digital controler

Capítulo 5: Sistemas de control discreto

- 197 -


5.1 Introducción Esta sección se elaboró con el objetivo de brindar mayor información para comprender mejor los fundamentos teóricos concernientes al control digital. Se muestran los conceptos más importantes tales como el muestreo, la cuantificación, las características que hacen superior a este tipo de control con respecto al control continuo, los retenedores, la herramienta matemática para el análisis los sistemas digitales (La Transformada Z), las técnicas de discretización, las ecuaciones en diferencias y los teoremas del valor inicial y final, finalmente se relaciona una tabla con las Transformadas Z más comunes y sus propiedades fundamentales.

5.2 Muestreo de funciones de transferencia Si se busca en el diccionario el significado de muestreo dirá: proceso o acción de tomar una pequeña parte o porción de algo como una muestra para su análisis. En el contexto del control y las comunicaciones, muestrear una señal implica reemplazar la magnitud continua por una secuencia de números que representan los valores de dicha señal en determinados instantes. Un sistema muestreado es entonces, aquel que, partiendo de una señal o magnitud analógica o continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a intervalos de tiempo, o lo que es lo mismo, cuando alguna de la señales a él asociadas sufre el proceso de muestreo. Uno de los elementos que más frecuentemente exige un muestreo de señales es el sensor o captador; por ejemplo, la temperatura de un sistema físico o la velocidad angular de un motor; éstas serán transformadas de señal analógica a una secuencia de valores discretos (muestreados en el tiempo y codificados en código binario). Por lo que el muestreo es la característica fundamental de los sistemas controlados por computadora dada la naturaleza discreta de estos dispositivos. Es de suma importancia recalcar que en los sistemas de control digital es necesaria la utilización de convertidores analógicos digitales, ADC, y digitales analógicos, DAC, ya que por una parte el computador trabaja con señales digitales y la planta o proceso a controlar, normalmente lo hace con señales analógicas. Ambos convertidores trabajan con las señales cada T segundos, este parámetro es uno de los más importantes a considerar en el diseño de los sistemas muestreados. Existen diversos tipos distintos de operaciones de muestreo de importancia práctica, se las que indica a continuación: Muestreo periódico (convencional): en este caso los instantes de muestreo están x-espaciados, o sea

( )L,,,kkTtk 210== . Muestreo de orden múltiple: el esquema de las kt se repite periódicamente, o sea

=−+ krk tt constante para todo k. Muestreo de ritmo múltiple: en este caso concuerdan simultáneamente dos operaciones de muestreo en 1pTtk = y 2qT , donde 1T y 2T son constantes y p y q son enteros. Muestreo al azar: en este caso, los instantes de muestreo son casuales, o sea que kt es una variable aleatoria. A partir de ahora sólo se tratará el caso primer caso, o sea en el que el muestreo es periódico.

Ismael Minchala

Muestreo de funciones de transferencia

Ismael Minchala

Un sistema muestreado es entonces, aquel que, partiendo de una señal o magnitud analógica o continua es capaz de generar una secuencia de valores discretos, separados a intervalos de tiempo, o lo que es lo mismo, cuando alguna de la señales a él asociadas sufre el proceso de muestreo.

Ismael Minchala

Existen diversos tipos distintos de operaciones de muestreo de importancia práctica,

Ismael Minchala

Muestreo periódico

Ismael Minchala

Muestreo de orden múltiple:

Ismael Minchala

Muestreo de ritmo múltiple:

Ismael Minchala

Muestreo al azar:


- 198 -

5.3 El proceso de cuantificación La inclusión de un computador digital en un sistema, por lo demás analógico, produce señales en forma digital (generalmente como números binarios) en parte del sistema. Entonces el sistema toma la forma de una combinación mixta análogo-digital. La introducción de una computadora digital en un sistema de control, exige el uso de conversores digital-a-analógico y analógico-a-digital. La conversión de una señal analógica en la correspondiente señal digital (número binario) es una aproximación, ya que la señal analógica puede tomar infinita cantidad de valores, mientras la variedad de distintos números que pueden formarse con un número finito de dígitos, es limitada. Este proceso de aproximación se denomina cuantificación. Se puede ilustrar con la curva característica de la Fig. 5.1 el proceso de cuantificar (convertir una señal en forma analógica a la forma digital). Se divide el rango de magnitudes de entrada en un número finito de intervalos ih disjuntos que no necesariamente son iguales. Todos los valores que quedan dentro de cada intervalo son igualados a un único valor dentro de este intervalo. Este único valor es la aproximación digital a los distintos valores de la señal de entrada analógica. Así, si x es la entrada analógica, la salida digital está dada por ( )xQy = donde Q es la función cuantificante.

Fig. 5.1. Curva que indica la cuantificación.

Se ilustra en la Fig. 5.2 (a) la función ( )tx discreta en el tiempo; la que se ve en la Fig. 5.2 (b) es una función cuantificada; y la que aparece en la Fig. 5.2 (c) es cuantificada tanto en la amplitud como en el tiempo. El funcionamiento de sistemas de control digital, involucra la cuantificación, tanto en amplitud como en el tiempo.

Fig. 5.2. (a) Función discreta en el tiempo; (b) función cuantificada; (c) función cuantificada de tiempo discreto.

Ismael Minchala

El proceso de cuantificación

Ismael Minchala

La introducción de una computadora digital en un sistema de control, exige el uso de conversores digital-a-analógico y analógico-a-digital. La conversión de una señal analógica en la correspondiente señal digital (número binario) es una aproximación, ya que la señal analógica puede tomar infinita cantidad de valores, mientras la variedad de distintos números que pueden formarse con un número finito de dígitos, es limitada. Este proceso de aproximación se denomina cuantificación.

Ismael Minchala

amplitud como en el tiempo.

Ismael Minchala

El funcionamiento de sistemas de control digital, involucra la cuantificación, tanto en


- 199 -

5.4 Características básicas del control digital Como algunas características básicas del control digital se pueden mencionar las siguientes:

• No existe límite en la complejidad del algoritmo. Cosa que sí sucedía anteriormente con los sistemas analógicos.

• Facilidad de ajuste y cambio. Los controles digitales son extremadamente versátiles. Simplemente colocando un nuevo programa se pueden cambiar totalmente las operaciones a efectuar. Por el mismo motivo anterior un cambio en un control analógico implica, en el mejor de los casos, un cambio de componentes si no un cambio del controlador completo.

• Exactitud y estabilidad en el cálculo debido a que no existen derivas u otras fuentes de error. Los controles digitales pueden realizar complejos cálculos con exactitud constante a alta velocidad. Las computadoras digitales pueden realizar los cálculos casi hasta cualquier grado de exactitud deseado, con un incremento de costo relativamente pequeño.

• Uso de la computadora con otros fines (supervisión, alarmas, archivo de datos, administración, control centralizado, etc.)

• Costo vs. número de lazos. No siempre se justifica un control digital ya que existe un costo mínimo que lo hace inaplicable para un número reducido de variables.

• Tendencia al control distribuido o jerárquico. Se ha pasado de la idea de usar un único controlador o computador para toda una planta a la de distribuir los dispositivos inteligentes por variable o grupos de estas e ir formando estructuras jerárquicas.

La mayoría de las características anteriores se convierten en ventajas del control digital sobre el analógico.

5.5 El Muestreador El elemento esencial de un sistema de tiempo discreto es el muestreador. En un muestreador convencional un interruptor se cierra para admitir una señal de entrada cada T segundos, o sea realiza el muestreo. En la práctica, la duración del muestreo es muy breve en comparación con la constante de tiempo más significativa de la planta. El muestreador convierte una señal continua en un tren de impulsos producidos en los instantes de muestreo kT,,T,T, L20 , donde T es el período de muestreo (entre instantes de muestreo no se transmite información). La siguiente figura ilustra el proceso de muestreo a que es sometida una señal analógica para ser convertida en digital, a través del tren de impulsos generados [ ( )k0δ ] por el muestreador.

Resumiendo, se considera a la salida del muestreador como un tren de impulsos cuyas intensidades son iguales a los valores muestreados en los respectivos instantes de muestreo, y la señal resultante se puede expresar matemáticamente como:

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0k

* kTttxtx δ (5.1)

La transformada de Laplace de ( )tx* es la misma que la Transformada Z de ( )tx si zeTs = . (5.2)

Ismael Minchala

Características básicas del control digital

Ismael Minchala

No existe límite en la complejidad del algoritmo.

Ismael Minchala

Facilidad de ajuste y cambio.

Ismael Minchala

Exactitud y estabilidad en el cálculo debido a que no existen derivas u otras fuentes de error.

Ismael Minchala

Uso de la computadora con otros fines

Ismael Minchala

Costo vs. número de lazos.

Ismael Minchala

Tendencia al control distribuido o jerárquico.

Ismael Minchala

El Muestreador

Ismael Minchala

El muestreador convierte una señal continua en un tren de impulsos producidos en los instantes de muestreo kT , , T , T , L 2 0 , donde T es el período de muestreo (entre instantes de muestreo no se transmite información).

Ismael Minchala

Resumiendo, se considera a la salida del muestreador como un tren de impulsos cuyas intensidades son iguales a los valores muestreados en los respectivos instantes de muestreo, y la señal resultante se puede expresar matemáticamente como:

Ismael Minchala

( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = − = 0 k * kT t t x t x δ


- 200 -

Fig. 5.3. Diagramas de ( )tTδ en función de ( )txt, en función de t y ( )tx* en función de t .

5.6 Retenedores El retenedor convierte la señal digital en una señal de continua en el tiempo. El retenedor genera la señal, ( )th ; ( )TktkT 1+<≤ , utilizando los datos muestreados anteriores: ( )kTx ; ( ) ( )0x;;TkTx L− . La forma simple de un retenedor, de forma polinomial, es la siguiente:

( ) TaaaakTh nn

nn <≤++++=+ −

− τττττ 0011

1 L (5.3) Puesto que ( ) ( ) ( )kTxakTxkTh =⇒= 0 (5.4)

( ) ( ) TkTxaaakTh nn

nn <≤++++=+ −

− τττττ 011

1 L (5.5) A esto se le denomina retenedor de orden n. De forma general, la exactitud de la aproximación de la señal continua mejora a medida que el orden n aumenta. Sin embargo, la mayor exactitud se obtiene con el costo de mayor retardo de tiempo, que puede provocar inestabilidad en el sistema de control. El más simple de los retenedores es n = 0, denominado retenedor de orden cero o ZOH del inglés “Zero Orden Hold”. 5.5.1 Retenedor de orden cero (ZOH) Un dispositivo de retención convierte la señal muestreada en una señal continua que reproduce aproximadamente la señal aplicada al muestreador. El dispositivo de retención más simple convierte la señal muestreada en una señal constante entre dos instante de muestreo consecutivo, como se ve en la Fig. 5.4. Un dispositivo así se denomina dispositivo de retención de orden cero.

Ismael Minchala

Retenedores

Ismael Minchala

El retenedor convierte la señal digital en una señal de continua en el tiempo. El retenedor genera la señal, ( ) t h ; ( )T k t kT 1 + < ≤ , utilizando los datos muestreados anteriores:

Ismael Minchala

A esto se le denomina retenedor de orden n.

Ismael Minchala

Retenedor de orden cero (ZOH)

Ismael Minchala

Un dispositivo de retención convierte la señal muestreada en una señal continua que reproduce aproximadamente la señal aplicada al muestreador.

Ismael Minchala

El dispositivo de retención más simple convierte la señal muestreada en una señal constante entre dos instante de muestreo consecutivo,

Ismael Minchala

Un dispositivo así se denomina dispositivo de retención de orden cero.


- 201 -

La función transferencia 0hG de un dispositivo de retención de orden cero es:

( )sesG

Ts

h

−−=

10 (5.6)

Cuando se muestrea la señal de entrada ( )tx en instantes discretos, la señal muestreada pasa a través del dispositivo de retención. Este dispositivo que es un filtro de paso bajo, alisa la señal muestreada

( )tx* produciendo la señal ( )txh que es constante desde el último valor hasta disponer del próximo valor de muestreo es decir:

( ) ( ) TtparakTxtkTh <≤=+ 0 (5.7) En el análisis que sigue se supone que el dispositivo de retención es de orden cero. Esencialmente, un dispositivo de retención de orden cero integra la señal ( )tx* entre dos instantes de muestreo consecutivos. Notando que la integral de una función impulso es una constante, se ve que la entrada a un dispositivo de retención de orden cero es un tren de funciones impulso provenientes del muestreador. Si hay muestreo periódico y suponiendo que la derivada existe, el error incurrido por el ZOH se puede expresar como:

( ) ( ) ( )t'hmax T kTh-TkThmaxk

= et

ZOH ≤+ (5.8)

Fig. 5.4. Señales antes y después del muestreador y dispositivo de retención de orden cero (ZOH)

5.5.2 Retenedor de primer orden (FOH) La salida del retenedor de primer orden (FOH) es una función polinomial de primer orden en función del tiempo:

( ) ( ) T,kTxakTh <≤+=+ τττ 01 (5.9) La mejor interpolación que se puede lograr es que ( ) ( )TkTxTkTh −=− , por lo tanto:

( ) ( )T

TkTxkTxa −−=1 (5.10)

La pendiente de la interpolación se toma como la de dos valores de muestreos contiguos, o sea:

( ) ( ) ( ) ( ) T,T

TkTxkTxkTxkTh <≤−−

+=+ τττ 0 (5.11)

La función transferencia ( )sGh1 de un dispositivo de retención de primer orden es:

( )2

111

−+=

−

se

TTssG

Ts

h (5.12)

El error en que se incurre con esta aproximación es el siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]th-tht-tt-t-th-thmax

t max

k = e 1-kk

1-kk

kkFOH

(5.13)

Ismael Minchala

La función transferencia 0 h G de un dispositivo de retención de orden cero es:

Ismael Minchala

( ) s e s G Ts h − − = 1 0

Ismael Minchala

Cuando se muestrea la señal de entrada ( ) t x en instantes discretos, la señal muestreada pasa a través del dispositivo de retención. Este dispositivo que es un filtro de paso bajo, alisa la señal muestreada ( ) t x* produciendo la señal ( ) t xh que es constante desde el último valor hasta disponer del próximo

Ismael Minchala

valor de muestreo es decir:

Ismael Minchala

muestreo es decir: ( ) ( ) T t para kT x t kT h < ≤ = + 0 que sigue se supone que el dispositivo

Ismael Minchala

Señales antes y después del muestreador y dispositivo de retención de orden cero (ZOH)

Ismael Minchala

Retenedor de primer orden (FOH)

Ismael Minchala

La salida del retenedor de primer orden (FOH) es una función polinomial de primer orden en función del tiempo:

Ismael Minchala

Notando que la integral de una función impulso es una constante,

Ismael Minchala

de la interpolación se toma como la de dos valores de muestreos ( ) ( ) ( ) ( ) T , T T kT x kT x kT x kT h < ≤ − − + = + τ τ τ 0 ( )

Ismael Minchala

Gh1 ( ) 2 1 1 1 − + = − s e T Ts s G Ts h se incurre con esta aproximación


- 202 -

En el caso de tener un muestreo periódico y que exista la segunda derivada, se puede expresar como: ( )thmaxT

t e ''

FOH 2≤ (5.14)

Fig. 5.5. Señales antes y después del muestreador y dispositivo de retención de primer orden (FOH)

5.5.3 Comparación entre los retenedores ZOH y FOH Se puede notar que la reconstrucción puede causar un retraso considerable en un proceso. Para situaciones reales o más prácticas, se emplean los retenedores ZOH y FOH. En función del error incurrido en la reconstrucción, uno puede decidir cuál es la frecuencia de muestreo más adecuada. Si la aplicación es para procesamiento de señales, entonces el período de muestreo se puede escoger de acuerdo a la tabla siguiente. Si se requiere un error relativo de 1%, entonces se necesitan 300 muestras con ZOH; si se usa un FOH, entonces se requerirán 45 muestras. A continuación, se presenta una tabla comparativa de errores relativos cuando el muestreo y la reconstrucción se aplica a una señal sinusoidal, usando distintos períodos de muestreo. De la que se puede obtener de conclusión que el método FOH es más efectivo que el ZOH, pues se comete considerablemente menos errores para la misma cantidad de muestras por período (N).

Tabla 5.1. Comparación del error por los métodos de ZOH y FOH para una onda sinusoidal

Muestras por período

error máximo relativo

error máximo relativo

N ZOH FOH 2 1.5 2.55 0.6 0.8

10 0.3 0.1920 0.15 0.0550 0.06 0.008

100 0.03 0.002200 0.015 0.5x10-3

500 0.006 8x10-5

Estos resultados fueron obtenidos según:

T sen= y(t);N

2 = 2

)T( = e;

N =

2T = e 2

22

FOHZOH ωπωπω

(5.15)

Ismael Minchala

Señales antes y después del muestreador y dispositivo de retención de primer orden (FOH)

Ismael Minchala

Comparación entre los retenedores ZOH y FOH


- 203 -

5.7 La Transformada Z Desde un sentido estrictamente matemático, la Transformada Z es la expansión en serie de Laurent de la función X(z) alrededor del origen donde los coeficientes de la serie de tiempo x(n) son los coeficientes de la expansión de la serie. La herramienta matemática en sistemas discretos es la de la Transformada Z, que se utiliza para tratar funciones discretas en el tiempo. El papel que juega la Transformada Z en sistemas discretos en el tiempo es bastante similar al de la Transformada de Laplace en sistemas continuos. Su utilidad desde el punto de vista de la ingeniería, radica en el hecho, que un sistema continuo puede ser modelado usando la Transformada Z, y ser convertido en un programa para fines de simulación o control. Se define matemáticamente la Transformada Z como:

( ) ( )[ ] ( )∑∞

=

−==0

**

k

kTsekTxtxZsX (5.16)

Definiendo,

zeTs = y de forma inversa: ( )zlnT

s 1= (5.17)

Si se escribe ( )sX * como ( )zX . Entonces

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=

==

0

1

k

k** zkTxzlnT

XsXzX (5.18)

A ( )zX se le denomina Transformada Z de ( )tx* y la notación para la Transformada Z de ( )tx* es ( )[ ]txZ * . En la transformación z sólo se consideran los valores de la señal en los instantes de

muestreo. Por tanto, la transformada z de ( )tx y la de ( )tx* dan el mismo resultado o sea:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∑∞

=

−===0k

k* zkTxzXtxZtxZ (5.19)

5.8 Discretización de funciones de transferencias En esta sección se muestran distintos procedimientos para obtener sistemas en tiempo discreto que se comporten aproximadamente igual que un sistema en tiempo continuo dado. Esta operación suele denominarse discretización. El problema no tiene solución exacta en general, aunque las diferentes técnicas que se describirán son de frecuente aplicación, si el período de muestreo es pequeño. Ejemplos de aplicaciones son: a) La simulación con ordenador de un sistema en tiempo continuo. En esencia, es una

discretización, como lo son las técnicas numéricas de integración de ecuaciones diferenciales. b) El diseño de un filtro digital basado en un diseño analógico anterior. c) El diseño de un regulador digital basado en un diseño analógico. 5.8.1 Simulaciones invariantes y/o con retenedor Están basadas en la idea de reconstruir la entrada con un retenedor. Resulta entonces una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de la entrada que el retenedor reconstruya exactamente. Son las más laboriosas de obtener, exigiendo en la mayoría de los casos, un desarrollo en residuos. Para discretizar la función de transferencia con este método, después del muestreador se coloca el retenedor, este puede ser, unitario, de orden cero (ZOH) o primer orden (FOH), según corresponda. A continuación se muestra el procedimiento para obtener la discretización con estos métodos.

Ismael Minchala

La Transformada Z

Ismael Minchala

El papel que juega la Transformada Z en sistemas discretos en el tiempo es bastante similar al de la Transformada de Laplace en sistemas continuos.

Ismael Minchala

la Transformada Z es la expansión en serie de Laurent de la función X(z) alrededor del origen donde los coeficientes de la serie de tiempo x(n) son los coeficientes de la expansión de la serie.

Ismael Minchala

Discretización de funciones de transferencias

Ismael Minchala

Simulaciones invariantes y/o con retenedor

Ismael Minchala

Están basadas en la idea de reconstruir la entrada con un retenedor.


- 204 -

5.8.1.1 Discretización directa o respuesta invariante al impulso

Para discretizar por este método el retenedor es unitario ( ( ) 1=sGh ), o sea la función de transferencia es muestreada directamente por los trenes de impulso del muestreador, en este caso la respuesta al impulso permanece invariante. También, se puede considerar como discretizar la función de transferencia con la Transformada Z de forma directa. Donde ( )k0δ es la delta de Kronecker, o función impulso:

( )

≠=

=0001

0 k,k,

kδ (5.20)

( )k0δ D(s) u(t) u(kT)

1 D(s) u(t) u*(t)

x(t)

x(t)

Fig. 5.5. Discretización mediante el método directo De la figura anterior se obtienen la siguiente relación,

( ) ( ) ( ) ( )sUsDksX *0 ⋅= δ (5.21)

Discretizando aplicando la Transformada Z, y conociendo que ( )[ ] 10 =kZ δ , se obtiene,

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )zUzDsUZsDZkZsXzX ⋅⋅=⋅⋅== 1*0δ (5.22)

Finalmente,

( ) ( )( ) ( )[ ]sDZzUzXzD == (5.23)

Algunas características de este método: 1. D(z) preserva la respuesta al impulso de D(s). 2. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 3. No preserva la respuesta en frecuencia. 4. Las frecuencias transformadas en D(z) que son múltiplos de la frecuencia de muestreo pueden

ocasionar aliasing. 5. Si D(s) es una función complicada se requiere de expandir la función en fracciones parciales. 6. Los polos en s se transforman mediante Tsez = . Pero no así los ceros, que dependen de las

fracciones parciales.

5.8.1.2 Respuesta invariante al paso o Retenedor de orden cero (ZOH) Este método el retenedor empleado es el de orden cero (ZOH), este permite conservar la respuesta al escalón de su equivalente analógico. Para encontrar la discretización se sustituye el ZOH por su función de transferencia continua y se discretiza el conjunto de retenedor - planta. Una forma alternativa, es igualar la respuesta ante un escalón del sistema analógico con la del discreto.

Ismael Minchala

Discretización directa o respuesta invariante al impulso

Ismael Minchala

) k 0 δ es la delta de Kronecker, o función impulso:

Ismael Minchala

Respuesta invariante al paso o Retenedor de orden cero (ZOH)


- 205 -

ZOH D(s) u(t) u(kT)

se Ts−−1 D(s)

u(t) u*(t)

x(t)

x(t)

Fig. 5.7. Discretización mediante el método de retención de orden cero (ZOH)

De la figura anterior se obtienen la siguiente relación,

( ) ( ) ( )sUsDsesX

Ts*1

−=

−

(5.24)

Discretizando aplicando la Transformada Z, se obtiene,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )zUssDZz

ssDZsUsXZzX ⋅

−

=⋅= −1* (5.25)

Finalmente,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−

=

−== −

ssDZ

zz

ssDZz

zUzXzG 11 1 (5.26)

Algunas características de este método: 1. Conserva la ganancia estática. 2. No preserva las respuestas al impulso y en frecuencia. 3. Preserva la respuesta al escalón. 4. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 5. Requiere D(s) sea expandida en fracciones parciales. 6. Los polos en s se transforman mediante Tsez = . Pero no así los ceros, que dependen de las


5.8.1.3 Retenedor de primer orden (FOH) Este método el retenedor empleado es el de primer orden (FOH). Para lograr la discretización se sustituye el FOH por su función de transferencia continua y se discretiza el conjunto de retenedor - planta.

FOH D(s) u(t) u(kT)

211

−+ −

se

TTs Ts

D(s) u(t) u*(t)

x(t)

x(t)

Fig. 5.8. Discretización mediante el método de retención de primer orden (FOH)

Ismael Minchala

Retenedor de primer orden (FOH)


- 206 -

De la figura anterior se obtienen la siguiente relación,

( ) ( ) ( )sUsDse

TTssX

Ts*

211

−+=

−

(5.27)

Discretizando aplicando la Transformada Z, se obtiene,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )zUsDsT

TseZsUsXZzXTs

+−=⋅=

−

2

2* 11 (5.28)

Finalmente,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

−

=

+−== −

2

2

2

21 1111sT

sDTsZz

zsT

sDTsZzzUsXzG (5.29)

Algunas características de este método: 1. Conserva la ganancia estática. 2. No preserva las respuestas al impulso, escalón ni frecuencia. 3. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 4. Requiere D(s) sea expandida en fracciones parciales. 5. Los polos en s se transforman mediante Tsez = . Pero no así los ceros, que dependen de las


5.8.1.4 Retenedor triangular o respuesta invariante a la rampa Este método el retenedor empleado es el triangular, este permite conservar la respuesta a la rampa de su equivalente analógico. Para encontrar la discretización se igualar la respuesta ante una rampa del sistema analógico con la del discreto. Sea la respuesta ante una rampa de una planta analógica:

( ) ( )sDs

sY

= 2

1 (5.30)

Entonces la respuesta ante una rampa del sistema digital equivalente sería:

( )( )

( )zDz

zTzY

−= 21

(5.31)

Igualando la respuesta en el tiempo en los dos casos anteriores, se obtiene:

( )( )

( )zDz

zTsGs

−=

22 11 (5.32)

De aquí que finalmente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−=

−= −

−

21

21

2

2 11s

sDZzTz

ssDZ

zTzzG (5.33)

Algunas características de este método: 1. Conserva la ganancia estática. 2. No preserva las respuestas al impulso, escalón ni frecuencia. 3. Preserva la respuesta a la rampa. 4. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 5. Requiere D(s) sea expandida en fracciones parciales. 6. Los polos en s se transforman mediante Tsez = . Pero no así los ceros, que dependen de las



- 207 -

5.8.1.5 Características generales

1. Todas, salvo la primera (respuesta invariante al impulso), conservan la ganancia estática. 2. Los polos en s se transforman mediante Tsez = . Pero no así los ceros, que dependen de los

residuos o fracciones parciales. 3. Debido a la propiedad anterior todas conservan la estabilidad: si D(s) es estable, también lo será

D(z). 4. La segunda (ZOH) y cuarta (Triangular), son usualmente buenas y recomendadas. 5. No son flexibles: si se realizan bloque a bloque en diagramas compuestos pierden la propiedad

de invariancia. 5.8.2 Transformación de polos y ceros o Transformación apareada (matched) La idea es transformar los ceros con la misma transformación aplicable a los polos en los casos anteriores, aunque no hay base matemática que lo justifique estrictamente. Si ip es un polo o cero en s, iλ es el polo o cero correspondiente en z:

Tpi

ie=λ (5.34) Lo que es lo mismo, para polos y ceros reales:

( ) ( )Taezas −−⇒+ (5.35) ( ) ( )11 −− ⋅−⇒+ zeas aT (5.36)

Para polos y ceros complejos: ( ) ( )[ ]aTaT ezbTcosezjbas 22 2 −− −⋅−⇒±+ (5.37)

( ) ( ) ( )[ ]22121 −−−− ⋅−⋅−⇒±+ zezbTcosejbas aTaT (5.38) Por lo tanto se obtendría:

( ) ( )( )( )PolosezpsCerosezas

Tipi

Tiai

sDzD−

−

−=+−=+

= ó

( )

( )∏

∏∞

=

−

∞

=

−

−

−=

1

1)(

j

Tp

i

Ta

j

i

ez

ezKzD (5.39)

En donde la ganancia K se ajusta para dar la ganancia deseada en estado estable (z = 1). Muchas veces se ajusta esta ganancia para igualar el comportamiento en baja frecuencia del sistema continuo con el discreto. Usualmente con la igualdad:

( ) ( )10 ==

=zs

zDsD (5.40) En estas y otras ocasiones se corrige la ganancia a otra frecuencia especificada o estable o se adoptan otros criterios. Por ejemplo, para una integración puede ajustarse igual pendiente final de la respuesta a un escalón.

5.8.2.1 Variantes

Para reflejar los ceros en infinito de D(s) (número menor de ceros que de polos), pueden añadirse: a) En -1; término ( )nz 1+ .

b) En 0; término ( )nz . El número de los mismos, n, puede ser el necesario para igualar el orden, o para que el orden del numerador sea justo inferior al del denominador. La opción preferida suele ser: completar con ceros en -1 hasta un orden del numerador justo inferior al del denominador (estos se ubican en 1−=z ).


- 208 -

5.8.2.2 Características generales

1. Fácil de obtener y programar. 2. D(s) debe estar en forma factorizada. 3. Misma ubicación de polos que la transformada invariante al impulso con diferente ubicación de

ceros. 4. Se debe escalar la ganancia estática, pues no se conserva automáticamente; debe corregirse, lo

cual no es difícil si no es cero o infinita. 5. Los denominadores de D(z) coinciden con los métodos anteriores. 6. Se conserva la estabilidad: si D(s) es estable, también lo será D(z). 5.8.3 Discretización por aproximación o Transformaciones s = f(z) Este método se basa en sustituir en D(s), la variable s, por una función racional en z. Son sencillas y flexibles de aplicar, en casi cualquier situación. Pueden justificarse de distintas maneras:

a) Como una aproximación a la derivación. b) Como una aproximación a la integración. c) Como una aproximación racional de Tsez =

Los casos analizados serán: 1. Puede verse como una derivación (backward rule) o como una integración rectangular. 2. Puede verse como una derivación adelantada, no causal (forward rule) o como una integración

rectangular retrasada. 3. Puede verse como una integración trapezoidal. Es la transformación bilineal. Se conoce también

como regla de Tustin. 4. El caso anterior (la transformación bilineal) con predesvío (prewarping).

5.8.3.1 Transformación por diferencias finitas hacia delante (forward rule) Este método también se conoce como aproximación de derivada como una diferencia en adelanto o método de Euler. Esta es una técnica que aproxima la derivada de una función de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )T

kTyTkykTydtd

TtyTtyty

dtd −++

=⇒−+

=1 (5.41)

Fig. 5.9. Aproximación de la derivada: a) Diferencias hacia delante; b) Diferencias hacia atrás.


- 209 -

Tomando la transformada de Laplace de la expresión anterior,

( ) ( ) ( )T

sYsYessYsT −

= (5.42)

Despejando s,

Tes

sT 1−= (5.43)

Como sTez = , entonces

Tzs 1−

= o en otra forma alternativa 1

111−

−−=

zz

Ts (5.44)

Por consiguiente,

( ) ( ) ( )T

zssDzD 1−

== (5.45)

Como se puede apreciar en la siguiente figura, esta transformada traslada el origen del plano s a 1−=z , lo que ocasiona que una función estable en el plano s, pueda comportarse como inestable en

el plano z. Por consiguiente, algunos sistemas analógicos estables se convertirán en sistemas digitales inestables. Los sistemas analógicos inestables también serán digitales inestables bajo esta conversión. Otra desventaja es que el contorno de frecuencia en el plano z no sigue el círculo unidad. Por lo tanto, la discretización por medio de diferencias hacia delante no es la mejor.

Fig. 5.10. Mapeo de polos estables del plano s al plano z por método de diferencia hacia delante. (a) Plano s; (b) Plano z

Algunas características de este método: 1. No requiere factorización de la función de transferencia. 2. Si D(s) es estable D(z) no necesariamente lo es. 3. No preserva ni la respuesta al impulso ni la respuesta en frecuencia.

5.8.3.2 Transformación por diferencias finitas hacia atrás (backward rule) Este método también se conoce como aproximación de derivada como una diferencia en atraso, reemplazando la derivada de una función por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )T

TkykTykTy

dtd

TTtytyty

dtd 1−−

=⇒−−

= (5.46)


- 210 -

Tomando la transformada de Laplace de la expresión anterior,

( ) ( ) ( )T

sYesYssYsT−−

= (5.47)

Despejando s,

Tes

sT−−=

1 (5.48)

Como sTez = , entonces,

Tzs

11 −−= o en otra forma alternativa,

zz

Ts 11 −= (5.49)

Por consiguiente,

( ) ( ) ( )zT

zssDzD 1−

== (5.50)

Como se puede apreciar en la siguiente figura, esta transformada comprime la región estable del plano s en una zona reducida del plano z, lo cual ocasiona que la zona de altas frecuencias del plano s no sean mapeadas a la zona de altas frecuencias del plano z. Por consiguiente los sistemas analógicos estables siempre se convertirán en equivalentes digitales estables. De hecho, algunos sistemas analógicos inestables se convertirán en digitales estables.

Fig. 5.11. Mapeo de polos estables del plano s al plano z con método de diferencia hacia atrás. (a) Plano s; (b) Plano z.

Características de este método: 1. No requiere factorización de la función de transferencia. 2. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 3. No preserva ni la respuesta al impulso ni la respuesta en frecuencia.

5.8.3.3 Método Trapezoidal, Bilineal, Tustin o Transformación z Bilineal

Este método aproxima numéricamente las integrales, a diferencia de los dos métodos anteriores donde lo que se aproxima es la derivada. Se determina una aproximación numérica para,

( ) ( )∫=tf

dttxty0

(5.51)


- 211 -

Debe puntualizarse que la integral definida de una función, no es más que el área bajo la curva, como se ilustra en la siguiente figura:

Fig. 5.12. (a) Definición de la integral; (b) Aproximación del área bajo la curva mediante trapecios.

Se aproximará el área bajo la curva mediante una sumatoria de las áreas individuales de una serie de trapecios, dispuestos como se muestra en la Fig. 5.12. Entonces el área del trapecio k-ésimo será:

( ) ( ) ( )( )[ ]TkxkTxTkTA 12

−+= (5.52)

De lo anterior, la integral de x(t) se podría aproximar de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )∑=

==k

nnTAkTyty

1, por lo que ( ) ( ) ( )( )∑

=

−+=k

nTnxnTxTkTy

11

2 (5.53)

La expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]TnxnTxTTnxnTxTkTyk

n1

21

2

1

1−++−+= ∑

−

=

, y como (5.54)

( )( ) ( ) ( )( )[ ]∑−

=

−+=−1

11

21

k

nTnxnTxTTky , entonces: (5.55)

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]TkxkTxTTkykTy 12

1 −++−= (5.56)

Tomando la Transformada Z del resultado anterior se obtendría,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]zXzzXTzYzzY 11

2−− ++= , por lo que, ( )

( )

−+

=−

−

1

1

11

2 zzT

zXzY (5.57) (5.58)

Consecuentemente se ha aproximado la integral ( s1 ) por lo que,

−+

=−

−

1

1

11

21

zzT

s, entonces,

+−

=

+−

=−

−

112

112

1

1

zz

Tzz

Ts (5.59) (5.60)

Finalmente,

( ) ( )

+−

==

112

zz

Ts

sDzD (5.61)


- 212 -

Como se puede apreciar en la siguiente figura, esta transformada comprime la región estable del plano s dentro del círculo unitario del plano z. Por consiguiente, todos los sistemas analógicos estables se convertirán en equivalentes digitales estables. Además, el eje jw del plano s se convierte en el círculo unidad del plano z.

Fig. 5.13. Mapeo de polos estables del plano s al plano z por el método trapezoidal. (a) Plano s; (b) Plano z.

Características de este método: 1. No requiere factorización de la función de transferencia. 2. Si D(s) es estable D(z) también lo es. 3. Preserva tanto la respuesta al impulso como la respuesta en frecuencia. 4. Crea una distorsión en la zona de altas frecuencias

5.8.3.4 Método de la aproximación bilineal con predesvio (prewarping). Este método corrige la desigualación de frecuencias del método bilineal para las frecuencias críticas de la función a discretizar. Sea D(s) un filtro paso bajo,

( )as

asD+

= , donde a es la frecuencia de corte ( cw ). (5.62)

Partiendo de la relación de frecuencias, se tiene:

=

2tan2 wT

Ta , donde w es la frecuencia discreta equivalente. (5.63)

Pero como lo que se quiere es igualar el comportamiento en frecuencia del sistema continuo con el discreto a la frecuencia de corte, entonces w = a. Por lo tanto,

( )

+

=+

=

2tan2

2tan2

wTT

s

wTT

asasD (5.64)


- 213 -

Aplicando la Transformada bilineal:

( )

+

+−

=

+

=

+−

= 2tan

11

2tan

2tan2

2tan2

112

wTzz

wT

wTT

s

wTTzD

zz

Ts

(5.65)

( )1

11

2tan

11

+

+−

⋅

=

zz

wT

zD (5.66)

( )w

zz

wTw

wzD+

+−

⋅

=

11

2tan

(5.67)

Finalmente,

( ) ( )

+−

==

11

2tan z

zwT

wssDzD (5.68)

Donde w es la frecuencia crítica donde se quiere que el comportamiento en frecuencia (magnitud y fase) sea el mismo tanto para el sistema analógico como para el discreto.

5.8.3.5 Características generales 1. Todas las aproximaciones conservan la ganancia estática, ya que f(1) = 0. 2. Los polos y ceros en s se transforman mediante aproximaciones racionales de Tsez = ; ver la

Tabla 5.2. Si D(s) está en forma ceros polos, resulta cómodo transformarlos individualmente; pero debe ajustarse además una ganancia.

3. Estudiando la transformación de los polos se demuestra que todas, salvo la Transformación por diferencias finitas hacia delante, conservan la estabilidad: si D(s) es estable, también lo es D(z).

4. Con la Transformación por diferencias finitas hacia delante se obtiene una D(z) inestable para polos rápidos de D(s).

5. La Transformación Bilineal o de Tustin, es usualmente buena, pero si hay polos reales rápidos en D(s) aparecen oscilaciones (amortiguadas) a la frecuencia de Nyquist. Puede ser preferible la Transformación por diferencias finitas hacia atrás, que no tiene este problema.

6. El método de la aproximación bilineal con predesvío, permite obtener la misma respuesta a una frecuencia elegida. Tiene el mismo inconveniente que la Transformación bilineal o de Tustin.

7. Son flexibles, en el sentido de que pueden realizarse bloque a bloque en diagramas compuestos. La Transformación por diferencias finitas hacia delante, evita la aparición de lazos algebraicos en esquemas realimentados, al introducir un retardo en el lazo.

De forma general este método se basa en aproximar sistemas en tiempo discreto, a que se comporten de forma muy semejante a un sistema en tiempo continuo dado, relacionando la Transformada s de Laplace con la Transformada Z, según sea el método específico seleccionado, obteniendo para cada caso una la relación aproximada de s con z, o sea, s = f(z).


- 214 -

La relación exacta está dada en la propia definición de la Transformada Z, cuya relación exacta es ( )[ ] Tzlns = ya que Tsez = . De los métodos analizados, el que más se aproxima a esta relación

exacta es el de la Transformada Bilineal o de Tustin, este aproxima el operador s según:

+−

=112

zz

Ts (5.69)

Si se expande el ( )zln en series de potencias de Taylor, la relación exacta se convertiría en:

( ) ( )( )

( )( )

+

+

−+

+

−+

+−

== L5

5

3

3

151

131

1121

zz

zz

zz

Tzln

Ts (5.70)

Como se puede observar de la relación anterior, el primer término corresponde con la Transformada Bilineal o de Tustin, de ahí que sea el método más aproximado, esto también se puede comprobar, comparando las Transformación conforme que sufre el semiplano negativo del plano s (estable) en el plano z, como se ilustra la siguiente figura.

Plano z

Diferencia en adelanto Diferencia en atraso Bilineal o de Tustin

Fig. 5.14. Mapeo del semiplano negativo de s en el plano z para el método de discretización por aproximación

5.8.4 Resumen de los métodos de discretización.

Tabla 5.2: Resumen de los métodos de discretización

No. Método de Discretización Ganancia Ventajas Desventajas

I Discretización por aproximación Polos y Ceros:

Sencillas y Flexibles

I.1 Diferencias finitas hacia delante:

Tzs 1−

= sTz +=1 Igual Se evitan los lazos

algebraicos

Inestable polos

rápidos

I.2 Diferencias finitas hacia atrás:

zz

Ts 11 −= sT

z−

=1

1 Igual

I.3 Transformación Bilineal:

+−

=112

zz

Ts

TsTsz

−+

=22 Igual Integración

trapezoidal

Oscilaciones polos

rápidos

I.4 Bilineal con predesvío (prewarping):

+−

=11

zzcs , ( )2wTtan

wc = scscz

−+

= Igual Ajusta una frecuencia

elegida

Oscilaciones polos

rápidos


- 215 -

II Simulaciones invariantes Polos en:

Tsez = Exacta a

entradas: Laboriosas eInflexibles

II.1 Respuesta invariante al impulso ( ) ( )[ ]zDZzD =

Retenedor Unitario Ajustar Impulso Poco

realista

II.2 Respuesta invariante al escalón

( ) ( )

−

=ssDZ

zzzD 1

Retenedor de orden cero

(ZOH) Igual

Escalón (Constante por tramos)

II.3 Retenedor de primer orden

( ) ( ) ( ) ( )

+−= 22

2 11sT

sDTsZz

zzD Retenedor de primer orden

(FOH) Igual -

II.4 Respuesta invariante a la rampa

( ) ( ) ( )

−= 2

21s

sDZzT

zzD Retenedor Triangular Igual

Rampa (Lineales

por tramos)

III Transformación de polos y ceros Polos y ceros

Tsez = Ajustar Sencilla y

Flexible

Propiedades poco

definidas

5.8.5 Discretización utilizando CAD Con el desarrollo de los medios de computo y de los software de ayuda para el diseño (Computer Aided Design o simplemente CAD), está tareas se pueden simplificar considerablemente, dando la tarea de discretización a la máquina. Unos de los CAD que se viene imponiendo para estas aplicaciones es el Matlab®, software profesional que posee un conjunto de herramientas para su uso en el control, un conjunto de instrucciones están agrupadas en Control System Toolbox, específicamente para la conversión de sistemas analógicos en digitales (discretización), el comando específico es c2d que significa continuo a digital (continuous to digital). Aunque la terminología no está suficientemente bien definida, y hay distintas variantes, es necesario consultar la ayuda y el manual, o hacer un estudio de los resultados para los detalles. A continuación se muestra el resultado de la ayuda de este comando (help c2d): C2D Conversion of continuous-time models to discrete time. SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: 'zoh' Zero-order hold on the inputs 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) 'imp' Impulse-invariant discretization 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only). The default is 'zoh' when METHOD is omitted.


- 216 -

Los métodos implementados en el Matlab® según la tabla anterior son los siguientes: ‘zoh’ Retenedor de orden cero (ZOH), (Método II.2). Es la opción por defecto. ‘foh’ Usa el retenedor triangular, y no el de primer orden. (Método II.3) ‘tustin’ Usa la transformación bilineal o de Tustin. (Método I.3) ‘prewarp’ Usa Tustin con predesvio (prewarping), hay que especificar cw . (Método I.4) ‘matched’ Transformación de polos y ceros o Transformación apareada (matched). (Método III)

5.9 Ecuaciones en diferencia La solución de ecuaciones diferencia por el método de la Transformada Z es muy útil, como lo es la solución de ecuaciones diferenciales por las transformadas de Laplace. Esencialmente, utilizando el método de la Transformada Z se pueden transformar ecuaciones diferencia en ecuaciones algebraicas en z. En lo que sigue se utilizará la notación simplificada ( )kx para indicar ( )kTx . Transformada Z de ( )1+kx La Transformada Z de ( )1+kx está dada por

( )[ ] ( ) ( )01 zxzzXkxZ −=+ (5.71) Donde ( ) ( )[ ]kxZzX = . Se puede probar esto como sigue:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )01

01101

1

0

zxzzXkxZ

xzkxzzkxzkxkxZ k

kk

kk

k

−=+

−==+=+ −

∞

=

∞

=

+−−∞

=∑∑∑ (5.72)

Notando que, si ( ) 00 =x , ( )[ ] ( )[ ] ( ) 001 =⋅=+ xsikxZzkxZ (5.73)

Entonces, si ( ) 00 =x , la multiplicación de la Transformada Z de una función ( )kx por z corresponde a un desplazamiento en tiempo de un período hacia adelante. Se puede modificar fácilmente ( )[ ] ( ) ( )01 zxzzXkxZ −=+ para obtener la relación siguiente:

( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )10

11222 zxxzzXz

zxkxZzkxZ

−−=

−+⋅=+ (5.74)

En forma similar ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1210 21 −−−−−−=+ −− mzxxzxzxzzXzmkxZ mmmm L (5.75)

Donde m es un entero positivo. Se hace notar que al transformar la ecuación diferencia en una ecuación algebraica en z por el método de la Transformada Z, se incluyen automáticamente los datos iniciales en la representación algebraica.

5.10 Teoremas del valor inicial y final 5.10.1 Teorema del valor inicial Si ( )zX es la Transformada Z de ( )tx y existe ( )zXlim

z 0→, el valor inicial ( )0x de ( )tx o ( )kx es:

( ) ( )zXlimxs ∞→

=0 (5.76)

Para probarlo, nótese que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++== −−−∑ 21 210 zxzxxzkxzX k (5.77)

Haciendo que ∞→z , se obtiene el valor inicial.


- 217 -

5.10.2 Teorema del valor final Si ( )zX es la Transformada Z de ( )tx y ( )zX no tiene polos dobles o de orden superior en el círculo unitario centrado en el origen del plano z ni polos fuera del círculo unitario ésta es la condición de estabilidad de ( )zX , o la condición de que ( ) ( )L,,,k,kx 210= se mantenga infinito, el valor final de ( )tx o ( )kx está dado por

( ) ( ) ( ) ( )[ ]zXzlimtxlimkxlimztk

1−==∞→∞→∞→

(5.78)

Para probarlo, nótese que

( )[ ] ( ) ( ) k

kzkxzXkxZ −

∞

=∑==

0 (5.79)

( )[ ] ( ) ( ) ( ) k

k

zkxzxzzXkxZ −∞

=∑ +=−=+

0

101 (5.80)

Por tanto,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k

k

k

kzkxzkxzxzXzzXzxzzX −

∞

=

−∞

=∑∑ −+=−−=−−

001010 (5.81)

De donde se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] k

kzkxkxzxzXz −

∞

=−++=− ∑

0101 (5.82)

Por la condición de estabilidad supuesta, se obtiene, cuando 1→z , ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∞=−∞+=−

→xxxxzXzlím

z001

1 (5.83)

Que es el valor final.

5.11 La Transformada Z inversa Dada ( )zX , hay tres métodos para obtener la Transformada Z inversa ( )kTx o ( )kx . Los tres métodos están basados en el desarrollo de una serie infinita de potencias, en un desarrollo en fracciones parciales y en la integral de inversión. Al obtener la Transformada Z inversa, se supone como habitualmente, que la serie temporal ( )kTx o ( )kx vale cero para 0<k .

5.11.1 Transformada z inversa desarrollando ( )zX en una serie infinita de potencia

Si se desarrolla ( )zX en una serie de potencias convergentes en 1−z , es decir,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) LL +++++=

=

−−−

−∞

=∑

k

k

k

zkTxzTxzTxx

zkTxzX

210

20

(5.84)

Se pueden determinar los valores de ( )kTx por inspección. Si ( )zX está dada en la forma de una función racional, se puede lograr el desarrollo en una serie infinita de potencia simplemente dividiendo el numerador por el denominador. Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de las kz − en la serie son los valores de ( )kTx de la secuencia temporal. Al obtener los coeficientes de la división se debe escribir, tanto en numerador como denominador de ( )zX , en potencias crecientes de 1−z . Aunque el método presentado dan los valores de ( ) ( ) ( )L,2,,0 TxTxx en forma secuencial, habitualmente es difícil obtener una expresión para el término general partiendo de un juego de valores de ( )kTx .


- 218 -

5.11.2 Transformada z inversa desarrollando ( )zX en fracciones parciales

Un método alternativo para obtener la ( )kTx , es el basado en el desarrollo en fracciones parciales de ( ) zzX y la identificación de cada uno de los términos utilizando una tabla de transformada z . (Puede no ser fácil disponer de tablas de transformadas z complicadas. Por tanto, puede ser necesario desarrollar en fracciones parciales los polinomios en z antes de obtener las transformadas z inversas). Se hace notar que la razón para desarrollar ( ) zzX en fracciones parciales, es que las funciones de z que aparecen en las tablas de transformadas z tienen generalmente el factor z , en sus numeradores. Sea ( )zX dada por

( ) ( )nmaazazabzbzbzb

zXnn

nnmm

mm

≤+++

+++=

−−

−−

11

10

11

10

L

L (5.85)

Primero se descompone en factores el polinomio del denominador de ( )zX y se hallan los polos de ( )zX . Luego se desarrolla ( ) zzX en fracciones parciales de manera de poder reconocer fácilmente cada uno de los términos en una tabla de transformadas z . Se obtiene la transformada z inversa de ( )zX como la suma de las transformadas z inversas de las fracciones parciales.

5.11.3 Transformada z inversa por la integral de inversión El tercer método de hallar la transformada z inversa, es utilizando la integral de inversión. De la Ec. (5.18) se tiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LL +++++== −−−−∞

=∑ kk

kzkTxzTxzTxxzkTxzX 21

020 (5.86)

Multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por 1−kz , se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LL +++++= −−−−− kkkkk zkTxzTxzTxzxzzX 3211 20 (5.87) Se hace notar que, debido a que Tsez = . Si se reemplaza ωσ js += en esta última ecuación, se obtiene ( )ω+σ= jTez (5.88)

O sea Tz,ez T ω=∠= σ (5.89), (5.90)

Si los polos de [ ]xL están a la izquierda de la línea 1σ=s en el plano S, los polos de ( )xZ quedan dentro del círculo con centro en el origen y radio igual a 1σTe en el plano z . Integrando ambos miembros de la Ec. (5.87) sobre este círculo en sentido antihorario:

( ) ( ) ( ) ( ) LL ++++= −−−− ∫∫∫∫ dzzkTxdzzTxdzzxdzzzX kkk 1211 0 (5.91) Aplicando el Teorema de Cauchy, se ve que todos los términos del segundo miembro de esta última ecuación son iguales a cero excepto un término:

( ) dzzkTx 1−∫ (5.92) Por tanto,

( ) ( ) dzzkTxdzzzX k 11 −− ∫∫ = (5.93) De donde se obtiene

( ) ( ) dzzzXj

kTx k 1

21 −∫=π

(5.94)

La Ec. (5.94) es la integral de inversión de la Transformada z . De la que se puede establecer ( ) ( )[ ]( )∑ −= 1kzzXderesiduoskTx (5.95)


- 219 -

5.12 Funciones de transferencia de pulsos En esta sección se presenta el material básico necesario para analizar sistemas discretos en el tiempo o sistemas de datos muestreados por el método de la transformada z . Es importante al analizar sistemas de tiempo discreto por este método que, aunque los valores de la respuesta del sistema en los instantes de muestreo son correctos, la respuesta del sistema obtenida por el método de la transformada z , puede no presentar el comportamiento correcto de respuesta temporal del sistema efectivo a menos que la función transferencia ( )sG de la parte continua del sistema tenga a menos dos polos más que ceros, de modo que ( ) .0lím =

∞→ssG

s

5.12.1 Teorema del muestreo. El teorema del muestreo de Shannon que se presenta aquí es importante en el diseño de sistemas discretos en el tiempo, pues da la mínima frecuencia de muestreo necesaria para reconstruir la señal original a partir de una señal muestreada. Se supone que la señal continua ( )tx tiene el espectro de frecuencia que se ve en la Fig. 5.15. Esta señal ( )tx no contiene ningún componente de frecuencia por encima de .1 segradω

Fig. 5.15. Un espectro de frecuencias.

Teorema del muestreo. Si Ts πω 2= , siendoT el período de muestreo, es mayor que 12ω ,

12ωω >s (5.96) Donde 12ω corresponde al espectro de frecuencia de la señal continua ( )tx , se puede reconstruir completamente la señal ( )tx a partir de la señal muestreada ( )tx* . Se ha de demostrar esto cuando ( ) ( ) 00lím == +∞→

xssXs

. Se define

( ) ( )[ ]txLsX = (5.97) La transformada de Laplace de la señal muestreada ( )tx* está dada por

( ) ( )∑∞

−∞=

+=k

s kjsXT

sX ω1* (5.98)

Reemplazando ωjs = en esta última ecuación, se tiene el espectro de frecuencias de ( )sX * del modo siguiente:

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )

( )[ ] L

L

+++

+++=

+= ∑∞

−∞=

s

s

ks

jXT

jXT

jXT

kjXT

jX

ωω

ωωω

ωωω

1

11

1*

(5.99)


- 220 -

En la Fig. 5.16 se representa el diagrama de ( )ωjX * en función de ω para dos valores de T . Cada

diagrama de ( )ωjX * en función de ω consiste en ( )ωjX repetido cada sradTs πω 2= . En el

espectro de frecuencias se denomina componente primario al componente ( ) TjX ω y

componentes complementarias a las otras componentes ( )[ ] TkjX sωω ± .

Fig. 5.15. Diagrama de ( )ωjX * en función de ω .

Si 12ωω >s o ( )1ωπ<T , no se superponen ningún par de componentes de ( )ωjX * . Así se preserva la forma original de ( )ωjX por el proceso de muestreo.

Si 12ω>ωs o ( ) T<1ωπ , no aparece más la forma original de ( )ωjX en el diagrama de ( )ωjX * en función de ω . Por tanto, se ve que se puede reproducir la señal continua ( )tx a partir de la señal muestreada ( )tx* por filtrado, si y solamente si 12ωω >s o ( )1ωπ<T . Es decir que, si el período de muestreo es menor que 1ωπ , se puede reconstruir la señal continua utilizando un filtro de pasa bajo después de haber muestreado la señal. Si el filtro de pasa bajo tiene una característica tal que sólo pasa señales frecuencias por debajo de 1ω , se puede obtener el espectro de frecuencias a la salida del filtro, como exactamente T1 veces ( )ωjX . Se hace notar que en la mayor parte de los sistemas de muestreo de datos o de tiempo discreto, el circuito que sigue al muestreador tiene la característica de un filtro de pasa bajo. Esto reduce las componentes de alta frecuencia, alisa la señal muestreada y reproduce a grandes rasgos la señal continua original.


- 221 -

5.12.2 Características de respuesta de frecuencia de los dispositivos de retención de orden cero Para atenuar las componentes complementarias introducidas por el muestreador, generalmente se alimenta la señal muestreada a un circuito de retención, un filtro de paso bajo. Si se aproxima por un polinomio de n-ésimo grado a la señal entre dos instantes consecutivos de muestreo, se dice que el dispositivo de retención es un dispositivo de retención de n-ésimo orden. En este texto sólo se consideran los dispositivos de retención de n-ésimo orden. En estos dispositivos, se aproxima la señal de salida ( )tx por un polinomio de grado cero, o sea una constante. Por tanto,

( ) ( )kTxtx = para ( )TktkT 1+≤≤ (5.100) Donde L,2,1,0=K . La función transferencia de un dispositivo de retención de orden cero es

( )sesG

Ts

h

−−=

1 (5.101)

Reemplazando ωjs = es esta función transferencia, se obtiene

( )

( )

2

222

2

2sen

22

1

ω

ωωω

ω

ωω

ωω

Tj

TjTjTj

Ts

h

eT

T

T

jeee

jejG

−

−−

−

=

−=

−=

(5.102)

En términos de la frecuencia de muestreo Ts πω 2= ,

( ) ( )sj

s

s

sh ejG ωωπ

ωπωωπω

ωπω −

=sen

2 (5.103)

Fig. 5.17. Curva de respuesta de frecuencia del dispositivo de retención de orden cero.

La Fig. 5.17 muestra la curva de respuesta en frecuencia de un dispositivo de retención de orden cero. Claramente se ve que tiene las características de un filtro de paso bajo.


- 222 -

5.12.3 Procedimiento general para la obtención de funciones transferencia de pulsos Se puede obtener la función transferencia de pulsos de un sistema por el procedimiento siguiente: 1. Obtener la función transferencia ( )sG del sistema. 2. Obtener la función respuesta impulsiva ( )tg , donde ( ) ( )[ ]sGLtg 1−= . 3. Calcular:

( ) ( )∑∞

=

−=0k

kzkTgsG (5.104)

Donde se obtiene ( )kTg de ( )tg reemplazando kT por t. Para sistemas estables, la serie infinita converge. Es importante recordar, que el procedimiento de la transformada z o procedimiento de función transferencia de pulsos aplicada al análisis de sistemas de tiempo discreto, se supone a la señal muestreada como un tren de impulsos cuyas intensidades o áreas son iguales a la señal continua en el tiempo de los instantes de muestreo. Esa suposición es válida solamente si la duración del muestreo es pequeña en comparación con la constante de tiempo más grande del sistema. 5.12.4 Funciones de transferencia de pulsos de elementos en cascada. Es importante notar que las funciones de transferencia de pulsos de las Figs. 5.18 (a) y (b) son diferentes.

Fig. 5.18. (a) Sistema de tiempo discreto con un muestreador;

(b) Sistema de tiempo discreto con dos muestreadores

Para el sistema de la Fig. 5.18 (a), la función de transferencia a pulsos es:

( ) ( )( )( )( )btat

btat

ezezab

eezzGG

−−

−−

−−−

−=21 (5.105)

Para el sistema que se ve en la Fig. 5.18 (b) (suponiendo que ambos muestradores están sincronizados y que tienen el mismo período de muestreo) se obtiene:

( ) ( )( )btat ezez

zzGG

−− −−=

221 (5.106)

Así, ( ) ( )zGGzGG 2121 ≠ (5.107)

Por tanto, se debe de ser cuidadoso y observar si hay o no un muestreador entre elementos en cascada.


- 223 -

5.12.5 Funciones transferencia de pulsos en sistemas de lazo cerrado Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. 5.19. En este sistema se muestrea el error de accionamiento. Del diagrama de bloques,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sEsGsC

sCsHsRsE*=

−= (5.108)

Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sEsHsGsRsE *−= (5.109)

Entonces se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )sEsHGsRsE **** −= (5.110) O

( ) ( )( )sGH

sRsE *

**

1+= (5.111)

Como ( ) ( ) ( )sEsGsC *** = (5.112)

Se obtiene

( ) ( ) ( )( )sGHsRsGsC *

***

1+= (5.113)

En términos de trasformada z , ( )zC está dada por

( ) ( ) ( )( )zGHzRzGzC

+=

1 (5.114)

Fig. 5.19. Sistema de tiempo discreto de lazo cerrado.

La transformada z inversa de la Ec. (5.114) da los valores de la salida en los instantes de muestreo. La función transferencia de pulsos del sistema de lazo cerrado que se tiene es

( )( )

( )( )zGH

zGzRzC

+=

1 (5.115)

En la Tabla 5.3 se ven configuraciones típicas de sistemas de lazo cerrado y tiempo discreto. Para cada configuración se indica la correspondiente salida ( )zC .


- 224 -

Tabla 5.3. Configuraciones típicas de sistemas de lazo cerrado discretos en el tiempo y sus salidas correspondientes

5.13 Análisis de estabilidad en el plano Z En esta sección se presenta el análisis de estabilidad de sistemas de tiempo discreto en el plano z . 5.13.1 Transformación de semiplano izquierdo s en el plano z Un sistema dinámico lineal es estable, si todos los polos de la función transferencia están el semiplano izquierdo de s . En el plano z , el semiplano izquierdo s corresponde al cálculo unitario centrado en el origen, o sea, que el semiplano izquierdo s tiene su representación conforme en la parte interior del círculo unitario en el plano z . Se puede probar esto muy fácilmente. Como

ωσ jsez Ts +== , (5.116) Se obtiene

Tzez T ωσ =∠= (5.117) En el semiplano izquierdo s , 0<σ . Por tanto, la amplitud de z varía entre 0 y 1. El eje imaginario, o sea 0=σ , corresponde al círculo unitario en el plano z . El interior del círculo correspondiente al semiplano izquierdo s .


- 225 -

Nótese que, como Tz ω=∠ , el ángulo de z varía desde ∞− a ∞ a medida que ω varía desde ∞− a ∞ . Sea un punto representativo sobre el eje ωj en el plano s . A medida que ese punto se desplaza desde Tπ− hasta Tπ a lo largo del eje ωj , se tiene 1=z y z∠ varía desde π− a π en dirección antihoraria en el plano z . Al desplazarse el punto representativo desde tπ hasta tπ3 sobre el eje ωj el punto correspondiente en el plano z traza un círculo unitario una vez en sentido antihorario. Así cuando el punto en el plano s se desplaza desde ∞− a ∞ sobre el eje ωj , se traza el círculo unitario en el plano z infinito número de veces. De este análisis surge claramente que cada franja de ancho Tπ2 en la mitad izquierda del plano s se proyecta a la parte interior del círculo unitario, en el plano z , como se ve en la Fig. 5.20 (a). En las Figs 4.20 (b) y (c) se ven las regiones correspondientes en los planos s y z . 5.12.2 Análisis de estabilidad Ahora se ha de analizar la estabilidad del sistema de lazo cerrado que aparece que aparece en la Fig. 5.19 en el plano z . La relación salida-entrada del sistema de muestreo de error está dada por la Ec. (5.115)

( )( )

( )( )zGH

zGzRzC

+=

1 (5.118)

Se puede determinar la estabilidad de un sistema como éste, por la ubicación de las raíces de la ecuación característica

( ) 01 =+ zGH (5.119) Como se puede convertir este polinomio en z en una relación entre dos polinomios en z , para tener estabilidad todas las raíces iz de la ecuación característica Ec. (5.119) deben quedar dentro el círculo unitario, o sea

1<iz (5.120) El sistema de lazo cerrado ( ) ( )zRzC se vuelve inestable si cualquiera de los polos de lazo cerrado cae fuera del círculo unitario y/o hay polos múltiples sobre el círculo unitario. Se dispone de algunos métodos para determinar si un polinomio en z contiene o no una o varias raíces en o fuera del círculo unitario. Un método consiste en modificar el criterio de estabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no alguna raíz de un polinomio en el semiplano derecho del plano complejo. Como la transformación siguiente

11

−+

=rrz (5.121)

Convierte el interior del círculo unitario en el plano z en semiplano izquierdo r , con esta transformación se puede aplicar el criterio de estabilidad de Routh al polinomio de r del mismo modo que a los sistemas continuos en el tiempo. Otros métodos consisten en aplicar el criterio de estabilidad de Schur-Cohn o el criterio de estabilidad de Jury. (Debe verse en un libro especializado en sistemas de muestreo de datos una discusión sobre estos criterios.) Alternativamente se pueden aplicar métodos de espacio para determinar la estabilidad escribiendo una ecuación de espacio de estado para el sistema de tiempo discreto.


- 226 -

Fig. 5.20. (a) Transformación de franjas del plano s en el plano z ; (b) y (c) regiones del plano s y sus correspondientes regiones del plano z


- 227 -

5.14 Diseño de reguladores discretos 5.14.1 Introducción Las mayorías de las técnicas de diseño en el campo continuo, se desarrollaron con limitaciones en la tecnología que sólo era posible implementar con componentes neumáticos o redes eléctricas. En particular, muchas restricciones fueron impuestas para asegurar la implementación de las redes eléctricas de compensación D(s), como redes formadas por resistores y condensadores. Con la computadora digital, estas limitaciones en la implementación ya no son relevantes y pueden ignorarse por su puesto estas restricciones. Uno de los métodos el cual elimina estas restricciones es el diseño directo en plano z, o diseño utilizando la Transformada Z, para este método de diseño es necesario trabajar con la función de transferencia discretizada D(z) de la planta en cuestión. Por lo que se plantea que existen básicamente dos enfoques para el diseño de reguladores digitales: 1. Diseño del regulador con las técnicas de control continuo, D(s), y discretización de D(s) a D(z). 2. Diseño digital directo. Se discretiza el modelo de planta y se realiza el diseño del regulador

mediante técnicas discretas.

En esta sección sólo se van a abordar las técnicas de discretización del regulador analógico, D(s). Con este propósito se deberá calcular, primeramente, la función de transferencia del regulador analógico, por los métodos óptimos antes descritos, y seguidamente se procederá a la discretización o digitalización del regulador, o sea convertir D(s) en D(z). En cuanto al regulador en sí mismo, lo que se hace es implementarlo como un programa mediante un lenguaje de programación, ya sea de alto o bajo nivel. El proceso se suele realizar sobre procesadores específicos, DSP, o como en el caso de la práctica, sobre la propia CPU del ordenador. 5.14.2 Algoritmo PID discretizado Uno de los algoritmos de regulación más empleado es la versión discreta del controlador PID continuo. Mediante este método se conserva la respuesta de su equivalente analógico, siempre que el tiempo de muestreo sea lo suficiente pequeño comparado con la constante de tiempo dominante del sistema, requerimiento que hoy en día se puede cumplir con creces debido con la alta velocidad de los sistemas digitales. Esto tiene la ventaja de que se pueda emplear los mismos métodos de ajuste, del regulador analógico y luego obtener su versión digitalizada de una forma sencilla. Como se trato en el capítulo anterior el regulador PID puede estar representado en tres posibles formas, la acoplada o serie, la desacoplada o la paralela, la utilización de estas formas está en dependencia del método de ajuste empleado, aunque es totalmente posible de pasar de una forma de representación a otra, según convenga.

5.14.2.1 Discretización del PID en forma desacoplada El regulador en la forma desacoplada tiene la siguiente estructura:

( ) ( )( )

++== sT

sTK

sEsMsPID d

ic

11 (5.122)

Donde: s Operador de la Transformada de Laplace M(s) Variable manipulada (salida del controlador). E(s) Señal de error (entrada al controlador). Kc Ganancia proporcional del controlador. Td Tiempo de acción derivativa del controlador. Ti Tiempo de acción integral del controlador.

Los parámetros de ajuste son Kc, Td y Ti . La representación en función del tiempo, está dada por la siguiente expresión:


- 228 -

( ) ( ) ( )( ) ( )01

0

mdteTtd

tedTteKtm

t

idc +

+

+= ∫ (5.123)

Donde: t Tiempo. m(t) Variable manipulada (salida del controlador). e(t) Señal de error (entrada al controlador).

La implementación de la expresión correspondiente al controlador analógico en forma discreta, se realiza aproximando las componentes:

Derivativa ( ) ( )

=

dtted

TKtD dc e integral ( ) ( )

= ∫ dtte

TK

tIt

i

c

0

de la forma siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∑−

=

=−−

=1

0

1 k

iicdc ie

TTKkI;

TkekeTKkD (5.124)

Donde: T Intervalo de muestreo. e(k) Señal de error en el instante kTt = .

Una forma alternativa de la acción integral más ventajosa es la siguiente:

( ) ( )∑=

=k

iic ie

TTKkI

1 (5.125)

Que en forma recursiva se escribe:

( ) ( ) ( )keTTKkIkI

ic+−= 1 (5.126)

La expresión discreta del controlador PID al sustituir las expresiones (5.122) y (5.124) nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )011 ´ mkeTTkIkeke

TT

keKkmi

dc +

+−+−−+= (5.127)

Siendo: ( ) ( )cK

kIkI 11´ −=− (5.128)

Este algoritmo se denomina de posición, y esta representado por una ecuación en diferencia, por cuanto se obtiene como resultado el valor total de la variable manipulada, y requiere que sea informado al algoritmo y almacenado en la memoria de la máquina al valor inicial de esta ( )[ ]0m . A fin de evitar esto, se emplea el llamado algoritmo de velocidad, el cual calcula el cambio de la variable manipulada en lugar de su valor total. La expresión del algoritmo de velocidad se calcula fácilmente dado que:

( ) ( ) ( )1−−=∆ kmkmkm (5.129) De (5.6) se tiene, para el instante de muestreo 1−k , que:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )012111 ´ mkIkekeTT

keKkm dc +

−+−−−+−=− (5.130)

Y al sustraer esta expresión de la (5.6) se tiene que la del algoritmo de velocidad es la siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )

+−+−−+−−=∆ keTTkekeke

TT

kekeKkmi

dc 2121 (5.131)

Una forma más ventajosa de la expresión anterior, agrupando términos semejantes, de acuerdo con el tiempo requerido por el algoritmo para su procesamiento es la siguiente:


- 229 -

( ) ( ) ( ) ( )[ ]21 −+−+=∆ keCkeBkeAkm (5.132) Otra forma aún más compacta y general en que también puede escribirse es:

( ) ( ) ( ) ( )21 210 −+−+=∆ kekekekm ααα (5.133) Donde ACyAB,A === 210 ααα . (5.134) Como se puede observar, ambas ecuaciones están planteadas como ecuaciones en diferencias. De forma general para implementar dichos reguladores en la computadora digital, estos se implementan como filtro digital, que es como función de transferencia de pulsos (función de transferencia en Transformada Z) en potencias de 1−z . Por lo tanto es recomendable llevar estas ecuaciones del regulador a función de transferencia del regulador discreto, como se muestra a continuación. Se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]211 −+−+=−− keCkeBkeAkmkm , ya que ( ) ( ) ( )1−−=∆ kmkmkm (5.135)

Aplicando la Transformada Z a ambos miembros de la ecuación, se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zEzACzEzABzEAzMzzM 211 −−− ++=− (5.136)

Extrayendo factor común y agrupando términos, ( )( ) ( )( )2111 −−− ++=− zACzABAzEzzM (5.137)

De la cual se obtiene la función de transferencia del filtro digital (regulador), la cual sería: ( )( ) 1

21

1 −

−−

−

++=

zzACzABA

zEzM ó ( )

( ) 1

22

110

1 −

−−

−

++=

zzz

zEzM ααα

(5.138)

Que llevada a potencias positivas de z sería: ( )( ) ( )1

2

−++

=zz

ACzABzAzEzM ó

( )( ) ( )1

212

0

−++

=zz

zzzEzM ααα

(5.139)

5.14.2.2 Discretización del PID en forma paralela El regulador en la forma paralela tiene la siguiente estructura:

( ) ( )( ) sK

sK

KsEsMsPID d

ip ++== (5.140)

Donde: s Operador de la Transformada de Laplace M(s) Variable manipulada (salida del controlador). E(s) Señal de error (entrada al controlador). Kp Ganancia proporcional del controlador. Kd Ganancia derivativa del controlador. Ki Ganancia integral del controlador.

Los parámetros de ajuste son Kc, Kd y Ki . La representación en función del tiempo, está dada por la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( ) ( )0

0

mdteKtdted

KteKtmt

idp ++

+= ∫ (5.141)

Donde: t Tiempo. m(t) Variable manipulada (salida del controlador). e(t) Señal de error (entrada al controlador).

Discretizando la función de transferencia. Convirtiendo la señal m(t) en su equivalente digital m(k):


- 230 -

∑−=

=

−−

++=1kn

0nDIP T

1)e(ke(k)Ke(n)TKe(k)Km(k) (5.142)

Donde T es el intervalo de muestreo del controlador digital. Si se expresa en ecuación de diferencia como incrementos respecto al intervalo anterior:

( )

−−

++=T

2)-e(k+1)e(ke(k)K 1)-Te(kK1)-e(k-e(k)K1)-m(k-m(k) DIP2 (5.143)

Luego transformando al dominio de la Transformada discreta Z:

( ) ( )

+−++−=⋅−

−−−−−

Tz2z1E(z)KTE(z)zKz1E(z)Kz(z)MM(z)

21

D1

I1

P1 (5.144)

Lo que nos permite obtener la Transformada Z de la señal de salida del controlador digital M(z),

( )( )

−+

−+=

−

−

−

Tz1KT

z1zKKE(z)M(z)

1

D1

1

IP (5.145)

Y la función de transferencia discreta del regulador

( )( )

−+

−+=

−

−

−

Tz1KT

z1zKK

E(z)M(z) 1

D1

1

IP (5.146)

En este caso los parámetros KP , KI y KD son los mismos parámetros de ajuste del controlador PID analógico. Simplificando la expresión anterior se obtiene:

( ) ( )( )( )

−

+−++−=

−

−−−−

1

2111

1211

zzzTKzTKzK

E(z)M(z) DIP (5.147)

( )( ) ( ) ( )( )

−

+−+−++=

−

−−

1

21

12

zzTKzTKTKKTKK

E(z)M(z) DDIPDP (5.148)

Igualando la expresión anterior con la función de transferencia del filtro digital: ( )( ) 1

22

110

1 −

−−

−

++=

zzz

zEzM ααα

(5.149)

Se obtienen las siguientes relaciones:

+=T

KK D

P0α ;

−+−=TK

TKK DIP

21α ;

=T

K D2α (5.150)

Que corresponden con el ajuste del regulador en forma paralela. Generalizando se puede decir que por ambas formas del PID discretizadas, tanto la forma desacoplada como la paralela, se obtienen la misma función de transferencia discreta, por supuesto, con diferentes parámetros de ajuste.

La función de transferencia discreta: ( )( ) 1

22

110

1 −

−−

−

++=

zzz

zEzM ααα

(5.151)

Coincide con la estructura de la función discreta del regulador PID discreto, ambas estructuras, analógicas y digital, son funciones impropias de segundo orden, con dos ceros y un polo en el origen, este último garantiza la acción integral, la cual lleva a cero el error estacionario. Los parámetros de ajuste están representados en 0α , 1α y 2α , se determinan según los parámetros del regulador analógico y el método de discretización empleado, a continuación se muestra este procedimiento.


- 231 -

5.15 Determinación de los parámetros de ajuste 5.15.1 Aproximación Rectangular en Atraso Este método se conoce en inglés como “backward rectangular method” o retenedor de orden cero en ingles “Zero Order Hold (ZOH)”. Donde el valor entre instante de muestreo se retiene como su valor en el final del período de muestreo, o sea en atraso, ver Fig. 5.21. Es equivalente al discretizar el regulador PID, sustituyendo la Trasformada de Laplace por:

zz

Ts 11 −= o la forma inversa,

sTez Ts

−≈=

11 . (5.152), (5.153)

Fig. 5.21. Aproximaciones rectangular y trapezoidal de la integral del error

Los coeficientes A, B y C se relacionan con los parámetros de ajuste del algoritmo: dc TK , y iT mediante las expresiones siguientes:

i

d

d

i

d

d

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

BTT

TT

KA++

=++

+−=

++=

11

211 (5.154)

Para la forma compacta los coeficientes 210 , ααα y quedarían: ACABA === 210 ααα (5.155)

TT

KTT

KTT

TT

K dc

dc

i

dc =

+−=

++= 210 211 ααα (5.156)

Para su procesamiento, el algoritmo requiere del almacenamiento en memoria de los coeficientes A, B y C, o α0, α1 y α2 según corresponda, los dos últimos valores del error ( )1−ke y ( )2−ke , y el último valor del mando ( )1−km . Cuando el regulador es PI, la acción derivativa sería 0=dt , por lo que el término 0=C y también

02 =α . En el caso del regulador PD no posee acción integral, por lo tanto 01 =iT , lo mismo que ∞=iT y poseería los tres parámetros (A, B y C).


- 232 -

5.15.2 Aproximación Rectangular en Adelanto Este método también se conoce en inglés como “forward rectangular method”. Donde el valor entre instante de muestreo se retiene como su valor en el inicio del período de muestreo, o sea en adelanto, ver Fig. 5.21. Es equivalente al discretizar el regulador PID, sustituir la Trasformada continua de Laplace por: ( ) Tzs 1−= o la forma inversa, sTez Ts +≈= 1 . Los coeficientes A, B y C se relacionan con los parámetros de ajuste del algoritmo: dc TK , y iT mediante las expresiones siguientes:

TT

TT

C

TT

TT

TT

BTT

KAd

d

d

d

idc

+=

+

+−−=

+=

11

21

1 (5.157)

Para la forma compacta los coeficientes 210 , ααα y quedarían:

TT

KTT

TTK

TT

K dc

d

ic

dc =

+−−=

+= 210

211 ααα (5.158)

Cuando el regulador es PI y el PD resulta en el mismo caso que el anterior, de forma general. 5.15.3 Aproximación Trapezoidal Este método también se conoce en inglés como “trapezoidal rectangular method”, o retenedor de primer orden en ingles “First Order Hold (FOH)”. El valor entre instante de muestreo se integra, o sea se obtiene un trapecio, ver Fig. 5.21.

La componente integral ( )keTT

i de la expresión (5.157) se determina al aproximar el área bajo la

curva del error (integral del error) en el intervalo ( ) kTTk −−1 por un rectángulo de lados ( )ke y T (Fig. 5.1). Un resultado más exacto se obtiene aproximando dicha área por un trapecio de altura T

y bases ( )1−ke y ( )ke , representado en la misma figura, o sea: ( ) ( ) ( )[ ]2

1−+=

kekeTTkIi

Esta modificación implica que los coeficientes A, B y C serán ahora:

i

d

d

i

d

d

i

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

TT

BTT

TT

KA

21

21

22

1

21

++=

++

++−=

++= (5.159)


TT

KTT

TTK

TT

TT

K dc

d

ic

i

dc =

+−−=

++= 210

22

12

1 ααα (5.160)

Cuando el regulador es PI y el PD resulta igual que el primer caso. 5.15.4 Aproximación Bilineal o de Tustin Este método también se conoce en inglés como “Bilinear or Tustin approximation”. Donde al discretizar el regulador PID, la Trasformada de Laplace, se sustituye por la forma bilineal que establece la aproximación siguiente:

112

+−

=zz

Ts o la forma inversa,

TsTs

sTsT

ez Ts

−+

=−+

≈=22

2121

(5.161), (5.162)


- 233 -

Esta modificación implica que los coeficientes A, B y C por este método serán:

i

d

d

i

d

d

i

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

TT

BTT

TT

KA

21

21

22

1

21

++=

++

++−=

++= (5.163)


−+=

−−=

++= 1

22

42

21 210 T

TTTK

TT

TT

KTT

TT

K d

ic

i

dc

i

dc ααα (5.164)

Cuando el regulador es PI y el PD resulta igual que el primer caso. La siguiente figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s en el plano z, para tres de los métodos anteriores.

5.15.4.1 Tablas resúmenes de los métodos expuestos

A continuación se muestran dos tablas resumen con lo antes expuesto:

Tabla 5.4: Regulador PID y diferentes representaciones

Tipo Reg.

Continuo D(s)

Discreto D(z-1)

Ecuación en Diferencia m(k)

PI

+

sTK

ic

11 1

110

1 −

−

−

+

zzαα

( ) ( ) ( )1110 −+−+ kmkeke αα

PD ( )sTK dc +1 1

22

110

1 −

−−

−

++

zzz ααα

( ) ( ) ( ) ( )121 210 −+−+−+ kmkekeke ααα

PID

++ sT

sTK d

ic

11 1

22

110

1 −

−−

−

++

zzz ααα

( ) ( ) ( ) ( )121 210 −+−+−+ kmkekeke ααα

Tabla 5.5: Parámetros de ajuste según el método de discretización empleado.

Métodos Matlab 0α 1α 2α Aproximación Rectangular

en Atraso ZOH

++

i

dc T

TTT

K 1

+−

TT

K dc

21

TT

K dc

Aproximación Rectangular en Adelanto

-

+TT

K dc 1

+−−

TT

TTK d

ic

21

TT

K dc

Aproximación Trapezoidal FOH

++

i

dc T

TTT

K2

1

+−−

TT

TTK d

ic

22

1 TT

K dc

Aproximación Bilineal o de

Tustin Tustin

++

i

dc T

TTT

K2

21

−−

i

dc T

TTT

K4

−+ 1

22 T

TTTK d

ic


- 234 -

Tabla 5.6: Modificación del los reguladores PI y PD por la aproximación Bilineal o de Tustin

Tipo Reg.

Discreto D(z-1)

Ecuación en Diferencia m(k) 0α 1α

PI 1

110

1 −

−

−

+

zzαα

( ) ( ) ( )1110 −+−+ kmkeke αα

+

ic T

TK2

1

−−

ic T

TK2

1

PD 1

110

1 −

−

−

+

zzαα

( ) ( ) ( )1110 −+−+ kmkeke αα

+

TT

K dc

21

−

TT

K dc

21

5.15.5 Modificación de la acción derivativa Otra modificación a este algoritmo que se puede introducir para evitar los valores muy elevados de la componente derivativa cuando se producen cambios en los valores deseados a partir de un estado de equilibrio ( )0=e . Obsérvese que en el instante de cambio la componente derivativa es:

( ) ( )keTT

KkD dc ⋅⋅= (5.165)

La variable ( )ke puede tomar un valor muy alto cuando se cambia el valor deseado ( ) ( ) ( )( )kckrke −= . Esto se evita sustituyendo la señal de error por la variable controlada en la

expresión de la componente derivativa, ya que el valor de esa variable no se modifica bruscamente entre dos intervalos de muestreo sucesivos. La componente derivativa está dada entonces por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]212 −−−+−⋅= kckckcTKkD dc (5.166) Realizar la acción derivativa de esta forma, implica el aumento de utilización de memoria, por cuanto se requiere almacenar los dos últimos valores leídos de la variable controlada c. Una alternativa a utilizar con el mismo propósito consiste en limitar los valores de cambio de la variable manipulada.

5.16 Criterios prácticos para la selección del período de muestreo De un estudio teórico se observa que siempre que se diseñe un regulador digital, el intervalo de muestreo que se escoja es de mucha importancia. Una frecuencia de muestreo demasiado baja puede degradar la estabilidad del sistema, además, se puede perder información debido a que la señales que se utilizan cambian rápidamente, por lo que no se estará trabajando sobre los datos actuales.

Por el contrario, si la frecuencia es elevada, los conversores tanto analógicos como digitales deben ser más rápidos y el volumen de información aumenta, por lo que se debe poner procesadores de mayores prestaciones. A continuación se enumeran un grupo de factores que hay que tener en cuenta en la selección práctica de la frecuencia de muestreo. 5.16.1 Económico Lo más lento posible siempre que garantice se cumplan las especificaciones de operación. Pues esto implica componentes más baratos a la hora de la implementación práctica. Ya que las componentes de alto ancho de banda resultan siempre de más cara adquisición.


- 235 -

5.16.2 Efectividad de seguimiento

5.16.2.1 Por ancho de banda

A fin de poder reconstruir una señal muestreada sin pérdida de información (Teorema de Shannon) la frecuencia de muestreo debe como mínimo ser 2≥ veces ancho de banda de la entrada de referencia. Se puede llegar a 20 veces en dependencia de los requerimientos.

5.16.2.1 Por respuesta en el tiempo requerido De 6 a 10 veces tiempo de subida de la respuesta del sistema a entrada escalón. 5.16.3 Efectividad en la regulación

5.16.3.1 Dada por error ante disturbios Si se designa un control continuo para minimizar el efecto del disturbio, muestreando existe degradación excepto en los momentos de muestreo. Si sw es muy rápida con respecto a la respuesta contenida en el ruido, no existe cambio apreciable al digitalizar el control. Sin embargo si es muy baja, la relación no habrá control del disturbio. La selección debe hacerse por el diseñador. 5.16.4 Sensitividad ante variaciones de los parámetros del proceso La sensitividad a errores en parámetros aumenta cuando disminuye la frecuencia de muestreo. 5.16.5 Errores debido al ruido que introduce el prefiltro analógico Los controles digitales con sensores analógicos generalmente incluyen filtros (prefiltrado). El prefiltrado tiene características pasa bajo la mitad de la frecuencia de muestreo ( )2sw debe seleccionarse para atenuar de manera que las componentes de ruido de frecuencia reducen a ( )2sw no deterioren la respuesta del sistema. Diseño conservador es seleccionar la frecuencia de cruce y

sω suficientemente altas de manera que el atraso de fase introducido por el prefiltrado no altere la estabilidad del sistema, de esta manera el prefiltrado puede ignorarse sobre el control. Para reducir el ruido en alta frecuencia ( )2sw la frecuencia de muestreo debe seleccionarse de 5 a 10 veces mayor que la frecuencia de corte del prefiltro. Eso puede llevar a frecuencias de muestreo del orden de 20 a 100 veces más rápidas que el ancho de banda del sistema y en este caso el límite de la selección del muestreo lo impone el prefiltrado analógico. La alternativa de permitir significante ángulo de retardo del prefiltrado puede reducir la frecuencia de muestreo de 5 a 10 veces la frecuencia de ancho de banda del sistema pero complica el diseño del regulador.

5.16.6 Resumen de la selección de muestreo Del conjunto de reglas prácticas antes expuestas, para determinar el período de muestreo, una de las más utilizadas por los ingenieros de control, es hacer que el intervalo de muestreo cumpla con:

10τ

=T (5.167)

Donde TS es la inversa de la frecuencia de muestreo (fS), por tanto, el período de muestreo; y τ es la menor constante de tiempo o la constante dominante del sistema. Esta relación que es la más utilizada es un caso particular de la sección 5.16.2.1 antes descrito, en este caso el mayor. En cuanto a la experiencia obtenida en casos prácticos en la industria, se ha encontrado que, en general, los intervalos de muestreo de alrededor de 1 segundo son adecuados para procesos de flujo, presión, nivel y temperatura; en cambio, los sistemas electromecánicos requieren de sistemas de control con tiempos de muestreo en el orden de los milisegundos.


- 236 -

5.17 Ejemplos de cálculo y simulación Para este se utilizará el tercer ejemplo de la sección 3.3.2.6, donde se determinó que el regulador PI es:

( )

+=

+

=ss

ssD4115.0

4145.0 (5.168)

Como la forma desacoplada el regulador PID tiene la función de transferencia,

( )

++=

sTsTKsD

idc

11 (5.169)

Para el regulador PI siendo 0=dt :

( )

+=

sTKsD

ic

11 (5.170)

Por lo que extrayendo los datos del PI, según la expresión anterior se obtiene que 5.0=cK , segTi 4= y por supuesto 0=dT . Además seleccionando el período de muestreo según criterios de

la sección anterior, se puede escoger como 10 veces menor que la menor constante de tiempo (τ ).

Lo cual sería seg.T 10101

10===

τ . (5.171)

Entonces, según la sección 5.14.2

( ) ( )( ) 1

22

110

1 −

−−

−

++==

zzz

zEzMzD

ααα (5.172)

Los parámetros 0α , 1α y 2α según el método de discretización, se calculan a continuación.

5.17.1 Ejemplo con aproximación rectangular en atraso Para caso según la primera fila de la tabla 5.5 se tiene:

TT

KCTT

KTT

TT

K dc

dc

i

dc =

+−=

++= 211 10 αα (5.173)

Obteniendo 512500 .=α , 501 .=α y 02 =α . Por lo que el regulador discreto a implementar en el sistema de control digital sería:

( ) 1

1

15051250

−

−

−−

=z

z..zD (5.174)

Que obedece a la ley de control:

( ) ( ) ( ) ( )21 210 −+−+=∆ kekekekm ααα (5.175)

O su equivalente, (tabla 5.4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )121 210 −+−+−+= kmkekekekm ααα (5.176)

Por lo que finalmente la ecuación de control es:

( ) ( ) ( ) ( )115051250 −+−−= kmke.ke.km (5.177)

Esta es la ecuación que describe al regulador PI discreto calculado y se implementa en un sistema de control digital, usualmente a base de un microprocesador, microcontrolador o procesador digital de señales (DSP).


- 237 -

5.17.1.1 Simulación con planta analógica

La simulación surge como una necesidad y a su vez como una herramienta para analizar, previo a la implementación real, el comportamiento del sistema regulador – planta. El objetivo principal, con el uso de la simulación, es validar los métodos analizados y comprobar la veracidad de los resultados. Por lo que se utiliza la simulación para comprobar los fundamentos teóricos antes expuestos. Para esta primera simulación la planta se mantiene en el dominio continuo, mientras que el regulador es discreto, se usa intermedio entre el sumador y regulador un dispositivo de retención de orden cero, que en esta posición hace la función de muestreador - retenedor, ya que el dominio discreto sólo se restringe al regulador. Entre el regulador y la planta, se usa otro dispositivo de retención, también de orden cero (ZOH), el cual entre instantes de muestreo mantiene el valor en ese instante de muestreo hasta que se actualiza con el próximo valor, en el siguiente instante de muestreo, permitiendo llevar la señal digital en analógica, para luego ser introducida en la planta continua. Ambos retenedores con tiempo de muestreo iguales al del regulador (0.1 Seg.).

Fig. 5.22. Esquema de simulación del regulador – planta continua con aproximación rectangular en atrazo.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Am

plitu

d

Tiempo [seg]

Regulador PI Discreto con planta continua y Aproximacion en Atrazo

Fig. 5.23. Resultado de la simulación de regulador – planta continua con aproximación rectangular en atrazo.


- 238 -

5.17.1.2 Simulación con planta digital

Para la simulación digital, ambos, el regulador y la planta, deben de estar representados como funciones de transferencias discretas. Al igual que se discretizó el regulador, se tiene que discretizar la planta, por uno de los métodos existentes. El método de discretización seleccionado fue el más utilizado, el Retenedor de Orden Cero (Zero Order Hold o simplemente ZOH), al igual que el método con el cual se discretiza en la sección anterior, para poder comparar ambas simulaciones. A continuación se ilustra el procedimiento a seguir para aplicar este método de forma manual y con período de muestreo igual al que se discretizó el regulador (0.1 seg.).

( ) ( )

+

−Ζ=

−

111

sssezG

sT (5.178)

( ) ( )( )

+Ζ−= −

111 2

1

sszzG (5.179)

( ) ( )

+++Ζ−= −

11 32

211

sK

sK

sKzzG (5.180)

11

1

01 =

+=

=ssK

( )1

111

1

022 −=

+−=

+=

=sssds

dK 11

123 ==

−=ssK (5.181)

( )( ) TT ez

zzTz

ezz

zz

zTz

zzzG

−− −−

+−−

=

−+

−−

−−

=11

1111

2 (5.182)

Considerando 10.T = seg. y 9048010 .e . =−

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )904801

190480190480109048011

110 2

.zzz.zz.z.

.zz

z.zG

−−−+−−−−

=−

−+−

−= (5.183)

( ) ( ) ( )( ) ( )9048.01

129048.09048.109048.01.0 22

−−+−++−−−

=zz

zzzzzzG (5.184)

( ) ( ) ( )( ) ( )904801

19048009048029048110.zz

....zzG−−

+−−+−+=

(5.185)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )9048019833000480

90480100472000480

.zz.z.

.zz.z.zG

−−+

=−−+

= (5.186)

En esta última ecuación, función resultante de la discretización de la planta, posee errores de aproximación debido al redondeo en varios números, para mayor exactitud y a modo de comprobación, se ha efectuado dicha discretización con el auxilio del Matlab®, este es un CAD, con herramientas para el trabajo con sistemas de control, tanto analógicos como digitales, y posee una instrucción con los fines de discretización, en este caso: c2d, donde se introduce el sistema continuo (la planta) sujeto a discretización, el período de muestreo ( 10.T = seg.) y el método (ZOH).

Gs = zpk([],[0 -1],1); (5.187)

Gz = c2d(Gs,0.1,'ZOH') (5.188)

( )( ) ( )904801

9672000483740.zz

.z.zG

−−+

= (5.189)


- 239 -

Fig. 5.24. Esquema de simulación del regulador – planta digital con aproximación rectangular en atrazo.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Tiempo [seg]

Am

plitu

d

Regulador PI Discreto con planta digital y Aproximacion en Atrazo

Fig. 5.25. Resultado de la simulación de regulador – planta digital con aproximación rectangular en atrazo.

Por ser el período de muestreo pequeño, la diferencia a simple vista es inapreciable, para notar esta diferencia entre cuando la planta es continua y cuando es discreta, hay que aumentar (zoom) sobre este último resultado de la simulación, pudiéndose comprobar el efecto de la discretización y retención, propios de los sistemas digitales (efecto tipo escalera o stair effect). Este efecto se puede observar para una porción de la grafica, en la parte inferior de la figura anterior. 5.17.2 Ejemplo con aproximación rectangular en adelanto Para caso según la segunda fila de la tabla 5.5 se tiene:

TT

KTT

TTK

TT

K dc

d

ic

dc =

+−−=

+= 210

211 ααα (5.190)

Como 50.K c = , segTi 4= , 0=dT y seg.T 10= Sustituyendo los valores anteriores se obtiene 500 .=α , 487501 .−=α y 02 =α .


- 240 -

Por lo que el regulador discreto a implementar en el sistema de control digital sería:

( )1

1

14875050

−

−

−

−=

zz..zD (5.191)


( ) ( ) ( ) ( )114875050 −+−−= kmke.ke.km (5.192)

Los resultados de esta discretización del regulador por este método son muy semejantes al anterior, se puede observar que los parámetros calculados difieren sólo en pocas centésimas, por lo que los resultados de ambas simulaciones, cuando la planta es analógica y cuando es digital, son casi exactamente iguales al caso anterior. Por lo que carece de importancia presentarlos en cada caso.

5.17.2 Ejemplo con aproximación trapezoidal Para caso según la tercera fila de la tabla 5.5 se tiene:

TT

KTT

TTK

TT

TT

K dc

d

ic

i

dc =

+−−=

++= 210

22

12

1 ααα (5.193)

Como 50.Kc = , segTi 4= , 0=dT y seg.T 10= Sustituyendo los valores anteriores se obtiene 50625.00 =α , 49375.01 −=α y 02 =α . Por lo que el regulador discreto a implementar en el sistema de control digital sería:

( )1

1

1493750506250−

−

−

−=

zz..zD (5.194)


( ) ( ) ( ) ( )11493750506250 −+−−= kmke.ke.km (5.195)

También por este método los resultados de esta discretización del regulador son muy semejantes al anterior, los parámetros calculados difieren sólo en pocas centésimas. Por lo que carece de importancia presentarlos en cada caso, por lo misma razón anterior.

5.17.2 Ejemplo con aproximación Bilineal o de Tustin Según la primera fila de la tabla 5.6 se obtienen los mismos resultados del caso anterior ya que:

−−=

+=

ic

ic T

TKTTK

21

21 10 αα (5.196)

Por lo que el regulador discreto a implementar en el sistema de control digital sería:

( )1

1

1493750506250−

−

−

−=

zz..zD (5.197)


( ) ( ) ( ) ( )11493750506250 −+−−= kmke.ke.km (5.198)

Como los resultados serán exactamente iguales al del caso anterior y muy semejantes a los primeros casos, ya que los parámetros calculados también difieren sólo en pocas centésimas, al igual que en todos los casos anteriores, carece de importancia presentar los resultados de la simulación


- 241 -

5.18 Algoritmos de Transformada Z (Métodos Directos) Los algoritmos denominados de Transformada Z, generalmente, son más ventajosos que el anterior. Según el de control en lazo cerrado básico, en el dominio de la transformada s:

. Fig. 5.26. Diagrama de bloques de un lazo de control con controlador discreto

Un diagrama equivalente de la figura anterior en el dominio de la Transformada Z, sería:

Fig. 5.27. Diagrama de bloques de un lazo de control con controlador discreto

Donde: R(z) Transformada Z de la entrada del sistema. C(z) Transformada Z de la salida del sistema. D(z) Función de transferencia discreta del controlador (algoritmo). HG(z) Función de transferencia discreta del sistema controlado con el retenedor. E(z) Transformada Z de la señal de error. M(z) Transformada Z de la variable manipulada.

La expresión general de un algoritmo de Transformada Z es la siguiente:

( )( ) n

n

pn

zbzb

zazaazEzM

−−

−−

+++

+++=

L

L1

1

110

1 (5.199)

Donde:

z Operador de la Transformada Z. ii ba , Parámetros del ajuste del algoritmo.

Al transformar la expresión anterior al dominio del tiempo se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pkeakeakeankmbkmbkm pn −++−+=−++−+ LL 11 101 (5.200)

y al despejar )(km se obtiene la expresión siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pkeakeakeankmbkmbkm pn −++−++−−−−−= LL 11 101 (5.201)

Esta expresión corresponde al algoritmo de posición, y el de velocidad se obtiene sustituyendo e y m por e∆ y m∆ , respectivamente.


- 242 -

Aplicando las reglas de transformación de bloques (reglas de Mason), al diagrama de bloques de la Fig. 5.26 se tiene la siguiente expresión en Transformada Z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zCzRzDzGHzC −= (5.202)

Siendo

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

−Ζ=Ζ=

−sHsG

sesGsGzHG

sT

zoh1 (5.203)

Despejando D(z) de la Ec. (5.202) se tiene:

( ) ( )

( )( )( )( )zRzC

zRzC

zHGzD

−⋅=1

1 (5.204)

Otra forma de escribirla sería,

[ ])z(T1)z(G)z(T)z(D−⋅

= (5.205)

Donde,

)()()()(

)()()(

zGzD1zGzD

zRzCzT

⋅+⋅

== (5.206)

Esta expresión es la fundamental para la determinación de los parámetros de ajuste del algoritmo. A partir de ella es posible calcular dichos parámetros al fijar la relación requerida entre la variable controlada y el valor deseado ( ) ( )zRzC para un estímulo dado. Es necesario destacar que, al fijar esta relación hay que tener en cuenta las características del sistema controlado. Si este introduce un retardo de N.T unidades de tiempo no es posible que la variable controlada se modifique antes de que se transcurra al menos un tiempo igual a dicho retardo. Como la Transformada Z del mencionado término de retardo es Nz − la relación ( ) ( )zRzC tiene que incluir dicho retardo, de lo contrario la expresión de D(z) necesitaría valores futuros del error para calcular el valor de la variable manipulada en un instante dado, lo cual obviamente es imposible. 5.18.1 Algoritmo de Batimiento o de tiempo mínimo (Deadbeat) El algoritmo de batimiento o de respuesta mínima es aquel que satisface los requisitos siguientes:

a) El tiempo de establecimiento es finito. b) El tiempo de salida es mínimo. c) El error de estado estacionario es nulo.

Una respuesta que satisface a los anteriores requisitos es aquella en la cual al aplicarse un paso escalón en el valor deseado, el error es nulo en todos los instantes de muestreo posteriores al primero, tal como se indica en la fig. 5.28.


- 243 -

Fig. 5.28. Respuesta de un algoritmo de batimiento

En este caso, se tiene que la variable controlada es igual al valor deseado retardado en un intervalo de muestreo, o sea:

( )( ) ( ) 1−== zzTzRzC (5.207)

Al sustituir en la expresión (5.204) se tendría que el algoritmo estaría dado por:

( ) ( ) ( )zHGzzHGzzzD 1

111

1 1

1⋅

−=⋅

−=

−

− (5.208)

5.18.1.1 Tiempo mínimo con retardo Si el sistema controlado tiene un retardo puro dado L, para que el algoritmo sea realizable, la relación ( ) ( )zRzC se modifica a: ( )( ) ( ) ( )1+−== NzzTsRsC por tanto ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )zHGzzHGzzzD

NN

N 11

111 11

1⋅

−=⋅

−=

++−

+− (5.209), (5.210)

Donde N es el entero más próximo a la relación del retardo puro del sistema en fracción del período de muestreo (L/T). 5.18.2 Algoritmo de Dahlin El lograr que el error se anule en solo un intervalo de muestreo como se plantea en el algoritmo anterior, es una exigencia muy fuerte para la mayoría de los sistemas industriales. El algoritmo de Dahlin es una modificación del de batimiento en la cual la respuesta del sistema en lazo cerrado a un paso escalón es equivalente a la de un sistema de primer orden con retardo, o sea, la transformada de Laplace de la variable controlada está dada por:

( ) ( )( ) 1+′

==−

Tse

sRsCsT

Ls

o ( ) ( )sRTsesC

Ls

⋅+′

=−

1 (5.211)

Donde el retardo L y la constante de tiempo T ′ , actúan de hecho como parámetros de ajuste. La Transformada Z correspondiente a la expresión anterior para R(s) = 1/s es:

( ) ( ) ( )

( ) ( )11

1

111

−′−−

+−′−

−−−

=zez

zezC TT

NTT

(5.212)


- 244 -

Donde N es el entero más próximo al número de intervalos de muestreo del retardo de tiempo L. Si R(z) es un paso escalón, su Transformada Z es:

( ) 111

−−=

zzR (5.213)

La relación ( ) ( )zRzC queda:

( )( )

( ) ( )

1

1

11

−′−

+−′−

−

−==

zeze

)z(TzRzC

TT

NTT (5.214)

y al sustituir en la expresión del diseño expresión (5.204) se obtiene para el algoritmo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zHGzeze

zezD

NTTTT

NTT 1

11

111

1⋅

−−−

−=

+−′−−′−

+−′− (5.215)

Al realizar el diseño de un algoritmo atendiendo sólo a la forma deseada de la respuesta se produce, en general, una excesiva oscilación del elemento de acción final que lo afecta mecánicamente y reduce su vida útil. Esta operación excesiva del elemento de acción final se refleja en la existencia de un polo de la función transferencia del algoritmo en las proximidades del punto –1 del plano complejo z. Una forma de evitar la excesiva oscilación mencionada es mediante la eliminación en dicha función transferencia del referido polo y la modificación de la ganancia, para ello se sustituye z=1 en el término que aporta el polo a eliminar. 5.18.3 Algoritmo de Kalman En este algoritmo se soluciona el problema de las excesivas oscilaciones del elemento de acción final, estableciendo en adición a la relación ( ) ( )zRzC , la forma de variación de la variable manipulada m. Para el estudio del algoritmo de Kalman, se considera un ejemplo en el cual se plantea como requisito, que al aplicarse un estímulo escalón unitario, el error sea nulo a partir del segundo intervalo de muestreo después de la aplicación de este, o sea, ( ) 1=nc para 2≥n . En el primer intervalo de muestreo la variable controlada toma un valor intermedio designado por 1c . Por otra parte, la variable manipulada tomará dos valores distintos desde el instante en que se estimule el sistema hasta que alcance el valor final de estado estacionario. La variable manipulada y controlada en las condiciones definidas se muestra gráficamente en la Fig. 5.29. De acuerdo a los requisitos planteados la Transformada Z de la variable controlada será:

( ) L+++= −−− 3211 zzzczC (5.216)

Como R es un escalón unitario, la relación ( ) ( )zRzC queda: ( )( ) ( ) ( )L+++−= −−−− 321

111 zzzcz

zRzC (5.217)

Al multiplicar y agrupar se tiene: ( )( ) ( ) 2

11

1 1 −− −+= zczczRzC (5.218)

Haciendo 11 cp = y 12 1 cp −= la relación ( ) ( )zRzC queda ( )( ) ( )zPzpzpzRzC

=+= −− 22

11 (5.219)

Por lo que debe cumplirse que: 121 =+ pp (5.220)


- 245 -

Fig. 5.29. Características empleadas en el diseño del algoritmo de Kalman Para la variable manipulada de acuerdo con los requisitos definidos se tiene:

( ) L++++= −−− 32110 zmzmzmmzM ff (5.221)

La relación ( ) ( )zRzM será: ( )( ) ( )( )L+++−= −−− 21

1011 zmzmmz

zRzM

f (5.222)

Que al procesar convenientemente se obtiene: ( )( ) ( ) ( ) 2

11

010−− −+−+= zmmzmmm

zRzM

f (5.223)

Similarmente, haciendo 00 mq = ; 011 mmq −= y 12 mmq f −= la relación ( ) ( )zRzM queda: ( )( ) ( )zQzqzqqzRzM

=++= −− 21

110 (5.224)

Como el valor de la variable c en estado estacionario es 1, si K es la ganancia del sistema, entonces

Km f

1= y la anterior igualdad se convierte en:

Kqqq 1

210 =++ (5.225)

Dividiendo la Ec. (5.219) entre Ec. (5.224) y si se designa por P(z) y Q(z) a los polinomios de la derecha de cada una de dicha expresiones, respectivamente se tiene:

( )( )

( )( )zQzP

zMzC

= (5.226)

Por otra parte, la relación anterior coincide con la función transferencial del sistema controlado ( )zHG , luego se puede decir que:

( ) ( )( )zQzPzHG = (5.227)

Como se puede observar los polinomios P(z) y Q(z) coinciden con los del numerador y del denominador de a función transferencial de pulsos. Es posible que para que se cumplan las igualdades Ec. (5.220) y Ec. (5.225) sea necesario multiplicar el numerador y el denominador de ( )zHG por una constante.


- 246 -

Si se hace la sustitución de ( )zHG por la igualdad Ec. (5.227) y ( ) ( )zRzC según la Ec. (5.219) en la ecuación de diseño Ec. (5.204), obtiene la función transferencial de pulsos del regulador:

( ) ( )( )

( )( )zP

zPzPzQzD

−⋅=1

(5.228)

Que al simplificarla finalmente queda:

( ) ( )( )zPzQzD

−=

1 (5.229)

En el ejemplo, se ha supuesto que la variable manipulada toma dos valores antes de alcanzar el valor final, por tanto, la Ec. (5.227) se puede cumplir sólo si el sistema controlado es de segundo orden. En general, el número de dichos valores debe ser igual al del orden del sistema. Si la condición Ec. (5.220) no se cumple, debe de lograrse de todos modos, ya que es la que garantiza cero error en estado estable. Esto se puede logra dividiendo el numerador P(z) y denominador Q(z) de la función de transferencia HG(z) por las suma de los coeficientes de P(z) ( )∑ p , para este caso en particular 21 ppp +=∑ . Y con los nuevos valores de P(z) y Q(z)

sustituirlos en la Ec. (5.229). Otra forma más general para los casos que 1≠∑ p sería sustituir los valores de P(z) y Q(z) sin hacer ningún cambio en la siguiente ecuación, la cual es una derivación de la Ec. (5.229).

( ) ( )( )zPp

zQzD−

=∑

(5.230)

5.18.3.1 Ajustes para cambios en la carga Los ajustes anteriores se han determinado para cambios en la referencia o valor deseado, los cuales, en general, dan resultados satisfactorios para cambios en la carga. No obstante, si se requiere realizar el diseño para cambios en la carga se puede utilizar el método general empleado para cambios en la referencia, o sea: a) Determinar la función correspondiente al estímulo. b) Seleccionar la salida deseada para la función anterior. c) Calcular la expresión del controlador D(z). Para determinar la expresión correspondiente a D(z) considere el lazo de control de la Fig. 5.30 Del diagrama de la Fig. 5.30 se tiene que la Transformada Z de la variable controlada es: ( ) ( ) ( ) ( )zHGzMzNGzC +=

Sustituyendo la Transformada Z de la variable manipulada por:

( ) ( ) ( )[ ] ( )zDzCzRzM −= (5.231) Se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )zHGzDzCzRzNGzC −+= (5.232) Al despejar ( )zC se obtiene:

( ) ( )( ) ( )zHGzD

zNGzC+

=1

(5.233)

De donde se puede despejar D(z) y se obtiene la siguiente expresión para el regulador discreto en Transformada Z:

( ) ( ) ( )( ) ( )zHGzC

zCzNGzD −= (5.234)


- 247 -

Fig. 5.30. Lazo de control discreto para cambios en la variable de cargas

Al aplicarse el método de diseño descrito hay que tener en cuenta que si bien los cambios en la referencia se producen sólo en los instantes de muestreo, los de la variable de carga no, ya que son externos al sistema de control. De acuerdo con esto, al calcular el algoritmo de regulación debe suponerse que la variable de carga cambia de valor L unidades de tiempo antes del instante de muestreo, siendo L el retardo puro del sistema. Esta es la condición más desfavorable para el lazo de control. En esas condiciones la variable controlada no ha comenzado a variar producto de la perturbación en el instante de calcular el algoritmo y solo en el siguiente intervalo puede comenzar a ejercerse la correspondiente acción de control. Esta a su vez no modifica la variable controlada hasta que no han transcurrido L unidades de tiempo. En esas condiciones está sin control TL +2 unidades tiempo a partir del instante en que se produjo la perturbación. De acuerdo con lo anterior, la selección de D(z) tiene que hacerse teniendo en cuenta el tiempo durante el cual la variable controlada no varía.

5.19 Ejemplos de cálculo y simulación de los métodos directos En esta sección se pretende a forma de ejemplo calcular y simular, por varios de los métodos desarrollados en las secciones anteriores, los reguladores para un sistema con función de

transferencia ( )11+ss

, con retenedor de orden cero (ZOH) y período de muestreo de T=1 seg.

5.19.1 Discretización de la función de transferencia El primer paso para el cálculo de los reguladores por los métodos directos en la Transformada Z, es discretizar la función de transferencia, en este caso considerando el retenerdor de orden cero y el período de muestreo de 1 segundo.

( ) ( )

+

−Ζ=

−

111

sssezG

sT (5.235)

( ) ( )

+++Ζ−= −

11 32

211

sK

sK

sKzzG (5.236)

11

1

01 =

+=

=ssK

( )1

1

111

022 −=

+−=

+=

=sssds

dK 11

123 ==

−=ssK (5.237)

( )( )

−+

−−

−

−=

−Tezz

zz

zTz

zzzG

111

2 (5.238)


- 248 -

Considerando 1=T seg y 368,01 =−e

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )368.01

1368.01368.0368.011

11 2

−−−+−−−−

=−−

+−−

=zz

zzzzz

zz

zG (5.239)

( ) ( ) ( )( ) ( )368.01

12368.0368.1368.0 22

−−+−++−−−

=zz

zzzzzzG (5.240)

( ) ( ) ( )( ) ( )368.01

1368.0368.02368.11−−

+−−+−+−=

zzzzG (5.241)

( ) ( )( )368.01264.0368.0

−−+

=zzzzG (5.242)

( ) ( )( )11

12

368.011368.0264.0

−−

−−

−−

+=

zzzz

zG (5.243)

5.19.2 Algoritmo Deadbeat Según la expresión obtenida para el diseño por este método:

( ) ( )zGz

zzD 1

1 1

1⋅

−=

−

− (5.244)

( ) ( )( )( )

368.0264.0368.01

368.011368.0264.0

11 1

1

11

121

1

+

−=

−−

+−=

−

−

−−

−−−

−

zz

zzzzz

zzD (5.245)

( ) ( )( ) 368.0264.0

368.011

1

+

−==

−

−

zz

zEzMzD (5.246)

( )1

1

264.0368.0368.01

−

−

+

−=

zzzD (5.247)

Simulación:

Fig. 5.31. Esquema de simulación de un sistema ajustado mediante un regulador Deadbeat.


- 249 -

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador deadbeat

Tiempo [seg]

Sal

ida

Fig. 5.32. Respuesta al paso de un sistema ajustado mediante un regulador Deadbeat.

5.19.2.1 Algoritmo Deadbeat con retardo

Si se considera para este caso una modificación en la función de transferencia con un retardo puro

Td =2, para de esta forma poder efectuar este diseño. Por lo que ( ) ( )se

sssG 2

11 −+

=

Se debe discretizar la nueva función de trasferencia de la planta:

( ) ( )

+⋅

−Ζ= −

−s

sTe

sssezG 2

111

21

22

==

===

NsegTTLNsegL

(5.248)

( ) ( )( )

Nzss

zzG −−

+Ζ−=

111

21

NsNT

s

ze

ze−−

−−

=

= 22 (5.249)

( ) ( )( )2

11

12

368.011368.0264.0 −

−−

−−

−−

+= z

zzzz

zG (5.250)

( ) ( ) 31 −+− == zzzT N y como ( ) ( )( ) ( )( )zTzG

zTzD−

=1

, entonces (5.251)

( )

( )( ) ( ) 3211

12

2

1368.011368.0264.0 −−

−−

−−

−

−⋅/⋅

−−

+

/=

zzzzzz

zzD (5.252)

( ) ( )( )( )( )

( )( )4152

121

312

111

368.0368.0264.0264.0368.01

1368.0264.0368.011

−−−−

−−−

−−−

−−−

−+−

−−=

−+

−−=

zzzzzzz

zzzzzz

zD (5.253)

( )5421

321

264.0368.0264.0368.0368.0368.1

−−−−

−−−

−−+

+−=

zzzzzzz

zD (5.254)


- 250 -

( ) 431

21

z264.0z368.0z264.0368.0z368.0z368.11zD −−−

−−

−−++−

= (5.255)

Simulación:

Fig. 5.33. Esquema de simulación de un sistema ajustado mediante un regulador Deadbeat con Retardo.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador deadbeat con retardo

Tiempo [seg]

Sal

ida

Fig. 5.34. Respuesta al paso de un sistema ajustado mediante un regulador Deadbeat con Retardo.

5.19.3 Algoritmo Dahlin

Para efectuar este método se deben tomar las consideraciones siguientes: ( ) ( )11+

=ss

sG

( ) ( )( ) ( )

sessR

sCsT 2

15.01 −

+== , donde N=2 y T’=0.5 seg. (5.256)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zGzeze

zezD

NTTTT

NTT 1

11

111

1⋅

−−−

−=

+−′−−′−

+−′− (5.257)

( ) ( )( ) ( )[ ]2321

23

111

−−−−

−−

−−−

−=

ezezzGezzD (5.258)


- 251 -

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]232111

12

23

11368.011368.0264.0

1

−−−−−−

−−

−−

−−−−−

+

−=

ezezzzzz

ezzD (5.259)

( ) ( )( )( )( ) ( )[ ]232112

1123

11368.0264.0368.0111

−−−−−−

−−−−

−−−+

−−−=

ezezzzzzez

zD (5.260)

( ) ( )( )( )3112

2113

865.0135.01368.0264.0368.0368.01865.0

−−−−

−−−−

−−+

+−−=

zzzzzzzz

zD (5.261)

( )421532

543

318.005.0368.0234.0036.0264.0318.0183.1865.0

−−−−−−

−−−

−−+−−

+−=

zzzzzzzzz

zD (5.262)

( )54321

543

234.0318.0036.022.0368.0318.0183.1865.0

−−−−−

−−−

−−−+

+−=

zzzzzzzz

zD (5.263)

( )4321

432

234.0318.0036.022.0368.0318.0183.1865.0

−−−−

−−−

−−−+

+−=

zzzzzzz

zD (5.264)

Simulación:

Fig. 5.35. Esquema de simulación de un sistema ajustado mediante un regulador Dahlin.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador Dahlin

Tiempo [seg]

Sal

ida

Fig. 5.36. Respuesta al paso de un sistema ajustado mediante un regulador Dahlin.


- 252 -

5.19.4 Algoritmo Kalman

( ) ( )( ) 21

21

11

12

368.0368.11264.0368.0

368.011368.0264.0

−−

−−

−

−−

+−

+=

−−

+=

zzzz

zzzz

zG (5.265)

( ) ( )( )zQzPzG = (5.266)

Donde,

( ) 21 264.0368.0 −− += zzzP , la suma de los coeficientes∑ =+= 632.0264.0368.0p (5.267)

( ) 21 368.0368.11 −− +−= zzzQ (5.268)

Según este método plantea, la función de transferencia del regulador sería,

( ) ( )( ) 21

21

264.0368.0632.0368.0368.11

−−

−−

−−

+−=

−=∑ zz

zzzPp

zQzD (5.269)

Simulación:

Fig. 5.37. Esquema de simulación de un sistema ajustado mediante un regulador Kalman.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Tiempo [seg]

Sal

ida

Fig. 5.38. Respuesta al paso de un sistema ajustado mediante un regulador Kalman.

digital controler

Documents