Diferenciación Implícita

MATE 3031 – Cálculo 1

09/02/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 13

Cálc

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Actividades 2.3

• Referencia: Sección 2.5 Derivación implícita, Ver

ejemplos 1 al 8

• Ejercicios de Práctica: Páginas: Impares 1 – 39

• Asignación 2.3: problema 12, 26, 32

• Referencias del Web• JGRAhumada – Diferenciación Implícita

• Khan Academy – Diferenciación Implícita; Haga ejercicios de

Diferenciación Implícita.

• You Tube: Julioprofe Derivación Implícita: Derivación Logarítmica

• Visual Calculus – Implicit Differentiation

– Tutorial on Implicit differentiation.

• SOS Math – Implicit Differenciation

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Ejemplo 1

• Calcule :

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada09/02/2016

dx

dyxy 2

xdx

dy

dx

d2

12 dx

dyy

ydx

dy

2

1

xy

xdx

dy

xdx

dy

2

1

2

1

xy

xy

Diferenciación implícita

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Ejemplo 2

• Determine la ecuación de la recta tangente por el

punto ( 2, 3) por la gráfica de la ecuación: 10925 22 yx

Paso 1: Hallar pendiente de

la recta tangente calculando:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥=2,𝑦=3

Paso 2: Hallar ecuación

sustituyendo pendiente

punto en la forma de

ecuación-punto

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

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Ejemplo 2 …

)109()25( 22

dx

dyx

dx

d

0250 dx

dyyx

xdx

dyy 502

y

x

dx

dy

2

50

)3(

)2(25

)3,2(

dx

dy

3

50

)2(3

503

xy

3

109

3

50

xy

y

x25

Paso 1: Hallar pendiente de la recta

tangente calculando:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥=2,𝑦=3

Paso 2: Hallar ecuación sustituyendo

pendiente punto en la forma de

ecuación-punto

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

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Calcule si la ecuación:

Solución:

Ejemplo 3

0933 xyyxdx

dy

0933

dx

dxyyx

dx

d

09933 22 ydx

dyx

dx

dyyx

0933

dx

dxy

dx

dy

dx

dx

dx

d

23xdx

dyy23 )(9 x

dx

dy

dx

dyx 0

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Ejemplo 3 …

09933 22 ydx

dyx

dx

dyyx

yxdx

dyx

dx

dyy 9393 22

yxxydx

dy93)93( 22

)3(3

)3(32

2

xy

yx

dx

dy

xy

xy

3

32

2

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Ejemplo 4

• Calcule 𝑑𝑦

𝑑𝑥si la ecuación sin 𝑥 + cos 𝑦 = sin 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada09/02/2016

)cos(sin)cos(sin yxdx

dyx

dx

d

ydx

dx

dx

dcossin

xcos

)1(sinsin xdx

dyy

)1(sinsin

)1(coscos

xy

yx

dx

dy

xdx

dyy

dx

dx sincoscossin

dx

dyysin )sin(sin

dx

dyyx xy coscos

dx

dyy

dx

dyyx sinsinsin

xcosdx

dyysin

dx

dyyx sinsin xy coscos

)1(coscos yx

xxy coscoscos

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Ejemplo 5

• Asuma que la ecuación 𝑥6 = cot 𝑦 define una función

diferenciable de 𝑥, encuentre 𝑑𝑦/𝑑𝑥:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada09/02/2016

ydx

dx

dx

dcot6

56xdx

dyy 2csc

dx

dy

y

x

2

5

csc

6

y

x

dx

dy2

5

csc

6

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Ejercicios #1

Calcule si

Solución:

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dx

dy13 22 yxyx

)1()3( 22 dx

dyxyx

dx

d

03 22 ydx

dxy

dx

dx

dx

d

02)(32 dx

dyyy

dx

dyxx

xydx

dyy

dx

dyx 2323

xy

xy

dx

dy

32

23

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Ejercicio #2• Calcule la ecuación de la recta tangente por el

punto (3,4) a la gráfica de 332)5( 25 xyxy

)332()5( 25 xyxdx

dy

dx

d

)(22)5(5 4 xydx

dx

dx

dyy

)(22)5(5 4 ydx

dyxx

dx

dyy

yxdx

dyx

dx

dyy 222)5(5 4

)(22)5(5 4 yxxydx

dy

xy

yx

dx

dy

2)5(5

)(24

ydx

dyxx

dx

dyy 222)5(5 4

)3(2)54(5

)43(24

)4,3(

dx

dy14

)3(144 xy

4614 xy

Sustituyendo la pendiente y punto en la ecuación

de una recta:

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Ejercicios del Libro

• Encuentre dy/dx

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Ejercicios del Libro …

• Encuentre dy/dx en el punto indicado

Encuentre la ecuación de la recta tangente por el punto indicado

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