DETERMINACION DEL MOMENTO DE INCERCIA DE UN CUERPO TRIDIMENSIONAL POR INTEGRACION

El momento de inercia de un cuerpo tridimensional se obtiene evaluando la integral I=∫r2dm.

Si el cuerpo esta echo de material homogéneo de densidad ρ, el elemento de masa dm es igual a

ρdV y se puede escribir I=ρ∫r2dV . Esta integral sólo depende de la forma del cuerpo. Por lo

tanto para calcular el momento de inercia de un cuerpo tridimensional será necesario llevar a cabo una tiple integración o, cuando menos menos una doble integracion

Sin embargo , si el cuerpo posee dos planos de simetría, es posible determinar el momento de inercia del cuerpo con una sola integración seleccionando como elemento de masa dm una placa delgada que es perpendicular a los planos de simetría. Por ejemplo, en el caso de cuerpos de revolución, el elemento de masa será un disco delgado.

Con la formula ICC´=I AA´+ IBB´=12mr 2, el momento de inercia del disco con respecto al eje de

revolución se puede expresar como se indica en la figura 9.27. Por otra parte, el momento de inercia del disco con respecto a cada uno de los otros dos ejes coordenados se obtiene con al

formula I AA´=IBB´=14mr2 y el teorema de los ejes paralelos. Integrando las expresiones

obtenidos de esta forma, se obtienen los elementos de inercia del cuerpo.

MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS COMPUESTOS

En el cuadro se muestran los momentos de inercia de algunas formas comunes. Para un cuerpo que consiste de varias de estas formas simples, se puede obtener el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a un eje dado calculando primero los momentos de inercia de las partes que lo constituyen con respecto al eje deseado y sumándolo después. Como el caso de áreas, el radio de giro de un cuerpo compuesto no se puede obtener sumando los radios de giro de las partes que los constituyen

BARRA DELGADA I y=I z=112mL2

PLACA RECTANGULAR DELGADAI x=

112m(b2+c2)

I y=112mc2

I z=112mb2

PRISMA RECTANGULAR

I x=112m (b2+c2 )

I y=112m (a2+c2 )

I z=112m(b2+a2)

DISCO DELGADOI x=

12mr2

I y=I z=14mr2

CILINDRO CIRCULAR

I x=12ma2

I y=I z=112m(3a2+L2)

CONO CIRCULARI x=

310ma2

I y=I z=35m( 14a¿¿2+h2)¿

ESFERAI x ¿ I y=I z=

35ma2