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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA
VALPARAISO – CHILE
“Dimensionamiento de Redes Dinámicas WDM con Contratos Flexibles en Calidad de Servicio”
Tesis de Grado de Magíster y Titulo presentado por:
DIEGO ANDRÉS ACEVEDO GIGLIO
Como requisito parcial para optar al título de
INGENIERO CIVIL TELEMÁTICO
y grado de
MAGÍSTER EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA TELEMÁTICA
PROFESOR GUÍA: DRA. ALEJANDRA BEGHELLI
Septiembre 2011
ii
Resumen
En esta tesis se desarrollan tres líneas de trabajo en el área de redes ópticas
WDM dinámicas: modelos matemáticos para la evaluación de la probabilidad de
bloqueo, dimensionamiento de la red bajo tráfico multi-hora y dimensionamiento de
la red bajo contratos flexibles en calidad de servicio. En los modelos matemáticos se
estudian los modelos y las correcciones a los modelos existentes en la literatura para
redes dinámicas WDM con capacidad de conversión de longitud de onda y ruteo fijo.
En base a este estudio, se generan nuevos métodos para evaluar la probabilidad de
bloqueo de la red, los cuales se comparan con los modelos existentes en la literatura.
En el dimensionamiento de la red bajo tráfico multi-hora se revisan las distintas
formas que existen en la literatura para distribuir los valores de las cargas de tráfico
en las matrices de tráfico. A partir de esta revisión se escogen tres formas de
distribución de valores, comparando su impacto en la cantidad de longitudes de ondas
requeridas al realizar el proceso de dimensionamiento de la red. En el
dimensionamiento de la red bajo contratos flexibles en calidad de servicio se compara
el efecto de utilizar contratos flexibles respecto a utilizar contratos estrictos en
calidad de servicio al dimensionar la red.
Conceptos Claves: Redes dinámicas WDM, contratos de calidad de servicio,
probabilidad de bloqueo, tráfico multi-hora.
iii
Abstract
This thesis focuses on three research lines in the area of dynamic optical
WDM networks: mathematical models for evaluating the network blocking
probability, network dimensioning with multi-hour traffic and dimensioning under
soft service level agreement specifications. In the research line of mathematical
models, the existing models and their corrections for dynamic WDM networks with
wavelength conversion capacity and fixed routing were studied. Based on this study
new methods for evaluating the blocking probability were generated and compared to
existing models. In dimensioning under multi-hour traffic, different methods for
traffic matrix generation were reviewed. From this review three types of distributions
were selected and the number of wavelengths required in the network to guarantee a
given blocking probability was calculated for each of them. Finally, in the research
line of network dimensioning under soft service level agreement specifications, the
effect of using soft constraints was compared to that of hard constraints.
Keywords: dynamic WDM networks, quality of service, probability of
blocking, multi-hour traffic.
iv
Índice
Capítulo 1: Introducción ........................................................................................................... 6
1.1 Trabajos Previos ...................................................................................................... 10
1.2 Propuesta ................................................................................................................ 13
1.3 Estructura de Tesis .................................................................................................. 13
Capítulo 2: Modelos ................................................................................................................ 15
2.1 Arquitectura de Red ................................................................................................ 15
2.2 Modelo de Red ........................................................................................................ 18
2.3 Modelo de tráfico ................................................................................................... 18
2.4 Algoritmos de asignación de rutas y longitudes de onda ....................................... 22
2.4.1 Algoritmo SP-FF (Shortest Path-First Fit) ........................................................ 23
2.4.2 Algoritmo Adaptive Unconstrained Routing-Exhaustive (AUR-E) ................... 25
2.5 Contratos de Calidad de Servicio (QoS) .................................................................. 26
2.6 Resumen ................................................................................................................. 28
Capítulo 3: Modelos Matemáticos .......................................................................................... 29
3.1 Introducción ............................................................................................................ 29
3.2 Modelo de bloqueo de enlaces ............................................................................... 39
3.2.1 Erlang-B ........................................................................................................... 39
3.2.2 Engset .............................................................................................................. 41
3.3 Bloqueo de conexiones: Modelo de independencia de enlaces ............................ 43
3.4 Correcciones al cálculo del bloqueo de conexiones ............................................... 45
3.4.1 Carga Reducida (Reduced Load) ...................................................................... 45
3.4.1.1 Aproximación de Carga Reducida [72] ....................................................... 47
3.4.1.2 Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load) ....................... 50
3.4.2 Efecto de Flujos en Línea (Streamline Effect) .................................................. 52
3.5 Resumen ................................................................................................................. 54
Capítulo 4: Propuesta.............................................................................................................. 55
4.1 Modelos Matemáticos ............................................................................................ 56
4.1.1. Engset y Corrección de Carga Reducida ................................................................ 56
v
4.1.2. Engset y Corrección de Carga Reducida con Efecto de Flujos en Línea ................ 59
4.2 Contratos flexibles de calidad de servicio ............................................................... 60
4.3 Resumen ................................................................................................................. 63
Capítulo 5: Resultados Numéricos .......................................................................................... 64
5.1 Modelos Matemáticos para Evaluación de Bloqueo .............................................. 65
5.1.1 Erlang-B vs Engset ........................................................................................... 68
5.1.2 Carga Reducida vs Carga Reducida Generalizada ........................................... 71
5.1.3 Engset vs correcciones vs combinación de correcciones ................................ 76
5.1.4 Modelo empírico ............................................................................................. 80
5.2 Matrices de tráfico lognormales ............................................................................. 86
5.2.1 SP-FF ................................................................................................................ 89
5.2.2 AUR-E .............................................................................................................. 91
5.2.3 SP ..................................................................................................................... 93
5.3 Contratos estrictos y flexibles ................................................................................. 96
5.3.1 SP-FF ................................................................................................................ 97
5.3.2 AUR-E .............................................................................................................. 99
5.3.3 SP ................................................................................................................... 101
5.4 Resumen ............................................................................................................... 103
Capítulo 6: Conclusiones y trabajos futuros ......................................................................... 106
6.1 Conclusiones ......................................................................................................... 106
6.2 Trabajos Futuros ................................................................................................... 110
Referencias ............................................................................................................................ 114
Anexo A ................................................................................................................................. 120
Anexo B ................................................................................................................................. 123
Anexo C ................................................................................................................................. 126
Anexo D ................................................................................................................................. 129
Anexo E ................................................................................................................................. 132
Anexo F ................................................................................................................................. 135
Anexo G ................................................................................................................................. 138
6
Capítulo 1
Introducción
Actualmente, las redes ópticas WDM (Wavelength Division Multiplexing)
son la mejor opción para atender la creciente demanda de ancho de banda en internet.
De hecho, en la actualidad, algunos laboratorios han reportado que con la tecnología
WDM es posible transmitir a una velocidad de 69,1 Tb/s [1].
Estas redes pueden operar de forma estática o de forma dinámica. Bajo
operación estática los recursos necesarios para la transmisión de información entre un
par de nodos se asignan de forma permanente. Para esto, todos los requerimientos de
conexión entre los distintos pares de nodos deben ser conocidos (o estimados) previos
al funcionamiento de la red [2]. Esto permite realizar una asignación óptima de los
recursos. Sin embargo, la asignación permanente de los recursos a pares de nodos que
Introducción
7
no transmiten información todo el tiempo (condición común en las redes actuales) no
es eficiente. Este problema se puede resolver con otro tipo de operación de red: la
dinámica. En las redes dinámicas, los recursos sólo se asignan cuando se solicita
establecer una conexión, lo cual permite reutilizar los canales de comunicación:
cuando un par de nodos no está transmitiendo información, otro par de nodos puede
re-utilizar los canales de comunicación para efectuar su transmisión de datos. De esta
manera, se requerirían menos recursos de red que en el caso estático. Sin embargo,
existe la posibilidad de que, al haber menos recursos y ser asignados éstos bajo
demanda, algunas conexiones no puedan establecerse debido a falta de recursos
disponibles. Tal hecho se conoce como la probabilidad de bloqueo de una solicitud de
conexión.
Un problema importante que se debe resolver en las redes dinámicas es
determinar la mínima capacidad de la red que permita asegurar que el bloqueo
máximo de las solicitudes de conexión no exceda un determinado umbral. Este
problema se conoce como dimensionamiento de la red. Existen diversos trabajos que
resuelven el problema de dimensionamiento en redes dinámicas, por ejemplo [3-8].
Sin embargo, tales trabajos suponen que el tráfico en la red no varía en el tiempo. El
análisis de matrices de tráfico reales indica que esta suposición no es correcta, ya que
el tráfico muestra variaciones significativas durante el día [9-11].
En el área de redes ópticas existen pocos trabajos que consideren la variación
diaria del tráfico (fenómeno también conocido como tráfico variante en el tiempo o
Introducción
8
tráfico multi-hora). En [12] se dimensiona una red considerando tráfico multi-hora y
se reporta que el período con la mayor carga de tráfico determina el
dimensionamiento de la red. Esto ocurre aún cuando este período sea una fracción
muy pequeña del tiempo de operación de la red, lo cual lleva a un
sobredimensionamiento de recursos. Una razón para este sobredimensionamiento
consiste en considerar contratos estrictos para la calidad de servicio. Es decir, se
exige que la probabilidad de bloqueo de las conexiones sea menor que un cierto valor
en todo momento. Sin embargo, si se relaja esta restricción dentro de márgenes
aceptables para los usuarios, se podría mitigar el impacto de la carga más alta en el
dimensionamiento. Por ejemplo, se puede diseñar la red de modo que la probabilidad
de bloqueo media de las conexiones sea menor a un cierto valor. Esta relajación
(conocida como contratos flexibles [13] en el área de servicios web) no ha sido
estudiada en el área de redes WDM.
En lo que respecta a los métodos disponibles para dimensionar una red, puede
utilizar un modelo matemático o simulación.
Una de las ventajas de contar con un método matemático es que acelera
significativamente el proceso de dimensionamiento de la red (respecto de utilizar
simulación). Algunos métodos matemáticos útiles para dimensionar redes dinámicas
WDM con conversión de longitud de onda y ruteo fijo [14] son el modelo de pérdidas
de Erlang-B y el de Engset [15], y las aproximaciones de Reduced Load [16] y
Streamline Effect [17]. Los dos primeros se utilizan para dimensionar un enlace de la
Introducción
9
red, de manera independiente del comportamiento de otros enlaces en la misma. Los
dos segundos se utilizan cuando se quiere modelar el hecho de que el bloqueo en un
enlace de la red afecta el bloqueo experimentado por otros enlaces. Debido a la
complejidad de esta situación de interdependencia entre enlaces, los métodos
propuestos son siempre aproximaciones.
En la literatura, la aproximación de Reduced Load se ha utilizado en conjunto
con el modelo de pérdidas de Erlang-B; mientras que la aproximación Streamline
Effect se ha utilizado con el modelo de Erlang-B y el de Engset. Sin embargo, el
cruce Engset con Reduced Load no ha sido estudiado en la literatura, como tampoco
ha sido estudiado el combinar varias aproximaciones, lo cual podría generar
resultados más precisos que los obtenidos por los modelos existentes.
Cuando no existe un método matemático que permita evaluar la capacidad de
la red con algún nivel de precisión aceptable, el dimensionamiento de la misma debe
hacerse por simulación. En este caso el proceso es tedioso y demanda mucho tiempo,
ya que se basa en prueba y error. A pesar de ello, existen trabajos previos que han
utilizado técnicas de simulación para realizar el dimensionamiento de redes
dinámicas WDM cuando no existen métodos matemáticos apropiados [12, 18]. En
esta tesis el método de simulación se empleará para el dimensionamiento de redes con
contratos flexibles en aquellos casos en que no se cuente con un método matemático
lo suficientemente preciso.
Introducción
10
1.1 Trabajos Previos
Los contratos flexibles de calidad de servicio en redes dinámicas WDM es un
área inexplorada hasta ahora. En el área de servicios Web, el concepto de contratos
flexibles es introducido por primera vez el año 2008 [13], en donde muestra cómo
generar y monitorear un contrato flexible para el caso particular de los tiempos de
respuesta de un servidor web. Posteriormente, en [19], el mismo autor extiende su
trabajo para parámetros generales de calidad de servicio.
En el caso de redes dinámicas WDM sometidas a tráfico multi-hora, el uso de
contratos flexible podría generar ahorros en términos de capacidad requerida. Sin
embargo, en el área de redes WDM esto aún no ha sido estudiado. Los trabajos con
tráfico multi-hora se han restringido al modelado de matrices de tráfico, el diseño de
topologías virtuales y el dimensionado con contratos estricto. En [10] se muestra las
variaciones de tráfico en el tiempo a partir de trazas reales de tráfico y se explica la
forma de generar matrices de tráfico de forma artificial en base a una distribución
lognormal. En [20] se resuelve el problema de encontrar una topología virtual estática
para tráfico multi-hora, por medio de MILP, considerando distintas formas de flujo y
ruteo de flujos. Además, se utiliza el concepto de dominación de matrices [21] para
reducir el número de matrices de tráfico consideradas reduciendo la complejidad del
problema. Posteriormente, en [22], el autor extiende el trabajo obteniendo límites
superiores e inferiores de tráfico por medio del concepto de dominación, reduciendo
aun más la complejidad del problema. Por otro lado, en [12], se realiza un estudio de
Introducción
11
dimensionamiento bajo tráfico multi-hora por medio de simulación y utilizando
contratos estrictos, mostrando que el período con la carga de tráfico más alta domina
el dimensionamiento de la red, aún cuando el período corresponda a una fracción de
tiempo muy pequeña.
Si bien la simulación utilizada en [12] es totalmente válida, es un método que
demanda mucho tiempo, ya que se basa en prueba y error. Una alternativa al
dimensionamiento por simulación es por medio de un modelo matemático que
relacione la probabilidad de bloqueo y la capacidad de la red. En el contexto de redes
dinámicas WDM con conversión de longitud de onda y ruteo fijo, un primer modelo
es presentado por [23], donde se evalúa la probabilidad de bloqueo de una longitud
de onda. Otro modelo es el utilizado por [24-26], donde se evalúa la probabilidad de
bloqueo de un enlace, considerando el modelo de pérdidas de Erlang-B [15] y la
aproximación de carga reducida (Reduced Load). La aproximación de carga reducida
realiza una corrección a la carga de tráfico que pasa por cada enlace. Para ello, se
analiza cada ruta en la red, y en cada enlace de una ruta se disminuye la carga de
tráfico que por ella pasa, por un factor dependiente de la probabilidad de bloqueo de
los demás enlaces de la misma ruta. En [27] se refina la aproximación de de carga
reducida, considerando además el estado del enlace al que se le está reduciendo la
carga de tráfico.
Un modelo distinto al de Erlang-B, utilizado en [28], es el modelo Engset
[15]. Se diferencia respecto al modelo de Erlang-B en el tamaño de la población.
Introducción
12
Mientras que en el modelo de Erlang-B se supone una población muy grande
(infinita) de usuarios respecto a los recursos, en el modelo de Engset se supone una
población finita. Otros trabajos que consideran el modelo de Engset en redes ópticas
son [29] en OCBS (Optical Composite Burst Switching), [30] en OBS (Optical Burst
Switching) y [31] en OPS (Optical Packet Switching).
Posteriormente, en [17], se utiliza el modelo Engset y se presenta una
aproximación distinta a la de carga reducida, llamada efecto de flujos en línea
(Streamline Effect). El efecto de flujos en línea es una aproximación relativamente
nueva en el área de redes WDM, siendo utilizada previamente por [32] y [33] para
redes OBS. Esta aproximación consiste en una corrección a la probabilidad de
bloqueo de los enlaces en un valor dependiente de la contención ocurrida en el enlace
previo al que se está corrigiendo.
Finalmente, aunque en el contexto de ruteo alternado, en [34], se realiza una
comparación entre las aproximaciones de carga reducida (sin la refinación propuesta
en [27]) y el efecto de flujos en línea. Los resultados muestran que el efecto de flujos
en línea aproxima de mejor manera la probabilidad de bloqueo de la red que la
aproximación de carga reducida.
Introducción
13
1.2 Propuesta
Existen tres líneas de desarrollo en este trabajo. En primer lugar, se propone
utilizar el modelo de pérdidas Engset en conjunto con la aproximación de carga
reducida, como también el combinar las aproximaciones de carga reducida con el de
efectos de flujos en línea para el caso de redes dinámicas WDM con conversión de
longitud de onda y ruteo fijo. Con estas combinaciones se espera generar un modelo
más preciso que los existentes. En segundo lugar, se estudiará el impacto de utilizar
matrices de tráfico más realistas en el dimensionamiento de la red, comparando la
capacidad requerida con el caso de matrices uniforme y quasi-uniformes. Los
resultados serán obtenidos mediante el uso de modelos matemáticos y simulación. En
tercer lugar, se estudiará el efecto de considerar contratos flexibles de calidad de
servicio, los cuales podrían mitigar el impacto de la carga de tráfico más alta
reportado en [12].
1.3 Estructura de Tesis
En el capítulo 2 se presenta el modo de funcionamiento de las redes dinámicas
WDM, mostrando la arquitectura de una red del tipo fin a fin, los modelos de tráficos,
los algoritmos de ruteo y los tipos de contratos de calidad de servicio. En el capítulo
3, se expondrá el estado del arte de los modelos matemáticos para redes con ruteo
fijo, profundizando en los modelos con conversión de longitud de onda. El capítulo 4
desarrolla la propuesta de tesis, mostrando dos combinaciones de modelos
matemáticos y el contrato flexible a utilizar, mientras que el capítulo 5 muestra los
Introducción
14
resultados obtenidos para cada línea de trabajo: en los modelos matemáticos se
comparan los distintos modelos de la literatura y los presentados en la propuesta; en
el uso de matrices de tráfico más realistas, se compara el dimensionamiento de la red
al utilizar matrices de tráfico uniformes, quasi-uniformes y lognormales para distintos
algoritmos de ruteo; en los contratos de calidad de servicio, se compara el
dimensionamiento de la red al utilizar contratos estrictos y flexibles. Finalmente, el
capítulo 6 presenta las conclusiones y las posibles extensiones del trabajo realizado.
15
Capítulo 2
Modelos
En este capítulo se describe la arquitectura de red, el modelo de tráfico, los
algoritmos de ruteo y los tipos de contratos que se usarán en esta tesis.
2.1 Arquitectura de Red
La arquitectura de red estudiada en esta tesis corresponde a una red dinámica
WDM con reservación de recursos fin a fin [35-37], ilustrada en la Figura 2.1. Este
tipo de red se compone de varios nodos conectados por enlaces de fibra óptica. Cada
nodo se compone de un enrutador (router) electrónico conectado de forma local a un
conmutador (switch) óptico. El conjunto de enrutadores electrónicos conforma la capa
electrónica mientras que el conjunto de conmutadores y enlaces ópticos conforman la
capa óptica.
Modelos
16
Figura 2.1: Esquemático de una red dinámica WDM con reservación de recursos fin a fin.
El proceso de transmisión de datos entre un nodo fuente y un nodo destino
comienza con la llegada de paquetes electrónicos a la capa electrónica (sección
superior izquierda de la Figura 2.1, denotada como “arribo paquetes”). Cada paquete
que llega a un enrutador es clasificado por éste de acuerdo al destino y se almacena
en el buffer correspondiente. Una vez que se han acumulado suficientes paquetes para
un mismo destino, el nodo fuente genera una solicitud de recursos (un lightpath1).
Ante la solicitud de un lightpath, se deben reservar los recursos necesarios en la capa
óptica. En una arquitectura con control centralizado [57] la reservación de recursos se
realiza mediante el envío de un paquete de control que viaja a través de la capa óptica
1 Lightpath: Se denomina a la conexión que se realiza a nivel de capa óptica entre un nodo fuente y
un nodo destino. Está definido por una ruta y una longitud de onda en dicha ruta.
Modelos
17
hacia el nodo central. El nodo central mantiene la información actualizada del estado
de la red, y es el encargado de buscar recursos disponibles para atender las solicitudes
de lightpath. Al recibir el paquete de control en la capa electrónica, el nodo central
determinará una ruta y una longitud de onda para la solicitud de conexión. Si no
existe ruta que posea suficientes recursos, se enviará un paquete de regreso al nodo
origen indicándole que no es posible establecer la conexión. Por otro lado, si existen
suficientes recursos en la red, el nodo central enviará un paquete de acknowledgement
(paquete ACK) de vuelta al nodo fuente, indicándole la ruta y longitud de onda
asignada para la transmisión de datos. Una vez recibido el paquete ACK por el nodo
fuente, se inicia la transmisión. Cuando la transmisión finaliza, los recursos utilizados
se liberan.
Existen también arquitecturas con control distribuido [42-45] (donde cada
nodo posee información parcial o total del estado de la red). Estas arquitecturas tienen
mayor tolerancia a fallas y permiten un mayor tamaño de la red respecto a las de
control centralizado, pero introducen mayor complejidad en los protocolos de
comunicación, un mayor retardo en establecer las conexiones y aumentan levemente
la probabilidad de bloqueo de las solicitudes de conexión. Por ello, no serán
consideradas en este trabajo.
Una característica importante en el desempeño de la red es la capacidad de
conversión de longitudes de onda. Si los nodos de la red no están equipados con la
capacidad de conversión de longitud de onda, entonces una conexión debe usar la
Modelos
18
misma longitud de onda (el mismo canal) en todos los enlaces de la ruta asignada. En
cambio, si la red cuenta con la capacidad de conversión de longitudes de onda, una
conexión puede usar distintas longitudes de onda en los enlaces de la ruta. Se ha
demostrado que las redes equipadas con conversión de longitud de onda se
desempeñan mejor en términos de probabilidad de bloqueo [58-60]. Sin embargo, la
tecnología de conversión de longitud de onda óptica no está completamente madura
aún [61]. En esta tesis se estudian ambos tipos de red.
2.2 Modelo de Red
La red se representa por un grafo , donde es el número de nodos
y es el conjunto de enlaces ópticos unidireccionales. Entre cada par de nodos
existen dos enlaces unidireccionales, uno en cada dirección. La cardinalidad de los
conjuntos y se denota por y respectivamente. La capacidad del enlace
, en número de longitudes de onda, se denota por .
2.3 Modelo de tráfico
En este trabajo, el tráfico multi-hora es modelado como en [12, 20]. Esto es, el
tiempo de operación de la red es divido en intervalos. La duración del -ésimo
intervalo es igual a unidades de tiempo. Cada intervalo tiene una matriz de tráfico
asociada, como se muestra en la Figura 2.2. Sea el conjunto de
matrices de tráfico que caracteriza la evolución de la demanda de tráfico durante el
tiempo de observación.
Modelos
19
Figura 2.2: Tráfico multi-hora.
La matriz es la matriz de tráfico correspondiente al intervalo . El
elemento corresponde a la carga de tráfico ofrecida a la red por el par
fuente-destino , denotado por . En esta tesis se supone que el tráfico
generado por un nodo fuente hacia un determinado nodo destino sigue el modelo ON-
OFF [38].
En el modelo ON-OFF, el nodo fuente alterna sucesivamente su estado entre
transmitir datos (estado ON) y no transmitir (estado OFF). Cuando el nodo transmite
datos, lo hace a la máxima velocidad permitida por una longitud de onda. El tiempo
medio que el nodo fuente permanece en estado ON transmitiendo datos al nodo
destino durante el -ésimo intervalo es . Análogamente, el tiempo medio
que permanece en estado OFF es . Entonces,
queda determinado por:
Modelos
20
Existen diversas formas de modelar la distribución de los valores de
en
una matriz . La distribución uniforme es la más utilizada a la fecha [46-49] y
consiste en asignar el mismo valor a todas las cargas de tráfico. Es decir,
. Si bien esta forma de asignación de valores es la más sencilla, no es
realista. Diversos estudios han mostrado que no todos los nodos de la red ofrecen la
misma carga de tráfico al mismo tiempo [9-11, 50-53]. Un modelo un poco más
realista es la distribución quasi-uniforme, utilizada en [12]. Este modelo asigna a cada
par una carga de tráfico que se distribuye uniformemente en el rango
, donde corresponde a algún valor medio de la carga de tráfico
ofrecida durante el intervalo k-ésimo. Sin embargo, esta aproximación sigue estando
distante de la realidad ya que, como se muestra en [10], los valores de las carga de
tráfico poseen mayores variaciones que los obtenidos por la distribución quasi-
uniforme. La distribución log-normal, sugerida por [10] en base a su estudio de trazas
de tráfico reales, genera una distribución de los valores de que parece ser más
realista que las anteriores. En este caso, los valores de la matriz se distribuyen según
una variable aleatoria log-normal de parámetros , determinados por:
Modelos
21
Donde y son el valor medio y la varianza de los valores de las cargas de
tráfico de la matriz , respectivamente.
En [49] se utiliza la distribución normal y la distribución bimodal para generar
los valores de una matriz de tráfico. En [56, 82] se utiliza el método Hot-Spot, el cual
asigna un alto porcentaje del tráfico total de la red a un pequeño porcentaje de los
nodos de la red de manera uniforme (los cuales forman el hot spot de la red); el
porcentaje restante de tráfico es asignado al porcentaje restante de nodos de forma
uniforme. Finalmente, el modelo gravitacional [50, 54, 55], el cual utiliza la misma
estructura de fórmula que la ley gravitacional de Newton (de ahí su nombre), calcula
los valores de carga de tráfico de la matriz en base a los volúmenes de tráficos
entrantes y salientes de cada nodo. En [11], se presenta una restricción para la
aplicación del modelo gravitacional, el cual requiere que el tráfico total entrante a la
red sea igual al tráfico total saliente de la red en cada periodo de tiempo. Esto
dificulta la generación de valores.
De todos estos métodos de generación de matrices de tráfico, en esta tesis se
considerarán tres: Uniforme, quasi-uniforme y log-normal. El primero se incluye por
su popularidad en la literatura. El segundo porque es el modelo de tráfico utilizado en
el único trabajo previo a la fecha en el tema de dimensionamiento de redes dinámicas
WDM con tráfico multi-hora [12]. El último se incluye porque, según el estudio
Modelos
22
comparativo realizado en [10], la distribución lognormal se ajusta de mejor forma a
los datos reales.
En la Figura 2.3 se ilustran de manera genérica los 3 tipos de distribuciones
mencionados para un determinado intervalo de tiempo k. El eje vertical en los
gráficos representa el valor de la carga de tráfico. Los ejes horizontales representan a
los distintos pares fuente-destino. Por lo tanto, un punto (s, d, ) en cualquiera de los
gráficos de la Figura 2.3 representa el valor de la carga de tráfico (coordenada
z) ofrecida a la red por el nodo fuente s (coordenada x) al transmitir datos al nodo
destino d (coordenada y) durante el intervalo k. La fisura diagonal que aparece en las
3 figuras, pero que se aprecia mejor en la figura izquierda, corresponde a los valores
de cuando . En este caso,
.
Figura 2.3: Esquemáticos de distribuciones de matrices de tráfico: a) Distribución Uniforme, b) Distribución Quasi-Uniforme, c) Distribución Lognormal.
2.4 Algoritmos de asignación de rutas y longitudes de onda
La solicitud de un lightpath activa la búsqueda de una ruta y una longitud de
onda disponible en dicha ruta. Para realizar esta búsqueda, existen diversas estrategias
Modelos
23
que varían en nivel de complejidad computacional y en eficiencia respecto a la
probabilidad de bloqueo. En el caso de redes con conversión de longitud de onda, el
problema se reduce simplemente a buscar una ruta con alguna longitud de onda
disponible en cada enlace (no necesariamente la misma). A continuación se presentan
los algoritmos de ruteamiento y de asignación de longitud de onda que serán usados
en capítulos posteriores.
2.4.1 Algoritmo SP-FF (Shortest Path-First Fit)
Este algoritmo desagrega el problema en dos etapas: ruteo primero y búsqueda
de una longitud de onda disponible después. Para el algoritmo de ruteo se utiliza el
algoritmo del camino más corto (SP, por sus siglas en inglés). Para la asignación de
longitud de onda, el algoritmo First-Fit.
El algoritmo SP pertenece a los algoritmos de ruteo fijo [14]. De los
algoritmos de ruteo propuestos a la fecha, es el que posee menor complejidad
computacional (es decir, el más rápido en ejecutarse), pero que exhibe el peor
desempeño en términos de probabilidad de bloqueo [40].
El algoritmo SP funciona de la siguiente manera. Previo al funcionamiento de
la red, se calculan las rutas más cortas para cada par de nodos fuente-destino. Estas
rutas son almacenadas en tablas en los routers electrónicos de la red. De esta manera,
cada router tiene información acerca de la ruta más corta que lo conecta a cualquier
otro nodo destino de la red. Cuando se busca una ruta entre un par (s,d), el tiempo de
Modelos
24
ejecución del algoritmo está determinado por el tiempo de búsqueda de la ruta
correspondiente en la memoria del nodo, es decir, O(1). Por otro lado, ya que la única
ruta que puede establecerse es la que está pre-calculada, si ante una solicitud de
conexión la ruta no posee suficientes recursos, la solicitud será rechazada aunque
existan otras rutas con capacidad suficiente para atenderla. Esto provoca un bajo
desempeño del algoritmo en términos de probabilidad de bloqueo.
Cuando la red no posee conversión de longitud de onda, este algoritmo de
ruteo debe ser acompañado por un algoritmo de asignación de longitudes de onda.
Existen diversas estrategias de asignación de longitudes de onda [14], que se
diferencian entre las que requieren información del estado de la red y las que no lo
requieren. De las estrategias que no requieren información del estado de la red, la que
muestra mejor desempeño en término de probabilidad de bloqueo es el algoritmo
First-Fit (FF).
El algoritmo First-Fit mantiene una lista ordenada de las longitudes de onda
existentes en la red. Cuando se procesa una solicitud de conexión, luego de
determinar la ruta que debe ser utilizada, se recorre la lista de manera ordenada. Al
recorrer la lista, la primera longitud de onda que esté disponible en todos los enlaces
de la ruta es escogida y asignada.
Modelos
25
Cuando la estrategia de Shortest Path (SP) para ruteo se utiliza en conjunto
con la de First-Fit (FF) para asignación de longitud de onda, el algoritmo se
denomina SP-FF.
2.4.2 Algoritmo Adaptive Unconstrained Routing-Exhaustive (AUR-E)
Este algoritmo pertenece a la clase de ruteo adaptivo [14] y posee el mejor
desempeño en términos de probabilidad de bloqueo a la fecha. Sin embargo, también
es el que posee mayor complejidad computacional y, por ello, es el más lento [41].
El algoritmo representa la red por varios grafos [39]: uno por cada longitud de
onda en la red. Cada grafo tiene los mismos nodos del grafo que representa a la red
original, pero los enlaces presentes en los distintos grafos son diferentes y varían con
el tiempo: el grafo correspondiente a la longitud de onda i-ésima tiene los mismos
enlaces de la red original, excepto aquellos donde la longitud de onda i-ésima se
encuentran utilizada por alguna conexión. Cuando se procesa una solicitud de
conexión, se ejecuta el algoritmo de Dijkstra en los diferentes grafos. De todas las
rutas generadas (una por grafo), se escoge la ruta de menor costo. Implícitamente, al
escoger la ruta de un grafo se está escogiendo la longitud de onda a usar. Los enlaces
de esta ruta se eliminan del grafo correspondiente y sólo se reinsertan cuando la
conexión termina.
Modelos
26
2.5 Contratos de Calidad de Servicio (QoS)
Al dimensionar una red, uno de los requerimientos que el operador debe
cumplir es el contrato de calidad de servicio acordado con el cliente. Este contrato
define los valores que deben tener determinados parámetros que miden la calidad del
servicio ofrecido. Por ejemplo, se puede exigir que el tiempo para establecer una
conexión no exceda un determinado valor, o que la probabilidad de bloqueo al
intentar transmitir información no exceda un umbral preestablecido.
En el área de servicios Web [13], se pueden encontrar dos tipos de contratos,
los cuales se diferencian en las exigencias impuestas sobre los parámetros de servicio:
el contrato estricto de calidad de servicio y el contrato flexible de calidad de servicio.
Un contrato estricto impone restricciones que deben ser cumplidas en todo
momento. Por ejemplo, una exigencia estricta sobre la probabilidad de bloqueo es que
ésta no puede superar un valor límite en ningún instante durante la operación de la
red. Como resultado de esta exigencia, es posible que gran parte del tiempo de
operación de la red ésta se encuentre sobredimensionada. Esto ocurre si la carga de
tráfico ofrecida a la red varía en el tiempo y alcanza un valor mucho más alto que el
promedio durante un pequeño intervalo de tiempo. Para cumplir el contrato de calidad
de servicio, el dimensionamiento de la red quedaría dominado por los momentos en
que exista mayor carga de tráfico. Durante el resto del tiempo se tendrá una capacidad
Modelos
27
ociosa destinada sólo a los momentos en que el tráfico aumente. Un ejemplo de esta
situación se encuentra en [12].
En cambio, el contrato flexible de calidad de servicio permite una holgura a
las restricciones impuestas. Por ejemplo, una exigencia flexible sobre la probabilidad
de bloqueo puede ser que ésta no supere un valor límite durante el 95% del tiempo
que opere la red. Esta holgura permite tolerar pequeños momentos en los cuales el
tráfico en la red aumente, evitando el sobredimensionamiento causado en el caso del
contrato estricto. En la Figura 2.4 se ilustra el potencial beneficio de operar con
contratos flexibles. En la imagen superior, los enlaces de la conexión poseen
capacidad W y con esta capacidad, el límite de probabilidad de bloqueo permitido se
supera durante una fracción del tiempo de operación. La imagen inferior izquierda
posee capacidad W+1, lo que permite disminuir la probabilidad de bloqueo pero
sobredimensiona los recursos para los periodos que cumplían con el límite
inicialmente. La imagen inferior derecha la capacidad es W, pero se aplica un
contrato flexible con lo cual no se requiere aumentar la capacidad.
Modelos
28
Figura 2.4: (a) Red con capacidad W y violación a contrato estricto, (b) red con capacidad W+1 y cumplimiento de contrato estricto (c) red con capacidad W y cumplimiento de contrato flexible.
2.6 Resumen
En este capítulo se describió el funcionamiento de una red dinámica WDM del
tipo fin a fin, introduciendo la notación que será utilizada en los capítulos siguientes.
Además se presentó el modelo de tráfico que se utilizará en este trabajo, como
también las distintas formas de distribución que pueden tener los valores de carga de
tráfico en una matriz. Por otro lado, se describieron dos algoritmos de ruteo y
asignación de longitudes de onda, los cuales son necesarios para determinar los
recursos que se asignan a las solicitudes de conexión. Finalmente, se introdujo el
concepto de calidad de servicio y las características de contratos estrictos y flexibles
de calidad de servicio, conceptos necesarios para formular, posteriormente, la
propuesta de tesis.
29
Capítulo 3
Modelos Matemáticos
En este capítulo se hace una revisión de la literatura en el tema de modelos
matemáticos para el cálculo de la probabilidad de bloqueo de las redes dinámicas
WDM con ruteo fijo, profundizando en los modelos para redes con capacidad de
conversión de longitud de onda. Estos modelos servirán de base para generar un
nuevo modelo matemático y resolver de manera analítica el problema del
dimensionamiento de redes WDM dinámicas bajo tráfico multi-hora (capítulo
siguiente) en los casos que dichos modelos sean aplicables.
3.1 Introducción
Respecto de la técnica de simulación, un modelo matemático permite evaluar
rápidamente la probabilidad de bloqueo de las conexiones. Esta rapidez es
Modelos Matemáticos
30
particularmente relevante cuando se realiza el dimensionamiento de una red, que es
un proceso repetitivo de modificación de capacidad y evaluación de probabilidad de
bloqueo. Además, un modelo matemático tiene la ventaja de entregar expresiones
explícitas que pueden ser utilizadas para plantear problemas de optimización.
En la literatura especializada se han propuesto diversos modelos matemáticos
de evaluación de la probabilidad de bloqueo de redes ópticas. Estos se pueden
catalogar en base a las características de la red (si tiene o no capacidad de conversión
de longitud de onda) y el tipo de algoritmo de asignación de recursos (rutas y
longitudes de onda) empleado. La Figura 3.1 muestra una clasificación de los
distintos métodos existentes en el área, considerando redes con capacidad de
conversión de longitud de onda y ruteo fijo.
Figura 3.1: Modelos de probabilidad de bloqueo para redes con conversión de longitud de onda y ruteo fijo.
Modelos Matemáticos
31
El esquema de clasificación de la Figura 3.1 muestra que la probabilidad de
bloqueo de una conexión se puede calcular por medio de dos modelos propuestos
hasta ahora: el modelo de independencia de enlaces o el método de Busy Wavelength.
El modelo de independencia de enlaces supone que los enlaces bloquean las
solicitudes de conexión de manera independiente. En base a esta suposición, para
obtener la probabilidad de bloqueo de una conexión se calcula la probabilidad de
bloqueo de cada enlace de la ruta de la conexión por separado. A su vez, la
probabilidad de bloqueo de los enlaces se puede calcular por medio de los modelos de
pérdida de Erlang-B y de Engset. Una explicación detallada de estos modelos de
pérdida en un contexto general se encuentra en [15]. El modelo de independencia de
enlaces ha sido ampliamente utilizado en la literatura dedicada al análisis de redes
ópticas [17, 24, 25, 27, 28].
El método de Busy Wavelength fue propuesto en [23] y consiste en calcular la
probabilidad de que una longitud de onda esté siendo usada en un enlace. Con la
probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace, se calcula la probabilidad
de bloqueo del enlace. Entonces se aplica el método de independencia de enlaces para
calcular la probabilidad de bloqueo de las conexiones.
Si bien el método de Busy Wavelength se podría clasificar como una forma
más para calcular la probabilidad de bloqueo de un enlace en el modelo de
independencia de enlaces, se prefiere clasificar en una categoría distinta debido a que
Modelos Matemáticos
32
también se puede utilizar en el caso de redes con ruteo fijo y sin conversión de
longitud de onda. Al no existir conversión de longitud de onda, el modelo de
independencia de enlaces no se puede aplicar debido a que las longitudes de onda
están relacionadas a lo largo de una ruta y, por lo tanto, los bloqueos que ocurran en
un enlace afectarán fuertemente a los otros enlaces de una misma ruta. En cambio, el
método de Busy Wavelength se puede aplicar modificando la forma de calcular la
probabilidad de bloqueo de las conexiones, pero manteniendo el principio de usar la
probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace.
En general, las expresiones para calcular la probabilidad de bloqueo de las
conexiones en una red con conversión de longitud de onda no se pueden aplicar en
una red sin conversión de longitud de onda. Por lo tanto, para este último caso existe
otro conjunto de métodos, los que se clasifican según se muestra en la Figura 3.2. En
la Figura se clasifican sólo los métodos aplicables al caso de ruteo fijo.
Figura 3.2: Modelos de probabilidad de bloqueo para redes sin conversión de longitud de onda y ruteo fijo.
Modelos Matemáticos
33
En la Figura 3.2, a diferencia del caso con conversión de longitud de onda, se
requiere definir el algoritmo de asignación de longitudes de onda que se utilizará
debido a que distintas políticas de asignación de longitudes de onda requerirán
análisis distintos. La clasificación realizada muestra los casos de asignación de
longitud de onda usando los algoritmos First-Fit y Random-Fit [14]. El algoritmo
First-Fit mantiene una lista ordenada de las longitudes de onda existentes en la red.
Cuando se procesa una solicitud de conexión, luego de determinar la ruta que debe
ser utilizada, se recorre la lista de manera ordenada. Al recorrer la lista, la primera
longitud de onda que esté disponible en todos los enlaces de la ruta se escoge como
longitud de onda a asignar a la conexión. En cambio, Random-Fit requiere primero
determinar que longitudes de onda están disponibles en la ruta seleccionada.
Entonces, se escoge y asigna de manera aleatoria alguna longitud de onda del
conjunto de longitudes de ondas disponibles.
En el caso que el algoritmo de asignación de longitudes de onda sea First-Fit,
existen tres grandes grupos de métodos de evaluación de la probabilidad de bloqueo
de la conexión: Object Independence [64, 69], Layered Graph [63, 66, 68, 70] y
Wavelength Usage [65]. El método Object Independence supone que existen dos
tipos de objetos en la red: un tipo corresponde a los “enlaces libres” los cuales son
enlaces que poseen capacidad disponible para atender nuevas solicitudes de conexión;
y el otro tipo corresponde a “rutas activas”, donde una ruta activa es el conjunto de
enlaces que componen la ruta y no son “enlaces libres” (es decir, ninguno de los
enlaces de la ruta posee capacidad para atender nuevas solicitudes de conexión). En
Modelos Matemáticos
34
base a esta clasificación, se reemplaza la suposición de independencia de enlace por
independencia de objetos. En un principio este método se presentó para topologías
lineales, luego de lo cual se generalizó para cualquier topología [80]. Una explicación
detallada del método se encuentra en [69]. Por otro lado, el método Layered Graph
representa la red con tantos grafos (capas) como longitudes de onda posea el enlace
con el mayor número de longitudes de onda. Cada capa se analiza de manera
ordenada por separado. Para llevar a cabo el análisis de una capa a la siguiente, se
considera que el tráfico que se inyecta a la capa es igual al tráfico bloqueado en la
capa anterior, lo cual se conoce como Overflow Traffic [70]. Una forma de realizar el
análisis de cada capa es por medio de la probabilidad de que los enlaces posean una
longitud de onda libre en la capa analizada [68]. Otra forma para analizar una capa es
por medio de la descomposición de caminos (Path Decomposition), el cual consiste
en segmentar las rutas en rutas más pequeñas, las cuales son analizadas por medio de
cadenas de Markov [63, 66]. Finalmente, el método de Wavelength Usage separa los
enlaces en dos conjuntos: enlaces sin interferencia y enlaces con interferencia. La
interferencia se refiere al efecto que produce el estado de un enlace sobre otro cuando
se establecen rutas. Para ilustrar el concepto, considérese el siguiente ejemplo: se
tienen dos enlaces contiguos con capacidad máxima de dos longitudes de onda cada
uno. La longitud de onda número uno está siendo utilizada en el primer enlace y la
longitud de onda número dos está siendo utilizada en el segundo enlace. Si se solicita
una ruta que transite por estos dos enlaces, la solicitud será bloqueada a pesar de que
ambos enlaces poseen una longitud de onda libre, debido a que no existe conversión
de longitud de onda. En este caso, el primer enlace interfiere con el segundo y
Modelos Matemáticos
35
viceversa. Para ambos tipos de enlaces, se calcula la probabilidad de que una longitud
de onda en particular esté siendo usada en el enlace analizado. En caso de enlaces sin
interferencia se utiliza el modelo de Erlang-B. En el caso de enlaces con interferencia,
se utiliza el resultado del caso sin interferencias en conjunto con la probabilidad de
que una ruta que utiliza un enlace previo al analizado continúe por el enlace
analizado. Luego, se separa las rutas en dos conjuntos: aquellas que nacen desde el
enlace analizado y las que no. En base a esta clasificación, en conjunto con las
probabilidades calculadas para los enlaces con interferencia, se calcula la
probabilidad de bloqueo de una conexión. Más detalles en [65].
En el caso del algoritmo de asignación de longitudes de onda Random-Fit, los
algoritmos para calcular la probabilidad de bloqueo de las conexiones realizan una
suposición adicional respecto a First-Fit, la cual consiste en suponer que todas las
longitudes de onda de un enlace están igualmente cargadas en tráfico. En base a esta
suposición, los métodos existentes para calcular la probabilidad de bloqueo son el
método de Busy Wavelength [23, 24], Path Decomposition [66] y Idle Wavelength
[25, 67, 71]. Los principios del método de Busy Wavelength son los mismos
explicados en el caso con conversión de longitudes de onda. La diferencia con ese
caso radica en que la probabilidad de uso de una longitud de onda en un enlace se
utiliza para calcular la probabilidad de uso de la longitud de onda en la ruta en vez de
la probabilidad de bloqueo del enlace. Luego, el análisis se extiende a las longitudes
de ondas restantes para finalmente obtener la probabilidad de bloqueo de la conexión.
El método de Path Decomposition pertenece a una sub-rama del método Layered
Modelos Matemáticos
36
Graph presentado en First-Fit. Considerando una ruta como un sistema, la
descomposición de caminos consiste en fragmentar las rutas en subsistemas más
pequeños compuestos de uno o varios enlaces. Un sistema se analiza por medio de
una cadena de Markov cuya solución requiere del análisis de los subsistemas más
pequeños por medio de cadenas de Markov más pequeñas. Luego, los resultados
obtenidos en cada subsistema se combinan para obtener la probabilidad de bloqueo de
las conexiones [79]. Finalmente, el método de Idle Wavlength determina la
distribución de capacidad libre en un enlace por medio de un proceso de nacimiento y
muerte. En base a la distribución obtenida, se calcula la probabilidad que una longitud
de onda en particular esté libre en un enlace, la cual se utiliza para calcular la
probabilidad de que la longitud de onda este libre en una ruta. A partir de ello, se
obtiene la probabilidad de bloqueo de las conexiones.
Una suposición común en los métodos presentados en las Figuras 3.1 y 3.2 es
que el tráfico inyectado en una ruta se mantendrá igual en todos los enlaces de la
misma. Sin embargo, esto es incorrecto ya que, por ejemplo, si una fracción del
tráfico se bloquea en el primer enlace de la ruta, entonces esa fracción de tráfico
bloqueada no transitará por los enlaces siguientes de la misma ruta. Esto disminuirá el
tráfico efectivo ofrecido a los otros enlaces de la ruta. Para resolver este problema,
existen correcciones complementarias a los modelos presentados, las cuales son la
aproximación de carga reducida (Reduced Load [72]) y el efecto de flujos en línea
(Streamline Effect [32]).
Modelos Matemáticos
37
Además, en el caso particular de los métodos para redes sin conversión de
longitud de onda, existe la suposición extra de independencia de longitudes de onda
para la mayoría de los métodos aquí presentados. Es decir, se considera que el estado
de las longitudes de onda de un enlace no afecta el estado de las longitudes de un
enlace adyacente o que el estado de una longitud de onda en un enlace no afecta el
estado de otras longitudes de onda en el mismo enlace. Sin embargo, esta suposición
no es realista. Considérese el siguiente ejemplo: una conexión utiliza la misma
longitud de onda en todos los enlaces de la ruta asignada. Por lo tanto, en una ruta
existe una dependencia en las longitudes de onda entre enlaces vecinos. Debido a
esto, algunos trabajos incluyen una corrección complementaria que permite modelar
la dependencia que existe entre longitudes de onda de distintos enlaces de una ruta
(Correlation Model, [23, 71]) o bien la dependencia entre longitudes de onda de un
mismo enlace (para el caso del algoritmo First-Fit, [65]).
En la Tabla 3.1 se presentan las principales ventajas y desventajas de cada uno
de los modelos matemáticos anteriormente descritos, considerando la dificultad de
implementación, la complejidad computacional y características particulares de cada
modelo:
Modelos Matemáticos
38
Tabla 3.1: Ventajas y desventajas de los modelos matemáticos para ruteo fijo.
elo Ventajas Desventajas
Independencia
de enlaces
- Fácil de implementar
- Baja complejidad computacional
- Suposición valida solo en redes con
conversión de longitud de onda
- Baja precisión en topologías de anillo.
Busy
Wavelength
- Fácil de implementar
- El concepto que involucra el
método se puede aplicar en redes con
y sin capacidad de conversión de
longitud de onda.
- En redes sin conversión, alta complejidad
computacional
- En redes con conversión de longitud de
onda, si se sigue el esquema de [Barry95]
se agrega un paso extra al modelo de
independencia de enlaces.
Object
Independence
- Fácil de implementar
- Baja complejidad computacional,
similar a la del modelo de
independencia de enlaces
- Buen desempeño en topologías de
anillo y malla
- La generalización para cualquier
topología solo funciona en redes con
capacidad de una longitud de onda
Layered Graph
- Incluye modelos de correlación de
longitud de ondas al realizar el
análisis por capas
- Se puede usar en Random-Fit y en
First-Fit
- Difícil de implementar
- Alta complejidad computacional
Wavelength
Usage
- Incluye interferencia entre enlaces
- Se muestra como incluir la
correlación de longitudes de onda
- Difícil de implementar.
- Alta complejidad computacional.
- Solo se presentan resultados para
topologías tipo torus. Desempeño medio.
Idle Wavelength
- Fácil de implementar
- Baja complejidad computacional
- Modelo aplicable sólo con Random-Fit
En las secciones siguientes se profundizará el estudio de los modelos
matemáticos para el caso de redes con conversión de longitud de onda. En particular,
se profundizará en los modelos de Erlang-B y Engset en el cálculo del bloqueo de
enlaces, el modelo de independencia de enlaces en el cálculo del bloqueo de
conexiones, y las aproximaciones de carga reducida y de efecto de flujos en línea. El
Modelos Matemáticos
39
modelo de longitudes de onda usadas no será considerado debido a su bajo uso en la
literatura especializada.
3.2 Modelo de bloqueo de enlaces
3.2.1 Erlang-B
El modelo de pérdidas de Erlang-B permite calcular la probabilidad de
bloqueo de un enlace modelando el estado del mismo mediante una cadena de
Markov (Figura 3.3).
Figura 3.3: Cadena de Markov que modela el proceso de ocupación de canales en un enlace con capacidad y población infinita.
Cada nodo de la Figura 3.3 representa la cantidad de canales (en este caso,
longitudes de onda) utilizados en un enlace, mientras que las flechas indican las
transiciones posibles entre estados. La tasa de llegada promedio de solicitudes de
establecimiento de conexión al enlace es representada por , mientras que el tiempo
medio que una conexión usa el enlace se denota por . representa la capacidad
máxima (longitudes de onda) del enlace .
Modelos Matemáticos
40
El modelo Erlang-B supone que el tráfico de la red es homogéneo, es decir,
cada par de nodos cursará la misma cantidad de tráfico en la red. También, el modelo
supone una cantidad de usuarios muy grande respecto a los recursos existentes en el
sistema analizado. Debido a esto, se puede aproximar la tasa de llegada a un valor
constante. Por ejemplo, suponga que existen 10000 usuarios, 10 longitudes de onda y
que la tasa de generación de solicitudes de establecimiento de conexión por usuario es
de 1 . Cuando el enlace se encuentra en el estado 0
(ninguna conexión establecida), la tasa de llegada de solicitudes de establecimiento
de conexión al enlace es de 10000 . Cuando el enlace
se encuentra en el estado 1 (una longitud de onda ocupada por una conexión), la tasa
de llegada de solicitudes de establecimiento de conexión al enlace es de
9999 . Cuando el enlace se encuentra en el estado 10
(todas las longitudes de onda ocupadas), la tasa de llegada de solicitudes de
establecimiento de conexión al enlace es de 9991. Dado que la variación entre la
menor y mayor tasa de llegada de solicitudes de conexión no es significativa, el
análisis se simplifica al considerar que la tasa de llegada en todos los estados es igual
al valor inicial 10000.
Al evaluar la probabilidad de que cuando una solicitud de conexión llegue
encuentre todas las longitudes de onda ocupadas, se obtiene la siguiente expresión
para la probabilidad de bloqueo del enlace , :
Modelos Matemáticos
41
Donde es la carga de tráfico total ofrecida al enlace , medida en Erlangs.
El modelo de pérdidas de Erlang-B es ampliamente utilizado en el análisis y
diseño de las redes tradicionales de conmutación de circuitos y por lo tanto es natural
que se utilicen también en redes WDM [24, 25, 27, 32, 63, 66, 70].
3.2.2 Engset
El modelo Engset es similar al modelo de pérdidas Erlang-B, diferenciándose
en la suposición del tamaño de la población. Mientras que Erlang-B considera una
población infinita de usuarios, el modelo Engset supone una población finita, donde
cada fuente genera tráfico de acuerdo a un modelo ON-OFF. Esto lleva a modelar el
sistema con una cadena de Markov con valores de tasas de llegada distintas del caso
del modelo Erlang-B (Figura 3.4). Una explicación más detalla de las diferencias
entre el modelo Erlang-B y Engset se encuentra en [81].
Modelos Matemáticos
42
Figura 3.4: Cadena de Markov modela el proceso de ocupación de canales en un enlace con capacidad y población finita.
En la Figura 3.4, representa el número de pares fuente-destino cuyas rutas
usan el enlace , mientras que es la tasa de llegada de solicitudes de conexión de un
par fuente-destino (a diferencia del caso de la fórmula Erlang B, donde representa
la tasa de llegada de solictudes de conexión de la población completa) y es la tasa
de atención de una conexión.
Al evaluar la probabilidad de que cuando una solicitud de conexión llegue
encuentre todas las longitudes de onda ocupadas, se obtiene la siguiente expresión
para la probabilidad de bloqueo del enlace l, [15]:
Donde es la carga de tráfico ofrecida por una fuente al enlace .
Modelos Matemáticos
43
Una forma alternativa para calcular es por medio de los valores de carga de
tráfico. Para esto se deben encontrar expresiones alternativas para los valores de las
tasas de (3.4). Las expresiones (3.5) y (3.6) corresponden a las definiciones de y
respectivamente, mientras que la definición de se encuentra en la expresión (2.1).
Debido a la suposición de trafico homogéneo, se omite el índice de ruta en . La
expresión (3.7) muestra los pasos para obtener la equivalencia entre las tasas y la
carga de tráfico. La expresión (3.8) es el valor de utilizando los valores de carga de
tráfico.
El modelo de pérdidas Engset se ha utilizado en algunos trabajos en el área de
redes WDM como [17, 28-31].
3.3 Bloqueo de conexiones: Modelo de independencia de enlaces
Este modelo supone que cada enlace de una ruta experimenta un nivel de
bloqueo que no depende del nivel de bloqueo experimentando por los otros enlaces de
la misma. Es decir, supone que cada enlace es un sistema aislado respecto a los otros.
Modelos Matemáticos
44
Si bien esta suposición es válida en redes donde todas las rutas se componen de un
único enlace, en la mayoría de los casos esto no es así.
Al hacer esta suposición, el cálculo de bloqueo de cada enlace de una
conexión se realiza independientemente del resto de la red, aplicando los métodos de
la sección 3.2. Como resultado, la expresión para el bloqueo de una conexión entre un
par de nodos , está dada por:
La fórmula (3.9) muestra que una conexión no se bloqueará cuando cada
enlace de la ruta posea al menos una longitud de onda libre. La probabilidad de que
un enlace posea al menos una longitud de onda libre es igual al complemento de la
probabilidad de bloqueo del enlace ( ).
Al obtener la probabilidad de bloqueo de cada conexión, se puede obtener la
probabilidad de bloqueo de la red, Bnet, por medio de (3.10).
Modelos Matemáticos
45
Si todas las tasas de atención de las conexiones son iguales entonces Bnet
también se puede obtener por medio de las cargas de tráfico. Para ello, tanto el
numerador como el denominador de (3.10) deben ser divididos por , luego de lo
cual se aplica la equivalencia de (3.7). La expresión (3.11) es el valor de
utilizando los valores de carga de tráfico.
3.4 Correcciones al cálculo del bloqueo de conexiones
Los modelos de carga reducida y de efecto de flujos en línea (streamline
effect) son aproximaciones que se orientan a disminuir el impacto de la suposición de
la independencia entre enlaces en el cálculo de la probabilidad de bloqueo de las
conexiones. Estos modelos se describen a continuación.
3.4.1 Carga Reducida (Reduced Load)
La aproximación de carga reducida corrige la suposición de independencia de
bloqueo entre enlaces por medio de correcciones a la carga de tráfico ofrecida a los
enlaces de una ruta. Las correcciones al tráfico en un enlace dependerán de la
probabilidad de bloqueo de los otros enlaces de la ruta. Sin embargo, la probabilidad
de bloqueo de los enlaces depende a su vez del valor de la carga de tráfico. Para
resolver esta dependencia entre expresiones, se utiliza un proceso iterativo de punto
Modelos Matemáticos
46
fijo. Es decir, se debe iniciar el cálculo suponiendo algún valor para la probabilidad
de bloqueo de los enlaces (típicamente, este valor se supone igual a cero) a partir del
cual se evalúa el valor de la carga de tráfico. Con este valor de carga de tráfico se
calcula el valor de la probabilidad de bloqueo. Si este valor resulta igual al valor
inicialmente supuesto, el proceso se detiene. De lo contrario, este nuevo valor de
bloqueo se utiliza para realizar todo el proceso de nuevo. El proceso termina cuando
los valores convergen o existe un error aceptable entre los valores de dos iteraciones
consecutivas.
En la literatura, cuando se utiliza esta corrección con modelos de bloqueo de
enlaces, siempre se utiliza el modelo de Erlang-B. El autor de esta tesis es de la
opinión que el motivo principal de este hecho se debe a que la corrección genera que
cada ruta aporte carga de tráfico de distinto valor al enlace, lo cual impide utilizar
directamente el modelo Engset que requiere un valor único de tráfico para todas las
rutas. Debido a que el modelo utilizado siempre es el de Erlang-B, esta corrección
también se conoce con el nombre de “ecuación de Erlang de punto fijo” (Erlang
fixed-point equation [70]).
Existen dos versiones de esta aproximación: Carga Reducida (Reduced Load),
presentada en [72], y Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load),
introducida recientemente en [27]. En las sub-secciones siguientes se describe cada
una de estas versiones.
Modelos Matemáticos
47
3.4.1.1 Aproximación de Carga Reducida [72]
La corrección modifica la forma en que se calcula la carga de tráfico total
ofrecida a un enlace. Para esto, se considera la probabilidad de bloqueo de todos los
enlaces de la ruta excepto el enlace analizado. Esto queda reflejado en la fórmula
(3.13) [72], la cual corrige el cálculo de la carga de tráfico ofrecida al enlace (Al)
dado por la fórmula 3.2 (de la sección 3.2.1) en el modelo Erlang-B.
En donde y son las tasa de llegada y la tasa de atención de la
conexión respectivamente.
es la carga de tráfico ofrecida a un enlace
debido a la ruta . La expresión en el límite de la pilatoria de la
ecuación (3.12) significa “todos los enlace de la ruta excepto el enlace l”,
mientras que la expresión en el límite de la sumatoria de la ecuación
(3.13) significa “todos los pares de nodos cuyas rutas usen el enlace l”.
Una interrogante que puede surgir de la expresión (3.12) es por qué se
consideran tanto los enlaces previos como los posteriores al enlace analizado y no
sólo los enlaces que están antes (“aguas arriba”) del enlace bajo análisis. En el caso
de los enlaces previos al enlace analizado, es claro que si alguno de ellos bloquea la
Modelos Matemáticos
48
solicitud de conexión es imposible que circule tráfico por un enlace posterior. En el
caso de los enlaces posteriores, se consideran debido a que si alguno de ellos bloquea
la solicitud de conexión, como la red es del tipo fin a fin la ruta no se establecerá,
siendo nuevamente imposible que circule tráfico por el enlace bajo análisis.
La expresión (3.12) requiere las probabilidades de bloqueo de todos los
enlaces excepto del enlace analizado para su uso. Una forma distinta de escribir la
expresión (3.12) es la siguiente [16, 25]:
La ecuación (3.14) se obtiene al reemplazar la expresión
de la ecuación (3.12) por
. La equivalencia entre ambas expresiones se
demuestra en las ecuaciones (3.15) y (3.16).
Las expresiones (3.12) y (3.14) se encuentran en la literatura. Sin embargo, la
expresión (3.14) posee la ventaja de ser computacionalmente menos compleja que la
Modelos Matemáticos
49
expresión (3.12), debido a que se puede reutilizar el valor de la probabilidad de
bloqueo de una conexión en varios enlaces.
Para ilustrar el uso de la aproximación de carga reducida, se calculará el valor
de la carga de tráfico ofrecida al enlace 2 de la Figura 3.5. Esta figura muestra una
ruta de 3 enlaces en la cual una conexión que ofrece tráfico a la red se inicia en el
nodo 0 y finaliza en el nodo 3 pasando por los 3 enlaces de la figura. Las tasas de
llegada y atención son iguales a 1, por lo que
. Supóngase que las
probabilidades de bloqueo de los enlaces son (estos valores son
ilustrativos para el ejemplo y no necesariamente coinciden con los obtenidos por el
modelo de Erlang-B).
Figura 3.5: Ruta de 3 enlaces.
Sin la corrección de carga reducida el valor de la carga de tráfico ofrecida al
enlace 2 sería (fórmula 3.2), lo que equivale a la carga ofrecida por la
conexión a la ruta. Sin embargo, esto no es correcto debido a que, cuando el enlace 1
o el enlace 3 no posean suficientes recursos, la solicitud de conexión será bloqueada y
en tales casos no se ofrecerá tráfico en el enlace 2. En cambio, la corrección si
Modelos Matemáticos
50
considera esta situación y, al aplicar la fórmula (3.13) la carga de tráfico ofrecida al
enlace 2 queda .
Esta versión de la corrección fue presentada en [16] y es ampliamente
utilizada en la literatura [24, 25, 63, 66, 68, 71, 73, 74].
3.4.1.2 Carga Reducida Generalizada (Generalised Reduced Load)
Presentada en [27], ésta corrección extiende la aproximación de carga
reducida presentada en la sección 3.4.1.1 al considerar también el estado del enlace a
analizar. Un enlace recibirá tráfico de una ruta cuando se pueda establecer la
conexión asociada a la ruta (en donde circulará tráfico por el enlace) o bien cuando es
el enlace mismo el que provoca el bloqueo de la conexión (si bien no circula tráfico
en este caso, al enlace sí le llegan solicitudes de conexión las cuales deben ser
consideradas). Este último caso es el que hace la diferencia con respecto a la
aproximación de carga reducida, lo cual puede observarse al descomponer la
expresión (3.12) mostrada en (3.17). El segundo sumando (el de la derecha)
representa la diferencia con la aproximación de carga reducida generalizada debido a
que en la expresión (3.17), cuando el enlace bajo análisis bloquea la conexión, sólo
considera el tráfico si los otros enlaces de la ruta no bloquean la conexión.
Modelos Matemáticos
51
La carga de tráfico ofrecida a un enlace debido a la ruta con la
corrección de carga reducida generalizada queda determinada por (3.18). Para
calcular la carga de tráfico total sobre el enlace , se utiliza (3.19).
Por ejemplo, considerando el mismo caso presentado en la sección 3.4.1.1, el
factor de corrección es la probabilidad de que la ruta no se bloquee más la
probabilidad de que el enlace 2 se bloquee (fórmula 3.19), lo que da una carga
ofrecida al enlace 2 de . Este valor de
carga de tráfico es mayor que el obtenido en la aproximación de carga reducida
debido a que se consideran los casos en los que, cuando el enlace 2 bloquea la
conexión, los enlaces 1 y 3 puedan estar bloqueando o no bloqueando la conexión (a
diferencia de la aproximación de carga reducida, en la cual solo se consideran los
casos en los que los enlaces 1 y 3 no están bloqueando la conexión).
En la literatura no es posible encontrar una comparación entre la
aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada. Debido a esto, una
contribución adicional de este trabajo será efectuar una comparación entre estos
métodos, la cual se realizará en el Capitulo 5.
Modelos Matemáticos
52
3.4.2 Efecto de Flujos en Línea (Streamline Effect)
Esta corrección consiste en ajustar la carga de tráfico ofrecida a un enlace
considerando los efectos de la contención que ocurre en los enlaces previos al
analizado. Por ejemplo, en la Figura 3.6 se tienen los enlaces A y B, por los cuales
transita tráfico proveniente de distintas conexiones las cuales siempre están activas
(es decir, para todas las conexiones). Todas las conexiones utilizan el enlace B.
La capacidad de cada enlace es 2 longitudes de onda. Se desea analizar la carga de
tráfico en el enlace B.
Figura 3.6: Ejemplo de contención de tráfico en enlaces que reciben un número de conexiones mayor al número de canales.
Sin utilizar la corrección, el análisis de probabilidad de bloqueo para el enlace
B se realiza considerando las 4 cargas de tráfico (las 3 provenientes del enlace A y la
que ingresa por el nodo 1, de color café). En cambio, al considerar el efecto
Streamline, la carga de tráfico ofrecida sobre el enlace B será menor debido a que la
contención en el enlace A bloqueará una parte de la carga de tráfico. Para usar la
Modelos Matemáticos
53
corrección sobre el enlace B, se debe analizar los enlaces predecesores que puedan
provocar contención. En este caso, en el enlace A existen 3 cargas de tráfico que
compiten por los recursos del enlace, de los cuales sólo dos podrán continuar su
camino. Por lo tanto, el análisis de probabilidad de bloqueo sobre el enlace B se debe
realizar con 3 cargas de tráfico (2 provenientes del enlace A más la de color café).
La carga de tráfico bloqueada ( ) y la probabilidad de bloqueo corregida
( ) se presentan en las fórmulas (3.20) y (3.21) respectivamente [17].
En donde es la lista de enlaces inmediatamente anteriores al
enlace de todas las rutas que pasan por el enlace y es la carga de tráfico total
ofrecida al enlace .
El efecto de flujos en línea se presentó por primera vez en el área de redes
WDM en [32], aplicándolo en redes OBS en conjunto con el modelo de Erlang-B.
Luego, el autor continúo usando esta corrección en [33] y [75]. Posteriormente, en
[17] se adapta la corrección para utilizar en redes fin a fin con tráfico ON-OFF en
conjunto con el modelo Engset.
Modelos Matemáticos
54
3.5 Resumen
En este capítulo se presentaron distintos modelos matemáticos para redes
dinámicas WDM con ruteo fijo, profundizando en los modelos para redes con
capacidad de conversión de longitud de onda. Además, se presentaron las
correcciones para las cargas de tráfico que permiten mejorar la precisión para calcular
la probabilidad de bloqueo de las conexiones, indicando como introducirlas en los
modelos en base a lo expuesto en la literatura especializada.
En el capitulo siguiente, los modelos y correcciones presentados se utilizarán
para la generación de nuevos modelos a partir de combinaciones no realizadas en la
literatura.
55
Capítulo 4
Propuesta
En este capítulo se presenta la propuesta de tesis. Se comienza con el
desarrollo de la combinación de modelos matemáticos, describiendo las distintas
combinaciones consideradas. Posteriormente, se expone el contrato flexible de
calidad de servicio considerado.
Si bien el tema de utilizar modelos más realistas para la generación de
matrices de tráfico fue parte del trabajo de tesis, no requiere mayor extensión que la
entregada en el capítulo 2, por lo que no será abordado en este capítulo.
Propuesta
56
4.1 Modelos Matemáticos
4.1.1. Engset y Corrección de Carga Reducida
La primera integración que se propone es utilizar el modelo de pérdidas
Engset presentado en la sección 3.2.2 del Capítulo 3 con la corrección de carga
reducida presentada en la sección 3.4.1 del mismo Capítulo (por corrección de carga
reducida se hace referencia tanto a la aproximación de carga reducida como a la
aproximación de carga reducida generalizada). Hasta ahora, los modelos de carga
reducida sólo se han aplicado en combinación con el modelo de pérdidas Erlang-B.
En la integración de métodos, para calcular la probabilidad de bloqueo de un enlace
se utiliza la expresión (3.3), correspondiente a la fórmula del modelo Engset. Para ,
la carga de tráfico ofrecida al enlace l por una fuente cualquiera, las expresiones
entregadas por la aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada
(expresiones 3.12 y 3.18 respectivamente) no se pueden usar directamente en el
modelo de pérdidas debido a que el modelo Engset supone que todas las fuentes
ofrecen la misma carga de tráfico al enlace mientras que la corrección de carga
reducida provoca que el valor corregido de las cargas de tráfico ofrecidas por cada
fuente al enlace analizado sean, en general, distintas. Por lo tanto, surge el problema
de qué valor de carga de tráfico se debe entregar al modelo de pérdidas de Engset.
La solución utilizada en este trabajo consiste en tomar el valor promedio de
todas las cargas de tráfico ofrecidas al enlace analizado. Entonces, la carga de tráfico
Propuesta
57
ofrecido por una fuente al enlace (fórmula 3.8) se corrige utilizando la siguiente
expresión:
El término se calcula por medio de (3.13) para la aproximación de carga
reducida, o bien por medio de (3.19) para la aproximación de carga reducida
generalizada. La expresión en el límite de la sumatoria del denominador
de la ecuación (4.1) significa “todos los pares de nodos cuyas rutas usen el enlace l”.
Este problema no ocurre en la combinación tradicional de Erlang-B con carga
reducida debido a que Erlang-B trabaja con la totalidad del tráfico, sumando todas las
cargas de tráfico ofrecidas al enlace.
En la Figura 4.1 se presenta el diagrama de flujo del algoritmo de punto fijo
que calcula la probabilidad de bloqueo de cada conexión utilizando la combinación
propuesta (Engset + Corrección de carga reducida).
Propuesta
58
Figura 4.1: Combinación de modelo de pérdidas Engset con corrección de carga reducida.
Como se aprecia en el diagrama de flujo, primero se asigna un valor de
probabilidad de bloqueo arbitrario a cada conexión (bloque 1 del diagrama de flujo).
Luego, se calculan los valores de carga de tráfico por medio de la corrección de carga
reducida utilizando este valor arbitrario inicial (bloque 2). Estos valores de carga de
tráfico se utilizan posteriormente para obtener los valores de probabilidad de bloqueo
de los enlaces por medio del modelo de pérdidas Engset (bloque 3). Estos nuevos
valores de probabilidad de bloqueo se utilizan para obtener nuevos valores de carga
de tráfico utilizando la corrección de carga reducida. El ciclo de ejecución de la
corrección de carga reducida y cálculo de probabilidad de bloqueo con el modelo
Engset se detendrá cuando la diferencia de los valores de probabilidad de bloqueo de
cada conexión de las dos últimas iteraciones (respecto del valor de la penúltima
iteración) sea menor a un valor preestablecido (bloque 4).
Propuesta
59
4.1.2. Engset y Corrección de Carga Reducida con Efecto de Flujos en Línea
La segunda integración que se propone es combinar la corrección de carga
reducida y el efecto de flujos en línea usando el modelo de perdidas Engset, con la
finalidad de generar una aproximación más precisa ya que, mientras la corrección de
carga reducida maneja el problema de dependencia entre enlaces de una misma ruta,
la aproximación de efectos de flujos en línea maneja el problema de dependencia
entre rutas que utilizarán un mismo enlace.
En la Figura 4.2 se presenta el diagrama de flujo del algoritmo de punto fijo
que calcula la probabilidad de bloqueo de cada conexión mediante la combinación
descrita. La sección encerrada con línea segmentada corresponde al mismo algoritmo
de la sección anterior.
Figura 4.2: Combinación de correcciones de carga reducida y efecto de flujos en línea.
Propuesta
60
Como se aprecia en el diagrama de flujo, primero se aplica el mismo
algoritmo descrito en la sección anterior. Cuando el algoritmo de la sección anterior
termina (i.e. los valores de probabilidad de bloqueo cumplan la condición del bloque
4), se aplicará la aproximación de flujos en línea a los valores de cargas de tráfico y
probabilidades de bloqueo obtenidos en el algoritmo de punto fijo (bloque 6).
Los resultados obtenidos con las dos combinaciones aquí descritas se
presentan en el Capítulo 5.
4.2 Contratos flexibles de calidad de servicio
En este trabajo se propone usar un contrato flexible de calidad de servicio en
el que se exige que la probabilidad de bloqueo promedio de cada conexión no supere
un valor límite. Al solicitar que el valor promedio y no el valor instantáneo de la
probabilidad de cada conexión no exceda un límite, se flexibiliza el requerimiento de
calidad de servicio ofrecido a la conexión. Para calcular el valor promedio de la
probabilidad de bloqueo de la conexión se utiliza la fórmula 4.2.
Siendo la probabilidad de bloqueo de la conexión en el intervalo , la
tasa de llegada de la conexión en el intervalo y la duración del intervalo .
Propuesta
61
Con la expresión (4.2) se obtiene el valor promedio de la probabilidad de
bloqueo de la conexión desde el punto de vista del usuario. Es decir, el valor de
probabilidad de bloqueo representa lo que efectivamente un usuario experimenta al
usar esa conexión, incluyendo la intensidad del tráfico de cada periodo. Otra forma de
obtener el valor promedio de probabilidad de bloqueo es por medio de la expresión
(4.3), la cual representa el punto de vista de quien ofrece el servicio.
Debido a que interesa dar una calidad de servicio al usuario, se dimensionará
utilizando la expresión (4.2).
Para determinar el dimensionamiento de una red dinámica con capacidad
homogénea (es decir, a todos los enlaces se les asigna el mismo número de canales)
bajo las exigencias del contrato flexible, se programó el algoritmo cuyo diagrama de
flujo se presenta en la figura 4.3.
Propuesta
62
Figura 4.3: Dimensionamiento con capacidad homogénea.
El primer paso que se ejecuta con este algoritmo consiste en establecer la
capacidad de todos los enlaces de la red igual a 1 canal (longitud de onda). Luego, se
evalúa la probabilidad de bloqueo media de cada conexión durante el total del tiempo
de observación. En este paso, el valor de la probabilidad de bloqueo de cada periodo
se puede obtener por medio de simulación o por modelos matemáticos. Si se realiza
por simulación se utiliza el modelo de tráfico presentado en la sección 2.3 del
Capítulo 2. Si se realiza por medio de un modelo matemático se utiliza alguno de los
modelos presentados en el Capitulo 3 para el caso de ruteo fijo con conversión de
longitud de onda. También se puede utilizar alguno de los modelos presentados como
propuesta en la sección anterior de este capítulo, si obtienen mejores resultados que
los modelos de la literatura. Posteriormente, se verifica que la probabilidad de
bloqueo media de cada conexión se encuentre por debajo del valor límite . Si
alguna conexión supera el valor límite, se aumenta la capacidad de la red en un canal
por enlace y se vuelve a evaluar. En caso contrario, significa que se encontró la
capacidad mínima que cumple el requerimiento del contrato y el algoritmo termina.
Propuesta
63
Este algoritmo se aplica en el Capítulo 5 para determinar el dimensionamiento
de redes dinámicas fin a fin bajo tráfico variante en el tiempo con contrato flexible.
4.3 Resumen
En este capítulo se desarrolló la propuesta de tesis en el área de modelos
matemáticos y en contratos de calidad de servicio. En el área de modelos
matemáticos, se describieron 2 combinaciones de aproximaciones para el cálculo de
la probabilidad de bloqueo, mostrando los problemas que aparecen al combinar los
métodos y entregando las soluciones utilizadas para resolverlos. En el área de
contratos flexibles, se definió la exigencia de calidad de servicio que se utilizará. En
base a esta exigencia, se generó un algoritmo de dimensionamiento para el caso de
redes con capacidad homogénea. El área de modelos más realistas para la generación
de matrices de tráfico no fue abordado en este capítulo a pesar de ser parte de la
propuesta, debido a que no requiere mayor extensión que la entregada en el capítulo
2.
El capitulo siguiente mostrará los resultados obtenidos al utilizar la propuesta
y serán comparados con los resultados obtenidos en la literatura.
Resultados Numéricos
64
Capítulo 5
Resultados Numéricos
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos para cada línea de
trabajo: modelos matemáticos de evaluación de bloqueo y dimensionamiento de
redes dinámicas con tráfico multi-hora con contratos estrictos y flexibles.
En la primera sección se presentan los resultados obtenidos al comparar los
modelos matemáticos de evaluación de bloqueo propuestos en la literatura para redes
con conversión de longitud de onda y ruteo fijo con las dos propuestas presentadas en
el capítulo 4 de esta tesis.
En la segunda sección se presentan los resultados del dimensionamiento de
una red dinámica con reservación de recursos fin-a-fin para tráfico multi-hora con
contratos estrictos. Para esto se consideran matrices de tráfico más realistas (con
Resultados Numéricos
65
distribución log-normal) que las usadas en trabajos previos, los cuales utilizan
matrices de tráfico con distribuciones uniformes y quasi-uniformes.
Finalmente, en la última sección se presentan los resultados del
dimensionamiento de la red utilizando contratos flexibles de calidad de servicio,
comparándolos con el caso de contratos estrictos.
5.1 Modelos Matemáticos para Evaluación de Bloqueo
Los modelos matemáticos propuestos en el Capítulo 4 (secciones 4.1.1 y
4.1.2) se evaluaron en 6 topologías de malla (ARPANet, EON, Eurocore, Eurolarge,
NSFNet y UKNet) y 2 topologías de anillo (12 y 16 nodos), mostradas en las Figuras
5.1 y 5.2 respectivamente.
Resultados Numéricos
66
Figura 5.1: Topologías de malla.
Figura 5.2: Topologías de anillo.
Para determinar qué método entrega mejores resultados, se compararon las
probabilidades de bloqueo obtenidas por los modelos matemáticos con resultados
obtenidos por simulación. Un modelo será considerado mejor que otro cuando los
valores que entregue sean más cercanos a los valores obtenidos por simulación.
Resultados Numéricos
67
El simulador de eventos discretos desarrollado genera una cantidad de eventos
igual al número de conexiones de la red amplificado por 10.000. Es decir, 104∙N∙(N-
1) solicitudes de conexión por simulación. Por ejemplo, la topología NSFNet posee
14 nodos, lo cual implica que existen 182 conexiones (pares de nodos). Entonces,
para esa red, se generan 1.820.000 eventos por simulación. Un evento en la
simulación corresponde a una solicitud de conexión entre un determinado par de
nodos.
Los periodos ON y OFF se generaron por medio de una distribución
exponencial. El tiempo medio de duración en estado ON se fijó en mientras
que el tiempo medio del estado OFF se ajustó para obtener cargas de tráfico con
valores entre en intervalos de , según la fórmula (2.1). Los valores de
los elementos de la matriz de tráfico (i.e. los valores de las cargas de tráfico de los
distintos pares de nodos de la red) se distribuyen de manera uniforme y se mantienen
constantes durante la simulación.
Se realizaron 20 simulaciones por cada punto graficado, con un intervalo de
confianza de un . Para este nivel de confianza, los resultados obtenidos para
probabilidades de bloqueo mayores a presentaron una diferencia máxima de un
respecto a la media de las 20 simulaciones. En el caso de probabilidades de
bloqueo menores a la diferencia máxima respecto a la media aumentó
considerablemente, por lo que no serán considerados.
Resultados Numéricos
68
En las siguientes secciones se compara el rendimiento de los distintos
modelos matemáticos en términos de su probabilidad de bloqueo. Se presentan
primero los resultados obtenidos con los modelos de pérdida clásicos de Erlang-B y
Engset, luego se comparan los resultados obtenidos utilizando las aproximaciones de
carga reducida y carga reducida generalizada. Posteriormente, los resultados del
mejor modelo de pérdidas con la mejor aproximación de carga reducida se comparan
con los de la aproximación de flujos en línea y los modelos propuestos en el Capitulo
4 (secciones 4.1.1 y 4.1.2).
5.1.1 Erlang-B vs Engset
La primera comparación se efectúa entre los modelos de pérdidas Erlang-B y
Engset, suponiendo independencia de enlaces para el bloqueo de conexiones. Note
que la comparación se lleva a cabo a pesar de que ambos modelos se aplican bajo
suposiciones distintas, con el objeto de confirmar o refutar el uso de uno u otro
modelo en redes dinámicas fin a fin.
La Figura 5.3 muestra los valores del bloqueo promedio de la red para 2
topologías de malla (EON y NSFNET) y las 2 topologías de anillo. Los resultados
para las otras topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el
Anexo A.
Resultados Numéricos
69
Figura 5.3: Probabilidad de bloqueo de red en función de la carga de tráfico
obtenidas mediante simulación, y los modelos Erlang-B y Engset.
En las gráficas de la Figura 5.3, el eje vertical indica la probabilidad de
bloqueo de la red en escala logarítmica, mientras que el eje horizontal indica la carga
de tráfico de las conexiones en escala lineal. En el título del gráfico se indica la
topología utilizada y la capacidad asignada a cada enlace de la red (por ejemplo, la
red EON está equipada con 8 longitudes de onda por enlace). Para una mayor
facilidad de lectura, se han trazado líneas continuas en los gráficos, aunque los
valores obtenidos sólo son los puntos correspondientes a los símbolos de las líneas.
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación Erlang-B Engset
Resultados Numéricos
70
A partir de las gráficas se observa que el modelo de pérdidas Engset genera
resultados más precisos que el modelo Erlang-B. Esto se debe a que el supuesto de
población infinita del modelo Erlang-B no es válido en una red WDM con
reservación de recursos fin a fin, debido a que el número de pares de nodos que
generan tráfico no es significativamente mayor que el número de longitudes de onda
por enlace. Por ejemplo, en la topología Eurolarge, el mayor número de pares de
nodos que utilizan un enlace es de 89, mientras que la capacidad del enlace también
se encuentra en las decenas. Estos resultados se repiten en las topologías no
mostradas: el modelo Engset siempre genera mejores resultados que el modelo de
Erlang-B en este tipo de red.
Un aspecto a destacar es la diferencia del error obtenido por el modelo Engset
entre topologías de malla y topologías de anillo. Mientras que en las topologías de
malla el mayor error registrado es de un en la topología Eurolarge con una
carga de tráfico de y capacidad de longitudes de onda (ver resultados en
Anexo A); en las topologías de anillo se registró un error máximo de un en
el anillo de 16 nodos con una carga de tráfico de y capacidad de 27 longitudes de
onda (ver resultados en Anexo A). Esto se debe a que en las topologías anillo la
suposición de independencia entre los enlaces es menos válida que en las topologías
de malla, por lo que la genera resultados menos precisos en el caso de topologías
anillo.
Resultados Numéricos
71
5.1.2 Carga Reducida vs Carga Reducida Generalizada
La siguiente comparación se realiza entre las distintas versiones de la
corrección de carga reducida. Para obtener la probabilidad de bloqueo de los enlaces
se utiliza el modelo Engset debido a que entrega mejores resultados como se mostró
en la sección 5.1.1. Debido a la combinación Engset – Carga reducida, esta sección
también representa parte de la propuesta de tesis.
Como se describió en la sección 4.1.1 del Capítulo 4, para obtener los valores
de probabilidad de bloqueo, las aproximaciones de carga reducida y carga reducida
generalizada utilizan un algoritmo iterativo de punto fijo, el cual se detiene cuando
los valores convergen o cuando la diferencia entre los valores de dos iteraciones
sucesivas es menor que un cierto valor establecido. En este trabajo, el algoritmo se
detiene cuando la diferencia entre el valor de la probabilidad de bloqueo de una
iteración es de no más de un respecto al valor de probabilidad de bloqueo de la
iteración anterior. Existen también algunos casos en los cuales el algoritmo no
converge a un único valor y queda iterando entre dos valores fijos distantes. Debido a
esto, también se estableció un límite de iteraciones permitidas. El límite de
iteraciones se fijó en 200, debido a que se comprobó empíricamente que el algoritmo,
cuando converge, lo realiza a lo más en 100 iteraciones (normalmente converge en
menos de 30 iteraciones). En los casos en que se sobrepasa el límite de iteraciones, se
revisan los valores de probabilidad de bloqueo de red de cada caso y se conserva
aquel valor que es mayor al valor obtenido para la carga de tráfico anterior. Por
ejemplo, para la aproximación de carga reducida, en el anillo de 12 nodos para una
Resultados Numéricos
72
carga de tráfico y capacidad de 15 longitudes de onda no se obtiene convergencia.
En este caso, los dos valores de probabilidad de bloqueo de red sobre los cuales el
algoritmo permaneció iterando fueron y . Debido a que la
probabilidad de bloqueo de la red para una carga de tráfico de es de ,
entonces se conserva el valor de para la carga de tráfico de .
Los resultados de la comparación de ambas aproximaciones se presentan en
las Figura 5.4 para 2 topologías de malla (EON y Eurolarge), y las topologías de
anillo. Los resultados para las otras topologías, que exhiben resultados similares, se
encuentran en el Anexo B.
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación RL GRL
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación RL GRL
Resultados Numéricos
73
Figura 5.4: Probabilidad de bloqueo de red calculada por simulación, utilizando la
aproximación carga reducida (RL) y la de carga reducida generalizada (GRL) en
función de la carga de tráfico.
En la Figura 5.4, la aproximación de carga reducida se indica por la sigla RL
(Reduced Load) mientras que la carga reducida generalizada por la sigla GRL
(Generalised Reduced Load).
Sólo la aproximación de carga reducida obtuvo casos en los que no se logra
converger a un único valor. Estos casos ocurrieron con una carga de tráfico de en
las 2 topologías de anillo y en la topología Eurolarge.
Es posible apreciar que las dos aproximaciones generan valores muy cercanos
a los valores de simulación. Debido a esto las curvas parecen superpuestas como se
ve en la topología EON. Esta situación se mantiene para todas las topologías de malla
excepto en la Eurolarge, en la cual la aproximación de carga reducida se diferencia de
la curva de simulación en las cargas de tráfico entre y . En la Figura 5.5 se
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W15
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación RL GRL
Resultados Numéricos
74
realiza un acercamiento al gráfico para los resultados de la topología EON de la
Figura 5.4 para facilitar la distinción entre los valores obtenidos por los dos métodos.
Figura 5.5: Probabilidad de bloqueo para la topología EON para aproximaciones de
carga reducida y carga reducida generalizada.
En las topologías de malla, la aproximación de carga reducida alcanza un
error máximo de un en la topología Eurolarge con carga de tráfico de y
capacidad de longitudes de onda (ver resultados en Anexo B), mientras que en las
topologías anillo se registra un error máximo de un en el anillo de 16 nodos
con carga de tráfico de y capacidad de longitudes de onda. En el caso de la
aproximación de carga reducida generalizada, el error máximo en topologías de malla
es de un en la topología Eurolarge con carga de tráfico de y capacidad de
longitudes de onda; mientras que en topologías de anillo el error máximo es de un
en el anillo de 16 nodos con carga de tráfico de y capacidad de
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación RL GRL
Resultados Numéricos
75
longitudes de onda. Por lo tanto, tomando como parámetro de comparación el error
máximo registrado, la aproximación de carga reducida generalizada es mejor que la
aproximación de carga reducida. Sin embargo, comparar en base al máximo error
puede no ser una medida totalmente confiable debido a que puede ser sólo una
singularidad la que provocó el máximo error y, en promedio, puede ser que la
aproximación de carga reducida sea mejor. Por lo tanto, se comparará también en
base al error promedio.
En el caso de la aproximación de carga reducida, de todas las topologías de
malla el máximo error promedio registrado es de un en la topología Eurolarge
con capacidad de longitudes de onda; en topologías anillo, el error alcanza un
en el anillo de 16 nodos con capacidad de longitudes de onda. En el caso
de la aproximación de carga reducida generalizada, el error en topologías de malla es
de un en la topología EON con capacidad de 7 longitudes de onda, mientras
que en topologías de anillo el error alcanza un en el anillo de 16 nodos con
capacidad de longitudes de onda. Por lo tanto, con este segundo criterio de
comparación se confirma que la aproximación de carga reducida generalizada entrega
mejores resultados que la aproximación de carga reducida.
El motivo por el cual la aproximación de carga reducida generalizada entrega
mejores resultados se debe a que considera el estado del enlace analizado. Un enlace
recibirá tráfico de una ruta cuando se pueda establecer la conexión asociada a la ruta
Resultados Numéricos
76
(en donde circulará tráfico por el enlace) o bien cuando es el enlace mismo el que
provoca el bloqueo de la conexión (si bien no circula tráfico en este caso, al enlace sí
le llegan solicitudes de conexión las cuales deben ser consideradas). Este último caso
no es considerado en la aproximación de carga reducida lo cual genera una menor
precisión en el método.
5.1.3 Engset vs correcciones vs combinación de correcciones
La tercera comparación se realiza entre 4 modelos: el modelo Engset (el cual
demostró entregar mejores resultados que Erlang-B en la sección 5.1.1) sin
combinarlo con ninguna corrección de carga; la propuesta de utilizar el modelo
Engset en conjunto con la aproximación de carga reducida generalizada (propuesta
descrita en la sección 4.1.1 del Capítulo 4), debido a que entrega mejores resultados
que la aproxima de carga reducida como se mostró en la sección 5.1.2; el uso del
modelo Engset con la aproximación de efecto de flujos en línea; y la propuesta de
usar el modelo Engset y una combinación de las aproximaciones de carga reducida
generalizada y de efectos de flujos en línea (propuesta descrita en la sección 4.1.2 del
Capítuo 4). En la Figura 5.6 se presentan los resultados para 2 topologías de malla
(Eurolarge y NSFNet) y las topologías de anillo. Los resultados para las otras
topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el Anexo C.
Resultados Numéricos
77
Figura 5.6: Comparación entre Engset (Eng), Engset más carga reducida
generalizada (GRL), Engset más efecto de flujos en línea (SE) y Engset más
combinación de aproximaciones (GRLSE).
En la Figura 5.6, se presentan los resultados obtenidos por medio del modelo
de pérdidas Engset sin aplicar ninguna corrección, Engset más la aproximación de
carga reducida generalizada (GRL), Engset más la aproximación de efecto de flujos
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
Resultados Numéricos
78
en línea (SE, Streamline Effect) y Engset más la combinación de aproximaciones
(GRLSE, Generalised Reduced Load- Streamline Effect). Las siglas GRL y GRLSE
corresponden a las propuestas descritas en esta tesis (secciones 4.1.1 y 4.1.2 del
Capítulo 4, respectivamente).
En general, los valores obtenidos por los modelos son cercanos unos a otros,
excepto en casos particulares como en las topologías de anillo con el modelo Engset.
Debido al gran número de modelos a comparar, para facilitar el análisis a
continuación se muestran gráficos resumen con los porcentajes de error promedio y
máximo para cada método en cada topología con distintas capacidades. Los gráficos
se presentan en la Figura 5.7.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Error promedio
Engset
GRL
SE
GRLSE 0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Error promedio
Engset
GRL
SE
GRLSE
Resultados Numéricos
79
Figura 5.7: Errores promedio y máximo de cada modelo matemático en cada
topología de red con distintas capacidades.
De la Figura 5.7 se observa que el modelo Engset sin correcciones es el que
genera los mayores errores respecto a utilizar el modelo en conjunto con alguna
corrección. Este error es particularmente alto en el caso de topologías anillo, debido a
que en esas topologías existe una fuerte dependencia entre los enlaces. En el caso de
las correcciones, combinar el efecto de flujos en línea con la aproximación de carga
reducida generalizada (propuesta de la sección 4.1.2 del Capítulo 4) produce los
peores resultados entre las correcciones. Una razón para este comportamiento podría
ser el hecho de que la aproximación de efectos de flujos en línea no genera resultados
muy cercanos a los de simulación por sí solo lo cual, al combinar las aproximaciones,
deteriora los resultados de la aproximación de carga reducida en vez de mejorarlos.
Finalmente, la aproximación de carga reducida generalizada (propuesta de la sección
4.1.1 del Capítulo 4) genera mejores resultados que el efecto de flujos en línea, lo
cual la coloca como la mejor aproximación. En el caso de topologías de malla, el
error de la aproximación de carga reducida generalizada no supera el en
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
140%
Error máximo
Engset
GRL
SE
GRLSE 0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
140%
Error máximo
Engset
GRL
SE
GRLSE
Resultados Numéricos
80
comparación con el efecto de flujos en línea que alcanza un máximo de un . En
el caso de topologías anillo en cambio, los errores máximos entre las aproximaciones
de carga reducida generalizada y efecto de flujos en línea son similares ( y
respectivamente). Esto indica que en topologías de malla la corrección entre
enlaces de una misma ruta (aproximación de carga reducida generalizada) es más
fuerte que la corrección entre rutas que transitan por un mismo enlace (efecto de
flujos en línea). Sin embargo, en topologías de anillo ambas correcciones poseen
igual importancia, lo cual indica que puede existir una forma distinta al método
GRLSE para combinar las aproximaciones, en donde se asigne un grado de
importancia distinto a cada aproximación dependiendo de las características de la
topología de red. Esta observación será investigada en la siguiente sección.
5.1.4 Modelo empírico
Al realizar la comparación de resultados entre la aproximación de efecto de
flujos en línea y la aproximación de carga reducida generalizada aparecen dos
observaciones importantes. Una observación es que el error que poseen ambas
aproximaciones en topologías anillo es casi el mismo, como se vio en la sección
5.1.3. La otra observación es que, en general, la aproximación de carga reducida
generalizada genera valores mayores a los valores obtenidos por simulación, mientras
que la aproximación de flujos en línea siempre genera valores menores a los de
simulación (el único caso registrado en donde esto no se cumple es en la topología
Eurocore con capacidad de 2 longitudes de onda, en donde ambas aproximaciones
Resultados Numéricos
81
generan valores mayores a los de simulación). Esto ocurre tanto en topologías de
malla como en topologías de anillo. En la Figura 5.8 se presenta esta última
observación.
Figura 5.8: Los valores de simulación siempre quedan entre los valores obtenidos
por las aproximaciones.
En base a estas dos observaciones se plantea un nuevo método para calcular la
probabilidad de bloqueo a nivel de red, el cual consiste en realizar un promedio
ponderado entre ambas aproximaciones. La expresión para utilizar este método se
presenta en la fórmula (5.1).
En donde es la probabilidad de bloqueo de la red, y son las
probabilidades de bloqueo obtenidas por la aproximación de flujos en línea y carga
reducida generalizada respectivamente, y es un factor de peso que varía entre 0 y 1.
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W6
Simulación GRL SE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación GRL SE
Resultados Numéricos
82
Para obtener el valor de , se utilizarán dos métodos: uno basado en el valor
de la conectividad de la red y otro basado en el inverso del grado nodal máximo de la
red.
La conectividad de la red es la proporción entre la cantidad de enlaces
existentes en la red y el total de enlaces que podrían existir en la red. Una
conectividad de 1 indica que existe un enlace entre cada par de nodos. La fórmula
(5.2) permite calcular la conectividad de la red.
El grado nodal máximo de la red es el máximo número de enlaces
bidireccionales que posee algún nodo. Por ejemplo, si existe un nodo que posea 3
enlaces y todo los demás nodos de la red poseen 2 enlaces, entonces el grado nodal
máximo será 3. Debido a que varía entre 0 y 1, se utilizará el inverso del grado
nodal máximo. En el caso del ejemplo .
Los resultados del nuevo método se comparan con los obtenidos por la
aproximación de carga reducida generalizada para 2 topologías de malla (EON y
Eurolarge) y las topologías de anillo en la Figura 5.9. Los resultados para las otras
topologías, que exhiben resultados similares, se encuentran en el Anexo D.
Resultados Numéricos
83
Figura 5.9: Comparación entre carga reducida generalizada (GRL), inverso del grado
nodal máximo (G°) y conectividad (Alpha).
En la Figura 5.9 la aproximación de carga reducida generalizada se indica por
las siglas “GRL”, el nuevo método utilizando como peso el inverso del grado nodal
máximo se indica por “G°” y utilizando como peso la conectividad por “Alpha”.
Los valores obtenidos por los métodos son muy cercanos entre sí. Al igual que
en la sección 5.1.3, debido a que se quiere comparar los 3 métodos a la vez, se
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
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0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W7
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
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idad
de b
loq
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W19
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
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loq
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Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación GRL G° Alpha
Resultados Numéricos
84
presentan gráficos resumen con los errores promedio y máximo para los 3 métodos
para cada topología de red con distintas capacidades en la Figura 5.10.
Figura 5.10: Errores promedio y máximo de cada método en cada topología de red
con distintas capacidades.
En la Figura 5.10 se observa que en topologías de anillo el nuevo método
genera los mejores resultados al utilizar como peso el inverso del grado nodal. Esto
ocurre debido a que las aproximaciones de carga reducida generalizada y el efecto de
flujos en línea poseen errores similares en las topologías de anillo, los cuales se
0%
5%
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15%
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25%
30%
Error promedio
GRL
G°
Alpha 0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
Error promedio
GRL
G°
Alpha
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Error máximo
GRL
G°
Alpha 0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Error máximo
GRL
G°
Alpha
Resultados Numéricos
85
compensan al promediarse (el grado nodal en una topología anillo siempre es 2, por
lo que se produce un promedio aritmético entre las aproximaciones). En el caso de
topologías de malla, en algunos casos se obtienen mejores resultados con el nuevo
método utilizando como peso el grado nodal (2 de 12 casos), en otros casos es mejor
el nuevo método utilizando como peso la conectividad (7 de 12 casos) y en otros es
mejor la aproximación de carga reducida generalizada (3 de 12 casos). Si se
promedian los errores promedio de todas las topologías de malla, se obtienen errores
de un , y para la aproximación de carga reducida generalizada,
el nuevo método con el inverso del grado nodal como peso y el nuevo método con la
conectividad de peso respectivamente.
Por lo tanto, el nuevo método empírico obtiene mejores resultados que la
aproximación de carga reducida generalizada. En el caso de topologías anillo, el peso
se debe ajustar en base al inverso del grado nodal. En el caso de topologías de malla,
el peso se debe ajustar en base a la conectividad de la red. Si se desea utilizar un
único peso independiente de la topología, se sugiere utilizar el inverso del grado
nodal, debido a que no existe gran diferencia entre los errores obtenidos por ambos
pesos para el caso de topologías de malla, mientras que en topologías de anillo
utilizar de peso la conectividad genera grandes errores.
Resultados Numéricos
86
5.2 Matrices de tráfico lognormales
En esta sección se presentan los resultados obtenidos para el
dimensionamiento de una red dinámica con tráfico multi-hora y distintos modelos de
matrices de tráfico. Específicamente, se estudiaron 3 formas de distribución de
valores de carga de tráfico de las matrices de tráfico que fueron presentadas en la
sección 2.3 del Capítulo 2: uniforme, quasi-uniforme y lognormal. Los resultados se
obtuvieron por medio de simulación considerando una capacidad de red homogénea
(i.e. cada enlace de la red posee la misma cantidad de longitudes de onda) para los
algoritmos de ruteo SP, SP-FF y AUR-E presentados en el Capitulo 2 y en las
topologías de malla ARPANet, EON y NSFNet mostradas en la Figura 5.1.
El simulador desarrollado dimensiona la red para cumplir con una
probabilidad de bloqueo por conexión menor a en cualquier instante. Es decir,
en cualquier momento en que se evalúe la probabilidad de bloqueo de una conexión,
la razón entre el número de solicitudes bloqueadas y el número de solicitudes totales
debe ser menor a . El simulador genera una cantidad de eventos igual al número
de conexiones de la red amplificado por 10.000. Un evento en la simulación
corresponde a una solicitud de conexión entre un determinado par de nodos.
Para estudiar el impacto del tráfico multi-hora en el dimensionamiento, se
definieron 5 conjuntos de matrices de tráfico (S1-S5), presentados en la Tabla 5.1. Un
conjunto de matrices de tráfico contiene 2 o más matrices de tráfico, las cuales rigen
Resultados Numéricos
87
el comportamiento del tráfico de la red durante distintos periodos de tiempo (la
fracción de tiempo durante la cual una determinada matriz rige el comportamiento del
tráfico de la red se muestra en la fila de la Tabla 5.1). La carga de tráfico media
de una matriz queda determinada por el valor que se muestra en la fila . Por
ejemplo, el conjunto de matrices S1 posee 2 matrices de tráfico. La primera matriz se
aplica durante el 90% del tiempo total de la simulación, con una carga de tráfico
media de 0,35. Durante el 10% de tiempo restante, se cambia la matriz de tráfico por
una nueva matriz cuyo valor medio de carga de tráfico es de 0,67.
Tabla 5.1: Conjuntos de matrices de tráficos utilizadas en las simulaciones.
S1 S2 S3 S4 S5
M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M1 M2 M3
tk/t 0,9 0,1 0,1 0,9 0,1 0,9 0,9 0,1 0,8 0,15 0,05
k 0,35 0,67 0,35 0,67 0,67 0,35 0,67 0,35 0,2 0,5 0,8
En el caso de matrices de tráfico con distribución uniforme, cada elemento de
la matriz tiene el mismo valor que el valor medio . En el caso de matrices de tráfico
con distribución quasi-uniforme, cada elemento de la matriz toma un valor igual a
, donde corresponde a una variable aleatoria
distribuida uniformemente en el intervalo . Finalmente, en el caso de
matrices de tráfico lognormales, cada elemento de la matriz toma un valor igual a
, donde corresponde a una variable aleatoria lognormal con media
Resultados Numéricos
88
y varianza . Los valores de y se calculan a partir de y (el valor
medio y la varianza de los valores de las cargas de tráfico de la matriz de tráfico,
respectivamente) en base a las ecuaciones (2.2) y (2.3). El valor de requerido por
la expresión (2.2) corresponde al menor valor real que permite que el valor de
calculado por medio de (2.3) sea real.
Los periodos ON y OFF del tráfico generado por la fuente de un determinado
par de nodos se generaron por medio de una distribución exponencial. El tiempo
medio de duración en estado ON se fijó en mientras que el tiempo medio del
estado OFF se ajustó según la fórmula (2.1). Cada resultado presentado corresponde
al promedio de 20 simulaciones.
En las siguientes secciones se compara la capacidad requerida para
dimensionar la red entre las distintas formas de distribución de los valores de carga de
tráfico para cada algoritmo de ruteo. Se presentan primero los resultados para el caso
de redes sin conversión de longitud de onda, utilizando el algoritmo de asignación de
caminos ópticos SP-FF y luego el algoritmo AUR-E. Finalmente, se presentan los
resultados del caso de redes con conversión de longitud de onda utilizando el
algoritmo de ruteo SP.
Resultados Numéricos
89
5.2.1 SP-FF
Los resultados de la capacidad requerida en cada enlace de la red para los
conjuntos de matrices de tráfico descritos en la Tabla 5.1 cuando el algoritmo de
ruteo y asignación de longitudes de onda utilizado es SP-FF se presentan en la Figura
5.11.
Figura 5.11: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP-FF.
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S1 S2 S3 S4 S5
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme quasi-uniforme lognormal
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme quasi-uniforme lognormal
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme quasi-uniforme lognormal
Resultados Numéricos
90
En los gráficos de la Figura 5.11, la barra izquierda corresponde a los
resultados para la distribución uniforme; la barra del centro representa a la
distribución quasi-uniforme y la barra de la derecha a la distribución lognormal.
De los gráficos se observa que la distribución lognormal es la que requiere
menor capacidad por enlace de las 3 distribuciones, mientras que las distribuciones
uniforme y quasi-uniforme requieren capacidades similares.
En el caso de la distribución lognormal, la capacidad requerida es menor que
las otras distribuciones debido a que existen pares de nodos con una menor carga de
tráfico que la carga de tráfico promedio. Esto permite disminuir la congestión en
algunos enlaces de la red, dejando capacidad libre que es utilizada por las conexiones
que poseen una mayor carga de tráfico.
En el caso de la distribución quasi-uniforme, a pesar de existir pares de nodos
con una menor carga de tráfico que la carga de tráfico promedio no se obtiene el
mismo efecto que el descrito en la distribución lognormal, debido a que en la
distribución quasi-uniforme la cantidad de pares de nodos que poseen una carga de
tráfico menor que el promedio es similar a la cantidad de pares de nodos con carga de
tráfico mayor al promedio. Esto provoca un efecto de compensación en el cual la
disminución de la congestión generada por los pares de nodos con carga de tráfico
menor que el promedio es contrarrestado por el aumento de congestión generado por
Resultados Numéricos
91
los pares de nodos con carga de tráfico mayor al promedio, atenuando los beneficios
de utilizar tráfico heterogéneo como en el caso de la distribución lognormal.
En términos cuantitativos, el uso de la distribución lognormal resulta en una
disminución de la capacidad requerida por enlace en a lo más una longitud de onda
respecto a la distribución uniforme y quasi-uniforme. Siendo la distribución
lognormal un modelo más realista del comportamiento de las matrices de tráfico,
estos resultados indicarían que el uso de matrices uniformes o quasi-uniformes en el
dimensionamiento de una red resulta en un sobredimensionamiento de la misma.
5.2.2 AUR-E
Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo de ruteo y
asignación de longitudes de onda AUR-E se presentan en la Figura 5.12.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme quasi-uniforme lognormal
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme quasi-uniforme lognormal
Resultados Numéricos
92
Figura 5.12: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo AUR-E.
En los gráficos de la Figura 5.12 se observa el mismo comportamiento
descrito para el algoritmo SP-FF en la sección 5.2.1: la distribución lognormal es la
que requiere menor capacidad por enlace, mientras que las distribuciones uniforme y
quasi-uniforme requieren capacidades similares.
La capacidad requerida por enlace con el algoritmo AUR-E es menor que la
requerida por el algoritmo SP-FF debido a que el algoritmo AUR-E no se limita a
buscar recursos para establecer una conexión en una única ruta como en SP-FF, sino
que realiza una búsqueda exhaustiva de recursos por todas las rutas. Esto disminuye
la probabilidad de bloqueo con el costo de un mayor tiempo de procesamiento.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme quasi-uniforme lognormal
Resultados Numéricos
93
5.2.3 SP
El algoritmo SP pertenece a los algoritmos de ruteo para redes con conversión
de longitud de onda. Debido a que la red posee capacidad de conversión de longitud
de onda y se utiliza el algoritmo SP, considerar la misma cantidad de longitudes de
onda por enlace (capacidad homogénea) sobredimensiona la red, ya que un enlace
que es utilizado por X cantidad de rutas no requiere más de X longitudes de onda de
capacidad. Para evitar este sobredimensionamiento se puede utilizar
dimensionamiento heterogéneo, en donde los enlaces pueden poseer distintas
cantidades de longitudes de onda. Sin embargo, el dimensionamiento heterogéneo
posee el problema de cómo obtener la capacidad requerida por cada enlace, ya que
cada enlace puede aumentar o disminuir su capacidad de manera independiente
respecto a los otros enlaces generando un enorme espacio de búsqueda. Debido a este
problema del dimensionamiento heterogéneo, por simplicidad se usará
dimensionamiento homogéneo, en donde la capacidad requerida para el
dimensionamiento equivale a la capacidad requerida por el enlace que es utilizado por
el mayor número de rutas. Los resultados del algoritmo SP se presentan en la Figura
5.13.
Resultados Numéricos
94
Figura 5.13: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP.
En los gráficos de la Figura 5.13 se observa que el comportamiento de los
requerimientos de longitudes de onda varía con respecto a la topología y la
distribución de valores de las matrices de tráfico. En el caso de la topología NSFNet y
EON, la capacidad de red requerida resulta ser independiente del tipo de distribución
de la matriz de tráfico. En el caso de la topología ARPANet, existe mayor variación
en los resultados, repitiéndose el patrón de las secciones 5.2.1 y 5.2.2 en donde la
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme quasi-uniforme lognormal
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme quasi-uniforme lognormal
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme quasi-uniforme lognormal
Resultados Numéricos
95
distribución lognormal es la que requiere la menor capacidad. Esta dependencia
puede deberse a la cantidad de longitudes de onda que se utilizan en cada topología
por el dimensionamiento homogéneo. En las topologías que requieren un mayor
número de longitudes de onda la disminución de una longitud de onda no aumenta
significativamente la probabilidad de bloqueo. Además, la disminución de una
longitud de onda afectará solo unos pocos enlaces debido a que no todos los enlaces
usan la máxima capacidad de longitudes de onda asignada a la red (debido a que se
está trabajando en una red con conversión de longitud de onda y dimensionamiento
homogéneo).
Una interrogante que puede surgir del gráfico de la topología ARPANet es por
qué los conjuntos de matrices S3 y S4 no poseen resultados similares a los conjuntos
de matrices S1 y S2 respectivamente. Esto se debe a que los conjuntos de matrices S1
y S2 comienzan con una carga baja de tráfico, lo que permite aumentar el número de
conexiones cursadas (i.e. no bloqueadas) en la red durante el periodo de carga baja en
la simulación. De esta forma, cuando comienza el periodo de carga alta y se
comiencen a bloquear las conexiones con mayor frecuencia, existirá un “saldo a
favor” en términos de bloqueo, heredado del periodo anterior. En cambio, los
conjuntos de matrices S3 y S4 comienzan con cargas altas por lo que no existe el
“saldo a favor” que poseen los conjuntos de matrices S1 y S2, con lo cual se
incumple inmediatamente el contrato estricto y se debe aumentar la capacidad de la
red.
Resultados Numéricos
96
5.3 Contratos estrictos y flexibles
En esta sección se evalúa el impacto de la utilización de contratos estrictos y
flexibles en el dimensionamiento de una red con tráfico multi-hora. Para esto, el
dimensionamiento de la red para cada tipo de contrato se realizó para las mismas 3
formas de distribución de valores de carga de tráfico de las matrices de tráfico de la
sección anterior: uniforme, quasi-uniforme y lognormal. Los resultados se obtuvieron
por medio de simulación considerando una capacidad de red homogénea (i.e. cada
enlace de la red posee la misma cantidad de longitudes de onda) para los algoritmos
de ruteo SP, SP-FF y AUR-E presentados en el Capitulo 2 y en las topologías de
malla ARPANet, EON y NSFNet mostradas en la Figura 5.1. Se utilizaron los
mismos conjuntos de matrices de tráfico definidos en la Tabla 5.1.
Para el dimensionamiento de la red con contratos flexibles, se utilizó el mismo
simulador desarrollado para la sección 5.2, pero cambiando la condición que debe
cumplir la red. Es decir, en vez de cumplir con una probabilidad de bloqueo por
conexión menor a en cualquier instante, solo se debe cumplir con que la
probabilidad de bloqueo por conexión sea menor a al finalizar la simulación.
Además, para acelerar el proceso de simulación, en vez de comenzar todas las
simulaciones de un mismo caso con una capacidad de red de 1 longitud de onda por
enlace (como se indica en la Figura 4.3 del Capítulo 4) solo la primera simulación
comienza desde una capacidad de 1 longitud de onda por enlace y desde la segunda se
comienza con una capacidad por enlace igual a dos unidades menos que la encontrada
Resultados Numéricos
97
en la primera simulación. Por ejemplo, si en la primera simulación se obtiene que la
capacidad requerida para el caso del algoritmo SP-FF en la topología NSFNet con
distribución de valores lognormales para el conjunto de matrices S2 es de 14
longitudes de onda por enlace, entonces todas las otras simulaciones para el mismo
caso comenzarán desde 12 longitudes de onda por enlace.
Para el dimensionamiento de la red con contratos estrictos se utilizan los
resultados obtenidos en la sección 5.2, debido a que la condición que debe cumplir el
dimensionamiento pertenece a la categoría de un contrato estricto.
En las siguientes secciones se compara la capacidad requerida para
dimensionar la red con contratos estrictos y flexibles para cada algoritmo de ruteo. Se
presentan primero los resultados para el algoritmo de ruteo SP-FF, luego para AUR-E
y finalmente para el algoritmo SP.
5.3.1 SP-FF
Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo de ruteo y
asignación de longitudes de onda SP-FF se presentan en la Figura 5.14.
Resultados Numéricos
98
Figura 5.14: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP-FF.
En la Figura 5.14 solo se presenta la comparación entre contratos para la
topología NSFNet con valores de matrices de tráfico distribuidas de manera uniforme
debido a que en las otras topologías y en los otros tipos de distribuciones de valores
se obtiene el mismo comportamiento (más resultados en el Anexo E). En el gráfico,
los resultados para el contrato estricto se indica por “uniforme-estricto” y los
resultados para el contrato flexible se indica por “uniforme-flexible”.
A partir del gráfico se observa que utilizar el contrato flexible no genera
ningún tipo de beneficio respecto a utilizar el contrato estricto. Esto se debe a que la
condición impuesta en el contrato flexible aún es muy estricta, ya que es suficiente
con que una conexión supere la probabilidad de bloqueo permitida para que toda la
red deba aumentar su capacidad. Una condición diferente de contrato flexible se
presentó en [83], en donde la probabilidad de bloqueo media de la red (no de cada
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme-estricto uniforme-flexible
Resultados Numéricos
99
conexión, como se estudia aquí) debe mantenerse bajo un cierto valor. Esto permite
ahorrar longitudes de onda en la red, ya que algunas conexiones pueden superar el
valor umbral. En la Figura 5.15 se extiende la comparación de la Figura 5.14 para
incluir parte de los resultados presentados en [83], indicados en la figura por
“uniforme-flexible [83]”.
Figura 5.15: Extensión de la Figura 5.14 incluyendo los resultados de [83].
5.3.2 AUR-E
Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo de ruteo y
asignación de longitudes de onda AUR-E se presentan en la Figura 5.16.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme-estricto uniforme-flexible uniforme-flexible [83]
Resultados Numéricos
100
Figura 5.16: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo AUR-E.
En la Figura 5.16 solo se presenta la comparación entre contratos para la
topología NSFNet con valores de matrices de tráfico distribuidas de manera
lognormal debido a que en las otras topologías y en los otros tipos de distribuciones
de valores se obtiene el mismo comportamiento (más resultados en el Anexo F).
Al igual que en el caso de SP-FF de la sección 5.3.1, no existen beneficios en
utilizar el contrato flexible respecto a utilizar el contrato estricto. Utilizar condiciones
más flexibles como en [83] si permite obtener ahorros de longitudes de onda en la
red. En la Figura 5.17 se extiende la comparación de la Figura 5.16 para incluir parte
de los resultados presentados en [83], indicados en la figura por “lognormal-flexible
[83]”.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
lognormal-estricto lognormal-flexible
Resultados Numéricos
101
Figura 5.17: Extensión de la Figura 5.16 incluyendo los resultados de [83].
5.3.3 SP
Los resultados del dimensionamiento de la red para el algoritmo SP se
presentan en la Figura 5.18.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
lognormal-estricto lognormal-flexible
Resultados Numéricos
102
Figura 5.18: Capacidad requerida por enlace (promedio de 20 simulaciones) para
cada conjunto de matrices de tráfico con el algoritmo SP.
En la Figura 5.18 solo se muestran los gráficos para la distribución lognormal
debido a que las otras distribuciones mantienen el mismo patrón (más resultados en el
Anexo G).
En los gráficos se observa que utilizar contratos flexibles permite eliminar el
efecto de no poseer un “saldo a favor” de bloqueo en los conjuntos de matrices S3 y
S4. Esto se debe a que el contrato flexible utilizado exige que la probabilidad de
bloqueo de las conexiones sea menor que un límite solo al final del último periodo y
no en cualquier instante como en el caso del contrato estricto. Esto elimina el efecto
de “saldo a favor” expuesto en la sección 5.2.3 y permite que el dimensionamiento de
la red en los casos de los conjuntos S3 y S4 disminuya.
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Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
lognormal-estricto lognormal-flexible
Resultados Numéricos
103
Finalmente, el contrato flexible utilizado permite disminuir la capacidad de la
red respecto a utilizar contratos estrictos (sin considerar el efecto de “saldo a favor”)
solo en el conjunto de matrices S2 en la topología ARPANet. Esto se debe a que en el
caso del contrato estricto, el dimensionamiento es sensible a ráfagas de bloqueo. Es
decir, si en el periodo de caga alta una conexión sufre varios bloqueos seguidos los
cuales aumentan la probabilidad de bloqueo al nivel de incumplir el contrato estricto,
entonces la capacidad de la red es insuficiente y se debe aumentar, a pesar de que
posterior a la ráfaga de bloqueos la conexión no vuelva a bloquearse y la probabilidad
de bloqueo vuelva a quedar en niveles aceptables. En cambio, el contrato flexible
utilizado no es sensible a estas ráfagas, lo que permite disminuir los requerimientos
de la red.
5.4 Resumen
En este capítulo se presentaron los resultados para cada línea de trabajo:
modelos matemáticos de evaluación de la probabilidad de bloqueo de las conexiones,
impacto de la distribución de carga utilizada para las matrices de tráfico (uniforme,
quasi-uniforme y lognormal) en el dimensionamiento de la red con tráfico multi-hora
e impacto del uso de contratos flexibles en el dimensionamiento de una red con
tráfico multi-hora.
En el caso de los modelos matemáticos para redes con conversión de longitud
de onda y ruteo fijo, se realizó una comparación entre los modelos existentes en la
Resultados Numéricos
104
literatura, una comparación entre las correcciones de la literatura y una comparación
entre los modelos y correcciones de la literatura con la propuesta de trabajo,
obteniendo los mejores resultados el modelo Engset incluyendo la corrección de
carga reducida generalizada. Además, se incorporó una nueva propuesta que nace de
dos observaciones obtenidas en los resultados, la cual entrega mejores resultados que
el modelo Engset con la corrección de carga reducida generalizada.
En el análisis del impacto del tipo de matriz de tráfico, se realizó una
comparación del dimensionamiento de la red utilizando distribuciones uniforme,
quasi-uniforme y lognormal para los algoritmos SP-FF, AUR-E y SP. En la mayoría
de los casos la distribución lognormal permite disminuir los requerimientos de la red
respecto a utilizar una distribución uniforme o quasi-uniforme.
Finalmente se realizó una comparación entre la capacidad de red requerida
cuando se utilizan contratos estrictos y flexibles para los algoritmos SP-FF, AUR-E y
SP. De manera inesperada, en los algoritmos SP-FF y AUR-E no se obtuvieron
beneficios al utilizar contrato flexible. En ambos algoritmos se esperaba obtener una
disminución en los requerimientos de longitudes de onda en la red debido a que se
relajaba la condición de dimensionamiento. Sin embargo, la relajación realizada a la
condición de dimensionamiento no fue suficiente para generar ahorros a diferencia de
lo presentado en [83], en donde existe un mayor grado de relajación y si existen
ahorros en longitudes de onda. En el caso del algoritmo SP, se obtuvieron dos
beneficios. Un beneficio es que el contrato flexible permite eliminar el efecto de
Resultados Numéricos
105
“saldo a favor” presentado en la sección 5.2.3. El otro beneficio es que permite
disminuir los requerimientos de la red en los casos que existan ráfagas de bloqueo en
las conexiones.
En el capitulo siguiente, se presentan las conclusiones y posibles extensiones
al trabajo presentado.
Conclusiones y trabajos futuros
106
Capítulo 6
Conclusiones y trabajos futuros
En este capítulo se presentan las conclusiones del trabajo realizado y sus
posibles extensiones.
6.1 Conclusiones
En este trabajo se han desarrollado tres líneas de investigación: modelos
matemáticos para la evaluación de la probabilidad de bloqueo de conexiones en una
red óptica WDM dinámica con reservación de recursos fin a fin, análisis del impacto
de distintos modelos de matrices de tráfico en el dimensionamiento de una red bajo
tráfico multi-hora y análisis del impacto de distintos tipos de contrato de calidad de
servicio en el dimensionamiento de una red bajo tráfico multi-hora.
Conclusiones y trabajos futuros
107
En el estudio y propuesta de modelos matemáticos, inicialmente el autor de
esta tesis propuso dos algoritmos para calcular la probabilidad de bloqueo en redes
del tipo fin a fin con capacidad de conversión de longitud de onda y ruteo fijo. El
primero de ellos consistía de aplicar la corrección de carga reducida al modelo de
perdidas Engset, mientras que el segundo consistía en combinar la corrección de
carga reducida con la corrección del efecto de flujos en línea para generar una
corrección más precisa. Posteriormente, producto de los resultados obtenidos, se
propuso un tercer modelo que combinaba de una forma distinta (respecto a la 2°
combinación) las correcciones de carga reducida y el efecto de flujos en línea.
Se realizaron diferentes comparaciones entre los modelos matemáticos
existentes en la literatura y las propuestas para 8 topologías de red (6 topologías de
malla y 2 topologías de anillo). Las principales conclusiones obtenidas fueron:
- para redes del tipo fin a fin el modelo de pérdidas Engset genera
resultados más cercanos a los de simulación respecto al modelo Erlang-B.
Sin embargo, en las topologías de tipo anillo los resultados obtenidos con
el modelo Engset poseen diferencias de hasta un 127,2%. Esta diferencia
radica principalmente en la suposición de independencia de bloqueo entre
enlaces utilizada.
- la aproximación de carga reducida generalizada produce resultados más
cercanos a la simulación (con una diferencia máxima de un 34,8% en
topologías anillo) respecto a la aproximación de carga reducida (que posee
una diferencia máxima de un 87,8% en las topologías de anillo).
Conclusiones y trabajos futuros
108
- Entre las alternativas: modelo de pérdidas Engset sin correcciones, modelo
Engset con la aproximación de carga reducida generalizada (primer
algoritmo de la propuesta), modelo Engset con la corrección de efecto de
flujos en línea y modelo Engset con la combinación de las correcciones
(segundo algoritmo de la propuesta), se obtuvo que el método con
resultados más cercanos a los de simulación es el modelo Engset con la
aproximación de carga reducida generalizada (primer algoritmo de la
propuesta), con una diferencia máxima de un 10% y un 34,8% en
topologías de malla y anillo respectivamente. A continuación le sigue el
modelo Engset con la corrección del efecto de flujos en línea con
diferencias máximas de un 35,4% y un 34,4% en topologías de malla y
anillo respectivamente. Le sigue el modelo Engset con la combinación de
correcciones (segundo algoritmo de la propuesta) y por último el modelo
Engset sin correcciones, el cual obtuvo las mayores diferencias con los
resultados de simulación.
- Se propuso una nueva forma de combinación entre las correcciones (tercer
algoritmo de la propuesta) que pondera los resultados obtenidos por cada
corrección para generar los resultados finales. Esta propuesta obtuvo los
resultados más cercanos a los de simulación respecto a los obtenidos con
el modelo Engset con la corrección de carga reducida, lo cual sitúa a la
tercera propuesta como el método que entrega los resultados más cercanos
a los de simulación.
Conclusiones y trabajos futuros
109
Por lo tanto, para redes del tipo fin a fin se debe utilizar el modelo de pérdidas
Engset en conjunto con alguna corrección que permita atenuar la suposición de
independencia de bloqueo entre enlaces. En los casos que se utilice la corrección de
carga reducida, se debe utilizar la aproximación de carga reducida generalizada la
cual posee un mejor desempeño (i.e. genera valores más cercanos a los obtenidos por
simulación) que la aproximación de carga reducida. En orden de desempeño, primero
se ubica el tercer algoritmo de la propuesta, luego el primer algoritmo de la propuesta
y, finalmente, el efecto de flujos en línea.
Respecto del uso de matrices de tráfico más reales, se comparó el impacto de
utilizar las distribuciones uniforme, quasi-uniforme y lognormal en el
dimensionamiento de una red dinámica WDM con los algoritmos de ruteo SP-FF,
AUR-E y SP en 3 topologías de malla. Por medio de simulación se mostró que el
utilizar matrices de tráfico lognormales disminuye los requerimientos de longitudes
de onda de la red respecto a utilizar matrices de tráfico con distribución uniforme o
quasi-uniforme.
La cantidad de recursos ahorrados con la distribución lognormal respecto a la
distribución uniforme y quasi-uniforme depende de la topología de red. Los mayores
ahorros se registran en la topología ARPANet (la más grande de las 3 topologías
estudiadas) mientras que los menores ahorros se registran en la topología NSFNet (la
más pequeña de las 3 topologías).
Conclusiones y trabajos futuros
110
Finalmente, en los contratos de calidad de servicio, se comparó los recursos
requeridos al dimensionar una red cuando se utiliza un contrato estricto y un contrato
flexible. La comparación se efectuó bajo las mismas condiciones que la comparación
anterior de matrices de tráfico más reales.
Un resultado inesperado fue el obtenido para los algoritmos de ruteo SP-FF y
AUR-E, en donde se obtuvo los mismos requerimientos de capacidad para ambos
tipos de contratos. Esto se debe a que el contrato flexible utilizado aún es muy
estricto (ya que exige rendimiento a nivel de conexión), lo cual impide obtener
ahorros. Un contrato más flexible fue utilizado en [83], en donde sí se obtuvieron
ahorros de longitudes de onda respecto al contrato estricto al establecer las
condiciones del contrato a nivel de red. En el caso del algoritmo SP, el contrato
flexible permite eliminar el efecto de “saldo” de las simulaciones, otorga tolerancia a
ráfagas de bloqueo en las conexiones y permite disminuir la capacidad requerida en la
red respecto al contrato estricto.
6.2 Trabajos Futuros
Cada línea de trabajo presentada posee posibles extensiones que pueden ser
investigadas.
En los modelos matemáticos, el modelo de combinación de correcciones por
medio de ponderación (tercer algoritmo de la propuesta) es un modelo que surgió a
Conclusiones y trabajos futuros
111
partir del análisis de los resultados. Debido a esto, no existe un fundamento
matemático que explique por qué el modelo funciona. Además, pueden existir otras
formas de calcular el peso de las ponderaciones que puedan entregar mejores
resultados que los presentados. Una línea de investigación a seguir es justificar
matemáticamente el funcionamiento de este nuevo modelo, mientras que otra línea de
investigación puede buscar la proporción óptima en la que deban combinarse los
valores de las aproximaciones.
Por otro lado, los modelos matemáticos propuestos pertenecen al área de
algoritmos de ruteo fijo en redes con conversión de longitud de onda. Otra línea de
investigación es extender los modelos propuestos para algoritmos de ruteo alternado
y adaptivo, como también para redes sin conversión de longitud de onda.
En el área de matrices de tráfico más reales, el estudio se realizó para 3
topologías de malla y para dimensionamiento homogéneo. Una extensión al trabajo
realizado sería aumentar el número de topologías en las cuales se efectúan las
comparaciones, mientras que otra extensión a seguir es realizar la comparación bajo
dimensionamiento heterogéneo. Una tercera extensión a esta línea es comparar los
requerimientos del modelo lognormal con otros modelos de distribución de valores de
tráfico, como los presentados en el Capítulo 2 pero que no fueron considerados en
este trabajo.
Conclusiones y trabajos futuros
112
En el caso de los contratos de calidad de servicio, el análisis se realizó para un
solo tipo de contrato flexible. Una línea de investigación es dimensionar la red con
otros tipos de contratos flexibles. Otra línea de investigación es el utilizar diferentes
clases para diferentes conexiones, en donde algunas conexiones pertenecerán a la
clase regida por un contrato flexible mientras que otras conexiones pertenecerán a la
clase regida por un contrato estricto. Una tercera línea de investigación es realizar la
comparación entre contratos para dimensionamiento heterogéneo. En este caso, se
debe modificar el algoritmo presentado en el diagrama 4.3, generar un nuevo
algoritmo o plantear un modelo de optimización. En el caso del modelo de
optimización para un modelo multi-hora de períodos, a continuación se plantea una
propuesta para redes con conversión de longitud de onda y ruteo fijo considerando el
contrato flexible utilizado en este trabajo:
Conclusiones y trabajos futuros
113
En donde es la capacidad del enlace , es el máximo valor para un
conjunto de posibles valores para longitudes de onda , es una variable
de decisión binaria que toma el valor 1 si el enlace posee longitudes de onda y 0
en otro caso, es el valor de la probabilidad de bloqueo del enlace en el periodo
cuando posee una capacidad , y es el valor límite permitido del enlace, el cual
se determina a partir del valor límite permitido de la conexión por medio de la
fórmula 6.5 [84].
Donde es el número de saltos de la ruta más larga que utiliza el enlace .
Esta formulación tiene por objetivo minimizar el número de longitudes de
onda instaladas en la red (ecuación (6.1)), sujeto a la condición de que la probabilidad
de bloqueo promedio de cada conexión sea menor a un valor límite
(ecuaciones (6.4) y (6.5)). La ecuación (6.4) representa la condición de que la
probabilidad de bloqueo promedio de cada enlace sea menor a un valor límite
mientras que la ecuación (6.5) permite relacionar los valores límites de las conexiones
y los enlaces ( y respectivamente). La ecuación (6.3) exige que cada enlace
debe poseer una cantidad determinada de longitudes de onda (i.e. un enlace no puede
poseer dos capacidades distintas simultáneamente) mientras que la ecuación (6.2)
determina la cantidad de longitudes de onda de cada enlace.
114
Referencias
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Modeling, ONDM 2007, Atenas, Grecia, Mayo 2007
120
Anexo A
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el modelo
de pérdidas Erlang-B y el modelo de pérdidas Engset para cada topología de red
presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W15
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación Erlang-B Engset
Anexo A
121
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W10
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W11
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W7
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W2
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W3
Simulación Erlang-B Engset
Anexo A
122
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W19
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W6
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W10
Simulación Erlang-B Engset
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W11
Simulación Erlang-B Engset
123
Anexo B
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre la
aproximación de carga reducida y carga reducida generalizada para cada topología de
red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W15
Simulación RL GRL
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación RL GRL
Anexo B
124
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W10
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W11
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W7
Simulación RL GRL
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación RL GRL
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W2
Simulación RL GRL
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W3
Simulación RL Engset
Anexo B
125
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W19
Simulación RL GRL
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W6
Simulación RL GRL
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación RL GRL
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W10
Simulación RL GRL
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W11
Simulación RL Engset
126
Anexo C
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el modelo
de pérdidas Engset sin corrección, el modelo Engset con la corrección de carga
reducida generalizada, el modelo Engset con la corrección del efecto de flujos en
línea y el modelo Engset con la combinación de aproximaciones para cada topología
de red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del Capítulo 5.
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W24
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
Anexo C
127
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W10
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-05
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W11
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W7
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W2
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W3
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
Anexo C
128
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W19
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W6
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W10
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W11
Simulación Engset GRL
SE GRLSE
129
Anexo D
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el modelo
Engset con la corrección de carga reducida generalizada, el modelo empírico
utilizando de peso el inverso del grado nodal y el modelo empírico utilizando de peso
la conectividad para cada topología de red presentada en la Figura 5.1 y 5.2 del
Capítulo 5.
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W14
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 12 nodos - W15
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W27
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Anillo 16 nodos - W28
Simulación GRL G° Alpha
Anexo D
130
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W10
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Arpanet - W11
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W7
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
EON - W8
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W2
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurocore - W3
Simulación GRL G° Alpha
Anexo D
131
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W19
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
Eurolarge - W20
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W6
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
NSFNet - W7
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W10
Simulación GRL G° Alpha
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Pro
ba
bil
idad
de b
loq
ueo
Carga de tráfico
Probabilidad de bloqueo vs carga de tráfico
UKNet - W11
Simulación GRL G° Alpha
132
Anexo E
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el contrato
estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo y asignación de longitudes de
onda SP-FF para las topologías NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura
5.1.
13
14
15
16
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme-estricto uniforme-flexible
20
21
22
23
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme-estricto uniforme-flexible
29
30
31
32
33
34
35
36
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme-estricto uniforme-flexible
Anexo E
133
13
14
15
16
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
20
21
22
23
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
29
30
31
32
33
34
35
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
Anexo E
134
13
14
15
16
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
lognormal-estricto lognormal-flexible
18
19
20
21
22
23
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
lognormal-estricto lognormal-flexible
28
29
30
31
32
33
34
35
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
lognormal-estricto lognormal-flexible
135
Anexo F
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el contrato
estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo y asignación de longitudes de
onda AUR-E para las topologías NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura
5.1.
11
12
13
14
15
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme-estricto uniforme-flexible
16
17
18
19
20
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme-estricto uniforme-flexible
26
27
28
29
30
31
32
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme-estricto uniforme-flexible
Anexo F
136
11
12
13
14
15
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
16
17
18
19
20
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
26
27
28
29
30
31
32
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
Anexo F
137
11
12
13
14
15
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
lognormal-estricto lognormal-flexible
15
16
17
18
19
20
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
lognormal-estricto lognormal-flexible
24
25
26
27
28
29
30
31
32
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
lognormal-estricto lognormal-flexible
138
Anexo G
En este anexo se presentan los resultados de la comparación entre el contrato
estricto y el contrato flexible para el algoritmo de ruteo SP para las topologías
NSFNet, EON y ARPANet presentadas en la Figura 5.1.
12
13
14
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
uniforme-estricto uniforme-flexible
16
17
18
19
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
uniforme-estricto uniforme-flexible
27
28
29
30
31
32
33
34
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
uniforme-estricto uniforme-flexible
Anexo G
139
12
13
14
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
16
17
18
19
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
27
28
29
30
31
32
33
34
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
quasi-uniforme-estricto quasi-uniforme-flexible
Anexo G
140
12
13
14
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
NSFNet
lognormal-estricto lognormal-flexible
16
17
18
19
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
EON
lognormal-estricto lognormal-flexible
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
S1 S2 S3 S4 S5
Lo
ng
itu
des
de o
nd
a
pro
med
io p
or e
nla
ce
Conjunto de matrices de tráfico
Capacidad requerida por enlace
ARPANet
lognormal-estricto lognormal-flexible