diana maritza rojas - fundación universitaria … · 2012-09-25 · tomando como base la teoría...
TRANSCRIPT
TEORIA DE GRAFOS Y SUS APLICACIONES CON EL TANGRAM
DIANA MARITZA ROJAS
FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMATICAS
BOGOTA DICIEMBRE 13 DE 2003
TEORIA DE GRAFOS Y SUS APLICACIONES CON EL TANGRAM
DIANA MARITZA ROJAS
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TITULO DE MATEMÁTICO DIRECTOR: JOSE JOAQUIN VALDERRAMA
MATEMÁTICO PROFESOR FACULTAD DE MATEMÁTICAS
FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMATICAS
BOGOTA DICIEMBRE 13 DE 2003
1
RESUMEN Tomando como base la teoría de Grafos y el teorema de Euler, construir algunas de sus aplicaciones con ayuda del Tangram. Material didáctico que desarrolla el pensamiento lógico matemático en la educación. Taking like base the theory of Grafos and the theorem of Euler, to build some of their applications with the help of the Tangram. Didactic material that develops the mathematical logical thought in the education.
2
CONTENIDO
0. INTRODUCCIÓN ................................................................................4 1. EL DILEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG .........................8
1.1 Conclusión de Euler ..................................................................10 2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES DE LA TEORÍA DE GRAFOS. ....11
2.1. Definición Nodo.........................................................................11 Es cualquier punto terminal de un segmento. ....................................11 2.2 Definición Incidencia ....................................................................11 2.3 Definición Segmento: ...................................................................11 2.4 Definición Grafo: ..........................................................................11 2.5. Definición Sub-grafo: ..................................................................12 2.6 Definición Sub-grafo conectado: ..................................................12 2.7. Definición Tren:..........................................................................13 2.8.Definición Tren cíclico: .................................................................13 2.9. Definición Tren de Euler:.............................................................13 2.10 Definición Grafo de Euler: ..........................................................13 2.11. Definición Trayectoria: ..............................................................14 2.12. Definición Una trayectoria de Euler:.........................................14 2.13. Definición Circuito: ....................................................................14 2.14. Definición Camino Euleriano.....................................................15 2.15. Definición Circuito Euleriano. ....................................................15 2.16. Definición La longitud de la trayectoria: ...................................15 2.17 Definición Región: .....................................................................15 2.18 Definición Puntos colineales: ....................................................16 2.19 Definición Puntos no colineales: ...............................................16 2.20 Definición Grafo impar: ..............................................................16 2.21 Definición Grafo par: .................................................................16 2.22 Definición Grafo Recorrible: .......................................................17 2.23 Definición Un camino es simple: ................................................18 2.24 Multigrafo: ..................................................................................19
3.TEOREMA DE EULER ......................................................................20 3.1 Demostración...............................................................................20
3.1.1 Caso1:....................................................................................22 3.1.2 Caso2:.................................................................................23
4.HISTORIA DEL TANGRAM. .............................................................24 5. PIEZAS DEL TANGRAM..................................................................26 6. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GRAFOS, TEOREMA DE EULER AL TANGRAM......................................................................................27 7. CONCLUSIONES .............................................................................32 8. REFERENCIAS ................................................................................33
3
0. INTRODUCCIÓN El Tangram es un proyecto de investigación personal, que nace por la
necesidad de poner en práctica estrategias que contribuyan al
desarrollo del pensamiento matemático.
La razón de ser de este trabajo, es que siendo las matemáticas un área
fundamental no solo para la vida cotidiana sino para la vida académica
( ya que son muchas las áreas del conocimiento, que apoyan sus
fundamentos teóricos en las matemáticas y además las utilizan como
medio de expresión ), parece imposible que las personas sigan
considerándolas inaccesibles para las mentes comunes.
Con ésta premisa “HACER MATEMÁTICAS” una tarea que es
compleja, pero no imposible se vuelve un dolor de cabeza no sólo para
el aprehendiente sino para el mediador, quien cotidianamente acude a
toda suerte de estrategias para lograr en primer lugar generar el
GUSTO POR SU ÁREA y en segundo lugar PROPICIAR
APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS.
4
Con este trabajo se pretende aportar al desarrollo de habilidades
matemáticas de forma consciente en los estudiantes.
Entre otras habilidades matemáticas se encuentran las siguientes:
definir y demostrar, que son las que por su propia naturaleza,
establecen el vínculo primario en el sistema de conocimientos.
Igualmente habilidades como: identificar, interpretar, codificar, graficar,
algoritmizar, calcular, comparar, controlar, modelar, resolver, aproximar
y optimizar.
Estas habilidades generales de la matemática se reforzarán con la
estructuración del conocimiento y la resolución de problemas a través
del desarrollo de las habilidades cognitivas, heurísticas y metas
cognitivas, a partir de la acción y de la orientación. Es guiar al
estudiante para que tenga, cada vez, más posibilidades en la resolución
de problemas, pero asegurando que la estructura de su conocimiento
se vaya haciendo cada vez más compleja, más generalizada y más
sólida. Se trabajará con una formación didáctica sistemática y
problemática, en torno a la formación de las habilidades generales meta
cognitivas, asegurando la flexibilidad del pensamiento y la solidez del
pensamiento.
5
Se hará un rescate y una acotación de la memoria, es decir: rescatar la
necesidad de la memoria, pero no la suficiencia; para aprender algo hay
que memorizar con qué relacionarlo de forma comprensiva, logrando la
interiorización de su contenido. Se exige entonces la selección de una
ordenada estrategia pedagógica que permita satisfacer las exigencias
para la construcción de los mismos ( conceptos ), he ahí el papel de la
instrucción heurística.
Al iniciar cada encuentro el estudiante conocerá el objetivo del mismo y
por tanto se presentarán problemas que se articulen con situaciones.
Cabe rescatar, como parte de la metodología, los talleres en el aula de
clase y fuera de ella, los trabajos de consulta, la conversación
heurística, la búsqueda de contraejemplos, las exposiciones,
discusiones sobre paradojas.
Se utilizarán los recursos gráficos y de visualización en general para
presentar demostraciones, sin perder las interpretaciones, las ideas
intuitivas, las nuevas relaciones y las conjeturas. Es necesario rescatar
que la demostración de un teorema comprende no sólo aspectos
mecánicos, sino también intuitivos, y es más valorado por el que
6
aprende cuando se han discutido sus bondades y limitaciones y cuando
se ha aplicado a la solución de problemas.
Para la realización del trabajo los estudiantes se tendrán que
familiarizar y conceptuar los siguientes términos:
Grafo, trayectoria, longitud de una trayectoria, nudo o vértice, superficie
o región, arista o frontera, circuito, multigrafo,.
Después de la conceptualización de los anteriores términos se hará la
demostración del teorema de Euler.
Por ultimo se hará un paralelo con el Tangram, aplicando todos los
términos vistos anteriormente.
7
1. EL DILEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG
La historia cuenta que durante los siglos 17 y 18, en lo que ahora es
Alemania y entonces era Prusia Oriental, sobre las ribieras del río
Pregel y la isla Kneiphof situada en el río, se alcanza la ciudad de
Königsberg con siete puentes uniendo cuatro sectores que resultaban
separados por la geografía. Y la misma historia cuenta que, por
aquellos tiempos, las personas se entretenían tratando de resolver un
dilema: cómo salir a pasear de uno de los cuatro sectores de la ciudad,
visitar los otros tres y volver al sector inicial tras haber cruzado cada
uno de los siete puentes una única vez. La siguiente figura esboza la
situación de manera precisa a la que usó Euler (1736) para dilucidar
matemáticamente el dilema concluyendo que es imposible resolverlo.
Figura 1
8
Para justificar la imposibilidad, Euler declaró: “todo mi método se apoya
en el apropiado y conveniente con que designé el cruce de los puentes,
en que usé letras mayúsculas, A, B, C y D, para nombrar los diversos
sectores separados por el río”. Lo primero fue establecer cuatro
recintos como elementos para la conciencia ( lo que explica el
entusiasmo por cuatro letras mayúsculas ).
Enseguida, Euler agregó: “así, cuando una persona va del sector A al B
a través del puente a o b, anoto este cruce con la letras AB, la primera
de las cuales designa el sector donde vino y la segunda el sector
adonde llega después de cruzar el puente”. Lo segundo fue ubicar siete
pasadas con relaciones (con letras minúsculas y en segundo plano).
Figura 2
Euler no propuso una representación como la recién expuesta. Sin
embargo, inspirados por su trabajo, otros matemáticos propusieron
9
representaciones similares y dieron comienzo a lo que denominaron
teoría de grafos.
1.1 Conclusión de Euler
De cualquier sector al que se llegue sin pretensión de quedarse, hay
que salir tantas veces como se entra; si las entradas y las salidas han
de hacerse por puentes distintos, la cantidad de puentes usados para
salir ha de ser igual a la de los usados para entrar; en consecuencia, la
cantidad de puentes que inciden en el sector, ha de ser par. Ocurre que
en cada sector de Königsberg incidía una cantidad impar de puentes y,
por tanto, que el dilema era insoluble.
10
2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES DE LA TEORÍA DE GRAFOS.
2.1. Definición Nodo.
Es cualquier punto terminal de un segmento.
Figura 3
2.2 Definición Incidencia Es cualquier situación en la cual un nodo pertenece a un segmento;
cuando ella ocurre se dice que el nodo es incidido por el segmento.
2.3 Definición Segmento: Es cualquier parte de una línea a las que pertenecen dos puntos
terminales diferentes.
Figura 4
2.4 Definición Grafo: Es cualquier conjunto de segmentos cuyos únicos puntos comunes son
llamados nodos o vértices, en donde llegan o salen una o varias líneas
denominadas aristas o fronteras.
11
Figura 5
Formalmente se dice que. El grafo G es un par G = ( V, A ) donde V
esun conjunto finito de nodos, nudos o vértices y A es un conjunto de
aristas o fronteras. Cada arista es un par ( v, w ) donde v, w Є V.
Una gráfica consta de vértices y aristas. Los vértices son
representados por puntos y las aristas son representadas por líneas.
2.5. Definición Sub-grafo: Es cualquier grafo que es sub-conjunto de otro dado.
2.6 Definición Sub-grafo conectado: Es cualquier sub.-grafo construido empezando por algún nodo y
agregando sucesivamente segmentos diferentes, con la condición de
que cada uno incida por lo menos en un nodo ya dibujado.
12
2.7. Definición Tren: Es cualquier sub.-grafo conectado en que cada segmento agregado
incide en el último nodo dibujado y en otro que pasa a ser el último.
Figura 6
2.8.Definición Tren cíclico: Es cualquier tren cuyo último nodo es el primero.
2.9. Definición Tren de Euler: Es cualquier tren cíclico que incluye los segmentos del grafo(conectado)
inicial.
2.10 Definición Grafo de Euler: Es cualquier grafo para el cual puede construirse un tren de Euler.
13
2.11. Definición Trayectoria: Es cualquier tren en el cual cada nodo es incidido a lo sumo por dos
segmentos.
Una trayectoria o camino en una gráfica es una sucesión de vértices.
Dentro de esta trayectoria, ninguna arista es elegida mas de una vez.
Figura 7
2.12. Definición Una trayectoria de Euler: Es una trayectoria que incluye a cada una de las aristas SOLO una vez.
2.13. Definición Circuito: Es cualquier tren trayectoria en la cual cada nodo es incidido por dos
segmentos.
14
Figura 8
2.14. Definición Camino Euleriano. Dado un grafo G, un camino Euleriano es un camino que pasa por cada
arista exactamente una vez (llamado así en homenaje a Euler, quien
resolvió el problema de los puentes de Königsberg).
2.15. Definición Circuito Euleriano. Un circuito Euleriano es un camino Euleriano que comienza y termina
en el mismo vértice.
2.16. Definición La longitud de la trayectoria: Es el número de aristas que la componen.
2.17 Definición Región: Es la superficie comprendida por los tres nudos o vértices más
cercanos.
15
2.18 Definición Puntos colineales: Dos o más puntos se dicen colineales si están en una misma dirección
(en línea recta).
2.19 Definición Puntos no colineales: Dos o más puntos se dicen no colineales si no están en línea recta.
El número de aristas que concurren a un vértice determina el orden o
rango del grafo.
2.20 Definición Grafo impar: Hay nodos de donde llegan un número impar de líneas.
Figura 9
2.21 Definición Grafo par: Es aquel que tiene todos sus nodos pares para ser recorrible.
Hay nodos a donde llegan un número par de líneas.
16
Se parte del punto de salida y llega al mismo.
Figura 10
Figura 11
Figura 12
2.22 Definición Grafo Recorrible: Es aquel que se puede trazar sin levantar el lápiz y sin repetir el trazo.
17
Si todos los nodos son pares, se puede salir de cualquier nodo para
hacer la figura recorrible.
Cuando todos los nodos son impares la figura es no recorrible.
Todo grafo sin vértices impares puede ser dibujado con un solo trazo
que salga de cualquier punto.
Todo grafo que no tenga más de dos vértices impares puede ser
dibujado de un solo trazo, saliendo de uno de los vértices impares para
llegar al otro.
2.23 Definición Un camino es simple: Si no se repiten vértices, excepto posiblemente el primero y el último.
Se empieza desde un vértice impar y se termina en un impar.
Es un grafo impar recorrible
Figura 13
18
2.24 Multigrafo:
En un grafo se admiten aristas múltiples.
Figura 14
19
3.TEOREMA DE EULER
Sea G = (V, E) un grafo o multigrafo plano conexo con │V│= v ( es el
número de vértices ) y │E│= e ( es el número de aristas ). Sea r el
número de regiones en el plano determinadas por una inmersión ( o
representación ) plana de G; una de estas regiones tiene un área infinita
y se conoce como región infinita. Entonces v – e + r = 2.
3.1 Demostración. La demostración se hace por inducción sobre e.
Si e = 0 o 1.
El grafo a) tiene v = 1, e = 0 y r = 1.
El grafo b) tiene v = 1, e = 1 y r = 2.
El grafo c) tiene v = 2, e = 1 y r = 1. En los tres casos, v – e + r =2.
Figura 14
20
Demostración (Continuación...)
Ahora sea k ε N y supongamos que el resultado es verdadero para
cualquier grafo o multigrafo plano conexo con e aristas, donde 0 ≤e ≤ k.
Si G = ( V, E ) es un grafo o multigrafo plano conexo con v vértices, r
regiones y e = k + 1 aristas, sean a, b ε V con { a, b } ε E. Considere el
sub.-grafo H de G obtenido al eliminar la arista { a, b } de G ( Si G es un
multigrafo y {a, b} es una de un conjunto de aristas entre a y b,
entonces la eliminamos sólo una vez ). En consecuencia, se puede
escribir H = G – { a, b } o
G =H + { a, b }. Consideremos los dos casos siguientes, que dependen
de si H es conexo o disconexo.
Figura 15
21
3.1.1 Caso1:
Los resultados de las partes a), b), c) y d) de la figura muestran cómo
un grafo G puede obtenerse de un grafo conexo H cuando se dibuja el
lazo ( nuevo ) {a, a} como en las partes a) y b) o cuando la arista (
nueva ) {a, b} une dos vértices distintos en H como en las partes c) y d).
En todas estas situaciones, H tiene v vértices, k aristas y r – 1 regiones,
ya que una de las regiones de H se divide en dos regiones para G. La
hipótesis de inducción aplicada al grafo H indica que
v – k + ( r – 1 ) = 2 y de esto se sigue que 2 = v – ( k + 1 ) + r = v – e + r.
Así, en este caso el teorema de Euler es cierto para G.
Figura 16
22
3.1.2 Caso2: Ahora consideremos el caso en que G – {a, b} = H es un grafo
disconexo como se muestra en la figura e) y f). En este caso, H tiene v
Vértices, k aristas y r regiones. Así mismo, H tiene dos componentes H1
y H2, donde Hi tiene vi vértices, ei aristas y ri regiones, para i = 1, 2.
Además, v1 + v2 = v, e1 + e2 = k (= e – 1) y r1 + r2 = r + 1 ya que H1 y H2
determinan, cada uno, una región infinita. Cuando se aplica la hipótesis
de inducción a H1 y H2 vemos que v1 – e1 + r1 = 2 y v2 – e2 + r2 = 2.
En consecuencia:
( v1 + v2 ) – ( e1 + e2 ) + ( r1 +r2 ) = v – ( e – 1 ) + ( r + 1 ) = 4, y de esto se
sigue que v – e + r = 2, y así establecemos el teorema de Euler para G.
23
4.HISTORIA DEL TANGRAM.
El Tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente
apareció hace tan sólo 200 o 300 años. Los chinos lo llamaron “tabla de
sabiduría” y “tabla de sagacidad” haciendo referencia a las cualidades
que el juego requiere.
La misma palabra “Tangram” es un invento occidental: se supone que
fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas,
quien habría combinado tang, una palabra cantonence que significa
“chino”, con el sufijo inglés gram (-grama) que significa “escrito” o
“grafico” (como en cardiograma).
Los primeros libros sobre el Tangram aparecieron en Europa a
principios del siglo XIX y presentaban tanto figuras como soluciones. Se
trataba de unos cuantos cientos de imágenes en su mayor parte
figurativas como animales, casas y flores..... junto a una escasa
representación de formas abstractas. A lo largo del siglo XIX
aparecieron diversos libros de Tangram chinos, que fueron copiados
por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que había
adquirido el juego. A partir de 1889 se publicaron libros de Tangram en
Estados Unidos, Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia.
En la introducción al libro publicado en Italia se hacia notar que el
Tangram se jugaba “en todas partes con verdadera pasión”. En efecto
24
aunque una antigua enciclopedia china lo describía como un “juego de
mujeres y niños”, el Tangram se había convertido en una diversión
universal.
En cuanto al número de figuras la mayor parte de las publicaciones
occidentales copiaron las figuras chinas originales, que ascendían a
algunos cientos. Al principio el Tangram fue publicado en forma de libro,
en torno a 1870 se concedía más atención al juego mismo y sus siete
componentes, de forma que el Tangram era producido y vendido como
un objeto: piezas de marfil, tarjetas con las siluetas y envoltorio en
forma de caja.
Hacia 1990 se había añadido nuevas figuras y formas geométricas.
Llegando a un total de más de 900 y en 1973, los diseñadores
holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición en
rustica con 750 figuras nuevas, alcanzando así un total de más 1.600.
La edición de 1973 ha venido hasta la fecha más de un millón de
ejemplares en todo el mundo.
25
5. PIEZAS DEL TANGRAM
El Tangram consta de siete piezas:
2 triángulos grandes
1 triángulo mediano
2 triángulos pequeños
1 cuadrado
1 paralelogramo ( romboide )
Figura 17
26
6. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GRAFOS, TEOREMA DE EULER AL TANGRAM.
Todo grafo sin nodos impares puede ser dibujado con un solo trazo que
salga de cualquier punto.
Todo grafo que tenga más de dos vértices impares puede ser dibujado
de un solo trazo, saliendo de uno de los vértices impares para llegar al
otro.
L a formula de Euler nos dice que para todo grafo simple se cumple que
v – e + r =2, entonces v + r = e +2, el número de nodos + el número de
regiones = es igual al número de aristas + 2
Figura 18
27
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas
r = número de regiones.
v + r = e + 2
5 + 5 = 8 + 2
10 = 10
Figura 19
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas.
r = número de regiones.
v + r = e +2
6 + 6 = 10 + 2
12 = 12
28
Figura 20
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas.
r = número de regiones.
v + r = e +2
6 + 4 = 8+2
10 = 10
Figura 21
29
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas.
r = número de regiones.
v + r = e +2
7+ 5 = 10 + 2
12 = 12
Figura 22
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas.
r = número de regiones.
v + r = e +2
8+ 6 = 12 + 2
14 = 14
30
Figura 23
Aplicación de la formula de Euler:
v = número de vértices o nodos.
e = número de aristas.
r = número de regiones.
v + r = e +2
10 + 8 = 16 + 2
18 = 18
Con el Tangram se pueden construir gran variedad de figuras.
31
7. CONCLUSIONES
• El desarrollo de habilidades matemáticas, se refuerzan con la
estructuración del conocimiento y la resolución de problemas, a
través del desarrollo de las habilidades cognitivas, heurísticas y
metas cognitivas a partir de la acción y la orientación.
• La demostración de un teorema comprende no solo aspectos
mecánicos, sino también intuitivos, y es más valorado por rl que
aprende cuando se han discutido sus bondades y limitaciones, y
cuando se ha aplicado a la solución de problemas.
• Cuando dibujamos figuras de un solo trazo sin repetir el trazo y
sin levantar la mano, quedando construida una figura cerrada.
Este tipo de figuras se denominan grafos.
• Con el Tangram se pueden construir grafos recorribles y no
recorrible y se puede aplicar y verificar el teorema de Euler.
32
8. REFERENCIAS [ABELL91] M, Abellanas.
análisis de algoritmos y teoría de grafos México: Macrobit & Ra-ma, 1991.
[GONZ03] Maria Teresa, González Monteiga. Modelos matemáticos discretos en las ciencias de la naturaleza Madrid: Díaz de Santos, 2003.
[MESA87] Vilma Maria, Mesa Narváez. Coloración de grafos: una aproximación utilizando métodos numéricos Bogotá. Universidad de los Andes, 1987.
[R.J.83] Wilson, R.J. Introducción a la teoría de grafos Madrid: Alianza, 1983.
[LLIB77] Jaume, Llibre. El Tangram de los ocho elementos.- Barcelona: Baral, 1977
[DIRECCIONES DE INTERNET]
http://www.grups.dcs.st-andrews.ac.uk http://www.derive.com http://www.derive-europe.com http://www.upv.es/derive/ http://www.groups.dcs.st-and.ac.uk/2 http://www.history/BiogIndex.html
33