DINAMICA DE FLUIDOS

Estudio de los líquidos en movimientoEquilibrio sólido de un líquido

Flujo de fluidos

EQUILIBRIO SÓLIDO DE LOS LÍQUIDOSInteresa conocer la variación de la

presión en el interior del fluidoTraslación

Rotación(No se tiene en cuenta en movimiento relativo entre las moléculas del fluido)

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN CON ACELERACIÓN:- vertical- horizontal- horizontal-vertical

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN CON ACELERACIÓN VERTICAL (az )

Para el movimiento de traslación con aceleración vertical en la que sólo actúa la aceleración de la gravedad la ecuación básica de la estática de fluidos expresa que: g

zP

Cuando se tiene un movimiento que además tiene una aceleración az

)1()(ga

agzP z

z

)1(ga

zP z

De aquí podemos obtener:

dzga

dPdzga

dPP z

zz )1()1(0 0

Como dz aumenta en el sentido que dP disminuye, entonces:

zga

P z )1(

EJEMPLO:

Determine la expresión para la variación de la presión en el seno de una masa líquida contenida en un recipiente que se mueve verticalmente bajo las siguientes condiciones:a)Cuando sube con una aceleración de 4,9 m/s².b)Cuando baja con una aceleración de 4,9 m/s².c)Cuando el depósito cae.d)Cuando el depósito sube con una aceleración igual a la gravedad.e)Cuando el depósito sube con una retardación igual a la gravedad.

+

-

LÍQUIDO CON ACELERACIÓN LINEAL HORIZONTAL ax

Para el equilibrio dinámico de la porción de fluido elegido en el sistema de la figura:

xxx Alag

VamaFF 21

axxx a

glPP

Alag

APAP 21

21

xagxP

El signo (-) se debe a que x

aumenta en el sentido que P disminuye

También podemos apreciar que:

xaglhh

lPP

tan2121

gaxtan

EJEMPLO:

El recipiente de la figura contiene agua y se acelera con igual aceleración en las direcciones horizontal y vertical igual a 4,90 m/s². Determine las presiones debida al fluido en los puntos A, B y C del recipiente.

SOLUCIÓN:

En la dirección x:

33 /500)8,99,4

(/1000 mkgmkgga

xP x

En la dirección y:

33 /1500)8,99,4

1(/1000)1( mkgmkgg

a

yP y

dyyP

dxxP

dP

dydxdP 1500500

Para un punto en la superficie libre del fluido:31

0 dxdy

dPPendiente de las líneas de igual

presión (SUPERFICIES)

Como: dydxdP 1500500 Integrando de Po a P, de 0 a x, y de 0 a y tenemos:

yxPP 15005000 Para un punto en la superficie del fluido P=0

Entonces para (x,y)=(1,2 m , 0,7 m) la presión es cero P=0 , de la ecuación anterior se obtiene: 2

00 /1650)70,0(1500)20,1(5000 mkgPP

Con este valor de Po, yxmkgP 1500500/1650 2 Esta ecuación da el valor de la presión en cualquier punto en el interior del fluido

Con los datos del problema:

Presión en el punto A (0 , 1,20 m) el fluido no alcanza este punto 0 AP

Presión en el punto B (0 , 0)2/1650 mkgPB

Presión en el punto C (1,2 m , 0) )2,1(/500/1650 32 mmkgmkgPC 2/1050 mkgPC

MOVIMIENTO DE ROTACIÓNRecipientes abiertos

Recipientes cerradosSin presión adicional

Con presión adicional

Considere el siguiente sistema:

Si ubicamos el sistema en coordenadas zr ,,

Entonces: dzzP

dP

drrP

dP

Para el pequeño elemento considerado

0HF

0)( madAdrrP

PPdA

0)()( 2 rdAdr

gdAdr

rP

PPdA

De la ecuación anterior obtenemos: rgr

P 2

Además conocemos que: gzP

Teniendo en cuenta estos valores en la ecuación dzzP

dP

drrP

dP

Considerando 0P Obtenemos: gdzrdrdP 2

Integrando: Cgzr

P 2

22Para hallar el valor de la constante debemos considerar las condiciones de contorno

Para r=0, z=zo; P=Po 00 gzPC Con este valor de C:

2200 2

1)( rzzgPP

ECUACIÓN PARA EL VALOR DE LA PRESIÓN EN CUALQUIER PUNTO EN EL INTERIOR DEL FLUIDO

Si la ecuación hallada para el valor de la presión en cualquier punto, se aplica a puntos en la superficie libre del fluido donde P=Po tendremos la ecuación de la forma de la superficie, por lo tanto de la forma de las superficies de igual presión

22000 2

1)( rzzgPP

De donde:

gr

zz2

22

0

ECUACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE

REVOLUCIÓN

Las superficies de igual presión son paraboloides de revolución, en un

corte vertical se verán como parábolas

Se sabe que el volumen del paraboloide de revolución es la mitad del volumen del cilindro circunscrito a dicho paraboloide.

Casos:

a) Si el eje de giro está fuera del recipiente: Parte del paraboloide se forma dentro del recipiente.

b) Si el recipiente se tapa sin añadir presión: El paraboloide se considera sobre la tapa del recipiente tangente a ella

c) Si el recipiente se tapa añadiendo presión adicional: la presión añadida se considera como una altura sobre la tapa del recipiente; sobre dicho nivel se forma el paraboloide.

EJEMPLO:

Un depósito de forma cilíndrica de 4 m de altura y 2 m de diámetro contiene aceite hasta 3,2 m de altura. A cuantas rpm debe girar el recipiente alrededor de su eje para que el aceite alcance el borde superior?

SOLUCIÓN:

Volumen del paraboloide=(volumen del cilindro)/2

r

ghh

gr

z2

2

22

sradm

msm/96,3

1

)8,0)(/81,9(2 2

rpm

s

radrev

srad

260

96,3)

60min121

)(/96,3( rpm83,37

EJEMPLO:

Un cilindro de 1,8 m de diámetro y 2,70 m de altura se llena completamente con glicerina de densidad 1,60 y al taparlo se añade al depósito una presión de 2,50 kg/cm². El material de que está hecho el cilindro tiene 13 mm de espesor con un esfuerzo admisible de trabajo de 850 kg/cm². Determinar a qué velocidad máxima se puede hacer girar el recipiente sobres su eje sin que se rompa.

SOLUCIÓN:

El esfuerzo tangencial en un cilindro de radio r, con presión interna P es:

tPr t es el espesor del material de

que está hecho el cilindro

De la figura se puede deducir que la presión será máxima en el borde inferior externo del cilindro

22

/3,1290

)3,1)(/850(.cmkg

cmcmcmkg

rt

P

La presión que puede soportar el recipiente será:

2222

21

/50,2/3,12 rgg

cmkghcmkg

Con la configuración del problema:

Reemplazando los datos del problema:

)8100()/6,1(21

/5,2)270(/6,1/3,12 223232 cmcmgrcmkgcmcmgrcmkg

rpmsrad 363/38 De donde se obtiene