1. SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

P( x ) y ' '+Q( x ) y '+R( x ) y=0 1

ó en forma canónica :

y ' '+ p (x ) y '+q ( x ) y=0 1´

Definiciones.

Un punto x0 se llama punto ordinario de 1 o 1´ si las funciones y son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de 1 si y sólo si P(x 0) 0 ( siendo 1 no simplificable ).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación 1 ó 1´ . ______________

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación 1´ en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por 1´ y las condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 I

Pero si además es x0 un punto ordinario de 1 ó 1´, las p(x) y q(x) no sólo son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de 1 , surgen las preguntas siguientes:

¿Existen soluciones analíticas de 1 en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la forma :

y=a0+a1 (x−x0 )+a2( x−x0 )2+. . .+an ( x−x0 )

n+. .. 2

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