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CIDEAD. TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II.Tema 6.- Sistemas automáticos

Desarrollo del tema.

1. Introducción.

2. Conceptos fundamentales.

3. Tipos de sistemas de control.

4. Estudio de la transformada de Laplace.

1-Tema 6 .- Los Sistemas Automáticos


1. Introducción.

Se define como un sistema automático de control como el conjunto de componentes físicos conectados entre o que están relacionados entre sí , de tal manera que regulan o dirijan su actuación por sí mismos, sin la intervención de agentes externos, incluido el hombre. El sistema es capaz de corregir los posibles errores producidos en su funcionamiento.

Cualquier dispositivo tecnológico, está formado por un sistema actuador, que corresponde al sistema mecánico que realiza la acción y un dispositivo de mando o control que establece las órdenes necesarias para su funcionamiento.

Cualquier actuación del sistema nervioso consciente, está basado en este mecanismo.Cuando se acerca el dedo a un foco caliente, los sensores de la terminación nerviosa aprecian latemperatura y mandan al cerebro(sistema de regulación y mando) la información suficiente para queéste active la transmisión actuadora hacia los terminales musculares, provocando una contracciónmuscular, evitando la llama. En ocasiones cuando la reacción ha de ser precisa, la respuesta serealiza mediante un análisis hiterativo de acierto y error.

En automática, el papel del ser humano es asumido por un mecanismo, que está formado porun circuito eléctrico o electrónico o por un sistema informático incluyéndose un programa deactuación específico.

Como ejemplos de control automático, será la regulación de la temperatura de unahabitación mediante un termostato.

Los sistemas automático poseen un papel muy importante en determinados campos, comoson:

a. En los procesos industriales . Permite controlar el sistema productivo, mejorando lacalidad del producto obtenido. Gracias a ello se consigue:a. Aumentar las cantidades y mejorar la calidad del producto, debido a la producción enserie y en la formación de cadenas de montaje y producción.b. Se reducen los costes de producción.c. Poder fabricar productos que no se podrían realizar por otros medios.b. En los hogares. Permiten aumentar la calidad de vida en los hogares. Entre otrasmanifestaciones, caben destacar la domótica o los edificios inteligentes.c. En los avances científicos. Las misiones más avanzadas y los proyectos más punteros, nopodrían haber tenido éxitos sin el concurso de la presencia de automatismos.d. Avances tecnológicos. Con la utilización de la electrónica y la robótica, es posibleautomatizar una gran cantidad de procesos tecnológicos.

2. Conceptos fundamentales.

Se denominan variables del sistema aquellas magnitudes que se vigilan y establecen uncontrol sobre ellas, ya que determinan el comportamiento del sistema.



En la regulación automática de los sistemas que van a ser sometidos a control, se consideranúnicamente teniendo en cuenta la relación entrada/salida. Se necesita saber cuál es la respuesta delsistema (salida) cuando se le comunica una información a la entrada .

Recibe el nombre de entrada a la excitación que se aplica a un sistema de control desde unafuente de energía externa, con el fin de provocar una respuesta.

Recibe el nombre de salida, la respuesta que proporciona el sistema de control.Recibe el nombre de perturbación las señales no deseadas que influyen de forma adversa

en el funcionamiento del sistema. Las perturbaciones ejercen un papel no deseado en elcomportamiento del sistema

Los sistemas automáticos de control pueden ser:

a. Naturales.- Por ejemplo el control de temperatura del organismo humano. Cuando hacecalor, se produce una transpiración, ya que mediante el sudor, al evaporarse, provoca unadisminución de la temperatura. Por el contrario, cuando tiene frío el organismo, tirita. Lavibración muscular, provoca un aumento de temperatura corporal.b. Artificiales. Para explicar este sistema de control artificial, evocaremos la regulación de latemperatura de una habitación mediante un termostato. Si la temperatura es inferior a lafijada por el termostato, se activa la caldera para que se produzca un aumento de latemperatura en la habitación, gracias a la calefacción; cuando la temperatura supere la fijadase desactiva la calefacción y la temperatura de la habitación baja hasta la fijada. c. Mixtos o unión de los dos anteriores. La conducción y manejo de un automóvil, es claroejemplo de la concurrencia de los dos sistemas.

En los diferentes sistemas automáticos, el papel que desempeña el ser humano, lo asume unmecanismo o un ordenador.

Para representar los sistemas automáticos, se recurre a los diagramas de bloques, en los quese ofrece una expresión visual y simplificada de la relación que existe entre la entrada y la salida delsistema físico.

A cada componente de un sistema de control se denomina elemento y se representa medianteun rectángulo. Las flechas indican el sentido del flujo de información .

El diagrama más sencillo es el bloque simple:

Entrada Salida

Es posible realizar funciones de adicción y sustracción de la información, mediante lossiguientes símbolos :



Las operaciones algebraicas de la multiplicación o la división se realizan dentro del mismoproceso, mediante multiplicadores de la señal o atenuadores de la señal.

x y = a . x x y = x / a

Problema 1.- Se considera la siguiente ecuación de una transformación: x3 = a1 . x1 – a2 . x2 + a3 , sabiendo que x1 , x2 y x3 son las variables y a1 ,a2 ,a3 son los

coeficientes de transformación. Representar la función en forma de diagrama de bloques.

Solución :

x1 x1 . a1

x2 x2 . A2 x3

1 1. a

3. Tipos de sistemas de control.

Los sistemas de regulación pueden ser de dos tipos:

a. De bucle abierto o lazo abierto.- La acción de control es independiente de lainformación de salida.b. De bucle cerrado o lazo cerrado.- La acción de control depende de la informaciónrecibida a la salida.

a. De bucle abierto o lazo abierto.


a 1/a

a1

a2

a3

+

+

-


Un sistema de control se dice que es de bucle abierto cuando la señal de salida no influyesobre la señal de entrada. La señal de entrada actúa directamente sobre los elementos que controlanel comportamiento del sistema sin verse afectada por la salida del mismo. La exactitud de estossistemas dependen de la calibración. Al calibrar, se establece una relación entre la entrada y lasalida con el fin de conseguir del sistema la exactitud deseada . Se representan mediante diagramasde bloque de la siguiente forma:

Entrada Salida

El sistema se controla directamente o bien mediante la presencia de dos nuevos elementos :el transductor y el actuador o accionador:

Entrada Salida

Un transductor modifica o adapta la naturaleza de la señal de entrada al sistema de control.Para que un sistema de calefacción sea de bucle abierto, no se necesita un termostato. El transductordel sistema de calefacción puede ser el dial donde definamos el tiempo de actuación de lacalefacción.

Un actuador modifica la entrada al sistema comandado por la salida del transductor. Unejemplo típico de un sistema automático de lazo abierto es una lavadora automática. Esta máquinase encuentra programada para que realice todas las operaciones de lavado con una duracióndeterminada. La blancura de la ropa no influye para nada en el funcionamiento de la misma. Paraobtener mayor blancura de la ropa, es necesario que la lavadora se encuentre perfectamenteequilibrada en su programación.

Un sistema de bucle abierto es muy sensible a las perturbaciones extremas. Una calefaccióncontrolada por temporizador, se ve afectado su funcionamiento por perturbaciones producidas alabrir una ventana o una puerta al exterior, ya que la calefacción permanecerá encendida el mismotiempo independientemente de la sensación térmica que se consiga en la habitación. En estos caso,es conveniente recurrir a un sistema de bucle cerrado, colocando un termostato.

b. Sistema de control de bucle o lazo cerrado.

Para minimizar las perturbaciones, conviene utilizar los sistemas de control de lazo cerrado.Un sistema de control de bucle o lazo cerrado es aquel en el que la acción de control depende de lainformación obtenida en la salida. Para conseguir que la entrada se modifique en función de la señalde salida, se recurre a la realimentación.

La realimentación o feedback , es la propiedad que posee un sistema de control de buclecerrado por la cual la salida, o cualquier otra variable del sistema que esté controlada, se comparacon la entrada o una de las entradas del sistema, de tal manera que la acción de control se establezcacomo función de ambas.

Considerando el término realimentación, se puede definir el sistema de control de buclecerrado como aquel en el que existe una realimentación de la señal de salida , de manera que ésta


Elementos decontrol

Planta oProceso

Planta oProceso Transductor

Actuador oAccionador


ejerce un efecto sobre el control.La representación del diagrama de bloque en un sistema de control de bucle cerrado será:

Entrada error Salida

La salida se realimenta hacia la entrada, se comparan las dos señales, y la diferencia entrelas dos señales ( de entrada que es el valor de referencia o consigna) y el de salida , se conoce comoerror.

El error, por lo tanto, es la diferencia entre los valores de entrada y salida. Actúa sobre loselementos de control para reducirse el error a cero y hacer que la señal de salida sea la correcta.

Es un sistema de regulación que tiene como misión mantener constante, o variable, undeterminado parámetro que interviene en el proceso. Por este motivo, se realiza una medidacontinua de la señal de salida para compararla con la de entrada y así realizar los cambiosnecesarios para que siempre que exista una discrepancia a concordancia , según proceda, realice lascorrecciones oportunas.

El esquema típico de este sistema de regulación es el siguiente:

ComparadorEntrada r error Salida

b

La salida del sistema de regulación se realiza mediante un captador . En el comparador, laseñal de referencia (salida del transductor) se compara con la señal de salida que se mide en elcaptador , dando lugar a la siguiente señal de error:

e = r – b ( e , es el error, r es la señal de referencia y b es unavariable de realimentación).

Puede ocurrir que:

a. Que la señal de error sea nula.- La salida tendrá el valor previsto.b. Que la señal de error no sea nula.- Esta señal actúa sobre el elemento regulador , el cualmodifica esta señal que va a influir en el accionador que regula la planta o proceso, de tal


Elementos decontrol

Planta oProceso

Realimentación

+

-

Planta oProceso

Realimentación

Transductor Regulador Accionador

Captador

+

-


manera, en la salida se alcance el valor previsto, con lo que el error se anula.

En el sistema de regulación de temperatura en una habitación con termostato. El transductores el sistema que define el grado de calentamiento . El actuador o accionador es la caldera oradiador . El termómetro actúa de captador . El sensor de temperatura compara con la temperaturacon la prevista y active o no la caldera.

El regulador es el elemento que determina el comportamiento del bucle, siendo uncomponente diseñado de gran precisión . Este elemento es el cerebro del bucle control . Mientrasque la variable controlada se mantenga en el valor previsto, el regulador no actuará sobre elelemento accionador . Si el valor se aleja del prefijado, el regulador modifica su señal , ordenandoal accionador que actúe sobre la planta o proceso para corregir dicha desviación. El termostato es elregulador del sistema.

Los sistemas de regulación de bucle cerrado son menos sensibles a las perturbacionesexternas, ya que cualquier modificación del exterior, alterará la señal de salida y el sistema tenderáa corregirla, ya que será captada como un error, independizándose la señal de salida de las posiblesperturbaciones externas.

Los sistemas de bucle cerrado son muy poco sensible a las perturbaciones .

Problema 2.- Representar un diagrama de bloques en el que el sistema de control es elefectuado por un ser vivo para caminar en una determinada dirección. Decidir si el sistema deregulación es de bucle abierto o cerrado . Si fuese de otro tipo, ¿cómo sería el sistema deregulación?

Resolución.

Es un sistema de bucle cerrado en donde:a. Señal de entrada : el lugar donde se piensa llegar ( en línea recta)b. Señal de salida : es la dirección de avance.c. Planta o proceso.- Influye el sistema muscular y locomotor de las piernas y los pies de apoyo.d. Regulador del proceso .- El cerebro, que recibe los impulsos visuales de los ojos y activa las terminaciones sensitivas de la musculatura estriada para permitir el movimiento.

Ojos Controlador Accionador Planta o proceso Dirección Dirección final

Ideal

En el caso e cerrar los ojos, el sistema de regulación pasaría a ser de bucle o lazo abierto:


Piernas

Realimentación

Cerebro Sistema Nervioso

Percepción visual

+

-


Dirección Ideal Dirección actual

4. Estudio de la transformada de Laplace.

En los sistemas de regulación es pr4eciso conocer de antemano cuál va a ser la respuestaante una señal de entrada determinada. Para poder determinar previamente la respuesta, se utilizanuna serie de modelos matemáticos que representen situaciones físicas..

En este sentido, la resolución de muchos problemas se basa en reemplazar funciones de unavariable real (tiempo, distancia) por otras representaciones que dependen de una variable compleja,analizándose de una forma sencilla el sistema. Si se define el comportamiento de un sistema en eldominio complejo, es posible traducir su comportamiento en el dominio real., de variable tiempo yasí poder predecir la respuesta ante cualquier situación. Esta situción se conoce como latransformada de Laplace y es muy utilizada en la regulación automática.

En primer lugar se procede a su definición:

La transformada de Laplace viene expresada mediante:

F (σ , ω ) =

Si se sustituye s = σ + j ω

F(s) =

La función F(s) se denomina transformada de Laplace de la función f(t) . Se representacomo:

F(s) = L [ f (t) ]

La solución es función de la variable compleja s . Después de haber obtenido una solucióndel problema transformado en términos de s, es necesario invertir la transformación para obtener lasolución en el dominio del tiempo. La transformada inversa de Laplace ( antitransformada) vienedada por la expresión:

F(t) = 1

2. . j.

Problema 3.- Obtener la transformada de Laplace de la función unidad.

Resolución.- f (s) = 1


Elementos decontrol

Planta oProceso

Cerebro Piernas

dt


F(s) = =

= - 1s

[ e−st ]∞0 =

1s

L(1) = 1s

Las transformadas y las antitransformadas de Laplace para determinadas funciones son:

Las propiedades de la transformada de Laplace son las siguientes:

1. La transformada de una suma de funciones es igual a la suma de las transformadas decada una de ellas:

L[ f1 (t) + f2 (t) ] = F1 (s) + F2 (s)



2. La transformada del producto de una constante es el producto de dicha constante por latransformada de la función:

F [ a. f(t) ] = a. F(s)

3. Teorema del valor inicial: el valor inicial de una función f(t) cuya transformada deLaplace es F(s) , se denota por f (0+),

f (0+ ) = lim f (t)= lim [s . F(s)] t 0 s ∞

4. Teorema del valor final; el valor final de una función f(t) , cuya transformada del Laplacees F(s) , se denota como f(∞) :

f(∞) = lim f(t) = lim [ s . F(s)]t ∞ s 0

5. Propiedad de desplazamiento en el tiempo. La transformada de Laplace F(s) de unafunción f(t) retardada un intervalo T en el tiempo es igual a la transformada de Laplace f(s) de lafunción f(t) multiplicada por un factor exponencial e-Ts.

L [ f(t - T) ] = F(s) . e-Ts

6. Una función , cuya transformada de Laplace es F(s) , la transformada de su derivada será:

L[ d f t

dt] = s . F(s) - f (0+ )

7. Una función, cuya transformada de Laplace es F (s) , la transformada de su integral será:

L [ ] = F s

s

Problema 2.- Obtener la transformada de Laplace de la función siguiente:

f(t) = 4 , para 0<t<T

f(t) = -2 , para T<t< 2T

Calcular la transformada de la Laplace utilizando las propiedades de las funciones deLaplace.

Resolución.- F (s) =

F(s) = +



F(s) = - 4s

. [e−st]0T

+ 2s

. [e−st]T2T

= −4

s.e−sT

−1 + 2s

. e−2sT−esT

F(s) = 4s−

4s

.e−sT

2s

.e−2sT−

2s

.e−sT =

4s−

6s

. e−sT

2s

.e−2sT

Aplicando las propiedades de las transformadas de Laplace:

f1(t) = 4 , t>0 ;; f2 (t) = -6 , t>T y f3(t)= 2 , t > 2T

L[f(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] + L[f3(t)]

L[f(t-T)] = L[f(t)] . e-Ts

L[f1(t)] = F(s) = 4s

L[f2(t)] = F(s) =−6

s. e−Ts

L[f3(t)]= F(s) = 2s

.e−2Ts

La suma de las tres funciones quedará : F(s) = 4s−

6s

. e−sT

2s

.e−2sT

Cálculo de la transformada inversa de Laplace.

Para calcular la transformada inversa de Laplace, cuya expresión es:

f(t) =

Se debe de recurrir a las tablas o bien a la resolución algebraica en casos sencillos cuando lafunción es racional:

En este caso, F(s) = N sD s

= N s

s−s1. s−s2..., siendo s1, s2, etc las raíces del

polinomio real D(s) .

Puede ocurrir tres casos:

a. Que las raíces sean todas reales y distintas.b Que algunas raíces sean reales e iguales.c Que las raíces sean complejas.


12. . j


a. Que las raíces sean todas reales y distintas.

F(s) = A1

s−s1

A2

s−s2+ ... +

An−1

s−sn−1

An

s−sn, siendo s1, s2, ... sn , las raíces de la

ecuación D(s) = 0

Los coeficientes se obtienen :

Ai = [ F s . s−s i] s = si

L-1[F(s)] = L-1 [1

s−a] = e at

L-1[F(s)] = f(t) = A1 es1 t + A2 es2 t + ... + An esn t

Problema 2.- Calcular la transformada inversa de la Laplace de la función:

F(s) = 0,5 s2

s2s

Resolución.-

El polinomio D (s) = s2 + s , tiene como raíces : 0 y -1

F(s) = A1

s−s1

A2

s−s2

A1 = [ 0,5 s2

s2s

. s−0] s =0 = 1

A2 = [ 0,5 s2

s2s

. s1] s = -1 = - 0,5

F(s) = 1s

−0,5s1

: f(t) = 1 e0 - 0,5 e -t

b Que algunas raíces sean reales e iguales.

En este caso : F(s) = A1

s−s1

A2

s−s2+ ... +

ar−1

s−s j

ar

s−s j2

Siendo las dos últimas raíces iguales.



Los coeficientes de las raíces distintas se calculan como el caso anterior:

Ai = [ F s. s−s i] s = si

Los coeficientes de las raíces repetidas , si , se calculan de la siguiente forma:

ar = [ F s. s−s j] s = sj

El coeficiente ar-1 = d

d s[ F s . s−s j

r ] s= sj

Si hubiese otros coeficientes ak = 1j !

.d j

d s j .[ F s . s−s jr ] s = sj

Las soluciones de la función inversa de Laplace es idéntica:

L-1[F(s)] = L-1 [1

s−a] = e at

Problema 3.- Calcular la transformada inversa de Laplace para la función:

F(s) = 1

s12. s3

Resolución.-

F(s) = ar−1

s−s j

ar

s−s j2

A1

s−s1 =

ar−1

s1

ar

s12

A1

s3

A1 = [ F s . s−s i] s = si = [ 1

s12. s3

. s3] s = -3 = 0,25

a1 = d

d s[ 1

s12 . s3

s12] s = -1 = - 0,25

a2 = [ 1

s12. s3

. s12] s= -1 = + 0,5

F(s) = −0,25s1

0,5

s12

0,25s3 ;; f(t) = - 0,25 e-t + 0,5 t e-t + 0,25 e-3t



c Que las raíces sean complejas. Si las raíces son complejas, se tratarán exactamente igual que las raíces reales, teniendo en

cuenta que posee una parte compleja y que se tendrá que operar con ella.

Problema 3.- En el sistema representado en la figura , se encuentra formado por unaresistencia y un condensador , cargad con una carga Q . Al sistema se aplica una tensión de Vvoltios y la intensidad que pasa por el circuito va aumentando la carga del condensador. Definiren este sistema la señal de entrada, la de salida y las posible perturbaciones.

I

Resolución.-

La señal de entrada es la tensión ( que en este caso es de 9 V). La salida es la intensidad decorriente o la carga del condensador en cada instante . Las posibles perturbaciones serán lasmodificaciones puntuales de la tensión y la variación de la resistencia como consecuencia de unadilatación, al aumentar la temperatura.

Problema 4.- Utilizando las tablas, determinar la transformadda de Laplace de lafunción:

f(t) = e-4t + t2 . e-2t

Resolución.-

En la tabla de valores se observa:f(t) F(s)

Por lo tanto : L[ f(t) ] = F (s) = 1

s4

2 !

s23 = 1

s4

2

s23

Problema 5.- Determinar la inversa de Laplace para la función :



F(s) = 10

s4 . s23

Resolución.

F (s) =ar−2

s−s j

ar−1

s−s j2

ar

s−s j3

A1

s−s1=

ar−2

s2

ar−1

s22 ar

s23

A1

s4

A1 = [ 10

s4. s23

. s4] s=-4 = −54

ar = [ 10

s4. s23

. s23] s = -2 = 5

ar-1 = d

d s [ 10

s4. s23

. s23] s = -2 =

−52

ar-2 = 12 !

d 2

d s2 [ 10

s4. s23

. s23] s=-2 = 54

F(s) = 5/4

s2

−5/2

s22

5 s2

3 −5/4

s4

f(t) = 54

e-2t - 52

t e-2t + 52

t2 e-2t - 54

e-4t



Problema 6.- Determinar la transformada inversa de Laplace de la función:

F(s) = 2 s2

s3 s−2

3

Resolución.-

F(s) = ar−2

s−s j

ar−1

s−s j2

ar

s−s j3 =

ar−2

s−2

ar−1

s−22 ar

s−23

ar = [ 2 s2s3

s−23 . s−23] s = 2 = 13

ar-1 = d

d s [ 2 s2s3

s−23 . s−23] s = 2 = 9

ar-2 = 12 !

d 2

d s2 [ 2 s2s3

s−23 . s−23] s=2 = 2

F(s) = 2

s−2

9

s−22

13

s−23

f(t) = L-1[ F(s)] = 2 . e2t + 9 t e2t + 132

t2 e2t

Problema 7.- Determinar la transformada de Laplace de la función :

F(s) = s2

s12

Resolución.-

F(s) = ar−1

s−s j

ar

s−s j2 =

ar−2

s1

ar−1

s12

ar = [ s2

s12

. s12] s = -1 = 1

ar-1 = d

d s [ s2

s12

. s12] s = -1 = 1



F(s) = 1

s1

1

s12 ;; f (t) = 1 e-t + 1 t e-t

Anexo .- Representación de la función :

f(t) = 4 0<t<T

f(t) = - 2 T < t < 2T

En todo el dominio real :

f1(t) = 4 t > 0

f2 (t) = - 6 t > T

f3 (t) = 2 t > 2 T


-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Función

t

f(t)

f(t)=4

f(t) =-6

f(t) = 2

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