desarrollo de solidos.pdf

7/25/2019 DESARROLLO DE SOLIDOS.pdf

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Universidad Nacional de Ingeniera

UNI Norte

Facultad de Tecnologa de la Construccin

Dibujo y Geometra Descriptiva II

Unidad III

Desarrollo

Ing.

Sergio Navarro Hudiel

Estel, Noviembre 2005


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Elaborado por: Ing. Sergio Navarro Hudiel2

ndice

1. INTRODUCCIN ....................................................................................................................... 32. DESARROLLO DE SLIDOS ................................................................................................... 4

2.1 DESARROLLO DE UN PRISMA RECTO TRUNCADO .................................................. 4

2.2 DESARROLLO DE UN PRISMA OBLICUO ...................................................................... 5

2.3 DESARROLLO DE CILINDRO RECTO TRUNCADO .................................................... 6

2.4 DESARROLLO DE UN CILINDRO OBLICUO ................................................................ 8

2.5 DESARROLLO DE UN CONO RECTO TRUNCADO ..................................................... 10

2.6 DESARROLLO DE UN CONO OBLICUO ....................................................................... 12

2.7 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE RECTA ................................................................. 14

2.8 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE RECTA TRUNCADA .......................................... 15

2.9 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE OBLICUA ............................................................ 16

2.10 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE OBLICUA TRUNCADA ................................... 163. DESARROLLO DE INTERSECCIONES ................................................................................. 17

3.1 DESARROLLO DE INTERSECCIONES DE DOS PRISMAS. ....................................... 17

EJERCICIOS .................................................................................................................................. 19


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1. INTRODUCCIN

El desarrollo de un cuerpo es la representacin de su superficie exterior,extendida en un plano. La palabra desarrollo se emplea lo mismo paraindicar el procedimiento seguido para lograrlo, como para la figura obtenida.

Una superficie de desarrollo muestra todas las longitudes y todos los ngulosen su verdadera amplitud.

Tienen una gran importancia los desarrollos cuando se trata de cortarcorrectamente las planchas en calderera, en instalaciones de tuberas, enrecipientes de chapa y de cartn, en fontanera y piezas industriales, etc.

Regla de desarrollo: Cada lnea de un desarrollo muestra la longitud realde la lnea correspondiente en la superficie del cuerpo.

Este es un principio fundamental que tiene que ser observado en la cons-

truccin de todos los desarrollos.Solamente los poliedros y las superficies de simple curvatura pueden serdesarrolladas; los poliedros son desarrollables porque estn limitadosenteramente por superficies planas que puedan ser colocadas en undesarrollo de tamao verdadero y en serle relacionada. Las superficies desimple curvatura (cono, cilindro y con voluta) son desarrollables, porquecada par de elementos rectilneos consecutivos estn colocados en el mismoplano. Las superficies alabeadas no pueden ser desarrolladas porque notienen dos elementos consecutivos que puedan formar un plano. Lassuperficies de doble curvatura tampoco pueden ser desarrolladas por no

contener superficies ni lneas rectas o planas. Las superficies alabeadas ylas de doble curvatura pueden, sin embargo, ser aproximadamentedesarrolladas, con una exactitud que es suficiente para muchos propsitosprcticos.


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2. DESARROLLO DE SLIDOS

2.1 DESARROLLO DE UN PRISMA RECTO TRUNCADO

Anlisis:Las aristas laterales del prisma aparecern con su longitud en las

lneas paralelas del desarrollo, en la proyeccin vertical dada. La longitud deldesarrollo ser Igual al permetro, o distancia real que tiene la seccin rectadel prisma, cuya distancia se muestra en la proyeccin horizontal. De estemodo con las proyecciones dadas se suministra directamente toda laInformacin que se necesita para obtener el desarrollo.

Construccin: La lnea de la seccin recta se traza directamente a conti-nuacin de la base del prisma, llamndosele lnea del desarrollo, y sulongitud desde 1 a 1 debe ser exactamente Igual a la longitud del permetrode la base del prisma. A partir del punto 1 de la Izquierda se van tomando

las distancias 1-2, 2-3, 3-4, etc., tomadas de la proyeccin horizontal,estableciendo la anchura que tiene cada cara del prisma.

Las aristas laterales (lneas de dobleces) se trazan perpendicularmente a lalnea de desarrollo, por cada punto citado de divisin, siendo la longitudverdadera de cada lnea la obtenida y trasladada desde los puntoscorrespondientes de la proyeccin vertical. Uniendo los puntos A, B. C, etc.,con lneas rectas se completa el desarrollo de la superficie lateral del prisma.

Como las caras del prisma han sido tomadas en serie, en direccin de las

agujas del reloj y desde la proyeccin horizontal, el desarrollo muestra lasuperficie interior del prisma. La lnea de dobleces se distingue por unpequeo circulo hecho a pulso en cada extremo de la lnea (representanlos orificios del modelo).

Si es necesario Incluir los extremos de la superficie del prisma en el des-arrollo, se pueden agregar alguna arista comn. La superficie ABCDE, porejemplo, figura en su tamao verdadero en la proyeccin A, perodebemos trasladarla para agregarla a la arista DE.

Nota:El tamao verdadero de la base se muestra en la vista de planta. Paraobtener el tamao verdadero de la superficie cortadase proyect una vistainclinada perpendicular a la vista de filo de la superficie cortada (en lafrontal) y puede ser trasladado al desarrollo.


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Figura1. Desarrollo de un prisma recto truncado

2.2 DESARROLLO DE UN PRISMA OBLICUO

Por ejemplo la figura 2 muestra una conexin en diagonal empleada paraunir dos conductos rectangulares de ventilacin, situados en diferentes

planos horizontales. Se solicita el desarrollo de este prisma oblicuo.

La construccin requiere la longitud verdadera de las aristas laterales, de laseccin recta por la que pasan; asimismo se precisa conocer el espaciado deestas aristas laterales, a lo largo de la lnea de desarrollo, es decir, que paraobtener el desarrollo de un prisma oblicuo precisaramos siempre tener lassiguientes condiciones:

Una proyeccin que muestre la longitud real de las aristas laterales.Una proyeccin final (seccin recta) que muestre las aristas lateralescomo puntos.

Construccin: Se trata la proyeccin A para mostrar las aristas laterales delprisma en su verdadero tamao, y luego la proyeccin B para representar aestas aristas como puntos. El desarrollo se puede construir con medidas quese tomen en las proyecciones A y B, sin hacer referencia a las proyeccionesdadas.


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Y como la base no es perpendicular a las aristas laterales, la seccin recta hasido arbitrariamente trazada, por el corte del prisma con el plano C-P. Esteplano cortante se puede suponer en cualquier sitio de la proyeccin A, perodebe ser perpendicular a las aristas laterales. El desarrollo puede ahora serconstruido en cualquier sitio del papel. En la figura la lnea de desarrollo ha

sido trazada horizontalmente y los espacios entre las aristas, o distancias delos lados de la seccin recta, se han obtenido de la proyeccin B (obsrvesela distancia e). Despus se toman las distancias de cada arista arriba y abajodel plano de corte arbitrario, para trasladarlas a las paralelas trazadas por lalnea de desarrollo (obsrvese las distancias x e y). Uniendo los puntos A, B,C. etc., se completa el desarrollo solicitado.

Figura 2. Desarrollo de un Prisma Oblicuo

2.3 DESARROLLO DE CILINDRO RECTO TRUNCADO

Anlisis: En la figura 3 el desarrollo de un cilindro circular recto estilustrado grficamente, apareciendo los elementos del cilindro como lneasparalelas de longitud verdadera. La longitud del desarrollo es igual a la longi-tud de la circunferencia del cilindro y las divisiones de la lnea de desarrollomuestran la distancia entre los elementos consecutivos. Las proyeccionesdadas dan directamente los necesarios elementos en longitud verdadera, ascomo los espacios existentes entre dichos elementos.


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Construccin:El crculo de la proyeccin horizontal ha sido dividido en 12partes Iguales, estableciendo as 12 espacios Iguales entre los elementos delcilindro que se enumeran desde O a 11.

Los mismos elementos se trazan tambin en la proyeccin vertical. La base

inferior del cilindro es una seccin recta que en el desarrollo figura como unalnea recta, luego ya podemos emplear la lnea de desarrollo (si ambosextremos del cilindro son oblicuos, se puede emplear cualquier seccin rectapara obtener la lnea de desarrollo).

La longitud y las divisiones de esta lnea de desarrollo, se pueden establecerde dos modos:

Calculando la exacta longitud matemtica (L = *D), y dividiendo luegoesta longitud en 12 partes iguales.

Empleando la cuerda, o distancia aTbTque se llevar 12 veces a partir deO, sobre la lnea de desarrollo.

El primer mtodo es evidentemente exacto, mas para no hacer divisiones,el segundo mtodo dar un desarrollo alrededor del 1,1 por ciento, pordefecto.

Para 16 divisiones el error es slo del 0,6 por ciento, y para 24 divisiones,solamente es de 0,3 por ciento; emplear ms de 24 divisiones no escorriente en los trabajos de ingeniera.

Habiendo establecido la lnea de desarrollo y sus divisiones se trazarn lasperpendiculares por esos 12 puntos, tomando en cada una de ellas laslongitudes de los elementos del cilindro, que se trasladarn desde laproyeccin vertical, obteniendo as los puntos A. B, C, etc., que unidos poruna lnea curva suave completan el contorno del desarrollo buscado.

Obsrvese que las lneas B1, C2, etc., representan elementos de unasuperficie curvada, y de aqu que pudieran ser marcados con los smbolosde lneas de doblaje. El desarrollo empez por el elemento ms corto.


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Los puntos 0', 1', 2', etc., del circulo de la base se han extendido a laproyeccin A. designndose como O", I", 2", etc., al cortar al plano vertical yser trasladados a la proyeccin A, que al ser a su vez trasladados a laderecha de dicha proyeccin A vamos obteniendo los distintos puntos de lasolicitada seccin. La proyeccin B muestra la elipse en la tase terminal en la

que cada elemento seleccionado est proyectado como un punto.

Construccin del desarrollo: Como la base del cilindro no puede servir deseccin recta, se ha empleado el plano de corte C-P, arbitrariamenteseleccionado, y la lnea del desarrollo se ha supuesto colocada acontinuacin o enfrente de dicho plano C-P (como se vio en la figura 5.2 lalnea de desarrollo puede ser colocada en cualquier sitio, poniendo loselementos por encima y debajo de dicha lnea de los puntos de corte, conobjeto de facilitar la transferencia al desarrollo).

Los ocho elementos que se han supuesto Inicialmente correspondientes alos Intervalos de la base circular, como no pueden estar igualmenteespaciados en la elipse de la proyeccin B, de ah que las distancias de O a1, de 1 a 2, etc., de la elipse deban ser llevadas directamente desde estaproyeccin B a la lnea de desarrollo, transportando las longitudes de lascuerdas de estos arcos de la proyeccin B. La longitud verdadera de cadaelemento se puede transportar al desarrollo al localizar los puntos O', 1', 2',etc., pertenecientes a la curva interior y transportar sobre la curva superiorlos puntos O", l", 2", etc.

Este desarrollo no es simtrico, por ello tiene que ser indicado el modo de sudesenvolvimiento, es decir, hacia qu lado se efecta con respecto al ob-servador. Si el desarrollo es hacia afuera, se puede determinar comparandola serie de los elementos en la lnea del desarrollo de la proyeccin A. Elelemento O en la proyeccin A est en la superficie del cilindro ms cercanaal observador y los elementos 1 y 2 se van encontrando progresivamentehacia la derecha; al abrirse el cilindro por O, y hacia afuera, los diversoselementos se iran colocando en un plano en la forma que indica laproyeccin A.

Si el desarrollo se efecta haca arriba, el cilindro resultante se inclinar

hacia la Izquierda en vez de hacia la derecha, con sentidos Inversos para ladireccin de plegamiento. En otras palabras, un cilindro con numeracinhacia la derecha, a partir del O, se obtiene con enrollamiento hacia abajo; sila numeracin va hacia la izquierda el cilindro se desenrolla haca arriba, yaunque la forma es similar, en uno o en otro sentido, vienen a ser tandiferentes como son las formas de las plantillas del pie derecho y del


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izquierdo. Esto se puede comprender fcilmente cortando un perfil dedesarrollo asimtrico y hacindolo en la prctica.

Figura 4. Desarrollo de un Cilindro Oblicuo

2.5 DESARROLLO DE UN CONO RECTO TRUNCADO

Construccin: Se divide la base del crculo en doce partes Iguales, esta-bleciendo as doce espacios numerados del 0 al 11. Los mismos elementos se

trazan en la proyeccin vertical. El elemento extremo Vf0 tiene su longitudverdadera que la altura lateral o generatriz Rdel cono; por lo tanto haciendocentro en V y con ese radio R se traza un arco de circulo que ser lalongitud por donde va el desarrollo de la base del cono. La longitud de estearco y sus divisiones se pueden obtener de los dos modos:


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1. Calculando el ngulo de acuerdo con la frmula ngulo a= 360 Radiode la Base (r)/Altura lateral (R), la longitud de este arco, correspondiente alngulo a, es el que se llevar al desarrollo antes dibujado con radio R,tomando sobre esta longitud 12 partes iguales.

2. Este sistema se puede realizar con el comps de precisin llevando lascuerdas, que tienen todas las mismas longitudes, del arco de la base circulardel cono, al arco del desarrollo que se ha trazado con radio R, yque se hainiciado en dicha figura. El primer mtodo es exacto, pero el error que setiene con el segundo mtodo ser pequeo.

Las lneas radiales trazadas desde Va cada uno de los puntos trazados sobreel arco, representan los 12 elementos del cono en su desarrollo.

La parte de la superficie del cono cercana al vrtice se puede deducir ahora

del desarrollo de la totalidad del cono, restando de cada elemento radial lalongitud verdadera que tiene el segmento que hay que deducir. Por ejemplo,al elemento V2correspondiente al punto 2, se le deduce la longitud real delsegmento VC, que puede deducirse girando vfCf hasta la posicin Vf CRF=R2, siendo esta distancia R2 la que se resta de V2para tener la distanciabuscada VC.

Del mismo modo deduciramos los dems segmentos que hay que ir res-tando de los elementos del desarrollo para as ir teniendo los puntos A, B, C,etctera, que unidos por una curva suave complementan y completan la

curva superior del desarrollo de la superficie del cono circular truncado. Eltronco del cono circular recto se presenta frecuentemente en problemas deingeniera de construccin.

Si la base del cono no es de seccin recta circular ser conveniente suponerentonces una seccin recta, prescindiendo del crculo de la base, y en esaseccin recta desarrollada ir trazando los elementos por los puntos definidos,tomando arriba y abajo de cada uno de estos elementos radiales lasdistancias que antes hemos encontrado con este mtodo.


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Figura 5. Desarrollo de un Cono Recto Truncado2.6 DESARROLLO DE UN CONO OBLICUO

Anlisis:En el desarrollo de un cono oblicuo (o cualquier otro cono que nosea circular y recto) las lneas radiales sern ya de longitud desigual y por lotanto el cono de la base, aunque sta fuera circular, ya no se puede desa-rrollar como antes segn un arco de circunferencia. Para desarrollar talesconos supongamos que la superficie existente entre dos elementosconsecutivos sea lo suficientemente estrecha como para aproximarse, lo msposible, a un fino plano triangular; en otras palabras, la parte de curva de la

base comprendida entre dos elementos, debe ser lo suficientemente pequeapara considerarla como una lnea recta. Con esta aproximacin el error noexceder a menudo de 1 % y el cono podr ser desarrollado como si fuerauna pirmide oblicua con una base de mltiples lados.


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En la figura 6 la curva de la base del cono oblicuo es elptica y la parte desuperficie cercana al vrtice ha sido cortada por un plano vertical.

Construccin:La curva de la base del cono se divide en doce partes Igua-les y se trazan en cada proyeccin los doce elementos correspondientes. La

curva en la proyeccin vertical se determina por el mtodo corriente de iranotando los puntos donde cada elemento corta al plano vertical.Suponiendo el cono como una pirmide oblicua de doce lados, el desarrollose efecta por el mismo procedimiento y mtodo.

El diagrama de las longitudes verdaderas se construye a la derecha y acontinuacin de la proyeccin vertical, donde se indican las longitudesverdaderas de todos y cada uno de los elementos desde el vrtice a la base.

Las longitudes de cada elemento en la proyeccin horizontal se transfieren

a la lnea X3R

(lnea base del diagrama) igual a VT3; X4R

igual a VT4,etc.,para establecer as las longitudes verdaderas Vf3R, Vf4R. etc. La base delcono aparece con longitud verdadera, tamao real, en la proyeccinhorizontal, por ello las distancias de las cuerdas de los diferentes arcos,tales como el 9-10 de la figura, pueden ser llevados directamente aldesarrollo.

En el desarrollo la primera lnea radial VOpuede ser colocada en la posicinque se desee, haciendo centro en el vrtice V y con un radio igual a Vf1R

(longitud verdadera del elemento siguiente) se traza un corto arco para loca-lizar con l el punto 1.

Haciendo centro en O y con un radio igual a la cuerda del arco 01, de laproyeccin horizontal, se traza un segundo arco que al cortar al anteriortrazado desde el vrtice V,determina en su cruce la posicin del punto 1.

De la misma manera se van localizando sucesivamente los puntos 2, 3, 4,etc., Una curva suave que se trace por todos estos puntos dar la curvabuscada del desarrollo.


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Figura 6. Desarrollo de un Cono Oblicuo

2.7 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE RECTA

Para desarrollar (desplegar), la superficie lateral de una pirmide recta, esnecesario en primer lugar determinar las longitudes verdaderas de las aristasy el tamao verdadero de la base. Con esta informacin se puede construir eldesarrollo trazando las caras en orden sucesivo con sus aristas comunesunidas. Puesto que las aristas de la pirmide mostrada en la figura 7 sontodas de igual longitud, slo es necesario hallar la longitud verdadera de unaarista. Las aristas de la base, 1-2, 2-3,... etc., son paralelas al planohorizontal y perfil en consecuencia aparecen en longitud verdadera en lavista superior. Con esta informacin se completa el desarrollo, construyendolas cuatro superficies triangulares.


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Figura 7. Desarrollo de una Pirmide Recta

2.8 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE RECTA TRUNCADA

El desarrollo de una pirmide recta truncada, se inicia desarrollando estacomo si fuese una pirmide recta completa. Como la pirmide truncada esuna porcin de una pirmide recta, es preciso determinar la longitudverdadera correspondiente a la porcin de cada una de las aristas, luegoestas porciones de aristas se toman en el desarrollo completo en su lugarcorrespondiente. Para obtener el desarrollo total de la pirmide truncada sedebe agregar la base de la misma y determinar el tamao real de la carasuperior de la pirmide y agregarla al desarrollo sobre una lnea comn,

como se muestra en la figura 8.

Figura 8. Desarrollo de una Pirmide Recta Truncada


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2.9 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE OBLICUA

Como se sabe las pirmides oblicuas tienen la caracterstica de tener lasaristas laterales de longitudes desiguales, por tanto para obtener sudesarrollo debe hallarse separadamente la verdadera longitud de cada una,

hacindola girar hasta que quede paralela al plano frontal. Con O' comocentro, tomado en un lugar conveniente, usando como radio la longitudverdadera de 0-A, se traza la lnea inicial 0'-A, luego haciendo centro en A,con radio A-B, tomado de la vista horizontal, se traza un arco, ahora con O'como centro y radio la longitud verdadera de 0-B, (nuevamente de la vistafrontal) cortamos el arco de radio A-B. lo que nos establece el punto B, queal ser unido con O', nos define la arista O' -B, ahora se toma como radio B-C,cuya verdadera magnitud se toma de la vista horizontal y con centro en B setraza un arco; para determinar el extremo C de la arista B-C se toma comoradio la longitud verdadera de 0-C, y con centro O' se traza un arco quecorte al arco de radio B-C, determinndose el extremo C. se contina de

igual forma hasta completar (odas las caras de la pirmide, posteriormentese anexa la base de dicha pirmide, tal a como se muestra en la figura 9.

Figura 9. Desarrollo de una Pirmide Oblicua

2.10 DESARROLLO DE UNA PIRMIDE OBLICUA TRUNCADA

Para desarrollar la superficie lateral de una pirmide oblicua truncada, esnecesario determinar las longitudes reales de las aristas de la pirmidecompleta, as como las longitudes reales de las aristas de la parte truncada.El desarrollo se obtiene construyendo primero el desarrollo de la pirmidecompleta y trazando a continuacin, las longitudes reales de las aristas delcuerpo truncado sobre las lneas correspondientes del desarrollo tal como semuestra en la figura 10.


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Figura 10. Desarrollo de una Pirmide Oblicua Truncada

3. DESARROLLO DE INTERSECCIONES

3.1 DESARROLLO DE INTERSECCIONES DE DOS PRISMAS.

En la figura 11 un prisma oblicuo ha sido cortado por un prisma rectangular.La lnea de interseccin, que indica esta figura, se muestra en ambasproyecciones, pero el prisma rectangular solamente ha sido indicado en laproyeccin vertical.


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Figura 11. Desarrollo de Interseccin

Anlisis: La superficie total del prisma oblicuo deber desarrollarse como sevio en la seccin 2.2. El contorno de la interseccin puede ser localizado enel desarrollo.

Desarrollo: Todas las aristas laterales del prisma oblicuo aparecen en sulongitud verdadera en la proyeccin vertical; y en la proyeccin A figurancomo puntos.

El plano de corte C-P, perpendicular a las aristas laterales, origina unaseccin recta del prisma, y la lnea correspondiente de desarrollo ha sidocolocada adyacente a la proyeccin vertical, por conveniencia en trasladar las

longitudes exactas de las aristas laterales a la lnea de desarrollo.

Las distancias 1-2, 2-3, etc., a lo largo de la lnea de desarrollo se van to-mando de la seccin recta de la proyeccin A; la longitud de cada arista late-ral se traslada desde la proyeccin vertical a la correspondiente lnea de do-blaje del desarrollo. Este contorno del desarrollo se completa luego uniendolos diversos puntos A, B, C, etc.


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Interseccin:La lnea de interseccin puede ser localizada en el desarrollo,observando en la proyeccin vertical, donde se muestra en la figura, el sitioen que cada cara del prisma oblicuo ha sido cortado. La arista df4, por ejem-plo, corta a la seccin recta del otro prisma en los puntos kf y tf, por cuyospuntos se trazan las paralelas hasta la arista D del desarrollo, encontrndose

los puntos K y T. Similarmente se encuentran los dems puntos deinterseccin pf, qf, rf y sf ; estos ltimos no estn colocados en las aristas.En la proyeccin A, pa est a la distancia x de la arista bA2 y por lo tanto elpunto P del desarrollo estar a la distancia x de la lnea B2. Del mismo modoel punto ta est a la distancia y de la arista DA4, luego el punto R estar ala misma distancia de D4.

Aunque este desarrollo es interno, no ha sido indicado, ya que evidentemen-te es simtrico por la lnea eje D4, donde la superficie se puede doblar haciaarriba o hacia abajo, para formar el prisma oblicuo.

EJERCICIOS

Realice los siguientes desarrollos


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El b d I S i N H di l25

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