Trabajo final

Probabilidad y EstadsticaRegla del Productoindica la probabilidad de que se produzcan los sucesos A y R como producto de la probabilidad del suceso A por la probabilidad de que ocurra R cuando se conoce que ha ocurrido A (probabilidad condicionada).

En notacin matemtica sera

P(A R) = P(A) * P (R / A)

donde el smbolo (una especie de U invertida) indica que se producen los sucesos A y R.Si los sucesos A y B son independientes, es decir si la probabilidad de uno de ellos no depende de que haya sucedido el otro, entonces se tiene que

P(B/A) = P(B)

Ejemplos:

I. Dos candidatos a los consejos de administracin A y B, compiten por el control de una corporacin. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3, respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8; si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Cul es la probabilidad, antes de las elecciones, de que sea introducido un nuevo producto?

Solucin: Si llamamos N al nuevo producto y tenemos en cuenta que estamos ante probabilidades condicionadas, ser:

P(N A) + P(N B P(A B) = P(B A) = P(A) * P(B)) == P(A) * P(N/A) + P(B)*P(N/B)== 0,7 * 0,8 + 0,3 * 0,4 = 0,56 + 0,12 = 0,68.II. En una cierta reunin sindical asistieron 16 hombres y 24 mujeres, si se rifaron: dos productos (modular y tv). Calcula la probabilidad de que los afortunados sean dos mujeres

a. N=40b. P (M1 M2) = (24/40)(23/39)=552/1560 = 0.35

III. Tomando en cuenta el problema anterior, solo se har una modificacin sern tres productos (Modular, tv y licuadora). Calcular la probabilidad de que los afortunados sean un hombre, una mujer y un hombre?

a. P (H1 M H2) = (16/40)(24/39)(15/38)= 5760/59280= 0.097

IV. En el Banco de Mxico hay un comit integrado por 10 economistas, 6 contadores y 4 actuarios. Se desea que acudan tres personas a una reunin de finanzas para representar al banco:a. Calcular la probabilidad de que la primera persona sea un economista, la segunda un contador y la tercera un actuario.b. N=20c. P (E C A) = (10/20)(6/19)(4/18)= 240/6840= 0.035

V. Tomando en cuenta el problema anterior, ahora calcular la probabilidad de que dos sean economistas y la tercera un actuario.

a. N=20b. P (E E A) = (10/20)(9/19)(4/18)= 360/6840= 0.052Permutaciones

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin, plantearemos cierta situacin.Suponga que un saln de clase est constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario. Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podra ser "333".Sin repeticin: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primeroysegundo a la vez.

EJERCICIOS1.Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los |m = 5 n = 5 Sentran todos los elementos. De 5 dgitos entran slo 3. Simporta el orden. Son nmeros distintos el 123, 231, 321. Nose repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? Sentran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas. Simporta el orden. Nose repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

3.De cuntas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4.Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar?m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9 Sentran todos los elementos. Simporta el orden. Sse repiten los elementos.

5.Cuntos nmeros de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70.000? Sentran todos los elementos. Simporta el orden. Nose repiten los elementos.

Si es impar slo puede empezar por 7 u 8

CombinacionesUna combinacin es un arreglo donde el orden NO es importante. La notacin para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de n elementos seleccionados, r a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de n elementos tomados r a la vez dividido por r factorial. Esto sera P(n,r)/r! en notacin matemtica.Se llamacombinaciones de m elementos tomados de n en n (m n)a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: Noentran todos los elementos. Noimporta el orden. Nose repiten los elementos.

Tambin podemos calcular lascombinaciones mediantefactoriales: Lascombinacionesse denotan por

Ejemplos:

1. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)b. Cuntas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de frmula uno?Solucin:a. Por principio multiplicativo:8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carreraPor Frmula:n = 8,r = 88P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.b. Por principio multiplicativo:8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carreraPor frmula:n =8,r = 38P3= 8! / (8 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera

2.En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar? Noentran todos los elementos. Noimporta el orden: Juan, Ana. Nose repiten los elementos.

3.A una reunin asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. Cuntos saludos se han intercambiado? Noentran todos los elementos. Noimporta el orden. Nose repiten los elementos.

4.En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas? Noentran todos los elementos. Slo elije 4.. Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de ans. Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

5.Cuntas apuestas de Lotera Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? Noentran todos los elementos. Noimporta el orden. Nose repiten los elementos.

Espacio Equiprobable (Anlisis Combinatorio)Espacio Equiprobable (Analisis combinatorio)Es aquel donde todos los posibles resultados tienen las mismas oportunidades de salir:ejem. Un dado lanzado da la misma oportunidad a cada una de sus carasEn una caja que contiene bolas de diferentes colores y se saca una al azar, cada una de las bolas tiene la misma oportunidad de salir que otra cualquiera.Es la rama de la matemtica que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prcticos. Por ejemplo podemos averiguar cuntos nmeros diferentes de telfonos , placas o loteras se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dgitos.Ejemplo :

Sealar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un nmero determinado de prendas de vestirOrdenar 5 artculos en 7 casillerosContestar 7 preguntas de un examen de 10Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisinSentarse en una fila de 5 asientos 4 personasEscribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIONSi un evento o suceso "A" puede ocurrir , en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el nmero de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m . n"

Ejercicios

1. En la etapa final de ftbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campen y subcampen). De cuntas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?

Solucin :

METODO 1: utilizando el diagrama del rbol1er lugar 2do lugar 1o 2o

Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar

METODO 2: Utilizando el principio de multiplicacin

1o 2o

4 x 3

# maneras = 12

2. Cuntas placas para automviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dgitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)

Solucin :

letras Dgitos

26 x 25 x 10 x 9 x 8

# placas = 468 000

PRINCIPIO ADICION3. Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, adems, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A B = ), entonces el evento A o el evento B se realizarn de ( m + n) maneras.

4. Un repuesto de automvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Brea.De cuntas formas se puede adquirir el repuesto?

Solucin :

Por el principio de adicin:Victoria Brea

6 formas + 8 formas = 14 formas

5. Se desea cruzar un ro, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. De cuantas formas se puede cruzar el ro utilizando los medios de transporte sealados?

Solucin :

Aplicando el principio de adicin se tiene:Bote , lancha , deslizador

3 2 1

# maneras = 3 + 2 + 1 = 6Diagrama del rbolEs una representacin grfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a cabo.Para la construccin de un diagrama en rbol se partir poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompaada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, segn las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.Los diagramas en rbol son muy tiles para "fabricar" cualquier tipo de agrupacin, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.

EJEMPLOS:

1.-Se lanza una moneda, si sale guila se lanza un dado y si sale sol se lanza la moneda de nuevo.A=AguilaS=Sol

Espacio muestralS:{A1,A2,A3,A4,A5,A6,SS,SA}n(s)=8

2.-Se tienen tres pelotas en una bolsa de color blanco, azul y amarillo, si se saca una pelota pero no se regresa y se vuelve a sacar otra. Cul sera el espacio muestral?R=AmarilloA=AzulB=Blanco

S={RB,RA,BR,BA,AR,AB}n(s)=6

3.-Isabel desea un helado y le dan escoger las siguientes posibilidades. Tamao grande o chico. Sabor: nuez, chocolate y queso. Cuntas posibles combinaciones de helado puede armar Isabel?Datos: Tamao grande y chico.Sabor: nuez, chocolate y queso.

4.-De cuantas forma Rene Fernando puede seleccionar una comida completa en el restaurante internacional Miriams, si este le ofrece como entrada sopa o jugo , como plato principal , carne, pescado o vegetales y como postre, helado o pastel?

Si quiero vestirme con un pantaln y una camisa y cuento con 4 pantalones y 3 camisas, de cuntas formas puedo vestirme?

Distribucin Normal2. La distribucin normal de probabilidad.La distribucin normal de probabilidad, distribucin de Gauss o campana de Gauss es una distribucin estadstica continua de probabilidad. Se sabe que las caractersticas fsicas, psicolgicas y sociales de una poblacin, adems de otros fenmenos, (inteligencia, peso, belleza, longevidad, borreguismo, etc.), siguen ms o menos la distribucin normal de probabilidad.Por ejemplo, si la estatura se representa en el eje X, entonces se ve que la mayora de la gente tiene una estatura normal, situada en el centro de la grfica, mientras que una minora de gente es muy alta y otra minora muy baja, salindose de lo normal, segn lo mostrado en la grfica en los extremos izquierdo y derecho. Otro ejemplo es la inteligencia: La mayora de la gente es de inteligencia normal, mientras que una minora es muy inteligente y otra es muy poco inteligente. O la longevidad: La mayora de la gente tiene una esperanza de vida normal, mientras que unos pocos mueren demasiado pronto o llegan a centenarios.

En el eje X se representa una variable estadstica y en el eje Y la probabilidad para cada valor de X. Algunas caractersticas: La media, la mediana y la moda son el valor central en donde la distribucin alcanza su valor mximo, siendo una distribucin simtrica respecto de este valor. Para valores alejados de la media, decrece exponencialmente. El rea total bajo la curva del grfico es 1. Esto es, la integral de la grfica es 1. O dicho de otra forma, la suma total de todas las probabilidades es 1. El grfico de arriba muestra las principales subreas del grfico. La probabilidad de que x sea cualquier valor 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de las lmparas (808 lmparas) superarn los 75 meses

b) t = (60 -68)/5 = -1,6

P (X 60) = (t -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t 1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% del lote (548 lmparas) no llegarn probablemente a durar 60 meses Ejemplo 3. -El consumo medio bimestral de energa elctrica en una ciudad es de 59 Kwh., con una desviacin tpica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal. a) Cuntos Kwh. tendra que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la poblacin que ms consume?. b) Si usted consume 45 Kwh. qu % de la poblacin consume menos que usted?a) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estara el 5% restante. Este valor corresponde a t = 1,645. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

1,645 = (X -59)/6 X = 67,87

Por lo tanto, tendra usted que consumir ms de 67,87 Kwh. bimestralmente para pertenecer al 5% de la poblacin que ms consume

b) Vamos a ver en que nivel de la poblacin se situara usted en funcin de los 45 Kwh. consumidos.

Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 Kwh.

t = (45 -59)/9 = -2.333

P (X 45) = P (t -2,333) = P (t > 2,333) = 1 - P (t 2,333) = 1 - 0,9901 = 0,0099

Luego, tan slo un 1,39% de la poblacin consume menos que usted.Ejemplo 4. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminacin. La duracin de una bombilla sigue una distribucin normal con media 302 das y desviacin tpica 40 das. Calcular. a) Cuntas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 das? Cuntas durarn ms de 400 das? Explica razonadamente las respuestas.a) Tipificamos el valor 365 t = (365 -302)/40 = 1,575

P (X 365) = P (t 1,575 ) = 0,9418

Luego el 94,18% de las lmparas, es decir 20.000 0.9418 = 18.836 bombillas se fundirn antes de 365 das

b) Tipificamos el valor 400 t = (400-302)/40 = 2,45

P (X > 400) = P (t >2,45 ) = 1- P (t 2,45 ) = 1 - 0,9929 = 0,0071

Entonces el 0,71% de las lmparas, es decir 20.000 0.0071 = 142 bombillas durarn ms de 400 dasEjemplo 5. El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un determinado cuadro elctrico es de 4 das, con una desviacin tpica de 1 da. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal. Calcular: a) Porcentaje de electricistas que tardan menos de 3 das. b) Tiempo a partir del cual del cual se sita el 10% de los electricistas que ms tiempo emplean en realizar el cuadro. c) Tiempos mnimo y mximo que engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio.a)t = (3 -4)/1 = -1

P (X 3) = P (t -1)

P (t -1) = P (t > 1)

P (t > 1) = 1 - P (t 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Luego, el 15,87 % de los electricistas emplean un tiempo inferior a 3 das

b) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sita el 10% superior. Este valor corresponde a t = 1,282. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:1,282 = (X -4)/1 X = 5,282Despejando X, su valor es 5,282. Por lo tanto, el 10% de los electricistas que ms tardan en realizar un cuadro lo hacen en5.28 dasc) Buscamos en la tabla el valor de t cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor hay un 30% de probabilidad. Por otra parte, al ser la distribucin normal simtrica, entre -t y la media hay otro 30% de probabilidad. Por lo tanto, el segmento (-t, +t) engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio.El valor de t que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842, por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de t.-0,842 = (X -4)/1 X = 3,1580,842 = (X -4)/1 X = 4,158Los valores de X son 3,158 y 4,158. Por lo tanto, los electricistas con tiempos comprendidos entre 3,158 das y 4,158 das constituyen el 60% de la poblacin con un tiempo medio de realizacin del cuadro.