diferentes tipos de factorizacion

7/23/2019 Diferentes Tipos de Factorizacion

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Diferentes Tipos De FactorizacionFactorar un Monomio:

En este busca los factores en los que se puede descomponer eltrmino

15ab = 3 * 5 a b

2) Factor Comn Monomio:

En este caso busca al!n factor que se repita en ambos trminos

Como puedes "er la literal #a) esta en los 2 trminos$ por lo tanto$ese ser% tu factor comn

a& ' 2a = a #a ' 2)

3) Factor Comn (olinomio:

En este caso en ambos trminos tu factor que se repite es#a ' b)$ entonces lo puedes escribir de como el factor del otrobinomio

#a ' b) ' m #a ' b) = # ' m) # a ' b)

) Factor Comn por +!rupaci,n de -rminos:

a ' b ' a. ' b. =

/a ' b0 ' /a. ' b.0 = #a ' b) ' .#a ' b) =

# ' .)#a ' b)5) -rinomio Cuadrado (erfecto m& ' 2m ' 1

e es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la si!uiente re!la:

El Cuadrado del 1er -ermino ' 2 eces el 1ro por el 2do ' elCuadrado del 2do


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a& ' 2ab ' b& = #a ' b)& -C(

Factorar: m& '2m '1 Ceca la re!la anterior si cumple ser% un -C(

m& '2m '1 = #m ' 1)& -C( si cumple

4) iferencia de Cuadrados: a& 6 b&

e una diferencia de cuadrados obtendr%s 2 binomios con7u!ados

a& 6 b& = #a 6 b) #a ' b)

a& 6 8 = #2a 6 3) #2a ' 3)

9) Caso Especial de iferencia de Cuadrados (erfectos:

Factorar #a ' b)& 6 c&

#a ' b)& 6 c& =

/#a ' b) ' c0 /#a ' b) 6 c0 =

#a ' b ' c) #a ' b c)

;) -rinomio de la Forma< & ' b ' c

Factorar & ' 9 ' 12

a. que buscar 2 nmeros que sumados me den 9 . multiplicadosme den 12

' 3 = 9

3 = 12

Entonces los acomodas como factores de la ecuaci,n cuadr%tica

# ' )# ' 3) que seria los mismo despe7ando a :

= 6


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= 6 3

8) -rinomio de la Forma< a& ' b ' c

Factorar 4& 6 6 2

Mira:

1ro) multiplica los trminos de los etremos de tu trinomio #4&) #62)= 612&

2do) >as%ndote en el coe?ciente del se!undo termino #6) = 61 . enel resultado del 1er paso$ "amos a buscar 2 numero que sumados meden #61) . multiplicados me den #612&)

3ro) esos nmeros son #6) . #3)$ sumados$ me dan #61) .multiplicados me dan #612&)

to) aora acomoda dentro de un parntesis el 1er termino de tutrinomio con el 1er factor encontrado #6)$ #4& 6 )

5to) acomoda el 2do factor encontrado #63) con el 3er termino de tutrinomio #62)< #362)

4to) acomoda los 2 trminos nue"os #4& 6 ) ' #362)$ encuentraal!n termino comn en cada uno

2 #3 6 2) ' 1#362)$ los trminos comunes ponlos en otro parntesis. elimina un termino de los 2 que tienes #362)$

Este ser% tu Factori@aci,n #2'1)#362)$

1A) uma o iferencia de Cubos: aB ' bB

uma de Cubos:aB ' bB = #a ' b) #a& 6 2ab ' b&)

e resuel"e de la si!uiente manera

El binomio de la suma de las races de ambos trminos

El cuadrado del 1er termino$ 6 el doble del producto de los 2 trminos' el cuadrado del 2do termino


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iferencia de Cubos:

aB 6 bB = #a 6 b) #a& ' 2ab ' b&)

e resuel"e de la si!uiente manera

El binomio de la resta de las races de ambos trminos

El cuadrado del 1er termino$ ' el doble del producto de los 2trminos ' el cuadrado del 2do termino

(asos

Escribe la expresin.Da forma est%ndar de una ecuaci,ncuadr%tica es:

ax2+ bx + c = 0

Empie@a ordenando los trminos de la ecuaci,n desde la potenciam%s !rande asta la m%s pequea$ al i!ual que en el formato

anterior (or e7emplo:

4 ' 42' 13 = A

Geordenemos la epresi,n para traba7ar con ma.or facilidador!ani@ando los trminos:


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42' 13 ' 4 = A

H

Busca la forma factorizada utilizando uno de los mtodosexpuestos a continuacin.+l factori@ar el polinomio se obtienendos epresiones m%s pequeas que se multiplican para producir elpolinomio ori!inal:

42' 13 ' 4 = #2 ' 3)#3 ' 2)

En este e7emplo$ #2 '3) . #3 ' 2) son factoresde la epresi,nori!inal$ 42' 13 ' 4

Revisa tu trabajoMultiplica los factores de la epresi,n Due!osuma los trminos similares . comprueba Empie@a con:

#2 ' 3)#3 ' 2)


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amos a comprobarlo$ multiplicando los trminos en el si!uienteorden$ primero por el primero$ primero por el se!undo$ se!undo porel primero$ . se!undo por el se!undo$ lo cual nos da:

42

' ' 8 ' 4

+ partir de aqu$ podemos sumar . 8$ .a que son trminossimilares abemos que los factores son correctos porque al operarobtenemos la ecuaci,n inicial:

42' 13 ' 4

Mtodo 1 de 4: Ensa.o . error

i tienes un polinomio bastante simple$ tal "e@ puedas descubrir susfactores con solo un "ista@o (or e7emplo$ con un poco de pr%ctica$mucos matem%ticos saben que la epresi,n 4x2+ 4x + 1tienefactores de #2 ' 1) . #2 ' 1) solo porque .a la an "isto mucas"eces #e"identemente no es al!o tan f%cil con polinomios m%scomplicados) (ara este e7emplo$ utilicemos una epresi,n menos

comn:32' 2 ;

Enumera los factores del trmino a! c.Itili@ando el formato ax2

+ bx + c = 0$ identi?ca los trminos a. c. enumera sus factores(ara 32' 2 6 ;$ eso si!ni?ca:


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a = 3 . tiene un solo con7unto de factores: 1 * 3

c = 6; . tiene cuatro con7untos de factores: 62 * $ 6 * 2$ 6; * 1$ . 61 *

; "

Escribe dos conjuntos de parntesis con un espacio en

blanco.En el espacio en blanco pondr%s las constantes de cadaepresi,n

# )# )

#lena los espacios en blanco con un par de posibles factoresdel valor a.(ara el trmino ade nuestro e7emplo #32)$ solo a. una

posibilidad:

#3 )#1 )


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H

$ #lena los espacios en blanco frente a la x con un par defactores para las constantes.upon!amos que esco!imos ; . 1Escribimos:

#3 %)# &)

Decide 'u si(no )m*s o menos+ debe ir en medio de las x !los n,meros.>as%ndose en los si!nos de la epresi,n ori!inal$ esposible descubrir cu%les si!nos deben tener las constantesDlamemos a las dos constantes de nuestros factores k. h:

i a2' b ' c entonces # ' )# ' J)

i a26 b 6 c o a2' b 6 c entonces # 6 )# ' J)

i a26 b ' c entonces # 6 )# 6 J)

(ara nuestro e7emplo$ 32' 2 6 ;$ los si!nos deben ser:# 6 )# ' J)$lo cual nos da los factores:


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#3 ' ;) . # 6 1)

H-

omprueba el ejercicio resolviendo la multiplicacin.Ina

prueba r%pida para comprobar es "er si el trmino medio tiene el"alor correcto i no es as$ tal "e@ esco!iste los factores equi"ocadosde c Comprobemos el e7ercicio:

#3 ' ;)# 6 1)

Multiplicando$ obtenemos que:

326 3 ' ; ;

impli?cando esta epresi,n al sumar los trminos seme7antes #63). #;) obtenemos:

326 3 ' ; 6 ; = 32' 5 ;

+ora sabemos que utili@amos los factores equi"ocados:

32' 5 6 ; K 32' 2 6 ;


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H

ambia tu respuesta si es necesario.i!uiendo con nuestroe7emplo$ "amos a probar 2 . en lu!ar de 1 . ;:

#3 ' 2)# 6 )

+ora nuestro trmino ces 6;$ pero el producto de #3 * 6) . #2 * )es 612 . 2$ lo cual sumando no nos da el trmino correcto de b#'2)

612 ' 2 = 1A

1A K 2

/nvierte el orden si es necesario.(robemos mo"iendo el 2 . el :

#3 ' )# 6 2)


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+ora$ nuestro trmino c# * 2 = ;) si!ue siendo correcto$ pero elresto de la multiplicaci,n nos da como resultado 64 . i lossumamos:

64 ' = 2

2 K 62

Estu"imos mu. cerca al 2 de b$ pero tiene el si!no equi"ocado

is

a nuevamente los si(nos si es necesario.amos a utili@ar losnmeros en el mismo orden$ pero "amos a cambiar el si!no demenos:

#3 6 )# ' 2)

+ora$ nuestro trmino csi!ue siendo correcto$ pero el resto de lamultiplicaci,n nos da como resultado #4) . #6) La que:

4 6 = 22 = 2

+ora encontramos el 2 de la ecuaci,n ori!inal Estos deben ser losfactores correctos

Mtodo 2 de 4: escomposici,n


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Este mtodo identi?ca todos los factores posibles de los trminos a.c. los utili@a para descubrir cu%les deben ser los factores correctosi traba7as con nmeros mu. !randes o si otros mtodos de tipocon7etura te parecen mu. lar!os$ utili@a este mtodo amos autili@ar el si!uiente e7emplo:

42' 13 ' 4

H&

0ultiplica el trmino apor el trmino c.En nuestro e7emplo$ aes4 . ctambin es 4

4 * 4 = 34

H"

1btn el trmino de bfactorizando ! 2aciendo pruebas.>uscamos dos nmeros que sean factores del producto a* c. quesumados nos den el trmino b#13)


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* 8 = 34

' 8 = 13

H

Reemplaza los dos n,meros en la ecuacin como la suma deltrmino b.Itilicemos h. kpara representar los dos nmeros queobtu"imos$ . 8:

a2' J ' ' c

42' ' 8 ' 4

Factoriza el polinomio por a(rupacin.r!ani@a la ecuaci,n deforma que puedas factori@ar el m%imo comn di"isor #MC) de losdos primeros . dos ltimos trminos Dos dos trminos factori@adosdeben ser i!uales uma el MC . encirralos en parntesis al ladodel !rupo de factori@aci,n< el resultado ser% tus dos factores:


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42' ' 8 ' 4

2#3 ' 2) ' 3#3 ' 2)

#2 ' 3)#3 ' 2)

Mtodo 3 de 4: (artida triple

imilar al mtodo de descomposici,n$ el mtodo de partida tripleeamina los posibles factores del producto de los trminos a. cparaa"eri!uar el posible "alor de b Consideremos la si!uiente ecuaci,n

como e7emplo:;2' 1A ' 2

H

0ultiplica el trmino apor el trmino c.+l i!ual que en elmtodo de descomposici,n$ esto nos a.udar% a identi?car losposibles "alores del trmino b En este e7emplo$ aes ; . ces 2

; * 2 = 14


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H

" Busca dos n,meros cu!o producto sea i(ual a este n,mero! cu!a suma sea i(ual al trmino b.Este paso es idntico al del

mtodo de descomposici,n$ probamos . descartamos nmeros paralas constantes El producto de los trminos a. ces 14$ mientras quesu suma es i!ual a 1A:

2 * ; = 14

; ' 2 = 1A

Toma los dos n,meros ! reempl*zalos en la frmula de lapartida triple.-oma los dos nmeros del paso anterior #"amos a

llamarlos h. k) . reempl%@alos en la epresi,n:

##a ' )#a ' J))N a

e esta forma$ obtenemos:


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##; ' ;)#; ' 2)) N ;

H

$1bserva cu*l de los dos trminos en el numerador esperfectamente divisible por a.En este e7emplo$ "amos a probar si#; ' ;) o #; ' 2) se pueden di"idir por ; #; ' ;) es di"isible por;$ as que di"idimos ese trmino por a. de7amos el otro intacto

#; ' ;) = ;# ' 1)

El trmino que "amos a utili@ar es el que queda despus de di"idirpor el trmino a:# ' 1)


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34alla el m*ximo com,n divisor )0D+ de uno o ambostrminos.En este e7emplo$ el se!undo trmino tiene un MC de 2$.a que ; ' 2 = 2# ' 1) Ine la respuesta con el trmino queidenti?caste en el paso anterior Estos son los factores de la

ecuaci,n

2# ' 1)# ' 1)

todo de 4: iferencia de dos cuadrados

+l!unos coe?cientes de los polinomios se identi?can comoOcuadradosO o como el producto de dos nmeros Pdenti?car loscuadrados permite factori@ar al!unos polinomios muco m%s r%pidobser"emos la ecuaci,n:

2926 12 = A

H

5i es posible6 factoriza el m*ximo com,n divisor.En este caso$obser"amos que tanto 29 como 12 son di"isibles por 3$ as que lofactori@amos:

2926 12 = 3#826 )


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H

"Determina si los coe7cientes de la ecuacin son n,meroscuadrados.(ara utili@ar este mtodo debes poder aplicar la ra@cuadrada a ambos trminos . obtener un nmero entero #ten encuenta que emos de7ado por fuera los si!nos ne!ati"os$ pues comolos nmeros est%n al cuadrado pueden ser resultado del producto dedos nmeros positi"os o ne!ati"os)

8

2

= 3 * 3 . = 2 * 2


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8on las ra9ces cuadradas 'ue acabas de identi7car6 escribelos factores.-omamos los "alores de a. cdel paso anterior< a= 8 .c= $ lue!o aplicamos ra@ cuadrada$ Qa= 3 . Qc= 2 Estos son loscoe?cientes para las epresiones factori@adas:

2926 12 = 3#826 ) = 3#3 ' 2)#3 6 2)

Mtodo 5 de 4: F,rmula cuadr%tica

i nada funciona . no puedes factori@ar la ecuaci,n$ utili@a la f,rmulacuadr%tica bser"a el si!uiente e7emplo:

2' ' 1 = A

H

& Reemplazando los valores correspondientes en la frmulacuadr*tica:

= 6b R Q#b26 ac)

666666666666666666666 2a

btenemos la epresi,n:

= 6 R Q#26 S1S1) N 2


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H

"Resuelve para 2allar x.+l ?nal obtienes dos "alores de Comopuede obser"arse$ se obtienen dos respuestas:

= 62 ' Q#3) or = 62 6 Q#3)

H

8;tiliza el valor de x para 2allar los factores.Geempla@a los"alores que obtu"iste de como las constantes en dos epresionespolin,micas Estos ser%n los factores i llamamos los dos "alores de como h. k$ escribimos los factores de la si!uiente manera:

# 6 )# 6 J)


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En este caso$ la respuesta ?nal es:

# 6 #62 ' Q#3))# 6 #62 6 Q#3)) = # ' 2 6 Q#3))# ' 2 ' Q#3))

Mtodo 4 de 4: Con una calculadora

i te permiten utili@arla$ una calculadora !r%?ca simpli?ca muco elproceso de factori@aci,n$ especialmente en las pruebas est%ndarEstas instrucciones son para una calculadora !r%?ca -P #fabricada porla empresa -eas Pnstruments) Itili@aremos la si!uiente ecuaci,ncomo e7emplo:

. = 2

T T 2

Di(ita la ecuacin en la calculadora.

Itili@ar%s la resoluci,n de ecuaciones$ tambin conocida como lapantalla /L = 0

H

"


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H

8 Busca el punto en el 'ue el arco intersecta el eje x.La quelas ecuaciones polin,micas se escriben normalmente de la forma a 2' b ' c = A$ estos son los dos "alores de que causan que laepresi,n sea i!ual a A:

#61$ A)$ #2 $ A)

= 61$ = 2

i no puedes identi?car a simple "ista el punto donde la !r%?ca tocael e7e $ presiona /2nd0 . lue!o /-G+CE0 (resiona /20 o selecciona

OceroO esli@a el cursor a la i@quierda de un intersecto . presiona/EV-EG0 esli@a el cursor a la dereca de un intersecto . presiona/EV-EG0 esli@a el cursor lo m%s cerca posible del intersecto .presiona /EV-EG0 Da calculadora allar% el "alor de a@ lo mismopara allar el otro intersecto

H


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Reemplaza los valores 'ue obtuviste de x en el paso anterioren dos expresiones factoriales.i llamamos los dos "alores de como h. k$ la epresi,n que utili@aremos ser%:

# 6 )# 6 J) = A(or lo tanto$ los dos factores deben ser:

# 6 #61))# 6 2) = # ' 1)# 6 2)

(ara eplicar la di"isi,n de polinomios nos "aldremos de un

e7emplo pr%ctico:

(#) = 5' 23T T ; W#) = 2T 2 ' 1

=)x+ : >)x+

? la iz'uierda situamos el dividendo i el polinomio no

es completo de7amos 2uecosen los lu!ares que

correspondan

? la derec2a situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el

primer monomio del divisor.

5: 2= 3

0ultiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el

resultado anterior ! lo restamos del polinomio

dividendo:


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ol"emos a dividirel primer monomio del di"idendo entre el

primer monomio del di" isor L el resultado lo mul tiplicamos

por el di"isor . lo restamos al di"idendo

2: 2= 2 2

(rocedemos i!ual que antes

53: 2= 5

ol"emos a acer las mismas operaciones

;2: 2= ;


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1A T 14 es el resto$ porque su (rado es menor 'ue el del

divisor. por tanto no se puede continuar di"idiendo

3' 22' 5 ' ;es el cociente

CVCE(- UEVEG+DE:

@? 'u se le llama AExpresiones ?l(ebraicas RacionalesA

+ esas Ofracciones que tienen polinomios en el numerador .denominadorO En este tema nos ensean a traba7ar con fraccionesentre polinomios: simpli?carlas$ operar con ellas . resol"er ecuacionescon esa forma (or e7emplo:

L los e7ercicios tendr%n esta forma:

impli?car


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uma de epresiones al!ebraicas racionales

umas . restas combinadas

Multiplicaci,n de epresiones al!ebraicas racionales

i"isi,n de epresiones al!ebraicas racionales

peraciones combinadas

Ecuaciones racionales


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(EG+CPVE CV (DPVMP: IM+ N EXEGEIED-

ECE0=#1 &: #uma de polinomios de i!ual !rado)

+ = 6 32' 26 ; 6 3 ' 1N2 > = 656 1A ' 3 ' 93

2 6 3 6 32' 1N2 6 ; #el polinomio +ordenado . completo) 65' 93' A2 ' 3 6 1A #el polinomio >ordenado . completo)

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 63' 436 32' 9N2 6 1;

+ ' > = 8x$ -x8 8x" G" x &%

(ara sumar dos polinomios$ a. que sumar entre s coe?cientes de los trminos del mismo !rado Elresultado de sumar dos trminos del mismo !rado$ otro trmino del mismo !rado i falta al!n trminoal!uno de los !rados$ se puede completar con A$ coen el e7emplo en el se!undo polinomio se complet, A2 L se los suele ordenar de ma.or a menor !radopara que en cada columna queden los trminos dei!ual !rado

-ambin se los puede sumar de otra forma #sinponerlos uno sobre otro)$ . en la EZ(DPC+CP[V de cae7ercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras

EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 &
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol1.htmhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol1.htm


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ECE0=#1 ": #uma de polinomios de distinto !rado

+ = 632' 5 6 #!rado 2)> = 36 52' 2 ' 1 #!rado 3)

A36 32' 5 6 #el polinomio + ordenado completo) 3 6 52' 2 ' 1 #el polinomio > ordenado completo)

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 3 6 ;2' 9 6 3

+ ' > = $x8 %x" x 8

En el polinomio de menor !rado$ se pueden complelos primeros trminos con ceros +s$ se rellenan lascolumnas que faltan adelante de uno de los polinompara que quede encolumnado trmino a trmino co

otro polinomio

EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 "


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(EG+CPVE CV (DPVMP: IM+ N EXEGCPCPGEIED-

ECE0=#1 &: #uma de polinomios de i!ual !rado)

+ = 6 32' 26 ; 6 3 ' 1N2 > = 656 1A ' 3 ' 93

2 6 3 6 32' 1N2 6 ; #el polinomio +ordenado . completo) 65' 93' A2 ' 3 6 1A #el polinomio >ordenado . completo)

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 63' 436 32' 9N2 6 1;

+ ' > = 8x$ -x8 8x" G" x &%

(ara sumar dos polinomios$ a. que sumar entre s coe?cientes de los trminos del mismo !rado Elresultado de sumar dos trminos del mismo !rado$ otro trmino del mismo !rado i falta al!n trminoal!uno de los !rados$ se puede completar con A$ coen el e7emplo en el se!undo polinomio se complet, A2 L se los suele ordenar de ma.or a menor !radopara que en cada columna queden los trminos dei!ual !rado

-ambin se los puede sumar de otra forma #sinponerlos uno sobre otro)$ . en la EZ(DPC+CP[V de cae7ercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras

EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 &


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ECE0=#1 ": #uma de polinomios de distinto !rado

+ = 632' 5 6 #!rado 2)> = 36 52' 2 ' 1 #!rado 3)

A36 32' 5 6 #el polinomio + ordenado completo) 3 6 52' 2 ' 1 #el polinomio > ordenado completo)

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 3 6 ;2' 9 6 3

+ ' > = $x8 %x" x 8

En el polinomio de menor !rado$ se pueden complelos primeros trminos con ceros +s$ se rellenan lascolumnas que faltan adelante de uno de los polinompara que quede encolumnado trmino a trmino co

otro polinomio

EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 "


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ECE0=#1:


32/32

1 1

3# 6 2)

e cambia la di"isi,n por multiplicaci,n$ . sein"ierte la se!unda fracci,n Due!o se procede comoen una multiplicaci,n de fracciones

L si lo piden$ aclaremos que la simpli?caci,n "alepara todo K 62 . K 5

diferentes tipos de factorizacion

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