Diagrama de interacción de columnas

Angel Iguarán Duarte

Camilo Sosa

Camilo Tangarife

Los diagramas de interacción modelan el comportamiento dinámico del sistema, donde se puede observar como las caras de los diferentes

objetos actúan entre sí. El presente es un ejemplo de una columna dada con propiedades que se observan en la tabla 1.

Tabla 1 Propiedades iniciales

En base a los datos obtenidos se procede a elaborar el diagrama de interacción de la columna dada. El procedimiento es el siguiente:

Se determina el punto A, el cual está definido porque se presenta la mayor fuerza axial que resiste la columna y el momento es 0. Las formulas

necesarias para determinar este punto son las siguientes:

𝜌0 = 𝜌𝑐 + 𝜌𝑠 = 0.85 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡) + 𝐴𝑠𝑡 ∗ 𝑓𝑦

F´c (Mpa) 21

Fy (Mpa) 420

h (m) 0,6

t (m) 0,4

d (m) 0,34

d´ (m) 0,06

Ag (mm^2) 240000

As´ (mm2) 1548

As (mm2) 1548

Ast (mm^2) 3096

En este caso es una columna reforzada transversalmente con estribos, por lo cual el valor obtenido de 𝜌0 se debe multiplicar por 0.65 para

determinar la fuerza axial nominal, que a su vez se multiplica por 0.75 para determinar la fuerza axial nominal máxima que debe resistir la

columna en el momento de diseño de acuerdo a la norma NSR 10 capitulo C. Este procedimiento se puede observar en la tabla No.2 que se

presenta a continuación.

El siguiente paso es determinar el punto B, que se define porque las fuerzas y momentos actuantes son resistidos por el concreto y el acero de

una manera balanceada y como propiedad podemos inferir que la deformación del acero es de 0,0021 y la del concreto es de 0,003. Fs=420Mpa.

Se determina los momentos y fuerzas axiales actuantes y se multiplica por 0,65 para encontrar las fuerzas y momentos nominales. Se usa este

coeficiente debido a que el elemento se encuentra a compresión. Las fórmulas que se requieren en este paso son:

𝐶𝑏 = 0.003 ∗𝑑

0.0051

𝑎𝑏 = 0.85 ∗ 𝐶𝑏

𝜀´𝑠 = (𝐶𝑏 − 𝑑´) ∗0.003

𝐶𝑏

𝑓´𝑠 = 𝐸 ∗ 𝜀´𝑠

𝑇 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑠

𝐶𝑐 = 0.85 ∗ 𝑓´𝑐 ∗ (𝑎𝑏 ∗ ℎ)

𝐶𝑠 = 𝐴´𝑠 ∗ 𝑓´𝑠

𝜌𝑏 = 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 − 𝑇

𝑒´ = 𝐶𝑐 ∗ (𝑑 −

𝑎2

) + 𝐶𝑠 ∗ (𝑑 − 𝑑´)

𝜌𝑏

𝑒 = 𝑒´ − 0.14

𝑀𝑏 = 𝜌𝑏 ∗ 𝑒

Después se aplica la reducción para encontrar los momentos y fuerzas axiales nominales.

Lo siguiente es calculo el punto C, el cual tiene la propiedad de que la fuerza axial es 0. En este trabajo se realizó iteraciones hasta encontrar ese

valor usando las mismas fórmulas para determinar el punto B. De igual manera se determinó el punto D por medio de iteraciones hasta que el

momento fuese 0.

La columna funciona a compresión del tramo A al B, del B-C tiene una etapa de transición y una etapa a tracción y del C-D funciona a tracción. De

acuerdo a esto se elaboró un análisis para determinar el coeficiente de reducción φ por medio de interpolación lineal, debido a que se sabe que

cuando la deformación del acero es menor o igual a 0,0021 el φ es 0,65 y cuando la deformación del acero es mayor o igual a 0,0051 el φ es 0,9.

Es por ello que en la tabla 2 en un tramo del punto B-C se puede observar esta variación de φ.

Los demás puntos de la gráfica se determinaron variando el Cx y usando las mismas formulas establecidas para el punto B.

Tabla 2 Diseño de diagrama de interacción

Punto C (mm) a (mm) φ εs εs´ Fs (Mpa) Fs´ (Mpa) Cc (Kn) T (Kn) Cs (Kn) e´ (m) e (m) Pu (Kn) Mu (Kn*m) φPu (Kn) φMu (Kn*m)

A - - 0,65 - - - - - - - - 0,000 5529,06 0,00 3593,89 0,00

440,00 374,00 0,65 -0,0007 0,0026 -136,36 518,18 4005,54 -211,09 802,15 0,167 0,027 5018,78 134,82 3262,20 87,63

400,00 340,00 0,65 -0,0005 0,0026 -90,00 510,00 3641,40 -139,32 789,48 0,184 0,044 4570,20 200,26 2970,63 130,17

380,00 323,00 0,65 -0,0003 0,0025 -63,16 505,26 3459,33 -97,77 782,15 0,193 0,053 4339,25 229,00 2820,51 148,85

360,00 306,00 0,65 -0,0002 0,0025 -33,33 500,00 3277,26 -51,60 774,00 0,202 0,062 4102,86 255,17 2666,86 165,86

340,00 289,00 0,65 0,0000 0,0025 0,00 494,12 3095,19 0,00 764,89 0,212 0,072 3860,08 278,87 2509,05 181,26

320,00 272,00 0,65 0,0002 0,0024 37,50 487,50 2913,12 58,05 754,65 0,223 0,083 3609,72 300,22 2346,32 195,14

300,00 255,00 0,65 0,0004 0,0024 80,00 480,00 2731,05 123,84 743,04 0,235 0,095 3350,25 319,36 2177,66 207,59

280,00 238,00 0,65 0,0006 0,0024 128,57 471,43 2548,98 199,03 729,77 0,249 0,109 3079,72 336,50 2001,82 218,72

260,00 221,00 0,65 0,0009 0,0023 184,62 461,54 2366,91 285,78 714,46 0,266 0,126 2795,59 351,87 1817,13 228,72

240,00 204,00 0,65 0,0013 0,0023 250,00 450,00 2184,84 387,00 696,60 0,287 0,147 2494,44 365,82 1621,39 237,78

220,00 187,00 0,65 0,0016 0,0022 327,27 436,36 2002,77 506,62 675,49 0,314 0,174 2171,64 378,79 1411,57 246,21

B 200,00 170,00 0,65 0,0021 0,0021 420,00 420,00 1820,70 650,16 650,16 0,355 0,215 1820,70 391,43 1183,46 254,43

185,00 157,25 0,68 0,0025 0,0020 420,00 405,41 1684,15 650,16 627,57 0,371 0,231 1661,56 383,30 1129,86 260,64

170,00 144,50 0,73 0,0030 0,0019 420,00 388,24 1547,60 650,16 600,99 0,389 0,249 1498,42 372,87 1093,85 272,19

155,00 131,75 0,78 0,0036 0,0018 420,00 367,74 1411,04 650,16 569,26 0,411 0,271 1330,15 359,98 1037,51 280,78

140,00 119,00 0,83 0,0043 0,0017 420,00 342,86 1274,49 650,16 530,74 0,438 0,298 1155,07 344,39 958,71 285,85

125,00 106,25 0,9 0,0052 0,0016 420,00 312,00 1137,94 650,16 482,98 0,476 0,336 970,75 325,77 873,68 293,20

110,00 93,50 0,9 0,0063 0,0014 420,00 272,73 1001,39 650,16 422,18 0,533 0,393 773,41 303,59 696,07 273,23

95,00 80,75 0,9 0,0077 0,0011 420,00 221,05 864,83 650,16 342,19 0,637 0,497 556,86 276,98 501,18 249,28

80,00 68,00 0,9 0,0098 0,0008 420,00 150,00 728,28 650,16 232,20 0,928 0,788 310,32 244,42 279,29 219,98

C 64,42 54,76 0,9 0,0128 0,0002 420,00 41,17 586,45 650,16 63,73 - - 0,00 201,18 0,00 181,06

61,42 52,21 0,9 0,0136 0,0001 420,00 13,87 559,14 650,16 21,47 -2,610 -2,750 -69,55 191,26 -62,59 172,13

58,42 49,66 0,9 0,0145 -0,0001 420,00 -16,23 531,83 650,16 -25,12 -1,119 -1,259 -143,45 180,67 -129,11 162,60

55,42 47,11 0,9 0,0154 -0,0002 420,00 -49,58 504,52 650,16 -76,76 -0,621 -0,761 -222,40 169,30 -200,16 152,37

52,42 44,56 0,9 0,0165 -0,0004 420,00 -86,76 477,21 650,16 -134,31 -0,371 -0,511 -307,26 157,03 -276,53 141,33

49,42 42,01 0,9 0,0176 -0,0006 420,00 -128,45 449,89 650,16 -198,84 -0,220 -0,360 -399,11 143,71 -359,20 129,34

46,42 39,46 0,9 0,0190 -0,0009 420,00 -175,53 422,58 650,16 -271,72 -0,119 -0,259 -499,29 129,16 -449,36 116,25

43,42 36,91 0,9 0,0205 -0,0011 420,00 -229,11 395,27 650,16 -354,66 -0,046 -0,186 -609,55 113,13 -548,59 101,82

40,42 34,36 0,9 0,0222 -0,0015 420,00 -290,65 367,96 650,16 -449,92 0,010 -0,130 -732,12 95,30 -658,91 85,77

37,42 31,81 0,9 0,0243 -0,0018 420,00 -362,05 340,65 650,16 -560,46 0,053 -0,087 -869,96 75,27 -782,97 67,74

34,42 29,26 0,9 0,0266 -0,0022 420,00 -445,90 313,34 650,16 -690,26 0,089 -0,051 -1027,08 52,47 -924,37 47,22

31,42 26,71 0,9 0,0295 -0,0027 420,00 -545,77 286,03 650,16 -844,85 0,118 -0,022 -1208,98 26,13 -1088,08 23,52

D 28,86 24,53 0,9 0,0323 -0,0032 420,00 -647,57 262,69 650,16 -1002,44 0,140 0,000 -1389,91 0,00 -1250,92 0,00

φPnmax (Kn) 2695,415 A continuación se graficó el diagrama