desigualdades-2106

7/25/2019 Desigualdades-2106

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INTRODUCCIN: OBJETIVO: Desigualdades de las medias aritmtica y geomtrica

Desigualdades de las medias aritmtica ygeomtrica.

1) Alejandra Natalia Regalado Bonilla2) Zenn Portillo Rivas

3)Juan Carlos Daz Flores4) Oscar Ren Portillo

April 28, 2016

Universidad de El Salvador

Desigualdades de las medias aritmtica y geomtrica Maestria en Didctica de la matemtica, Ciclo I-2016, UES.
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Contenidos

1 INTRODUCCIN:

2 OBJETIVO:

3 Desigualdades de las medias aritmtica y geomtrica

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Contenidos

1 INTRODUCCIN:

2 OBJETIVO:




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INTRODUCCIN:

En las matemticas, la desigualdad de las medias aritmtica ygeomtrica (AM-GM) estable que la media aritmtica de nmeros realesno negativos, en caso particular, para tres variables,x, y, zes mayor oigual que la media geomtrica de los mismos nmeros.



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Contenidos

1 INTRODUCCIN:

2 OBJETIVO:


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OBJETIVO:

Demostrar la desigualdad de las medias aritmticas y geomtrica en el

casa de tres nmeros reales postivos y conocer algunas aplicacionnes.


O CC O O
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Contenidos

1 INTRODUCCIN:

2 OBJETIVO:



INTRODUCCIN OBJETIVO D i ld d d l di it ti t i
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Desigualdades de las medias aritmtica y geomtrica

Para establecer la desigualdad (AM-GM) 3

xyz (x+y+z)3

para los nmeros positivosx, y, z, primero hacemos un cambio

de variablex=a3, y=b3, z=c3, de modo que podamos trabajarla desigualdad

3abc a3 +b3 +c3.




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En primer lugar demostraremos un lema preliminar (Alsina 2000)que es de inters para el desarrollo de la desigualdad (AM-GM).

Lema

Para todo a, b, c 0, ab+ac+bc a2 +b2 +c2.




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En primer lugar demostraremos un lema preliminar (Alsina 2000)que es de inters para el desarrollo de la desigualdad (AM-GM).

Lema

Para todo a, b, c 0, ab+ac+bc a2 +b2 +c2.




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Sin prdida de generalidad, podemos asumir que a

b

c, y dela figura 2.8 en este caso podemos suponer la desigualdad. Estotambin puede establecerse mediante la aplicacin de AM GM,la desigualdad de los pares a2 yb2,b2 yc2,c2 ya2.

Aplicacin 1.1La desigualdad de Guba (Guba 1977)

Considere una caja rectangular con longitud de arista a, b, cpor lo quelas reas de las caras sonK1=ab,K2 =bcyK3 =ac. El volumen esV =abcy la diagonal interior d=

a2 +b2 +c2. Entonces la

desigualdad de Gubas establece que

K21 +K22 +K

23 3Vd.




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Sin prdida de generalidad, podemos asumir que a

b

c, y dela figura 2.8 en este caso podemos suponer la desigualdad. Estotambin puede establecerse mediante la aplicacin de AM GM,la desigualdad de los pares a2 yb2,b2 yc2,c2 ya2.

Aplicacin 1.1La desigualdad de Guba (Guba 1977)

Considere una caja rectangular con longitud de arista a, b, cpor lo quelas reas de las caras sonK1=ab,K2 =bcyK3 =ac. El volumen esV =abcy la diagonal interior d=

a2 +b2 +c2. Entonces la

desigualdad de Gubas establece que

K21 +K22 +K

23 3Vd.


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Usando el lema 1.1 se tiene que

(a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 +2(ab+ac+bc)

3(ab+ac+bc)

As

(K21 +K22 +K

23)

2 3(K21 K22 +K22 K23 +K21 K23)= 3a2b2c2(a2 +b2 +c2)

= 3V2d2

con lo que probamos la desigualdad


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g y g

Teorema

Para todo a, b, c

0, 3abc

a3 +b3 +c3.

(Alsina 200). En la figura 2.9 rectngulos con el mismo sombreadotienen la misma rea


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g y g

aplicando el lema 1.1 para la altura del rectngulo del ladoizquierdo es menor o igual que la altura del rectngulo del ladoderecho.Los tres rectngulos blancos de la izquierda tienen rea 3abc

menor o igual que al rea de los tres rectngulos blancos a laderecha, a3 +b3 +c3.

Ya que la versin anterior de la desigualdad AM GM para tresnmeros cbicos, podemos ilustrar con una dimensintridimensional.




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aplicando el lema 1.1 para la altura del rectngulo del ladoizquierdo es menor o igual que la altura del rectngulo del ladoderecho.Los tres rectngulos blancos de la izquierda tienen rea 3abc

menor o igual que al rea de los tres rectngulos blancos a laderecha, a3 +b3 +c3.

Ya que la versin anterior de la desigualdad AM GM para tresnmeros cbicos, podemos ilustrar con una dimensintridimensional.


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En la figura 2.10 podemos ver que una caja con dimensioneslaterales,a b c, encaja dentro de la unin de tres pirmides

rectas cuyas longitudes del ladoa, b, c, y cuyas alturas son tambina, b, c,respectivamente, por lo que:

abc 13

a2.a+13

b3.b+13

c2.c




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Aplicacin 1.4.Entre todos los tringulos con un permetro endisputa, la desigualdad triangular tiene el rea ms grande.

Considere un tringulo con una longitud,a, b, c,reak, y semipermetros= a+b+c2 . Por la desigualdad AM GM, tenemos:

3

(s a)(s b)(s c) (s a) + (s b) + (s c)3

= s

3

o,(s a)(s b)(s c) s327 , con igualdad si y slo si a= b=c.


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La frmula clsica de Hern de Alejandra (C. 10 75), que se prueba

en la aplicacin 4.1 establece que K =

s(s a)(s b)(s c)y porlo tanto

K2 = s(s a)(s b)(s c)

= s 3

s(s a)(s b)(s c)3

s4

27.

oK

3s29 . Ya que el permetro es fijo, por lo que ess, por lo tanto, el

rea es la ms grande cuando tenemos una igualdad, o cuando eltringulo es equiltero.


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Muchos problemas de optimizacin normalmente encontrados enel clculo de una sola variable puede solucionarse usando el AM GM desigualdad para nmerosn 3.La siguiente aplicacin ilustra la tcnica, y problemas similares

que se pueden encontrarse en los retos de la vida diaria.Aplicacin 1.5.Encontrar las dimensiones y volumen de uncilindro circular recto con volumen mximo que puede ser inscritoen un cono circular recto con radio base Ry alturaH.


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Searyhdenotados como el radio y la altura respectivamente de elcilindro inscrito. Si introducimos un sistema de ejes en el planoconteniendo el eje del cono, entonces el punto (r, h)se encuentra enla lnea de( xR) + (

yH) =1, o(

rR) + (

hh) =1, como se muestra en la

Figura 2.11




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Como el volumn del cilindro esV =r2h, tenomos

V = r2h

= 4R2H. r2R

. r2R

.hH

4R2H.

( r2R) + ( r2R) + (

hH)

3

3

= 4R2H. 127

= 4

9.13.R2H

con desigualdad si y slo si r2R

= hH

. Como( r2R) + (hH) =1, podemos

deducir que el cilindro tiene un volumn mximo cuando r= 2R3 yh= H3 , y que su volumn es

49 del volumn delcilindrodado.


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Aplicacin 1.6Los extremos de sumas y productos de las

tangentes.Considremos un tringulo con medidas de sus ngulos,y.Demostremos que

tan

2 tan

2 tan

2

3

9 y tan

2 +tan

2 +tan

2 3.

Como+ + =,tan +2 =cot

2 , as que

tan( 2 ) +tan(

2 )1 tan( 2 ) tan( 2 )

= 1tan( 2 )




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por tanto

tan(

2 )tan

(

2 ) +tan

(

2 )tan

(

2 ) +tan

(

2 )tan

(

2 ) =1.

Ahora seax=tan( 2 ),y=tan( 2 ), yz=tan(

2 ). Queremos

demostrar quexyz

39 yx+y+z

3 cuandoxy+yz+xz=1.

Aplicando la desigualdad(AM

GM)para tres nmeros xy,yz, yzx

tenemos

13

= xy+yz+xz

3

3xy.yz.zx= (xyz)

23

de donde se sigue quexyz

39 .




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Aplicando el lema 1.1 tenemos

(x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2(xy+yz+zx)

3(xy+yz+zx).

por lo que

(x+y+z)2 3(xy+yz+zx) (1)

y sixy+yz+zx=1, tenemosx+y+z

3 lo que faltabademostrar. Tenemos la igualdad en ambas desigualdades si y slo six=y=z=

3

3 , es decir, el tringulo es equiltero.


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Aplicacin 1.7La desigualdad de Newton.Dadosnnmeros realesa1, a2, , any fijamos el i-simo elemento i,0 i n,de la funcin simtrica ique est definida por elcoeficiente de laxni en la expansicin de(x+a1)(x+a2)

(x+an). Asociando con cadaique es la i-simo

media simtrica elementalSi, definida comoSi= i

ni

. Por ejemplo,cuandon=3, tenemosS0=1, S1 =

(a1+a2+a3)3 ,S2=

(a1a2+a2a3+a3a1)3 ,

S4=a1a2a3. La desigualdad de Newton (Isaac Newton, 1642-1727),

establece queSi

1Si+1 S2i. Ahora hacemos una corto prueba parael caso especialn=3, i=2, a1, a2, a3 0:


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a1+a2+a33

.a1a2a3

a1a2+a2a3+a3a13

2

Tomemos ax=a1a2,y=a2a3yz=a3a1, la desigualdad esequivalente a3(xy+yz+zx) (x+y+z)2,

la cual es exactemente la relacin (1), que encontramosanteriormente.




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Podemos extender la desigualdad AM-GM para cuatro nmeros realespositivosa, b, c, d, utilizando la versin de media aritmtica ygeomtrica dos nmero dos veces:

a+b+c+d

4 =

12

a+b

2 +

c+d

2

12ab+ cd

ab

cd

= 4

abcd

Podemos entender de forma similar la desigualdades de AM-GM a nnmerosnes una potencia de 2.


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