Prueba N 2 Estructuras y Teoria de n umeros31 de Mayo del 2011Name1. Recuerde que : 15 Ptos(G, ) un grupo ciclicoSi y solo si a G, G =< a >(a) Demuestre que Si (G, ) es un Grupo ciclico entonces (G, ) es un Grupo AbelianoRespuesta:Recordemos que < a >= {an/ n Z} en notaci on multiplicativa , donde porejemplo a2= a a; a5= a a a a a; a3= a1a1a1ya0= e (1)Luego como G =< a > entonces x G p Z, x = apPor demostrar que : x y = y x x, y GSean x, y G por lo tanto p, q Z, x = ap, y = aqp +q ZLuego x y = ap aq= ap+q= aq+p= aq ap= y xConclusion (G, ) es un Grupo Abeliano(b) Sea (G, ) un Grupo tal que todo sus subgrupo S = G son ciclicos Podemos concluir que (G, ) un grupo Ciclico ?justique.Respuesta:Consideremos el Grupo (S3, ), sabemos que es no-abeliano,luego por lo anterior tenemos que (S3, ) no es ciclicoAdemas sabemos ( o debieramos saber ) quei) S3 = {id, (12), (23), (32), (123), (321)}ii) Si = (ab) entonces 1= (ba) = (ab) = iii) Si = (abc) entonces 1= (cba) = (acb) = = 2Luego sea S un subgrupo de S3 tal que S = S3() Si #(S) = 1 entonces S = {id} como < id >= {id} S es ciclico() Si #(S) = 2 entonces S es de forma S = {id, (ab)}como < (ab) >= {id, (ab)} S es ciclicoS no puede contener un elemento de la forma (abc) S3 pues en S tambiendeberia estar (cba) y luego#(S) = 2() Si #(S) = 3 entonces S es de forma S = {id, (abc), (cba)}como < (abc) >= {id, (abc), (cba)} S es ciclicoS no puede contener dos elementos de la forma (ab), (ac) S3 pues en S tambiendeberia estar (ab) (ac) = (acb) y luego#(S) = 3() S3no tiene subgrupos S tal que #(S) = 4 o #(S) = 5En efecto si 4 #(S) 5 entonces S deberia contener dos elementos de la formai) (ab), (ac) S3 oii) (ab), (abc) S3Caso i) Si (ab), (ac) S (ab) (ac) = (acb) S (bca) Sademas (ac)(acb) = (cb),luego S = {id, (ab), (ac), (bca), (acb), (cb)} = S3 Caso ii) Si (ab), (abc) S (ab)(abc) = (bc) (bc)(abc) = (ac) Sadem as como (abc) S (cba) S,luego S = {id, (ab), (abc), (bc), (ac), (cba)} = S3 Es decir en S3 todo sus subgrupo S = S3 son ciclicos, pero S3 no es ciclicoConclusion:Si (G, ) es un Grupo tal que todo sus subgrupo S = G son ciclicos, entonces no-necesariamente G es ciclico2. Sean. (A, +, ) un anilloya, b A, justicando pruebe que 15 Ptosa) a 0 = 0Respuesta:Sabemos que : 0 = 0 +0 luegoa 0 = a (0 +0)es decir a 0 = a 0 +a 0 / + ((a 0) )a 0 + ((a 0) ) = a 0 +a 0 + ((a 0) )luego0 = a 0+(a 0 + ((a 0) )) = a 0 +0 0 = a 0 a 0 = 0Conclusion:a 0 = 0b) a (b) = (a b)Respuesta:Calculemos a b +a (b) = a (b + (b)) = a (0) b)= 0Luego a b +a (b) = 0 como + es conmutativa entonces a (b) +a b = 0Por lo tanto el opuesto de a b es a (b) es decir (a b) = a (b)Conclusion: a (b) = (a b)3. En Z consideramos las operacionesa b = a +b 6y a b = ab 6a 6b +42Aceptando que (Z, , ) es un anillo conmutativo con identidad(a) Hallar los elementos neutros del Anillo 6 PtosRespuesta:Notemos que :a b = a +b 6 = b +a 6 = b aa b = ab 6a 6b +42 = ba 6b 6a +42 = b aluego y son conmutativas() Sea x es el elemento neutro de luegoa x = a, a ZSi a x = a entonces a x = a +x 6 = a x = 6Por lo tantoel neutro de ( o el cero del anillo ) es el entero 62(b) Sea y es el elemento neutro de luegoa y = a, a ZSi a y = a entonces a y = ay 6a 6y +42 = aay 6y = y =7a 42a 6= 7(a 6)a 6, a Z y = 7Por lo tantoel neutro de ( o el Uno del anillo ) es el entero 7Conclusion:Los elementos neutros del anillo son 6 y 7 de y respectivamente.(c) Sea J = {24 3x/ x Z} Pruebe que J es un ideal de este anillo 8 PtosRespuesta:Recordemos que J es subanillo i) J = ii)Si a, b J entonces a (b) Jiii) Si z Z, a J entonces z a Ji) Como0 = 24 3 8 J J = ii) Sean a, b J x, y Z, a = 24 3x, b = 24 3yBuscaremos el opuesto de b J, es decir buscamosb

Ztal que , b b

= 6 b +b

6 = 6 b

= 12 bluegob

= (b)= 12 (24 3y) = 12 +3yPor lo tantoa (b) = a + (b) 6 =(24 3x) +(12 +3y)= 12 3(x y) = 24 12 3(x y) = 24 3(x y +4)como x y +4 Z a (b) = 24 3(x y +4) JConclusion:Si a, b J entonces a (b) Jiii) Sean z Z, a J entoncesx Z, a = 24 3xluegoz a = za 6z 6a +42 = z(24 3x) 6z 6(24 3x) +42= 24z 3zx 6z 144 +18x +42 = 18z 3zx +18x 102= 24 126 3(zx 6z 6x) = 24 3(42 +zx 6z 6x)como 42 +zx 6z 6x Z z a = 24 3(42 +zx 6z 6x) JConclusion:Si z Z, a J entonces z a JPor i), ii), yiii) concluimos que J es un ideal de este anillo(d) Pruebe que J =< 3 > 8 PtosRespuesta:Recordemos que < 3 >= {z 3/ z Z}Sea a < 3 > x Z, a = z 3luego a =z 3 = 3z 6z 18 +42 = 36 3z = 24 +12 3z = 24 3(z 4) JPor lo tanto a < 3 > a J, luego< 3 > J ()Por otro lado Sea b < 3 > y Z, b = 24 3yluego a = 24 3y = 3y 6y 18 +18 +24 = 3y 6y 18 +42 = y 3 < 3 >Por lo tanto a J a < 3 >, luego J < 3 > ()Conclusion: De () y() concluimos que J =< 3 >3(e) Pruebe que (Z, , ) es un Dominio de Integridad 8 PtosRespuesta:Recordemos que el cero( 0 ) de este anillo (Z, , ) es el entero 6Vamos a probar que Z no posee divisores del cero, es decir :Si a b = 6, con a = 6(a 6 = 0) entonces b = 6Como a b = 6 ab 6a 6b +42 = 6 ab 6a 6b +36 = 0 a(b 6) 6(b 6) = 0 (a 6)(b 6) = 0Como en el anillo (Z, +, ), para la multiplicaci on usual no hay divisores del ceroentoncesSi (a 6)(b 6) = 0con a 6 = 0 entonces b 6 = 0.Luego b = 6ConclusionSi a b = 6, con a = 6entonces b = 6, es decir para no hay divisores delceroPor lo tanto (Z, , ) es un Dominio de Integridad() Otra manera de demostrar es probando que la ley cumple o satisface lapropiedad cancelativaSean a, b, c Z, a = 6 (a 6 = 0), tal que a b = a cPor demostrar que : b = aComo a b = a c ab +6a 6b +42 = ac 6a 6c +42 ab 6b = ac 6c b(a 6) = c(a 6)Como en el anillo (Z, +, ), la multiplicaci on usual satisface la ley cancelativaentoncesSi b(a 6) = c(a 6) con a 6 = 0 entonces b = cConclusionSi a b = 6, con a = 6 entonces b = 6 b = c , es decir satisface la leycancelativaPor lo tanto (Z, , ) es un Dominio de Integridad4