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Detección de Propiedades Tiempo-Frecuencia en Registros Sísmicos Sintéticos y Reales

Juan Felipe Beltrán, Profesor Instructor, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, Chile, Av. BlancoEncalada 2120 Piso 4, Of. 429, [email protected]én Boroschek K., Profesor Asistente, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, ChileArturo Arias S., Profesor Titular, Depto. Ing. Civil, Universidad de Chile, Chile

SUMARIO

El presente trabajo es de carácter exploratorio y tiene como objetivo estudiar procedimientos para lacaracterización de patrones de evolución de frecuencias, amplitudes y singularidades de señalessísmicas sintéticas y reales. Para identificar estas características, se utiliza la transformada deFourier por ventanas o espectrograma y la transformada wavelet. En una primera etapa se estudia laaplicación de los dos métodos en registros sintéticos de características conocidas (frecuencias,amplitudes, singularidades), de manera de poder determinar las debilidades y fortalezas de cadauno, para posteriormente aplicarlos en registros reales. Como conclusión principal se observa que elespectrograma logra establecer con buena precisión la frecuencia pero no así su ubicación temporalo viceversa. El uso de la transformada wavelet en cambio, logra identificar con mayor precisión laocurrencia de cambios suaves o bruscos en el espacio del tiempo pero con una menor precisiónrelativa en el espacio de la frecuencia. El uso de la transformada wavelet permite establecer loscomponentes necesarios para representar las características más importantes de un registro.Adicionalmente la forma de la transformada wavelet permite generar registros sintéticos con granfacilidad. En este trabajo se presentan en detalle los procedimientos de análisis utilizados y lacomparación de los resultados entregados por ambos métodos.

JUBILEO Prof. JULIO RICALDONI

X X I X J O R N A D A S S U D A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R I A E S T R U C T U R A L

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Introducción

El desarrollo actual de los programas computacionales para el análisis estructural permite lavalidación del diseño de obras de ingeniería en el rango de comportamiento no lineal. En el caso deldiseño sísmico, la validación de este comportamiento debe realizarse utilizando acelerogramasasociados a terremotos de gran magnitud. Sin embargo el stock de registros sísmicos fuertes a nivelmundial aún es limitado, situación que obliga al desarrollo de acelerogramas artificiales.

La representación de la acción sísmica por medio de procesos aleatorios parece haber sidopropuesta por primera vez por Housner (1947). Los primeros modelos eran estacionarios: series depulsos con tiempo de llegada aleatorio, ruido blanco y ruido blanco filtrado, o bien segmentosfinitos de procesos aleatorios estacionarios (p. ej.: Hudson (1956), Rosenblueth (1956), Bycroft(1960), Bogdanoff et al. ( 1961), Rosenblueth y Bustamante (1962), Goldberg et al. (1964). En elcaso de estructuras que se comportan de manera aproximadamente lineal y ante niveles deexcitación moderados o medianamente intensos, los modelos estocásticos estacionarios puedenresultar suficientes. Incluso, su uso para tal efecto, salvo en estudios académicos, es superfluo einnecesario. Sin embargo, si se trata de evaluar esas mismas estructuras ante excitaciones sísmicasexcepcionalmente intensas, los modelos estacionarios resultan inadecuados, porque el objetivo esconocer el comportamiento de la estructura en condiciones límite con el propósito de determinar susmodos de falla, identificar los puntos débiles y emitir pronunciamientos sobre el grado deseguridad, todo lo cual implica que se produzcan efectos fuertemente no lineales.

En 1969, Jennings et al. proponen un modelo no estacionario consistente en representar elacelerograma como el producto de un proceso estacionario (ruido blanco filtrado) por una funcióndel tiempo de variación lenta. Este tipo de representación permite introducir una no-estacionaridadque puede reproducir las variaciones temporales de la intensidad. Desde estos años a nuestros días,se han presentado varios aportes entre los que se pueden destacar Ruiz y Penzien (1969), Saragoni(1972), Saragoni y Hart (1974), Grigoriu et al. (1988); Der Kiureghian y Crempien, (1989), Yeh yWen (1990), Deodatis et al. (1990), Zhang et al. (1991), Conte y Peng (1996a y 1996b).

Para simular acelerogramas, es necesario primero identificar las propiedades observadas enregistros reales. Esto comprende al menos la evolución de frecuencias, amplitudes y la detección desingularidades del evento. Conte y Peng (1996a y 1996b) utilizan para la detección de la no-estacionaridad del proceso una extensión del método de estimación espectral desarrollado porThomson (1982) y para la simulación de registros procesos gaussianos sigma oscilatorios.Recientemente Huerta et al. (2000) investigaron otros procedimientos de caracterización deregistros sísmicos, entre los métodos considerados se encuentra el espectrograma, la distribución deWigner -Ville, la distribución Choi -William y una distribución llamada de interferencia reducida,presentando esta última, según los autores, los mejores resultados.

El presente trabajo tiene por objetivo estudiar dos procedimientos para caracterizar procesos noestacionarios: la transformada de Fourier por ventanas o espectrograma y la transformada wavelet.El objetivo de utilizar estos dos procedimientos es determinar las debilidades y fortalezas de cadauno en la determinación de las características fundamentales de un registro sísmico para su usoposterior en simulación de señales.

La transformada de Fourier por ventanas

El procedimiento de analizar una señal mediante un espectrograma, consiste en dividir la señal en



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segmentos o ventanas de longitud constante las que se analizan posteriormente mediante latransformada de Fourier. La selección de una ventana de duración constante obliga a la observacióncon la misma resolución de los detalles locales y de los patrones globales, colocando en detrimentouna de las características dependiendo del tamaño seleccionado. A pesar de esto, el procedimientoes capaz de dar información valiosa en situaciones específicas.

Estas limitaciones indican que un procedimiento que sea capaz de adaptarse dependiendo del tipode patrón que se quiere estudiar tiene un mayor potencial de identificación. Estas características secumplen con la transformada wavelet.

La transformada wavelet

La transformada wavelet fue introducida para detectar estructuras o singularidades geológicas enestudios geofísicos de refracción sísmica a principios de los años 80, siendo desarrolladafuertemente a finales de la misma década por Grossmann, Morlet, Mallat y Daubechies entre otros(Hubbar, 1996).

El análisis de la señal mediante la transformada wavelet es un proceso que consiste en ladeterminación de la correlación entre funciones preestablecidas, funciones wavelet Ψjk(t) y la señalque está siendo analizada f(t), correlación que queda determinada por los coeficientes wavelet αjk.La determinación de los coeficientes wavelet puede ser hecha mediante una transformada waveletdiscreta (DWT) o una transformada wavelet continua (CWT). La transformada en su formacontinua tiene la siguiente forma:

dtttf jkjk )()(∫∞

∞

= ψα (1)

donde los índices j y k están asociados con dos variables independientes: La escala asociada alparámetro j y la traslación asociada al parámetro k. La traslación representa típicamente el tiempomientras que la escala o nivel de descomposición es una manera de tener el contenido o banda defrecuencia. Para cada nivel de descomposición j, se realiza la dilatación y traslación (parámetro k)de las funciones wavelet, en donde la función de base de la transformada wavelet consiste en unnúmero de funciones locales, cada una con su propia amplitud, la que corresponde a la correlaciónentre la wavelet y la señal, es decir, los coeficientes αjk.. De acuerdo al procedimiento dedescomposición elegido (análisis discreto o continuo) se puede tener una descomposición ortogonal,es decir, cada descomposición tiene información independiente de otras descomposiciones.

Existen diferentes tipos de wavelet cuya selección depende del objetivo del análisis, entre las másutilizadas se encuentran las denominadas Haar, Daubechies, sombrero mexicano, Morlet y otras(Fig. 1).

La transformada discreta wavelet (DWT) descompone la señal a analizar en niveles donde secalculan los coeficientes wavelet. Si la base de la descomposición es 2, los niveles dedescomposición están relacionados entre sí por una potencia de 2. Para una señal con 2 n puntosdonde n es un entero, DWT requiere 2n coeficientes wavelet para describir totalmente la señal. Ladescomposición de la señal mediante una transformada discreta para cada nivel de descomposiciónj y cada posición k tiene la forma



3

∑=lt

ljkljk ttf )()( ψα (2)

y

)2(2)( 2/ ktt ljj

ljk −= ψψ (3)donde j representa nivel de descomposición o escala y k representa el número de coeficientes acalcular por cada nivel, tl =l*∆t.

Una de las ventajas de la transformada wavelet es que existe su inversa (IWT) lo que posibilita eldesarrollo de señales sintéticas. La transformada inversa tiene la forma (Gurley, Kareem (1999))

)()(1

1

12

0ljk

n

j kjkl ttf

j

ψα∑ ∑−

−=

−

=

= (4)

La DWT permite la ubicación en el espacio (tiempo) y escala (frecuencia) en forma simultáneaajustándose a las características locales de la señal. En forma resumida, un análisis tiempo-frecuencia-amplitud. Esta característica ha sido denominada multiresolución: con un mismoinstrumento de observación se pueden identificar aspectos generales y aspectos locales. El procesode multiresolución eso sí tiene las limitaciones establecidas por el principio de incertidumbre o deHeisenberg, que en este caso significa que no es posible medir con una resolución arbitrariamentealta en forma concurrente en el espacio del tiempo y de la frecuencia (Kumar et al. (1997)).

La banda de frecuencia asociada a cada nivel j de descomposición está dada en forma aproximadapor la siguiente relación (Gurley y Kareem (1999)):

La frecuencia menor de la banda es

11 25.0

+∆= jj t

f (5)

y la frecuencia mayor es:

jj tf

25.0

2 ∆= donde j = 0,..., n-1. (6)

Finalmente, la energía de la señal puede definirse a través de la expresión (Kumar, (1997))

2

2)( ∑∑∫ ==

j kjkdttfE α (7)

La relación anterior indica que la energía de la señal E es una combinación lineal de la suma delvalor absoluto al cuadrado de los coeficientes wavelet de todos los niveles de descomposición.

En este trabajo se utilizan espectrogramas y la transformada wavelet en la caracterización de lassiguientes señales sintéticas y reales:

1- Señal con frecuencia constante con ventana de tiempo Hanning



4

2- Señal compuesta por dos frecuencias diferentes con ventana de tiempo Hanning3- Señal compuesta por dos segmentos de frecuencia constante con ventana de tiempo Hanning4- Señal compuesta por una frecuencia que varía linealmente con el tiempo5- Registro sísmico en edificio aislado6- Registro sísmico en edificio aislado con discontinuidades

En el análisis de las señales se utilizará una wavelet discreta con funciones wavelet desarrolladaspor Daubechies con orden 10 ('db10') (Matlab (1996)) debido a que presenta un traslapo pequeño,lo que significa que tiene una buena resolución en el dominio de la frecuencia en desmedro de unabuena resolución en el dominio del tiempo (Iyama et al. (1999)).

Comparación del análisis de registros sintéticos con espectrogramas y transformada wavelet

1- Análisis de una señal de frecuencia constante:

La señal a analizar es una sinusoide suavizada de frecuencia 5 Hertz con una tasa de muestreo de200 puntos por segundo. El análisis de la señal mediante un espectrograma identifica la presenciade una sola frecuencia cuyo valor máximo está ubicado alrededor de los 5 Hertz (Figura 2). En laparte superior de la figura se muestra la señal original y en la parte inferior el espectrograma deésta. En el espectrograma, el eje de las abscisas representa el tiempo (segundos) y el de lasordenadas la frecuencia (Hertz). Además, la escala de colores del espectrograma representa laenergía asociada a cada frecuencia, siendo el color oscuro el máximo valor de ella.

Realizando un análisis discreto con una wavelet Daubechies de orden 10 y utilizando los rangos defrecuencia definidos por las ecuaciones (5) y (6), el nivel de descomposición asociado a lafrecuencia de la señal debería ser el 5. La Figura 3 muestra la trasformada wavelet de la señal paradiferentes niveles de descomposición además de un gráfico en que se muestra la energía asociada acada nivel según la ecuación (7). En el análisis de esta figura, se aprecia que existen dos niveles queposeen aproximadamente el 100 % de la energía (niveles 4 y 5). En este punto se puede apreciarque la energía asociada a la banda definida por el nivel 5 es el 92 % de la energía de la señal.

Los resultados obtenidos al descomponer una señal en funciones wavelet, dependenfundamentalmente de la wavelet elegida. En la Figura 4, la señal original se ha descompuestoutilizando una wavelet Meyer (Matlab, (1996)), la que se ha utilizado en una escala dedescomposición de potencia de 2. Analizando la figura, el nivel 5 de descomposición es la queregistra aproximadamente la totalidad de la energía retenida.

En este caso en particular, el uso de la wavelet Meyer entrega mejores resultados que el uso de lawavelet Daubechies de orden 10, en cuanto a la identificación de la banda de frecuencia asociada ala señal. Esto se debe a que la wavelet Meyer pertenece a un grupo de wavelet denominadasarmónicas (Newland, 1993), las que son compactas en el dominio de la frecuencia, es decir, tienenuna frecuencia inicial y final definidas, y se extienden sobre un rango infinito en el dominio deltiempo, por su parte las wavelets Daubechies son compactas en el dominio del tiempo. Por estemotivo, en la Fig. 3 se aprecian dos bandas de frecuencias para describir el 100% de la energía de laseñal original.

2- Análisis de una señal compuesta por dos frecuencias diferentes con ventana de tiempo Hanning.

La señal a analizar está compuesta por dos sinusoides presentes en todo el registro con frecuenciasde 4.5 y 18 Hertz, suavizadas con una ventana Hanning y muestradas con una tasa de 200 puntospor segundo. Las bandas de frecuencias y energía deberían concentrarse principalmente en los



5

niveles 3 y 5 en una descomposición de tipo wavelet, de acuerdo a la relación establecida en lasecuaciones (5) y (6).

El análisis de la señal mediante un espectrograma (Figura 5) detecta la presencia de dos frecuenciasconstantes, correspondiente a 18 y 4.5 Hertz; además, de acuerdo a la escala de colores una mayorconcentración de energía en el centro de cada segmento de la señal.

En el análisis discreto de la señal mediante una wavelet Daubechies de orden 10 (Fig. 6), seobserva que los coeficientes correspondientes a los niveles de descomposición 2, 3, 4 y 5,representan el total de la energía de la señal según ecuación (7), siendo los coeficientes de losniveles 4 y 5 los más importantes ya que aportan un 98% del total.

3- Análisis de una señal compuesta por dos segmentos de frecuencia constante con ventana detiempo Hanning

La señal a analizar está compuesta por dos sinusoides suavizadas con una ventana Hanning, defrecuencia constante, con una tasa de muestreo de 200 puntos por segundo. Cada segmento tienedos frecuencias asociadas de 19 y 4.5 Hertz, teniendo el primer segmento una amplitud de 20 y elsegundo una amplitud de 10. Según las bandas de frecuencias definidas por las ecuaciones (5) y (6),los niveles en que se deberían obtener coeficientes mayores son el 3 y el 5, siendo los coeficientesdel primer segmento mayores que los del segundo de acuerdo a la ecuación (7).

El análisis de la señal mediante un espectrograma (Fig. 7) identifica la presencia de dos frecuenciasconstantes en cada segmento, siendo sus valores 19 y 4.5 Hertz. Además, de acuerdo a la escala decolores, identifica la mayor energía en el primero de éstos. La zona de energía nula también ladetecta pero en forma errónea, ya que producto del uso de ventanas móviles existen ocasiones enque la longitud de una de éstas abarca zonas en que hay energía y otras en que no hay, por lo que elresultado temporal que entrega está distorsionado.

En el análisis discreto de la señal mediante una wavelet Daubechies de orden 10 (Figura 8), seobserva que los coeficientes wavelet correspondientes a los niveles de descomposición 3 y 5representan cerca del 97 % de la energía de la señal. Además, los coeficientes del primer segmentoson mayores que los del segundo, hecho que indica una mayor energía asociada según la ecuación(7).

4- Análisis de una señal compuesta por una frecuencia que varía linealmente con el tiempo

La señal a analizar es una sinusoide de amplitud 1, con una tasa de muestreo de 200 puntos porsegundo y con una frecuencia que varía linealmente con el tiempo, partiendo de un valor inicial de2 Hertz hasta un valor final de 14 Hertz. Según las bandas de frecuencias definidas por lasecuaciones (5) y (6), los niveles en que se deberían obtener coeficientes mayores van desde el nivel6 hasta el nivel 3.

El análisis de la señal mediante un espectrograma (Fig. 9) identifica la variación lineal y crecientede la frecuencia de ésta con respecto al tiempo, con una frecuencia inicial de 2 Hertz y unafrecuencia final de 12.5 Hertz.

El análisis de la señal usando una descomposición en funciones wavelet Daubechies de orden 10 yla energía asociada a cada nivel de descomposición se muestra en la Figura 10. Los coeficientesasociados a los niveles de descomposición 3 a 6 contienen aproximadamente el 100 % de la energíade la señal. Para complementar la información obtenida de la Fig. 10, en la Figura 11 se muestra la



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transformada wavelet inversa de la señal. De esta figura se aprecia que la recomposición de la señalpor detalles de escala está prácticamente contenida en niveles sucesivos desde el nivel 6 hasta elnivel 3, teniendo este último nivel una menor participación. Este análisis muestra que la frecuenciaes creciente y que existe un traslapo entre los niveles de descomposición.

5- Análisis de un registro sísmico en edificio aislado

La señal a analizar pertenece a un registro real ocurrido el 22 de febrero de 1996 de Magnitud 5.9y aceleración máxima 62.4 cm/seg2. La tasa de muestreo es de 200 puntos por segundo. El registrofue obtenido en la dirección vertical de la primera losa de un edificio con aislación en la base, quese encuentra en la ciudad de Santiago, Chile. Debido a la alta no linealidad del sistema de aislación,que está basado en goma de alto amortiguamiento, la frecuencia predominante de vibraciónregistrada varía sustancialmente dependiendo de la amplitud y velocidad del movimiento.

El análisis de la señal mediante un espectrograma, Fig.12, muestra que existen tres regionescaracterísticas en el tiempo. La primera es una región entre los segundos 0 y 14, Fig. 13, dondepredomina una frecuencia única cercana a los 15 Hertz. Esta frecuencia se asocia a un modo devibración predominante en la dirección vertical del edificio como cuerpo rígido (Moroni et al.2000). En la fase del movimiento fuerte, correspondiente a la segunda región, entre los segundos 27y 30, la amplitud del movimiento es mayor y se genera una banda de frecuencias entre 2 y 15 Hertz,Fig. 14. Esta banda de frecuencias se puede asociar a un movimiento forzado del terreno y a laexcitación del modo principal traslacional, que para este nivel de movimiento es cercano a los 2Hertz y posee componentes tanto en la dirección vertical como horizontal. Posteriormente en latercera región, (después de los 30 segundos) la señal presenta una frecuencia dominante cercana alos 2 Hertz, lo que corresponde a una vibración traslacional con componente de cabeceo o rockingque se detecta en la dirección vertical del movimiento de la estructura.

Analizando los coeficientes de la descomposición en transformada wavelet con ondeletasDaubechies de orden 10, Fig.15, se aprecia que la energía de la señal está contenida desde el nivel 3hasta el nivel 7 (25 a 0.78 Hertz). Utilizando la transformada inversa y un análisis multiresoluciónse identifican también las mismas tres regiones que el caso anterior (Fig.16). La primera región,Fig. 17, se extiende hasta los 15 segundos donde la frecuencia preponderante es la del nivel 3 (25 a12.5 hertz). En la Fig. 18 se analiza la señal entre los 15 y 45 segundos, en la que se puedenidentificar dos regiones de frecuencia. La primera es una región entre los 28 y 30 segundos donde laamplitud del movimiento es mayor y se genera una banda de frecuencias desde el nivel 7 al nivel 3(25 a 0.78 Hertz), para posteriormente tener una frecuencia principalmente en los niveles 6 y 7, quecorresponde a la tercera región (3,125 a 0.78 Hertz).

6- Análisis de un registro sísmico en edificio aislado con singularidades.

A la señal anterior se le han agregado discontinuidades (variación de un único punto) a los 20, 40 y50 segundos.

El análisis de la señal mediante un espectrograma detecta las discontinuidades en la señal entre lossegundos [18.8, 19.9], [38.8, 39.9] y [48.8, 49.8] respectivamente, posiciones ligeramenteadelantadas y de duración mayor debido al empleo de ventanas de longitud constante de 1.28segundos y a la asignación de tiempo referencial correspondiente al centro de la ventana, Fig. 19.

El análisis mediante los coeficientes wavelet, Fig.20, de la señal no detecta las perturbacionesdebido a que las magnitudes de las discontinuidades no son comparables a las amplitudes de laseñal original y consecuentemente no representan una energía significativa. En cambio, el análisis



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en multiresolución de la misma señal, detecta en la función correspondiente al nivel dedescomposición 1 (100 a 50 Hertz) discontinuidades en los tiempos 20, 40 y 50 segundos yparcialmente a los 50 segundos en el nivel de descomposición 2 (50 a 25 Hertz) (Fig. 21).

Conclusiones:

Se han analizado señales no estacionarias sintéticas y reales utilizando la técnica de espectrogramay transformada wavelet. Ambos procedimientos han permitido estudiar e identificar lascaracterísticas de la no-estacionaridad pero evidenciando fortalezas y debilidades, identificándoseun gran potencial de la transformada wavelet en el proceso de caracterización y simulación deregistros sísmicos.

El espectrograma resulta muy conveniente cuando la transición o no-estacionaridad tiene un cambiorelativamente lento con relación a la longitud de la ventana de análisis. Sin embargo tiene elinconveniente que utiliza ventanas de longitud constante y por tanto la observación de los detalles yde los patrones globales se realiza con la misma resolución, colocando en detrimento laidentificación de una de ellas. Adicionalmente el procedimiento genera distorsiones en el tiempo deocurrencia y duración de la no-estacionaridad.

La transformada wavelet presenta algunas ventajas ya que el procedimiento de reconocimiento decaracterísticas se realiza acorde a la "dimensión" de la misma a través del proceso demultiresolución. Sin embargo la precisión de la identificación depende del tipo de wavelet y de laescala donde se ubica la característica a identificar. En este proceso no aparecen los corrimientos oduraciones ficticias, pero la identificación de las frecuencias tiene menor precisión. Los límitespara las bandas de frecuencias definidos por las ecuaciones (5) y (6), entregan una buenaaproximación de la banda de frecuencia que contiene cada nivel de descomposición. En general, sedebe definir un criterio mínimo de conservación de la energía para analizar la señal. Si la o lasfrecuencias de alguna señal en particular está (n) cerca de los límites, ya sea inferior o superior, delos intervalos de frecuencia definidos por las ecuaciones (5) y (6) para cada nivel dedescomposición, los coeficientes de las wavelet calculados corresponderán a niveles sucesivos. Porotra parte la existencia de la transformada inversa la convierte en un procedimiento potencial desimulación.

Agradecimientos.

El presente trabajo se ha desarrollo con el apoyo del proyecto FONDECYT 1000912 y elDepartamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Chile..Referencias

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FIGURA 1 Wavelet Daubechies de orden 10 y Wavelet Meyer



11

FIGURA 2 Señal de frecuencia constante de 15 Hertz y espectrograma



12

FIGURA 3 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociadaa cada nivel de descomposición para señal frecuencia constante de 15 Hertz



13

FIGURA 4 Descomposición wavelet Meyer en 8 niveles y energía asociada a cada nivel dedescomposición para señal de frecuencia constante de 15 Hertz



14

FIGURA 5 Señal de dos frecuencias constantes de 4.5 Hertz y 18 Hertz y espectrograma



15

FIGURA 6 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociadaa cada nivel de descomposición para una señal de dos frecuencias constantes de 4.5 y 18 Hertz



16

FIGURA 7 Señal de dos segmentos de frecuencia constante de 4.5 Hertz y 19 Hertz yespectrograma



17

FIGURA 8 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociadaa cada nivel de descomposición para una señal de dos segmentos de frecuencia constante de4.5 y 19 Hertz



18

FIGURA 9 Señal con frecuencia linealmente variable, con frecuencia inicial de 2 Hertz yfrecuencia final de 14 Hertz y espectrograma



19

FIGURA 10 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energíaasociada a cada nivel de descomposición para una señal de frecuencia linealmente variable



20

FIGURA 11 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 aD7) de la señal de frecuencia linealmente variable



21

FIGURA 12 Registro sísmico de un edificio aislado y espectrograma



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FIGURA 13 Espectrograma del registro sísmico para los primeros 15 segundos, dondepredomina una frecuencia vertical de 15 Hertz marcada con línea negra



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FIGURA 14 Espectrograma del registro sísmico entre los 15 seg. y 45 seg. donde se producela transición en frecuencia entre 15 Hertz y 2 Hertz marcada con línea negra.



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FIGURA 15 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociadaa cada nivel de descomposición para un registro sísmico de un edificio aislado



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FIGURA 16 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 aD7) del registro sísmico.



26

FIGURA 17 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 aD7) del registro sísmico de un edificio aislado en los primeros 15 seg., donde predomina elnivel de descomposición 3, antes del arribo de la onda P.



27

FIGURA 18 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 aD7) del registro sísmico entre los 15 y 45 seg.



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FIGURA 19 Registro sísmico de un edificio aislado con discontinuidades y espectrograma



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FIGURA 20 Descomposición wavelet Daubechies de orden 10 en 12 niveles y energía asociadaa cada nivel de descomposición para el registro sísmico con discontinuidades



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FIGURA 21 Multiresolución usando una wavelet Daubechies de orden 10 en 7 niveles ( D1 aD7) del registro sísmico con discontinuidades, donde éstas son detectadas en el primer nivelde descomposición (D1) y parcialmente en el segundo (D2).

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