Fundamentación geofísica, 02/12/2015 – Trabajo final: Determinación del

ángulo de buzamiento de una capa inclinada enterrada mediante sísmica de refracción

Trabajo final: Determinación del ángulo de buzamiento de una capa inclinada

enterrada mediante sísmica de refracción

David Alejandro Segura Sabogal 1

2517921

FUNDAMENTACIÓN GEOFÍSICA, GRUPO 2, PROFESOR JORGE CLAVIJO

1 Departamento de Geociencias, Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá, Carrera 45 No 26-85 – Edificio 224, Bogotá- Colombia, daseguras@unal.edu.co

Introducción

Puede conocerse el ángulo de buzamiento de capas enterradas mediante el uso de la sísmica,

tanto de reflexión como de refracción. Será esta última la que más nos interese mediante el uso

de la refracción crítica.

Figura 1: Fotografía donde se ilustran los fenómenos de refracción y reflexión de

ondas electromagnéticas, Sándor, Z (2005).

Existe un ángulo de incidencia de la onda, con el cual, la onda refractada tendrá un ángulo de

noventa grados con respecto a la normal del plano que separa los dos medios, a este ángulo lo

llamaremos ángulo critico de incidencia .

Si en cada medio las ondas (sísmicas) se propagan con velocidades diferentes, la velocidad del

segundo medio, es decir del medio hacia donde se refractan las ondas, deberá ser mayor que la

del primero, esto debido a que la ley de Snell no se cumpliría, ya que se tendría que el seno del

ángulo critico de incidencia sería mayor a 1.

Si es la velocidad del primer medio y la velocidad del segundo, se tiene entonces que

( )

( )

Esta ecuación será de mucha utilidad a la hora de hacer el desarrollo de la búsqueda de una

expresión que nos permita hallar el ángulo de buzamiento mediante la resolución del problema

directo.

Se puede hacer un análisis de un problema más sencillo y es el de hallar el tiempo para una

construcción donde se tienen dos medios paralelos y horizontales, se pueden interpretar con

estratos o capas horizontales.

Figura 2: Modelo base para el análisis del tiempo de llegada de una onda desde una fuente

hasta un receptor mediante la refracción crítica. STEIN, S & WYSESSION, M. (2003).

Para este análisis y para el de la capa inclinada, se usarán varios principios muy importantes

que se deben tener en cuenta que serán el Principio de Fermat y el Principio de Reciprocidad.

El primero dice “Una onda emplea la trayectoria de menor tiempo para ir de un punto a otro” y el

segundo “El tiempo de propagación de una onda sísmica de un punto A al B, es el mismo que el de B

hacia A. Esto es una consecuencia directa del Principio de Fermat, o del recorrido de tiempo mínimo”

quiere decir que el tiempo en que una onda viaja desde la fuente hasta el receptor, sería el

mismo si la onda viajara desde el receptor hasta la fuente (Anónimo, 2001).

Figura 3: Fotografía en perspectiva del Río Chicamocha, en Las

Juntas, Santander, donde se observan con claridad secuencias de

estratos horizontales.

Para el caso anterior se conoce una expresión del tiempo en función de la posición “x” del

receptor:

( )

√ (

)

( )

La razón por la que existe la onda críticamente refractada, llamada Head Wave, es una

consecuencia del Principio de Fermat. Si la entonces, es razonable que la onda cambie

de medio para llegar al receptor de la forma más óptima.

Análisis de la capa inclinada

Figura 4: Estratos inclinados aflorando.

Como se observó anteriormente, se puede llegar a una expresión del tiempo con relativa

facilidad conociendo ciertos parámetros. En el caso de la capa inclinada, se cambiarán y

añadirán unos factores:

Altura: En este caso la altura máxima será llamada , esta no se tomara perpendicular a la

topografía plana, sino se tomara paralela a la normal del plano inclinado (que es el plano que

separa los dos medios), esto para facilitar los cálculos. La altura mínima, llamada puede ser

calculada con facilidad mediante el uso de trigonometría.

Ángulo de buzamiento: Llamado en este caso , es el ángulo máximo de inclinación de la capa

con respecto a la horizontal.

Se utilizará el siguiente modelo tomado de la Corporación OSSO

Figura 5: Modelo base para hallar una expresión del tiempo de llegada de la onda críticamente refractada y

para hallar el ángulo de buzamiento. Anónimo (2001)

Queremos hallar una expresión del tiempo para ir del punto A (fuente) al punto B (receptor),

sabemos que , y que ese tiempo será igual a la suma de cada uno de los tiempos que

tarda la onda en viajar por la trayectoria ABCD

( )

Ahora el problema radica en hallar expresiones para cada una de las distancias. Nótese que

puede expresarse las distancias en función de los ángulos y

( )

( ) ( )

( )

Pero la segunda altura puede ser expresada en función de primera siendo el

cambio en z, la distancia entre el punto A y el intercepto entre la línea azul y la línea AA’, a este

punto lo llamaremos P.

Ahora, para hallar basta con notar que se conforma un triángulo rectángulo con los puntos

ADP. Con este se tiene que ( ), reemplazando se tiene entonces

( )

( )

( )

( ) ( )

Por último, para hallar la distancia BC, se tiene que

De manera similar a la anterior podemos llegar a expresiones de cada uno de los componentes

de la expresión BC mediante trigonometría

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Reemplazando se tiene entonces

( ) ( ) ( )

Entonces el tiempo es

( ) ( ) ( )

Utilizando la ley de Snell, se reemplaza ⁄ por

( )

, entonces, la ecuación anterior queda

( ) ( ) ( )

( )

Distribuyendo en suma y separando las fracciones se obtiene

( ) ( )

( )

( )

( )

Reemplazando las ecuaciones 4, 5 y 6 en la ecuación 3, se obtiene

( ) ( )

( )

( )

Se factoriza uniendo el primer termino con el tercero y el cuarto con el quinto

( ( ))

( ( ))

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Reemplazando los valores de AB y CD

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) ( ) ( ) ( ))

( )

( ) ( )

Se llega a una expresión muy interesante en términos del ángulo de incidencia crítica, las

velocidades y la altura máxima. Si tomamos el punto de llegada de la onda, donde se encuentra

el receptor D, como una variable “x”, y reemplazando el valor de ( ) definiendo el coseno

de un ángulo como la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado del seno del ángulo, se tiene

entonces que ( ) √ (

)

. Reemplazando en la ecuación 7

( )

√ (

)

( )

Para el caso en el que la onda viaje de D hasta A, siendo A variable, se tiene

( )

√ (

)

( )

Es importante notar que las ecuaciones 8 y 9 son equivalentes a la ecuación 2 cuando el ángulo

de buzamiento es cero.

Figura 6: Ángulo de buzamiento de capas inclinadas

Pero aún no se llega a una expresión para el ángulo de buzamiento. Basta con despejar de la

ecuación 8

( )

( )

( )

( )

(

( )

)

(

√ (

)

) ( )

Es esta la expresión que se buscaba desde un principio. Aun así, se puede expresar de manera

más elegante. Utilizando la ley de las velocidades aparentes.

La ley de las velocidades aparentes dice que la velocidad con la que aparenta transmitirse una

onda en cierto punto de la superficie del suelo es igual al cociente entre la velocidad superficial

y el seno del ángulo de emergencia del frente de onda tomados ambos en dicho punto, donde el

ángulo de emergencia es formado por la onda emergente con la superficie (Anónimo, 2001).

Figura 7: Zoom del área emergente de la onda

Ahora la duda es saber cuál es el ángulo de emergencia de la onda, para esto hay que marcar el

frente de onda, que es la línea verde punteada, ese ángulo que forma el frente de onda con la

topografía es el ángulo de emergencia. Para este caso es muy fácil notar que es , para el

caso en que la onda viaja de D a A, será .

Se tiene que

( ) y que

( ), lo único que queda es conformar

un sistema de ecuaciones despejando y de las ecuaciones anteriores.

( )

( )

( )

De manera análoga se despeja con la otra ecuación obteniendo

( )

Sumando las ecuaciones 11 y 12

Se pasa el 2 como ½ al otro lado de la igualdad y queda

𝑣 𝑎 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 "𝐴" 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥

𝑣 𝑑 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 "𝐷" 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥

𝑖𝑐 𝛼 𝑣

𝑣 𝑎

𝑖𝑐 𝛼 𝑣

𝑣 𝑑

𝑖𝑐 𝑣

𝑣 𝑎

𝑣

𝑣 𝑑

(

) (

) ( )

Se llega a una expresión para el ángulo de incidencia crítico en función de las velocidades, pero

este valor podía haberse hallado desde un principio con la ley de Snell.

Reemplazando la ecuación 13 en la ecuación 12

(

)

Se llega finalmente a la siguiente expresión

(

) ( )

Los valores las velocidades tanto reales como aparentes pueden ser obtenidos mediante el

análisis de las dromocronas, por lo que un análisis de una gráfica T vs x, nos permite hallar un

valor del ángulo de buzamiento.

Se menciona en el trabajo citado de la Corporación OSSI que deben tenerse en cuenta varias

consideraciones a la hora de interpretar datos a partir de gráficas, realizando un análisis como

el anterior:

- Cuando existe un estrato o una capa delgada de suelo cuya velocidad es menor que la de

la capa superior, no hay refracción crítica, de tal manera que no habría indicios de su

presencia en las primeras llegadas en cada punto de la línea de sísmica.

- Cuando existe una capa demasiado delgada, a pesar de tener velocidades mayores no

alcanza a producir primeros arribos por el hecho mismo de ser tan delgada.

Referencias

- Anónimo (2001). Refracción Sísmica. Noviembre 2015, de Corporación OSSO Sitio web:

http://www.osso.org.co/docu/tesis/2001/comportamiento/refraccion.pdf

- STEIN, S & WYSESSION, M. (2003). Seismology and Earth structure. En An Introduction

to Seismology, Earthquakes and Earth Structure (119 a 126). USA: Blackwell Publishing.

- SÁNDOR, Z. (2005). Refraction. www.fizkapu.hu