en acuíferos) – Ingeniería de Drenaje.
- Determinación de las fuerzas de subpresión en diseños de estructuras hidráulicas.
- Cálculo hidráulico en presas de tierra (Tubificación, drenaje a través del dique).
- Determinación del gasto fluyente en venas líquidas.
Trazo de la Red de Flujo
Para el trazo de la red de flujo, cualquier metodología hace uso de la propiedad más
importante que es la ortogonalidad de las funciones yxyx , ,, . Se basa en la
ecuación de La Place.
Solución de la Ecuación de La Place
0
2
2
2
2
yx
Metodologías
A. Método Gráfico
La ecuación de La Place queda resuelta por determinación de las 2 familias de curvas
ortogonales entre sí: yxyx , ,, .
Las condiciones del trazo de la red de flujo son:
- Ortogonalidad
- Condiciones de frontera.
Procedimiento:
1. Determinar la zona de flujo es estudio
2. trazar las dos familias ortogonales yxyx , ,, de modo que se satisfagan las
condiciones de frontera.
Propiedades de la Red
- El conducto entre el agua libre y un medio poroso permeable es siempre una
superficie equipotencial (Ley hidrostática: CteZgP ).
- El contacto entre un medio impermeable y otro permeable saturado es una línea de
flujo.
yx, Familia de líneas de flujo
yx, Familia de equipotenciales.
Teniendo en cuenta las propiedades de la red, se recomienda:
1. Dibujar las líneas de modo que el gasto que pase por el canal formado entre 2
líneas consecutivas sea el mismo q .
2. Dibujar las líneas equipotenciales de manera que la canida potencial h entre 2
líneas consecutivas sea la misma.
Según la ecuación de Darcy:
ds
dkv
(1)
bvq
ds
dbkq
(2)
a
h
ds
d
Reemplazando en (2):
a
hbkq
(3)
q Gasto específico entre 2 líneas de corriente consecutivas (constante)
h Caída de potencial entre 2 líneas equipotenciales consecutivas (constante)
eimpermeabl
CtezP
Dren
FlujodeLínea
agua
ialequipotencPlano
material de tierrade Dique)(permeable homogéneo
h
S
1i
g
PZ
1i i
i
ab
piezómetro
a Distancia media recorrida por el flujo
b Área media del rectángulo curvilíneo. Se considera la unidad en la dirección
perpendicular al plano de las
De acuerdo a las condiciones anteriores:
Nqq (4)
Nhh (5)
q = Gasto específico total en toda la zona de flujo
h = Pérdidas de energía total en todo el recorrido del flujo
N = Número de canales de flujo
N = Número de caídas de potencial
Reemplazando (4) y (5) en (3):
hKN
N
a
bq
(6)
h = Conductividad hidráulica
NNKhq ,,,, Son constantes para una misma red de flujo.
En consecuencia, ab debe ser constante y tener el mismo valor en todos los
rectángulos curvilíneos.
Simplificación
Por simplicidad se adapta que: abab 1 , esto es que los rectángulos curvilíneos
se transforman en Cuadrados Curvilíneos, y entonces la ecuación (6) se transforma en:
hKN
Nq
(7)
NN , Es el factor de forma que define la geometría o patrón de flujo
La perfección y la exactitud de método gráfico requieren de mucha práctica.
B. Método Numérico
- Elemento finito
- Diferencia finita
Diferencia Finita
Método de Relajaciones
Transformación de la Ecuación Diferencial de Laplace en una ecuación algebraica en
Diferencias Finitas.
Ventajas
- Se adapta a condiciones de frontera muy diversas.
- Se adapta a condiciones variadas anisotropía (medios homogéneos isótropos,
medios homogéneos anisótropos)
Desventajas
- No proporciona una solución general. Se aplica a cada caso particular
La ecuación de Laplace, expresada en diferencia finita, para el movimiento plano XY,
empleando la Serie Taylor aplicada a los Nodos 1 y 3 vecinos al Nodo “0” es:
............!3!2
0
3
33
0
2
22
0
01
x
ha
x
ha
x
hahh (1)
............!3!2
0
3
33
0
2
22
0
03
x
ha
x
ha
x
hahh (2)
Nodo Intermedio:
04 04321 hhhhh ó
432104
1hhhhh (3)
En el nodo interior, el potencial 0h es el promedio de los 4 nodos vecinos.
Nodo entre dos fronteras impermeables
0 222
0
3
21 h
hh
h (4)
022
0
32 hhh
(5)
5a a
a
a
1
234
1
2
3
4
0
1
3
0
1
2
3
4
3h 0h 11 h
zg
P
h
X
Procedimiento
1. Para simplificar optar por una red cuadrada.
2. Las condiciones de frontera o de borde en toda la región del campo deben quedar
definidas (todos los nodos de frontera deben tener un potencial definidos).
3. Se suponen valores de arbitrarios en los nodos interiores y de frontera de
acuerdo a los reales establecidos.
4. se corrigen los valores asignados en el paso anterior. Pues las ecuaciones (3),
(4) y (5) no serán satisfechas, por lo que el procedimiento será interactivo
convergente.
En consecuencia, los residuos 0R se calculan mediante:
004321 4 Rhhhhh (6) Nodo intermedio
00
3
21 2
22Rh
hh
h (7) Nodo entre una frontera impermeable y
medio poroso
00
32
22Rh
hh (8) Nodo entre dos fronteras impermeables
Los errores se reparten de modo que se satisfagan las condiciones descritas antes.
Aplicación
El sistema mostrado representa un sistema de drenaje subsuperficial. Suponiendo que el
suelo está completamente en todo momento, ScmK 210*85.0 saturado,
determinar:
a) El gasto específico en los drenes, suponiendo un medio poroso homogéneo
isotrópico.
b) La red de flujo
c) La intensidad de lluvia para mantener el suelo saturado y sin generar escorrentía
superficial
2h
3h
1
2
R
21
3
R0h
1
2
0
R 1h 21
1
R
eimpermeabl1
oR
0h21
3
R3h
21
2
R2h
eimpermeabl
1
4.00 m
Para tener el sistema simetría hidráulica, tomamos sólo la mitad puesta que en la otra
mitad van ha repetirse los mismos valores en los puntos homólogos del campo de flujo.
El plano que contiene el eje se considera una región hidrostática cuyas partículas
fluidas no van a uno ni al otro lado, por el plano de simetría.
iónprecipitac de intensidadI
IMP
m 50.1 m 50.1
50.0 50.0
SaturadoSuelo
50.0
50.0 50.0 50.0 50.0
50.0
50.0
50.0
CUADRADOMALLAJE
maCuadradoMallaje 50.0:
1ª Interacción
Nodos de frontera:
Nodo 15: mmPZ 5001000*50
Nodo 25: mmPZ 500 0500
Nodo 35: mmPZ 1000 01000
Nodo 45: mmPZ 1500 01500
Nodo 55: mmPZ 2000 02000
Nodos 54, 53, 52, 51: mm 2000 02000
Nodo 41: mmPZ 2000 5001500
Nodo 31: .,, 2000 10001000 etcetcetcmmPZ
ORDEN
1500
1000
500
500
320
15
24
328
60
62
121
170
40
15
200
30
35
2000
2000
2000
2000
20002000 2000 2000 2000
1800
12
1788
1750
18
1732
50
01
48
82
18
101
1550
82
1486
1350
62
1412
25
12
36
31
30
225
82
18
124
18
19
120
50
02
60
100
82
900
1400
50
1350
250
50
82
120
18
16
25
30
31
36
00
1050
30
1080
1680
15
1695
20
24
04
15
12
03
1900
12
1912
50
48
25
01
28
1800
25
1825
80
24
100
40
15
25
1700
20
1680
100
25
80
50
45
28 13 45
1850
01
1851
09 286 55
151 103 16
30 19 00
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
Ecuación de Continuidad
Forma Diferencial
Suponiendo: entsal mm dd
(se acumula en el c )
dzdydvvdzdydvv xx
x
xxx
x
x 2
1
2
1
dzdxdvvdzdxdvv yy
y
yyy
y
y 2
1
2
1
dzdydxt
dydxdvvdydxdvv zz
z
zzz
z
z 2
1
2
1
S
O X
Y
Z
13 LTMLv
212 * LTML
1MT
dz
dx
dy
v,
kvjvivv zyx v,
dydxdz
vz
v zz 2
dzdxdy
vy
v yy 2
dydxdz
vz
v zz 2
dzdxdy
vy
v yy 2
dzdydx
vx
v xx 2
dzdydx
vx
v xx 2
Desarrollo:
dzdydxt
dzdydxvz
vy
vx
zyx
0
tv
zv
yv
xzyx
Derivando:
0z
y
x
t
v
zv
yv
v
xv
v zzy
y
x
x
Agrupando
0z
y
x
tzv
yv
xv
vvvzyx
zyx
vdiv gradv
0 .
gradvvdiv
t
Ó
0. .
vv
t
(1) Ecuación general cualquier tipo de flujo
Para flujo incomprensible homogéneo en flujo permanente:
0. v
0. v ó
0z
y
x
zyx vvv (2)
Ecuación de Continuidad
Forma Integral
Suponiendo que:
salent mm
Masa que entra al c .
entm
entQ
Adv
entA
.
entm
Adv
entA
. (a)
entm
Adv
salA
. (b)
Por Continuidad:
c
salentd
tmm (c)
Reemplazando (a) y (b) en (c):
cAA
cdt
AdvAdv
salent
. .
cSC
cdt
Adv .
Si el volumen de control es independiente:
t
cdt
AdvcSC
. (1)
Para flujo permanente:
0. AdvSC
(2)
do
dA
v dA
S
t"" instante
Δt"t" instante
AdvQA
mm ,
c
v
Forma unidimensional de la ecuación de continuidad en régimen permanente, cuando no
se conoce el campo de velocidades:
0 . AVSC
(3)*
* Se divida la SC en secciones finitas grandes por donde entra y sale el flujo,
sustituyendo por características o propiedades promedio (físicas y cinemáticas).
Asumiendo además que la sección transversal es perpendicular a la dirección principal
del movimiento:
0 . i
SC
ii AV (4)
Qi
Para flujo permanente incomprensible:
0 i
SC
i AV (5)*
Qi
Se extiende la sumatoria a todo la superficie de control para donde entra y sale fluido:
Si cale, signo (+)
Si entra, Signo (-)
Ecuación de Conservación de la Energía
Forma Diferencial e Integral
ONALUNIDIRECCIn
dz
ds
Z
b masFs
dn
ds
dbG
Pv ,,,
dndbdsgdW
dbdsdn
n
PP
2
dbdsdn
n
PP
2
dbdnds
s
PP
2
dbdnds
s
PP
2
dbdsdn
n
2
dbdsdn
n
2
Considerando movimiento plano ns, a lo largo de la línea de corriente s :
dbdsdn
ndbdsdr
ndbdnds
s
PPdbdnds
s
PP
2
1
2
1
2
1
2
1
sadndsdbdndbdsg cos
sz
Desarrollando:
asdndsdbgs
zdndsdbgdndsdb
ndndsdb
s
P
Dividiendo por el peso del sistema infinitesimal: dndsdbg
0 11
g
a
s
Z
ngs
P
g
s
0111
sa
gs
Z
ngs
P
g
(1)
La velocidad en el campo es una es una función punto, o sea:
tsvvtsvv ,,
El diferencial total de esta función es:
dt
dt
t
v
dt
ds
s
v
dt
dvas
Dividiendo por dt :
t
v
dt
ds
s
vas
dt
dv
(2)
Reemplazando (2) en (1):
t
v
s
vvas
(3)
0111
t
v
s
vv
gs
z
ngs
P
g
0111
t
v
gs
v
g
v
s
z
ngs
P
g
Agrupando:
01
2
2
v
ggng
vz
g
P
s (4)*
* Es la ecuación diferencial de Euler para el movimiento de fluidos reales en cualquier
régimen de flujo.
Multiplicando por ds e integrando a lo largo de la línea de corriente:
** Cdsv
gds
gng
vz
g
P
SS
1
2
2
** Es la ecuación diferencial de Bernoulli, donde la constante “C ” de integración se
denomina Constante de Bernoulli.
ds
gn
Término que se interpreta como pérdida por rozamiento viscoso que
el sistema transfiere en forma de Calor. Cuando existe perdidas por rozamiento con
fronteras sólidas deben incluirse en este término:
Rozamiento viscoso.
S
Pérdidad
Rozamiento “Seco”
La ecuación (3) es válida para el movimiento de líquidos y gases, en cambio la (4) sólo
es valida para líquidos en vista de que la integración se ha efectuado manteniendo la
densidad constante.
Para flujo permanente: ,0
t
v y la ecuación (4) se convierte en:
Cpérdidasg
vz
g
P
S
2
2
(5)
Ecuación valida para flujo permanente e incomprensible a lo largo de una de la línea de
corriente. C, es constante para una misma línea de corriente.
Estableciendo el Equilibrio Dinámico en la Dirección Normal.
manFn
n
zdsdndbgdsdbdn
n
PPdsdb
dn
n
PP 90cos
2
1
2
rvdndsdb 2
an
Efectuando:
r
vdsdndb
n
zdsdnbdgdsdndb
n
P 2
r
v
n
zg
n
P 21
(6)
r Radio de curvatura
n Dirección normal
La ecuación (6) permite determinar la distribución de la presión en la dirección normal a
la línea de corriente, si se conoce la distribución de velocidades sobre la línea de
corriente.
Si la línea de corriente tiene curvatura despreciable: r , entonces la ecuación (6)
queda:
0
g
gz
g
P
n
0
z
g
P
n (7)
Multiplicando por dn e integrando:
Constante Czg
P
(8) *
Válido sólo para líquidos (se ha considerado Constante ) para radio de curvatura
despreciable. En tal caso, como se puede apreciar, la presión en la dirección normal
varía según la Ley Hidrostática.
Estableciendo el Equilibrio Dinámico en Dirección Binormal
0 ababMFb
0 2
2
b
zdndbdsdnds
db
b
PPdnds
db
b
PP
El segundo miembro de esta ecuación es nulo porque no hay aceleración en esta
dirección, ya que el movimiento sólo está limitado al plano oscilar (plano ns, ).
0
b
zdndbdsgdndsdb
b
P
01
b
z
g
g
b
P
g
0
z
g
P
b
Multiplicando por db integrando la ecuación (9):
Constante Czg
P
(10)*
* Válida sólo para líquidos ( tecons tan ) y bajo tales consideraciones, la presión en
la dirección binormal sigue la Ley Hidrostática.
Ecuación de Bernaulli Aplicada a un Tubo Corriente
21,VV Velocidad promedio en cada sección.
21, ZZ Cotas del centroide de cada sección con respecto al plano de referencia.
( PR ) totalmente arbitrario.
21, PP Presiones medias en cada sección.
Aplicando la ecuación de Bernaulli, con valores promedio, a las secciones 1 y 2 a lo
largo del camino recorrido:
21
2
222
2
2
2
111
1
22,pérdidas
g
VZ
g
P
g
VZ
g
P
(11)
12
22
2
21
1
2
1
22pédz
P
g
vz
P
j
v
1
2
1Z2Z
S
2
2
1
1
1Z2Z
1V
2V
RP.
corrientedeTubo
Donde 21, son coeficientes de corrección de la velocidad, conocido como
Coeficiente de Coriolis.
Coeficiente de Coriolis ( )
Permite corregir el error que se comete al reemplazar el gradiente de velocidades, en
cada sección, por una velocidad única representativa. Este hecho unido a que la variable
tiene exponente 2 permite incrementar el error de no existir el coeficiente correctivo de
Coriolis.
De la figura puede plantearse:
A
dAvg
vVA
g
V
2
2
22
Efectuando, para peo específico constante (líquidos); y despejando :
A
dAV
v
A
31
(12)*
Obviamente será mayor mientras mayor sea el gradiente de velocidades y viceversa.
Esto es que, será mayor en flujo laminar que en flujo turbulento:
Cuando la distribución de velocidades tiende a la velocidad promedio, el coeficiente de
Coriolis tiende a 1 (flujo turbulento). Es cambio cuando el flujo es laminar alcanza el
máximo valor 2.
21
Energía cinética total obtenida con la
velocidad promedio V.
Energía cinética total en la misma
sección mediante el campo real de la
velocidad v.
z
zzEW
V
v
dA
W
* Como puede observarse en la ecuación (12), depende del campo de velocidades y
de la geometría de la sección. Cuando el campo de velocidades no está definido, como
sucede en los casos prácticos, tiene que realizarse mediciones y aplicarse la ecuación
(12) bajo la siguiente forma:
n
i
ii AVVA 1
3
3
1 (13)
Donde:
n
i
iVAA
V1
1
1
n
i
iAA
VAQ *
Ecuación de Cantidad de Movimiento y Momento Cinético
La segunda Ley de Newton, para un sistema de partículas de masa ""m , establece:
vmdt
dF (1)
Donde, el primer miembro es la sumatoria de las fuerzas externas en un diagrama de
cuerpo libre. Estas fuerzas son:
Patrón de flujo instantáneo
(instante "t")
a a a a a a a
ríoun desección
Ai
A
AdvQ .
Ad
v
Ad
SC
"" . tInstSC
S
c
d
v
Fuerzas de Superficie
Actúan en la superficie de frontera del sistema y pueden ser:
- Fuerzas debido a la Presión PF
Actúan normalmente a la superficie de frontera y se deben a las acciones de las
partículas circundantes. Incluye aquí las fuerzas de presión Estática y la presión
Dinámica ejercida por el flujo.
- Fuerzas Viscosas F
Mejor dicho fuerzas debido a la viscosidad del flujo, se deben al gradiente de
velocidades y actúan tangencialmente a la superficie de frontera.
- Fuerzas de Campo cF
Debido a la presencia o influencia de campos gravitatorios, magnéticos,
eléctricos, etc. Se considera aquí sólo las fuerzas debido a la atracción
gravitacional terrestre (Peso del Sistema)
Fuerzas Másicas
Asociadas a la masa en movimiento y se denominan fuerzas de Inercia.
La ecuación (1), aplicada al volumen de control de la figura es:
cSC
cP cdvt
AdvvpFFF . (2)
dF
El primer término del segundo miembro es el cambio de la cantidad de
movimiento de la masa entrante y saliente del volumen de control, mientras que el
segundo es la rapidez de variación de la cantidad de movimiento dentro del
volumen de control.
Obviamente para flujo permanente: 0
c
cdvt
, y la ecuación (2) queda:
SC
cPd AdvvpFFFF . (3)
Cuando no se conoce el campo de velocidades y además la geometría de sección
puede ser irregular, el segundo miembro de la ecuación (3) puede escribirse:
SC SC
AVVAdvv . . (4)
Donde, todas las variables dentro de la sumatoria del segundo miembro son
variables promedio en la sección de flujo correspondiente.
, es el coeficiente de corrección de la cantidad de movimiento, conocido como
Coeficiente de Boussinesq. Corrige el error que se comete al sustituir el campo
real de velocidades por una única velocidad promedio representativa de cada
sección.
Considerando además que la sección transversal sea normal a la dirección
principal del movimiento, entonces la ecuación (4) queda:
SC SC
VAVdAvv ó
SC
QV (+) Saliente
(-) Entrante
SC
cPd VQFFFF (5)
(R. Permanente)
Como se observa, en la sumatoria del segundo miembro, que el gasto es el
producto escalar: VAQ . , llevará signo (+) si el gasto sale del c y signo (-) en
caso contrario.
La ecuación (5) puede escribirse en función de sus componentes:
SC
xcxxPxd VQFFFF
SC
ycyyPyd VQFFFF * (6)
SC
zczzPzdz VQFFFF
El signo del segundo miembro de la ecuaciones (5) y (6) está supeditado a los
signos que puedan tomar VQ, .
Coeficiente de Boussinesq ( )
Desarrollando la ecuación (4) se tiene que, para una misma sección:
A
dAvAV 22
Q
A
dAA
v
A
21
(7)
2
2
1iiVA
VA
2
2
1iVAi
V (8)
, se determina con la misma información de campo que para el caso .
Tarea
Determinar el gasto Q, la velocidad V y los coeficientes de Coriolis y de Boussinesq
del río chonta.
Material y Equipo
- Libreta de campo
- Cordel
- 02 Jalones
- Nivel de Ingeniería
- Mira
- 02 Estacas (0.60 m)
- Tubo pitot
- Wincha
- Plumón de tinta indeleble
- Plomada
Metodología y Procedimiento
1. Seleccionar un tramo de río de 50 a 100 m, de tal modo que el ancho y la
pendiente sean aproximadamente uniformes. La pendiente será moderada.
2. En el tramo seleccionado tomar una sección intermedia perpendicular a la
dirección principal del flujo y proceder a:
- Medir el ancho de la sección
- Fijar las estacas en ambos taludes y tensar el cordel
- Dividir el ancho del río en partes iguales y marcarlas en el cordel.
- Medir la velocidad a 0.6 de cada tirante (3 veces) y anotarla. Anotar
también la profundidad “h” de cada tirante.
33.11
Turbulento arLamin
3. Realizar la nivelación de la sección transversal
4. Determinar la pendiente media del cauce en el tramo (perfil longitudinal)
5. Determinar , , , yQVA en las ecuaciones pertinentes.
6. Verificar el caudal mediante: 2132 SRn
AQ
Donde:
Q Caudal sm3
A Área hidráulica 3m
R Radio hidráulico mP
aRm )(
S Pendiente longitudinal del cause (adimensional)
n Coeficiente que depende de las rugosidades de frontera (Tablas)
mP Perímetro mojado
Uso del tuvo Pitot
Tuvo transparente de vidrio, con una rama corta y una larga, doblado a 90º. Para medir
la velocidad de un punto se hace coincidir el centroide de la rama corta manteniendo
dicho ramal paralelo a la dirección de la corriente; obviamente el tramo largo quedará
perpendicular a la dirección de la corriente (ver figura).
Cuando el agua al alcanzado la máxima altura en el tubo queda en reposo y es en
ese momento que debe hacerse la lectura.
El punto 2 está en el centroide del tramo corto y pertenece al campo del fluido en
reposo dentro del tubo. El punto 1 en cambio está inmediatamente delante del
anterior en el campo de flujo (fluido en movimiento)
A
mP
FONDO
H
Pitot
graduadotramo
aguadecorriente
h6.0
h
1 2
1h
21 zz
o
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, despreciando las pérdidas en
vista de que dichos puntos están demasiado cercanos:
12
2
22
2
2
11
1 .22
pérdg
vz
P
g
vz
P
1h Hh 1
Hhhg
v 11
2
1
2
gHv 21 (9)
Cuando esta ecuación se transforma las “H” del Pitot en velocidades promedio en cada
tirante, según se observa en la gráfica.
1v Velocidad promedio en cada tirante “h”
El esquema que sigue sintetiza el trabajo de campo y cálculos pertinentes.
n
i
AiA1
2 1'
1
' ii
ii
VVVVAQ
'1iiVA
AV
iiAA
VA
1 3
3 '
o
v
1v
h h 6.0
ih
Cordela a a a a a a
Ai
Estaca
iiAV
AV
2
2 '
1
Donde:
'
iV Velocidad media en cada tirante ih (medida a 0.60 ih de la superficie libre)
iA Área elemental entre 2 tirantes consecutivos ih y 1ih .
1, ii VV Velocidad media en los tirantes consecutivos ih y 1ih , respectivamente.
V Velocidad media en la sección del río.
Q Gasto en el río
MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Ó MOMENTO
CINÉTICO
La ecuación de la cantidad de movimiento es:
cSC
dvt
AdvvF .
Ó
cSC
dvt
QF V
El momento cinético del sistema es:
SC c
dvrt
AdvvrFr * . * * (1)
c
dVvrt
VrQFr * * * (2)
r Vector posición del centro de masa del sistema.
0
Sistema
r
G
El primer miembro de la ecuación (1) y (2) es el momento ejercido por todas las
fuerzas que actúan sobre el volumen del control. Los términos del segundo
miembro, en cambio, representan la rapidez del cambio del movimiento cinético
del flujo neto que atraviesa la SC más el momento cinético dentro del c . Tiene
mucha importancia en el análisis de determinados problemas de flujo.
Cuando la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el volumen de control es neta,
entonces: 0* Fr
Y además el flujo permanente:
c
dvrt
0 *
En consecuencia, la ecuación (1), (2) queda:
SC
Advvr 0 . * (3)
Ó
SC
VrQ 0* (4)
Cuando el movimiento es plano, siendo r la distancia perpendicular a la
componente tangencial de la velocidad tv y nv la componente normal, entonces
la ecuación (3) ó (4) es:
SC
tn dAvvr 0 (5)
SC
tn ArVV 0 (6)
Donde:
rdAAd
rrr
ttnn vvv
dAvAdv n .
trVvr *
Estas ecuaciones son muy importantes en hidrodinámica de sistemas Hidráulicos
giratorios: Turbinas Hidráulicas, bombas hidráulicas, molinos hidráulicos,
aspersores, etc.
El flujo turbulentos: 1
n
t
n
dA
r
o
r
Aplicaciones
1. Un flujo incomprensible tiene un movimiento bidimensional con el campo
de velocidades: jviyxv y 22 . Determinar la componente yv .
Solución
Para un flujo incompresible en régimen permanente:
0
z
V
y
V
x
V zyx
xy
Vx
y
V
x
V yyx 22
Integrando: egracióndeCtexCxCyVy int .*2
2. un flujo a través de un ducto puede considerarse como flujo unidimensional
con velocidad en la dirección principal:
1 1 2 ytSenyxvx . Suponiendo que en cualquier instante
ty, 12 , cuando .tan,2 teconst o Determinar la expresión
de la densidad.
Solución
La ecuación de continuidad es:
0
gradvvdiv
t
Para el caso unidimensional la ecuación queda:
0
xv
x
v
tx
x
Según el problema ty, en cualquier instante, por tanto puede salir
fuera de la derivada x (ver la ecuación anterior).
01
0
x
v
tx
v
t
xx
tsenyx
v
t
x 11 2
o
o
Separando variables e integrando para las condiciones de borde dadas:
otdttsenyd , 2 1 2
t
yl on cos
1 2
Levantando logaritmos:
eC
w
y
o
t w os1 2