Dinámica de la partícula Presenta: Juan Manuel Torres Merino.

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31 de Octubre de 2014

Tema a desarrollar: Dinámica de la partícula

Objetivo:

Presentar la teoría de la dinámica de partícula, a partir de los diversos mecanismos de estudio

de la misma: Segunda ley de Newton, conservación del trabajo y la energía cinética, e impulso

y cantidad de movimiento lineal, para aplicar a un ejemplo donde se presenten los conceptos

respectivos1.

0. Introducción

El presente trabajo analiza los principios básicos del estudio de la dinámica de la partícula.

Un objeto en estudio presenta la característica básica de ser representado como partícula, de

antemano lo más próximo a la definición de partícula le corresponderá a lo elemental, masa de

una carga eléctrica o algo que presente dimensiones tan pequeñas que puedan ser

representadas por un punto, que independientemente del tamaño cualquier masa puede ser

representada por un punto.

De antemano cualquier cuerpo que presente las dimensiones que uno puede ver de manera

macroscópica se podrá representar como un punto, ello será válido para casos en que el

cuerpo no presente rotaciones relevantes que implican otro tipo de movimientos que no serán

tratados con la teoría en estudio que nos compete en este momento, de tal forma que una

partícula será representado por ejemplo una piedra que se desliza, una pelota que no ruede, un

patinador en una pista de hielo, un auto que derrape, en fin condiciones que son de verdad

extremadamente particulares en la vida que tenemos. Por supuesto que este tipo de

interpretaciones son discutibles pero de inicio son importantes y básicas para la comprensión,

análisis, planteamiento de problemas que son más complejos y que involucran una mayor

cantidadde variables que implican un mayor entendimiento de un problema en particular.

Un cuerpo que viaja en línea recta sobre un plano horizontal que no presenta fricción alguna

mantendrá su movimiento sin que se modifique sus condiciones cinemáticas, manteniendo su

cantidad de movimiento lineal:𝐩 = 𝐦𝐯. (Donde; p: cantidad de movimiento lineal, m: masa o

medida de la inercia del objeto o cuerpo, y v: velocidad del cuerpo)

1. Segunda ley de Newton

Cuando plantemos cambios, las condiciones de inicio de estudio de un evento, implica revisar

la teoría que sustente lo que buscamos comprender y además explicar. Podemos presentar la

posibilidad de un cambio en la cantidad de movimiento lineal, que implica una modificación en

∆𝐩 = 𝐩𝐟 − 𝐩𝐢

1 El programa oficial de la asignatura no hace mención alguna al objetivo de la temática que se presenta,

es responsabilidad del autor el objetivo presentado.

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Y esta ocurre en un determinado intervalo de tiempo ∆𝐭 = 𝐭𝐟 − 𝐭𝐢, tenemos que ocurre un

cambio en parte física del movimiento de un objeto y de tal forma que la proporción del tiempo

aplicado por quien produce el cambio en la cantidad de movimiento lineal (fuerza) presenta la

siguiente expresión:

𝐅∆𝐭 = ∆𝐩

Que también se expresa como:

𝐅 = ∆𝐩

∆𝐭

Esta expresión llevada a su límite tenemos:

𝐅 = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎

∆𝐩

∆𝐭=

𝐝𝐩

𝐝𝐭

Que implica el cambio de la cantidad de movimiento lineal en un tiempo muy pequeño,

brindando el valor de la fuerza instantánea, retomando la notación de la segunda ley de

Newton a partir de la notación de Euler tenemos:

�⃗� = 𝐝�⃗⃗⃗�

𝐝𝐭 (𝟏. 𝟏) (Goldstein, y otros, 2002)�

La cual es conocida en la mayoría de textos como la segunda ley de Newton.

De la expresión newtoniana, podemos trabajar en distinto orden, uno de ellos es definir el

trabajo y la energía cinética, de la cual tendremos un principio de conservación. Los principios

por los que se rige la Dinámica son importantes porque mantienen la conservación de la

energía, el trabajo; de igual manera podremos revisar la teoría del principio de conservación del

impulso y la cantidad de movimiento lineal. Por lo que a partir de la segunda ley de newton

trabajaremos en consecuencia para llegar a brindar los dos principios faltantes.

2. Principio de conservación del trabajo y la energía cinética.

En el caso del trabajo tenemos algo importante este puede ser conservador (conservativo) o no

conservador, de que depende de que sea conservador o no; de las fuerzas que disipen o que

consuman parte del trabajo. Como la fuerza de la fricción que siempre se contrapone al sentido

del movimiento y por ende al desplazamiento, lo que es una fuerza disipadora de la

transformación de la energía, así como fuerzas que se opongan al desplazamiento del cuerpo.

Se diría que toda fuerza opositora al desplazamiento, como podría ser el peso de un cuerpo en

un plano inclinado, aunque esta podría ser a favor como en casos diversos en donde el ángulo

es mayor a 0 grados y menor de 90, para el caso en que el peso y el desplazamiento tienen un

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ángulo mayor a 90 grados y menor o igual a 180, se dice que el trabajo realizado es negativo y

por tal motivo consume una parte del trabajo impidiendo que este sea conservador.2

Es sencillo comprender que se requiere para un trabajo conservador que la fuerza y la

trayectoria a realizar no sean un factor, esto es un trabajo conservador no depende de la

trayectoria y la fuerza resultante del sistema a estudiar aplicando este principio tenga un

comportamiento en que el trabajo resultante este definido por el desplazamiento y la fuerza

resultante del sistema.

Como saber que un trabajo es conservador, pues comprobando que independientemente del

camino trazado tiene un principio de conservación con la energía cinética, la cual se mide como

el cambio de la energía cinética final menos la energía cinética inicial. Este principio puede

trazase con la segunda ley de Newton (ecuación 1.1) considerando que la masa se conserva:

�⃗� = 𝐝�⃗⃗⃗�

𝐝𝐭=

𝐝 𝐦�⃗⃗�

𝐝𝐭= 𝐦

𝐝�⃗⃗�

𝐝𝐭

En donde la masa se conserva y el cambio de la velocidad en el tiempo se puede agregar la

función derivable del cambio de laposición con respecto a la posición3:

𝐅 = 𝐦 𝐝𝐫

𝐝𝐫

𝐝𝐯

𝐝𝐭

Para este caso aplicamos la regla de la cadena y tenemos:

𝐅 = 𝐦 𝐝𝐫

𝐝𝐭

𝐝𝐯

𝐝𝐫 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞: 𝐯 =

𝐝𝐫

𝐝𝐭

𝐅 = 𝐦 𝐯 𝐝𝐯

𝐝𝐫

O aplicamos una separación de variables aplicando una diferencial de r en ambos lados:

𝐅 𝐝𝐫 = 𝐦 𝐝𝐫 𝐝𝐯

𝐝𝐭

En este caso asociamos la derivada de la posición en el tiempo y tendríamos:

𝐅 𝐝𝐫 = 𝐦 𝐝𝐫

𝐝𝐭 𝐝𝐯

Y como

2 Es el principio básico que los diversos cursos de Física se imparten desde la instrucción básica: trabajo

esta definido por el producto de la fuerza con el desplazamiento y el coseno del ángulo por quienes realizamos el producto. Fuerza paralelas; producto máximo y positivo. Fuerzas antiparalelas; producto negativo por el ángulo de 180 grados. Cuando las fuerza son perpendiculares al desplazamiento no se realiza trabajo alguno. 3 No consideramos la notación vectorial, dado que el procedimiento de análisis es más ágil y no requiere

de consideraciones matemáticas que justifiquen su desarrollo.

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𝐝𝐫

𝐝𝐭= 𝐯

La expresión original la transformamos en: (Feynman, y otros, 1963)

𝐅 𝐝𝐫 = 𝐦 𝐯 𝐝𝐯

Como puede verse es la expresión del trabajo el término del lado izquierdo y la energía en el

lado derecho. Esta última expresión integrando tenemos:

∫ 𝐅 𝐝𝐫𝒓𝒇

𝒓𝒊

= ∫ 𝐦 𝐯 𝐝𝐯 𝒗𝒇

𝒗𝒊

= 𝒎 ∫ 𝐯 𝐝𝐯 𝒗𝒇

𝒗𝒊

∫ �⃗� ∙ 𝐝�⃗�𝒓𝒇

𝒓𝒊

= 𝒎 ∫ 𝐯 𝐝𝐯 𝒗𝒇

𝒗𝒊

𝐖𝐢→𝐟 = ∫ �⃗� ∙ 𝐝�⃗�𝐫𝐟

𝐫𝐢

∆𝐓𝐢→𝐟 = 𝐓𝐟 − 𝐓𝐢 = 𝐦 ∫ 𝐯 𝐝𝐯 = 𝟏

𝟐𝐦

𝐯𝐟

𝐯𝐢

𝐯𝟐|𝐯𝐢

𝐯𝐟 = 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐟

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐢

𝟐

𝐓 = 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝟐

𝐖𝐢→𝐟 = ∫ �⃗� ∙ 𝐝�⃗�𝐫𝐟

𝐫𝐢 = ∆𝐓𝐢→𝐟 =

𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐟

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐢

𝟐 (Goldstein, y otros, 2002) (2.1)

Como puede apreciarse llegamos al principio de conservación del trabajo realizado por una

fuerza (o resultante de fuerzas) que mantienen un equilibrio dinámico, que nos brinda un

cambio en la energía cinética de un cuerpo4.

En el caso de un levantador de pesas, cuando tiene el peso sostenido con sus brazos

levantados y camine con rapidez constante, con garantía podemos afirmar que no realiza

trabajo alguno, dado que el cambio en su energía cinética es nulo. Para que afirmemos que es

nula, es que la fuerza que realiza el trabajo lo es.

3. Principio de conservación del impulso y la cantidad de movimiento lineal.

Cuando tenemos la definición de la segunda ley de Newton en nuestro estudio, podemos

definir este principio de conservación de manera más rápida que en el caso del trabajo, la

definición básica de la segunda ley (Simonyi, 2010), tenemos:

𝐅∆𝐭 = ∆𝐩

4 Un servidor emplea la letra T como la variable que corresponde a la energía cinética, algunos textos

utilizan otra nomenclatura por ejemplo: Ek, K, Ec.

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Por supuesto que empleando la notación de Euler la expresión se escribiría de la siguiente

manera:

�⃗�∆𝐭 = ∆�⃗⃗⃗�

Y en caso de considerar que los gradientes de tiempo y cantidad de movimiento lineal se

describieran como elementos próximos a cero y definieran ser elementos diferenciales, las

expresiones correspondientes serían:

�⃗�𝐝𝐭 = 𝐝�⃗⃗⃗�

En las cuales podríamos integrar en ambos términos y la resultante del lado derecho

corresponderá al cambio en la cantidad de movimiento lineal, y término del lado izquierdo

define al concepto de impulso, donde �⃗� , define a la fuerza impulsiva que “brinda”, la

modificación del cambio en la cantidad de movimiento lineal.

∫ �⃗�𝐝𝐭𝐭𝐟

𝐭𝐢

= ∫ 𝐝�⃗⃗⃗��⃗⃗⃗�𝐟

�⃗⃗⃗�𝐢

𝐉 = ∫ �⃗�𝐝𝐭𝐭𝐟

𝐭𝐢

= ∫ 𝐝�⃗⃗⃗� = ∆�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝐟 − �⃗⃗⃗�𝐢

�⃗⃗⃗�𝐟

�⃗⃗⃗�𝐢

Como puede apreciarse este principio de conservación es aparentemente sencillo, aunque su

aplicación puede brindar diferencias de comprensión, un ejemplo claro puede presentarse en el

caso de estudiar5.

4. Ejemplo.

Se tiene un móvil que se mueve con una velocidad inicial (vi) y presenta un desplazamiento ∆𝐫,

y un tiempo ∆𝐭. Su velocidad final es cero. Determine las posibles fuerzas que permiten que el

objeto presente ese fenómeno.

Entonces construimos su diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) y observamos que sólo se

presentan 3 fuerzas: su peso (mg=w), la respuesta de la superficie de contacto que es la

normal en las cuatro ruedas y la fuerza horizontal principal que impide que el cuerpo se deslice

de manera permanente que es la fricción.

DCL

5 Utilizo la variable J para definir el impulso, aunque algunos textos emplea la I, confundiendo con el

momento de inercia.

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En donde el planteamiento del problema brinda las siguientes expresiones:

+→ ∑ 𝐅𝐱 = −𝐟𝐫

+↑ ∑ 𝐅𝐲 = 𝐍 − 𝐰 = 𝐍 − 𝐦𝐠

En donde aplicando la segunda ley (ecuación 1.1) tendríamos:

+→ ∑ 𝐅𝐱 = −𝐟𝐫 = 𝐦𝐚𝐱

+↑ ∑ 𝐅𝐲 = 𝐍 − 𝐰 = 𝐍 − 𝐦𝐠 = 𝐦𝐚𝐲 = 𝟎

Si 𝐟𝐫 = 𝛍𝐍, y el valor de N = mg, tenemos que: 𝐟𝐫 = 𝛍𝐦, implica que la expresión 4.1 tendrá

como valor: −𝛍𝐦𝐠 = 𝐦𝐚𝐱, de tal manera que la

𝐚𝐱 = −𝛍𝐠

Si aplicamos la expresión (2.1) y retomamos el planteamiento inicial tenemos:

+→ ∑ 𝐅𝐱 = −𝐟𝐫 = 𝐅𝐱

+↑ ∑ 𝐅𝐲 = 𝐍 − 𝐰 = 𝐍 − 𝐦𝐠 = 𝐅𝐲

Como sólo se aplica una fuerza que absorbe el trabajo o mejor dicho consume la energía

cinética en carga eléctrica o calor, y no es una fuerza aplicada sino de respuesta al movimiento

tenemos:

𝐖𝐢→𝐟 = ∫ �⃗� ∙ 𝐝�⃗�𝐫𝐟

𝐫𝐢

= ∆𝐓𝐢→𝐟 = 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐟

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐢

𝟐

𝐖𝐢→𝐟 = − 𝛍𝐦𝐠∆𝐫 = ∆𝐓𝐢→𝐟 = 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐟

𝟐 − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐢

𝟐 = − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝐢

𝟐

− 𝛍𝐦𝐠∆𝐫 = − 𝟏

𝟐 𝐦𝐯𝒊

𝟐

Donde la expresión podría validar el valor de la velocidad inicial que el móvil desarrolla al inicio

de su movimiento.

𝛍𝐠∆𝐫 = 𝟏

𝟐 𝐯𝒊

𝟐

𝐯𝐢 = √𝟐𝛍𝐠∆𝐫 (𝟒. 𝟐)

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Aplicando la expresión última (3.1) tenemos:

𝐉 = ∫ �⃗�𝐝𝐭𝐭𝐟

𝐭𝐢

= ∫ 𝐝�⃗⃗⃗� = ∆�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝐟 − �⃗⃗⃗�𝐢 �⃗⃗⃗�𝐟

�⃗⃗⃗�𝐢

(𝟑. 𝟏)

Y como �⃗� es constante tenemos:

𝐉 = �⃗�∆𝐭 = ∆�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝐟 − �⃗⃗⃗�𝐢 = 𝐦 �⃗⃗�𝐟 − 𝐦�⃗⃗�𝐢

En el caso de que las fuerzas sean constantes tenemos que: 𝐅𝐱 = − 𝛍𝐦𝐠 y para el caso de

𝐅𝐲 = 𝟎, así como las velocidades del móvil al final como �⃗⃗�𝐟 = �⃗⃗⃗� m/s, por lo que la 𝐯𝐲𝐟 = 𝟎 𝐦/𝐬,

la ecuación es exclusiva de x tenemos:

− 𝛍𝐦𝐠∆𝐭 = −𝐦𝐯𝐱𝐢

Tenemos que la ecuación solución al ejercicio es:

𝐯𝐱𝐢 = 𝛍𝐠∆𝐭 (𝟒. 𝟑)

Conclusiones

Como puede observarse se pueden combinar los planteamientos de los tres principios de

conservación que se ha presentado y aplicado. Tiene cada uno de ellos ventajas y desventajas,

como puede observarse es fácil el planteamiento cuando las fuerzas son constantes y

aparentemente ninguna presenta un punto superior a otro, pero cuando se trabaja con fuerzas

variables se tiene un problema, si dependen del desplazamiento es preferible emplear el

principio de conservación del trabajo con la energía cinética. En caso de que la fuerza se

variable en el tiempo, la recomendación es el empleo del principio de conservación del impulso

y cantidad de movimiento lineal.

Algo que es útil agregar, es que estos principios llevan a analizar puntos más complejos como

la dinámica de particular, movimiento de cuerpos rígidos y aa relación dinámica de la traslación

y rotación de cuerpos.

Referencias auxiliares a esta presentación:

Feynman, R.P., Leighton, R.B. y Sands, M. 1963. The Feynman lectures on Physics. Mainly

Mechanics, Radiation and Heat. California, USA : Addison Wesley, 1963. Vol. 1.

Goldstein, Herbert, Poole, Charles y Safko, John. 2002. Classical Mechanics. San Francisco,

USA : Addison Wesley, 2002. 0-201-65702-3.

Simonyi, Károly. 2010. A cultural history of Physics. USA : CRC Press, 2010. 978-1-56881-329-5.