DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

FACTOR

Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí dan como resultado la expresión inicial.

Si se multiplica xpor ( x+ y ) se obtiene:

FACTORIZAR

Es convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.

CASOS DE FACTORIZACIÓN

Para factorizar monomios y polinomios se utilizan varios procedimientos que se desarrollan mediante situaciones o casos que se presentan con un método particular para cada uno.

Caso I. Factor común monomio

Se presenta cuando todos los términos de un polinomio tienen un elemento en común, bien sea numérico, literal o ambos.

Ejemplo Nº 1: Descomponer o factorar la expresión a3−a2 x+a x2

Los tres términos tienen el factor común a. Se escribe el factor común a como coeficiente de los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común. Estos resultados se encierran dentro de un paréntesis separado por su correspondiente signo.

Factor común a

a3

a=a2; a

2 xa

=ax; a x2

a=x2

Por tanto se tendrá la expresión

a (a2−ax+x2 )

Ejemplo Nº 2: Descomponer o factorar la expresión 24b2 xy−36 x2 y

Factor común 12 xy

Se divide cada término por el factor común

24b2 xy12 xy

=2b2; 36 x2 y

12xy=3 x

Luego

12 xy (2b2−3 x )

Ejemplo Nº 3: Descomponer o factorar la expresión 2b2 x+6b x2

Factor común 2bx

Se divide cada término por el factor común

2b2 x2bx

=b ; 6b x2

2bx=3 x

Entonces

2bx (b+3 x )

Caso I. Factor común polinomio

Ejemplo Nº 4: Descomponer o factorar la expresión 3 x ( x−2 )−2 y ( x−2 )

Los dos términos de esta expresión tienen en común el binomio ( x−2 ), entonces se escribe el binomio ( x−2 ) como coeficiente de un paréntesis donde irán los resultados de dividir cada uno de los términos entre el factor común ( x−2 ) separados por el signo correspondiente.

Factor común: ( x−2 )

3x ( x−2 )( x−2 )

=3 x ;2 y ( x−2 )

(x−2 )=2 y

Luego:

( x−2 ) (3 x−2 y )

Se escribe primero el factor común. Todo caso de factorización se prueba multiplicando los factores obtenidos y comprobando que resulte la expresión algebraica inicial.

Caso II. Factor común por agrupación

Ejemplo Nº 5: Descomponer o factorar la expresión 4 bm3−12bmn−m2+3n

Observando detenidamente la expresión algebraica, se aprecia que el primer término y el tercer término tienen en común la m2 y el segundo y cuarto término 3n de la siguiente forma:

Factor común primer y tercer término: m2

Factor común segundo y cuarto término: 3n

Se agrupan los términos que tienen factor común

(4bm3−m2 )+(−12bmn+3n )

El segundo paréntesis se puede cambiar de signo cambiando el signo del paréntesis y los signos de los términos de su interior

(4bm3−m2 )− (12bmn−3n )

Para cada paréntesis se extrae el factor común

m2 (4bm−1 )−3n (4bm−1 )

Obsérvese ahora que al extraer los factores comunes el paréntesis de la derecha y de la izquierda poseen exactamente los mismos valores, de modo que se convierte en un factor común.

Nuevo factor común: (4 bm−1 )

Entonces

(4 bm−1 ) (m2−3n )

Ejemplo Nº 6: Descomponer o factorar la expresión 3a2−7b2 x−7ab2+3ax

Factor común primer y cuarto término: 3a

Factor común segundo y tercer término: 7b2

Se agrupan los términos que tienen factor común

(3a2+3 ax )+ (−7b2 x−7ab2)

El segundo paréntesis se puede cambiar de signo cambiando el signo del paréntesis y los signos de los términos de su interior

(3a2+3 ax )−(7b2 x+7ab2 )

Para cada paréntesis se extrae el factor común

3a (a+ x )−7b2 ( x+a )

Aunque los dos paréntesis tienen los términos iguales pero en desorden se consideran factor común, si se reordena los términos al interior del paréntesis

3a (a+ x )−7b2 (a+x )

Obsérvese ahora que al extraer los factores comunes el paréntesis de la derecha y de la izquierda poseen exactamente los mismos valores, de modo que se convierte en un factor común.

Nuevo factor común: (a+ x )

Entonces

(a+ x ) (3a−7b2 )

Caso III. Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de un producto de dos factores idénticos:

Si se multiplica 6a∗6a=36a2 y se dice que 36a2 es un cuadrado perfecto, de igual forma:

(−6a )∗(−6 a )=36 a2 , es decir, −6a es también la raíz cuadrada de 36a2.

De lo anterior se concluye que la raíz cuadrada de una cantidad positiva posee dos signos uno positivo y otro negativo.

Raíz cuadrada de un monomio

Sea el monomio 16b4 c8 la raíz cuadrada será 4 b2 c4 , la comprobación es clara cuando se

multiplica (4b2 c4 )∗(4b2 c4 ) pues el resultado es 16b4 c8

Como se ha visto hasta el momento, los productos notables pueden ser de dos formas para los cuadrados perfectos.

(a+b )2=a2+2ab+b2

(a−b )2=a2−2ab+b2

Ejemplo Nº 7: Dado el trinomio 36+12m2+m4 evaluar si es un trinomio cuadrado perfecto.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √36=6

Evaluar la raíz cuadrada del tercer término √m4=m2

Evaluar el doble producto de las raíces cuadradas 2∗6∗m2=12m2

En efecto, el resultado concuerda con la expresión inicial dada, definiendo al trinomio como cuadrado perfecto

Por tanto

36+12m2+m4=(6+m2 )2

Prueba

(6+m2)2=(6 )2+2 (6 ) (m2 )+(m2 )2(6+m2)2=36+12m2+m4

El anterior procedimiento se enuncia mediante la siguiente regla: Un trinomio ordenado es cuadrado perfecto si el primer y tercer término son cuadrados perfectos, es decir, que tiene raíz cuadrada exacta, son positivos y el segundo término es dos veces el producto de sus raíces cuadradas. (El doble producto de las raíces puede ser positivo o negativo.)

Ejemplo Nº 8: Dado el trinomio 4 x2−12xy+9 y2 evaluar si es un trinomio cuadrado perfecto.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √4 x2=2 x

Evaluar la raíz cuadrada del tercer término √9 y2=3 y

Evaluar el doble producto de las raíces cuadradas 2∗2x∗3 y=12xy

En efecto, el resultado concuerda con la expresión inicial dada, definiendo al trinomio como cuadrado perfecto, con la salvedad de que ahora es con signo negativo.

Por tanto

4 x2−12xy+9 y2= (2x−3 y )2

Hay ocasiones en que el primero, tercero, o ambos términos de un trinomio resultan ser expresiones compuestas, y si bien es un caso especial, para su desarrollo se procede de la misma manera que la establecida en el ejemplo siguiente.

Ejemplo Nº 9: Dado el trinomio (m+n )2−2 (m+n ) (a−m )+(a−m )2 evaluar si es un trinomio cuadrado perfecto.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √ (m+n )2=(m+n )

Evaluar la raíz cuadrada del tercer término √ (a−m )2=(a−m )

Evaluar el doble producto de las raíces cuadradas 2∗(m+n )∗(a−m )=2 (m+n ) (a−m )

En efecto, el resultado concuerda con la expresión inicial dada, definiendo al trinomio como cuadrado perfecto, con la salvedad de que ahora es con signo negativo.

Por tanto

(m+n )2−2 (m+n ) (a−m )+(a−m )2=( (m+n )−(a−m ) )2

Simplificando aún más la expresión

(m+n )2−2 (m+n ) (a−m )+(a−m )2=(2m+n−a )2

Caso IV. Diferencia de cuadrados perfectos.

Se ha visto en los productos notables que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas de las cantidades. Recordando:

Para factorizar una diferencia de cuadrados se le extrae la raíz cuadrada tanto al minuendo como al sustraendo y el resultado será el producto de la suma por la diferencia de las raíces cuadradas extraídas.

Ejemplo Nº 10: Dado el trinomio a2−25 evaluar si es una diferencia de cuadrados.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √a2=a

Evaluar la raíz cuadrada del segundo término √25=5

Por tanto

a2−25= (a+5 ) (a−5 )

Ejemplo Nº 11: Dado el trinomio 100−x2 y6 evaluar si es una diferencia de cuadrados.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √100=10

Evaluar la raíz cuadrada del segundo término √ x2 y6=x y3

Por tanto

100−x2 y6=(10+ x y3 ) (10−x y3 )

Al igual que en el caso anterior (caso III) se pueden encontrar expresiones algebraicas en que en una diferencia de cuadrados uno o ambos cuadrados resultan ser expresiones compuestas.

Ejemplo Nº 12: Dado el trinomio ( x+1 )2−4 x2 evaluar si es una diferencia de cuadrados.

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √ ( x+1 )2=( x+1 )

Evaluar la raíz cuadrada del segundo término √4 x2=2 x

Por tanto

( x+1 )2−4 x2=( ( x+1 )+2x ) ( ( x+1 )−2 x )

Simplificando

( x+1 )2−4 x2=(1+3x ) (1−x )

Combinación de los casos III y IV

Ejemplo Nº 13: factorizar a2−b2−2bc−c2 .

El término 2bc indica la existencia de un trinomio cuadrado perfecto, cuyo primer término seríab2 y su tercer término c2.

Luego agrupando de la siguiente manera

a2−b2−2bc−c2=a2−(b2+2bc+c2)

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto (caso III)se tiene

a2−b2−2bc−c2=a2− (b−c )2

Ahora la expresión se ve como una diferencia de cuadrados (caso IV) por tanto

a2−b2−2bc−c2=(a+ (b−c ) ) (a−(b−c ) )

Simplificando

a2−b2−2bc−c2=(a+b−c ) (a−b+c )

Importante:

Al introducir una cantidad dentro de un paréntesis precedido de un signo −¿, se debe cambiar de signo a la cantidad. En la eliminación de signos de agrupación (paréntesis) se debe aplicar la ley de los signos.

Caso V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Ejemplo Nº 14: factorizar 4 a4+8a2b2+9b4 .

Es común encontrar expresiones algebraicas como 4 a4+8a2b2+9b4, donde la raíz cuadrada de

√4 a4=2a2, y la raíz cuadrada de √9b4=3b2, pero el doble producto no es el indicado en la expresión sino otro diferente 2∗(2a2 )∗(3b2 )=12a2b2.

Por definición propiedades vistas anteriormente se puede apreciar que la expresión 4 a4+8a2b2+9b4 no es un trinomio cuadrado perfecto. Pero se puede hacer qué la expresión lo sea, para lo cual se necesita que el segundo término 8a2b2 se convierta en 12a2b2, sumándole 4 a2b2 y para el que el trinomio inicial no se altere se le resta la misma cantidad que se ha sumado.

Es decir,

4 a4+8a2b2+9b4=4a4+8a2b2+9b4+4a2b2−4a2b2

Sumando estratégicamente los términos para completar el trinomio cuadrado perfecto se tiene

4 a4+8a2b2+9b4=4a4+12a2b2+9b4−4a2b2

Simplificando los términos del trinomio se tiene

4 a4+8a2b2+9b4=(2a2+3b2 )2−4a2b2

Ahora se observa una diferencia de cuadrados y se resuelve

4 a4+8a2b2+9b4=(2a2+3b2+2ab ) (2a2+3b2−2ab )

Ordenando la respuesta

4 a4+8a2b2+9b4=(2a2+2ab+3b2 ) (2a2−2ab+3b2 )

Ejemplo Nº 15: factorizar 36 x4−109x2 y2+49 y4 .

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √36 x4=6 x2

Evaluar la raíz cuadrada del tercer término √49 y4=7 y2

Evaluar el doble producto de las raíces cuadradas 2∗(6 x2)∗(7 y2 )=84 x2 y2

Para la expresión −109 x2 y2+84 x2 y2=25 x2 y2

Se suma y resta 25 x2 y2 de la expresión original

36 x4−109x2 y2+49 y4=36 x4−109 x2 y2+49 y 4+25 x2 y2−25 x2 y2

Sumando estratégicamente los términos para completar el trinomio cuadrado perfecto se tiene

36 x4−109x2 y2+49 y4=36 x4−84 y2+49 y4−25x2 y2

Simplificando los términos del trinomio se tiene

36 x4−109x2 y2+49 y4= (6 x2−7 y2 )2−25 x2 y2

Ahora se observa una diferencia de cuadrados y se resuelve

36 x4−109x2 y2+49 y4= (6 x2−7 y2+5xy ) (6 x2−7 y2−5xy )

Ordenando la respuesta

36 x4−109x2 y2+49 y4= (6 x2+5 xy−7 y2) (6 x2−5 xy−7 y2 )

Caso especial. Factorizar una suma de cuadrados.

Ejemplo Nº 16: factorizar 4m4+81n4

Evaluar la raíz cuadrada del primer término √4m4=2m2

Evaluar la raíz cuadrada del tercer término √81n4=9n2

Evaluar el doble producto de las raíces cuadradas 2∗(2m2 )∗(9n2 )=36m2n2

Para que esta expresión algebraica sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta que su segundo término sea igual al doble producto de las raíces cuadradas 36m2n2

Entonces sumamos esta cantidad al trinomio inicial para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto y para que éste no se altere se le resta la misma cantidad que se ha sumado.

Es decir:

4m4+81n4+36m2n2−36m2n2

Se ordena para que quede el trinomio cuadrado perfecto y se factoriza

(4m4+36m2n2+81n4 )−36m2n2

(2m2+9n2 )2−36m2n2

Se factoriza la diferencia de cuadrados de modo que:

4m4+81n4=(2m2+9n2 )2−(6mn )24m4+81n4=(2m2+9n2−6mn ) (2m2+9n2+6mn )

Despejando los parentesis y ordenando el polinomio

4m4+81n4=(2m2−6mn+9n2 ) (2m2+6mn+9n2 )

Caso VI. Trinomio de la forma x2±bx ±c

De acuerdo con la expresión general son trinomios como:

Con características perfectamente definidas como:

El coeficiente del primer término es igual a 1. El primer término es una parte literal cualquiera elevada al cuadrado, es decir, es

cuadrado perfecto. El segundo término tiene la misma parte literal que el primer término con exponente 1 y

coeficiente cualquier número positivo o negativo. El tercer término es un número cualquiera positivo o negativo e independiente del

primero y segundo términos.

Ejemplo Nº 17: factorizar x2+3x−10

Se descompone el trinomio en dos binomios, donde el primer término de cada binomio va a ser la raíz cuadrada del primer término del trinomio:

(x ....... .)(x .........)

En el primer binomio se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo binomio se escribe el producto del signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio:

(x+...)( x−...)

Ahora se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente de segundo término del trinomio con su signo correspondiente y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio con su signo correspondiente.

Para hallar estos dos números de una forma más rápida se realiza mediante la descomposición del tercer término del trinomio en sus factores primos:

(x+5)(x−2)

Puesto que +5−2=3 y (+5 )∗(−2 )=−10

Se han buscado dos números cuya suma algebraica sea igual a 3 y cuyo producto sea igual a −10.

Entonces se concluye que:

x2+3x−10=(x+5)(x−2)

Caso VII. Trinomio de la forma a x2±bx ±c

Estos trinomios se diferencian de los anteriores (caso VI) en que el primer término tiene un coeficiente diferente de 1. Por tal razón pueden no ser cuadrados perfectos estos coeficientes.

Ejemplo Nº 18: factorizar 6 x2+7 x+2

El coeficiente del primer término (6), no es un cuadrado perfecto. Para lograr esto se multiplica todo el trinomio por esta cantidad:

6 (6 x2+7 x+2 )=36 x2+7 (6 x )+12

Ahora se realizan todos los pasos igual que el caso anterior, es decir, dos números que sumados den 7 y multiplicados den 12.

6 (6 x2+7 x+2 )=(6 x+4 ) (6 x+3 )

Como inicialmente se había realizado la multiplicación por el número (6), se debe dividir por (6) para no afectar el resultado

6 (6 x2+7 x+2 )6

=(6 x+4 ) (6 x+3 )

6

6 x2+7 x+2=(6x+4 ) (6 x+3 )

2∗3

Se puede reordenar los factores como

6 x2+7 x+2=

(6 x+4 )2

∗(6 x+3 )

3

Sacando factor común a cada factor para anular el divisor se tiene

6 x2+7 x+2=

2 (3x+2 )2

∗3 (2 x+1 )

3

Y el resultado se escribe como

6 x2+7 x+2=(3 x+2 ) (2 x+1 )

Caso VIII. Cubo perfecto de binomios.

En los productos notables se vio que:

De lo que se puede concluir que para que una expresión algebraica sea el cubo perfecto de un binomio, debe cumplir con las siguientes características:

Estar ordenado con respecto de una letra. El primero y último términos deben ser cubos perfectos. El segundo término debe ser tres veces el cuadrado de la raíz cúbica del primer término

multiplicada por la raíz cúbica del último término. El tercer término debe ser tres veces la raíz cúbica del primer término, multiplicada por el

cuadrado de la raíz cúbica del último término. Si los signos del resultado son todos positivos, el binomio será de la forma (a+b )3, y si los

signos van alternados ¿ será de la forma (a−b )3

Ejemplo Nº 18: factorizar 27−27 x+9 x2−x3

Se debe verificar si esta expresión cumple con las condiciones para que sea el cubo perfecto de un binomio:

Raíz Cúbica del primer término 3√27=3

Raíz Cúbica del último término 3√ x3=x

Prueba del Segundo Término 3 (3 )2 (x )=27 x

Prueba del Tercer Término 3 (3 ) ( x )2=9 x2

Y como los signos vienen alternados ¿ entonces la expresión dada es un cubo perfecto de la forma (3−x )3, es decir,

27−27 x+9 x2−x3=(3−x )3

Ejemplo Nº 19: factorizar 125a3+150a2b+60ab2+8b3

Se debe verificar si esta expresión cumple con las condiciones para que sea el cubo perfecto de un binomio:

Raíz Cúbica del primer término 3√125a3=5 a

Raíz Cúbica del último término 3√8b3=2b

Prueba del Segundo Término 3 (5a )2 (2b )=150a2b

Prueba del Tercer Término 3 (5a ) (2b )2=60ab2

Y como todos los signos son positivos, entonces la expresión dada es un cubo perfecto de la forma (5a+2b )3, es decir,

125a3+150a2b+60ab2+8b3=(5a+2b )3

Caso IX. Suma o diferencia de cubos perfectos.

Se vio en cocientes notables que:

Estos dos enunciados se utilizan para Factorizar la suma o diferencia de un cubo perfecto.

Ejemplo Nº 20: factorizar x3−27

Se observa que es de la forma a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

Luego,

Raíz Cúbica del primer término 3√ x3=x

Raíz Cúbica del último término 3√27=3

Por tanto

x3−27=( x−3 ) (x2+3x+32 )

x3−27=( x−3 ) (x2+3x+9 )

Ejemplo Nº 21: factorizar 8 x3+ y3

Se observa que es de la forma a3+b3=(a−b ) (a2−ab+b2 )

Raíz Cúbica del primer término 3√8 x3=2x

Raíz Cúbica del último término 3√ y3= y

Por tanto

8 x3+ y3=(2 x+ y ) [ (2 x )2−(2 x ) ( y )+( y )2 ]

8 x3+ y3=(2 x+ y ) (4 x2−2 x y+ y2 )

Caso X. Suma o diferencia de dos potencias iguales.

También se vio en los cocientes notables que:

an−bn dividido entre a−b es siempre divisible, siendo n cualquier número entero sea par o impar.

an−bn dividido entre a+b es siempre divisible, si n es un número entero par. an+bn dividido entre a+b es siempre divisible, si n es un número entero impar. an+bn dividido entre a−b ó a+b nunca es divisible, si n es un número par.

Ejemplo Nº 22: resolver x7+ y7

x+ y

Se observa que cumple la tercera forma x7+ y7

x+ y=x6− x5 y+x4 y2−x3 y3+x2 y4−x y5+ y6

Ejemplo Nº 23: resolver z4−16z+2

Se observa que cumple la segunda forma z4−16z+2

=z3−2 z2+4 z−8

Ejercicios:

Descomponer en factores:

1. 81a8+64 b12 2. 49 x2−77 x+303. x2−2abx−35a2b2

4. 125 x3−225 x2+135 x−275. (a−2 )2−(a+3 )2

6. 4 a2m+12a2n−5bm−15bn7. 1+6 x3+9 x6

8. a4+3a2b−40b2

9. 1+11 x+24 x2

10. 9 x2 y3−27 x3 y3−9x5 y3