UNIDAD EDUCATIVA MAYOR AMBATOCultura EstticaNombre: Heidi Llugsa. Profesor: Lic. Mario Villacrs.Curso: Dcimo B. Fecha: 01 de abril de 2015.LA PARABOLA DefinicinLa parbola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.El eje de la parbola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parmetro de la parbola, el punto medio del segmento FD, es el punto V, que se denomina vrtice de la parbola. PROPIEDADES Y ELEMENTOS La parbola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vrtices se encuentra en el infinito, as como el centro de la curva. Partiendo de esta consideracin, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parbola. La circunferencia principal Cp, pasar por el vrtice V de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el vrtice V. La circunferencia principal, se define como el lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares (Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la parbola. Tambin se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la parbola.La nica circunferencia focal Cf de la parbola, tendr su centro en el infinito, y deber pasar por el punto D, simtrico del foco respecto a la tangente el en vrtice de la curva, resultando por tanto, una recta coincidente con la directriz de la parbola. La circunferencia focal, se define como el lugar geomtrico de los puntos simtricos del foco F, respecto a las tangentes (t) de la parbola.Observando la figura, tambin podemos definir la parbola, como el lugar geomtrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal. TRAZADO DE LA PARBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORESTeniendo en cuanta la definicin de la parbola, buscaremos puntos equidistantes del foco F, y la directriz d. Para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje, 1, 2, 3, etc., por los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro en F, y radio las distancias D1, D2, D3, etc., determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los puntos 1', 2', 3', etc., puntos de la parbola buscada.Con cada pareja de radios vectores, se determinarn dos puntos de la parbola, uno en cada rama de la misma.Cuanto mayor sea el nmero de puntos, mayor ser la precisin del trazado de la parbola, que deber realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales. TRAZADODE LA PARBOLA POR HACES PROYECTIVOSComenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectngulo APCV, y dividiremos los lados AP y PC en un mismo nmero de partes iguales.Por las divisiones de AP, trazaremos paralelas al eje de la curva, y uniremos las divisiones de CP, con el vrtice V de la curva. La interseccin de estas rectas con las paralelas anteriores, determinarn puntos, como el P, pertenecientes a la parbola buscada. Esto se repetir para la otra rama de la parbola. TRAZADO DE LA PARBOLA POR ENVOLVENTESEsta construccin se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en el vrtice, es el lugar geomtrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parbola.Para este trazado partiremos de puntos 1, 2, 3, etc, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F, y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentosl F1, F2, F3, etc., obteniendo las rectas tangentes a la parbola. La curva se determinar mediante tangentes a dichas rectas.

TRAZADO DE LA PARBOLA EN BASE A LA DEFINICIN DE LA CURVA Esta construccin se basa en la definicin de la parbola, como el lugar geomtrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F, con puntos de la directriz d. Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de interseccin con la circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la la curva.Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptar a la tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parbola.Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada. ElipseElipse es una curva cerrada y plana, se define como el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2= cte=2a. Su excentricidad es siempre menor que la unidad.La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c). La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constante e igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se designa 2a. Los focos estn situados sobre este eje y a igual distancia de su punto medio. El eje menor o imaginario se designa 2b y es normal (perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios. Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y se designan r y r.Existen otra serie de elementos ocultos decisivos en el trazado de elipses y tangentes a estas a saber: La Circunferencia Principal, de dimetro igual al eje mayor y centro en el centro de la elipse. Circunferencias Focales, de centro en los focos y radio de longitud igual al eje mayor de la elipse.Elipse. ElementosPor otra parte, las intersecciones de las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier tangente trazada a la elipse, pertenecen a la Circunferencia Principal.Se denomina Dimetro de la Elipse a cualquier cuerda que pase por su centro. Son Dimetros Conjugados en la elipse aquellos en donde cada uno de ellos divide en dos partes iguales a las cuerdas de la elipse trazadas paralelas al otro. Se cortan en su punto medio. Los ejes son los nicos dimetros conjugados normales entre s.Dado un dimetro de la elipse AB, el dimetro conjugado con l, es el lugar geomtrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho dimetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el dimetro conjugado DC del dado.Mediante dos dimetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.Determinacin de los focos, conociendo los ejes.Trazamos los ejes perpendiculares entre s por su punto medio y con centro en uno de los extremos del eje menor C dibujamos un arco de radio igual al semieje mayor que corta a este en F2 y F1, focos de la elipse. Los extremos de los ejes son puntos de la elipse por lo que los radios vectores que concurren en C deben de sumar la longitud del eje mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje mayor se verifica efectivamente que F1 C+F2 C=2a

Trazado de elipses.Construccin de elipses conociendo los ejes.A. Mtodo de construccin por puntos (Interseccin de radios vectores).Dibujados los ejes y determinados los focos, situamos arbitrariamente puntos entre uno de los focos y el centro de la elipse sobre el eje mayor (1, 2, 3, etc.). Con radios A-1 y B-1 trazamos 4 arcos de circunferencia de centros F1y F2. La circunferencia de centro F1y radio A-1 y la de centro F2y radio B-1 se cortan en dos puntos de la elipse. Obtenemos dos puntos ms con arcos de igual radio pero centros alternativos (F2 para A-1 y F1 para B-1), simtricos de los anteriores respecto a los ejes de la elipse. Con radios A-2 y B-2 procedemos de igual modo y as sucesivamente con el resto de los puntos trazados entre el foco y el centro de la elipse. Uniendo A, B, C y D, extremos de los ejes que son tambin puntos de la elipse, con los puntos obtenidos mediante plantilla de curvas, obtenemos el trazado de la elipse.B. Mtodo de interseccin de rectas (Interseccin de haces proyectivos).Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y construimos un paralelogramo rectngulo de este modo.Dividimos el eje mayor en un nmero cualquiera de partes iguales (1, 2, 3,) y los lados del paralelogrmo paralelos al eje menor en ese mismo nmero de partes. Unimos los extremos C y D del eje menor con todas las divisiones efectuadas sobre el eje mayor y con las divisiones efectuadas sobre los lados contrarios del rectngulo que estn entre ellos y el eje mayor. Las intersecciones entre rectas correspondientes (eje: D-3, eje C-1, lado) determinan puntos de la elipse que se delinear como en el ejercicio anterior.

C. Mtodo de proyeccin de puntos (Afinidad entre la Circunferencia Principal y la Elipse).Dibujamos dos circunferencias de dimetros iguales a los ejes de la cnica y centro en O. Trazamos varios dimetros comunes a ambas circunferencias. Por los puntos de interseccin de estos dimetros con la circunferencia mayor (Circunferencia Principal) (ej.: x), trazamos normales al eje mayor. Trazamos normales al eje menor donde estos dimetros corten a la circunferencia de radio menor (ej: y). Las intersecciones correspondientes entre s (X-P1 y Y- P1) de estas perpendiculares trazadas determinan puntos de la elipse (P1, P2, P3, P4).La construccin se basa en la afinidad existente entre la circunferencia de radio mayor y la elipse, donde el eje de afinidad coincide con el mayor de la elipse y la direccin de afinidad es normal a este.D. Mediante Circunferencia Principal.Trazamos la circunferencia principal y uno cualquiera de sus dimetros (XY), trazamos por uno de sus extremos una cuerda que pase por uno de los focos de la elipse (XW) y unimos el otro extremo del dimetro Y, con el extremo W de la cuerda. La interseccin de una paralela trazada por F1 al dimetro XY, con el segmento WY, determina un punto P de la elipse, repitiendo la construccin con otros dimetros, obtenemos otros puntos de la curva.E. Mediante Circunferencia Focal.Dibujamos una de las dos Circunferencias Focales (en el ejemplo la de centro F1) y tomamos de ella varios puntos arbitrarios (P1, P2) que unimos con los focos. Trazamos las mediatrices de los segmentos as obtenidos (F1P1, F1P2) que no sern sino rectas tangentes a la elipse. Las intersecciones de estas rectas con los otros segmentos trazados (que son radios vectores) determinarn diferentes puntos de la elipse que no son sino los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas, sobre la curva. A mayor nmero de puntos tomados sobre la Circunferencia Focal, mayor nmero de puntos de la elipse y por tanto mayor precisin en su trazado.

2. Trazado de elipses conociendo los dimetros conjugados.A. Construir la elipse conociendo dos dimetros conjugados.Dados los dimetros conjugados AB y CD, trazamos la circunferencia de dimetro AB, extremos del dimetro conjugado mayor. Dividimos este dimetro en cualquier nmero de partes, por donde trazamos cuerdas de la circunferencia perpendiculares a AB, y el dimetro CD por el centro de AB. El ejercicio se resuelve por afinidad entre la circunferencia y la elipse, siendo la direccin de afinidad C-C o D-D, segmentos de unin de los extremos del dimetro conjugado menor con los extremos del dimetro CD correspondientes. Trazamos paralelas a la direccin de afinidad por los extremos de las cuerdas de la circunferencia, la interseccin de estas rectas con las rectas paralelas trazadas al dimetro conjugado menor por las intersecciones de las cuerdas y el dimetro conjugado mayor, determinan puntos de la elipse.B. Construir la elipse conociendo dos dimetros conjugados iguales.Trazamos paralelas por los extremos de los dimetros conjugados dados y obtenemos as un paralelogramo rombo. Dibujamos un cuadrado de lado igual al del rombo a continuacin de uno de los lados de este y trazamos su circunferencia circunscrita. Trazamos las diagonales en el rombo y en el cuadrado y trasladamos a las diagonales del rombo las intersecciones producidas por la circunferencia en las diagonales del cuadrado segn paralelas a los correspondientes lados de ambos cuadrilteros. Los puntos as obtenidos son junto a A, B, C y D puntos de la elipse. Podemos obtener ms puntos trazando ms divisiones en la circunferencia.

3. Trazado de la elipse conociendo su excentricidad, la directriz y el foco correspondiente a la directriz dada.Sabemos que la excentricidad en cualquier curva cnica es igual a la razn de distancias existentes desde un punto de la curva a un foco y a la directriz correspondiente a este foco. En el caso de la elipse el valor de la excentricidad es siempre menor que la unidad. S = (AF2/AD2)