determinacion de la velocidad de combustion a partir de la curva presion-tiempo

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DETERMINACIÓN DE LA VELOCIDAD DE COMBUSTIÓN A PARTIR DE LA CURVA PRESIÓN - TIEMPO

INTRODUCCIÓNLa velocidad de combustión instantánea de un propelente puede estimarse a partir de la curva

presión-tiempo obtenida a partir del ensayo de un motor de cohete. Este método se basa en el conocimiento de que la presión de la cámara del motor y la velocidad de combustión están directamente relacionados en términos de K n , c* y la densidad del propelente. El coeficiente de velocidad de combustión y el exponente de presión también pueden ser estimados por este método.

El método descrito aquí se inspiró en el tratado "Estimación No Paramétrica de la Velocidad de Combustión", escrito por Henrik D. Nissen. Este documento está disponible para su descarga desde el sitio web DARK.

MÉTODOLa presión de la cámara en estado estacionario puede expresarse en términos de las propiedades

del propelente, K n , y velocidad de combustión:

P0 = K n ρP c* r (1) Donde:

K n =Ab

At

=Ab

A* (Relación área en combustión sobre área de garganta de tobera)

ρP : densidad del propelente

c* : velocidad característica del propelenter : velocidad de combustión

El estado estacionario implica que el motor está funcionando bajo la condición de flujo de tobera ahogado por lo que cualquier variación de la presión de cámara se debe únicamente a la geometría de grano, y excluye las fases de operación "aumento de presión" o "tail-off". La derivación de esta ecuación se puede encontrar en la página web "Teoría: Presión de la cámara".

El klemmung (K n) y la velocidad de combustión se pueden expresar como:

K n =Ab

At

(2) r =Δ sΔ t

(3)

Donde:Ab : área en combustión del granoAt : área de la sección de la garganta de la toberaΔ s : regresión de la superficie ( profundidad de quemado) durante el incremento de tiempo Δ t.

La ecuación para la presión en la cámara se puede reordenar de la siguiente manera:

Δ s −At

Ab

P0

ρP c* Δ t =0 (4)

En esta ecuación, es importante tener en cuenta que el área en combustión, Ab , es función de la regresión de superficie, s . La regresión de superficie, así como la presión en la cámara de combustión, P0 , son ambas funciones del tiempo. Esto puede ser escrito explícitamente como:


Δ s(t )−At

Ab (s (t))

P0 (t)

ρP c* Δ t =0 (5)

El área de la garganta se supone constante, al igual que c* y ρP . Las ecuaciones para el cálculo de área en combustión en función de la regresión de superficie, en términos de la geometría inicial del grano, se da en el Apéndice A de "Granos Cilíndricos Huecos".

La presión en la cámara como función del tiempo es la curva presión-tiempo obtenida experimentalmente, donde P0 es conocido después de cada intervalo de tiempo Δ t .

La velocidad característica, c* , se obtiene también a partir de la curva presión-tiempo, determinada por la integral de tiempo de la presión en la cámara durante la combustión, multiplicado por el coeficiente mostrado:

c* =At

mp∫0

t b

P (t ) dt (6)

Donde:mP : masa total del propelentet b : tiempo de combustión

La integral de la presión se puede encontrar simplemente tomando la suma de los valores de presión factorizada por el intervalo de tiempo:

∫0

t b

P (t ) dt =∑i=0

N

Pi Δ t i (7)

Si los Δ t i son todos iguales:

∫0

t b

P (t ) dt =Δ t ∑i= 0

N

Pi (7 ' )

Con el fin de resolver la ecuación (5), sólo es necesario para determinar Δ s tales que la ecuación se satisface (en cada intervalo de tiempo Δ t ). La superficie de regresión, s , como función del tiempo se obtiene por consiguiente, en cada intervalo de tiempo, donde la condición inicial es s= s0 en t =0 . La velocidad de combustión se halla a continuación, en cada intervalo de tiempo, a partir de la ecuación (3). Finalmente, el coeficiente de velocidad de combustión, a , y el exponente de presión, n , pueden ser estimados llevando a cabo un ajuste de curva de un gráfico de velocidad de combustión vs presión en la cámara.

Sistemas aceptables de unidades de medida se proporcionan en el Apéndice B.

EJEMPLOLa curva presión-tiempo de la prueba estática del KDX-002 del motor de cohete Kappa-DX se

utilizará para estimar la velocidad de combustión del propelente, y se compararán los resultados con los datos medidos del quemador de mechas (Strand Burner).

El primer paso es determinar la velocidad característica entregada, c* . Esto se logra mediante el uso de las ecuaciones (6) y (7), por lo que los valores de presión se suman, a continuación, multiplicado por el incremento de tiempo y el área de la garganta de la tobera dividido por la masa del propelente. La curva presión-tiempo se muestra en la Figura 1, y la c* se calcula a partir de


la tabla de la curva presión-tiempo.

Figura 1 - Curva Presión-tiempo del KDX-002

La c* entregada se encontró que era 2951 ft / s , que se convierte en 2951 ÷ 3,28=900 m / s . Esto comparado con una teórica c*

=912 m / s , y mediciones de prueba con recipiente cerrado de 899 m / s . Esto es indicativo de la alta eficiencia de la combustión.

El siguiente paso es estimar la región de la curva de presión-tiempo donde existe combustión en estado estacionario. Como se ha mencionado, el método es válido sólo para esta región, y no regiones "tail-off" o zonas de presión en aumento (partes rayadas en la Figura 1). En realidad, esta región no es del todo clara, sobre todo durante la fase de tail-off donde se evidencia la presencia de restos de propelente. En la Figura 1, la "mejor estimación" para el régimen en estado estacionario está entre los dos círculos pequeños (desde el punto de datos 12 a 81). El primer círculo indica "tiempo cero" para este análisis.

El análisis se lleva a cabo mejor utilizando un software de hoja de cálculo, tal como Microsoft Excel. Una hoja de cálculo está configurada como se muestra en la Figura 2.

Figura 2 - Diseño Básico de la Hoja de Cálculo

El análisis, en este ejemplo, se realiza utilizando unidades métricas.


- Columna 4: Las unidades de presión se convierten en N

m2(1 psi =6895

N

m2)= [Pa ] .

- Columna 5: Se inserta la fórmula para el área en llama, para un grano BATES, donde se muestra la geometría de grano aplicable en texto de color rojo.

- Columna 6: Esta columna es para Δ s , que es la cantidad desconocida que hay que resolver para determinar la velocidad de combustión.

- Columna 7: Esta columna tiene la fórmula introducida por el término del lado izquierdo de ecuación (4). Las constantes se agrupan en beta, donde β= At / (ρp c*

) .

- Columna 8: La regresión de la superficie, s , que es simplemente la suma de los valores de Δ s , además de un valor inicial, s0 , se muestra en azul. Las cuentas de valores iniciales para

el grano en llama son necesarios para generar presión en la cámara durante la fase de "aumento". Este valor inicial comienza con una suposición, que se puede cambiar más tarde si es necesario. El objetivo es tener la regresión de superficie total igual al espesor de banda inicial, w0 .

- Columna 9: La última columna es la velocidad de combustión instantánea, por ecuación (3).

Para resolver Δ s se utiliza la función de Excel "GOAL SEEK" (Buscar objetivo). Asegúrese de que en TOOLS/OPTIONS/CALCULATION la opción "Maximum change" esté ajustada a un valor pequeño, como a 0.00001.

Procediendo fila por fila, el valor en la columna 7 es convergente a cero al cambiar el valor de la Columna 6. Una macro puede ser escrito para automatizar este proceso, si se desea. El análisis de hoja de cálculo completo se muestra en la Figura 3 (Apéndice C).

Observe que el valor de la superficie total de regresión, 18.69 mm, está cerca del espesor de la banda inicial, 18.73 mm. Por lo tanto, nuestra "estimación" de 2,50 mm como la regresión superficie inicial fue buena, y no hay necesidad de modificar el valor. Obviamente, los valores son importantes en la Columna 9, los valores de velocidad de combustión instantánea, que corresponden a los valores de presión que se muestran en las columnas 3 y 4. Una representación gráfica de los resultados se muestra en la figura 4.

Figura 4 - Resultados del análisis - velocidad de combustión vs. presión


Este gráfico muestra claramente un aumento de la velocidad de combustión al aumentar la presión de la cámara. La curva roja es para el período cuando la presión de la cámara de estado estacionario está subiendo, y la curva azul es para el período cuando la presión está cayendo. Uno esperaría dos curvas que coinciden. Casi con toda seguridad, este es un resultado de la geometría de grano idealizada asumido en el análisis. En realidad, en los segmentos de grano no se encienden todas las superficies al mismo tiempo, lo que resulta en una geometría de superficie que se desvía de la idealizada. La quema erosiva probablemente juega un papel, también, en la determinación de la velocidad de combustión y la geometría, aunque esto puede ser un factor de menor importancia.

¿Cómo es la estimación de la velocidad de combustión comparada con las mediciones del Strand Burner? Un gráfico que muestra esta comparación se da en la Figura 5.

Figura 5 - Comparación de los resultados con las mediciones del Strand Burner

Curiosamente, la velocidad de combustión media durante el régimen de presión que se está investigando está cerca (aproximadamente 13 mm/s), tanto para este método como para las mediciones del Strand Burner. La evolución difiere, sin embargo. Este régimen cae dentro de la región de plateau sobre la base de los resultados del Strand Burner, Pero este método indica un aumento continuo en la velocidad de combustión con la presión. Se sabe por la bibliografía que las mediciones de la velocidad de combustión en pruebas estáticas difiere, en cierta medida, a partir de mediciones del Strand Burner. Las razones exactas no están claras.

El siguiente paso es determinar el coeficiente de velocidad de combustión y el exponente de presión de los resultados. Esto se realiza simplemente mediante el ajuste de una curva de función de potencia a través de la velocidad de combustión vs resultados de la presión. Esto también se puede hacer en Excel utilizando la función de TRENDLINE. Valores encontrados:

n =0.61a =0.0073 ( presión en psi ; velocidad de combustión en pulgadas / seg )

a =3.85 ( presión en MPa ; velocidad de combustión en mm / sec)Válida para rango de 800 a 1220 psi (5.5 a 8.5 MPa)

Como paso final, sería interesante comparar la presión de la cámara medida con la predicha. La hoja de cálculo SRM_beta se utilizó para diseñar el motor de cohete Kappa-DX, con la predicción de presión de la cámara basado en mediciones del Strand Burner. ¿Cómo sería la curva de presión de cámara predicha si se utilizaran los valores de a y n determinados por el método anterior?


El resultado se muestra en la Figura 6

Figura 6 - Comparación de los datos de prueba y predicciones

Curiosamente, la predicción modificada se ajusta más estrechamente a los resultados de las pruebas (sólo cambia la forma de la curva, el rendimiento global es esencialmente idéntico).

Será interesante investigar más a fondo los resultados de este método con las futuras curvas Presión - Tiempo para este propelente (y otros), para ver si la tendencia se mantiene.

APÉNDICE APara un grano BATES, el área en combustión, Ab , en función de la regresión de superficie,

s , viene dada por:

Ab = π N {12

[ D2 −(d0 + 2s)2 ]+(L0 − 2s) (d0 + 2s)}

Donde:N : Cantidad de segmentos de propelente.D : Diámetro exterior del segmento.d 0 : Diámetro inicial del núcleo del segmento.L0 : Largo inicial del segmento.

Para un grano cilíndrico hueco inhibido sólo en los extremos, el área en combustión es constante, y está dada por:

Ab = π L (D+ d ) Donde:

D : Diámetro exterior del granod : Diámetro del núcleo del granoL : Largo del grano.

Para un grano cilíndrico hueco con combustión sin restricciones, el área en combustión, Ab ,


en función de la regresión de superficie, s , viene dada por:

Ab = π {12

[(D0 − 2s)2−(d0 + 2s)2 ]+(L0 − 2s) [(D0 −2s)+(d 0 + 2s)]}

Donde:D0 : Diámetro exterior inicial del grano.d 0 : Diámetro inicial del núcleo del grano.L0 : Longitud inicial del grano.

APÉNDICE BLa siguiente tabla ofrece una selección de tres sistemas diferentes de unidades, de los cuales

cualquiera puede ser utilizado para este método (MKS, métricas o Inglés):

Parámetro MKS métrico inglés

tsegundo

[s]segundo

[s]segundo

[s]

At m2 mm2 in2

Ab m2 mm2 in2

c* m/s m/s ft/s

P N/m2 [Pa] N/m2 [Pa] psi

ρ kg/m3 g/cm3 slug/in3

s m mm inch


APÉNDICE C

determinacion de la velocidad de combustion a partir de la curva presion-tiempo

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